Competência 1 de Matemática - Matemática na Vida dos Povos Exemplo 1 Esta questão, que foi cobrada no Enem, relaciona linguagem matemática com notas musicais.

Na questão, é cobrada a utilização dos conceitos mínimos de multiplicação e de soma de frações associada a números inteiros.

Cada um dos 8 compassos tem fórmula 4

3.

A duração total do trecho musical é: 8 compassos de fórmula 4

3, ou

4

38 ⋅ ou seja 6

Para preencher este espaço podemos somar 24 colcheias, que representam8

24

8

124 =⋅ , mais 12 semínimas,

que representam 4

12

4

112 =⋅ .

Na verdade, tanto um como o outro representa o mesmo número. Os dois, se transformados em números inteiros, dão 3 como resultado. Podemos somar 3 e 3 e chegar a 6 e teremos o espaço preenchido.

Também podemos mudar o denominador de um dos resultados e teremos 8

24 mais

4

12, que é o mesmo que

8

24 e teremos

8

48

8

24

8

24 =+ ou 6.

Agora note que:

A duração de 24 colcheias é 8

124⋅ , ou seja, 3

A duração de 12 semínimas é 4

112⋅ , ou seja, 3

Logo, o trecho musical poderia ser preenchido com 24 colcheias e 12 semínimas Exemplo 2 Neste outro exemplo, temos a classificação de países nas olimpíadas de 2004.

Nesses jogos, o Brasil obteve a 16ª colocação. Com mais quatro medalhas de ouro, somada as cinco con-quistadas, teria nove medalhas de ouro, a mesma quantidade de Grã-Bretanha, Cuba e Ucrânia. O primeiro critério de desempate são as medalhas de prata. O Brasil conquistou duas, com mais quatro teria seis, pas-saria a Ucrânia e ocuparia a 12ª posição. 10 medalhas de bronze, somadas às três conquistadas pelo Brasil, não fariam nenhuma diferença na classificação.

A competência cobrada pelo Enem nos exemplos acima: Competência de área 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros e reais. Confira as habilidades que são cobradas nesta competência. Lembre que é a partir de cada habilidade que são feitas as questões do Enem: H1 – Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais. H2 – Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem. H3 – Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos. H4 – Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas. H5 – Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos. Fonte das Questões: Exemplo 1 – Prova ENEM 2009. Aplicada dia 02, caderno 7/Azul, questão n° 144. Exemplo 2 – Prova ENEM 2010. Aplicada dia 02, caderno 5/Amarelo, questão n° 143.

Competência 2 de Matemática - Geometria da realidade Exemplo 1 Neste primeiro exemplo, que apareceu em uma prova do Enem, o aluno precisava saber apenas a diferença dos conceitos de massa, volume, comprimento e capacidade.

Massa é a quantidade de matéria contida em um objeto ou corpo. Multiplicando a massa de um objeto pela gravidade da terra temos o peso. O comprimento é distância entre dois pontos. Capacidade, no contexto, é quanto cabe em um determinado espaço. Em um metro cúbico, por exemplo, cabem mil litros de água. Em um decímetro cúbico cabe um litro. Esta relação de quanto cabe em um volume é a capacidade. Volume é o espaço que um corpo ocupa. Este espaço é expresso em unidades de tamanho cúbicas. O produto do pro-blema proposto pela questão é expresso em metros cúbicos, indicando, claramente, que se trata de volume.

Exemplo 2 Nesta questão, o Enem pediu para o aluno demonstrar o conhecimento de congruências e semelhanças en-tre triângulos.

Com a informação de que os pontos P, M e N são pontos médios dos triângulos, é fácil concluir que a área a ser calçada tem três triângulos com as mesmas medidas da área a do triângulo que não será calçado. Para entender melhor, um triângulo se forma em BPM, outro em PMA e outro em AMN, todos com a mesma medida de MNC.

Exemplo 3 Esta é uma questão que cobra conhecimento sobre o cálculo da área do cubo. Apesar de ser um cálculo simples (lado X lado X lado), são poucos os candidatos que acertam este tipo de questão.

Para saber o volume de madeira usado no porta-lápis, basta calcular o cubo maior e subtrair dele o espaço vazio de dentro do cubo. O cubo maior tem 12 cm de aresta. O volume dele é 12 ao cubo, ou 12x12x12, que dá 1728 cm cúbicos. O espaço do cubo tem 8 cm de aresta. O volume dele, não preenchido, é de 8 ao cubo, ou 8x8x8, que dá 512 cm cúbicos. 1728, do cubo maior, menos 512, do cubo menor, são 1216 cm cúbicos, sendo este o resultado da situação problema proposta pelo Enem. A competência cobrada pelo Enem nos exemplos acima: Competência de área 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela. Confira as habilidades que são cobradas nesta competência. Lembre que é a partir de cada habilidade que são feitas as questões do Enem: H6 – Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua repre-sentação no espaço bidimensional. H7 – Identificar características de figuras planas ou espaciais. H8 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma. H9 – Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano. E, para que não fiquem dúvidas, veja os conteúdos, relacionados a esta competência, que precisam ser co-nhecidos pelos alunos: • Conhecimentos geométricos: características das figuras geométricas planas e espaciais; grandezas, unida-des de medida e escalas; comprimentos, áreas e volumes; ângulos; posições de retas; simetrias de figuras planas ou espaciais; congruência e semelhança de triângulos; teorema de Tales; relações métricas nos tri-ângulos; circunferências; trigonometria do ângulo agudo.

Competência 3 de Matemática - Medidas da realidade Exemplo 1 No exercício proposto, o Enem espera que o aluno consiga usar os dados listados de água armazenada pelo aquífero guarani, a da capacidade de armazenagem de um reservatório de uma companhia de água e rela-cioná-las com escalas como milhões, litros e até utilizar potência como escala.

Ora, no reservatório cabem 20 milhões de litros de água. No aquífero guarani, tema recorrente em quase todas as provas do Enem, temos 30 mil quilômetros cúbicos de água. Cada metro cúbico tem a capacidade de armazenar mil litros de água. Em 30 mil quilômetros cúbicos, temos 30 quinquilhões de litros de água. Para entender melhor, vamos transformar os números em potências. 30 mil quilômetros são equivalentes a 30 x 103 (dos 30 mil), vezes 109 (do quilômetro). Isto dá 30 x 1012, já que na multiplicação de potências de mesma base devemos somar os expoentes. Devemos considerar que são metros cúbicos e, então, multiplicar 30 x 1012 por 103 (dos litros). De novo, para multiplicar, somamos os expoentes. Concluímos que o aquífero guarani tem 30 x 1015 litros de água (é muita água, e sobre o risco de contami-nação pelas plantações que usam agrotóxicos e que estão acima do aquífero). O reservatório da empresa de água já tem o número apresentado em litros. Se transformarmos em potência, que é como estão as alternativas de resposta, veremos que cabem 20 x 106 litros de água no lugar. Agora é só dividir um pelo outro e conferir quantas vezes o aquífero guarani poderia encher o observatório. Para dividir 30 x 1015 por 20 x 106, potência de mesma base, primeiro dividimos 30 por 20, que dá 1,5. Depois, como na multiplicação de potência somamos os expoentes, na divisão subtraímos os expoentes. 1015 dividido por 106 é igual a 109. Temos, então, que no aquífero cabem 1,5 x 109 vezes o que se calcula ter de água no reservatório, ou 1 bi-lhão e 500 milhões de reservatórios cheinhos, cheinhos. Agora é cuidar de preservá-lo.

Exemplo 2 No segundo exemplo, uma empresa criou uma escala para que pudesse avaliar o seu desempenho, de um ano para o outro, tendo como base seus lucros.

No primeiro ano a empresa teve um lucro de 132 mil. No segundo, 145 mil – ou 13 mil a mais. O cresci-mento do lucro chegou bem perto de 10%, que seria 13.200, mas não conseguiu atingir esta meta. Por bem pouco, seu desempenho financeiro deixou de ser considerado ótimo, o que pode ter confundido muitos alu-nos. Com 13 mil a mais de lucro o desempenho financeiro da empresa foi bom.

Exemplo 3 A próxima questão trata de um grande problema da vida moderna, que é o descarte do óleo de cozinha em esgotos que vão direto para os rios, sem nenhum tratamento.

Com os dados da questão podemos ver que, a cada litro de água que descartamos em encanamentos, pode-mos estar contaminando 1 milhão de litros de água. A conta desta escala é muito fácil, apesar de o Enem ter colocado uma pegadinha aí (é bom lembrar que o exame não é lugar de pegadinha. Uma prova séria tem que seguir os padrões internacionais de avaliação, entre eles está não enganar o aluno). No enunciado, fala-se de 10 litros de óleo. Então, se as pessoas da cidade jogassem, durante a semana, 1000 litros de óleo nos encanamentos, estariam descartando 102 vezes o valor da situação apresentada. Se multiplicarmos 107 litros de água, que são contaminados por 10 litros de óleo, por 102, teremos a contaminação, semanal, de 109 litros de água, ou 1 bilhão. Isto dá 50 vezes a capacidade do reservatório da primeira questão apresentada, e causaria muitos problemas ambientais. A competência cobrada pelo Enem nos exemplos acima: Competência de área 3 - Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano. Confira as habilidades que são cobradas nesta competência. Lembre que é a partir de cada habilidade que são feitas as questões do Enem. Elas são o guia do examinador na hora de fazer a questão: H10 - Identificar relações entre grandezas e unidades de medida. H11 - Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano. H12 - Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas. H13 - Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente. H14 - Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas. Fonte: Exemplo 1: Prova do Enem 2009 - Segundo dia - Caderno 7/Azul - Matemática e suas Tecnologias. Ques-tão 152. Gabarito: E Exemplo 2: Prova do Enem 2010 – Segundo dia – Caderno 5/Amarelo - Matemática e suas Tecnologias. Questão 154. Gabarito: C Exemplo 3: Prova do ENEM 2010 – Segundo dia – Caderno 5/Amarelo - Matemática e suas Tecnologias. Questão 177. Gabarito: E

Competência 4 de Matemática Variação de grandeza, Porcentagem e Juros

Exemplo 1 Nesta questão o Enem cobra que o aluno demonstre qual a porcentagem de alunos, matriculados em um curso, foram aprovados.

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Questão retirada do Enem 2009 que vazou e não foi aplicado De acordo com o gráfico temos: Média 4,0 – 4 alunos Média 5,0 – 10 alunos Média 6,0 – 18 alunos Média 7,0 – 16 alunos Média 8,0 – 02 alunos Total de alunos – 50 Alunos aprovados – 36 Foram aprovados todos os alunos que tiveram nota igual ou maior a 6. Temos 36 alunos aprovados no universo de 50, portanto: 36/50 = 0,72 = 72% Resposta: E

Exemplo 2 A próxima questão trata do gasto necessário de água para a produção de diferentes alimentos.

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Questão retirada do exame de 2009 que vazou e não chegou a ser aplicado Que questão estranha! Junta alhos com bugalhos! Qual o sentido de multiplicar por 100 o consumo de água para a produção de um quilograma de cada alimento citado (no caso de carne boi a multiplicação é por 600), somar o resultado dos cinco alimentos e dividir por cinco para o resultado, para fazer a "média" do consumo de água nesta situação problema? É uma das contextualizações mais sem sentido que o Enem já fez porque o resultado não tem sentido algum. O que tem sentido na questão é relacionar, por exemplo, o gasto de água para produção de carne de boi versus o gasto de água para a produção, por exemplo, de legumes ou de banana. Vamos ao resultado da questão: Resolução: Milho: 100 x 1000 = 100 000 litros; Trigo: 100 x 1500 = 150 000 litros; Arroz: 100 x 2500 = 250 000 litros; Carne de Porco = 100 x 5000 = 500 000 litros; Carne de Boi = 600 x 17 000 = 10 200 000 litros. Média Quantidade de litros de água: 100 000 + 150 000 + 250 000 + 500 000 + 10 200 000 = 11 200 000 litros Quantidade de quilos de alimentos: 100 + 100 + 100 + 100 + 600 = 1 000 Kg 11 200 000 / 1 000 = 11 200 litros por quilograma Alternativa: B

Exemplo 3 No exemplo a seguir, o Enem demonstra a situação, comum no Brasil, em que uma pessoa deve para o banco, tanto no cartão de crédito como no cheque especial.

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Questão do Enem 2009 Solução: Descontar 25% é o mesmo que multiplicar por 0,75. Aumentar 25% é o mesmo que multiplicar por 1,25. Pagando as parcelas: Cheque especial: (12×150) = 1800 reais. Cartão de crédito: (5×80) = 400 reais. Total: 1800+400 = 2200 reais Quitação imediata: Cheque especial: 1800 – (2×150) = 1500 reais. Cartão de crédito: (400×0,75) = 300 reais. Total: 1500 + 300 = 1800 reais. Verificando cada uma das cinco alternativas, temos: (a) 18×125 = 2250 reais. (b) 1800×1,25 = 2250 reais. (c) 2200 reais. (d) 1500×1,25 + 400 = 1875 + 400 = 2275 reais. (e) 300×1,25 + 1800 = 375 + 1800 = 2175 reais. Logo, a alternativa com o menor gasto é a opção (E).

Exemplo 4 Nesta questão o Enem faz uma comparação de grandezas, relacionando o tamanho da Terra com o de ou-tros planetas.

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Questão do Enem 2010 Do enunciado temos a relação volumétrica que pode ser representada pela tabela: 1 Marte = 3 Mercúrios 1 Terra = 7 Martes 1 Netuno = 58 Terras 1 Júpiter = 23 Netunos Assim sendo, temos que, para cada Netuno que cabe em Júpiter, caberão 58 Terras. Se em Júpiter cabem 23 Netunos, o número de Terras que nele cabem é: 58 ⋅ 23 = 1334. A competência cobrada pelo Enem nos exemplos acima: Competência de área 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano. Lembre-se que é a partir de cada habilidade que são feitas as questões do Enem, elas são o guia do exami-nador na hora de fazer a questão. Confira as habilidades que são cobradas nesta competência: • Identificar a relação de dependência entre grandezas; • Resolver situações-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais; • Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumenta-ção; • Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.

Competência 5 de Matemática - Álgebra e Gráfico Cartesiano Exemplo 1 Aqui, o Enem pede que o aluno aplique equações matemáticas simples a uma situação corrente no dia a dia do jovem: dividir o valor de uma festa entre um grupo de amigos.

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Questão da prova do Enem 2009 Antes de qualquer coisa, será necessário dar nome aos bois. O primeiro problema é a quantidade de pesso-as, que é diferente no primeiro e no segundo momento. Vamos representar cada pessoa do grupo pela letra x. O segundo problema é o valor total da despesa, que chamaremos de V. Assim, podemos montar as equações. Relacionamos a quantidade inicial de pessoas (com a subtração dos 7,00 de cada uma) ao valor total da festa (menos R$ 510,00, que é o que faltava). Depois, podemos montar uma equação que represente o segundo momento, pensando que, com a contribu-ição das 55 pessoas, também teremos o V (valor total). Equações montadas, podemos relacioná-las, isolando o x, de forma a obter o valor final da cota de cada pessoa do grupo. Resolução: x representará o valor de cada pessoa do grupo; V será o valor total da despesa. Logo, teremos: 1ª equação: 510)7(50 −=−⋅ Vx

2ª equação: Vx =⋅55 Substituindo o V da 2ª equação na 1ª, teremos:

51055)7(50 −=− xx ⇒ 5105535050 −=− xx ⇒ xx 5055350510 −=−

1605 =x ⇒ 32=x Alternativa: D

Exemplo 2 Nesta questão, será preciso montar uma equação que relacione o lucro do proprietário de um posto de gaso-lina, considerando quanto ele vende quando oferece e quando não oferece nenhum desconto.

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Questão da prova de 2009 O V, valor total arrecadado por dia com a venda do álcool, pode ser entendido como o produto da relação entre a quantidade de litros vendida por dia mais o valor vendido a mais por dia vezes o desconto, e o valor cobrado pelo litro menos o valor que ele deixa de ganhar a cada litro (1 centavo), vezes o desconto. Aí é montar a equação e resolvê-la até chegar ao formato apresentado no item D. Resolução: V será o produto da relação do combustível com o preço por litro mediante o desconto proposto pelo texto, teremos então:

)01,050,1()100000.10( xxV −⋅+=

2150100000.15 xxxV −+−=

250000.15 xxV −+=

Alternativa: D

Exemplo 3 Nesse caso, será apresentada ao estudante uma situação em que, numa escola, a professora propõe um e-xercício prático de Progressão Aritmética a seus alunos.

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Questão do Enem 2010 Nessa questão, o Enem propõe um exercício que envolve a resolução de uma PA (Progressão Aritmética). Porém, o aluno poderá resolver mesmo que desconheça o conceito de PA, se ele observar que o primeiro quadrado precisa de quatro canudos para ser montado, e os demais, três canudos, e então concluir que a equação da alternativa B é a correta. Pela forma de resolução tradicional, temos que, para um quadrado, são necessários quatro canudos, para dois quadrados, quatro mais três, para três quadrados, sete mais três, e assim por diante. Ou seja, sempre serão três canudos por quadrado, mais um para o primeiro. Resolução: Observando as figuras, percebemos que há uma PA (progressão aritmética, pois temos (4; 7; 10...) onde o 1º termo vale 4, e a razão, 3. Logo concluímos que os termos dessa progressão segue a lei de formação:

3)1(4 ⋅−+= QC

334 −+= QC

13 += QC em que Q é a quantidade de quadrados, que coincide com o número da figura.

Alternativa: B

A competência cobrada pelo Enem nos exemplos acima: Competência de área 5 - Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técni-co-científicas, usando representações algébricas. Lembre-se que é a partir de cada habilidade que são feitas as questões do Enem, elas são o guia do exami-nador na hora de fazer a questão. Confira as habilidades que são cobradas nesta competência: H19 - Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas. H20 - Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas. H21 - Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos. H22 - Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação. H23 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos. E, para que não fiquem dúvidas, veja os conteúdos, relacionados a esta competência, que precisam ser co-nhecidos pelos alunos: - gráficos e funções, - funções algébricas do 1.º e do 2.º graus: - polinomiais, - racionais, - exponenciais e logarítmicas, - equações e inequações; - relações no ciclo trigonométrico e funções trigonométricas, - plano cartesiano, - paralelismo e perpendicularidade.

Competência 6 de Matemática - Gráficos e Tabelas Exemplo 1 A questão escolhida para o primeiro exemplo foi retirada da prova de matemática da prova que vazou em 2009 e, por isso, não foi aplicada. É uma questão que exige que o aluno retire informações do gráfico, não sendo preciso que ele faça nenhuma conta.

Foto: Reprodução/Anne Geddes

Questão retirada da prova que vazou em 2009 A questão demonstra, em números totais, como aumentaria a quantidade de empregos, no setor de turismo, em cenários diferentes. Um é o previsível, mantendo a tendência, e há também o pessimista e o otimista, em que as coisas acontecem pior, ou melhor do que a tendência verificada até o momento. É preciso analisar cada alternativa, porque elas trabalham com três cenários diferentes, e verificar no gráfi-co se a informação está correta. Na alternativa E podemos confirmar no gráfico que, em 2009 (ano pedido no enunciado e indicado no grá-fico pelo traço), teremos mais 516.000 empregos e menos que 616.000 no cenário otimista. Nesta questão, o Enem apresenta uma pegadinha, o que não poderia acontecer se o examinador seguisse, à risca, as orientações de como construir um item (questão). Os três números no canto superior do gráfico, que talvez represente o ano de 2011 que não está apresentado numericamente no gráfico, poderia confundir o aluno e fazer com que ele escolha a alternativa B como correta. Gabarito: E

Exemplo 2 A questão abaixo aborda uma pesquisa sobre a relação entre câncer de pulmão e o tabagismo, expondo as informações através de um gráfico que o aluno precisava compreender para resolver o problema. Era im-portante conhecer os conceitos básicos de proporcionalidade.

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Questão da prova aplicada em 2009 O gráfico relaciona a quantidade de cigarros consumidos diariamente à quantidade de casos de câncer de pulmão, em um determinado grupo. Notamos que, para zero cigarros consumidos diariamente, temos um número próximo a zero de casos de câncer. A partir de 1 cigarro por dia, temos 20 casos de câncer. Para o consumo de 2, 3, 4, (...), 13 ou 14 cigarros, mantemos a incidência de 20 casos de câncer. A partir de 15 cigarros, temos um número de casos maior de 50. Com 25 cigarros, quase 60 casos de câncer. Por o consumo de cigarros, no grupo pesquisado, aumentar a incidência de câncer, mas não de forma pro-porcional, a alternativa E é a correta. Gabarito: E

Exemplo 3 Nessa questão, o Enem espera que o aluno, além de utilizar o gráfico, como pede a competência 6 de Ma-temática, consiga fazer uma previsão de consequências dos dados do gráfico (extrapolação), utilizando conceitos básicos de porcentagem.

Foto: Reprodução

Questão do Enem 2009 A quantidade de pessoas que compõem a População Economicamente Ativa (PEA), em maio de 2009, era igual a 23.020.000. Se o aumento da PEA, de 05/2009 a 06/2009 é de 4%, o aluno deverá calcular o valor equivalente ao acrés-cimo dessa porcentagem (23.020.000 x 1,04 = 23.940.800), chegando à alternativa D. Gabarito: D A competência cobrada pelo Enem nos exemplos acima: Competência de área 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráfi-cos e tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação e interpretação. Lembre-se que é a partir de cada habilidade que são feitas as questões do Enem. Elas são o guia do exami-nador na hora de fazer a questão. Confira as habilidades que são cobradas nesta competência: H24 – Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências. H25 – Resolver problemas com dados apresentados em tabelas ou gráficos. H26 – Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumen-tos.