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COMPORTAMENTO EM SERVIÇO DE ZONAS DE DESCONTINUIDADE DE BETÃO ESTRUTURAL
NUNO J. NUNES Est. Mestrado IST Lisboa [email protected]
MIGUEL S. LOURENÇOEst. Doutoramento IST Lisboa [email protected]
JOÃO F. ALMEIDA Prof. Associado IST, ICIST Lisboa [email protected]
SUMÁRIO Apresenta-se um estudo de aplicação de uma metodologia de análise não linear de elementos de betão estrutural integralmente baseada em modelos de campos de tensões. A aplicação é feita a vigas parede e os resultados são validados com ensaios experimentais e comparados com os provenientes de modelos de elementos finitos não lineares. A análise é desenvolvida com particular realce para a avaliação do comportamento em serviço, sendo apresentados estudos paramétricos associados à selecção e avaliação de modelos. Palavras-chave: zonas de descontinuidade, modelos de campos de tensões, análise não linear, estruturas adaptativas. 1. INTRODUÇÃO Os modelos de campos de tensões (Stress Field based Models - SFM) são actualmente reconhecidos como uma potente ferramenta para o desenvolvimento de métodos consistentes de dimensionamento e pormenorização de zonas de descontinuidade (zonas D) de betão estrutural. Nomeadamente, os mais recentes documentos técnicos e normativos de dimensionamento de estruturas de betão referem a aplicação de modelos de escoras e tirantes (Strut and Tie Models - STM) ao dimensionamento ao Estado Limite Último (ELU) de diversos casos tipo. No entanto, o comportamento não linear das zonas D não é, em geral, explicitamente considerado. É normalmente assumido que o bom comportamento em serviço pode ser indirectamente assegurado através de uma selecção apropriada do modelo, conjuntamente com regras de pormenorização adequadas. Para estas zonas, os modelos de elementos finitos (Finite Element Models - FEM) convencionais são frequentemente referidos como método de análise do comportamento não linear.
2
Este trabalho apresenta uma nova vertente da análise não linear e do dimensionamento de zonas de descontinuidade totalmente baseada nos SFM e na aplicação do conceito de estruturas adaptativas aos campos de tensões. São estabelecidas as relações cinemáticas e a geometria dos nós para a definição dos campos de tensões e são consideradas relações constitutivas não lineares. Os resultados numéricos obtidos dos SFM são comparados com os resultantes de FEM não lineares, elaborados com o programa ATENA©, e validados com ensaios experimentais. A análise é desenvolvida com particular realce para a avaliação do comportamento em serviço das zonas de descontinuidade, nomeadamente vigas parede, sendo apresentados estudos paramétricos e regras de aplicação prática. 2. BASES DA METODOLOGIA 2.1. Introdução Os modelos de escoras e tirantes (Strut and Tie Models – STM), baseados no equilíbrio e na teoria da plasticidade, pretendem reproduzir as trajectórias de tensões [11, 12], mostrando o caminho das forças através de uma região de betão. O refinamento dos STM pode ser visto como a base para a definição dos SFM [7], importantes para muitas situações de análise e dimensionamento. A avaliação das propriedades mecânicas das escoras e tirantes pode ser feita através da aplicação de critérios energéticos [1, 2, 8, 9, 13]. As equações de equilibrio e compatibilidade podem ser formuladas segundo as técnicas gerais de análise estrutural, introduzindo as relações constitutivas dos materiais. 2.2. Critério Energético - Stress Field Model Follows Energy A presente abordagem da análise não linear de regiões de descontinuidade com modelos de campos de tensões é baseada na aplicação do conceito de estruturas adaptativas [10], em particular no critério energético, a sistemas de campos de tensões. A energia de deformação é dada pela Eq. (1).
dVdUV∫ ∫ εσ= (1)
onde, V é o domínio de integração, e σσσσ e εεεε são, respectivamente, a tensão e a extensão do elemento. A metodologia proposta consiste em minimizar a energia de deformação, satisfazendo as condições de equilíbrio e compatibilidade. U depende, como se verá adiante, da configuração do campo de tensões. Deve ser realçado que mesmo que se considerem relações constitutivas lineares, o sistema governativo de modelos adaptativos é, na maioria dos casos, não linear. A não linearidade resulta da variação de geometria do modelo.
3
Análise Elástica Os métodos energéticos podem ser aplicados na selecção de modelos de escoras e tirantes, como se mostra em [2]. Se forem consideradas relações constitutivas elásticas para os materiais, a energia de deformação, indicada na Eq. (1), pode ser escrita de acordo com a Fig. 1.
cc
2
AELC
21
U =
⋅
−=
ci
cj
cicjc
2
AA
ln)AA(E
LC21U ss
2
AELT
21
U = ou de forma geral
smTL21
U ε=
Fig. 1. Energia de deformação elástica para escoras e tirantes.
Onde, C, T – forças de compressão e tracção, respectivamente Ac – área da secção transversal da escora prismática Aci, Acj – áreas das secções inicial e final Ec, Es – módulo de Young do betão e do aço, respectivamente L – comprimento da escora ou do tirante εsm – deformação média do tirante Análise Não Linear É possível aplicar o conceito de modelos adaptativos aos SFM com comportamento não linear dos materiais. Neste caso, tem-se um sistema totalmente não linear. De entre as diversas leis conhecidas [6], foram adoptadas as relações constitutivas do betão e do aço em varão do Model Code 90 [3], conforme se apresenta na Fig. 2. A energia de deformação de cada elemento pode ser calculada pela Eq. (1), usando integração numérica de Gauss. Para minimizar dificuldades de convergência, as funções σσσσ - εεεε podem ser “arredondadas” junto aos pontos de derivada descontínua, passando a funções de classe C1 em todo o seu domínio.
Es1
σsr
σs
ε s
σsr1.3
σsy
σsu
Et1
ε c
σc
fc
ε c1ε cuε sy ε su
Eci1
Aço em varão
Betão
não fendilhado
abertura de fendas
fendilhação estabilizada
pós cedência
Fig. 2. Relações constitutivas do betão e do aço.
4
3. COMPARAÇÃO COM RESULTADOS EXPERIMENTAIS 3.1. Introdução A presente metodologia é validada com os ensaios experimentais de Leonhardt e Walther a vigas parede [5]. Foram analisadas duas vigas parede simplesmente apoiadas, WT2 e WT3, euma viga parede contínua de dois vãos, DWT2. Foram desenvolvidos para o presente trabalho modelos não lineares de elementos finitos no programa ATENA© das vigas parede referidas e comparados alguns resultados. 3.2. Vigas Parede Simplesmente Apoiadas Nas Figs. 3 e 4 é representada a geometria, o carregamento e a disposição de armaduras das vigas parede WT2 e WT3, respectivamente. Os ensaios experimentais mostraram uma grande capacidade interna de redistribuição das tensões devida à fendilhação. Em [2] apresenta-se uma metodologia prática de selecção de STM baseada em príncipios energéticos aplicados aos SFM.
1.28
1.60
0.16 1.28 0.16
1.44
Ø8 (As=214 mm )2
0.02
5
Ø5
Ø5
0.03
Ø5
0.100
p
1.28
1.60
0.16 1.28 0.16
1.44
Ø8 (As=428 mm )2
0.02
5Ø5
Ø5
3x0.
06
Ø5
0.100
p
Fig. 3. Geometria e carregamento da viga WT2.
Fig. 4. Geometria e carregamento da viga WT3.
Os SFM não lineares desenvolvidos simulam todas as armaduras distribuidas ao longo da alma das vigas (Fig. 5). A Fig. 6 ilustra a configuração inicial e final do modelo para o primeiro passo de carga da análise da viga WT2, mostrando o ajustamento geométrico dos campos de tensões.
5
P/2 P/2
P/2 P/2
Refined Model
x (coordenadas horizontais dos nós)
(variáveis adaptativas)
Fig. 5. SFM desenvolvido.
P/2 P/2
P/2 P/2
min U
P/2 P/2
P/2 P/2
P=100 kN P=100 kN
TN+F=0+T =0∆ Tδ( )
Configuração inicial do STM Configuração de energia mínima do STM
39.1
0.0
0.0
0.0
-39.1
0.0
0.0
-107
.4-1
07.4
-107
.4-1
07.4
-100.0-100.0
-100.0
12
34
1
-107.4
-107.4
-107.4
-107.4-100.0
23.7
9.4
4.0
-5.6
-9.5
-12.9
-9.0
-102
.8-1
05.3
-106
.7-1
04.8
-102
.4-1
00.4
-102.8
-105.3
-106.7
-104.8
-102.4-100.4
Fig. 6. Viga Parede WT2 – Configuração inicial e final do modelo para o primeiro passo de carga.
Nas Fig. 7 e 8 apresentam-se os FEM não lineares desenvolvidos, respectivamente para as vigas WT2 e WT3.
Fig. 7. FEM desenvolvido para a viga WT2. Fig. 8. FEM desenvolvido para a viga WT3.
As Figs. 9 e 10 apresentam os resultados da análise não linear dos SFM para as vigas parede WT2 e WT3 e a sua comparação com os FEM e ensaios experimentais.
6
10.5
7.8
-0.1
-3.4
-4
-6.4
-4.8
-51 .
2-5
3.3
-53.
3
-52.
2-5
1.3
-50.
3
-51 .2
-53. 3
-53 .3
- 52.2
-51.3-5 0. 3
P/2=50 kN P/2=50 kN
P/2=50 kN P/2=50 kN
P/2=150 kN P/2=150 kN
P/2=150 kN P/2=150 kN
37.2
9.3
8.2
-6.7
-14.8
-20
-13.7
-154
.6-1
57.1
-159
.8- 1
57.6
-153
.8- 1
5 0. 7
-154 .6
- 157.1
-1 59.8
-157.6
-153 .8- 15 0. 7
P/2=250 kN P/2=250 kN
P/2=250 kN P/2=250 kN
49.4
11.6
9.3
10.3
6.2
-44.3
-42.9
-254
.9- 2
57.4
-259
.8-2
62. 8
- 264
.8-2
53. 7
-254.9
- 257.4
-259.8
- 262.8
-264 .8
-253. 7
P/2=350 kN P/2=350 kN
P/2=350 kN P/2=350 kN
69.7
10.6
9.3
9.3
9.3
-5.3
-103.3
-356
.9-3
59.1
-361
.4-3
63.8
- 366
.5-3
65
-3 56.9
-3 59.1
-361.4
-363.8
-366.5
-365
P/2=450 kN P/2=450 kN
P/2=450 kNP/2=450 kN
11.6
91.3
-459
.2
-0.5
-136.1
11.8
10.6
10.9
-461
.8
-467
.3
- 464
.5
- 470
.2
-470
.3
-45 9.2
-46 1.8
-464 .5
- 467.3
-470.3
-470.2
P/2=550 kN
P/2=550 kN
P/2=550 kN
P/2=550 kN
-559 .4
-571.5
- 579.2
101.8
21.2
16.7
15.2
9.8
-181.5
16.4
-563
.6
-55 9
.4
-56 7
. 5-5
71.5
-574
.2-5
79. 2
-5 63 . 6
-5 67 . 5
-574.2
200
400
600
800
1000
1200
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
wk [mm]
P [kN]
1.0
(1.28)SFM
200
400
600
800
1000
1200
0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0
P [kN]
smε [% ]0
200
400
600
800
1000
1200
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0
P [kN]
δ [mm]
Abertura Máxima de FendasExtensão Média do Tirante InferiorDeslocamento
Cargavs
Cargavs
Cargavs
Ensaio
SFMEnsaio
SFM
FEM
FEM
Ensaio
FEM
Fig. 9. Viga Parede WT2 – Resultados numéricos e experimentais. P/2=50 kN P/2=50 kN
P/2=50 kN P/2=50 kN
10.9
5.3
2.2
-1.2
-3.6
-3
-6.1
-4.9
-51.
2- 5
2.6
-53 .
4
-53
-51.
9-5
1.2
-50.
3
-51 .2- 52.6
-53.4
-53
-51.9
-51 .2-5 0 .3
P/2=150 kN P/2=150 kN
P/2=150 kN P/2=150 kN
33.9
15.8
6.3
-4.5
-11.2
-7.9
-18.1
-14.7
-153
.8- 1
58.1
-160
.2-1
58. 7
-155
.4-1
53.6
-15 0
. 8
-15 3.8- 158.1
-1 60 .2
-1 58.7
-155.4
-15 3.6- 15 0 .8
P/2=250 kN P/2=250 kN
P/2=250 kN P/2=250 kN
50.3
32.7
9.7
-5.4
-18.4
-14.6
-30.6
-24.2
-255
.1-2
63.5
-266
.8
-26 5
-259
.5-2
5 6-2
51.2
-25 5.1-26 3.5
-266.8
-2 65
- 259.5
-256-2 5 1. 2
P/2=350 kN P/2=350 kN
P/2=350 kN P/2=350 kN
55.8
55.8
9.7
7.7
-21.6
-29.8
-45.8
-32.3
-35 4
.5- 3
67.5
-370
.6-3
73.2
- 366
.3-3
5 8.6
-35 1
.5
- 354. 5-367.5
-37 0.6
-373. 2
-366.3
-3 58 .6-3 51 .5
P/2=450 kN P/2=450 kN
P/2=450 kN P/2=450 kN
78.1
62.8
12.2
11
-22.8
-41.4
-58.8
-41.6
-456
. 8-4
71. 6
-475
.4-4
7 9.1
- 471
.8-4
6 1.1
-452
-456. 8-471.6
-4 75.4
-47 9.1
- 471.8
-4 61 .1- 45 2
P/2=550 kN P/2=550 kN
P/2=550 kN P/2=550 kN
91.5
66
14.2
16.7
10.7
-68
-79.8
-51.7
-557
. 6-5
72.2
- 576
.3- 5
81.5
-585
.1- 5
65.5
- 55 2
.5
- 557.6-572.2
-576.3
- 581. 5
-585 .1
-565 .5- 55 2 .5
200
400
600
800
1000
1200
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16wk [mm]0.18
P [kN]
Ensaio
200
400
600
800
1000
1200
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6
smε [% ]0
P [kN]
200
400
600
800
1000
1200
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4δ [mm]
P [kN]
SFM
Ensaio
Abertura Máxima de FendasExtensão Média do Tirante InferiorDeslocamento
Cargavs
Cargavs
Cargavs
FEM
SFM
FEM
EnsaioSFM
FEM
Fig. 10. Viga Parede WT3 – Resultados numéricos e experimentais.
7
Nos ensaios foram atingidas as cargas últimas de Pu=1195kN e Pu=1290kN, respectivamente para as vigas WT2 e WT3 (Figs. 11 e 12). Na rotura, WT2 apresenta cedência da armadura inferior e tensões máximas de compressão nos apoios de cerca de 1.06fcu. Para a WT3, foram medidas tensões na armadura inferior de cerca de 370MPa e tensões de compressão nos apoios de cerca de 1.2fcu. Neste caso, a pormenorização das armaduras na zona dos nós, onde se adoptaram laços em U, melhorou o confinamento do betão, conduzindo a tensões resistentes de compressão no betão mais elevadas. Os resultados numéricos aproximam-se razoavelmente bem dos resultados experimentais nos diversos passos de carga. Nas Figs. 11 e 12 apresentam-se os padrões de fendilhação para a carga última de ambas as vigas.
Ensaio Experimental (Pu=1195 kN) SFM FEM
Fig. 11. Padrão de fendilhação para a carga última da viga WT2.
Ensaio Experimental (Pu=1290 kN) SFM FEM
Fig. 12. Padrão de fendilhação para a carga última da viga WT3.
É de salientar que a redução de rigidez relacionada com a fendilhação dos sucessivos tirantes conduz a uma redistribuição de tensões significativa, evidente nas configurações dos modelos de campos de tensões (Figs. 9 e 10) e na variação do braço resultante (z/L) (Fig. 13). Este aspecto é particularmente relevante para a viga WT2, onde a ductilidade disponível permite o aproveitamento da totalidade da altura da viga. Uma última nota em relação ao comportamento em serviço: apesar da importante redistribuição interna, as tensões no aço em serviço e as aberturas de fendas observadas e obtidas numericamente mantêm-se num nível satisfatório. Considerando uma carga de serviço de Pserv=600kN, têm-se valores de wk=0.04mm (WT3) ewk=0.06mm (WT2).
3.3. Viga Parede Contínua A Fig. 14 ilustra a geometria e o carregamento da viga parede contínua ensaiada DWT2.
Ø5
Ø5
6Ø60.36
P P P P0.56 0.48 0.48 0.48 0.48 0.56
0 200 400 600 800 1000 1200
P [kN]8.4
9.7
0.9
1.9
2.8
3.7
4.5
5.2
Pcr (WT2) PuPcr (WT3)
0.70
0.75
0.80
0.85
0.90
0.95
1.00
1.05
z/Lθ[degrees]
L
hz
θ
SFM WT2
SFM WT3
Fig. 13. Resultados numéricos para as vigas parede WT2 e WT3 – Variação do braço resultante (z/l).
8
1.60
0.16 1.28 0.16
1.44
Ø8 (As=2.14 cm )2
0.02
5
Ø5
0.03
0.10
0.161.28
1.44
Ø6
Fig. 14. Geometria e carregamento da viga DWT2.
9
A Fig. 15 mostra a comparação entre os resultados numéricos (SFM) e experimentais, onde é observada uma razoável aproximação. O espessamento do apoio central ao longo de toda a altura da viga não foi simulado no modelo numérico, resultando numa estrutura mais flexível. Contudo, o comportamento em fase elástica deste é muito aproximado ao obtido com FEM lineares (ver Fig. 16).
4P=1400 kN
-270
.4
-272
. 2
-276
.3
-281
.1
- 286
.2
-291
. 3
- 92.0
-102.3
-99.5
-99.3
-98.4
-99.9
-381.4
-368.8
-36 3.4
-358. 5
-359. 3
-359. 6
-12.3
21.8
16.2
16.4
10.1
-65.6
50.3
8.8
16.8
15.9
14.6
12.9
-138.0
22.8
40.5
36.2
13.0
8.8
16.8
350 kN 350 kN
350 kN 350 kN
4P=1400 kN
-270. 4
-272. 2
-276 .3
-281.1
-286.2
- 291.3
- 92.
0
-102
.3
-99.
5
-99.
3
-98.
4
-99.
9
-381
.4
-368
.8
-36 3
.4
-358
.5
-359
. 3
-359
. 6
-12.3
21.8
16.2
16.4
10.1
-65.6
50.3
8.8
16.8
15.9
14.6
12.9
-138.0
22.8
40.5
36.2
13.0
8.8
16.8
350 kN350 kN
350 kN350 kN
4P=1800 kN
-353
.4
-357
.1
-36 1
.5
- 365
.8
-370
.8
- 376
.2
-11 4.7
-125.8
-122.3
-121.0
-120.8
-121.4
-489.7
-473 .4
-4 68 .5
-462. 3
-461. 7
-461.0
-5.5
23.0
16.8
15.3
13.2
-83.1
69.7
16.7
16.6
14.2
14.9
14.3
-172.6
40.6
39.5
41.0
17.9
16.8
16.8
450 kN 450 kN
450 kN 450 kN
4P=1800 kN
-353. 4
-357.1
-3 61 .5
-365.8
- 370.8
- 376.2
-11 4
.7
-125
.8
-122
.3
-121
.0
-120
.8
-121
.4
- 489
.7
-473
.4
-46 8
.5
-462
. 3
-461
. 7
-461
. 0
-5.5
23.0
16.8
15.3
13.2
-83.1
69.7
16.7
16.6
14.2
14.9
14.3
-172.6
40.6
39.5
41.0
17.9
16.8
16.8
450 kN450 kN
450 kN450 kN
-449.
9
-453
.9
-45 8
.3
-463
.6
-469
.5
-476
.3
-123 .6
-12 2.0
-131.3
-131.5
-132.8
-133.0
-593.5
-585.0
-5 70 .8
-564. 3
-563 .9
-564 .5
21.0
-2.4
17.3
15.4
18.2
-108.8
95.2
17.2
16.8
17.6
17.8
18.4
-183.7
44.6
44.4
43.5
17.5
15.3
18.4
4P=2200 kN
550 kN 550 kN
550 kN 550 kN
-449.9
-453.9
-4 58 .3
-463.6
-469.5
- 476.3
-123
. 6
-12 2
.0
-131
.3
-131
.5
-132
.8
-133
.0
-593
.5
-585
.0
-57 0
.8
-564
. 3
-563.
9
-564
. 5
21.0
-2.4
17.3
15.4
18.2
-108.8
95.2
17.2
16.8
17.6
17.8
18.4
-183.7
44.6
44.4
43.5
17.5
15.3
18.4
4P=2200 kN
550 kN550 kN
550 kN550 kN
Fig. 15. Padrão de fendilhação observado nos ensaios e obtido da análise com SFM.
10
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
2400
400 300 200 100 0 100 200 300 400 500σvão [MPa]
4P[kN]
500
P P P P
σvão
P P P P
σapoio
Deslocamento
Cargavs
EnsaioEnsaio
SFM
SFM
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
2400
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5δ
[mm]
4P[kN]
Ensaio
SFM
Tensões nas armaduras
Cargavs
Tensões nas armaduras
Cargavs
σapoio[MPa]
FEM linear(com espessamento
vertical do apoio central)
FEM linear(sem espessamentovertical do apoio central)
de reforço no apoio central inferiores no vão
Fig. 16. Tensões nas armaduras e deslocamentos – Modelos numéricos e ensaios experimentais.
4. SELECÇÃO E AVALIAÇÃO DE MODELOS – COMPORTAMENTO EM SERVIÇO 4.1. Introdução A ductilidade e o comportamento em serviço são frequentemente referidos como limitações dos métodos de dimensionamento baseados nos campos de tensões. Estes aspectos são abordados de seguida como uma extensão dos resultados apresentados anteriormente. 4.2. Vigas Parede Simplesmente Apoiadas Consideram-se dois modelos distintos de escoras e tirantes estaticamente admissíveis (Fig. 17): o primeiro é baseado na distribuição elástica de tensões frequentemente aplicada (θd=68.2º) e o segundo com uma significativa redistribuição de tensões interna, considerando θd=75.1º. Para a carga de dimensionamento Psd=1000kN, são obtidas áreas de armadura considerávelmente diferentes, As=408mm2 eAs=276mm2 (fsyd=435MPa, fcd=23.3MPa e fct=2.5MPa). Foi adoptada a armadura de alma mínima usual de aproximadamente ρ=0.2%. As dforma a evitar o esmagamento do betão nas zoapresentados nas Figs. 18 e 19.
500 kN 500 kN
500 kN 500 kN
L=1.44
1.60
z=1.
00
68.2°
500 kN 500 kN
500 kN 500 kN
L=1.44
1.60
z=1.
50
75.1°
STMθ=68.2º STMθ=75.1ºd d
Fig. 17. Modelos de escoras e tirantes analisados.
imensões dos apoios foram definidas de nas dos nós. Os resultados obtidos são
11
69
70
71
72
73
74
75
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800P[kN]
θ[graus]
0.72
0.81
1.03
0.91
z/L
SFMAs=4080 mm2
SFMAs=2760 mm2
PsdCarga de ServiçoPfend
L
hz
θ
θ =75.1º
θ =68.2º
d
d
Fig. 18. Evolução do braço resultante (z/L). São obtidas tensões nas armaduras, na zona de serviço, de cerca de 150-230MPa (As=408mm2) a200-280MPa (As=276mm2). Em ambos os casos, as respectivas aberturas de fendas indiciam um bom comportamento em serviço. Estes resultados são observados a partir do momento em que se inicia a redistribuição imediatamente depois da fendilhação. O braço resultante z, ou a inclinação do campo diagonal de compressões θ, aumenta de forma significativa, conduzindo a tensões no aço considerávelmente inferiores que os correspondentes valores para uma análise linear. De facto, no presente caso, seria ligeiramente conservativo analisar as tensões nas armaduras em serviço com o mesmo modelo usado para o dimensionamento ao ELU (θserv.≤θd). Por outro lado, seria pouco correcto analisar as mesmas tensões usando o modelo elástico (linhas a tracejado na Fig. 19). 4.3. Vigas Parede Contínuas Foram desenvolvidos três modelos distintos (A, REF e B) de escoras e tirantes estaticamente admissíveis (Fig. 20) que, para a carga de dimensionamento psd=800kN/m, originam quantidades de armadura diferentes no vão e no apoio central conforme se ilustra na Fig. 21. Estes valores foram obtidos para as grandezas de dimensionamento fsyd=435MPa, fcd=26.7MPa e fct=3.5MPa, tendo sido adoptada a armadura de alma mínima de ρ=0.2%. Da mesma forma que para as vigas simplesmente apoiadas, as dimensões dos apoios foram definidas de forma a evitar o esmagamento do betão nas zonas dos nós.
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30100200300400 [mm]wk
P[kN]
[MPa]σs
As=4080 mm 2
deSe
rviç
oCa
rga
SFM θ=68.2º
As=2760 mm 2
SFM θ=75.1º
As=4080 mm 2
SFM θ=68.2º
As=2760 mm 2
SFM θ=75.1º
Fig. 19. Tensões na armadura inferior e abertura de fendas.
12
A solução de referência traduz a distribuição elástica de tensões, que se apresenta na Fig. 22 através das trajectórias de tensões principais. Os resultados obtidos são apresentados na Fig. 23.
Fig. 22. Trajectórias de tensões principais.
A - Solução com menos armadura no apoio central REF - Solução de referência B - Solução com mais
armadura no apoio central
Fig. 20. Modelos considerados.
A - Solução com menos armadura no apoio central REF - Solução de referência B - Solução com mais
armadura no apoio central
Fig. 21. Distribuições de armaduras.
13
São obtidas tensões nas armaduras, na zona de serviço, entre cerca de 50-250MPa no apoio e de 50-330MPa no vão. Entre os modelos A e B, regista-se uma diferença máxima das tensões de 70MPa no apoio, enquanto que no vão verifica-se uma diferença máxima de 80MPa (para p=700kN/m). Estes valores são observados a partir do momento em que se inicia a redistribuição do vão para o apoio, imediatamente depois da fendilhação que ocorre no primeiro. Os resultados indiciam um bom comportamento em serviço em geral para as três soluções.
200
600
800
1000
1200
400 300 200 100 0 100 200 300 400 500σvão [MPa]
p[kN/m]
500
Tensões nas armaduras
Cargavs
Tensões nas armaduras
Cargavs
σapoio[MPa]
no apoio central inferiores no vão
600 600
REF
A
BREF
A
B
deSe
rviç
oCa
rga
400
Fig. 23. Tensões nas armaduras no apoio e no vão.
5. CONCLUSÕES Este trabalho refere a aplicação de modelos de campos de tensões ao estudo do comportamento não linear de zonas de descontinuidade de betão estrutural. Os resultados obtidos e a sua comparação com os resultados experimentais, mostram a adequação desta metodologia para a análise não linear de zonas D, constituindo uma alternativa preferêncial ao método convencional de elementos finitos não lineares. A ductilidade e o comportamento em serviço, frequentemente referidos como problemas importantes nas aplicações de modelos de campos de tensões, foram abordados. Os resultados experimentais e numéricos realçam a significativa ductilidade disponível das regiões tipo vigas parede. Por outro lado, um desvio significativo em relação a modelos de dimensionamento baseados na teoria da elasticidade não parece afectar de forma significativa os aspectos relacionados com o comportamento em serviço.
14
6. REFERÊNCIAS [1] Lourenço, M., Almeida, J. (2006): Nonlinear Behaviour of Concrete Discontinuity Regions, proceedings of 2nd International Congress Naples 2006, Naples, 2006. [2] Almeida, J., Lourenço, M. (2005): Stress Field Models for Structural Concrete, fib Symposium “Keep Concrete Attractive”, Vol. 1, pp 525-531, Budapest, 2005. [3] CEB-FIP MC 90 (1993): Design of concrete structures. CEB-FIP-Model-Code 1990. Thomas Telford, 1993. [4] FIP Recommendations (1999): Practical Design of Structural Concrete. FIP-Commission 3 "Practical Design", Sept. 1996. Publ.: SETO, London, Sept. 1999. [5] Leonhardt F. and Walther R. (1966): “Wandartiger Träger”, DAfStb Heft 178, Wilhelm Ernst & Sohn, Berlin [6] Marti, P., Alvarez, M., Kaufmann W., Sigrist V. (1998): Tension Chord Model for Structural Concrete. Structural Engineering International, Science and Technology pp 287-298, IABSE, April 1998. [7] Muttoni, A.; Schwartz, J.; Thürlimann, B. (1996): Design of concrete structures with stress fields. Birkhäuser, Basel, 1996 [8] Rückert, K. (1991): Design and analysis with strut-and-tie models - computer-aided methods. IABSE Rep. V.62 (1991 a), 379-384 [9] Rückert, K. (1992): Entwicklung eines CAD-Programmsystems zur Bemessung von Stahlbetontragwerken mit Stabwerkmodellen. Diss., Univ. Stuttgart, 1992 [10] Teuffel, Patrick (2004): Entwerfen adaptiver Strukturen. PhD Thesis. ILEK Universität Stuttgart 2004 [11] Schlaich, J.; Schäfer, K; Jennewein, M. (1987): Toward a consistent design for structural concrete. PCI-Journ. V.32 (1987), No.3 [12] Schlaich, J.; Schäfer, K. (1991): Design and detailing of structural concrete using strut-and-tie models. The Structural Engineer, Vol 69, No. 6, 1991 [13] Sundermann, W. (1994): Tragfähigkeit und Tragverhalten von Stahlbeton-Scheibentragwerken. Diss., Institut für Tragwerksentwurf und -konstruktion, Univ. Stuttgart, 1994.