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COMPORTAMENTO DO NAVIO NO MAR

NUNO FONSECA

Apontamentos de

ANÁLISE AVANÇADA DE DINÂMICA DO NAVIO

Mestrado em Eng. e Arquitetura Naval

Secção Autónoma de Eng. Naval

Abril de 2004

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1 Introdução...............................................................................................................4

1.1 Dinâmica do Navio em Ondas.............................................................................4

1.2 Resumo dos Apontamentos.................................................................................6

2 métodos para o cálculo de comportamento do navio em ondas.....................................7

2.1 Problema Hidrodinâmico....................................................................................7

2.2 Teoria do Navio Fino (Thin Ship Theory) ............................................................9

2.3 Teoria de Corpo Esbelto (Slender Body Theory).................................................10

2.4 Teoria Unificada de Corpo Esbelto....................................................................11

2.5 Teoria de faixas ...............................................................................................12

2.5.1 Métodos das Faixas no Domínio da Frequência ............................................13

2.5.2 Métodos das Faixas no Domínio do Tempo .................................................16

2.6 Teoria 2,5D.....................................................................................................19

2.7 Métodos dos Painéis ........................................................................................20

2.7.1 Métodos dos Painéis com Funções de Green no Domínio da Frequência.........21

2.7.2 Métodos dos Painéis com Fontes de Rankine no Domínio da Frequência........24

2.7.3 Métodos dos Painéis com Funções de Green no Domínio do Tempo ..............26

2.7.4 Métodos dos Painéis com Fontes de Rankine no Domínio do Tempo..............28

2.8 Classificação dos Métodos Não-Lineares ...........................................................30

2.8 Observações Finais ..........................................................................................34

3 Teoria de Escoamento Potencial..............................................................................36

3.1 Introdução ......................................................................................................36

3.2 Hipóteses de Fluido Ideal.................................................................................36

3.3 Sistemas de Coordenadas .................................................................................38

3.4 Formulação do Problema Hidrodinâmico...........................................................40

3

3.4.1 Condição Fronteira no Corpo .....................................................................41

3.4.2 Condição Fronteira na Superfície Livre.......................................................41

3.4.3 Condição no Fundo ...................................................................................42

3.4.4 Condição de Radiação para Infinito.............................................................43

3.5 Linearização do Problema Hidrodinâmico..........................................................44

3.5.1 Método de Pequenas Perturbações ..............................................................45

3.5.2 Condição Fronteira na Superfície Livre Linear .............................................47

3.5.3 Condição Fronteira Linear no Corpo ...........................................................51

3.5.4 Descomposição do Potencial de Velocidade.................................................53

3.5.5 Problema de Condição Fronteira Linear.......................................................55

3.5.6 Pressão e Forças Hidrodinâmicas ................................................................56

3.6 Observações Finais ..........................................................................................59

4 solução no domínio da frequência............................................................................60

4.1 Introdução ......................................................................................................60

4.2 Forças de Radiação..........................................................................................60

4.2.1 Simplificação do Problema de Condição Fronteira........................................60

4.2.2 Cálculo das Forças de Radiação..................................................................64

4.3 Forças de Excitação .........................................................................................69

4.3.1 Força de Froude-Krilov .............................................................................70

4.3.2 Forças de Difracção...................................................................................72

4.4 Forças de Restituição .......................................................................................74

4.5 Equações do Movimento ..................................................................................76

4.6 Esforços Dinâmicos .........................................................................................78

4.7 Comentários Finais ..........................................................................................83

Referências ..............................................................................................................85

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1 INTRODUÇÃO

1.1 DINÂMICA DO NAVIO EM ONDAS

A prática mais comum no projecto de navios convencionais de carga é dar importância

principalmente ao desempenho do navio em águas tranquilas. No entanto é possível e

vantajoso considerar o comportamento em ondas desde a fase inicial do projecto. De facto

a maior parte dos navios navega durante uma grande parte do tempo em estados do mar

que lhes induzem movimentos e esforços estruturais, e um navio com boas características

de comportamento no mar é mais seguro e económico, ou seja, mais eficiente. O

comportamento em ondas pode ser considerado na fase de projecto utilizando resultados

experimentais ou numéricos.

Já no caso de navios para aplicações especiais tais como; cascos rápidos, navios de

passageiros, militares, de investigação, etc., é essencial estudar o seu comportamento em

ondas e se necessário optimizá-lo, para garantir que o navio é capaz de desempenhar a sua

missão.

Existem vários fenómenos dinâmicos que degradam da capacidade do navio desempenhar

a sua missão relativamente à situação de águas tranquilas. Exemplos destes problemas são:

• Os movimentos induzidos pelas ondas aumentam a resistência ao avanço e reduzem a

eficiência do hélice, o que pode pôr em causa a viabilidade económica do navio.

• Os movimentos relativos de grande amplitude entre o navio e as ondas, que podem

causar danos na estrutura devido ao caturrar, ou em equipamentos no convés devido ao

embarque de água. Outro problema associado aos movimentos relativos de grande

amplitude é a saída do hélice da água o que origina sobrecargas na máquina e veio

propulsores.

• As acelerações, para além de induzirem um esforço extra na carga e equipamentos,

podem causar enjoo na tripulação (ou passageiros) degradando a sua capacidade para

executar as tarefas.

• O balanço excessivo impede que pessoas se mantenham em pé, e em certas situações

pode mesmo por em causa a segurança do navio.

• Em navios de grandes dimensões, os esforços induzidos na estrutura por ondas de

grande amplitude podem ser excessivamente elevados.

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Os problemas descritos acima podem ser identificados e corrigidos (ou pelo menos

minimizados) durante o projecto do navio, idealmente durante a fase inicial do projecto. O

projecto segue os seguintes três fases:

Definição das características principais, onde se conhece apenas as dimensões principais

do navio.

Projecto preliminar, onde se obtém uma descrição mais detalhada do casco e os métodos

de cálculo de comportamento no mar podem ser utilizados para avaliar e melhorar a

performance do navio. Esta é a fase onde normalmente se fazem os ensaios de resistência e

propulsão e por vezes também os ensaios de comportamento em ondas.

Projecto detalhado, onde a forma do casco e todos os parâmetros principais são definidos e

a análise de comportamento em ondas se concentra em aspectos específicos tais como a

inclinação das amuras para reduzir o embarque de água no convés, ou em alternativa

reduzir o caturrar, bordo livre na proa, possibilidade de instalar sistemas de controle de

balanço, etc.

Pelo descrito é evidente que a aplicação dos métodos de previsão de comportamento no

mar deve-se concentrar durante o projecto preliminar. Se estes métodos forem utilizados

juntamente com resultados de ensaios com modelos, então podem ser também muito úteis

para melhorar características específicas durante o projecto detalhado.

Adicionalmente ao projecto das formas do casco, é necessário fazer o dimensionamento da

estrutura, para o qual o procedimento normal é seguir as regras de uma Sociedade de

Classificação de Navios. Estas regras são em grande parte resultado da experiência

acumulada ao longo dos anos e os resultados são dados em termos de expressões semi-

empíricas relativamente simples. Isto basicamente quer dizer que os modelos de cálculo

ainda não atingiram a maturidade, fiabilidade e facilidade de utilização suficientes para se

tornarem ferramentas de apoio ao projecto universalmente aceites.

Por um lado as expressões dadas pelas regras, sendo simples, são relativamente gerais o

que quer dizer que os resultados não são optimizados para cada navio em particular. Por

outro lado, como são em parte baseadas na experiência, isto quer dizer que são mais

indicadas para o tipo de navios que existem, ou seja os projectos de novos conceitos de

navios não são bem servidos pelas regras actuais.

Por reconhecer as lacunas das actuais regras, as Sociedades Classificadoras têm os seus

departamentos de Investigação e Desenvolvimento a investir no desenvolvimento e

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aperfeiçoamento de métodos racionais para o dimensionamento da estrutura dos navios.

Estes métodos incluem o cálculo dos esforços globais e locais induzidos pelas ondas no

casco e o pós-processamento destes resultados para o cálculo do módulo das secções

transversais ou das tensões máximas na estrutura. De facto a tendência no futuro será usar

mais o cálculo directo das solicitações na estrutura do navio com procedimentos de cálculo

hidrodinâmico complexos, mas também teoricamente mais consistentes. Algumas

Sociedades Classificadoras começam mesmo a incentivar os projectistas a utilizar estes

métodos.

1.2 RESUMO DOS APONTAMENTOS

O capítulo 2 começa por apresentar o problema hidrodinâmico do comportamento do navio

em ondas e classificar as várias soluções que existem para resolve-lo. Depois faz-se uma

revisão do trabalho de investigação desenvolvido nesta área. É feita também uma descrição

dos métodos actualmente em uso ou desenvolvimento, juntamente com uma análise das

vantagens e desvantagens de cada um. Finalmente classificam-se de forma sistemática os

vários procedimentos para o cálculo não-linear das respostas de navios em ondas.

No capítulo 3 o problema hidrodinâmico de condição fronteira é estabelecido e a sua

solução simplificada pela aplicação sistemática dum método de pequenas perturbações.

No capítulo 4 apresenta-se a solução linear no domínio da frequência para o problema

hidrodinâmico de condição fronteira. A solução é baseada numa teoria de faixas.

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2 MÉTODOS PARA O CÁLCULO DE COMPORTAMENTO DO NAVIO EM

ONDAS

2.1 PROBLEMA HIDRODINÂMICO

O desenvolvimento de um método teórico para a previsão das respostas dos navios em

ondas começa pela formulação do problema de condição fronteira apropriado. Geralmente

(quase sempre) é assumido que o fluido é ideal, ou seja, invíscido e irrotacional, de modo a

poder-se utilizar a teoria dos escoamentos potenciais. Esta hipótese pode ser justificada

porque o problema é essencialmente dependente de forças gravíticas e as forças viscosas

têm um papel de menor importância. No seguimento do texto ir-se-à ver que em alguns

casos particulares os efeitos viscosos têm que ser considerados.

A formulação exacta do problema de condição fronteira conduz ao problema de superfície

livre não-linear, com as condições cinemática e dinâmica aplicadas nas fronteiras

(superfície livre e do casco) nas suas posições instantâneas e as condições apropriadas a

distâncias infinitas. O escoamento é governado pela equação de Laplace tridimensional a

qual descreve a conservação de massa para escoamentos potenciais.

Este problema é muito complexo e tem de ser simplificado até ao ponto em que tenha

solução numérica possível com um esforço computacional razoável. Existem alguns modos

de fazer esta simplificação e a escolha depende das hipóteses iniciais que se pretende

assumir. Estas hipóteses geralmente envolvem restrições nos parâmetros que governam a

solução, que são:

• A amplitude de oscilação das fronteiras, ζ ξa a,

• Frequência de oscilação das fronteiras, ω

• Velocidade de avanço do navio, U

• Esbeltez do casco, ( )ε = B T L, / , onde B é a boca e T a imersão média

As simplificações envolvem remover as não-linearidades das condições fronteira e

simplificar os aspectos tri-dimensionais do problema. Deste modo, com o objectivo de

linearizar o problema, assume-se que as amplitudes de oscilação das fronteiras são

suficientemente pequenas e o navio deve ser esbelto. Existem diversos modos de trabalhar

estas simplificações, o que resulta em diferentes soluções para o problema dos movimentos

de navios em ondas. No entanto, devido às simplificações há alguns efeitos físicos do

problema que deixam de ser contabilizados pelas formulações, o que pode afectar de forma

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significativa os resultados em certas situações e assim reduzir a gama de aplicação dos

métodos.

Na figura 2.1 estão classificados em termos do domínio de aplicabilidade (teórica), os

métodos mais conhecidos no âmbito da teoria linear dos movimentos de navios. Na

classificação foram utilizados dois parâmetros, a frequência de oscilação das fronteiras

(movimentos do navio e da superfície livre) e esbeltez do casco. O diagrama deve ser lido

do seguinte modo, por exemplo: os métodos das faixas são válidos para frequências

elevadas e cascos muito esbeltos.

Em termos gerais pode-se dizer que os métodos válidos para domínios de aplicabilidade

mais alargados, são também os que exigem maior esforço computacional e estão sujeitos a

maiores problemas numéricos. Então necessitam por um lado de computadores mais

potentes e por outro lado são menos acessíveis a pessoal não especialista. Deste modo, ao

desenvolver um novo método há que ter em conta os objectivos, o que inclui o tipo de

utilização que vai ser dada e as gamas de parâmetros em que vai ser utilizado.

t e o r i ao r d i n á r i a d e

c o r p o - e s b e l t o

t e o r i ad a s

f a i x a s

t e o r i a u n i f i c a d at e o r i a r a c i o n a l

d a s f a i x a s

M é t o d o s d o s p a i n e i st r i - d i m e n s i o n a i s

ω

ε

Figura 2.1 Classificação dos métodos de cálculo de comportamento de navios em ondas

9

As características, vantagens e desvantagens dos vários métodos serão apresentadas nas

próximas secções, onde se faz uma revisão histórica e apresenta-se o estado da arte, nesta

área da teoria dos movimentos de navios em ondas.

2.2 TEORIA DO NAVIO FINO (THIN SHIP THEORY)

O estudo dos movimentos do navio em ondas começou com William Froude (1861)

durante os primeiros anos dos navios a vapor. Enquanto os navios à vela têm um eficiente

amortecedor de balanço que são as velas, os navios a vapor apresentavam problemas com

este movimento. Por esta razão Froude estudou o movimento de balanço. Alguns anos

mais tarde Krilov (1896) investigou os movimentos de arfagem e cabeceio.

Froude e Krilov derivaram equações diferenciais do movimento que incluem forças de

inércia e de restituição a actuar no navio. No cálculo das forças de excitação pelas ondas,

apenas foi considerada a pressão do campo de ondas incidente não perturbado pela

presença do navio. Esta componente das forças de excitação passou a ser conhecida como

"forças de excitação de Froude-Krilov".

No entanto, os primeiros desenvolvimentos da teoria hidrodinâmica surgiram com a

investigação do problema da resistência de onda, logo para modelar a perturbação

estacionária de navios a avançar com velocidade constante sem ondas incidentes. Michell

(1898) assumiu restrições geométricas para obter uma solução para o problema de

condição fronteira com superfície livre. A hipótese foi que a boca é pequena comparada

com o comprimento e imersão. Deste modo a condição fronteira é aplicada na linha de

mediania do navio.

Apesar dos resultados não compararem bem com dados experimentais, a contribuição de

Michell para o desenvolvimento da teoria hidrodinâmica é notável ao introduzir a Teoria

do Navio Fino.

Haskind (1946) estudou os movimentos de arfagem e cabeceio utilizando pela primeira vez

o teorema de Green para calcular o potencial de velocidade associado aos movimentos

oscilatórios. A função de Green que foi derivada representa o potencial de uma fonte

oscilatória localizada sob a superfície livre. O escoamento oscilatório em torno do casco

pode ser representado por uma distribuição adequada destas funções. As simplificações da

teoria do navio fino foram utilizadas para resolver a equação integral resultante da

aplicação do teorema de Green.

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Haskind foi também o primeiro a separar o potencial de velocidade em contribuições de

radiação e de difracção. Na prática isto quer dizer que o problema hidrodinâmico global

dos movimentos do navio em ondas é, no âmbito da aproximação linear, separado em

vários problemas independentes, nomeadamente:

• Problema da radiação, que tem a ver com os movimentos oscilatórios do navio, e onde

o navio avança com velocidade constante e movimento oscilatório forçado na ausência

de ondas incidentes.

• Problema das forças de excitação, onde o navio avança com velocidade constante e

restringido na sua posição média, através de um campo de ondas incidentes. Estas

forças foram calculadas por Froude (1861) e Krilov (1896) considerando apenas a

pressão da onda incidente não perturbada pela presença do navio. Na realidade existe

uma perturbação na onda incidente originada pela presença do navio que deve, no

âmbito de uma aproximação linear, ser tomada em conta. Haskind formulou e resolveu

o problema de condição fronteira de difracção para calcular as forças de difracção que

têm a ver com esta perturbação.

• Às forças descritas há que acrescentar as forças hidrostáticas.

Peters e Stoker (1957) e Newman (1961) aplicaram métodos de pequenas perturbações à

teoria do navio fino, assumindo que a boca do navio e a amplitude dos movimentos são da

mesma ordem de grandeza. As comparações entre resultados numéricos e experimentais

dos coeficientes de amortecimento mostraram que a correlação não é boa.

Este método do navio fino foi aplicado para o cálculo do movimento de navios em ondas

de proa / popa, no entanto existem alguns problemas fundamentais inerentes que limitam a

aplicabilidade do método, tais como; as formas do navios não são finas mas sim esbeltas,

ou seja, a imersão é da mesma ordem de grandeza da boca e não do comprimento. Por

outro lado a teoria desenvolvida até à primeira ordem induz ressonâncias muito elevadas

em arfagem e cabeceio enquanto a teoria de segunda ordem é muito complexa. Apesar da

importância histórica do método por representar o início, não existem aplicações práticas.

2.3 TEORIA DE CORPO ESBELTO (SLENDER BODY THEORY)

Assumindo o navio com boca e imersão pequenos comparados com o seu comprimento, a

teoria de corpo esbelto tridimensional da aerodinâmica foi adaptada para a teoria de corpo

esbelto em hidrodinâmica. Outra hipótese fundamental desta teoria é de que o

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comprimento de onda é da ordem do comprimento do navio, uma vez que a condição

fronteira na superfície livre é muito simplificada. Este método pode ser interpretado do

seguinte modo: a boca e imersão reduzem-se de tal modo que o navio se reduz a uma

“linha” representada por uma distribuição de singularidades. A velocidade de avanço deve

ser no máximo moderada.

Maruo (1962) aplicou este método directamente ao problema da resistência de onda. Os

resultados são fracos para números de Froude baixos mas razoáveis para números de

Froude mais altos. Ursell (1962) por sua vez aplicou o método ao problema dos

movimentos oscilatórios sem velocidade de avanço. Outros autores que trabalharam com a

teoria de corpo esbelto são Joosen (1964) e Newman (1964).

Com o objectivo de resolver o problema da aplicação da condição fronteira cinemática no

casco usando singularidades tri-dimensionais, Tuck (1964) aplicou a teoria de corpo

esbelto de um modo diferente. O potencial de velocidade é deduzido de modo a satisfazer

dois domínios diferentes, um na vizinhança do casco e o outro afastado do casco. Na

vizinhança do casco o escoamento é assumido bidimensional e o potencial deve satisfazer

a condição fronteira na sua posição média e uma condição fronteira na superfície livre

muito simples do tipo “parede rígida”. Esta “parede rígida” significa que não há efeitos de

ondas na vizinhança do casco, o que é válido para ondas longas.

No campo afastado do casco os efeitos tri-dimensionais são considerados na equação de

Laplace e na condição fronteira na superfície livre linearizada. O potencial é representado

por uma distribuição de singularidades tri-dimensionais ao longo do eixo longitudinal do

navio. Uma vez que a condição fronteira cinemática no corpo não existe no campo

afastado do casco, então a função de Green a ser calculada não é muito complexa. As duas

soluções separadas, na vizinhança e afastado do corpo, são forçadas a coincidir numa

região de sobreposição por um método de expansões assimptóticas.

2.4 TEORIA UNIFICADA DE CORPO ESBELTO

A teoria de corpo esbelto é válida para frequências baixas e velocidade de avanço

moderada. Com o objectivo de alargar a gama de validade para as altas frequências

Newman e Sclavounos (1980) e Sclavounos (1984) assumem que o escoamento na

vizinhança do casco é essencialmente bidimensional e utilizam nesta zona uma condição

fronteira na superfície livre que representa as suas oscilações. Existem componentes na

solução que contabilizam as interacções ao longo do comprimento do casco. De novo, no

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campo afastado do casco os efeitos tri-dimensionais são considerados na equação de

Laplace e na condição fronteira na superfície livre linearizada e o potencial nesta zona é

representado por uma distribuição de singularidades tri-dimensionais ao longo do eixo

longitudinal do navio. Este método válido para toda a gama de frequências é conhecido por

Teoria Unificada de Corpo Esbelto.

Segundo os mesmos autores, as previsões das forças de excitação pela teoria unificada de

corpo esbelto comparam melhor com resultados experimentais do que as teorias das faixas

(apresentadas mais adiante). No entanto as amplitudes de arfagem são superiores aos dados

experimentais e às previstas pelas teorias das faixas. Os termos de acoplamento das massas

acrescentadas também não são melhor previstos pela teoria unificada de corpo esbelto do

que pelas teorias das faixas.

Por outro lado, para corpos sem velocidade de avanço, Mays (1978) apresentou resultados

dos coeficientes associados à arfagem e cabeceio de esferóides esbeltos que comparam

muito bem com os resultados “exactos” de cálculos tri-dimensionais. Maruo e Takura

(1978) compararam resultados de massa acrescentada e coeficientes de amortecimento,

sem velocidade de avanço, com resultados experimentais e o ajustamento é bom. Os

resultados apresentam melhorias em relação à teoria de corpo esbelto e teoria de faixas.

2.5 TEORIA DE FAIXAS

Nas teorias das faixas os efeitos da velocidade de avanço no escoamento oscilatório são

representados de forma simplista. Inclusivamente o sistema de ondas estacionário à volta

do navio é desprezado. O problema tridimensional é reduzido a uma sucessão de

problemas bidimensionais associados a secções transversais ao longo do comprimento do

navio. Em cada secção é assumido que o escoamento tem apenas as direcções vertical e

transversal, ou seja as ondas geradas propagam-se perpendicularmente ao eixo longitudinal

do navio. Esta hipótese implica que o navio deve ser esbelto, a velocidade de avanço

pequena e o comprimento das ondas curto relativamente ao comprimento do navio. De

facto, no caso das ondas serem curtas as interferências tri-dimensionais da proa e popa

(onde a forma do casco é 3D) são desprezáveis ao longo da maior parte do casco.

Apesar destas limitações teóricas, Ogilvie (1974) demonstra que o comprimento das ondas

geradas pode ter quase o comprimento do navio. Na prática, no caso dos movimentos

verticais e para baixas frequências a que correspondem ondas longas, as forças

hidrodinâmicas são dominadas pelas componentes de impulsão (hidrostáticas e Froude-

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Krilov). Por esta razão a imprecisão no cálculo dos coeficientes hidrodinâmicos e

componente de difracção têm uma influência muito pequena no cálculo dos movimentos.

Já para frequências baixas associadas às ondas de popa as teorias das faixas dão resultados

divergentes e sem realidade física.

É universalmente aceite que as teorias das faixas dão resultados bastante razoáveis para os

movimentos de arfagem e cabeceio. Para os restantes movimentos as previsões são piores,

mas podem ser melhoradas introduzindo nas equações do movimento, de forma empírica,

alguns efeitos viscosos.

2.5.1 Métodos das Faixas no Domínio da Frequência

As métodos das faixas baseiam-se na solução do problema bidimensional. O problema do

escoamento oscilatório em torno de um cilindro semicircular com movimento vertical

oscilatório na superfície livre sem velocidade foi resolvido por Ursell (1949). O potencial

de velocidade é representado por uma soma de fontes, cada uma satisfazendo a condição

fronteira na superfície livre e sendo multiplicada por um coeficiente de modo a satisfazer a

condição fronteira na superfície do corpo.

Mais tarde Grim (1953), Tasai (1959) e Porter (1960) aplicaram a transformação conforme

de secções arbitrárias no circulo, juntamente com o método de Ursell, para calcular os

coeficientes hidrodinâmicos de cilindros com secção não circular.

Frank (1967) representou o potencial de velocidade por uma distribuição de fontes sobre a

superfície submersa média de secções com formas arbitrárias. São utilizadas funções de

Green, que satisfazem a condição fronteira linear e 2D na superfície livre, para representar

o potencial de velocidade através da aplicação do teorema de Green. A densidade das

fontes é uma função incógnita dependente da posição ao longo do contorno, a ser

determinada pela aplicação da condição fronteira na superfície do corpo. A solução

numérica obtém-se pela representação do contorno da secção por um número finito de

segmentos. Em cada segmento a densidade das fontes é constante.

A massa acrescentada em arfagem calculada por métodos bidimensionais tende

assimptóticamente para infinito para a frequência zero. Para corrigir este efeito é

necessário introduzir alguns efeitos tri-dimensionais na formulação.

Korvin-Kroukovsky (1955) foi o primeiro a aplicar os resultados bidimensionais numa

teoria de faixas para prever os movimentos de arfagem e cabeceio. Mais tarde Korvin-

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Kroukovsky e Jacobs (1957) apresentaram alguns refinamentos no método e comparações

extensivas com resultados experimentais. Apesar de ser o primeiro método com aplicação

prática no calculo dos movimentos de navios em ondas, há alguns aspectos que mereceram

a crítica de outros investigadores. Nomeadamente, os termos que contabilizam os efeitos

da velocidade do navio foram deduzidos de forma intuitiva e, por exemplo, os termos de

acoplamento não verificam as relações simetria de Timman-Newman (1962), como deve

acontecer em formulações lineares consistentes. Por outro lado Korvin-Kroukovsky usou

um conceito de velocidade relativa entre o corpo e superfície livre, deduzido também de

forma intuitiva, para calcular tanto as forças de excitação como as de radiação.

Timman e Newman (1962) derivaram a condição fronteira na superfície do corpo de modo

a considerar de forma consistente e no âmbito da aproximação linear, os efeitos da

interacção entre os escoamentos oscilatório e estacionário. Como resultado da aplicação

desta condição fronteira os coeficientes de acoplamento entre a arfagem e cabeceio têm

que ser simétricos.

Ogilvie e Tuck (1969) desenvolveram a “Teoria Racional das Faixas” para os movimentos

verticais, cuja formulação é baseada numa análise sistemática de pequenas perturbações

assumindo que a frequência de encontro é elevada. Foram usados dois parâmetros na

análise de perturbações, a esbeltez e a amplitude dos movimentos. Assim a linearização do

problema foi feita em relação à amplitude dos movimentos sem introduzir grandes

restrições na esbeltez do corpo. Os termos de ordem superior relacionados com a esbeltez

foram sistematicamente retidos. Deste modo algumas interacções com o escoamento

estacionário são incluídas na solução, o que tem efeitos na condição fronteira no corpo, na

condição fronteira na superfície livre e no modo como as pressões são integradas.

Para representar a condição fronteira no corpo Ogilvie e Tuck deduziram os conhecidos

termos m j , que incluem segundas derivadas do potencial do escoamento estacionário.

Estes termos são difíceis de calcular directamente, por isso foi utilizado o teorema de

Stokes para calcular o seu efeito de forma indirecta. Esta forma de representar os efeitos da

velocidade do navio passou a ser utilizada por praticamente todas as formulações que

utilizam a condição fronteira no corpo linearizada. Apesar deste método das faixas ser do

ponto de vista teórico aquele que é válido para uma gama mais larga dos parâmetros

(frequência, esbeltez, velocidade), a sua implementação numérica deve ter sido muito

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escassa, porque quase não existem resultados publicados, e a aplicação na prática é

aparentemente inexistente.

Salvesen, Tuck e Faltinsen (1970) desenvolveram uma formulação para o cálculo dos

movimentos e esforços em ondas, baseada no problema de condição fronteira

tridimensional e as aproximações da teoria de faixas são introduzidas apenas nas fórmulas

finais e de uma forma matematicamente justificada. A condição fronteira no corpo é

representada em termos dos termos m j e, tal como em Ogilvie e Tuck (1969), o teorema

de Stokes é utilizado para simplificar o cálculo destes termos. Os termos m j , na sua forma

completa envolvem segundas derivadas dos potenciais, são simplificados assumindo que o

navio é esbelto e a velocidade tende para zero. Isto quer dizer que a grande parte dos

efeitos do escoamento estacionário são desprezados. Esta é talvez a teoria de faixas mais

utilizada em aplicações.

Outros métodos das faixas foram desenvolvidos e propostos e basicamente o que diferencia

uns dos outros é a forma como introduzem os efeitos da velocidade do navio nos

coeficientes hidrodinâmicos e forças de difracção. Gerritsma e Beukelman (1967), Ogilvie

e Tuck (1969) e Salvesen, Tuck e Faltinsen (1970) são exemplos de três formulações para

os coeficientes dos movimentos verticais. Kaplan, Sargent e Raff (1969) e Salvesen, Tuck

e Faltinsen (1970) representam duas soluções diferentes para os coeficientes associados

aos movimentos laterais (deriva, balanço e guinada). Das formulações apresentadas apenas

os métodos de Ogilvie e Tuck (1969) e Salvesen, Tuck e Faltinsen (1970) satisfazem as

relações de simetria de Timman - Newman.

Os métodos lineares têm um largo campo de aplicação, especialmente quando o objectivo é

estudar ou optimizar o casco em termos de comportamento no mar ou resistência

adicionada em ondas, pois nestas situações não se está interessado em respostas de grande

amplitude. No entanto muitas vezes há interesse em estudar respostas não-lineares, seja

para prever respostas extremas em estados do mar severos, ou para estudar problemas

específicos tais como o balanço não-linear e seu acoplamento com a estabilidade

direccional em mares de popa, ou os esforços verticais induzidos na estrutura de navios

com os costados não verticais.

Jensen e Pedersen (1979) desenvolveram uma teoria quadrática no domínio da frequência

para calcular os movimentos verticais não-lineares e o momento flector vertical não-linear

induzido pelas ondas. É utilizado um método de pequenas perturbações para representar as

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forças hidrodinâmicas por termos lineares e quadráticos em ordem ao movimento relativo

entre o casco e as ondas. O procedimento de pequenas perturbações é aplicado não ao

problema hidrodinâmico fundamental (tal como Ogilvie e Tuck, 1969) mas de forma semi-

empírica aos resultados dos coeficientes bidimensionais para cada secção. Deste modo os

coeficientes seccionais dependem da imersão e são representados por uma expansão dos

coeficientes lineares.

Os termos lineares são semelhantes aos da teoria de faixas linear e os termos quadráticos

são originados pela não-linearidade das forças de excitação e pelos costados não verticais

do navio. São apresentados resultados do momento flector vertical para um porta-

contentores e é clara a assimetria do momento flector.

Uma solução prática baseada na teoria de faixas para calcular os esforços estruturais

induzidos por ondas em navios incluindo os efeitos do caturrar foi proposta por Belik,

Bishop e Price (1980). Os movimentos e esforços na frequência da onda são calculados

linearmente no domínio da frequência. As não-linearidades devido às forças de caturrar são

transientes e desacopladas dos termos lineares. O momento flector vertical transiente e

não-linear devido às forças de impacto, é calculado no domínio do tempo e sobreposto à

resposta linear para obter a resposta total. Este método assume que os movimentos

verticais, que podem incluir a saída da proa da água, são correctamente estimados pela

teoria linear. Assume também que os movimentos relativos de grande amplitude na proa

resultam em esforços verticais na frequência da onda linerares.

Guedes Soares (1989) aplicou uma teoria de faixas linear para prever os movimentos

relativos entre o navio e as ondas, enquanto as forças de impacto associadas ao caturrar são

dadas pela taxa de variação da quantidade de movimento do fluido. O casco do navio é

representado por um modelo de elementos finitos de uma viga de Timoshenko

bidimensional. A resposta vibratória do casco é calculada por este modelo e o

correspondente momento flector é sobreposto ao momento flector linear induzido na

frequência de encontro.

2.5.2 Métodos das Faixas no Domínio do Tempo

Uma vantagem de resolver o problema hidrodinâmico no domínio do tempo é de que é

possível adicionar efeitos não-lineares às equações que representam o equilíbrio dinâmico

do corpo. Exemplos destes efeitos podem ser as forças de impulsão não-lineares, forças de

caturrar, efeitos da água no convés, controlo direccional pelo leme, etc. Num primeiro

17

nível de complexidade do problema mantém-se a radiação e difracção linear, o que quer

dizer que as condições fronteira no corpo e superfície livre são lineares, e introduz-se os

referidos efeitos não-lineares nas equações do movimento a serem resolvidas no domínio

do tempo. Esta é uma hipótese, por um lado necessária actualmente para obter

procedimentos de cálculo práticos, mas que por outro lado em muitas situações é

perfeitamente válida (mais à frente volta-se a este assunto).

Num segundo nível de complexidade, a amplitude de oscilação das fronteiras é

suficientemente grande para ser necessário considerar as condições fronteira na superfície

livre e no corpo na sua forma não-linear. Não existem presentemente teorias das faixas

baseadas na solução não-linear do problema hidrodinâmico, tendo os desenvolvimentos

neste sentido concentrado-se principalmente em métodos dos painéis. Pode-se dizer que o

trabalho de investigação neste sentido está a dar os primeiros passos e as soluções que

existem têm, por enquanto, apenas interesse académico.

Outra solução prática para estudar os movimentos e esforços de grande amplitude é

considerar as forças de radiação e difracção lineares e representadas por coeficientes

dependentes da frequência, portanto calculados por uma teoria de faixas convencional, e

calcular as forças de Froude-Krilov e hidrostáticas não-lineares e dependentes da superfície

molhada do casco sob a onda incidente em cada instante de tempo. As equações do

movimento são integradas numericamente no domínio do tempo.

Paulling e Wood (1974) utilizaram este método para estudar os movimentos de grande

amplitude em navios com ondas pela popa e alheta. A hipótese para utilizar a simplificação

descrita é a de que as forças de impulsão são dominantes, logo um erro no cálculo da

forças de radiação e difracção não afecta significativamente os resultados.

Outros autores utilizaram métodos semelhantes mas onde os coeficientes hidrodinâmicos

dependem da imersão (Elsimillawy e Miller, 1986 e Tao e Incecik, 1998). Neste caso faz-

se um pré-processamento dos coeficientes seccionais no domínio da frequência para várias

imersões e cria-se uma tabela. Durante a simulação em cada instante de tempo os

coeficientes do navio são integrados utilizando os coeficientes seccionais correspondentes

à imersão instantânea em cada secção. O resultado são “coeficientes não-lineares”, que no

entanto são obtidos sem uma justificação teórica racional.

Os métodos das faixas “parcialmente não-lineares” apresentados, embora sejam soluções

práticas, são inconsistentes no sentido em que as equações do movimento não-lineares a

18

serem resolvidas no domínio do tempo incluem coeficientes dependentes da frequência.

Ora estes coeficientes representam forças hidrodinâmicas para escoamentos puramente

harmónicos. No caso de movimentos não-harmónicos e especialmente no caso de

movimentos irregulares em estados do mar reais, os coeficientes dependentes da frequência

não devem ser utilizados. Quando as equações do movimento são resolvidas no domínio do

tempo, então o problema hidrodinâmico de condição fronteira deve também ser formulado

e resolvido no domínio do tempo.

Xia e Wang (1997) apresentaram uma teoria de faixas no domínio do tempo para as

respostas verticais, que resolve o problema hidrodinâmico e estrutural acopladamente

(problema da hidroelasticidade). As forças de impulsão são não-lineares e calculadas de

forma precisa em cada instante de tempo, enquanto as forças de radiação e difracção são

lineares.

As forças hidrodinâmicas seccionais são representadas por massas acrescentadas

correspondentes ao limite de frequência infinita e integrais de convolução de funções

resposta a um impulso. Estas funções são obtidas através da transformada de Fourier dos

coeficientes bidimensionais no domínio da frequência. Deste modo as forças são

representadas por funções e coeficientes independentes da frequência.

Uma evolução do método anterior foi proposta por Xia, Wang e Jensen (1998), onde os

efeitos de memória devido às oscilações da superfície livre são aproximados por um

conjunto de equações diferenciais ordinárias de ordem superior. As forças hidrodinâmicas

de inércia e hidrostáticas são calculadas exactamente na superfície do casco molhada.

A formulação desenvolvida no âmbito desta dissertação é em alguns aspectos semelhante à

proposta por Xia e Wang (1997). É também uma teoria de faixas formulada no domínio do

tempo, onde as forças de radiação são lineares e as componentes hidrostática e de Froude-

Krilov são não-lineares. As forças de radiação globais representam-se por massas

acrescentadas para frequências infinitas, integrais de convolução de funções de memória e

coeficientes de restituição de radiação. Deste modo os efeitos da velocidade de avanço são

incluídos de uma forma consistente (embora simplificada no âmbito da teoria de faixas). A

formulação em ondas regulares foi apresentada em Fonseca e Guedes Soares (1998a) e a

generalização para ondas irregulares em Fonseca e Guedes Soares (1998b).

A principal diferença relativamente a Xia e Wang (1997) é que estes autores representam

as forças de radiação no domínio do tempo desde uma fase anterior da formulação do

19

problema pelo método das faixas, ou seja, as forças seccionais são representadas no

domínio do tempo. Deste modo não é claro como é que os efeitos da velocidade do navio

são considerados aquando da integração dos resultados bidimensionais (excepto aqueles

que têm a ver com a alteração da frequência de encontro).

Watanabe e Guedes Soares (1999) apresentaram os resultados de um estudo comparativo

do cálculo do momento flector vertical a meio-navio num porta-contentores a avançar em

ondas com vários declives. Foram utilizadas várias teorias de faixas no domínio do tempo

e parcialmente não-lineares e também um método dos painéis. Os resultados dos vários

métodos são parecidos para ondas de pequena amplitude e ajustam-se bem às previsões

lineares. No entanto à medida que a amplitude de onda aumenta, por um lado os efeitos

não-lineares nas respostas simuladas tornam-se significativos, e por outro lado nota-se uma

grande dispersão entre os resultados dos diferentes métodos.

2.6 TEORIA 2,5D

Nas teorias das faixas assume-se que a velocidade de avanço é pequena. Embora possa ser

discutível o que significa velocidade pequena neste contexto, provavelmente o limite

superior será para números de Froude até 0.3. Evidentemente isto é uma limitação para

certo tipo de navios que navegam com números de Froude bastante superiores. Com o

objectivo de incluir de forma mais completa os efeitos da velocidade do navio na

formulação foi desenvolvida a teoria 2,5D, que sob certo aspecto do ponto de vista teórico

pode ser considerada entre as teorias das faixas essencialmente 2D e os métodos dos

painéis 3D.

Esta formulação é baseada na equação de Laplace bidimensional, mas condição fronteira

na superfície livre é tridimensional. A justificação para utilizar a equação de Laplace

bidimensional é que para velocidades elevadas os navios de deslocamento são geralmente

esbeltos e as ondas geradas em cada secção propagam-se na direcção da popa e não da

proa. Deste modo o problema pode ser resolvido começando por determinar a solução na

proa e depois ir determinando a solução passo a passa na direcção da popa.

A condição para que não haja ondas a propagarem-se na direcção da proa do navio é:

τ ω= >eU g/ .0 25 , onde ω e é a frequência de encontro entre o navio e as ondas, U é a

velocidade do navio e g a aceleração da gravidade.

20

Este método foi aplicado por Ogilvie (1972) para estudar o escoamento em redor de proas

esbeltas em navios com velocidade constante. Mais tarde foi generalizado para estudar os

movimentos do navio no domínio da frequência por Yeung e Kim (1981), Ohkusu e

Faltinsen (1990) e Faltinsen e Zhao (1991a,b), no entanto a interacção entre os

escoamentos estacionário e não-estacionário é representada de uma forma simplista. Zhao

(1994) apresentou uma solução completa no domínio do tempo, que incluí a interacção

entre os escoamentos estacionário e não-estacionário.

2.7 MÉTODOS DOS PAINÉIS

Os métodos mais usados para calcular os movimentos, esforços seccionais e resistência

adicionada em ondas continuam a ser baseados em teorias das faixas. De facto estes

métodos são rápidos, envolvem poucos recursos informáticos e em grande parte dos casos

os resultados são bons. A razão é que grande parte dos casos são adequados às limitações

das teorias das faixas; os navios são lentos, esbeltos e as repostas mais severas acontecem

para frequências relativamente elevadas.

No entanto os métodos das faixas não funcionam bem para velocidades elevadas (O'Dea e

Jones, 1983), navio bojudos, ou seja com relação L/B pequena, e em geral para frequências

de encontro baixas que ocorrem com mares de popa. Os métodos das faixas também não

são capazes de considerar os efeitos tri-dimensionais da difracção (de ondas) em proas

bojudas, de navios tanque por exemplo, que contribuem de forma significativa para a

resistência adicionada ao avanço (Fujii e Takahashi, 1975).

As formulações tri-dimensionais (ou métodos dos painéis) foram desenvolvidas com o

objectivo de melhorar estas limitações na solução do problema hidrodinâmico dos navios

em ondas, nomeadamente devem incluir de uma forma mais correcta:

• Os efeitos tri-dimensionais da geometria do casco no escoamento, ou seja, o

escoamento numa secção transversal deve afectar o escoamento nas secções vizinhas.

• Os efeitos da velocidade do navio que influenciam o problema hidrodinâmico, ou seja

interagem com o escoamento oscilatório, nomeadamente: o campo de escoamento

estacionário em redor do navio (com o sistema de ondas estacionário associado) e a

alteração da forma da carena devido à sobreimersão e caimento dinâmicos.

As formulações tri-dimensionais podem ser divididas em dois grupos: as que são baseadas

na função de Green e métodos baseados nas fontes de Rankine. Ambos os métodos podem

21

ser resolvidos de modo a determinar directamente o potencial de velocidade, ou determinar

indirectamente primeiro a densidade das fontes e depois o potencial de velocidade.

2.7.1 Métodos dos Painéis com Funções de Green no Domínio da Frequência

Nos métodos que utilizam a função de Green o potencial de velocidade é descrito por uma

distribuição de fontes sobre uma superfície de controle. Esta é normalmente a superfície

molhada média do casco, ou superfície molhada no equilíbrio estático (no entanto a

superfície pode ser dependente do tempo, como será descrito à frente na revisão dos

métodos não-lineares). As fontes satisfazem automaticamente uma condição fronteira na

superfície livre e a condição de radiação em infinito. A condição fronteira na superfície

livre pode ter a forma utilizada na teorias da faixas por Salvesen, Tuck e Faltinsen (1970)

que é bidimensional, ou uma forma mais completa e tridimensional, mas que no entanto

não inclui de uma forma completa toda a interacção linear entre os escoamentos

estacionário e oscilatório.

Existem várias formas da função de Green que diferem nos detalhes matemáticos. As

funções de Green normalmente envolvem duas fontes de Rankine (1/r) (uma sob a

superfície livre calma e outra imagem reflectida sobre a superfície livre) e uma expressão

complicada que representa as oscilações da superfície livre. Esta expressão contém

integrais que tendem a oscilar fortemente para velocidades de avanço elevadas, daí a

grande dificuldade em calcular com precisão estas funções de Green. De facto as

simplificações na condição fronteira na superfície livre têm a ver com estas dificuldades

numéricas.

O potencial de velocidade é representado por uma equação integral válida na superfície do

casco e na intersecção do casco com a superfície livre, obtida pela aplicação da segunda

identidade de Green. A solução numérica é obtida representando o casco por um número

finito de painéis, e assumindo a densidade das fontes (ou o potencial) constante em cada

painel.

O trabalho pioneiro de Hess e Smith (1964, 1967) provou a aplicabilidade do método dos

painéis. Foram utilizados painéis planos de quatro lados e em cada painel a intensidade das

fontes é constante. A intensidade das fontes é a incógnita a determinar pela aplicação da

condição fronteira no corpo.

22

As funções de Green, que representam singularidades oscilatórias e com velocidade de

avanço, são numericamente complicadas de calcular no domínio da frequência. Uma

alternativa é utilizar funções de Green transientes e resolver o problema no domínio do

tempo.

Sem a velocidade de avanço ou com pequenas velocidades (correntes por exemplo), as

funções de Green são bastante mais simples de calcular, e de facto os programas

informáticos desenvolvidos baseados neste método, já são usados à alguns anos para o

apoio ao estudo e projecto de plataformas offshore (Faltinsen e Michelsen, 1974, Garrison,

1978, Eatock Taylor e Waite, 1978, Newman e Sclavounos, 1988). A aplicação para os

navios tem sido mais lenta e ainda há algum trabalho a fazer para tornar os métodos

atractivos para aplicações práticas.

A complexidade da solução do método tridimensional tem a ver principalmente com a

interacção entre o escoamento estacionário associado à velocidade do navio e o

escoamento oscilatório associado à difracção da onda incidente e aos movimentos

forçados. Esta interacção é incluída nas condições fronteira no corpo e na superfície livre.

Diferentes simplificações nestas condições conduzem a diferentes formulações do

problema.

Chang (1977) foi o primeiro a apresentar resultados numéricos para o problema dos

movimentos de navios com velocidade de avanço, utilizando um método dos painéis no

domínio da frequência. A condição fronteira na superfície livre é simplificada assumindo

que a perturbação no escoamento estacionário devido à presença do navio pode ser

desprezada. O termo de acoplamento entre os potenciais estacionário e oscilatório também

é desprezado. Relativamente a efeitos tri-dimensionais, esta condição fronteira contém

apenas a derivada na direcção longitudinal do potencial oscilatório. Este efeito da

velocidade de avanço é representado por uma linha de singularidades distribuídas ao longo

da intersecção do casco com a superfície livre (na condição estática).

Os termos m j na condição fronteira no corpo são simplificados assumindo que as

derivadas espaciais do potencial que representa a perturbação no escoamento estacionário

podem ser desprezadas. Esta simplificação é semelhante à assumida por Salvesen, Tuck e

Faltinsen (1970) na sua teoria de faixas.

Utilizando o teorema de Green o potencial de velocidade do fluido é representado por uma

distribuição de fontes no casco molhado (médio) e uma linha de fontes na intersecção da

23

superfície livre com o casco. A intensidade das fontes é determinada pela aplicação da

condição fronteira no casco.

Chang apresentou resultados da resistência de onda para um casco Wigley e dos

coeficientes hidrodinâmicos e forças de excitação para um casco da série 60. As massas

acrescentadas para velocidade zero calculadas pelo método 3D comparam melhor com os

dados experimentais do que a teoria de faixas. As diferenças entre os dois métodos não são

significativas para os coeficientes de amortecimento e forças de excitação. Quanto aos

resultados com velocidade de avanço, concluiu-se que comparam bastante melhor com os

dados experimentais quando a condição fronteira na superfície livre inclui o termo da

velocidade de avanço.

Inglis e Price (1981a,1981b) implementaram um método com funções de Green tri-

dimensionais para calcular os coeficientes hidrodinâmicos e forças de excitação num navio

da série 60 com velocidade de avanço. O método é semelhante ao de Chang (1977),

resolvendo o problema em ordem à intensidade das fontes incógnita e a distribuição do

potencial é calculada num segundo passo. No entanto as condições fronteira são mais

gerais, incluindo mais efeitos do escoamento estacionário. A condição fronteira linear na

superfície livre é também simplificada assumindo que a perturbação no potencial

estacionário pode ser desprezada, mas o produto entre as derivada no tempo e no espaço do

escoamento oscilatório é incluída. A condição fronteira no corpo é calculada considerando

a perturbação no potencial estacionário nos termos m j .

Os resultados com o método dos painéis foram comparados com resultados experimentais

e teoria de faixas. Foram utilizadas três versões do método dos painéis: a IP3 segue a

formulação descrita e é o mais completo, na IP2 a perturbação no escoamento estacionário

devido à velocidade do navio é desprezada na condição de fronteira no corpo (termos m j

semelhantes aos de Salvesen, Tuck e Faltinsen, 1970), na IP1 para além da simplificação

anterior, os efeitos tri-dimensionais são desprezados na condição fronteira na superfície

livre.

Os resultados comparam todos bem para os coeficientes hidrodinâmicos em arfagem, mas

pior para os coefic ientes em cabeceio. Para velocidade superior as discrepâncias com os

dados experimentais acentuam-se. Quanto às forças de excitação, os resultados das três

versões do método tridimensional comparam bem com os dados experimentais e melhor

24

que os da teoria de faixas. Com a velocidade de avanço as diferenças entre os métodos

acentuam-se.

Em geral o método IP2 dá os melhores resultados, mas é sugerido que a prazo a

implementação do método IP3 poderá tornar-se mais eficiente e os resultados

ultrapassarem os anteriores. O método IP1 em geral mostra descrepâncias um pouco

superiores aos outros, mas o tempo de computação é muito inferior.

2.7.2 Métodos dos Painéis com Fontes de Rankine no Domínio da Frequência

A alternativa mais conhecida ao uso das funções de Green é a utilização de fontes de

Rankine. Estas funções são mais simples de calcular e permitem a implementação de

condições de fronteira na superfície livre mais gerais e deste modo incluir mais efeitos da

velocidade de avanço que os métodos das funções de Green. O potencial de velocidade é

descrito por uma distribuição de fontes de Rankine sobre o corpo e a superfície livre à

volta do corpo. As singularidades de Rankine não satisfazem automaticamente a condição

fronteira na superfície livre, por esta razão é necessário estender a distribuição de fontes à

superfície livre.

Como a superfície livre é modelada apenas parcialmente (número finito de painéis), isto

introduz uma fronteira artificial no domínio de cálculo. As ondas criadas pelo navio devem

passar esta fronteira sem reflexão. As ondas geradas pelo navio devem também satisfazer a

condição de radiação em infinito. As dificuldades na implementação numérica deste

método no domínio da frequência estão relacionadas com estas duas condições. A solução

obtém-se pela aplicação das condições fronteira e pela discretização do casco e superfície

livre em painéis.

Nakos e Sclavounos (1990a,b) aplicaram o método das fontes de Rankine para calcular os

movimentos de arfagem e cabeceio de navios no domínio da frequência. A formulação usa

um método directo para o cálculo do potencial. Os efeitos do escoamento estacionário são

aproximados por um modelo de escoamento de corpo-duplo. A condição de fronteira no

casco é representada pelos termos m j , no entanto é feita uma simplificação nestes termos

semelhante ao métodos das faixas de Salvesen, Tuck e Faltinsen (1970). A condição

fronteira na superfície livre é linear mas inclui os efeitos tri-dimensionais. Os resultados

dos movimentos de dois cascos foram comparados com dados experimentais e teoria de

faixas e em geral o método das faixas apresenta melhores resultados. O programa

25

informático desenvolvido com base neste método é conhecido por SWAN (Ship Wave

Analysis) e posteriormente a esta fase inicial foram desenvolvidas novas versões

sucessivamente mais evoluídas.

Este método de Rankine foi também utilizado para estudar os movimentos de Catamarans

(Veer, 1997a,b) e navios com efeito de superfície (Moulijn, 1997).

Bertram (1990a,b) e Bertram e Söding (1990) distribuem fontes discretas na superfície

livre e painéis com distribuição de fontes de intensidade constante na superfície do casco.

O escoamento estacionário devido à velocidade do navio, na sua forma não-linear e

completa, é determinado num primeiro passo. As condições fronteira para o escoamento

oscilatório são linearizadas em torno do potencial estacionário e da elevação de onda. A

condição fronteira no casco exige o cálculo de derivadas de segunda ordem do potencial

estacionário. Estas derivadas são estimadas assumindo as hipóteses da teoria de corpo

esbelto, uma vez que a distribuição de fontes de intensidade constante nos painéis permite

apenas o cálculo de derivadas de primeira ordem.

Hughes (1996) generalizou este método ao utilizar painéis de ordem superior para calcular

as segundas derivadas do potencial estacionário no casco. Utilizando o mesmo princípio

Bertram (1997, 1998) apresentou resultados adicionais para cascos reais. Uma das

conclusões de Bertram é a de que o escoamento estacionário influencia de forma

significativa os movimentos verticais de navios. A solução clássica onde as condições

fronteira são linearizadas em torno do escoamento de corpo-duplo e os termos m j são

simplificados pela teoria de corpo esbelto, resulta em diferenças de 20% nos picos de

ressonância de arfagem e cabeceio em relação à solução tridimensional completa.

Este método no domínio da frequência é “completamente tridimensional” uma vez que

tanto a contribuição do escoamento estacionário como do escoamento oscilatório são

representadas de forma 3D. No entanto, presentemente o problema está resolvido apenas

para τ > 025. . Para velocidades baixas existem dificuldades em satisfazer a condição de

radiação e a condição de não-reflexão na fronteira do domínio de cálculo.

Os métodos do painéis, que começaram por ser desenvolvidos no domínio da frequência,

foram generalizados para o domínio do tempo. De novo podem ser agrupados naqueles que

usam funções de Green 3D e os que usam as fontes de Rankine. A investigação e

desenvolvimento nesta área começou à cerca de dez anos e tem sido impulsionada

principalmente por grupos de trabalho associados a Universidades nos Estados Unidos.

26

Basicamente existem três grupos associados ao MIT e um grupo da Universidade de

Michigan, a desenvolver e testar diferentes formulações. Duas delas utilizam funções de

Green transientes (LAMP e TiMIT) e duas utilizam fontes de Rankine (SWAN e

UMDELTA).

2.7.3 Métodos dos Painéis com Funções de Green no Domínio do Tempo

Existem funções de Green tridimensionais próprias no domínio do tempo, que são as

mesmas para os problemas com e sem velocidade de avanço. Com velocidade de avanço as

funções de Green no domínio do tempo são mais simples de calcular do que as

equivalentes no domínio da frequência. Para obter a solução, aplica-se o teorema de Green

ao volume de fluido do que resulta uma equação integral a ser resolvida. As singularidades

são distribuídas pela superfície submersa do corpo e a solução é integrada no tempo e

também na superfície do corpo.

Como foi referido anteriormente, nas formulações com funções de Green é necessário

distribuir singularidades apenas no casco, no entanto as soluções estão limitadas a

problemas com escoamentos de superfície livre lineares. Para considerar condições

fronteira não lineares na superfície é necessário usar singularidades mais simples

distribuídas no corpo e na superfície livre.

Lin e Yue (1990, 1993) desenvolveram um método baseado na função de Green transiente

e tridimensional para estudar os movimentos nos seis graus de liberdade de navios a

navegar em ondas (LAMP). A condição fronteira na superfície livre é linear, mas a

condição fronteira no corpo é satisfeita em cada instante de tempo na superfície molhada

do casco sob a superfície livre média. Esta hipótese pode querer dizer que os movimentos

do navio podem ser de grande amplitude, mas as ondas geradas pelo movimento mantêm-

se lineares.

Neste caso não se utilizam os termos mj (não faz sentido nesta formulação), mas os efeitos

correspondentes do escoamento estacionário são automaticamente incluídos na solução. As

pressões hidrostáticas e de Froude-Krilov são integradas na superfície molhada sob a onda

incidente em cada instante. Este método requer a solução do problema hidrodinâmico em

cada instante de tempo assim como a convolução ao longo da história passada do

movimento, por isso o esforço computacional é enorme. As poucas comparações feitas,

parecem indicar que a utilização da condição fronteira no corpo exacta resulta em

melhoramentos muito pequenos nos resultados.

27

Em Lin et al. (1994, 1996) o método foi generalizado para o cálculo dos movimentos e

esforços de grande amplitude utilizando a hipótese de “pequenas reflexões” proposto por

Pawlowski (1992). Este autor propõe a hipótese de “pequenas reflexões” (weak scattering)

assumindo que um navio a navegar em ondas perturba pouco o campo de onda incidente e

o seu escoamento oscilatório perturba pouco o escoamento estacionário. Deste modo a

condição fronteira na superfície livre pode ser linearizada utilizando os escoamentos

incidente e estacionário como escoamento de base. Os potenciais incidente e estacionário

satisfazem as condições fronteira na superfície livre não-lineares, enquanto a condição

fronteira no corpo para o escoamento de base e o escoamento oscilatório é satisfeita

exactamente na superfície molhada do corpo. Deste modo pode-se resolver o problema das

ondas e movimentos de grande amplitude.

Em Lin et al. (1994, 1996) o método não é tão geral como o proposto por Palowski (1992),

porque a condição fronteira na superfície livre é linearizada em torno da onda incidente e

não em torno da onda incidente mais a estacionária. A condição fronteira no corpo em vez

de ser satisfeita sob a superfície livre média é satisfeita sob o perfil da onda incidente. Os

resultados em dois navios de formas finas mostram que as diferenças entre simulações

lineares e não-lineares para os movimentos verticais são pequenas enquanto que para o

momento flector a meio navio as diferenças são grandes. Esta versão pode ser aplicada

apenas em supercomputadores.

Em Weems et al. (1998) utiliza-se uma nova versão do LAMP para calcular os

movimentos verticais e momento flector vertical para um cruzador da marinha de guerra e

um monocasco rápido. Enquanto para navios convencionais o método com as funções de

Green transientes funciona bem, para navios com os costados inclinados na proa existem

problemas numéricos. Por esta razão foi utilizado um método de cálculo híbrido, que

combina as funções de Green transientes com as fontes de Rankine.

Assim o domínio do fluido é dividido em duas zonas, uma na proximidade do casco e a

outra inclui o restante. As funções de Green são distribuídas sobre a superfície de

sobreposição entre os dois domínios e o escoamento na domínio exterior é resolvido com

esta distribuição. No domínio interior utilizam-se fontes de Rankine distribuídas sobre o

casco, a superfície de sobreposição e a superfície livre entre o casco e a superfície de

sobreposição. A vantagem deste método híbrido é que as fontes de Rankine têm um

comportamento muito robusto na zona de intersecção entre o casco e a superfície livre.

28

Outra formulação baseada em funções de Green transientes foi proposta por Bingham et al.

(1993, 1994). Estes autores resolvem o problema da radiação e difracção calculando a

resposta a impulsos forçados (TiMIT). No caso da radiação determina-se o potencial de

velocidade, ou distribuição de fontes, forçado por um deslocamento impulsivo do casco

com velocidade de avanço. Resolver o problema da difracção significa determinar o

potencial de velocidade, ou distribuição de fontes, forçado por um deslocamento impulsivo

da onda que actua sobre o casco na sua posição média. A condição fronteira no corpo pode

ser linear, ou aplicada na posição instantânea do casco em cada instante de tempo. No

entanto a segunda solução tem solução numérica muitíssimo mais morosa.

A resistência de onda em águas tranquilas, sobreimersão e caimento resultam do caso

limite do problema da radiação quando a frequência e amplitude dos movimentos forçados

tendem para zero. Os problemas de condição fronteira de valor inicial são representados

por equações integrais utilizando o teorema de Green e funções de Green transientes. A

solução numérica obtém-se discretizando a equação integral em painéis. Os potenciais

depois de integrados resultam em funções resposta a impulsos, que no caso do problema da

radiação estão relacionados com os coeficientes de massa acrescentada e amortecimento do

domínio da frequência, e no caso do problema da difracção estão relacionadas as mesmas

forças no domínio da frequência. A vantagem deste método utilizando a condição fronteira

no corpo linear, é que uma vez determinadas as funções de resposta a um impulso, podem

ser feitas simulações no domínio do tempo de forma muito rápida, em diferentes condições

e incluindo alguns efeitos não-lineares.

2.7.4 Métodos dos Painéis com Fontes de Rankine no Domínio do Tempo

O programa SWAN, baseado no método dos painéis com fontes de Rankine, foi aplicado

no domínio do tempo e melhorado sucessivamente por Nakos et al. (1993), Sclavounos et

al. (1993), Sclavounos e Nakos (1993) e Kring (1998). O escoamento estacionário é

representado por uma aproximação de corpo-duplo, o que quer dizer que o problema do

escoamento estacionário não é resolvido de forma completamente não-linear. Kring et al.

(1996) e Huang e Sclavounos (1998) generalizaram o método para o cálculo dos

movimentos do navio em ondas de grande amplitude utilizando a hipótese de “pequenas

reflexões”.

O programa UMDELTA utiliza o método de Euler-Lagrange juntamente com uma

representação das fronteiras por fontes de Rankine não-singulares, para resolver o

29

problema totalmente não-linear (no âmbito do escoamento potencial) do comportamento

do navio em ondas.

O método de Euler-Lagrange foi aplicado inicialmente por Longuet-Higgins e Cokelet

(1976) para estudar ondas bidimensionais e não-lineares próximo da situação de quebrar.

Faltinsen (1977) utilizou um método semelhante para estudar as forças hidrodinâmicas

num cilindro em arfagem e para estudar os movimentos de não-lineares de um fluido

dentro de um tanque rectangular (sloshing).

A solução é desenvolvida no domínio do tempo e em cada instante de tempo o problema é

resolvido em duas fases: na fase de Lagrange, são deslocados na superfície livre nós

individuais integrando no tempo as condições de Fronteira não-lineares na superfície livre.

Deste modo obtém-se a localização da superfície livre e o valor do potencial na superfície

livre. Na fase de Euler, resolve-se o problema de condição fronteira que resulta do valor do

potencial na superfície livre, que é conhecido, e pretende-se determinar a derivada normal

do potencial na superfície molhada do corpo. Como resultado obtêm-se as velocidades na

superfície livre utilizadas para deslocar esta superfície, e as pressões no corpo usadas para

determinar as forças hidrodinâmicas.

A aplicação desta técnica ao problema do navio tem vindo a ser testada desde à alguns

anos pela Universidade de Michigan, no entanto até agora apenas resultados parciais foram

apresentados e os progressos têm sido lentos. Beck et al. (1994) e Scorpio et al. (1996)

utilizam fontes de Rankine não-singulares localizadas sobre a superfície livre e dentro do

casco para resolver o problema completamente não-linear da radiação em arfagem e

cabeceio. A superfície de integração é ligeiramente afastada da superfície de controlo,

resultando em kernels não-singulares e mais fáceis de resolver. Os resultados limitam-se a

formas de cascos matemáticas. Em Subramani et al. (1998) o método é aplicado a um

casco da série 60, mas apenas para resolver o problema do escoamento estacionário em

águas tranquilas.

Basicamente o método exige um enorme esforço computacional devido ao grande número

de incógnitas que têm de ser determinadas em cada instante de tempo e existem problemas

numéricos de difícil solução. Um dos grandes problemas deste método são as ondas que

quebram. Resumidamente, o método simula a onda até a situação em que quebra, mas este

fenómeno faz com que o cálculo termine. Deste modo pequenas ondas que quebrem, tais

como as ondas de proa ou popa, fazem terminar a simulação. O problema torna-se ainda

30

mais complicado para o caso das ondas de grande amplitude que se tornam instáveis e

quebram. Este problema ainda não foi resolvido. O método descrito ainda está em

desenvolvimento e não se prevê que no futuro próximo possa ser utilizado em aplicações

práticas.

2.8 CLASSIFICAÇÃO DOS MÉTODOS NÃO-LINEARES

A solução não-linear completa para o problema do escoamento viscoso oscilatório em

torno do navio, utilizando as equações de Navier-Stokes tri-dimensionais, é impraticável e

não se prevê que no futuro próximo ou de médio prazo seja possível. A solução utilizando

o método de Navier Stokes com médias de Reynolds (Reynolds Averaged Navier-Stokes -

RANS) foi testada por Wilson et al. (1998), no estudo dos efeitos de uma onda regular

incidente sobre um casco Wigley e num modelo do DTMB (David Taylor Model Basin).

São apresentados resultados da elevação da superfície livre em torno do casco.

Nos métodos RANS as equações de Navier-Stokes são deduzidas assumindo que todos os

termos de velocidade podem ser aproximados por um termo médio mais uma componente

altamente oscilatória, de pequena amplitude e com média zero, que representa a

turbulência.

Neste trabalho foram relatados alguns problemas numéricos e principalmente os associados

ao esforço computacional que limitam a aplicabilidade do método. É reconhecido que para

a utilização das equações de Navier-Stokes para resolver problemas realistas de

comportamento de navios em ondas, ainda se tem um muito longo caminho a percorrer.

Desprezando a viscosidade, existem algumas técnicas para resolver problemas de

escoamento potencial não-linear. Estas técnicas são baseadas em formulações no domínio

do tempo, e requerem a solução da equação de Laplace no domínio do fluido, sujeito a

condições fronteira em todas as fronteira que o rodeiam. A condição fronteira cinemática

no corpo deve ser satisfeita na sua superfície molhada instantânea e a condição fronteira na

superfície livre deve ser satisfeita na elevação não-linear e instantânea da onda. As formas

e posições destas fronteiras são desconhecidas à partida, o que dificulta muito a resolução.

Foram feitas algumas tentativas com elementos finitos e diferenças finitas, mas as técnicas

mais utilizadas baseiam-se na discretização da fronteira num número finito de elementos,

sobre os quais as incógnitas são determinadas. As condições fronteira são satisfeitas em

pontos discretos ou sobre os elementos de fronteira. O método mais utilizado para resolver

31

o problema do escoamento oscilatório e não-linear em navios é o chamado método de

Euler-Lagrange.

As simulações totalmente não-lineares são de facto muito complicadas e estão além do

estado actual dos conhecimentos. Uma alternativa poderá ser a utilização de formulações

de segunda ordem no domínio da frequência baseadas em métodos de perturbações.

Métodos deste tipo foram aplicados a estruturas offshore, no entanto aparentemente não

existem estudos completos para o caso de navios, onde os efeitos de velocidade de avanço

sejam consistentemente considerados. Por outro lado estas formulações são válidas para

navios com os costados do navio verticais na linha de água e em termos gerais um método

de pequenas perturbações assume que o sistema em estudo é fracamente não-linear. Esta

não parece ser uma alternativa para o estudo das respostas extremas em navios.

Porque se reconhece que para algumas aplicações particulares é necessário incluir efeitos

não-lineares, alguns investigadores desenvolveram formulações parcialmente não-lineares.

Este tipo de soluções permite seleccionar e incluir na formulação diferentes efeitos não-

lineares.

A solução mais simples para resolver o problema de forma parcialmente não-linear, é

combinar as contribuições hidrostáticas e de Froude-Krilov não-lineares com coeficientes

de massa acrescentada, amortecimento e forças de difracção lineares. Embora não exista

justificação teórica para adoptar esta hipótese, aparentemente as contribuições não-lineares

dominantes para as respostas verticais de navios vêm dos termos hidrostáticos e de Froude-

Krilov. De facto foi escrito por vários autores que os resultados que se obtêm com

formulações deste tipo são razoáveis (Weems et al., 1998). Efeitos de caturrar e água no

convés podem ser facilmente adicionados.

A linearidade das forças de radiação e difracção é mantida, resolvendo o problema de

condição fronteira com a condição fronteira na superfície livre linear válida na superfície

livre média e a condição fronteira no corpo representada na superfície molhada média.

Podem ser utilizados métodos das faixas ou dos painéis para resolver o problema de

condição fronteira.

Questionável é o facto de alguns métodos representarem as forças de radiação utilizando

coeficientes de massa acrescentada e amortecimento associados a uma frequência média.

Esta frequência média pode ser a frequência da primeira harmónica da resposta não-linear,

no caso da excitação ser provocada por ondas regulares, ou pode ser para ondas irregulares,

32

a frequência de pico do espectro do estado do mar. Existem no entanto alguns métodos

onde os efeitos de memória são adequadamente tratados no âmbito de uma formulação

consistente no domínio do tempo.

A não-linearidade seguinte a introduzir e acrescentar às forças hidrostáticas e de Froude-

Krilov não-lineares, resulta de considerar a variação da posição do casco e da sua

superfície molhada na condição fronteira no corpo. A condição fronteira na superfície livre

é mantida linear. Neste caso a condição fronteira no corpo é satisfeita na sua posição

exacta. Este método requer a solução do problema hidrodinâmico em cada instante de

tempo assim como a convolução ao longo da história passada do movimento, por isso o

esforço computacional é enorme.

O próximo nível de complexidade a introduzir tem a ver com a condição fronteira na

superfície livre. A maior parte dos métodos dos painéis que utilizam funções de Green tri-

dimensionais com velocidade de avanço, baseiam-se na condição fronteira na superfície

livre linearizada em torno de 0=z (equação 3.36). Esta equação é deduzida assumindo

que se pode desprezar a perturbação ao potencial uniforme -Ux, provocada pela presença

do casco, o que quer dizer que a interacção entre os escoamentos estacionário e oscilatório

é muito simplificada.

Para considerar estes efeitos é necessário acoplar os escoamentos estacionário e oscilatório,

nomeadamente através da condição fronteira na superfície livre. A solução é expandir a

condição fronteira na superfície livre em torno da elevação de onda estacionária. Deste

modo obtém-se uma condição fronteira que é linear no potencial oscilatório, mas envolve

produtos de termos que contêm o potencial estacionário. Aparentemente não é possível

resolver este problema com funções de Green pois é demasiado complexo. É no entanto

possível utilizando fontes de Rankine.

Um passo mais foi proposto por Pawlowski (1992) a partir da hipótese de que um navio a

navegar em ondas perturba pouco o campo de onda incidente e o seu escoamento

oscilatório perturba pouco o escoamento estacionário. Deste modo a condição fronteira na

superfície livre pode ser linearizada utilizando os escoamentos incidente e estacionário

como escoamento de base. Os potenciais incidente e estacionário satisfazem as condições

fronteira na superfície livre não-lineares, enquanto a condição fronteira no corpo para o

escoamento de base e o escoamento oscilatório é satisfeita exactamente na superfície

molhada do corpo.

33

Como observações finais pode-se dizer que os métodos totalmente não-lineares, baseados

em escoamentos viscosos ou invíscidos, estão ainda em fase de exploração e demorará

bastante tempo até que estejam disponíveis para aplicações realistas (Guedes Soares et al.,

1997). A solução é então utilizar formulações parcialmente não-lineares, ou seja, apenas

alguns aspectos não-lineares são incluídos nas formulações.

Seguindo esta via mais prática, foram implementadas soluções com vários graus de

complexidade e claramente aquelas que utilizam as condições fronteira não-lineares ou

parcialmente não-lineares, se por um lado são teoricamente mais interessantes, por outro

lado exigem enorme esforço computacional. Os poucos resultados numéricos que existem

levam a crer que se ganha pouco ao considerar as condições fronteira não-lineares (no caso

das respostas verticais). O que também transparece para fora dos grupos de trabalho que as

têm desenvolvido ao longo de muitos anos, é que ainda existem grandes problemas

numéricos a resolver.

Finalmente, existe uma classe de formulações mais simples onde os problema

hidrodinâmicos são totalmente lineares e as não-linearidades vêm das forças hidrostáticas e

de Froude-Krilov calculadas exactamente na superfície molhada do casco.

Nesta classe de soluções as diferenças entre os métodos de faixas (consistentes) e os

métodos dos painéis não são do ponto de vista teórico muito grande, pois o nível de

simplificação das condições fronteira no corpo e na superfície livre em ambos os casos é

semelhante. Na prática as comparações dos dois tipos de métodos com resultados

experimentais, não mostram melhoramentos significativos para os métodos dos painéis

relativamente às teorias de faixas. Como exemplo, Schellin et al. (1996) apresentaram

resultados das funções de transferência dos movimentos e esforços de um porta-

contentores. Foram comparados os resultados de três métodos de faixas diferentes e um

método dos painéis com dados experimentais. Os autores referem que não encontraram

uma tendência clara de que o método dos painéis comparam melhor com os dados

experimentais do que os métodos de faixas.

Por outro lado os métodos de faixas têm a vantagem das soluções serem muito mais

robustas e os tempos de computação muito inferiores.

Há mais um factor que é necessário ter presente e que tem a ver com o esforço

computacional. Uma vez que o grande interesse dos métodos não-lineares tem a ver com as

previsões de respostas extremas em estados do mar reais, é de esperar que seja necessário

34

fazer simulações bastante longas em estados do mar irregulares. As formulações onde o

problema hidrodinâmico tem de ser resolvido em cada instante de tempo, nomeadamente

aquelas que utilizam condições fronteira não-lineares ou parcialmente não-lineares, não

podem actualmente ser usadas para fazer simulações longas em estados do mar reais.

O que actualmente parece ser o caminho sensato para desenvolver um procedimento para o

cálculo das respostas extremas em navios, inclui o desenvolvimento de um modelo

hidrodinâmico simplificado, mas que represente correctamente o comportamento do navio

em estados do mar severos considerando os principais efeitos não-lineares. O resultado

pode ser um modelo hidrodinâmico que do ponto de vista teórico é válido numa gama de

condições restrita, mas na prática os resultados são bons numa gama de condições muito

mais larga.

Neste trabalho optou-se por desenvolver uma teoria de faixas, onde as forças de radiação e

difracção são lineares e as hidrostáticas e Froude-Krilov são calculadas na superfície

molhada do casco em cada instante de tempo. As forças de radiação são correctamente

representadas no tempo considerando os efeitos de memória associados.

Finalmente será bom referir que num possível futuro em que os métodos totalmente não-

lineares estejam desenvolvidos, validados e prontos a usar, as várias formulações (lineares,

parcialmente não-lineares e totalmente não-lineares) vão provavelmente coexistir num

cenário em que cada uma terá o seu campo de aplicações.

2.8 OBSERVAÇÕES FINAIS

Este capítulo começa por apresentar o problema hidrodinâmico de comportamento do

navio em ondas e classificar as várias soluções que existem para resolve-lo. Depois faz-se

uma revisão histórica do trabalho de investigação nesta área e dos métodos actualmente em

uso ou desenvolvimento, juntamente com uma análise das vantagens e desvantagens de

cada um.

Os métodos de previsão de comportamento no mar que se utilizam para apoio ao projecto

de navios, resultam na maior parte dos casos de formulações lineares baseadas em métodos

das faixas. Os métodos dos painéis também já começam a ser utilizados para aplicações

práticas, no entanto a sua aplicação está mais generalizada para estudar problemas de

estruturas flutuantes sem velocidade de avanço, nomeadamente no campo da industria

offshore. A principal razão é que a solução numérica tridimensional com velocidade de

35

avanço é muito mais complexa, e a utilização deste tipo de programas de computador é

menos prática. Por outro lado os resultados dos métodos dos painéis não são drasticamente

melhores que os dos métodos das faixas.

O problema do comportamento não-linear do navio em ondas, e nomeadamente o

problema das respostas não-lineares de navios a avançar em ondas de grande amplitude,

está a ser investigado desde há alguns anos e têm sido propostas soluções, algumas com

ênfase mais prático e outras mais consistentes do ponto de vista teórico. As soluções mais

consistentes do ponto de vista teórico baseiam-se em métodos dos painéis no domínio do

tempo, no entanto estes métodos ainda estão em fase de desenvolvimento e validação e

exigem um enorme esforço computacional. Actualmente e provavelmente no futuro

próximo não será possível utilizá-los em aplicações práticas.

A alternativa é utilizar métodos mais simples, com soluções numéricas mais leves, mas que

incluam as contribuições não-lineares dominantes para as respostas que se pretende

calcular. O método que se desenvolve e implementa nesta dissertação pertence ao grupo

destes últimos. Esta formulação começou a ser desenvolvida com o trabalho de Mestrado

do autor, com o estudo dos movimentos não lineares de corpos prismáticos sob a acção de

ondas laterais. A formulação foi apresentada em Fonseca et al. (1995) e a comparação

entre resultados numéricos e experimentais em Fonseca et al. (1997). A generalização da

solução bidimensional para o problema dos movimentos de arfagem e cabeceio aplicando

uma teoria de faixas foi apresentada em Fonseca e Guedes Soares (1994). Em Fonseca et

al. (1997) publicaram-se resultados de um programa experimental em que se estudou um

navio atuneiro a navegar em ondas regulares, juntamente com resultados numéricos

obtidos pela teoria das faixas no domínio do tempo.

Em Fonseca e Guedes Soares (1998a) apresenta-se a formulação completa que inclui a

representação dos esforços dinâmicos no domínio do tempo, e em Fonseca e Guedes

Soares (1998b) o método é generalizado ao estudo das respostas verticais em ondas

irregulares. Estas publicações correspondem essencialmente à solução que está descrita nos

capítulos 4 e 5. A inclusão das forças viscosas que se descreve no capítulo 6 encontra-se

divulgada em Fonseca e Guedes Soares (2000), embora o efeito da água no convés,

também tratado nesse capítulo, ainda não tenha sido publicado.

36

3 TEORIA DE ESCOAMENTO POTENCIAL

3.1 INTRODUÇÃO

Neste capítulo apresenta-se a formulação do escoamento potencial em torno do casco de

um navio com velocidade de avanço e movimentos oscilatórios induzidos por ondas

incidentes. Esta formulação serve de base à solução do problema de condição fronteira. A

solução do escoamento em torno do casco resulta no cálculo do potencial de velocidade do

escoamento, ou seja, assume-se que o fluido é incompressível, invíscido e irrotacional.

Deste modo o campo de velocidades do fluido pode ser expresso por uma função escalar

Φ , que é o potencial de velocidade, e que deve satisfazer a equação da continuidade e as

condições de fronteira próprias do problema. Na primeira parte do capítulo apresenta-se a

formulação exacta (dentro da hipótese de fluido ideal), o que resulta num problema não-

linear sem solução prática. Na segunda parte faz-se a linearização do problema de condição

fronteira utilizando uma expansão do potencial de velocidade.

3.2 HIPÓTESES DE FLUIDO IDEAL

O primeiro passo para resolver o problema de condição fronteira é estabelecer equações

diferenciais que descrevam o escoamento do fluido. O grau de complexidade destas

equações depende da descrição matemática das propriedades do fluido e do escoamento.

No caso mais geral o escoamento é descrito pelas equações de Navier-Stokes, que

representam o escoamento de fluidos com densidade constante e Newtonianos. No entanto

estas equações diferenciais não-lineares são muito complexas de resolver, excepto para

alguns casos simples. É então necessário introduzir algumas simplificações de modo a

tornar a análise do problema mais tratável.

Deste modo assume-se que existe uma função escalar que satisfaz a equação de

continuidade em todo o domínio do fluido (excepto em pontos singulares). Esta função

escalar é o potencial de velocidade que existe se se assumir as seguintes hipóteses: o fluido

é homogéneo, incompressível, invíscido e as tensões superficiais podem ser desprezadas.

Embora a densidade da água do mar varie no tempo e de local para local, estas variações

são muito pequenas e na prática pode-se assumir que a densidade da água é constante. A

água pode também ser considerada incompressível pois o seu módulo de compressibilidade

é muito elevado. Além disso no mar as ondas geradas pelo vento ou pelo navio e os efeitos

37

de gravidade não produzem acelerações extremamente elevadas, como em outras situações

onde é necessário considerar os efeitos da compressibilidade da água. No caso de um

fluido homogéneo e incompressível a equação de conservação de massa reduz-se à

equação de continuidade.

No caso geral o escoamento é representado de forma vectorial pelo vector de velocidade

das partículas. Para que o vector de velocidade possa ser representado pelo gradiente de

uma função escalar (potencial de velocidade) é necessário que o escoamento não tenha

vorticidade, logo o fluido deve ser irrotacional. A representação não vectorial do

escoamento simplifica bastante a análise do problema. A vorticidade no fluido pode ser

alterada apenas pela acção da viscosidade, daí o requisito de o fluido ser invíscido. Esta

hipótese pode ser assumida pois a viscosidade da água é muito pequena e no problema que

se pretende formular grande parte do escoamento mantém-se irrotacional. A equação da

continuidade juntamente com as características de fluido invíscido e irrotacional conduzem

à equação de Laplace.

O potencial de velocidade é determinado resolvendo o problema de condição fronteira

apropriado. Com o potencial de velocidade pode-se determinar o campo de velocidades do

fluido e finalmente as pressões obtêm-se pela aplicação da equação de Bernoulli.

Dentro das hipóteses assumidas aquela que talvez induza algumas restrições, ou limitações,

é a de escoamento invíscido. De facto as forças viscosas podem ser desprezadas, na maior

parte dos casos, para os movimentos de arfagem e cabeceio. Nestes casos os efeitos

inérciais associados ás flutuações da superfície livre são dominantes. Por outro lado para os

movimentos no plano horizontal (avanço, abatimento e guinada) os efeitos viscosos

podem-se tornar importantes.

No caso do balanço, o amortecimento invíscido devido à geração de ondas é pequeno e por

outro lado é normal haver grande amplificação dinâmica na gama de frequências à volta da

ressonância. Por estas razões os efeitos viscosos são importantes no estudo do movimento

de balanço. Actualmente não existem métodos teóricos satisfatórios para estimar o

amortecimento viscoso em balanço.

No caso de cascos rápidos tais como os SWATHs (Small Water-plane Area Twin Hull), o

amortecimento gerado pela radiação de ondas é relativamente pequeno, e os efeitos

viscosos tornam-se importantes também para os movimentos verticais.

38

Neste casos, na prática a solução é decompor as forças hidrodinâmicas em viscosas e

inviscidas, calcular as componentes viscosas recorrendo a procedimentos empíricos e

finalmente combiná-las nas equações do movimento para obter as respostas do navio.

Quando ondas muito curtas, tais como as ondas capilares, deformam a superfície da água,

as tensões superficiais tendem a contrariar as deformações e aplanar a superfície de novo.

No entanto as ondas capilares têm períodos muito pequenos e não têm qualquer interesse

do ponto de vista da engenharia. Para as ondas de períodos maiores que interessa

considerar, a força que tende a aplanar a superfície livre é a gravítica. Então é possível

desprezar o efeito das tensões superficiais no estudo da hidrodinâmica de navios.

3.3 SISTEMAS DE COORDENADAS

É conveniente utilizar três sistemas de coordenadas para estudar o escoamento em torno do

casco e os movimentos do navio a navegar com velocidade de avanço através de um

campo de ondas incidentes. Os sistemas de coordenadas são ortogonais e direitos (right

handed), um deles é fixo no espaço, ( )X x y z0 0 0 0= , , , o segundo avança com a velocidade

média do navio, ( )X x y z= , , e o terceiro está fixo no navio logo tem a velocidade média e

os movimentos oscilatórios do navio, ( )′ = ′ ′ ′X x y z, , . A figura 3.1 representa os três

sistemas de referência.

Ω

x

y0

x

yz

z

y

x

r

n

η

SW

z0

0O0 O

O

U

Figura 3.1 Relação entre os três sistemas de coordenadas

39

O sistema de referência fixo no espaço ( )X 0 tem a origem e os eixos x0 e y0 sobre o plano

da superfície livre calma, o eixo- x0 aponta na direcção da velocidade do navio e o eixo- z0

é vertical positivo para cima. Este sistema de coordenadas será utilizado para representar a

condição fronteira na superfície livre. O sistema de referência que avança com a

velocidade média do navio ( )X é inércial, tem os eixos paralelos ao sistema fixo e a

origem sobre a superfície livre calma e na vertical do centro de gravidade do navio. A

relação entre os dois sistemas de coordenadas é dada pela seguinte transformação linear:

( ) ( )rx x y z x Ut y z= = −, , , ,0 0 0 (3.1)

onde U é a velocidade de avanço do navio e a variável t representa o tempo. Em todo o

texto as variáveis vectoriais serão representadas com uma seta por cima.

O sistema de referência de inércia que avança com o navio será utilizado para representar

os movimentos oscilatórios do navio (depois de assumir que os movimentos angulares são

de pequena amplitude). O navio como corpo rígido oscila com três translações e três

rotações. As translações nas direcções dos eixos x, y e z denominam-se respectivamente

por avanço, abatimento e arfagem e serão representadas por ξ ξ ξ1 2, e 3 . As rotações em

torno dos eixos x, y e z denominam-se respectivamente por balanço, cabeceio e guinada e

serão representadas por ξ ξ ξ4 5, e 6 . A figura 3.2 representa este sistema de coordenadas e

as convenções para os movimentos oscilatórios.

z y

xO

ξ1

2ξ

ξ3

ξ4

ξ5

ξ6

1ξ

ξ2

ξ3

5ξ

6ξ

ξ4

= avanço= deriva

= arfagem

= balanço= cabeceio

= guinada

Figura 3.2 Sistema de coordenadas inércial e convenção para os deslocamentos

40

O vector que representa o deslocamento αr

de um ponto na superfície do corpo WS no

sistema de referência que avança com velocidade constante U, é definido por:

xx ′−=rrr

α (3.2a)

rrrrr

×Ω+= ηα (3.2b)

onde ( )321 ,, ξξξη =r

e ( )654 ,, ξξξ=Ωr

são os vectores dos deslocamentos oscilatórios de

translação e rotação, rr

é o vector de posição de um ponto na superfície WS relativamente

ao sistema de referência fixo no corpo ( )′ = ′ ′ ′X x y z, , e '× ' representa o produto vectorial.

Os sistemas de coordenadas e os vectores são representados na figura 3.1. Numa condição

de equilíbrio estacionário o vector αr

é constante.

3.4 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA HIDRODINÂMICO

Assumindo que o fluido é homogéneo, incompressível e invíscido, então o problema

hidrodinâmico pode ser formulado pela teoria de escoamentos potenciais. Isto quer dizer

que o vector de velocidade das partículas do fluido, ( )t,xV 0rr

, pode se representado pelo

gradiente de um potencial de velocidade ( )tx ,0r

Φ , ou seja Φ∇=Vr

.

O operador gradiente é ∇ =

∂∂

∂∂

∂∂x y z

, , . O potencial de velocidade por sua vez satisfaz a

equação de Laplace no domínio do fluido:

∇ =2 0Φ (3.3)

Conhecido o potencial de velocidade a pressão no fluido, ( )p x tr

0 , , pode ser determinada

pela equação de Bernoulli:

+Φ∇+

∂Φ

−= 0

2

21

gzt

p∂

ρ (3.4)

onde ρ é a densidade do fluido e g a aceleração da gravidade.

Integrando a pressão no casco obtêm-se as forças hidrodinâmicas. A dificuldade está na

determinação da solução da equação de Laplace. A equação de Laplace tem muitas

soluções, logo é necessário definir condições fronteira no domínio do fluido de modo a

obter a solução exacta para o problema em estudo. Neste caso estudam-se os movimentos

41

de um corpo rígido a avançar na superfície livre da água, que se assume ser infinita em

todas as direcções horizontais. As fronteiras que delimitam o domínio do fluido são a

superfície molhada do corpo, a superfície livre, o fundo do mar e uma superfície de

controlo afastada do corpo. É necessário estabelecer condições para estas fronteiras, o que

será discutido nas próximas secções.

3.4.1 Condição Fronteira no Corpo

Quando o fluido está em contacto com a fronteira de um corpo rígido, a condição

cinemática requer que o fluido não penetre a fronteira e que não se criem espaços vazios

entre o fluido e a fronteira. Então no caso de um corpo em movimento, a velocidade do

fluido adjacente e normal à fronteira do corpo deve ser igual à componente de velocidade

da fronteira normal a ela mesma:

WwwS SnVnV em rrrr

⋅=⋅ (3.5)

onde WS é a superfície molhada do corpo, α&r

=SV é a velocidade da superfície molhada do

corpo e o ponto sobre o vector de deslocamentos significa derivada em ordem ao tempo, r

V

é a velocidade do fluido e wnr

é o vector unitário normal a superfície do corpo e

direccionado para o fluido.

A condição fronteira no corpo deve ser satisfeita na superfície molhada exacta do corpo a

oscilar, o que torna o problema matematicamente intratável (de acordo com a solução que

aqui vai ser escolhida). Por esta razão vai ser necessário expandir a condição fronteira no

corpo em torno da superfície molhada média de um modo sistemático, para se considerar a

interacção linear entre os escoamentos estacionário e oscilatório. Isto será discutido na

secção 3.5.3.

3.4.2 Condição Fronteira na Superfície Livre

A superfície livre do fluido é definida pela sua elevação:

( )z x y t0 0 0= ζ , ; (3.6)

As condições fronteira cinemática e dinâmica devem ser satisfeitas na superfície livre. A

condição fronteira cinemática implica que sobre esta superfície a velocidade vertical do

fluido deve ser igual a velocidade vertical da própria fronteira. A condição fronteira

42

dinâmica diz que a pressão na superfície livre é dada pela equação de Bernoulli. As

condições cinemática e dinâmica são representadas respectivamente por:

( )DDt

zζ − =0 0 em z0 = ζ (3.7)

Φ t gz+ ∇Φ + =12

02

0 em z0 = ζ (3.8)

onde a derivada total no sistema de referência fixo em terra é:

DDt t

V= + ⋅ ∇∂∂

r (3.9)

A pressão sobre a superfície livre é considerada zero e o índice t indica diferenciação em

ordem ao tempo. Em todo o texto que se segue, as variáveis em índice indicam

diferenciação em relação a essa variável.

Substituindo a equação (3.8) em (3.7) com z 0 = ζ obtém-se:

∂∂t

V gzt+ ⋅ ∇

+ ∇Φ +

=r

Φ12

020 em z0 = ζ (3.10)

Desenvolvendo a expressão anterior chega-se à condição fronteira na superfície livre

exacta:

( )Φ Φtt z tg+ + ∇Φ ⋅∇Φ + ∇Φ ⋅ ∇ ∇Φ ⋅ ∇Φ =0

212

0 em z0 = ζ (3.11)

Esta condição fronteira é não-linear devido aos termos quadráticos. Por outro lado a

posição da superfície livre não é conhecida à partida. Por estas duas razões é muito difícil

resolver o problema hidrodinâmico satisfazendo a expressão (3.11), portanto vai ser

deduzida na secção 3.5.2 uma condição fronteira na superfície livre linear.

3.4.3 Condição no Fundo

Assume-se que o fundo do mar está a uma distancia do corpo suficientemente grande para

que as perturbações no fluido originadas pelo corpo e pelas ondas incidentes não se sintam.

Teoricamente diz-se que é uma situação de águas profundas e na prática a distancia vertical

ao fundo tende para infinito.

A condição fronteira no fundo em águas profundas indica que o fluido está em repouso

nesta zona. Para um fundo horizontal:

43

∂∂Φz

= 0 em z → ∞ (3.12a)

No caso do fundo do mar se encontrar a uma distância finita da superfície, h, então a

condição cinemática indica a velocidade das partículas de fluido sobre o fundo e normal ao

fundo deve ser igual à componente normal da velocidade do fundo, ou seja zero:

∂∂Φz

= 0 em z h→ − (3.12b)

3.4.4 Condição de Radiação para Infinito

No caso do problema hidrodinâmico ser formulado e resolvido no domínio do tempo, os

movimentos do fluido causados pelo navio tendem para zero quando a distancia à origem

da perturbação tende para infinito (para um intervalo de tempo finito):

∞<∞→→Φ∇ t para ,r ,0 (3.13)

onde r é a distancia horizontal do navio a um ponto no fluido.

Neste caso não é necessário a solução satisfazer uma condição de radiação em infinito.

Quando o problema é resolvido no domínio da frequência, as condições fronteira definidas

em todas as fronteiras físicas, nomeadamente na superfície livre, na superfície molhada do

corpo e no fundo do mar, não são suficientes para assegurar uma solução única em

problemas onde o domínio do fluido ocupa uma região infinita. Uma vez que se assume

que o oceano é infinito em todas as direcções horizontais, há que definir mais uma

condição fronteira no fluido em infinito. Esta condição conhecida como “condição de

radiação para infinito” é descrita numa superfície fictícia no infinito, S∞ , que se estende da

superfície livre ao fundo do mar.

A condição de radiação para infinito pode ser facilmente entendida para alguns casos de

problemas físicos. Observando o movimento do fluido produzido por um corpo a oscilar na

superfície livre, as ondas geradas parecem radiar para infinito em todas as direcções

horizontais e desaparecerem em infinito. Este tipo de condição de radiação foi

originalmente utilizada por Sommerfeld (1949) no estudo da acústica e é frequentemente

designada por condição de Sommerfeld:

limr

rr

ik→∞

−

=∂∂Φ

Φ 0 (3.14)

44

onde k é o número de onda. A condição de Sommerfeld é definida para ondas cilíndricas e

indica que as ondas geradas pelo corpo devem-se comportar em infinito como ondas

progressivas afastando-se da fonte da perturbação.

No caso das ondas de Kelvin geradas pelo navio a avançar em águas tranquilas com

velocidade constante na direcção positiva do eixo-x, as perturbações na superfície livre

propagam-se apenas na direcção de jusante do escoamento. Então a condição de radiação

em infinito para a onda de Kelvin é:

limx→+∞

=Φ 0 (3.15)

Como a onda de Kelvin não tem uma forma cilíndrica, a expressão (3.15) não pode ser

descrita pela condição de Sommerfeld.

No caso mais complexo do navio ter simultaneamente velocidade de avanço e movimentos

oscilatórios induzidos por um campo de ondas incidentes, a condição de radiação em

infinito é muito mais difícil de definir. Nesta situação a propagação das ondas geradas pelo

navio depende de dois parâmetros, a velocidade do navio e a frequência de oscilação. O

sistema de ondas estacionário interage com os sistemas de ondas oscilatórios devidos aos

movimentos do navio e difracção da onda incidente. Como consequência, se a velocidade

do navio for inferior à velocidade de grupo das ondas radiadas e difractadas, estas ondas

propagam-se em todas as direcções. Se a velocidade do navio for superior à velocidade de

grupo, então as ondas geradas propagam-se apenas na direcção de jusante do escoamento.

3.5 LINEARIZAÇÃO DO PROBLEMA HIDRODINÂMICO

Na secção anterior apresentou-se o problema de condição fronteira que deve ser resolvido,

com o objectivo de determinar o potencial de velocidade do escoamento em torno do navio

a avançar em mar ondoso. O problema “exacto” (exacto no âmbito das limitações de fluído

incompressível e invíscido) envolve a determinação do potencial de velocidade que

satisfaz a equação de Laplace no domínio do fluído, a condição de fronteira não-linear na

superfície livre e a condição fronteira na superfície oscilatória do corpo.

A formulação “exacta” conduz à condição fronteira não linear válida na superfície livre do

fluido e à condição fronteira cinemática na superfície oscilatória do corpo. Estas condições

fronteira tornam o problema muito complexo, devido não só à não-linearidade da

superfície livre, mas também ao facto de haver interacção entre a superfície livre e a

superfície do corpo cujas formas e posições não são conhecidas à partida. Para resolver o

45

problema é necessário linearizar as condições fronteira, o que quer dizer que os efeitos de

ordem superior são desprezados. Nas próximas secções as condições fronteira são

linearizadas utilizando um método de pequenas perturbações.

3.5.1 Método de Pequenas Perturbações

Se os efeitos não-lineares no problema hidrodinâmico tiverem uma importância

relativamente pequena, então os termos não-lineares podem ser tratados como perturbações

ao comportamento essencialmente linear. Estas perturbações são geralmente identificadas

por um parâmetro pequeno ε. Se o sistema for “aproximadamente” linear, então a solução

pode ser representada por uma expansão em série de potências no parâmetro ε. Os métodos

para obter soluções dependentes do tempo são conhecidos por “métodos das pequenas

perturbações”.

No caso do problema hidrodinâmico, o potencial de velocidade do fluido e todas as outras

quantidades derivadas, tais como a velocidade do fluido, elevação da superfície livre,

pressões e forças hidrodinâmicas e os movimentos do navio, podem ser representadas por

séries de potências de um parâmetro ε adimensional. Por exemplo o potencial de

velocidade será:

( ) ( ) ( ) ( ) ...;, 22100 +Φ+Φ+Φ=Φ εεεtx

r (3.16)

onde o índice representa a ordem dos vários termos.

Os termos de ordem zero representam os valores na condição estacionária associados com

t=0. As séries são introduzidas nas equações que governam o problema, incluindo as

condições fronteira, e os termos são agrupados de acordo com a ordem da sua potência em

ε. Os coeficientes de cada potência resultam numa sequência de equações e condições

fronteira, onde os coeficientes de ε estão associados à solução de primeira ordem, os

coeficientes de ε2 estão associados à solução de segunda ordem, etc. Deste modo, o método

das pequenas perturbações resolve o problema sistematicamente passo a passo até à ordem

da solução desejada.

As diferenças entre o problema simplificado deste modo e o problema na sua forma não-

linear completa, tendem a desaparecer se a ordem da solução for suficientemente elevada.

No entanto quanto mais alta a ordem do problema, mais complexa é a solução e mais

exigente em termos de esforço computacional.

46

O escoamento em torno do casco pode ser decomposto em duas partes, sendo uma o

escoamento estacionário devido ao avanço do navio em águas tranquilas. A outra parte é o

escoamento oscilatório associado às ondas incidentes, e às ondas difractadas e radiadas

devido à presença e movimentos do casco no campo de escoamento estacionário. O

potencial de velocidade pode então ser representado do seguinte modo:

( ) ( ) ( ) ( )txxtzyUtxtx ,~

,,,,0rrr

Φ+Φ=+Φ=Φ (3.17)

onde Φ e Φ~ representam respectivamente os potenciais de velocidade estacionário e

variável. Evidentemente estes potenciais satisfazem a equação de Laplace.

Voltando às expansões em séries de potências das quantidades hidrodinâmicas, estas são

convergentes se o parâmetro de perturbação ε existe e é inferior a um. O parâmetro

adimensional ε utilizado para descrever o potencial de velocidade estacionária Φ , assume

que as deformações da superfície livre devido à velocidade do casco são pequenas. Deste

modo é necessário impor restrições nas características geométricas do casco e na

velocidade de avanço.

Se o navio que avança através da superfície livre for esbelto, então as perturbações geradas

no fluido pela sua passagem são pequenas. Neste caso o parâmetro ε pode ser definido

pela razão entre a boca e o comprimento do navio ( )LB /=ε . Por outro lado se o navio

não for esbelto, mas avançar com uma velocidade baixa, as perturbações induzidas no

fluido são também pequenas. Neste caso pode-se assumir a “hipótese de baixa velocidade”,

segundo a qual a razão entre as velocidades induzidas pela perturbação e a velocidade de

avanço é pequena. Em geral os navios rápidos são esbeltos e os navios bojudos são lentos,

sendo razoável assumir que o parâmetro ε é suficientemente pequeno para que a expansão

do potencial estacionário seja válida.

No caso do potencial oscilatório, para que os efeitos não-lineares possam ser considerados

relativamente pequenos impõe-se que o declive das ondas incidentes seja bastante inferior

a um, logo as ondas são de pequena amplitude. Consequentemente as ondas difractadas, as

ondas radiadas e os movimentos induzidos no navio são também considerados de pequena

amplitude. O parâmetro ε está relacionado com o declive das ondas incidentes.

Fica então demonstrado que dadas certas restrições geométricas, de velocidade de avanço e

de amplitude de oscilação das fronteiras, o método das pequenas perturbações pode ser

aplicado para representar o potencial de velocidade do escoamento em torno do navio a

47

avançar em mar ondoso. Todas as outras quantidades hidrodinâmicas de interesse têm

também representação por expansões do mesmo tipo, pois derivam directamente do

potencial de velocidade.

3.5.2 Condição Fronteira na Superfície Livre Linear

Foi mencionado atrás que a solução numérica da condição fronteira na superfície livre não-

linear dada pela equação (3.11) é muito difícil de obter e caso se conseguisse o esforço

computacional seria impraticável. Pode-se no entanto aplicar o método das pequenas

perturbações para linearizar a condição fronteira até à primeira ordem e usar uma expansão

em série de Taylor para expandir a condição fronteira em torno da superfície livre média

que é conhecida à partida.

Uma vez que o escoamento é a combinação entre as partes estacionária e oscilatória, será

necessário linearizar ambos os escoamentos. Começando pelo escoamento estacionário, o

potencial de velocidade devido ao avanço do casco através da superfície livre pode ser

representado por:

( ) ( )xUxx S

rrΦ+−=Φ (3.18)

onde o primeiro termo é o potencial devido a velocidade do fluido a passar pelo sistema de

referência e U é a velocidade de avanço do navio. O segundo termo, SΦ , representa a

perturbação estacionária devido à presença do casco.

O campo de velocidades do escoamento estacionário relativamente ao sistema de

referência que avança com o navio, ( )X x y z= , , , é:

( ) ( ) ( )SUxxxV Φ+−∇=Φ∇=rrr

0 (3.19)

As condições cinemática e dinâmica na elevação da superfície livre estacionária ζ são:

( ) 0=− zDtD ζ em ζ=z (3.20)

021 2

=+Φ∇+Φ

∂∂

−∂∂

gzx

Ut

SS em ζ=z (3.21)

Rearranjando a equação (3.21) e avaliando-a para ζ=z com UxS +Φ=Φ resulta:

48

( )22

21

Ug

−Φ∇−=ζ em ζ=z (3.22)

A expressão anterior dá a elevação da superfície livre estacionária. Introduzindo esta

expressão na condição cinemática (3.20) onde a derivada local em ordem ao tempo é zero,

vem:

( ) ( ) 021 22

=

+−Φ∇∇⋅Φ∇ gzU (3.24)

( ) 021 =Φ+Φ∇⋅Φ∇∇⋅Φ∇ zg em ζ=z (3.25)

Esta é a condição fronteira não linear na superfície livre, para o problema do escoamento

estacionário em torno de um casco com velocidade de avanço em águas tranquilas.

Substituindo a expressão (3.18), que dá a decomposição do potencial estacionário, na

equação (3.25) e conservando apenas os termos de primeira ordem de SΦ em ε , obtém-se

a condição fronteira linear na superfície livre para o problema do escoamento estacionário:

( ) 02 =Φ+Φ SxxS gU em z = 0 (3.26)

Note-se que esta equação é imposta na superfície livre média (z = 0) e não na elevação da

onda, porque a diferença entre o valor do potencial e suas derivadas em z = 0 ou ζ=z é

da mesma ordem de grandeza dos termos de ordem superior já desprezados.

Para o caso do problema do escoamento oscilatório, originado pelo casco a avançar com

movimento oscilatório induzido pelas ondas, a condição fronteira na superfície livre é

obtida introduzindo a decomposição do potencial (3.17) na condição fronteira geral (3.10):

( ) ( ) ( ) 0~~21~~ =

+Φ∇+Φ∇⋅Φ∇+Φ∇+Φ

∇⋅Φ∇+Φ∇+∂∂

gzt

t em ζ=z (3.27)

Desenvolvendo a expressão anterior e desprezando os termos quadráticos do potencial

oscilatório Φ~ , ou seja os termos de ( )2εO em Φ~ , obtém-se a condição fronteira na

superfície livre para o escoamento oscilatório:

( )

( ) ( ) 0~~~

21

21~2

=Φ+Φ∇⋅Φ∇∇⋅Φ∇+Φ∇⋅Φ∇∇⋅Φ∇

+Φ+Φ∇⋅Φ∇∇⋅Φ∇+Φ∇⋅Φ∇+Φ

z

zttt

g

g em ζ=z (3.28)

49

A elevação da superfície livre associada ao escoamento oscilatório é obtida sobrepondo o

potencial oscilatório Φ~ ao potencial da perturbação estacionário SΦ na condição fronteira

dinâmica na superfície livre (3.21):

( ) ( ) ( ) 0~~21~ =+Φ∇+Φ∇⋅Φ∇+Φ∇+Φ+Φ

−

∂∂

gzdxd

Ut

SSS em ζ=z (3.29)

Substituindo na equação anterior UxS +Φ=Φ e mais uma vez desprezando os termos de

( )2εO em Φ~ , chega-se à elevação da superfície livre do escoamento oscilatório:

( )

Φ∇⋅Φ∇+−Φ∇+Φ−= ~

21~1 22

Ug tζ em ζ=z (3.30)

A expressão acima é válida para ζ=z . Para representar a elevação da superfície livre em

ζ=z a equação (3.30) pode ser expandida em série de Taylor em torno de ζ=z . Os dois

primeiros termos da expansão são:

( )

( ) ( )

Φ∇⋅Φ∇+−Φ∇+Φ

∂∂

−−

Φ∇⋅Φ∇+−Φ∇+Φ−=

~21~1

~21~1

22

22

Uzg

Ug

t

t

ζζ

ζ em ζ=z (3.31)

e utilizando a expressão para a elevação da superfície livre estacionária (3.22) vem:

[ ]

( ) ( )[ ]zzzt

t

g

g

Φ∇⋅Φ∇+Φ∇⋅Φ∇+Φ−−

Φ∇⋅Φ∇+Φ−=

~~1

~~1

ζζ

ζζ em ζ=z (3.32)

Substituindo as expansões em séries de pequenas perturbações de Φ~ e ,ζζ na expressão

anterior e desprezando os termos de ordem superior a elevação da superfície livre vem:

( ) ( )( )zt ggΦ∇⋅Φ∇−−Φ∇⋅Φ∇+Φ−= ζζζζ 1

~~1 em ζ=z (3.33)

A última expressão representa a elevação da superfície livre linearizada para o problema

do escoamento criado pelo navio a avançar e a oscilar devido a ondas incidentes. A

elevação da superfície livre é linearizada em torno da elevação da onda estacionária.

50

O mesmo procedimento pode ser utilizado para expandir a condição fronteira na superfície

livre (3.28) em torno de ζ=z . Deste modo a equação (3.28) pode ser expandida em série

de Taylor e de novo Φ~ e ,ζζ expandidos em séries de pequenas perturbações do que

resulta:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) 021~~

21

~~2~21

=

Φ+Φ∇⋅Φ∇∇⋅Φ∇

∂∂

−+Φ+Φ∇⋅Φ∇∇⋅Φ∇+

Φ∇⋅Φ∇∇⋅Φ∇+Φ∇⋅Φ∇+Φ+Φ+Φ∇⋅Φ∇∇⋅Φ∇

zz

tttz

gz

g

g

ζζem ζ=z

(3.34)

Utilizando a equação (3.25) e ( )ζζ − que pode ser dado pela equação (3.33), resulta na

condição fronteira na superfície livre linearizada em torno da elevação da onda

estacionária:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0/21~~

~~21~~

2~

2=Φ∇⋅Φ∇+

Φ+Φ∇∇⋅Φ∇

∂∂

Φ∇⋅Φ∇+Φ

−Φ+Φ∇⋅Φ∇∇⋅Φ∇+Φ∇⋅Φ∇∇⋅Φ∇+Φ∇⋅Φ∇+Φ

zzzt

zttt

ggz

g em ζ=z (3.35)

Se o problema do escoamento estacionário em torno de navio a navegar em águas

tranquilas for resolvido num primeiro passo, a condição fronteira (3.35), para o problema

do escoamento oscilatório, aplicada em ζ=z resulta numa condição fronteira na

superfície livre linear. Apesar de simplificada, apenas recentemente se apresentaram

resultados numéricos com esta solução implementada (Bertram, 1998), e para a situação

em que as ondas geradas pelo casco se propagam apenas na direcção de jusante do

escoamento. De facto ainda existem grandes dificuldades numéricas na implementação

desta condição fronteira e não se prevê que nos próximos anos se atinja um grau de

maturidade que permita a sua aplicação a problemas práticos.

Para simplificar ainda mais a condição fronteira (3.35), assume-se que o termo de

perturbação no potencial estacionário, devido ao avanço do navio em águas tranquilas é

suficientemente pequeno e pode ser desprezado ( )0≅Φ S . Mais uma vez, isto significa que

o casco deve ser esbelto, ou seja B/L deve ser pequeno. De acordo com esta hipótese, todas

as parcelas associadas ao termo de perturbação do potencial estacionário são de ordem

superior e podem ser desprezados no âmbito de uma condição fronteira na superfície livre

51

de primeira ordem para o escoamento oscilatório. O campo de velocidades do escoamento

é então:

( )0,0,0 UV −=Φ∇=r

(3.36)

A equação (3.34) reduz-se a:

0~~~

2~ 2 =Φ+Φ+Φ−Φ zxxxttt gUU em z = 0 (3.37a)

0~~2

=Φ+Φ

∂∂

−∂∂

zgx

Ut

em z = 0 (3.37b)

Esta condição fronteira linearizada é imposta na superfície livre média z=0, pois é

assumido que não existe perturbação ao potencial constante -Ux, ou seja não existe

elevação da superfície livre estacionária.

O modo de lidar com a condição fronteira (3.37b) distingue as várias soluções para o

problema hidrodinâmico do comportamento do navio no mar, nomeadamente: teoria

ordinária de faixas, teoria de faixas, teoria ordinária do corpo esbelto, teoria unificada do

corpo esbelto, teoria de segunda ordem do corpo esbelto, teoria 2 1/2D e métodos dos

painéis.

3.5.3 Condição Fronteira Linear no Corpo

A condição fronteira não-linear no corpo foi apresentada pela equação (3.5). Esta condição

fronteira é aplicada na superfície molhada oscilatória WS , que não é conhecida à partida. O

objectivo da linearização é obter uma expressão para a condição fronteira, que possa ser

satisfeita na superfície molhada média do corpo 0S , conhecida à partida.

No passado alguns autores aplicaram a expressão para a condição fronteira dada pela

equação (3.5) directamente à superfície molhada média do corpo e de facto ainda hoje se

utilizam algumas teorias das faixas que resultam da aplicação desta simplificação. No

entanto, Timman e Newman (1962) demonstraram que uma teoria de primeira ordem

consistente deve incluir algumas interferências entre os escoamentos estacionário e

oscilatório, interferências estas que não podem ser representadas por esta simplificação.

A condição fronteira no corpo (3.5) pode ser representada em termos do vector de

velocidade α& resultando:

52

0=⋅+⋅− ww nVnrrr&α em WS (3.38)

Para linearizar a condição fronteira começa-se por expandir o vector de velocidade do

fluido Vr

em série de Taylor em torno da posição média do casco 0S :

( ) ( ) ( )2

00, εα OVVtxV

SS+∇⋅+=′

rrrrr (3.39)

O vector unitário e normal à superfície do corpo na sua posição exacta wnr

, pode também

ser representado em termos do vector unitário e normal à superfície média do corpo nr

. A

relação entre os dois vectores é estabelecida pela matriz de transformação que inclui os

ângulos de Euler:

[ ]nDnwrr

= (3.40)

Assumindo que os deslocamentos angulares são pequenos, a matriz de transformação que

inclui produtos de funções trigonométricas nos deslocamentos angulares definidos em

zyxo ′′′−′ , pode ser simplificada para dar uma relação linear, nos deslocamentos

angulares definidos em zyxo − , entre wnr

e nr

. De novo são desprezados os termos de

( )2εO . A matriz de transformação simplificada é:

[ ]

−−

−=

1

11

45

46

56

ξξξξ

ξξD (3.41)

Combinando (3.40) e (3.41) e assumindo a hipótese de pequenos deslocamentos, o vector

unitário normal a superfície do corpo na sua posição exacta pode ser aproximado a:

( )αrrrr∇⋅+= nnnw (3.42)

onde nr

é a normal unitária na superfície média do casco (conhecida).

A condição fronteira cinemática no corpo linearizada e aplicada em S0, obtém-se

substituindo o vector de velocidade do fluido expandido (3.39) e a normal unitária (3.42)

na equação (3.38):

( ) ( )[ ] nVVnVrrrrr&rr

⋅∇⋅−∇⋅+=⋅ ααα em 0S (3.43a)

ou em termos da derivada espacial do potencial de velocidade:

( ) ( )[ ] nVVnrrrrr& ⋅∇⋅−∇⋅+=Φ ααα em 0S (3.43b)

53

Relembrando que o potencial de velocidade foi decomposto em componentes estacionária

e oscilatória (ver equação 3.17), o vector de velocidade pode ser representado por:

10 VVVrrr

+= (3.44)

onde 0Vr

representa o campo de velocidades estacionário e 1Vr

o campo de velocidades

oscilatório.

Substituindo a expressão anterior em (3.43) resulta nas condições de fronteira a ser

satisfeitas pelos escoamentos estacionário e não-estacionário. Para o escoamento

estacionário, uma vez que existe apenas velocidade tangencial na vizinhança do corpo tem-

se:

00 =⋅ nVrr

em 0S (3.45)

Lembrando ainda que o potencial estacionário é dado por SUx Φ+−=Φ e Φ∇=0Vr

,

então a condição fronteira cinemática a ser satisfeita pela parte de perturbação do potencial

estacionário é:

1Unn

S =∂Φ∂

em 0S (3.46)

onde n1 é a componente da normal unitária na direcção do eixo-x.

Para o escoamento oscilatório a condição cinemática vem:

( ) ( )[ ] nVVn

rrrrr& ⋅∇⋅−∇⋅+=∂Φ∂

00

~ααα em 0S (3.47)

A condição fronteira (3.47) foi deduzida por Timman e Newman (1962) para contabilizar

de uma forma consistente a interacção entre os escoamentos estacionário e oscilatório

numa teoria linear de primeira ordem. Em algumas teorias dos movimentos dos navios é

utilizada uma forma mais simples desta condição fronteira, o que resulta em coeficientes

de acoplamento entre a arfagem e cabeceio que não satisfazem o requisito de simetria.

3.5.4 Descomposição do Potencial de Velocidade

No processo de linearização decompôs-se o potencial de velocidade Φ em potencial

estacionário Φ e potencial oscilatório Φ~ . A parte estacionária foi ainda separada em

escoamento uniforme Ux− e escoamento estacionário perturbado SΦ . Para a linear ização

54

das condições fronteira foi assumido que o escoamento oscilatório tal como os movimentos

induzidos são de pequena amplitude. Por esta razão o potencial oscilatório Φ~ pode ser

decomposto linearmente em componentes independentes associadas às: ondas incidentes,

ondas difractadas devido à presença do casco no campo de ondas incidente e ondas

radiadas devido aos movimentos oscilatórios do casco. Deste modo o potencial de

velocidade oscilatório vem:

RDI Φ+Φ+Φ=Φ~ (3.48)

onde IΦ é o potencial da onda incidente, DΦ é o potencial de difracção e RΦ é o

potencial de radiação. O potencial de radiação pode ainda ser decomposto em

contribuições de cada um dos seis movimentos oscilatórios:

∑=

Φ=Φ6

1j

Rj

R (3.49)

Substituindo (3.48) em (3.47) obtém-se a condição fronteira no corpo em termos das

componentes do potencial oscilatório:

( ) ( ) ( )[ ] nnn

RDI rrr& ⋅Φ∇∇⋅−∇⋅Φ∇+=

Φ+Φ+Φ

∂∂

ααα∂

∂ em S0 (3.50)

Uma vez que a condição fronteira é aplicada numa superfície não oscilatória S0 , que pode

ser considerada a superfície molhada no equilíbrio estático (ou pode incluir os efeitos

estacionários de sobreimersão e caimento associados ao escoamento estacionário), então a

condição fronteira (3.50) pode ser separada em duas condições associadas a dois

problemas independentes:

( ) ( )[ ] nn

R rrr& ⋅Φ∇∇⋅−∇⋅Φ∇+=Φ

ααα∂

∂ em S0 (3.51)

nn

ID

∂∂

∂∂ Φ

−=Φ em S0 (3.52)

A primeira condição está relacionada com o problema da radiação, onde o navio com

velocidade de avanço é forçado a oscilar na ausência de ondas incidentes. A segunda

condição está relacionada com o problema da difracção, onde o navio avança mas

restringido na sua posição média, portanto sem movimentos oscilatórios.

55

A condição fronteira (3.51) é normalmente apresentada de uma forma mais compacta

definindo os vectores n~ e m~ de um modo similar ao usado por Ogilvie e Tuck (1969):

( )( )

×=

==

nrnnn

nnnnn rr

r

654

321

,,

,,~ (3.53)

( ) ( )

( ) ( )( )

Φ∇×∇⋅−=

Φ∇∇⋅−=

=

Urn

mmm

Un

mmmm rr

r

654

321

,,

,,~ (3.54)

onde rr

é o vector de posição relativamente à origem do sistema de coordenadas.

A quantidade m~ esta relacionada com a taxa de variação, na vizinhança do casco, de um

escoamento estacionário que passa pelo casco e tem velocidade unitária em infinito. Esta

quantidade depende apenas da forma do casco.

Utilizando as expressões para os vectores n~ e m~ , a condição fronteira para o problema da

radiação dada por (3.51) pode ser representada por:

( )∑ ∑= =

+=Φ

=Φ 6

1

6

1j jjjjj

Rj

R

Umnnn

ξξ∂

∂

∂∂ & em S0 (3.55)

Os termos mr

contêm os efeitos de convecção do campo de velocidade estacionário devido

à velocidade de avanço. Se o casco for assumido esbelto então a perturbação estacionária à

volta do navio é pequena e 0≅Φ S , pelo que o campo de velocidades estacionário vem

dado por ( )0,0,0 UV −=Φ∇=r

. Neste caso os termos m~ tornam-se mais simples e as

correcções devido à velocidade estacionária na condição fronteira são devido apenas ao

ângulo de ataque com o escoamento em infinito em cabeceio e guinada. Os termos m~

reduzem-se a:

( ) ( )( ) ( )

−=

==

23654

321

,,0,,

0,0,0,,~nnmmm

mmmm (3.56)

3.5.5 Problema de Condição Fronteira Linear

De uma forma resumida, pode-se dizer que para linearizar as condições fronteira na

superfície livre e na superfície do corpo foi necessário restringir alguns parâmetros básicos

56

que governam a solução do problema hidrodinâmico dos movimentos do navio em ondas,

nomeadamente:

• O casco deve ser esbelto, ou seja B/L deve ser ( )εO .

• A amplitude das ondas incidentes deve ser pequena.

• Os movimentos oscilatórios do navio devem ser de pequena amplitude.

Com estas simplificações o problema “exacto” formulado na secção 3.4 consiste agora em

determinar o potencial de velocidade do escoamento que obedece às seguintes condições:

Equação de Laplace....................... 0=Φ+Φ+Φ zzyyxx (3.3)

Cond. front. linear na sup. Livre ..... 02 2 =Φ+Φ+Φ−Φ zxxxttt gUU em z = 0 (3.37a)

C. F. linear no corpo (radiação)....... jjjj

Rj

Umnn

ξξ∂

∂+=

Φ & , 6,...,1=j em 0S (3.55)

C. F. linear no corpo (difracção) .....nn

ID

∂∂

∂∂ Φ

−=Φ

em 0S (3.52)

Cond. de repouso no fundo............. ∞→→Φ∇ -z para 0 (3.12a)

Condição de radiação para infinito apropriada.

Estas condições devem formar a base para uma teoria linear e consistente para o estudo da

hidrodinâmica do comportamento de navios em ondas. No entanto os efeitos

tridimensionais associados à interacção entre os escoamentos estacionário e oscilatório

fazem com que mesmo o problema linear seja de solução muito complexa.

3.5.6 Pressão e Forças Hidrodinâmicas

A dinâmica do navio é governada por equações do movimento que representam o

equilíbrio dinâmico entre as forças hidrodinâmicas exteriores que actuam no casco e as

forças de inércia e gravíticas. Uma vez resolvido o problema de condição fronteira linear

formulado na subsecção anterior, ou seja, uma vez determinado o potencial de velocidade,

a pressão no casco pode ser calculada pela equação de Bernoulli. Finalmente a integração

de pressões resulta nas forças hidrodinâmicas.

A equação de Bernoulli no sistema de referência que avança com a velocidade média do

navio é:

57

++Φ∇+

∂Φ

−=− 20

2

21

21

Ugzt

pp a

∂ρ (3.57)

onde p é a pressão no fluido, ap é a pressão atmosférica e ρ é a massa específica do

fluido. Substituindo a decomposição do potencial (3.17) na equação de Bernoulli, resulta

em dois grupos de termos. Um dos grupos de termos é constante no tempo e representa a

pressão constante associada ao escoamento estacionário (equação 3.58). O outro grupo de

termos é oscilatório no tempo e representa a pressão associada ao escoamento oscilatório

(equação 3.59).

( )22

21

Upp a +Φ∇−=

−ρ

(3.58)

+Φ∇⋅Φ∇+

Φ−=

−zg

tpp a ~

~

∂∂

ρ (3.59)

Os termos de ( )2εO em Φ~ são desprezados nas equações anteriores. O termo zg tem a ver

com a pressão hidrostática e resulta numa força oscilatória pois será integrado na superfície

molhada oscilatória. A força que actua no casco resulta da integração de pressões:

∫∫

+Φ∇−=

0

~~21 22

S

dsnUF (3.60)

( )∫∫ ∫∫−

Φ∇⋅Φ∇+

Φ−=

0

~~~~ 1

S S

dsnzgdsnt

F ρ∂

∂ (3.61)

F e F~ são respectivamente as forças hidrodinâmicas estacionária e oscilatória. De aqui

para a frente interessa estudar apenas as forças dependentes do tempo. De acordo com o

problema de condição fronteira linear formulado, os potenciais de velocidade oscilatórios

são avaliados na superfície molhada média 0S .

O primeiro integral na equação (3.61) pode ainda ser simplificado aplicando uma variação

do teorema de Stokes derivada por Ogilvie e Tuck (1969):

Se ( )zyx ,,~Φ for uma função escalar diferenciavel, então a seguinte relação é válida:

( ) ( )[ ] ( )[ ]∫∫∫ Φ∇⋅Φ−=Φ∇⋅Φ∇+Φ∇∇⋅Φ−00

~~~~~1

Cz

S

dnedsnn lr (3.61)

58

onde zer

é o vector unitário na direcção do eixo-z no sistema de coordenadas 0 - x y z. C0

é a intersecção da superfície S0 com a linha de água média e o integral é seguido na

direcção contrária dos ponteiros do relógio observando o navio de cima (ver figura 3.3).

Para os movimentos de arfagem e cabeceio o integral de linha no teorema desaparece se o

navio tem os costados verticais na zona da linha de água ( 053 == nn ). Para os outros

movimentos o valor do integral de linha é desprezável se o navio for esbelto ( 0≅⋅ nexrr

).

z y

xOdl

S0n

C0

Figura 3.3 Variação ao teorema de Stokes

O objectivo de utilizar este teorema é converter o integral de superfície que inclui

derivadas espaciais do potencial oscilatório Φ~ , num integral de superfície que inclui

apenas valores de Φ~ . Deste modo evita-se o cálculo de derivadas de Φ~ em ordem às

coordenadas espaciais. Introduzindo a expressão (3.62), sem o integral de linha que foi

assumido igual a zero, na expressão (3.61) que dá a força hidrodinâmica resulta:

( )dsnzgdsmUnt

FSS∫∫∫∫ −

Φ−

Φ−= ~~~~

~~

0

ρ∂∂

ρ (3.63)

onde os vectores m~ e ~n foram definidos por (3.53) e (3.54).

Aplicando a decomposição do potencial oscilatório dado por (3.48) e (3.49) resulta em três

grupos de forças hidrodinâmicas que têm a ver com o problema da excitação de onda, o

problema da radiação e o problema hidrostático. As equações para estas forças são

respectivamente:

59

( ) ( )∫∫

Φ+Φ−

Φ+Φ−=

0

~~S

DIDI

E dsmUnt

F∂

∂ρ (3.64)

∫∫

Φ−

Φ−=

0

~~S

RR

R dsmUnt

F∂

∂ρ (3.65)

( )∫∫−=S

H dsnzgF ~ρ (3.66)

3.6 OBSERVAÇÕES FINAIS

Neste capítulo foi apresentada a formulação teórica para os problemas dos escoamentos

estacionário e oscilatório em torno de um navio a avançar em ondas. O problema

hidrodinâmico “exacto” no âmbito do escoamento potencial, é intratável devido não só às

não-linearidades das condições fronteira no corpo e superfície livre, mas também porque a

posição instantânea destas superfícies não é conhecida à partida. Assim as condições

fronteiras foram linearizadas utilizando-se sistematicamente expansões e retendo apenas os

termos de ordem 0 e 1. As linearizações assumem que o navio é esbelto e as ondas

incidentes e movimentos oscilatórios do navio são de pequena amplitude.

Foi derivada uma condição fronteira linear para a superfície livre associada à perturbação

estacionária do escoamento, no entanto também este problema ainda não tem uma solução

prática, pelo que foi necessário assumir que o potencial da perturbação estacionário é de

ordem superior e pode ser desprezado na condição fronteira linear do escoamento

oscilatório.

A condição fronteira cinemática no corpo linearizada contem os termos m~ associados ao

escoamento estacionário em torno do casco. Estes termos são simplificados assumindo de

novo que o potencial de perturbação pode ser desprezado, ficando apenas o termo da

velocidade do escoamento em infinito.

Foram também deduzidas expressões simplificadas para as forças hidrodinâmicas

utilizando uma variação do teorema de Stokes. Aqui foi assumido que o navio é esbelto e

tem os costados verticais em torno da linha de água.

60

4 SOLUÇÃO NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA

4.1 INTRODUÇÃO

Neste capítulo os problemas lineares de radiação e difracção formulados no capítulo 3, são

resolvidos utilizando uma teoria de faixas. O problema de condição fronteira geral

apresentado atrás, será restrito a escoamentos oscilatórios e harmónicos. Para o problema

da radiação isto quer dizer que os movimentos forçados e as outras respostas, tais como

pressões e forças hidrodinâmicas, são harmónicos no tempo. Para o problema da difracção,

tanto as ondas incidentes como as respostas hidrodinâmicas são lineares e harmónicas no

tempo.

As forças de radiação e difracção vão ser representadas em termos de coeficientes de

massa acrescentada, de amortecimento e de força de excitação. Todos estes coeficientes

são calculadas utilizando o método das faixas de Salvesen et al. (1970). A formulação não

vai ser apresentada aqui em detalhe, pois está muito bem explicada na publicação referida.

Faz-se no entanto a ponte entre a formulação apresentada no capítulo anterior e os

resultados desta teoria de faixas. São indicados também os passos principais na dedução do

método, pois assim permite perceber adequadamente as vantagens e principalmente as

limitações desta teoria de faixas.

Basicamente em métodos de faixas o navio é dividido num número finito de faixas

bidimensionais ao longo do seu comprimento. O casco do navio é representado de uma

forma aproximada. Os coeficientes hidrodinâmicos associados a cada faixa são calculados

resolvendo o problema de condição fronteira bidimensional para secções com a forma das

secções transversais do navio que definem as faixas. Assume-se que o escoamento numa

secção transversal não afecta o escoamento nas secções vizinhas. Os efeitos

tridimensionais no escoamento resultam apenas do ângulo de ataque com o escoamento

estacionário em infinito em cabeceio e guinada.

4.2 FORÇAS DE RADIAÇÃO

4.2.1 Simplificação do Problema de Condição Fronteira

As forças de radiação que resultam do movimento oscilatório forçado de um navio esbelto

a avançar com velocidade média constante, são dadas pela equação (3.65) e dependem do

potencial de velocidade de radiação. O problema de condição fronteira linear que é

61

necessário resolver para determinar o potencial de velocidade foi apresentado na secção

(3.5.5).

O potencial de velocidade foi decomposto em componentes independentes (equações 3.48

e 3.49). A componente de radiação é:

Rj

j

aj

R φξ∑=

=Φ6

1

(4.1)

onde ajξ é a amplitude real do movimento oscilatório no modo j e R

jφ é o potencial de

radiação para um movimento oscilatório de amplitude unitária no modo j.

Posto isto o problema de condição fronteira linear para a radiação é:

Equação de Laplace....................... 0=++ Rzz

Ryy

Rxx φφφ (4.2)

Cond. front. linear na sup. Livre ..... 02

=+

∂∂

−∂∂ R

zR g

xU

tφφ em z = 0 (4.3)

C. F. linear no corpo (radiação)....... jj

Rj

Umnin

+= ω∂

∂φ, 6,...,1=j em 0S (4.4)

Cond. de repouso no fundo............. ∞→→∇ -z para 0Rφ (4.5)

Condição de radiação para infinito .. 02

=−∂

∂ RR

gi

rφ

ωφ quando ∞→r (4.6)

onde 22 yxr += é a distância ao corpo, ω é a frequência de oscilação, e as

componentes do vector m~ são dadas por (3.56).

Dada a condição de fronteira (4.4), convém separar o potencial de radiação numa

componente independente da velocidade de avanço 0jφ e a outra dependente da velocidade

de avanço Ujφ :

Ujj

Rj

iU φω

φφ += 0 (4.7)

Esta nova representação do potencial de velocidade resulta em duas condições cinemáticas

na superfície do casco:

62

j

Uj

jj

min

nin

ω∂

∂φ

ω∂

∂φ

=

=0

em 0S (4.8)

Utilizando o vector m~ definido por (3.56) conclui-se que:

026

035

4321 para 0

φφ

φφ

φ

−=

=

=

U

U

Uj ,,,j=

(4.9)

O aspecto importante destas últimas expressões é que deste modo é possível representar os

potenciais de radiação em função de termos independentes da velocidade de avanço, ou

seja:

02

066

03

055

0 4321 para ,

φω

φφ

φω

φ

φφ

iUiU

f

,,,j=

R

R

jRj

−=

+=

=

(4.10)

Note-se que até este momento a geometria do navio foi assumida esbelta, mas ainda não

foram introduzidas simplificações próprias da teoria de faixas. De facto as simplificações

introduzidas até aqui são comuns a quase todos os métodos dos painéis para os quais são

conhecidos resultados numéricos. No âmbito deste trabalho e para evitar os problemas

numéricos e computacionais associados aos métodos dos painéis, vão ter que ser assumidas

mais simplificações no escoamento em torno do casco. Um método numérico robusto e

fiável para o cálculo dos coeficientes hidrodinâmicos do navio, vai ser essencial para a

aplicação da teoria no domínio do tempo a ser descrita no próximo capítulo.

Vão ser utilizadas duas hipóteses da teoria de faixas. Na primeira assume-se que a boca do

casco é bastante inferior ao comprimento, logo o vector unitário normal à superfície tem

uma componente na direcção longitudinal x ( 1n ) que é muito inferior às componentes nas

direcções y e z ( 32 e nn ). Se 1n for aproximadamente zero, então as componentes do vector

unitário vêm:

63

26

35

432432

1

,,,,

0

xNnxNn

NNNnnn

n

=−=

==

(4.11)

onde 432 ,, NNN são as componentes do vector unitário bidimensional e normal à secção

transversal do navio na abcissa x. Este vector está contido em planos y-z.

Deste modo a condição fronteira cinemática no corpo que os potenciais de radiação

independentes da velocidade têm que satisfazer é:

432 0

,,, jNiN

jj ==

∂ω

∂

φ em 0c (4.12)

Esta é uma condição fronteira bidimensional a ser satisfeita no contorno de cada secção

transversal 0c ao longo do comprimento do navio.

Utilizando a dependência harmónica do potencial de velocidade, a condição fronteira na

superfície livre (4.3) para os potenciais de radiação independentes da velocidade, pode ser

escrita da seguinte forma:

0 em 0002

z=z

gx

Ui jj =+

− φ

∂∂

φ∂∂

ω (4.13)

Para remover os efeitos tridimensionais desta condição fronteira, assume-se que a

frequência de encontro é elevada de tal modo que:

00 jjx

U φ∂∂

ωφ ⟩⟩ (4.14)

e assim a derivada na direcção-x pode ser desprezada. A condição fronteira bidimensional

na superfície livre vem:

0 em 0002 z=z

g jj =+− φ∂∂

φω (4.15)

A última hipótese requer que o comprimento de onda seja relativamente pequeno

comparativamente ao comprimento do navio, o que parece uma restrição muito severa. No

entanto, pelo menos para os movimentos verticais do navio, na gama de frequências baixas

as forças de impulsão são dominantes e uma previsão menos correcta das forças de

radiação não é relevante.

64

Resumindo as condições que os potências de radiação independentes da velocidade devem

satisfazer são as seguintes:

Equação de Laplace....................... 0=+ Rzz

Ryy ϕϕ (4.16)

Cond. front. linear na sup. Livre ..... 02 =+− Rj

Rj

zg ϕ

∂∂

ϕω em z = 0 (4.15)

C. F. linear no corpo (radiação)....... 432 ,,, jNiN

j

Rj == ω

∂

∂ϕ em 0C (4.12)

Cond. de repouso no fundo............. ∞→→∇ -z para 0Rϕ (4.5)

Condição de radiação para infinito .. 02

=−∂

∂ RR

gi

rϕ

ωϕ quando ∞→r (4.6)

Este é o problema de condição fronteira bidimensional para um cilindro de secção

arbitrária a oscilar na superfície livre de um fluido. O símbolo 0φ , que representa em

termos gerais um potencial com características tridimensionais e independente da

velocidade, foi substituído por Rϕ que representa o potencial de radiação bidimensional

associado a movimentos oscilatórios de amplitude unitária.

4.2.2 Cálculo das Forças de Radiação

Forças bidimensionais - Cilindro

As forças de radiação que actuam num navio esbelto a avançar com velocidade média

constante e a oscilar na superfície livre são dadas pela expressão (3.65), ou representando

separadamente as várias componentes da força de radiação dadas pelas contribuições dos

seis modos do movimento oscilatório harmónico vem:

( ) 61 , 0

6

1,...,k=dsUmniF

Skk

j

Rjj

Rk ∫∫ ∑ −−=

=

ωφξρ (4.17)

onde o índice k representa a direcção da força e Rjφ é o potencial de radiação para o

movimento oscilatório de amplitude unitária no modo j.

Para o caso do problema bidimensional das oscilações forçadas de um cilindro, a expressão

(4.17) pode ser simplificada retirando o termo dependente da velocidade e introduzindo a

65

normal bidimensional. Deste modo a força de radiação na direcção k induzida por um

movimento oscilatório na direcção j de amplitude unitária é:

432 , 0

2 ,,k,j=dsNifc

kRj

Rkj

D ∫−= ϕωρ (4.18)

onde a integração é feita ao longo do contorno da secção transversal 0c .

A força dada pela expressão (4.18) pode ser dividida em parte real e imaginária:

432 , ImRe00

2 ,,k,j=dsNidsNifc

kRj

ck

Rj

Rkj

D

−

−= ∫∫ ϕωρϕωρ (4.19)

ou de uma forma mais compacta:

432 22 ,,j=, k,bia?f kjkjR

kjD ω−= (4.20)

onde as constantes kjkj ba e , designadas respectivamente por massa acrescentada e

coeficiente de amortecimento, são dadas por:

432 , Re0

,,k,j=dsNiac

kRjkj

−= ∫ϕωρ (4.21a)

432 , Im0

,,k,j=dsNibc

kRjkj

= ∫ϕρ (4.21b)

A expressão (4.20) dá a força de radiação para movimentos oscilatórios unitários. Para

movimentos de amplitude arbitrária vem:

( ) 432 22 ,,j=, k,bia?F kjkjAj

Rkj

D ωξ −= (4.22)

onde Ajξ é a amplitude complexa do movimento no modo j.

Finalmente a descrição no tempo da força de radiação bidimensional é dada por:

( ) ( )tbtaeF jkjjkjtiR

kjD ξξω &&& −−=2Re (4.23)

onde o movimento oscilatório é:

( ) tiAjj et ωξξ Re= (4.24)

Deste modo tem-se a força de radiação dada por duas componentes. A primeira está em

fase com aceleração do movimento e é equivalente a uma inércia para os movimentos de

66

translação e a um momento de inércia para os movimentos de rotação. A interpretação

física deste termo tem a ver com a massa de fluido que é acelerada juntamente com o

corpo. O coeficiente de massa acrescentada representa uma massa de fluido “equivalente”

que tem a aceleração do corpo.

O segundo termo está em fase com a velocidade e representa uma força de amortecimento,

proporcional ao coeficiente de amortecimento. Este termo de amortecimento está

relacionado com a geração e radiação de ondas pelo facto do corpo estar a oscilar junto à

superfície livre.

Forças tridimensionais - Navio

Volta-se agora à expressão (4.17) que representa as forças de radiação que actuam num

navio esbelto, a avançar com velocidade média constante e com oscilações harmónicas na

superfície livre. A força de radiação na direcção k devido a um movimento oscilatório de

amplitude unitária na direcção j é:

61, , U 00 S

Rj ,...,j=kdsmdsnif k

Sk

Rj

Rkj ∫∫∫∫ +−= φρφωρ (4.25)

Esta expressão é semelhante à deduzida por Salvesen et al. (1970), excepto no aspecto em

que os termos relacionados com os extremos do navio (termos dos extremos) não estão

aqui incluídos. Os termos dos extremos resultam da aplicação do teorema de Stokes para

navios com painel de popa. Neste trabalho foi decidido não incluir estes termos, porque:

• A sua interpretação física não é clara.

• A sua necessidade é questionável (Newman, 1978).

• Este termo é relevante apenas em navios com painéis de popa grandes por baixo da

linha de água. Neste caso os efeitos viscosos, que são desprezados nesta formulação,

são importantes.

• Finalmente, a experiência do autor mostra que em navios onde os termos de extremos

tomam valores relevantes, os valores assimptóticos dos movimentos verticais para

frequências baixas são errados. Na restante gama de frequências, os termos de extremos

“parecem piorar” os resultados. Em relação a este último aspecto, não foi feito um

estudo sistemático que permita tirar conclusões definitivas.

Relembrando que o potencial de radiação foi representado em termos de potenciais

independentes da velocidade de avanço (equação 4.10), então as forças de radiação podem

67

também ser expressas em termos de componentes independentes da velocidade de avanço.

Estas componentes independentes da velocidade de avanço são:

61, , 0

00 ,...,j=kdsnifS

kjkj ∫∫−= φωρ (4.26)

Combinando (4.25) com (4.26), (4.10) e (3.56) consegue-se obter expressões para as forças

de radiação do navio a avançar com movimento oscilatório, em termos de componentes

independentes da velocidade. Para os movimentos de arfagem e cabeceio vem:

03333 ff R = (4.27)

033

03535 f

iU

ff R

ω+= (4.28)

033

05353 f

iU

ff R

ω−= (4.29)

0332

20

5555 fU

ff R

ω+= (4.30)

Note-se que até aqui não foram introduzidas quaisquer simplificações da teoria de faixas

na formulação das forças hidrodinâmicas. Apenas o casco foi assumido esbelto, mas esta

hipótese é admitida também por outras formulações mais gerais. Em outras teorias das

faixas, a hipótese de escoamento bidimensional é assumida logo no início do

desenvolvimento da formulação.

Nesta altura é necessário assumir que boca é bastante inferior ao comprimento do navio de

tal modo que dxdds ς≅ , onde ds é um elemento de superfície do casco, dx é ao longo do

comprimento do navio e ςd é ao longo do contorno da secção transversal 0c . Deste modo

os termos de radiação independentes da velocidade vêm:

432 , 0

00 ,,k,j=dxdnifL C

kjkj ∫ ∫−= ςφωρ (4.31)

Introduzindo as normais bidimensionais definidas pela equação (4.11) e utilizando a

condição fronteira no corpo (4.8), resulta em qualquer secção transversal a seguinte relação

entre o potencial associado ao cabeceio e potencial do cilindro em arfagem: Rx 305 ϕφ −= .

Combinando todos estes resultados, as forças de radiação independentes da velocidade

para os movimentos verticais do navio, vêm finalmente em função da força de radiação

68

associada ao movimento de arfagem de cilindros com a forma das secções transversais do

navio (equação 4.18):

∫=L

R dxff D233

033 (4.32)

∫−==L

R dxxfff D233

053

035 (4.33)

∫=L

R dxfxf D233

2055 (4.34)

ou em termos dos coeficientes de massa acrescentada 33a e amortecimento 33b

bidimensionais:

033

033

23333

2033 BiAdxbidxaf

L L

ωωωω −=−= ∫ ∫ (4.35)

053

053

2035

035

23333

2053

035 BiABiAdxxbidxxaff

L L

ωωωωωω −=−=

−−== ∫ ∫ (4.36)

055

055

233

233

22055 BiAdxbxidxaxf

L L

ωωωω −=−= ∫ ∫ (4.37)

onde 0kjA e 0

kjB são as partes independentes da velocidade de avanço dos coeficientes de

massa acrescentada e amortecimento do navio.

Introduzindo as expressões anteriores em (4.27) a (4.30) e separando os termos em fase

com a aceleração dos termos em fase com a velocidade, resulta nas forças de radiação no

navio para movimentos oscilatórios unitários, em função dos coeficientes hidrodinâmicos

do navio:

kjkjR

kj BiAf ωω −= 2 (4.38)

onde os coeficientes hidrodinâmicos são:

∫= dxaA 3333

∫= dxbB 3333

03323335 B

UdxxaA ∫ −−=

ω

69

0333335 AUdxxbB ∫ +−=

03323353 B

UdxxaA ∫ +−=

ω (4.39a-h)

0333353 AUdxxbB ∫ −−=

0332

2

332

55 AU

dxaxA ∫ +=ω

0332

2

332

55 BU

dxbxB ∫ +=ω

As integrações são executadas ao longo do comprimento do navio.

Os coeficientes de massa acrescentada e amortecimento bidimensionais, 3333 e ba , são

calculados por um método de transformação conforme utilizando multi-parâmetros. O

potencial de velocidade do movimento oscilatório vertical de cilindros é representado por

uma soma de fontes, cada uma satisfazendo a condição fronteira na superfície livre e sendo

multiplicada por um coeficiente de modo a satisfazer a condição fronteira na superfície do

corpo. Utiliza-se um método de transformação conforme de secções arbitrárias no circulo,

para calcular os coeficientes hidrodinâmicos de cilindros com secção não circular (Tasai,

1959). A transformação conforme é feita utilizando um número de parâmetros arbitrário,

pelo que se consegue uma muito boa representação matemática de qualquer forma das

secções transversais do navio (Ramos e Guedes Soares, 1997).

4.3 FORÇAS DE EXCITAÇÃO

Para obter as forças de excitação é necessário resolver o problema hidrodinâmico do navio

a avançar com velocidade constante através de um campo de ondas incidentes, estando o

navio restringido na sua posição média, portanto sem movimentos oscilatórios. De acordo

com o problema linearizado, a força de excitação é dada pela equação (3.64). Esta

expressão mostra que a força de excitação tem duas partes. Uma está associada ao

potencial de onda incidente e é geralmente denominada de força de “Froude-Krilov”, como

homenagem aos investigadores que deram os primeiros passos no cálculo dos movimentos

do navio em ondas. Esta é uma força do tipo impulsão. A outra parte das forças de

excitação tem a ver com a perturbação do potencial da onda incidente devido à presença do

navio e é chamada de força de difracção. As forças de excitação são harmónicas no tempo.

70

Utilizando as características harmónicas dos potenciais, separando as duas partes da força

de excitação e decompondo ainda em componentes nas várias direcções do sistema de

coordenadas vem:

( ) 1,...,6 , 0

k=dsUmniFS

Ikk

IK ∫∫ Φ−−= ωρ (4.40)

( ) 1,...,6 , 0

k=dsUmniFS

Dkk

Dk ∫∫ Φ−−= ωρ (4.41)

onde se relembra que DI ΦΦ e representam respectivamente os potências da onda

incidente e de difracção.

4.3.1 Força de Froude-Krilov

De acordo com a teoria das ondas lineares, o potencial de onda incidente para uma onda a

propagar-se com uma direcção arbitrária relativamente ao sistema de coordenadas é:

( ) ( )( )( )( )tizkyxikaI eeeig

tzyx ωββ

ωζ

00 sincos

0

,,, +=Φ (4.42)

onde aζ é a amplitude de onda, gk /2

00 ω= é o número de onda, 0ω é a frequência de

onda e β é ângulo entre o vector de velocidade do navio e o vector de velocidade de

propagação das ondas. A convenção para o ângulo β é de zero graus para ondas de proa

(ver figura 4.1).

x

y

Oβ

U

Figura 4.1 Convenção para o ângulo de rumo relativamente às ondas

71

A relação entre as frequências de onda e de encontro ω é dada por:

βωω cos00 Uk−= (4.43)

O potencial de velocidade pode alternativamente ser representado por:

( ) ( ) tixikIa

I eezytzyx ωβϕζ cos0,,,, =Φ (4.44)

( ) β

ωϕ sin

0

00, yikzkI eeig

zy = (4.45)

onde ( )zyI ,ϕ é a amplitude complexa do potencial de onda incidente devido a uma onda

unitária, que actua em secções transversais do casco.

Com as últimas expressões para o potencial incidente, utilizando (4.43), assumindo a

simplificação geométrica da teoria de faixas ( ςdxdds ≅ ) e utilizando as normais

bidimensionais (expressões 4.11), chega-se às equações finais para as forças de Froude-

Krilov em cada uma das direcções do sistema de coordenadas:

01 =IF (4.46)

( )∫=L

Ik

xika

Ik k=dxfeF 2,3,4 , cos0 βζ (4.47)

( )∫−=L

Ixika

I dxxfeF 3cos

50 βζ (4.48)

( )∫=L

Ixika

I dxxfeF 2cos

60 βζ (4.49)

onde Ikf representa a força de Froude-Krilov bidimensional devido a ondas de amplitude

unitária:

( ) ∫−=0

2,3,4 , ,0C

kII

k k=dNzyif ςϕρω (4.50)

Estas forças são simples de calcular pois o potencial de onda incidente é conhecido à

partida. As primeiras tentativas para o cálculo dos movimentos verticais do em ondas

(Froude, 1861 e Krilov, 1896), consideraram apenas esta componente das forças de

excitação, assumindo portanto que o navio não perturba a onda incidente. Na prática esta

hipótese é válida apenas se o comprimento das ondas for muito superior ao comprimento

72

do navio. Na gama de comprimentos de onda onde os movimentos têm geralmente

amplificação dinâmica, é necessário considerar os efeitos da perturbação do potencial

incidente, ou seja os efeitos de difracção. É também interessante notar que a amplitude das

forças de Froude-Krilov é independente da velocidade do navio.

4.3.2 Forças de Difracção

Há duas hipóteses para o cálculo das forças de difracção. Para a primeira é necessário

resolver o problema de condição fronteira formulado na secção 3.5.5 em ordem ao

potencial de difracção. O problema é semelhante ao problema da radiação, para o qual já

foi apresentada a solução, com a diferença de que a condição fronteira no corpo é agora

dada por (3.52).

Existe ainda uma dificuldade acrescida que é o facto de formalmente a equação de

Laplace, a que devem satisfazer DI ΦΦ e , não ter solução única quando as ondas

são de proa.

A alternativa ao cálculo directo do potencial de difracção é utilizar as chamadas relações

de Haskind-Newman. Newman (1962, 1965) estudou as relações de Haskind para os casos

do navio sem velocidade e com velocidade de avanço. Estas relações permitem representar

as forças de difracção em termos dos potenciais de radiação, o que é conseguido através do

teorema de Green. O teorema de Green diz o seguinte:

Se φϕ e são duas soluções da equação de Laplace num certo volume de fluido

cercado por uma superfície fechada TS , estes potenciais estão relacionados do

seguinte modo:

0=

−∫∫

TS nn ∂∂φ

ϕ∂∂ϕ

φ (4.51)

onde nr

é o vector normal à superfície e que aponta para o fluido.

Combinando as expressões (4.8) com a equação (4.41), que dá a força de difracção na

direcção-k, resulta:

1,...,6 , 0

0

k=dsiU

nF DU

kkS

Dk Φ

Φ−Φ−= ∫∫ ω∂

∂ (4.52)

73

onde se relembra que Ukk ΦΦ e 0 são respectivamente as partes do potencial de radiação

independente e dependente da velocidade de avanço.

Para utilizar o teorema de Green substitui-se na expressão (4.46):

D

Ukk

iU

Φ=

Φ−Φ=

ϕω

φ 0

(4.53)

Todos estes potenciais ( )IUkk ΦΦΦ e ,0 satisfazem a equação de Laplace, a condição

fronteira linear na superfície livre, a condição de radiação em infinito e a condição de

repouso no fundo. Aplicando o teorema de Green à superfície ∞++= SSSS FT 0 (ver

figura 4.2), para o que se substitui (4.53) em (4.51), resulta na força de difracção

representada em termos dos potenciais de radiação e da onda incidente:

1,...,6 , 0

0 k=dsni

UF

I

S

Ukk

Dk ∂

∂ω

ρΦ

Φ−Φ= ∫∫ (4.54)

O

z

x

SFS0

S

S

S

Φ = 02

S F

Figura 4.2 Aplicação do teorema de Green

No passo final para obter expressões para as forças em termos de quantidades

bidimensionais, é necessário seguir um procedimento semelhante ao utilizado na

formulação das forças de radiação. Resumidamente: utilizam-se as relações (4.9) para

representar os potenciais de radiação dependentes de U em termos de potenciais

independentes de U. De seguida usa-se a simplificação geométrica ςdxdds ≅ para

74

simplificar os integrais de superfície e representam-se as componentes do vector normal

em termos da normal bidimensional (expressões 4.11). Deste modo as forças de difracção

vêm finalmente dadas por:

01 =DF (4.55)

( )∫=L

Dk

xika

Dk k=dxfeF 2,3,4 , cos0 βζ (4.56)

dxfiU

xfeFL

DDxika

D ∫

+−= 33

cos5

0

ωζ β (4.57)

dxfiU

xfeFL

DDxika

D ∫

+= 22

cos6

0

ωζ β (4.58)

onde Dkf são as forças de difracção seccionais para ondas incidentes de amplitude unitária:

( ) 2,3,4 , sin0

00 sin230 k=dseeNiNf

C

Rk

zkyikDk ∫ −= ϕβρω β (4.59)

onde se relembra que Rkϕ é o potencial de radiação bidimensional associado a movimentos

oscilatórios de amplitude unitária e 32 , NN são as componentes da normal bidimensional

às secções transversais do casco. O cálculo do potencial de radiação bidimensional, Rkϕ , é

feito pelo método de transformação conforme descrito na secção 4.2.

A principal vantagem na utilização das relações de Haskind-Newman para calcular as

forças de difracção tem a ver com a redução do esforço computacional. A grande parte do

esforço computacional nos cálculos de comportamento do navio no mar, está associado à

solução do problema de condição fronteira, para cada frequência e modo de oscilação que

é necessário considerar. Utilizando as relações de Haskind-Newman reduz-se basicamente

o esforço de computação para metade.

4.4 FORÇAS DE RESTITUIÇÃO

As forças de restituição resultam da combinação das forças hidrostáticas com o peso do

navio. As forças hidrostáticas resultam da integração do termo hidrostático da equação de

Bernoulli na superfície molhada do casco. Por seu lado a pressão hidrostática depende

apenas da posição vertical do ponto “molhado” do casco relativamente ao sistema de

coordenadas. As forças hidrostáticas foram deduzidas na secção 3.5.6 e são dadas pela

75

expressão (3.66). Decompondo a expressão (3.66) em forças segundo cada uma das

direcções do sistema de coordenadas vem:

( )∫∫−=S

kH

k k=dszngF 1,...,6 , ρ (4.60)

Assumindo de novo pequenos deslocamentos angulares de modo a ser possível desprezar

os termos de ordem superior, obtém-se a seguinte expressão para a coordenada-z de

qualquer ponto na superfície molhada do casco:

543 ξξξ xyzz ′−′++′= (4.61)

onde ( )zyx ′′′ ,, são as coordenadas do mesmo ponto representado no sistema de referência

fixo no navio.

Introduzindo esta expressão na equação (4.60) e assumindo algumas simplificações chega-

se às forças hidrostáticas linearmente proporcionais aos deslocamentos. As simplificações

são: a pressão hidrostática é calculada até a linha de água média, os movimentos angulares

são pequenos e os costados do navio são verticais em torno da linha de água. Com estas

hipóteses o integral em (4.60) pode ser desenvolvido e finalmente as únicas forças

diferentes de zero para navios com plano longitudinal de simetria são:

5303 ξρξρρ

+−∇= ∫∫wlA

wlH xdsggAgF (4.62)

( ) 42

004 00ξρρ

+−∇−∇= ∫∫wlA

GBBH dsyzzgygF (4.63)

( ) 52

0305 00ξρξρρ

+−∇−

+∇−= ∫∫∫∫wlwl A

GBA

BH dsxzzgxdsgxgF (4.64)

onde 0∇ é o volume do casco imerso na condição de equilíbrio estático, wlA é a área de

flutuação no equilíbrio estático, e ( )000

,, BBB zyx são as coordenadas do centro deste

volume. Combinando com estas equações a força e momentos devido ao peso do navio

obtêm-se as forças de restituição:

0621 === BBB FFF (4.65)

5353333 ξξ CCF B −−= (4.66)

76

4444 ξCF B −= (4.67)

5553535 ξξ CCF B −−= (4.68)

onde kjC são os coeficientes de restituição dados por:

wlgAC ρ=33

∫∫−==wlA

xdsgCC ρ5335 (4.69a-d)

TGMgVC 044 ρ=

LGMgVC 055 ρ=

e TGM , LGM representam respectivamente as alturas metacentricas transversal e

longitudinal.

4.5 EQUAÇÕES DO MOVIMENTO

As equações do movimento resultam do equilíbrio dinâmico entre as forças exteriores

(neste caso são forças hidrodinâmicas) e as forças de inércia associadas à massa do navio.

As forças hidrodinâmicas foram representadas em termos de teoria de faixas nas secções

anteriores. As forças de inércia serão descritas agora resumidamente.

A segunda lei de Newton diz que uma força (ou momento) está associada a uma alteração

da velocidade de um corpo. Esta é a força de inércia que tem a ver com a inércia da massa.

Matematicamente, se Bρ for a massa específica do corpo, que depende da posição no

espaço, a força de inércia associada à massa é dada pela taxa de variação do momento

linear:

( )∫∫∫ ×Ω′+=BV

BM dVr

tF &&ηρ

∂∂ (4.70)

O momento de inércia é dado pela taxa de variação do momento angular:

( )∫∫∫ ×Ω′+×=BV

BM dVrr

tM &&ηρ

∂∂ (4.71)

onde a velocidade de um elemento de massa do navio no sistema de referência que avança

com a velocidade média ( )zyxX ,,= é rvr&&r ×Ω′+=η . Recorda-se que η& é a velocidade

77

de translação oscilatória representada em ( )zyxX ,,= , Ω& é a velocidade angular

representada em ( )zyxX ′′′=′ ,, e rr

é o vector de posição no sistema de referência

( )zyxX ′′′=′ ,, . As integrações são no volume do corpo BV .

A massa específica é invariável no tempo. Assumindo pequenos deslocamentos angulares,

chega-se à seguinte representação para a força de inércia na direcção-k:

[ ] 1,...,6= , j k,jMF kjM

k ξ&&= (4.72)

onde [ ]kjM é a matriz dos coeficientes de inércia ou matriz de massa do sistema e jξ&& é o

vector das acelerações. Se o navio tiver simetria lateral, ou seja em relação ao plano zx ′−′

e se o centro de gravidade estiver em ( )Gz,, ′00 , então a matriz de massa é:

[ ]

−

′−′−

′−

′

=

6664

55

4644

0000

0000000

0000000000000

II

IzmIIzm

mzmm

zmm

M

G

G

G

G

kj (4.73)

onde m é a massa do navio e os coeficientes de momento de inércia kjI são calculados por:

( )dvzyIBV

B∫∫∫ ′+′= 2244 ρ ( )∫∫∫ ′′==

BVB dvzxII ρ6446 (4.74a-d)

( )dvzxIBV

B∫∫∫ ′+′= 2255 ρ ( )dvyxI

BVB∫∫∫ ′+′= 22

66 ρ

Voltando às equações do movimento, o equilíbrio dinâmico de forças (e momentos) em

cada uma das direcções do sistema de coordenadas pode ser representado em termos dos

coeficientes de: inércia, massa acrescentada, amortecimento e restituição:

( ) 1,...,6 , 6

1

k=FCBAM Ek

jjkjjkjjkjkj =+++∑

=

ξξξ &&& (4.75)

Para navios com simetria lateral as matrizes dos coeficientes simplificam-se e em

consequência o sistema de seis equações acopladas (4.75 reduz-se a dois sistemas de três

equações desacoplados entre si. Um dos conjuntos de equações representa os movimentos

acoplados de avanço, arfagem e cabeceio e o outro representa o abatimentos, balanço e

78

guinada. De acordo com a teoria de faixas, sendo o navio esbelto não há forças oscilatórios

na direcção longitudinal, logo este movimento não existe.

As soluções das equações diferenciais lineares de segunda ordem (4.75) são movimentos

do tipo harmónico:

( ) ( )jaj

tiAjj tet θωξξξ ω −== cosRe (4.76)

onde Ajξ é a amplitude complexa do movimento, a

jξ é a amplitude real e jθ é o ângulo de

fase que representa o atraso da resposta no tempo.

Para os movimentos de arfagem e cabeceio as equações do movimento tomam a seguinte

forma:

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )

=++++++

=++++++

tFCBAICBA

tFCBACBAME

E

555555555555353353353

3535535535333333333

ξξωξωξξωξω

ξξωξωξξωξω&&&&&&&&&&&&

(4.77)

4.6 ESFORÇOS DINÂMICOS

Nesta secção apresenta-se a formulação para os esforços dinâmicos lineares, em navios a

avançar com velocidade constante e com rumo arbitrário relativamente a ondas

harmónicas. Os esforços incluem os esforços de corte horizontal e vertical, os momentos

flectores horizontal e vertical e o momento torçor. A força axial no sentido longitudinal

não é considerada na teoria de faixas.

O esforço de corte dinâmico kV numa secção transversal do navio, é a diferença entre a

força de inércia e a soma das forças exteriores hidrodinâmicas na parte do navio para vante

da secção em estudo:

3,2 , =−−−= kBERIV kkkkk (4.78)

Do mesmo modo os momentos dinâmicos são dados pela diferença entre os momentos de

inércia e a soma dos momentos exteriores para vante da secção em estudo:

6,5,4 , =−−−= kBERIM kkkkk (4.79)

Nas equações (4.78) e (4.79) as várias contribuições para os esforços dinâmicos são: kI

para as forças (momentos) de inércia, kR para as forças (momentos) de radiação, kE para

as forças (momentos) de excitação e kB para as forças (momentos) de restituição.

79

A convenção para a nomenclatura dos esforços e seus sentidos positivos é representada na

figura 4.3. Os índices k = 2,3 estão associados respectivamente aos esforços de corte

horizontal e vertical, e k = 4,5,6 estão associados respectivamente ao momento torçor e

momentos flectores vertical e horizontal.

Embora a formulação que aqui se apresenta possa ser generalizada para todos os cinco

esforços dinâmicos mencionados, os passos principais da sua dedução e as equações finais

são apresentadas apenas para os esforços verticais, nomeadamente o esforço vertical de

corte e o momento flector vertical. Apenas os esforços verticais são investigados neste

trabalho, pois as não-linearidades estudadas estão associadas principalmente com estes

esforços.

x

yz

V3

V2

M 4

V1

= esforço de compressão

= esforço de corte horizontal= esforço de corte vertical = momento flector horizontal

= momento flector vertical

= momento torçor

MV2

3V 6M5

V1 M4

M5

M6

Figura 4.3 Convenção para os sentidos dos esforços dinâmicos

Voltando às expressões (4.78) e (4.79), para os casos do esforço de corte vertical e

momento flector vertical vêm:

33333 BERIV −−−= (4.80)

55555 BERIM −−−= (4.81)

Contribuição de Inércia

As contribuições de inércia são dadas pelo integral ao longo do comprimento do navio

( ∗L ) para vante da secção transversal em estudo ( ∗x ), das massas seccionais por unidade

de comprimento, m, multiplicadas pelas acelerações seccionais:

80

( )∫∗

−=L

dxxmI 533 ξξ &&&& (4.82)

( )( )∫∗

−−−= ∗

L

dxxxxmI 535 ξξ &&&& (4.83)

Contribuição de Radiação

Relembra-se agora a expressão que dá a força de radiação no casco devido ao movimento

oscilatório do navio nos seis graus de liberdade (4.17). Combinando as equações (4.17) e

(4.25) vem:

1,...,6 , U 6

1 S

Rj

00

k=dsmdsniFj

kS

kRjj

Rk ∑ ∫∫∫∫

=

+−= φρφωρξ (4.84)

Para o cálculo da contribuição para os esforços da força de radiação associada aos

movimentos oscilatórios do navio, considera-se na equação (4.84) apenas a superfície do

casco para vante da secção em estudo ∗0S :

1,...,6 , U 6

1 S

Rj

00

k=dsmdsniRj

k

S

kRjjk ∑ ∫∫∫∫

=

+−=∗∗

φρφωρξ (4.85)

Assumindo de novo a simplificação geométrica da teoria de faixas ςdxdds ≅ , a equação

anterior simplifica-se para:

1,...,6 , U6

1

Rj

00

k=dxdmdxdniRj L c

k

L ck

Rjjk ∑ ∫ ∫∫ ∫

=

+−=∗∗

ςφρςφωρξ (4.86)

onde ∗L é o comprimento do casco para vante da secção onde se pretende calcular os

esforços e 0c é o contorno da secção molhada média em cada posição longitudinal-x.

Agora, tal como foi feito para a simplificação das forças de radiação, pode-se usar as

hipóteses da teoria de faixas para representar as equações (4.86) em termos de quantidades

bidimensionais. Estas hipóteses resultam em potenciais de radiação Rjφ representados em

termos de potenciais de radiação bidimensionais dados pela relações (4.10) e resultam em

componentes do vector ∗n~ bidimensionais dadas por (semelhante a 4.11):

81

( )( ) 26

35

432432

1

,,,,0

Nxxn

Nxxn

NNNnnnn

∗

∗

−=

−−=

==

(4.87)

Combinando as expressões (4.10) e (4.87) com (4.86) resulta em contribuições de radiação

para o esforço de corte vertical e momento flector vertical, expressas em função de forças

de radiação seccionais e bidimensionais:

∗∗ =

+−+

+−= ∫

xx

R

L

R DD fiU

xiU

dxfiU

xR 2233553335533 ξ

ωξξ

ωξ

ωξξ (4.88)

( )( ) ∫∫∗∗

−+−+−−−= ∗

L

R

L

R dxfiU

xiU

dxfxxxR DD 223355333535 ξ

ωξξ

ωξξ (4.89)

onde a força de radiação para oscilações verticais de secções bidimensionais DRf 233 se

obtém da expressão (4.18):

∫−=0

2333

ck

RR dsNif D ϕωρ (4.90)

Estas forças de radiação podem também ser representadas em termos de coeficientes de

massa acrescentada e amortecimento bidimensionais (equação 4.20):

33332

332 bia?f DR ω−= (4.91)

os quais podem ser introduzidos em (4.88) e (4.89) para se obter finalmente as

contribuições de radiação para os esforços verticais, em função dos coeficientes

hidrodinâmicos bidimensionais associados às secções transversais do navio:

( ) ( )

( ) ( ) ( )∗

∗

=

+−−−−−

+−−+−−= ∫

xx

L

baU

xbU

xUa

dxUabU

xbxaR

5335332

2

533325333

5335332533353333

ξξω

ξξω

ξξ

ξξω

ξξξξ

&&&&&&&&&

&&&&&&&&& (4.92)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) dxbaU

xbU

xUa

dxxbxaxxR

L

L

∫

∫

∗

∗

+−−−−+

−+−−−= ∗

5335332

2

533325333

533353335

ξξω

ξξω

ξξ

ξξξξ

&&&&&&&&&

&&&&&&

(4.93)

82

Rearranjando estas expressões, os esforços podem ser representados em termos de

contribuições separadas dos movimentos de arfagem e cabeceio, respectivamente

5,3, , =jkRkj :

( ) ( )[ ] 5,3, , 2A

j =−=

−−=∗∗

∗∗

jk BiAe

BAR

kjkjti

kjjkjjkj

ωωξ

ωξωξω

&&& (4.94)

onde os coeficientes dependentes da frequência ∗∗kjkj BA e são dados por:

∗∗ ∫∗

−= 3323333 bU

dxaAL ω

∫∗

∗∗ +=L

UadxbB 333333

∗∗∗∗ +−−−= ∫∫∗∗

xbU

aU

dxbU

xdxaALL

332332

2

333335 ωωω

∗∗∗∗ −−+−= ∫∫∗∗

332

2

33333335 bU

xUadxaUxdxbBLL ω

(4.95a-h)

( ) ∫∫∗∗

+−−= ∗∗

LL

dxbU

dxaxxA 3323353 ω

( ) ∫∫∗∗

−−−= ∗∗

LL

dxaUdxbxxB 333353

( ) ∫∫∫∗∗∗

+−−−= ∗∗∗∗

LLL

dxaU

dxbxU

dxaxxxA 332

2

3323355 ωω

( ) ∫∫∫∗∗∗

++−= ∗∗∗∗

LLL

dxbU

dxaUxdxbxxxB 332

2

333355 ω

onde as integrações são ao longo do comprimento do navio para vante da secção

transversal ∗x e ∗∗3333 e ba correspondem à secção ∗x . As expressões (4.94) e (4.95a-

h) serão utilizadas para deduzir os esforços verticais no domínio do tempo.

Contribuição de Excitação

As forças de excitação globais foram deduzidas na secção 4.3 e são decompostas em duas

partes independentes. A parte de Froude-Krilov é representada pelas equações (4.46) a

83

(4.50) e a parte de difracção pelas equações (4.55) a (4.59). A força e o momento de

excitação na parte do casco para vante da secção transversal ∗x podem ser obtidos:

somando as duas partes da força de excitação, integrando para vante de ∗x e substituindo o

braço da força seccional x por ( )∗− xx :

( ) ∫∗ ∗=

++=

L xx

Dka

Dk

Ik

xikak k=f

iU

dxffeE 2,3,4 ,cos0

ωζζ β (4.96)

( )( ) dxfiU

ffxxeEL

DDIxika ∫

∗

++−−= ∗

333cos

50

ωζ β (4.97)

( )( ) dxfiU

ffxxeEL

DDIxika ∫

∗

++−= ∗

222cos

60

ωζ β (4.98)

onde as forças seccionais de Froude-Krilov e difracção para ondas unitárias são dadas por

(4.50) e (4.59).

Contribuição de Restituição

A contribuição das forças de restituição para o esforço de corte vertical e momento flector

vertical, resulta da variação com os movimentos verticais do navio das forças hidrostáticas

para vante da secção ∗x :

( )dxxbgBL∫∗

−−= 533 ξξρ (4.99)

( )( )dxxxxbgBL∫∗

−−= ∗535 ξξρ (4.100)

onde b é a boca seccional, que se assume constante em torno da linha de água média.

4.7 COMENTÁRIOS FINAIS

Neste capítulo apresentada-se uma solução linear no domínio da frequência, para o

problema dos movimentos e esforços estruturais induzidos em navios a avançar com

velocidade constante e rumo arbitrário relativamente a ondas regulares e sinusoidais.

Enquanto no capítulo 3 foi formulado o problema hidrodinâmico linear e tridimensional,

no presente capítulo este problema foi resolvido assumindo ondas incidentes harmónicas,

logo como consequência da linearização o escoamento em torno do casco é também

harmónico.

84

Para simplificar os efeitos tridimensionais no escoamento assumiram-se duas

simplificações da teoria de faixas. Na primeira assume-se que o comprimento do navio é

bastante superior à boca e imersão, logo no cálculo das forças os integrais de superfície

podem ser decompostos em dois integrais, um ao logo dos contornos das secções

transversais e o outro ao longo do comprimento do navio. Seguindo a mesma hipótese de

navio esbelto, as seis componentes do vector n~ podem ser representadas em termos das

componentes do vector bidimensional normal aos contornos das secções transversais.

A segunda hipótese da teoria de faixas é utilizada para remover os efeitos tridimensionais

da condição fronteira na superfície livre. Neste caso assume-se que a frequência de

encontro é elevada, o que implica que as ondas devem ser de comprimento relativamente

pequeno. Esta parece uma restrição muito severa, no entanto na prática na gama de

frequências baixas, ou seja para ondas compridas, as forças hidrostáticas e de Froude-

Krilov são dominantes e alguma imprecisão no cálculo das forças de radiação ou difracção

afecta pouco os resultados finais.

De facto é reconhecido que a presente teoria de faixas faz previsões bastante boas dos

movimentos verticais para navios convencionais. Quanto ao movimento de balanço, o

amortecimento viscoso é relevante pois neste caso o amortecimento invíscido é

relativamente pequeno. A qualidade das previsões está dependente da estimativa destes

efeitos viscosos.

No caso dos movimentos no plano horizontal de abatimento e guinada não existem forças

de restituição, logo uma estimativa bastante correcta dos coeficientes hidrodinâmicos e

forças de difracção é bastante importante. Para estes modos de movimento as previsões da

teoria de faixas são menos boas.

Quanto aos esforços dinâmicos verticais, em termos gerais pode-se dizer que as previsões

são razoáveis para navios com coeficientes de finura total elevados, ou seja navios

“cheios” e com os costados verticais ao longo do comprimento do navio. Para navios com

coeficientes de finura baixos e amuras bastante inclinadas (como por exemplo os porta-

contentores), pode-se dizer que a teoria de faixas linear falha na previsão de alguns efeitos

não-lineares bastante importantes. Para melhorar este tipo de previsões apresenta-se nos

próximos capítulos uma teoria de faixas no domínio do tempo nova, onde são introduzidos

alguns efeitos não-lineares.

85

REFERÊNCIAS

Adegeest, L. J. M., 1995, Nonlinear Hull Girder Loads in Ships, PhD Thesis, Delft

University of Technology, Delft, Holland.

Adegeest, L. J. M., 1996, “Third-order Volterra modelling of ship responses based on

regular wave results”, Proceedings 21st Symposium on Naval Hydrodynamics, Trondheim, Norway.

Belik, O., Bishop, R.E.D. and Price, W. G., 1980, “On the slamming response of ships to regular head waves”, Transactions the Royal Institute of Naval Architects, Vol. 122, pp.

325-337.

Beck, R.F., Cao, Y., Scorpio, S.M. and Schultz, W.W., 1994, “Non-linear Ship Motion Computations Using the Desingularized Method”, Proceedings 20th Symposium on

Naval Hydrodynamics, Santa Barbara, CA, pp. 227-46.

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