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CÁSSIO DIAS COUTO SAMPAIO

COMPARAÇÃO ENTRE A MODELAGEM NUMÉRICA E EXPERIMENTAL DA DEFORMAÇÃO POR FLUÊNCIA EM

VIGAS DE CONCRETO ARMADO

Dissertação apresentada à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo para obtenção do Título de Mestre em Engenharia

São Paulo 2004

CÁSSIO DIAS COUTO SAMPAIO

COMPARAÇÃO ENTRE A MODELAGEM

NUMÉRICA E EXPERIMENTAL DA DEFORMAÇÃO POR FLUÊNCIA EM

VIGAS DE CONCRETO ARMADO

Dissertação apresentada à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo para obtenção do Título de Mestre em Engenharia. Área de Concentração: Engenharia de Estruturas Orientador: Prof. Dr. Túlio Nogueira Bittencourt

São Paulo 2004

FICHA CATALOGRÁFICA

Sampaio, Cássio Dias Couto Comparação entre a modelagem numérica e experimental da

deformação por fluência em vigas de concreto armado. São Paulo, 2004. 146p. Dissertação (Mestrado) – Escola Politécnica da Universidade de São

Paulo. Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações. 1.Fluência 2.Concreto 3. Método dos Elementos Finitos - modelagem

I.Universidade de São Paulo. Escola Politécnica. Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações II.t.

i

Este trabalho é dedicado aos meus

pais Castriciano e Josefa, e aos meus

irmãos Priscilla, Castriciano e Fernando.

ii

“Umas das coisas mais importantes da vida não é ter

tudo o que se quer e sim querer bem tudo o que se tem,

pois mais importante que se ter, é saber manter”.

(Autor desconhecido)

iii

AGRADECIMENTOS

Primeiramente a Deus, por toda sua bondade manifestada ao longo desse

caminho percorrido e por tudo que me deu nesta vida gloriosa;

A todos os meus professores, especialmente ao amigo e professor Túlio

Nogueira Bittencourt, pela orientação, dedicação e importante apoio à realização

deste trabalho;

Ao professor e amigo Antonio Domingues de Figueiredo pelo apoio e

interesse demonstrado e pelas criticas e sugestões no sentido de enriquecer o presente

trabalho;

Aos amigos do Laboratório de Mecânica Computacional (LMC),

especialmente ao Aderson, Adriane, André Brabo, André Gamino, André Müller,

Carla Costa, Carlos Roberto, Christian, Edilon, Eduardo Campello, Eduardo Prado,

Eri, Fernanda, Franz, Henrique, José Cristiano, Leandro, Lourival, Mauren, Ricardo,

Telmo, Vicente, Wayne e Weber por toda ajuda, amizade e companheirismo;

Aos funcionários PEF (Departamento de Engenharia de Estruturas e

Fundações), especialmente as secretarias Marly e Márcia por toda amizade,

dedicação e apoio proporcionado;

A todos os funcionários da biblioteca da Engenharia Civil, especialmente a

Vilma e a Fátima pela ajuda e pela boa vontade prestada no decorrer deste trabalho;

Ao LMC, do PEF/EPUSP (Escola Politécnica da Universidade de São

Paulo), pelas instalações físicas e equipamentos fornecidos;

À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior

(CAPES), pelo apoio financeiro proporcionado por meio do programa de bolsas;

iv

Aos meus amados pais, Castriciano e Josefa, e irmãos, Priscilla, Castriciano

e Fernando pelo apoio, amor, carinho e todo incentivo prestado neste e em todos os

momentos da minha vida;

A todos os meus familiares pelo incentivo e amor em todos os momentos da

minha vida;

A minha namorada Camila Santos pelo companheirismo, compreensão,

amor e por todo apoio dedicado em todos os momentos;

A todos os meus amigos de Belém e de São Paulo, especialmente ao meu

cunhado Haroldo Amorim por todo incentivo prestado.

v

SUMÁRIO

LISTA DE FIGURAS ............................................................................................................................VIII

LISTA DE TABELAS ..............................................................................................................................XI

RESUMO .............................................................................................................................................XII

ABSTRACT .........................................................................................................................................XIII

1. INTRODUÇÃO................................................................................................1 1.1. OBJETIVOS ................................................................................................................... 2

1.2. JUSTIFICATIVA ............................................................................................................. 3

1.3. ORGANIZAÇÃO DO TEXTO ........................................................................................... 4

2. TIPOS DE DEFORMAÇÕES NO CONCRETO ................................................. 6 2.1. DEFORMAÇÃO ELÁSTICA ............................................................................................. 8

2.2. DEFORMAÇÃO PLÁSTICA ............................................................................................. 8

2.3. DEFORMAÇÃO LENTA OU FLUÊNCIA ........................................................................... 9

2.3.1. Reversibilidade................................................................................................. 12

3. FATORES QUE AFETAM A FLUÊNCIA NO CONCRETO ..............................16 3.1. MATERIAIS E DOSAGEM............................................................................................. 16

3.2. UMIDADE DO AR E TEMPERATURA............................................................................ 18

3.3. ADIÇÕES E ADITIVOS ................................................................................................. 20

3.4. GEOMETRIA DA PEÇA ................................................................................................ 21

3.5. INTENSIDADE DO CARREGAMENTO ........................................................................... 22

3.6. EFEITO DA FLUÊNCIA SOBRE AS ESTRUTURAS.......................................................... 22

4. MODELOS REOLÓGICOS............................................................................24 4.1. VISCOELASTICIDADE ................................................................................................. 25

4.2. MODELOS REOLÓGICOS BÁSICOS .............................................................................. 26

4.2.1. Modelo Viscoelástico de Maxwell .................................................................. 28

4.2.2. Modelo Viscoelástico de Kelvin-Voigt............................................................29

4.2.3. Modelo Viscoelástico de Três Parâmetros .......................................................31

4.2.4. Modelo Viscoelástico de Burger ...................................................................... 32

vi

5. FUNÇÃO DE FLUÊNCIA E COEFICIENTE DE FLUÊNCIA ............................. 35

5.1. MÉTODOS PARA A ANÁLISE DA FLUÊNCIA ................................................................ 40

5.2. MÉTODOS ALGÉBRICOS.............................................................................................. 40

5.2.1. Método Incremental ......................................................................................... 41

5.2.2. Método do Módulo Efetivo ..............................................................................41

5.2.3. Método de Trost-Bazãnt................................................................................... 42

5.3. MÉTODOS DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS................................................................... 43

5.3.1. Método de Dischinger ou Método da Razão de Fluência ............................... 43

5.3.2. Método da Razão de Fluência Lenta Irreversível ............................................ 44

5.3.3. Método de Dischinger Melhorado.................................................................... 45

6. MODELO DE FLUÊNCIA - NBR 6118/2003............................................... 47 6.1. FORMULAÇÃO PROPOSTA PELA NBR 6118/2003...................................................... 47

6.2. EFEITO DO TEMPO NO CONCRETO ESTRUTURAL - NBR 6118/2003 ......................... 49

6.3. EFEITO DA PERDA DE RIGIDEZ DEVIDO A FISSURAÇÃO NO CONCRETO.................... 56

6.3.1. Elementos Lineares Sujeitos a Solicitações Normais – ELS............................ 56

6.3.2. Estado Limite de Deformação.......................................................................... 57

6.3.3. Avaliação Aproximada da Flecha em Vigas ....................................................57

6.3.4. Flecha Imediata em Vigas de Concreto Armado.............................................. 58

6.3.5. Cálculo da Flecha Diferida no Tempo Para Vigas de Concreto Armado......... 59 6.4. ENSAIO PARA A DETERMINAÇÃO DA FLUÊNCIA EM CONCRETO ENDURECIDO - NBR

8224/1983................................................................................................................... 60

6.4.1. Formas e Dimensões dos Corpos-de-Prova ..................................................... 61

6.4.2. Preparação dos Corpos-de-Prova ..................................................................... 61

6.4.3. Cura dos Corpos-de-Prova .............................................................................. 63

6.4.4. Aparelhagem .................................................................................................... 63

6.4.5. Execução do Ensaio ......................................................................................... 64

7. AVALIAÇÃO EXPERIMENTAL DA FLUÊNCIA EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO ...................................................................................................66

7.1. FLUÊNCIA NA TRAÇÃO .............................................................................................. 67

7.2. REALIZAÇÃO DO ENSAIO EXPERIMENTAL................................................................. 70

vii

7.3. LIMITAÇÕES DO MODELO EXPERIMENTAL................................................................ 78

8. SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL DA FLUÊNCIA ........................................ 83 8.1. CONSIDERAÇÃO DA FLUÊNCIA SEGUNDO O MEF ..................................................... 84

8.1.1. Formulação do MEF Para Análise da Fluência em Estruturas......................... 84

8.1.2. Um Modelo Linear de Envelhecimento ........................................................... 87

8.2. MODELO DE FLUÊNCIA DO ADINA...........................................................................88

8.3. MODELO DE FLUÊNCIA DO DIANA........................................................................... 91

8.3.1. Modelo de Fluência para o Concreto Segundo o CEB-FIB 1990 ....................91

8.4. CONSIDERAÇÕES SOBRE A MODELAGEM DAS VIGAS NO ADINA ............................ 95

8.4.1. Modelagem da Estrutura .................................................................................. 95

8.5. CONSIDERAÇÕES SOBRE A MODELAGEM DAS VIGAS NO DIANA ............................ 97

8.5.1. Modelagem da Estrutura .................................................................................. 98

8.6. CONSIDERAÇÃO DO FENÔMENO DA FLUÊNCIA PELO ADINA ................................100

8.7. CONSIDERAÇÃO DO FENÔMENO DA FLUÊNCIA PELO DIANA ................................103

9. COMPARAÇÃO ENTRE OS RESULTADOS EXPERIMENTAIS E NUMÉRICOS ............................................................................................ 109

9.1. COMPARAÇÃO ENTRE DESLOCAMENTOS ................................................................109

9.2. COMPARAÇÃO ENTRE DEFORMAÇÕES ....................................................................121

10. CONCLUSÕES.......................................................................................... 126 10.1. PROPOSTAS PARA FUTUROS TRABALHOS .............................................................128

11. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................... 129

ANEXO 1 – TABELA DE RESULTADOS ............................................................ 133

ANEXO 2 – CÁLCULO DA FLUÊNCIA PELA NBR 6118/2003 ............................. 135

ANEXO 3 – CARACTERÍSTICAS FÍSICAS DAS VIGAS .......................................... 142

viii

LISTA DE FIGURAS

CAPÍTULO 2 Figura 2.1 – Curvas tensão-deformação da pasta de cimento, do agregado e do concreto ........ 06

Figura 2.2 – Representação esquemática dos resultados de um ensaio de deformação lenta .... 10

Figura 2.3 – Deformação dependente do tempo em concreto submetido à carga mantida ........ 11

Figura 2.4 – Exemplo do princípio de McHenry da superposição de deformações................... 13

Figura 2.5 – Reversibilidade da retração por secagem .............................................................. 14

Figura 2.6 – Reversibilidade da fluência ................................................................................... 14

CAPÍTULO 3 Figura 3.1 – Fluência de concretos com diversos agregados com a mesma proporção

carregados à idade de 28 dias. ............................................................................... 18

Figura 3.2 – Fluência em concretos carregados e mantidos em diferentes umidades relativas ................................................................................................................. 19

Figura 3.3 – Influência do tamanho da peça e da umidade relativa no coeficiente de fluência. ................................................................................................................. 21

CAPÍTULO 4 Figura 4.1(a) – Representação esquemática do elemento reológico mola...................................... 25

Figura 4.1(b) – Representação esquemática do elemento reológico amortecedor.......................... 25

Figura 4.2 – Curva de deformação-tempo no elemento de mola para fluência.......................... 27

Figura 4.3 – Curva de deformação-tempo no amortecedor para um ensaio de fluência ............ 28

Figura 4.4 – Representação do modelo viscoelástico de Maxwell............................................. 28

Figura 4.5 – Representação da curva deformação-tempo no modelo viscoelástico de Maxwell................................................................................................................. 29

Figura 4.6 – Representação do modelo viscoelástico de Kelvin-Voigt. .................................... 30

Figura 4.7 – Representação da curva deformação-tempo no modelo viscoelástico de Kelvin-Voigt........................................................................................................... 30

Figura 4.8 – Representação do modelo viscoelástico de Boltzmann .......................................... 32

Figura 4.9 – Representação da curva deformação-tempo no modelo viscoelástico de Três Parâmetros. .................................................................................................... 32

Figura 4.10 – Representação do modelo viscoelástico de Burger................................................. 33

Figura 4.11 – Representação da curva deformação-tempo no modelo viscoelástico de Burger ... 34

CAPÍTULO 5 Figura 5.1 – Representação da curva de função de fluência. ..................................................... 37

Figura 5.2 – Representação da curva de coeficiente de fluência................................................ 38

ix

CAPÍTULO 6 Figura 6.1 – Variação εccf (t) .................................................................................................... 51

Figura 6.2 – Variação βf (t). ..................................................................................................... 53

Figura 6.3 – Aparelho para ensaio da fluência no concreto. ...................................................... 62

CAPÍTULO 7 Figura 7.1 – Fluência na tração e na compressão sob tensão de 9 Kg/cm2 ................................ 68

Figura 7.2 – Influência do tipo de cimento na fluência à tração para concretos ....................... 69

Figura 7.3 – Fluência na flexão ................................................................................................. 70

Figura 7.4 – Vista dos apoios das vigas experimentais............................................................... 71

Figura 7.5 – Vista da armadura posicionada na fôrma................................................................ 72

Figura 7.6 – Detalhamento das vigas estudadas ........................................................................ 72

Figura 7.7(a) – Apoio do relógio de medição sobre a chapa metálica para medida dos deslocamentos verticais .......................................................................................... 73

Figura 7.7(b) – Cavalete de suporte do relógio de medição ............................................................ 73

Figura 7.8 – Viga após aplicação do carregamento ................................................................... 74

Figura 7.9 – Local onde foram tomadas as medidas de deslocamento e de deformação ............ 75

Figura 7.10 – Diagrama Momento-Curvatura da seção ................................................................ 76

Figura 7.11(a) – Apoio do 1º gênero................................................................................................ 79

Figura 7.11(b) – Apoio do 2º gênero ................................................................................................ 79

Figura 7.12 – Ilustração da realização do ensaio ........................................................................ 79

Figura 7.13 – Ilustração da configuração deformada após o carregamento .................................. 80

CAPÍTULO 8 Figura 8.1 – Deformação considerada pelo ADINA em uma análise unidimensional............... 89

Figura 8.2 – Modelagem da viga feita no ADINA..................................................................... 97

Figura 8.3 – Elemento quadrático CHX 60................................................................................ 99

Figura 8.4 – Modelagem da viga feita no DIANA...................................................................... 99

Figura 8.5 – Comparação das curvas de fluência do ADINA em vermelho com a curva de fluência da NBR 6118 em azul ........................................................................ 100

Figura 8.6 – Exemplo de uma curva gerada pelo ADINA para a caracterização física do concreto ............................................................................................................... 101

Figura 8.7 – Aplicação para o modelo de material utilizado .................................................... 102

Figura 8.8 – Caixa de entrada de dados referente ao modelo TEPMC .................................... 102

Figura 8.9 – Isobanda de deformação no ADINA .................................................................... 103

Figura 8.10 – Isobanda de deslocamento no ADINA ................................................................ 103

Figura 8.11 – Curva Tensão-Deformação definida pelo DIANA para o concreto do tipo A...... 105

Figura 8.12 – Aplicação do modelo de fissuração para o concreto no DIANA.......................... 105

x

Figura 8.13 – Aplicação do modelo de fluência do CEB pelo DIANA ..................................... 106

Figura 8.14 – Isobanda de deformação no DIANA ................................................................... 107

Figura 8.15 – Isobanda de deslocamento vertical no DIANA .................................................... 108

Figura 8.16 – Zona fissurada na viga D após 3500 dias mostrada no DIANA ........................... 108

CAPÍTULO 9 Figura 9.1 – Comparação entre as curvas de deslocamento até 140 dias para viga A ............. 110

Figura 9.2 – Comparação entre as curvas de deslocamento até 140 dias para viga B ............. 110

Figura 9.3 – Comparação entre as curvas de deslocamento até 140 dias para viga C ............. 111

Figura 9.4 – Comparação entre as curvas de deslocamento até 140 dias para viga D .............. 111

Figura 9.5 – Variação somente do módulo de elasticidade do concreto ................................... 114

Figura 9.6 – Variação somente da umidade relativa do ar ....................................................... 115

Figura 9.7 – Variação simultânea do módulo de elasticidade e da umidade do ar.................... 115

Figura 9.8 – Evolução da resistência a compressão de concretos produzidos a partir de cimentos novos e antigos..................................................................................... 117

Figura 9.9 – Pico de deslocamento excessivo em curto intervalo de tempo ............................. 118

Figura 9.10 – Comparação entre as curvas de deslocamento até 3000 dias para viga A ........... 118

Figura 9.11 – Comparação entre as curvas de deslocamento até 3000 dias para viga B ........... 119

Figura 9.12 – Comparação entre as curvas de deslocamento até 3000 dias para viga C ............ 119

Figura 9.13 – Comparação entre as curvas de deslocamento até 3000 dias para viga D ........... 120

Figura 9.14 – Gráfico de deslocamento-tempo para viga D com Curva Variável até 3000 dias ...................................................................................................................... 121

Figura 9.15 – Comparação entre as curvas de deformação até 3000 dias para viga A .............. 122

Figura 9.16 – Comparação entre as curvas de deformação até 3000 dias para viga B................ 122

Figura 9.17 – Comparação entre as curvas de deformação até 3000 dias para viga C............... 123

Figura 9.18 – Comparação entre as curvas de deformação até 3000 dias para viga D .............. 123

xi

LISTA DE TABELAS

CAPÍTULO 6 Tabela 6.1 – Valores característicos superiores da deformação específica de retração

εcs(t∞,t0) e do coeficiente de fluência ϕ(t∞, t 0) ...................................................... 48

Tabela 6.2 – Valores da fluência e da retração em função da velocidade de endurecimento do cimento .................................................................................... 54

Tabela 6.3 – Valores do coeficiente ξ em função do tempo ....................................................... 60

Tabela 6.4 – Limite para corpos-de-prova. ................................................................................ 61

CAPÍTULO 8 Tabela 8.1 – Coeficiente de fluência para o Modelo de Código do CEB-FIB ........................... 92

Tabela 8.2 – Dados de entrada baseados no CEB 1990 para o DIANA................................... 107

CAPÍTULO 9 Tabela 9.1 – Diferenças percentuais entre os resultados dos deslocamentos ........................... 124

xii

RESUMO

A fluência nas peças de concreto armado é apontada como uma das possíveis

causas de casos relatados de destacamentos de argamassa de revestimento e

esmagamento de fiadas em alvenaria de vedação vertical em edifícios. Os projetos

estruturais têm sido elaborados com parâmetros majoradores de deformação por

fluência, tentando minimizar a interação entre a estrutura e as alvenarias. Este

trabalho comparou o comportamento de vigas biapoiadas de concreto armado

submetidas ao fenômeno da fluência, modeladas pelo Método dos Elementos Finitos

(MEF) e calculadas tendo como referência a NBR6118 com vigas ensaiadas

experimentalmente. Foram analisados quatro grupos de vigas denominados A, B, C e

D com características geométricas iguais, porém com propriedades físicas diferentes.

As modelagens foram realizadas nos programas ADINA e DIANA, com modelos

tridimensionais. Foram consideradas as tensões de compressão para o estudo do

fenômeno. As vigas têm seção transversal retangular, têm comprimento longitudinal

de 6m e apenas as armaduras longitudinais são consideradas. O carregamento foi

considerado concentrado e aplicado no meio do vão com valor de 2 kN, sendo que

nas análises também foi considerado o peso próprio das vigas. Os principais

parâmetros considerados na modelagem das vigas foram: a) período para o estudo da

fluência de 140 dias; b) consideração da parcela de não-linearidade física do

material, caracterizando a perda de rigidez em sua seção transversal. A avaliação foi

realizada comparando os resultados obtidos na modelagem numérica com dados

obtidos a partir de ensaios experimentais disponíveis na literatura e, também, com

resultados providos a partir de cálculos baseados na NBR 6118/2003. Pode-se

concluir que comparadas, todas as curvas apresentaram um bom comportamento

qualitativo, ou seja, todas caracterizaram de forma adequada o comportamento

assintótico do fenômeno estudado. Entretanto, devido a possíveis problemas

ocorridos no ensaio experimental e a validade parcial dos métodos de cálculo da

fluência utilizados na análise numérica, não foi possível estabelecer,

quantitativamente, a eficiência e a eficácia destes programas quando requeridos a

calcular a deformação por fluência em vigas de concreto armado.

xiii

ABSTRACT

Concrete creep is one of the probable causes of the occurrence of pathologies

in reinforced concrete structures. The structural design has been made with

overestimated parameters of creep strain, in an attempt to minimize the structure-

masonry interaction. In this research an to analysis of the creep phenomenon in

reinforced concrete simply supported beams under constant load is developed. Four

beam groups, named A, B, C e D, have been analyzed. All the four groups have the

same dimensions, but distinct physical properties. These simply supported beans

have a 6m span and a prismatic cross section. All the numerical analyses have been

done for 3-D beam models, through the ADINA and DIANA software. Only creep

compression stresses and longitudinal reinforcement have been considered. A 2 kN

load is applied in the mid-span each beam. In addition the weight of the beans have

been considered. The main parameters considered in the creep simulation are: a)

period of time of 140 days; b) consideration of the non-linear physical response of

the material, characterizing a loss of stiffness and cracking. A comparison is made

between the numerical analyses results and the experimental data. These results are

then compared to the ones provided by the NBR 6118/2003. This comparisons have

show a good qualitative agreement in terms of the asymptotic behavior of the creep

phenomenon. However, due to possible problems in experimental tests and to the

partial validity of the applied creep equation, it has not been possible to verify a good

quantitative estimation and of the effectiveness of the software to accurately predict

the creep deformation for the tested reinforced concrete beams.

INTRODUÇÃO 1

INTRODUÇÃO

ág

es

se

pa

de

Co

ap

im

[2

ma

req

de

de

pa

es

1

O concreto, como segundo material de maior consumo mundial depois da

ua, requer uma atenção importante. Bastante difundido e popularmente conhecido

se material exige uma série de cuidados (adensamento, cura, etc...) que precisam

r levados em consideração para que, no futuro, não venham ocorrer problemas

tológicos (METHA & MONTEIRO [1994]).

A durabilidade de estruturas em concreto armado e protendido vem

spertando, nos últimos anos, bastante interesse no meio acadêmico e técnico.

nceber e construir estruturas em concreto que atendam à segurança, estabilidade e

tidão em serviço durante o período correspondente à sua vida útil é um dos mais

portantes objetivos a serem alcançados pelos engenheiros. Segundo a NBR 6118

003] entende-se por vida útil de projeto o período de tempo durante o qual se

ntêm as características das estruturas de concreto desde que atendidos os

uisitos de uso e manutenção prescritos pelo projetista e pelo construtor, bem como

execução dos reparos necessários decorrentes de danos acidentais.

O desenvolvimento de novas tecnologias e a necessidade de aperfeiçoamento

novas técnicas vem exigindo que os engenheiros civis busquem novos métodos

ra tornar cada vez mais seguros e economicamente viáveis os projetos de

truturas de concreto.

INTRODUÇÃO 2

As aplicações do concreto em estruturas complexas e grandiosas no Brasil e

no mundo são imensuráveis. A importância de um conhecimento mais aprofundado

do comportamento de tais estruturas e, principalmente, seu comportamento futuro,

aguçam a necessidade de um estudo mais aprofundado das mesmas (NEVILLE

[1997]). Assim, o tema abordado neste estudo tem como um de seus objetivos

aprimorar o conhecimento do comportamento de estruturas de concreto, no que diz

respeito a suas deformações e deslocamentos com o passar do tempo.

O comportamento do concreto é caracterizado por uma complexa relação

entre tensão, deformação e tempo. Na aplicação de um carregamento em uma

estrutura de concreto, ocorre em primeiro instante, uma deformação instantânea, a

qual é seguida de um acréscimo de deformação ao longo do tempo. A deformação no

concreto ao longo do tempo devido a uma tensão constante denomina-se fluência. O

conhecimento de tal fenômeno foi citado pela primeira em 1907 por Hatt.

Uma vez definido que existam tais deformações, é provável que se as mesmas

não forem consideradas de forma correta, isto possa causar patologia a ponto de

danificar de forma considerável estruturas em geral.

1.1. OBJETIVOS

Esse trabalho tem como objetivo principal comparar os valores obtidos para o

deslocamento (flecha) devido à fluência, em vigas biapoiadas de concreto armado,

por meio da modelagem numérica de dois programas baseados no Método dos

Elementos Finitos (MEF) e por meio de ensaios experimentais, citados em

FIGUEIREDO [2003]. Esta comparação foi realizada com dados de deslocamentos

obtidos pela simulação do fenômeno da fluência em vigas de concreto armado,

modeladas nos programas, e com os resultados de deslocamentos obtidos por meio

de ensaios experimentais. Os ensaios experimentais foram realizados no Centro de

Pesquisa e Desenvolvimento em Construção Civil (CPqDCC) da Escola Politécnica

da Universidade de São Paulo (EPUSP).

INTRODUÇÃO 3

O objetivo dessas comparações é tentar fornecer aos usuários de tais

programas a idéia de quanto eficaz e eficiente os mesmos são quando requeridos a

modelar o fenômeno da fluência em estruturas de concreto armado.

Foi realizado também o procedimento de cálculo da fluência, nas vigas de

concreto armado, tendo como referência a norma brasileira de concreto NBR

6118/2003. Os resultados de deformação e de deslocamento, encontrados pelo

cálculo da NBR 6118, também serão comparados com os resultados provenientes das

modelagens numéricas assim como dos ensaios experimentais.

1.2. JUSTIFICATIVA

Patologias no comportamento das alvenarias de vedação têm sido, nos

últimos anos, apontados como uma das principais ocorrências do pós-obra nos

edifícios constituídos em estruturas de concreto armado. O volume de casos relatados

de destacamentos de argamassa de revestimento, de esmagamento de fiadas de

encunhamento e outros, têm sido a causa de sérios prejuízos ao setor da construção

civil. Além disso, há muito desgaste na relação de confiança entre os construtores e

seus clientes finais, que não conseguem conviver com tais fenômenos sem sentirem-

se inseguros e, até enganados. Este tema foi abordado em um ciclo de debates

ocorrido no 46º IBRACON do ano de 2004 na cidade de Florianópolis. Neste ciclo

discutiu-se à respeito de possíveis patologias ocorridas em estruturas de concreto

devido ao fenômeno da fluência.

A ocorrência da fluência nas peças de concreto é considerada como uma das

principais causas do fenômeno. Por outro lado, o mecanismo de distribuição das

deformações entre a estrutura de concreto, as vedações e a grandeza esperada para a

intensidade das deformações tem apresentado resultados muito variáveis.

Tendo em vista essas dificuldades, os projetos estruturais têm sido elaborados

com parâmetros conservadores de deformação por fluência. Estes parâmetros visam

minorar a interação entre a estrutura e as alvenarias, associado a um rigor muito

grande quanto ao tempo de fixação e quantidades de re-escoramentos. Deste modo,

aumenta-se o custo das estruturas de concreto armado reduzindo sua competitividade

sem, no entanto, resolver de forma definitiva o problema.

INTRODUÇÃO 4

1.3. ORGANIZAÇÃO DO TEXTO

No segundo capítulo são mostrados conceitualmente alguns tipos de

deformação que ocorrem no concreto. Neste capítulo também é feita uma abordagem

teórica sobre o comportamento da fluência em estruturas de concreto. O capítulo

terceiro vem mostrar alguns dos principais fatores que afetam a fluência no concreto.

Nele é mostrado como e o quanto cada um desses fatores influenciam de forma

bastante significativa na deformação por fluência em estruturas de concreto armado.

O quarto capítulo relata sobre os aspectos reológicos e como esses podem ser

aplicados ao material concreto. Nele são mostrados quais os tipos de modelos

reológicos básicos que podem ou não ser associados para tentar simular o real

comportamento do mesmo.

No capítulo cinco é discutido como se caracterizada uma função e um

coeficiente de fluência, e qual a melhor forma de utilização dos mesmos. Serão

também mostrados e discutidos alguns dos métodos para a análise da fluência citados

na literatura e utilizados neste trabalho.

No sexto capítulo é apresentada a formulação para o cálculo da deformação

ao longo do tempo (fluência) segundo a norma brasileira NBR 6118/2003. Também e

feita uma descrição da realização de ensaio para a determinação do fenômeno da

fluência para concreto endurecido segundo a NBR 8224/1983. Além disso, é

mostrado como deve-se efetuar o cálculo para a consideração da perda de rigidez

devido à fissuração em estruturas lineares de concreto armado.

O capítulo sete mostra a caracterização do material estudado, ou seja, o que

foi levado em consideração para a análise das vigas neste trabalho. Além disso, esse

capítulo também vem mostrar de forma sucinta como foi feita a realização do ensaio

experimental bem como as irregularidades ocorridas no mesmo.

No oitavo capítulo é apresentado, simplificadamente, o comportamento da

deformação por fluência no Método dos Elementos Finitos (MEF). Também serão

apresentadas as considerações utilizadas nos programas que foram usados para a

determinação da fluência nas vigas em estudo. Será apresentada também a descrição

INTRODUÇÃO 5

das modelagens geométricas e por fluência em ambos os programas e as

considerações que foram utilizadas em cada software para a descrição do fenômeno.

Os quatro últimos capítulos contêm as comparações dos resultados, a

conclusão, a proposta para o próximo trabalho e as referências bibliográficas,

respectivamente.

TIPOS DE DEFORMAÇÕES NO CONCRETO

6


cu

da

(F

2
O comportamento de materiais como o concreto é medido a partir de uma
rva denominada Tensão-Deformação, onde nela é apresentado o comportamento

s tensões de um determinado material em função da variação das deformações

igura 2.1).

Figura 2.1 – Curvas tensão-deformação da pasta de cimento, do agregado e do concreto

.MEHTA e MONTEIRO (1994)

1000 2000Deformação (10-6)

3000

10

20

30

40

50

0

Pasta de Cimento

Concreto

Agregado

Ten

são

(MPa

)


7

A princípio, devido à aplicação de um carregamento, ocorre uma deformação

imediata, que é totalmente dependente da intensidade da tensão aplicada. Esta

deformação se dá em regime elástico, proveniente de uma relação entre tensão e

deformação definida pela Lei de Hook, formulada em 1678, na qual para toda tensão

existe uma deformação que varia em regime linear. Contudo, o concreto não é um

material verdadeiramente elástico e nem suas deformações são uniformes ao longo

da peça, podendo assim haver uma variação de tensão de ponto a ponto.

Em verdade, a hipótese de considerar o módulo de elasticidade constante para

diversos materiais (princípio básico da Teoria da Elasticidade), o que inclui o

concreto, só é considerada válida e de maneira aproximada, se levadas em conta

regiões com baixas tensões e um período curto de carregamento. Além da

deformação dita elástica, em quaisquer outras condições pode haver o aparecimento

de deformações plásticas, onde sua importância, levando em conta a distribuição de

tensões, não pode ser desprezada.

NEVILLE [1997] classifica três tipos principais de deformações ao longo do

tempo: deformação elástica instantânea ou imediata, deformação elástica retardada e

deformação lenta ou por fluência.

A deformação elástica instantânea ou imediata, é aquela que ocorre

simultaneamente ou imediatamente após a introdução de um carregamento. Neste

caso, é considerado que exista uma total reversibilidade da deformação, porém, isso

só será válido se a aplicação de carga e descarga for feita em um curto intervalo de

tempo.

Ao aumentar o intervalo de tempo para um ciclo de carga e descarga, haverá

um aumento considerável no módulo de elasticidade do material com o tempo, esse

aumento acarretará em uma reversibilidade parcial da deformação, classificada como

deformação parcial ou deformação elástica retardada. Essa deformação ocorre com

uma velocidade muito menor do que a da deformação elástica imediata. No entanto,

existe ainda uma outra parcela de deformação que se desenvolve com o tempo e que

se processa muito mais lentamente. A chamada deformação lenta ou por fluência.


8

2.1. DEFORMAÇÃO ELÁSTICA

Entende-se por deformação elástica toda deformação instantânea, reversível e

que cause variação de volume. Ela ocorre pela deformação dos átomos em resposta

ao esforço aplicado. Quando é retirada a carga, os átomos retornam à sua posição de

repouso. É importante ressaltar que toda deformação elástica é linear, isto é, a

deformação é proporcional a tensão aplicada. Para o concreto é salientado que, após

o descarregamento em estruturas usuais, parte desta deformação permanece, ou seja,

não ocorrerá uma total reversibilidade da mesma.

Como já citado, existe uma relação entre tensão e deformação (lei de Hook);

dessa relação a deformação é obtida em função da tensão aplicada e do módulo de

elasticidade do concreto no instante da aplicação do carregamento. É importante

frisar que a deformação elástica dita imediata ocorre simultaneamente ou

imediatamente após a aplicação da carga e depende fundamentalmente da

intensidade da mesma.

2.2. DEFORMAÇÃO PLÁSTICA

A deformação plástica é considerada instantânea, irreversível e sem variação

de volume do material. Após o material apresentar deformação inicial ou instantânea,

acima de um determinado valor de carregamento, começam a ocorrer

escorregamentos relativos dos átomos e das moléculas do material. Estes

escorregamentos dão origem à deformação plástica.

Como não ocorre deformação na ligação dos átomos, isto é, não ocorre

deformação das ligações interatômicas, não existe variação de volume e, como

ocorre também uma mudança na posição relativa dos átomos da estrutura, as

deformações são irreversíveis, ou seja, com a retirada do carregamento à parcela de

deformação plástica não é mais recuperada. O material fica deformado

permanentemente.


9

2.3. DEFORMAÇÃO LENTA OU FLUÊNCIA

Enquanto as deformações elástica e plástica ocorrem simultaneamente à

aplicação da carga em todos os materiais, alguns materiais usados na engenharia civil

podem sofrer uma deformação adicional se o carregamento for mantido por tempo

suficientemente longo. Trata-se da deformação lenta ou fluência. Ela possui dois

componentes: um componente elástico e outro viscoso. A velocidade dessa

deformação varia de acordo com o tipo material.

De fato, com o carregamento de um corpo de concreto, verifica-se uma

deformação imediata ou instantânea que, com o passar do tempo, tende a aumentar

assintoticamente para um valor final, alcançado na prática após dois ou três anos

(RÜSCH [1981]). O concreto é considerado como um dos poucos materiais onde a

influência da deformação lenta é significativa. No aço (utilizados para concreto

armado) esta influência é geralmente desprezível.

Segundo GRAVINA [1956], “a deformação final, soma das deformações

imediatas e por fluência, pode, em condições desfavoráveis, atingir um valor de 4 a 5

vezes maior que a deformação instantânea”.

É correto afirmar que são vários os fatores que influenciam na deformação

lenta do concreto e, alguns desses, estão inteiramente ligados a propriedades deste

material. Destas influências, pode ser levado em consideração que a fluência está

ligada à secagem do concreto no tempo. RÜSCH [1981] cita que a fluência do

concreto deve ser atribuída à migração de água, causada pela carga externa, para as

camadas de água absorvida da estrutura do gel, bem como o efeito das tensões

capilares, ou seja, ao se aplicar carga em um corpo de concreto, existe uma

distribuição da mesma pelo esqueleto do sólido e pelas águas dos poros.

GRAVINA [1956] afirma que devido às dimensões muito pequenas dos

canais, a água não escoa imediatamente após a aplicação da carga. Sua distribuição

sobre a camada líquida gera uma variação no estado de tensão da mesma e, portanto,

perturba o equilíbrio higrométrico. As tensões de compressão exercidas na camada

de água tendem a diminuir gradativamente, resultando no desaparecimento completo

das mesmas, assim, as tensões que anteriormente eram resistidas pela camada de


10

água, passam a ser agora resistidas gradativamente pelo esqueleto do sólido. Esta

migração de esforços termina ao se alcançar novamente o equilíbrio higroscópico,

quando a carga passa a ser resistida totalmente pelo esqueleto sólido e se restabelece

na água o mesmo estado de tensão que existia antes de aplicar o esforço.

RÜSH [1981] mostra as deformações medidas em um ensaio de fluência, em

um concreto com aplicação de carga aos 28 dias de idade. O concreto foi

descarregado após um ano e novamente carregado após dois anos, Figura 2.2.

ε ‰ Novo Carregamento Descarregamento

28 dias 1 ano

0,2

2 anos

0,4

0,6

0,8

1,0

Tempo

εφ1

εe1

εe1

εe2

εe1 = Deformação elástica no instante 1

εφ1 = Deformação por fluência após o instante 1

εe2 = deformação elástica no instante 2

εφ2 = Deformação por fluência após o instante 2

εφ2

Figura 2.2 – Representação esquemática dos resultados de um ensaio de deformação lenta.

RÜSCH (1981)

No instante do carregamento ocorreu a deformação elástica εe1; após 1 ano, a

deformação havia aumentado de um valor εφ1, sob o efeito contínuo da carga. No

descarregamento, a deformação diminuiu imediatamente de aproximadamente εe1.

No ano seguinte, ocorreu uma recuperação na deformação, que é explicada devido ao

efeito da deformação lenta reversível. Com o novo carregamento aparece uma nova

deformação elástica εe2 e uma outra deformação devido à fluência εφ2. Ο valor da

deformação lenta é composto por uma parcela de elasticidade retardada e por uma

outra parcela correspondente à fluência.

METHA & MONTEIRO [1994] conceituam como fluência básica todo

aumento de deformação ao longo do tempo com tensão constante e sob condições de

umidade relativa de cem por cento (100%). Esta condição geralmente surge em

estruturas de grande porte onde a retração por secagem pode ser desprezada.


11

Quando o concreto está sob carga e simultaneamente exposto a condições de

baixa umidade relativa, a deformação total é maior que a soma da deformação

elástica, da deformação por retração livre e da deformação por fluência básica (sem

secagem), a esta diferença de deformação é dado o nome de fluência por secagem. A

fluência total é a soma das fluências básica e por secagem, entretanto, os autores

citam que é comum ignorarmos essa distinção entre fluências básica e por secagem e

conceituarmos como fluência à deformação sob carga constante, além da soma da

deformação elástica e da deformação livre por secagem, Figura 2.3.

ε0

ε1

Fluência Básica

Deformação Elástica

Fluência por Secagem

Def

orm

ação

TempoFigura 2.3 – Deformação dependente do tempo em concreto submetido à carga mantida.

METHA & MONTEIRO (1994)

Em condições normais de carregamento, a deformação instantânea registrada

depende da velocidade da aplicação da carga e inclui, portanto, não apenas a

deformação elástica, mas também uma parte da fluência. Como o módulo de

elasticidade do concreto aumenta com a idade, a deformação elástica diminui

progressivamente e, a rigor, a fluência deveria ser tomada como a deformação que

excede a deformação elástica no momento em que a mesma está sendo determinada.

Em verdade, é difícil na maioria das vezes fazer a distinção entre a

deformação elástica e a fluência inicial por fluência, porém, não existe muita

importância em âmbitos práticos em tal distinção. Para fins práticos, se faz uma

diferenciação arbitrária: a deformação que ocorre imediatamente ou simultaneamente

à aplicação do carregamento é considerada elástica e o aumento subseqüente dessa

deformação devido a carga constante é considerado como fluência.


12

2.3.1. REVERSIBILIDADE

O problema da natureza da fluência é bastante complexo. A principal causa

do fenômeno é a pasta de cimento hidratado (C-S-H). A fluência está relacionada

com a movimentação interna de água absorvida ou intercristalina como já

mencionado, isto é, percolação interna. METHA & MONTEIRO [1994] cita que

ensaios de Glucklich* mostraram que um concreto do qual foi removida toda água

evaporável não apresentou praticamente nenhuma fluência.

É possível que ocorra a percolação interna da água das camadas absorvidas

para os vazios como os poros capilares. Uma evidência indireta do papel desses

vazios é a relação entre a fluência e a resistência da pasta de cimento hidratado:

aparentemente a fluência é uma função dos espaços não preenchidos e pode-se

especular dizendo que são os vazios do gel que determinam tanto a resistência quanto

a fluência. Neste último caso, os vazios podem ser relacionados com a percolação. O

volume desses vazios é, naturalmente, uma função da relação água/cimento e é

influenciado pelo grau de hidratação. RÜSH [1981].

É razoável imaginar que, depois de vários anos sob carregamento, a espessura

das camadas de água absorvida possa ser reduzida a tal ponto que mais nenhuma

redução seja possível sob a mesma tensão, e se registrou fluência mesmo após 30

anos. Portanto, é provável que a parte lenta da fluência, a longo prazo, seja devida a

outras causas e não somente a percolação da água. Isso pode sugerir escoamento ou

escorregamento viscoso entre as partículas de gel. Esses mecanismos são

compatíveis com a influência da temperatura sobre a fluência e podem explicar

também a parcela nitidamente irreversível da fluência em longo prazo. NEVILLE

[1997].

NEVILLE [1997] também cita que foi desenvolvido por McHenry um

tratamento possível da recuperação parcial da fluência a partir do princípio da

superposição de deformações. Esse tratamento estabelece que as deformações

produzidas no concreto a qualquer tempo t por um incremento de tensão aplicado em

* J. Glucklich, Creep mechanism in cement mortar, J. Amer. Concr. Inst., 59, pp. 923-48 (July 1962).


13

um momento qualquer t0, são independentes dos efeitos de qualquer tensão aplicada

antes ou depois de t0. Segue então que, se a tensão é removida à idade t1, a

recuperação resultante da fluência será igual à fluência de um elemento semelhante

submetido a uma tensão igual de compressão à idade t1. A Figura 2.4 ilustra essa

afirmativa, e pode ser visto que a recuperação é representada pela diferença entre a

tensão real em qualquer momento e a tensão que existiria no mesmo momento se o

elemento continuasse submetido à tensão de compressão inicial.

40 80 120 150

Idade-dias

Figura 2.4 – Exemplo do princípio de McHenry da superposição de deformações

200 0

40

30

Fluê

ncia

Esp

ecífi

ca

10-6

MPa

20

10

Um aspecto relevante citado por METHA & MONTEIRO [1994] é que o

comportamento típico do concreto na molhagem e na secagem ou no carregamento e

descarregamento é bastante semelhante, figuras 2.5 e 2.6. Tanto o fenômeno de

retração por secagem quanto o de fluência no concreto apresentam um grau de

irreversibilidade que possui importância prática. A Figura 2.5 mostra que após a

primeira secagem, o concreto não retornou a sua dimensão original mesmo depois de

molhado. A retração por secagem, portanto, foi classificada em retração reversível,

que é a parte da retração total reproduzível em ciclos de molhagem-secagem; e

retração irreversível, que é a parte da retração total na primeira secagem que não

pode ser reproduzida em ciclos subseqüentes de molhagem-secagem.


14

Retração Total

Retração Reversível

Retração Irreversível

Molhagem Secagem1000

800

600

400

200

Def

orm

ação

Neg

ativ

a (µ

m/m

)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 Tempo (dias) Figura 2.5 – Reversibilidade da retração por secagem. METHA e MONTEIRO (1994)

A curva de fluência para o concreto sujeito a uma compressão uniaxial

constante durante 90 dias e, após, descarregado é mostrado na Figura 2.6.

Deformação Elástica

0 20 40 60 80 100 120

200

400

600

800

1000 Carregamento Descarregamento

Deformação por Fluência

Recuperação Elástica

Recuperação da Fluência

Fluência Irreversível

Mic

rode

form

ação

Tempo de Carregamento (dias) Figura 2.6 – Reversibilidade da fluência. METHA e MONTEIRO(1994).

Quando a amostra é descarregada, a recuperação instantânea ou elástica é

aproximadamente da mesma ordem da deformação elástica resultante da primeira

aplicação da carga.

A recuperação instantânea é seguida por uma redução gradual da deformação

chamada recuperação da fluência. Embora a recuperação da fluência ocorra mais


15

rapidamente que a fluência, a reversão da deformação por fluência não é total.

Analogamente a retração por secagem, Figura 2.5, esse fenômeno é definido pelos

termos correspondentes, fluência reversível e irreversível.

No próximo capítulo serão comentados alguns fatores que influenciam, de

forma significativa, no desenvolvimento da deformação por fluência. Esses fatores

são, por exemplo, a umidade, a temperatura, os materiais, a geometria da peça, os

aditivos e adições, entre outros.

A importância do conhecimento de como tais fatores influenciam na

deformação por fluência do concreto é de vital importância, pois, serão estes mesmos

fatores que irão ditar como irá se comportar a estrutura, em relação a sua deformação

por fluência, ao longo do tempo. Tais fatores se encontram apresentados no próximo

capítulo.

FATORES QUE AFETAM A FLUÊNCIA NO CONCRETO

16


en

as

pr

da

en

ret

fat

cim

de

us

vo

3
Verifica-se, na prática, que a fluência depende de vários fatores relacionados
tre si. Essa interligação proporciona uma abordagem um pouco complexa. Sendo

sim, este capítulo abordará de forma bastante simples e restrita alguns dos

incipais fatores que afetam a fluência no concreto.

Algumas características da fluência decorrem das propriedades intrínsecas

s misturas, outras das condições externas. As variações da umidade na pasta

durecida de cimento, que essencialmente é quem controla as deformações de

ração por secagem e de fluência no concreto, são influenciadas por numerosos

ores simultâneos inter-relacionados (METHA & MONTEIRO [1994]).

3.1. MATERIAIS E DOSAGEM

Segundo NEVILLE [1997], deve ser notado que realmente é a pasta de

ento hidratado que apresenta fluência, sendo o papel do agregado basicamente o

contenção; os agregados não são sujeitos à fluência quando submetidos às tensões

uais no concreto. Assim, o autor afirma que a fluência é uma função do teor, em

lume, da pasta de cimento no concreto, mas a dependência não é linear. Existe


17

uma relação entre a fluência do concreto, o teor em volume de agregados e o teor em

volume de cimento não hidratado. Essa função é descrita da seguinte forma:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ugc

cp

11loglog α (3.1)

onde:

• c é a fluência do concreto;

• g é o teor em volume de agregados;

• u é o teor em volume de cimento não hidratado;

• cp é a fluência da pasta de cimento com as mesmas características da usada

no concreto;

( )( )

aa E

Eµµ

µα2121

13

−++

−=

(3.2)

Nessa expressão, que se aplica a concretos com agregados leves ou agregados

normais, µa é o coeficiente de Poisson do agregado, µ é o coeficiente de Poisson do

concreto, Ea é o modulo de elasticidade do agregado e E é o modulo de elasticidade

do concreto.

METHA & MONTEIRO [1994] relatam que a granulometria, dimensão

máxima, forma e textura do agregado também são fatores bastante significativos para

a fluência no concreto que geralmente é caracterizada pela influência direta do

módulo de deformação do agregado.

Existem alguns fatores físicos do agregado que exercem uma forte

representatividade sobre a fluência, um dos mais importantes deles é o módulo de

elasticidade, NEVILLE [1997].

NEVILLE [1997] mostra resultados muito importantes em concretos com

idade após 20 anos de conservação, mantidos a 50% de umidade relativa e a 21ºC,

Figura 3.1.


18

A EQUIPE DE FURNAS [2000] afirma que na maioria de suas investigações

a fluência foi estudada, experimentalmente, com o objetivo de se determinar uma

dependência com as diversas propriedades do concreto. Desse modo foi constatado

que a fluência diminui com o aumento do diâmetro máximo do agregado (Dmáx). A

fluência varia com a forma do agregado e esta será maior para concretos com

agregados britados. Foi constatado que a fluência do concreto aumentou 2,5 vezes

quando um agregado com alto módulo de elasticidade foi substituído por um

agregado com baixo módulo de elasticidade.

CalcárioQuartzoGranito

SeixoArenito

1600

1200

800

400

0 3020 5

Ano10 21 9028

Dias 10

Fluê

ncia

- 1

0-6

Tempo a partir do carregamento (log)

Figura 3.1 – Fluência de concretos com diversos agregados com a mesma proporção, carregados à idade de 28 dias. NEVILLE (1997)

3.2. UMIDADE DO AR E TEMPERATURA

NEVILLE [1997] afirma que um dos fatores mais importantes que atuam

sobre a fluência é a umidade relativa do ar que envolve o concreto, isso quer dizer

que para se obter uma menor fluência, o concreto deve, teoricamente, ser exposto em

ambientes com altos níveis de umidade. Isso é ilustrado na Figura 3.2 para peças

curadas a umidade relativa de 100% e depois carregadas e expostas a diversas

umidades.


19

1200

400

800 50% 70%

100%

Umidade Relativa

0 3020 90 1 2 5

AnoTempo a partir do carregamento (log.)

10 28 Dias

10

Fluê

ncia

- 1

0-6

Figura 3.2 – Fluência em concretos carregados e mantidos em diferentes umidades relativas. NEVILLE (1997)

Segundo METHA & MONTEIRO [1994] espera-se que um aumento na

umidade atmosférica torne mais lenta a taxa relativa do fluxo de umidade do interior

para as superfícies externas do concreto. À umidade relativa de 100%, admite-se que

o coeficiente de fluência seja 1, aumentando para 2 à uma umidade relativa de 80% e

3 à umidade relativa de 45%.

A influência da umidade relativa é muito menor, ou nenhuma, no caso de

elementos que tenham atingido o equilíbrio higroscópico com o meio antes da


Com relação à temperatura, a fluência será tanto maior quanto maior for a

temperatura durante o carregamento. METHA & MONTEIRO [1994] relatam que se

uma peça de concreto é exposta a uma temperatura maior que a ambiente como parte

processo de cura, antes de ser carregada, a resistência aumentará e a deformação por

fluência será um tanto menor do que de um concreto armazenado a uma temperatura

mais baixa. Por outro lado, a exposição à alta temperatura, durante o período em que

o concreto está sendo carregado, pode aumentar a fluência.

Para temperaturas abaixo de 5ºC, a deformação lenta praticamente cessa. Por

outro lado, para temperaturas acima de 20ºC a fluência aumenta. Este fato é notado


20

principalmente em pontes, nas quais o concreto do tabuleiro, sobre o qual existe uma

camada de asfalto, atinge temperaturas acima de 40ºC quando exposto à radiação

solar durante um longo tempo, EQUIPE DE FURNAS [2000].

3.3. ADIÇÕES E ADITIVOS

Os aditivos e adições também influenciam o resultado final da deformação

lenta. METHA & MONTEIRO [1994] comentam que tais aditivos ou adições como

cloreto de cálcio, escória granulada e pozolanas tendem a aumentar o volume de

poros finos no produto da hidratação do cimento.

Uma vez que a fluência no concreto é associada diretamente à água contida

em pequenos poros (de 3 a 20nm), concretos contendo adições capazes de refinar

estes poros, normalmente apresentam retração por secagem e fluência maiores.

Aditivos redutores de água e retardadores de pega, que são capazes de causar uma

melhor dispersão de partículas de cimento anidro na água, também levam a um

refinamento dos poros no produto de hidratação. Em geral, espera-se que aditivos

que aumentem a retração por secagem aumentem a fluência, METHA &

MONTEIRO [1994].

NEVILLE [1997] afirma que o efeito da resistência do concreto no momento

de aplicação da carga sobre a fluência vale também quando se usam diferentes

materiais cimentícios. De outro modo não seriam possíveis generalizações sobre a

fluência de concretos com cinzas volantes ou escórias granuladas de alto forno, pois

a literatura relata pesquisas feitas em diferentes condições de ensaio.

Pode-se dizer com confiança que o modelo da evolução da fluência e da

recuperação não é alterado pela presença de cinza volante classe C ou Classe F,

escoria granulada de alto forno ou sílica ativa, ou mesmo uma combinação desses

materiais.

No entanto, pode haver algum efeito da pasta de cimento sobre a fluência

resultante da inclusão de vários materiais cimentícios. O efeito sobre a fluência por

secagem, onde são importantes a permeabilidade e a difusividade da pasta de

cimento hidratado, pode ser diferente do efeito sobre a fluência básica. Por exemplo,


21

o uso de escória de alto forno pode levar a uma fluência básica menor, porém com

aumento da fluência por secagem.

Deve ser lembrado que os diferentes materiais cimentícios têm diferentes

velocidade de reação e, portanto, aumentos de resistências diferentes enquanto o

concreto estiver sob carga.

3.4. GEOMETRIA DA PEÇA

A espessura de uma peça de concreto tem grande influência no valor e na

variação da fluência. As peças espessas apresentam um menor valor de fluência em

comparação com as delgadas, isso se deve ao fato de que a secagem no interior é

mais demorada do que na parte externa da peça. À uma umidade relativa mantida

constante, tanto a forma quanto o tamanho da peça influenciam diretamente na

magnitude da retração e da fluência, EQUIPE DE FURNAS [2000].

2.2 50%

100 200 300Espessura Teórica (mm)

400 500

70%

90%

Coe

ficie

nte

de F

luên

cia

(10-6

MPa

)

2.0

1.8

1.6

1.4

1.2

0

Figura 3.3 – Influência do tamanho da peça e da umidade relativa no coeficiente de fluência. CEB-FIB 1990.

METHA & MONTEIRO [1994] classificam por espessura teórica ou efetiva

os parâmetros de tamanho e forma da peça usados para expressar uma única

quantidade, que é igual a área da seção dividida pelo semiperímetro em contato com


22

a atmosfera. Essa relação entre espessura teórica e coeficiente de fluência é mostrada

na Figura 3.3.

3.5. INTENSIDADE DO CARREGAMENTO

Quanto maior for a intensidade da carga aplicada numa estrutura de concreto

maior será sua deformação por fluência, ou seja, a fluência é proporcional à carga

aplicada para tensões variando entre 40% e 50% da resistência a compressão do

concreto. Deve-se também lever em consideração o tempo de sua aplicação.

3.6. EFEITOS DA FLUÊNCIA SOBRE AS ESTRUTURAS

A deformação por fluência afeta de forma bastante significativa o

deslocamento vertical (flecha) e, muitas vezes também, a distribuição de tensões em

estruturas de concreto armado ou protendido.

No caso de concreto simples a fluência não altera a resistência do material,

embora sob tensões muito elevadas possa abreviar a aproximação de deformação

limite na qual ocorre a ruptura. Isto pode ocorrer quando a carga aplicada for

superior a um valor entre 85% e 90% da carga limite (resistência do material),

NEVILLE [1970].

Para o concreto massa a fluência também é um parâmetro muito importante,

pois o seu efeito resulta na relaxação das tensões de origem térmicas oriundas do

resfriamento do concreto.

O concreto, logo após lançado, sofre uma elevação de temperatura devido ao

desenvolvimento do calor gerado pelas reações exotérmicas de hidratação do

cimento, atinge a temperatura máxima e inicia o resfriamento para entrar em

equilíbrio térmico com o ambiente. Na fase de aquecimento não existe a

possibilidade de fissuração, pois as tensões iniciais são de compressão. Com o passar

do tempo, devido ao resfriamento, estas tensões de compressão são aliviadas e

instalam-se tensões de tração. Esse fenômeno pode provocar fissuras antes mesmo


23

que a temperatura tenha se equilibrado com o ambiente, EQUIPE DE FURNAS

[2000].

A relevância em se fazer comentários sobre as propriedades que influenciam

a deformação por fluência neste capítulo vem do fato de que, tanto a norma NBR

6118/2003 como o programa DIANA levam em consideração estas propriedades no

desenvolvimento de seus cálculos para o estudo da fluência. Como ambos serão

utilizados para a elaboração deste trabalho, achou-se de maneira fundamental o

comentário destas propriedades. Nos próximos capítulos serão descritas algumas

representações matemáticas que descrevem o fenômeno da fluência.

MODELOS REOLÓGICOS

24

MODELOS REOLÓGICOS

co

co

rep

e p

do

rea

co

rep

um

ha

mo

sim

sig

qu

4
Entende-se por modelos reológicos todos aqueles que simulam o
mportamento de um determinado material ao longo do tempo. A reologia

nstitui-se no estudo do comportamento dos materiais por meio de modelos de

resentação, onde são levados em conta fenômenos como elasticidade, viscosidade

lasticidade.

A idéia de simular o comportamento das deformações do concreto ao longo

tempo já vem sendo estudada por vários anos. Diversas tentativas foram

lizadas para simular essas deformações por vários modelos reológicos

nstituídos de elementos de mola ou amortecedor. Cada um desses elementos

resenta uma deformação característica específica de um dado componente ou de

a fase do concreto.

Essa aproximação é, na maioria das vezes, empírica e seu sucesso depende da

bilidade em atribuir a uma parte da deformação no concreto um dado elemento do

delo. Em outra tentativa, o número de elementos reológicos é combinado

plesmente para aproximar ensaios reais de deformação sem considerar o seu

nificado físico, NEVILLE [1983]. Outra aproximação considera um pouco mais

e um ajuste de equações e sua utilidade encontra-se principalmente em facilitar

MODELOS REOLÓGICOS

25

uma solução de equações diferenciais envolvendo tempo, tensão e deformação ou

suas derivadas parciais. A solução dessas equações considera a deformação como

uma função da tensão e do tempo (i.e., equação da fluência) ou a tensão como uma

função da deformação e do tempo (i.e., equação de relaxação).

4.1. VISCOELASTICIDADE

O estudo da viscosidade é bem difundido em mecanismos relacionados a

líquidos, porém, existem estudos atuais onde estas considerações são aplicadas

também em materiais sólidos. A viscosidade nos sólidos trata-se de um fenômeno

caracterizado pelo aparecimento de deformações não imediatas, ou também

chamadas de deformações dependentes do tempo. Tais deformações não aparecem

simultaneamente com a aplicação de tensões, mas sim com o decorrer do tempo.

O comportamento de um material viscoelástico sob carregamento uniaxial

pode ser bem representado por meio de modelos compostos de elementos de mola e

de um cilindro com êmbolo perfurado, imerso em um líquido viscoso chamado de

amortecedor, conforme esquematizado na Figura 4.1. Esses modelos são

particularmente úteis do ponto de vista didático.

Figura 4.1 – Representação esquemática dos elementos reológicos: (a) mola; (b) amortecedor.

(a) (b)

METHA & MONTEIRO [1994] classificaram dois experimentos que podem

ser estudados para o comportamento viscoelástico unidimensional do concreto:

• o ensaio de fluência, no qual a tensão é mantida constante, e é

registrado o aumento de deformação ao longo do tempo;

• o ensaio de relaxação, no qual a deformação é mantida constante, e é

registrada a diminuição da tensão ao longo do tempo.

MODELOS REOLÓGICOS

26

4.2. MODELOS REOLÓGICOS BÁSICOS

Para uma melhor obtenção de resultados, no que se refere à deformação de

materiais sólidos como o concreto, é necessário que sejam caracterizados modelos

mais refinados que, de forma mais realista, definam o comportamento de tais

materiais. Os modelos reológicos básicos são definidos por relações matemáticas

simples e suas combinações dão origem a modelos mais complexos, permitindo com

isso a obtenção de modelos de representação para tais materiais.

O comportamento viscoelástico dos materiais pode ser eficientemente

estimado pela criação de modelos reológicos baseados em dois elementos

fundamentais:

• um segmento de mola definido na Figura 4.1 (a);

• um segmento de pistão lubrificado definido na Figura 4.1 (b).

As deformações obtidas no segmento de mola são classificadas como

elásticas e as deformações definidas pelo segmento de pistão lubrificado são

definidas como viscosas. Os corpos que apresentam essas propriedades são tratados

na literatura como sólido Hookneano e Líquido Newtoneano, respectivamente.

Para o segmento de mola, que representa um corpo elástico perfeito, uma vez que a

deformação é totalmente reversível, a relação entre tensão e deformação é expressa

pela lei de Hook:

( ) ( )tEt εσ .= (4.1)

A resposta da mola à tensão é imediata e, durante o ensaio de fluência,

quando a tensão σo é mantida constante a deformação será σo/E e constante ao longo

do tempo como mostrado na Figura 4.2.

MODELOS REOLÓGICOS

27

Figura 4.2 – Curva de deformação tempo no elemento de mola para fluência.

σο / E

t

ε

O pistão lubrificado, representado pelo elemento amortecedor, pode ser

visualizado como um macaco que desloca um fluido viscoso em um cilindro com

fundo vazado. Usando a lei de Newton para a viscosidade temos:

( ) ( )tt εησ &.= (4.2)

onde:

η é o coeficiente de viscosidade do fluido;

η1 é a fluidez;

( ) ==dtdt εε& é a taxa de deformação.

A lei de Newton estabelece que a taxa de deformação sobre a relaxação é

proporcional à tensão; em conseqüência, para um experimento de fluência, o

amortecedor irá deformar a uma taxa constante, como mostra a Figura 4.3.

Entretanto, para um experimento de relaxação, com a aplicação de uma deformação

instantânea constante, a tensão variará com o tempo.

Elementos reológicos básicos acabam sendo utilizados de maneira que, por

meio de suas combinações em série ou em paralelo possa retratar de forma mais

realista mecanismos viscoelásticos.

MODELOS REOLÓGICOS

28

Figura 4.3 – Curva de Deformação-Tempo no amortecedor para um ensaio de fluência.

t

ε

4.2.1. MODELO VISCOELÁSTICO DE MAXWELL

Por meio de combinações dos modelos de mola e amortecedor descritos

anteriormente, pode-se estabelecer formulações complexas para o comportamento de

diversos materiais.

Figura 4.4 – Representação do modelo viscoelástico de Maxwell.

Eη

σ σ

εvεe

O modelo de Maxwell é representado por uma mola de um amortecedor,

ambos conectados em série, Figura 4.4. A deformação do modelo é dada pela soma

das deformações elástica e viscosa, sendo a tensão igual para os dois elementos. As

seguintes equações se aplicam ao modelo:

Equação de Equilíbrio ( ) ( ) (ttt ve σσσ == ) (4.3)

Equação de Compatibilidade ( ) ( ) (ttt ve εεε += ) (4.4)

Equação Constitutiva – mola ( ) (tEt ee εσ .= ) (4.5)

Equação Constitutiva – amortecedor ( ) (tt vv εησ &.= ) (4.6)

MODELOS REOLÓGICOS

29

Onde são, respectivamente, as tensões total, elástica e

viscosa e a deformação total, elástica e viscosa.

veve εεεσσσ ,,,,,

O modelo prevê um aumento da deformação sem limites. Isto é uma

característica de muitos fluidos e, por essa razão, o material descrito na equação é

conhecido como fluido de Maxwell. Se após o experimento de fluência, o sistema é

descarregado no tempo t1, a deformação elástica na mola recupera-se

instantaneamente, enquanto que a deformação permanece no amortecedor. A Figura

4.5 apresenta a curva Deformação-Tempo.

Figura 4.5 – Representação da curva deformação-tempo no modelo viscoelástico de Maxwell

ε0

ε Carregamento Descarregamento

t

4.2.2. MODELO VISCOELÁSTICO DE KELVIN-VOIGT

O modelo de Kelvin-Voigt é representado por uma mola de um amortecedor,

ambos conectados em paralelo (Figura 4.6). A deformação do modelo é igual para os

dois elementos, sendo que a tensão total é dada pela soma das tensões elástica e

viscosa. Assim, as seguintes equações se aplicam ao modelo:

Equação de Equilíbrio ( ) ( ) (ttt ve σσσ += ) (4.11)

Equação de Compatibilidade ( ) ( ) (ttt ve εεε == ) (4.12)

Equação Constitutiva – mola ( ) (tEt ee εσ .= ) (4.13)

Equação Constitutiva – amortecedor ( ) (tt vv εησ &.= ) (4.14)

MODELOS REOLÓGICOS

30

Onde são, respectivamente, as tensões total, elástica e

viscosa e deformações total, elástica e viscosa. A Figura 4.7 apresenta a curva

Deformação-Tempo para o modelo viscoelástico de Kelvin-Voigt.

veve εεεσσσ ,,,,,

Figura 4.6 – Representação do modelo viscoelástico de Kelvin-Voigt.

σ

η

σ

E

Figura 4.7 – Representação da curva deformação-tempo no modelo viscoelástico de Kelvin-Voigt.

ε

σ0/E

Carregamento Descarregamento

t

Como foi discutido anteriormente, o modelo de Maxwell mostra uma taxa de

deformação constante sob tensão constante, o que pode se adequar para fluidos, mas

não para sólidos. Já o modelo de Kelvin-Voigt não mostra a deformação permanente

após o descarregamento, caracterizando uma deformação elástica. Assim, a

conclusão tirada é que ambos os modelos não representariam de forma correta a

deformação por fluência no concreto. Deste modo, foi desenvolvido um modelo

chamado de modelo de três parâmetros ou modelo de Boltzmann que será descrito a

seguir.

MODELOS REOLÓGICOS

31

4.2.3. MODELO VISCOELÁSTICO DE TRÊS PARÂMETROS

Na tentativa de explicar o fenômeno da fluência no concreto, surgiram

diferentes modelos viscoelásticos. Para uma melhor representação desse fenômeno

no concreto, Boltzmann criou um modelo que leva em consideração a capacidade de

simular deformações elásticas instantâneas, além de ficar caracterizado a igualdade

das tensões nos trechos elásticos e viscoelástico.

O modelo viscoelástico de Boltzmann é representado pelo arranjo em série do

modelo de Kelvin-Voigt com uma mola como mostra a Figura 4.8. Sendo as

deformações ε0 e ε1 a deformação da mola e do elemento de Kelvin-Voigt,

respectivamente. Assim, as seguintes equações se aplicam ao modelo de Boltzmann:

Equação de Equilíbrio ( ) ( ) (ttt ve σσσ == ) (4.18)

Equação de Compatibilidade ( ) ( ) (ttt 10 )εεε += (4.19)

Equação Constitutiva – mola ( ) (tEte00 .εσ = ) (4.20)

Equação Constitutiva – Kelvin ( ) tEtv111 .. εηεσ &+= ( ) (4.21)

Onde são, respectivamente, as tensões total, elástica e viscosa, ve σσσ ,,

10 ,, εεε são, respectivamente as deformações total, da mola e do elemento de Kelvin-

Voigt e η,, 21 EE são, respectivamente, o módulo de deformação do modelo elástico

e o módulo de deformação e a viscosidade do modelo de Kelvin-Voigt.

Porém, esse modelo assim como os outros dois citados anteriormente, possui

uma limitação: a representação do modelo de três parâmetros ou modelo de

Boltzmann não caracteriza de forma adequada a deformação por fluência quando na

estrutura ocorrer um descarregamento.

MODELOS REOLÓGICOS

32

Figura 4.8 – Representação do modelo viscoelástico de Boltzmann.

σ

η

σ

E1

E0

ε1 ε0

A Figura 4.9 apresenta a curva de Deformação-Tempo que representa o

fenômeno da fluência, porém, como já dito anteriormente, essa representação só é

bem aceita para casos onde não haja descarregamento.

Figura 4.9 – Representação da curva deformação-tempo no modelo viscoelástico de Três Parâmetros.

ε σ0/E∞

σ0/E0

σ0/E0

t

4.2.4. MODELO VISCOELÁSTICO DE BURGER

Este modelo foi criado para melhor caracterizar a irreversibilidade da

deformação por fluência em modelos reológicos. O modelo viscoelástico de Burger é

composto por um modelo de Maxwell em série com um modelo de Kelvin-Voigt. A

Figura 4.10 mostra a representação do modelo por meio de segmentos de mola e

amortecedor.

MODELOS REOLÓGICOS

33

Figura 4.10 – Representação do modelo viscoelástico de Burger.

σ

η2

E2

ε1 ε2 ε3

εK εM

σ E1η1

A mola e o amortecedor do modelo de Maxwell são considerados como dois

elementos individuais, sendo as deformações εM e εK a deformação do elemento de

Maxwell e do elemento de Kelvin, respectivamente. Deste modo, as seguintes

equações se aplicam ao modelo de Burger:

Equação de Equilíbrio ( ) ( ) (ttt KM σ=σ=σ ) (4.18)

Equação de Compatibilidade ( ) (t)t()t(t K3

M2

M1 ε+ε+ε=ε ) (4.19)

Equação Constitutiva – Mola ( ) (t.Et 11M1 ε=σ )

Equação Constitutiva – Amortecedor ( ) (t.t 21M2 εη=σ )

(4.20)

Equação Constitutiva – Kelvin ( ) t..Et 3232K εη+ε=σ & ( ) (4.21)

Onde são, respectivamente, as tensões total, do elemento de

Maxwell e do elemento de Kelvin e

KM ,, σσσ

321 e,, εεεε são, respectivamente, as

deformações total, deformação da mola do elemento de Maxwell, deformação do

amortecedor do elemento de Maxwell e deformação do elemento de Kelvin e

são respectivamente, o módulo de deformação do modelo de Maxwell e o

módulo de deformação do modelo de Kelvin e

21 EeE

21 e ηη são as viscosidades do

modelo de Maxwell e do modelo de Kelvin, respectivamente.

MODELOS REOLÓGICOS

34

O modelo de Burger é um modelo que caracteriza tanto no carregamento

quanto no descarregamento o comportamento correto da deformação no tempo para o

concreto.A representação gráfica deste modelo é mostrada na Figura 4.11.

Figura 4.11 – Representação da curva deformação-tempo no modelo viscoelástico de Burger .

Carregamento Descarregamento

Recuperação Elástica

Fluência Irreversível

Recuperação da Fluência

σ0/E0

σ0/E∞

t

A utilização desse modelo somente se faz necessária se na caracterização do

ensaio for preciso medir a deformação devido ao descarregamento da estrutura, pois

é um modelo especifico para caracterizar tal comportamento. Não havendo a

necessidade de verificar as deformações devido ao descarregamento, o modelo de

Boltzmann pode ser aplicado gerando bons resultados com o mínimo de

complexidade no que diz respeito ao equacionamento matemático.

As propriedades mecânicas do concreto mudam com o tempo devido à reação

de hidratação. Entretanto, nos modelos apresentados aqui, tanto o módulo de

elasticidade (E) como o coeficiente de viscosidade (η), se mantiveram constantes ao

longo do tempo. Em conseqüência disso, as respostas obtidas pelos modelos

apresentados anteriormente têm sucesso limitado.

Nos próximos capítulos serão apresentados três tipos de representação do

fenômeno da fluência por meio de modelos matemáticos, são eles: função de fluência

e coeficiente de fluência, equações algébricas e diferenciais e a formulação e o

ensaio proposto por normas, NBR 6118/2003 e NBR 8224/1983, respectivamente.

FUNÇÃO DE FLUÊNCIA E COEFICIENTE DE FLUÊNCIA

35


um

sã

rep

de

pr

ve

em

eq

Ca

co

fu

tot

ca

qu

de

5
Neste capítulo será discutido como se caracteriza uma função de fluência e
coeficiente de fluência, e qual a melhor forma de utilização para os dois. Vários

o os fatores que afetam a fluência no concreto, como mostrado no Capítulo 3. A

resentação de cada um desses fatores para uma formulação que possa reproduzir

forma precisa tal fenômeno, leva a uma significativa dificuldade. De forma mais

ática, a utilização de métodos aproximados e simplificados para análise da fluência

m demonstrando valores bastante satisfatórios, NEVILLE [1983]. A importância

ressaltar as características de tal função, deve-se à utilização similar da mesma no

uacionamento proposto pela NBR 6118 [2003], apresentado posteriormente no

pítulo 6.

O objetivo da função de fluência é representar, de forma mais clara, o

mportamento do concreto quando comparado a ensaios experimentais. Assim, a

nção de fluência pode ser descrita como uma função que relaciona a deformação

al sofrida pelo concreto em uma determinada idade t, devido à aplicação de um

rregamento constante no instante t0. METHA & MONTEIRO [1994] comentam

e em algumas décadas atrás, o ajuste de curvas de fluência era feito manualmente,

ste modo, os pesquisadores usavam a intuição e a experiência para selecionar


36

funções simples. Hoje, com o avanço da tecnologia, qualquer computador pessoal

pode fazer o ajuste dessas curvas.

CREUS [1986] cita que as propriedades da fluência são usualmente

determinadas pela medida ao longo do tempo da deformação de corpos-de-prova

cilíndricos ou prismáticos sob carregamento à compressão constante. A função de

fluência Φ∗ é determinada como a diferença por unidade de tensão entre a

deformação no carregamento e no descarregamento, considerado como um único

efeito de tensão.

Para o estudo da variação no desenvolvimento da fluência, é necessário obter

uma função que descreva tal deformação para um determinado tempo t, após

aplicação de uma carga unitária e constante no instante t0, onde t > t0. Assim, de

maneira genérica, a função de fluência é representada esquematicamente na equação

5.1a.

( ) [ ])t,t()t,t(1t,t 0c0e0

0 ε+εσ

=Φ (5.1a)

Se relacionada à função de fluência com a deformação elástica e por fluência,

temos:

( ) ),()(

1, 00

0 ttCtE

tt +=Φ (5.1b)

onde:

• Φ(t,t0) é a função de fluência;

• C(t,t0) é a fluência específica no instante t quando o concreto é submetido

a uma tensão no instante t0;

• E(t0) é o módulo de elasticidade do concreto no instante t0;

• εe é a deformação elástica no instante da aplicação do carregamento;

• εc é a deformação por fluência;

• σ0 é a tensão aplicada de forma constante.

∗ Na literatura, a função de fluência pode, freqüentemente, ser adotada como J(t,τ), ao invés de Φ(t,t0).


37

A Figura 5.1 representa a curva da função de fluência, onde é mostrada a

evolução da mesma com o passar do tempo.

Figura 5.1 – Representação da curva de função de fluência.

t

Funç

ão d

e Fl

uênc

ia

tempo

1/E(t0)

C(t,t0)

t0

Φ(t,t0)

Entretanto, testes mostraram que a deformação por fluência (εc) pode ser, de

maneira aproximada, proporcionalmente dependente da deformação elástica (εe).

Esta relação linear tem se mostrado bastante satisfatória em elementos estruturais

submetidos à compressão ou tração, e também para flexão, desde que sob tensões

normais de serviço (0,4 a 0,5 do fck). Tensões para o concreto acima desse valor

estarão associadas a um relativo aumento de fluência. A relação entre a deformação

por fluência e a deformação elástica, é definida como coeficiente de fluência φ como

segue abaixo:

)(),(

),(0

00 t

tttt

e

c

εε

φ = (5.2a)

A equação 5.2a pode ser representada de outra forma, partindo da introdução

do parâmetro de fluência específica, que representa a deformação por fluência devido

a uma tensão constante.

)().,(),( 000 tEttCtt =φ (5.2b)

A Figura 5.2 apresenta a variação do coeficiente de fluência com o tempo.


38

Figura 5.2 – Representação da curva de coeficiente de fluência.

t tempo

C(t,t0).E(t,t0)

t0

φ(t,t0) C

oefic

ient

e de

Flu

ênci

a

Relacionando as equações (5.1a) e (5.2a) podemos, deste modo, encontrar

uma correlação entre a função de fluência e o coeficiente de fluência como:

[ ]),(1)(

1),( 00

0 tttE

tt φ+=Φ (5.3)

NEVILLE [1983] especifica que, quando o coeficiente de fluência é definido

como a relação entre deformação por fluência observada em um tempo t e a

deformação elástica aos 28 dias, usa-se a simbologia Φ28(t,t0) ao invés de Φ(t,t0) e a

função de fluência é escrita da seguinte forma:

28

028

0028

),()(

1),(E

tttE

ttφ

+=Φ (5.4)

Claramente a relação entre os dois coeficientes de fluência é:

28

00280

)(),(),(

EtE

tttt φφ = (5.5)

Alguns dos métodos usados para a análise da fluência (como os métodos de

“taxa de fluência” e “taxa do fluxo de fluência”) dependem completamente de uma

formulação particular da função de fluência, considerando que outros métodos

podem usar qualquer função de fluência ou até mesmo curvas de ensaios

experimentais que não são prontamente expressas por uma única função de fluência.

NEVILLE [1983] também explica que existem duas escolas de pensamento

considerando a formulação de função de fluência. A primeira tenta representar


39

curvas de fluência do concreto, obtidas experimentalmente, como produto de funções

da idade da aplicação da carga e do tempo de duração do carregamento. Essa

interpretação de cálculo da função de fluência é caracterizada como métodos

produtórios. A representação deste método é dada pela equação 5.6.

[ )().,(1)(

1),( 00.00

0 ttgttfKtE

tt −+=Φ ] (5.6)

onde:

• E(t0) é o modulo de elasticidade do concreto na idade t0;

• Κ0 é uma constante;

• f(t,t0) é uma função que expressa o efeito da idade do concreto, sob a ação

de um carregamento aplicado no instante t0;

• g(t-t0) é uma função que expressa o desenvolvimento da fluência com o

tempo sob ação de carregamento;

NEVILLE [1983] cita que este tipo de função de fluência foi usada pelo

CEB-FIB em 1964, 1970 e 1990, e também pelo ACI em 1971.

A segunda escola leva em consideração que a fluência é a soma de duas

parcelas (ou mais), isto é, uma parcela considerada lenta reversível e uma outra

parcela considerada lenta irreversível. Uma característica especial desta formulação é

a consideração de que a parcela lenta reversível é assumida como independente da

idade de aplicação do carregamento e da idade do concreto e a parcela considerada

lenta irreversível é representada por um conjunto de curvas paralelas, ou seja, para

qualquer instante t a velocidade de desenvolvimento da fluência no concreto é

independente da idade de aplicação do carregamento. Estas suposições são chamadas

de métodos somatórios e correspondem a seguinte formulação de uma função de

fluência:

)]()(.[)()(

1),( 020.10

0 tgtgKttfKtE

tt −+−+=Φ (5.7)

onde:

• K1 e K2 são constantes;


40

• f(t-t0) é uma função que descreve o desenvolvimento da parcela elástica

retardada;

• g(t)-g(t0) são funções que descrevem o desenvolvimento da deformação

lenta irreversível com o tempo;

A norma brasileira de concreto NBR 6118/2003 também utiliza este tipo de

formulação em seus cálculos para a determinação da fluência.

Existem, entretanto, um número de características importantes que são

comuns em todos os métodos de análise de fluência. Todos eles assumem que a

fluência varia linearmente com a tensão e eles todos obedecem ao princípio da

superposição aplicado para o concreto por McHenry e Maslov.

5.1. MÉTODOS PARA ANÁLISE DA FLUÊNCIA

Tentar simular o comportamento do concreto é muito difícil, não somente

pela complexidade de suas propriedades, como também porque o concreto é

geralmente utilizado armado (armadura ativa ou passiva).

Desta maneira aqui são apresentados alguns métodos diferenciados de cálculo

de deformações devido à fluência, que vieram ao longo do ultimo século a serem

desenvolvidos e aprimorados por pesquisadores, os quais serão devidamente

descritos a seguir.

Existem vários métodos de análise da fluência. Estes por sua vez podem ser

divididos em Métodos Algébricos e Métodos das Equações Integrais.

5.2. MÉTODOS ALGÉBRICOS

Estes métodos algébricos admitem apenas aproximações na fase da análise

estrutural em uma função de fluência dada.


41

5.2.1. MÉTODO INCREMENTAL

Este método tem aplicação genérica e independe do tipo da função de

fluência e da forma de evolução nas variações de tensão. É adequado para os casos

em que ocorrem variações aleatórias das tensões e deformações, OYAMADA

[1998].

Sua formulação consiste em subdividir o tempo total de análise em pequenos

intervalos, que deverão ser crescentes com o tempo. O total de deformação no final

de um intervalo será a soma das deformações devidas aos incrementos de tensão, que

são aplicados durante os intervalos anteriores. Entretanto, se houver uma variação

brusca de tensão aplicada, um intervalo de duração zero deverá ser introduzido de

forma que a função de fluência seja o inverso do módulo de elasticidade.

Para melhores resultados, em casos de variação contínua de tensão, um

intervalo de tempo deve ser escolhido de forma que o seu comprimento seja

aproximadamente igual ao da escala logarítmica de tempo.

5.2.2. MÉTODO DO MÓDULO EFETIVO

Proposto por FABER em 1927, o método do módulo efetivo consiste em

analisar a fluência por meio da redução do módulo de elasticidade do concreto a

partir de um fator que relaciona o coeficiente de fluência em um tempo t para um

concreto carregado em um tempo t0. O módulo de elasticidade fictício (Ee) de um

concreto submetido à tensão constante é dado pela seguinte expressão (OYAMADA

[1998]):

0e

0

E(t )E 1+ (t, t )=φ

(5.8)

Este módulo de elasticidade fictício é usado apenas nas análises elásticas.

Deste modo, a deformação por fluência na idade t depende exclusivamente do valor

da tensão naquele instante, não considerando, portanto, o histórico de tensões.

Assim, é dedutível que o método do módulo efetivo dá bons resultados somente

quando a tensão do concreto não varia significativamente durante o período de


42

observação e quando a influência da idade do concreto não é expressiva, caso em que

o concreto se apresenta em idades avançadas.

Quando consideradas situações de tensões decrescentes, as deformações são

subestimadas e, em situação inversa, as deformações são superestimadas. Havendo

remoção de tensão aplicada, temos uma completa recuperação das deformações

OYAMADA [1998].

5.2.3. MÉTODO DE TROST-BAZANT

Este é um método prático para a determinação das deformações devidas às

variações nas tensões aplicadas, ou tensões devidas às variações nas deformações

aplicadas, foi proposto por TROST em 1967 e posteriormente aperfeiçoado por

BAZANT em 1980 com a introdução do coeficiente de envelhecimento, e denominou-

o de método do módulo efetivo ajustado pela idade do concreto (OYAMADA

[1998]).

Após a definição do método do módulo efetivo (Ee) ocorreu, por TROST, uma

pequena modificação no mesmo, onde o módulo de elasticidade (Eea) seria

equivalente ao módulo efetivo, porém com uma singela correção no coeficiente de

fluência conforme mostrado na seguinte expressão:

cea 0

0

0

E (t )E (t, t ) 1 χ. (t, t )=+ φ

(5.9)

O coeficiente de envelhecimento χ leva em consideração a idade do concreto

quando da aplicação dos incrementos ou decrementos de tensões, que podem ocorrer

após a aplicação da carga inicial.

Da observação de resultados experimentais e estudos de TROST e BAZANT,

conclui-se que um valor médio do coeficiente de envelhecimento χ = 0,82, pode ser

usado para resolver os problemas usuais de estruturas sujeitas à fluência

(OYAMADA [1998]).

OYAMADA [1998] também cita que em seu trabalho original, TROST

determinou um valor numérico para o coeficiente de envelhecimento, com base na

função de fluência do CEB 1964 e com duas hipóteses: que a variação da


43

deformação em conseqüência da alteração nas tensões segue a função de fluência e a

que o módulo de elasticidade é constante. Assim, TROST observou que o coeficiente

de envelhecimento depende do coeficiente de fluência e da idade do concreto

quando aplicado à carga. O tempo de duração do carregamento tem apenas uma

pequena influência na determinação do χ, podendo ser até desprezado (OYAMADA

[1998]).

5.3. MÉTODOS DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Ao contrário dos métodos algébricos, que apenas admitem aproximações na

fase da análise estrutural em uma função de fluência dada, os métodos das equações

diferenciais resolvem a estrutura com maior exatidão, porém simplificam a função de

tal forma que admita uma solução estrutural exata sem grandes dificuldades.

5.3.1. MÉTODO DE DISCHINGER OU MÉTODO DA RAZÃO DE FLUÊNCIA

O método da razão de fluência foi estabelecido por GLANVILLE em 1930.

Ele concluiu que por meio de dados experimentais retirados de ensaios em concretos

“novos”, que, em qualquer idade t, a razão de fluência independe da idade de

aplicação da carga. Isto significa que as curvas de fluência são paralelas para todas as

idades de aplicação de carga.

Com isso, uma única curva do coeficiente de fluência, determinada para uma

tensão aplicada no instante t é suficiente para definir as demais curvas para todas as

idades subseqüentes de aplicação do carregamento (t > t0). Assim, a função de

fluência assume a seguinte forma para a tensão inicial aplicada no instante t0:

0 0 00 0

1 1(t, t ) C(t, t ) 1 (t, t )E(t ) E(t )⎡ ⎤= ⎣ ⎦Φ = + + φ (5.10)

Para uma subseqüente carga aplicada no instante t1>t0, temos:

0 101 0

1 1(t, t ) (t, t ) - (t, t )E(t ) E(t )⎡ ⎤⎣ ⎦Φ = + φ φ (5.11)


44

Aplicando-se estas equações para o cálculo da deformação total no instante t

devida a uma tensão σ0 constante entre t0 e t1, tempo:

0 10(t) (t, t ) - (t, t )⎡ ⎤⎣ ⎦ε = σ Φ Φ (5.12)

0 10 1 0

1 1 1E(t ) E(t ) E(t )

(t) - (t , t )0

⎡ ⎤+ φ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ε = σ (5.13)

Como E(t1) = E(t0), a deformação no instante t > t1, será:

0 1 0

0

(t , t )E(t )

(t) φσε = (5.14)

Verifica-se neste método, que a deformação após a remoção da tensão,

permanece constante, o que significa que a parcela da fluência reversível, não é bem

representada neste método.

Obtêm-se bons resultados com a utilização do método da razão de fluência

para cargas aplicadas em concretos novos, em contraste com o método do módulo

efetivo cuja aplicação é adequada para concretos de idades avançadas.

A utilização deste método para o cálculo da fluência é bastante difundida em

vários códigos e normas no mundo inteiro. Como exemplo temos a norma Americana

ACI-209, a norma Européia o CEB-FIB 1990 e a norma Brasileira NBR 6118/2004.

5.3.2. MÉTODO DA RAZÃO DE FLUÊNCIA LENTA IRREVERSÍVEL

ENGLAND e ILLSTON (apud NEVILLE [1983]) propuseram representar a

fluência como a soma de três componentes: a deformação elástica, a deformação

rápida e a deformação lenta irreversível com o intuito de minimizar as deficiências

do método da razão de fluência.

Baseados em suas experiências e também nas de outros pesquisadores,

ENGLAND e ILLSTON concluíram que a deformação rápida não é função da idade

de aplicação da carga, e atinge seu valor final muito antes do que a fluência lenta

irreversível. Segundo os autores a fluência lenta irreversível representa o componente

irreversível da fluência total, da mesma forma que, no método da razão de fluência.


45

As curvas de fluência lenta irreversível, de um elemento de concreto

carregado por tensões unitárias em diferentes idades, são admitidas paralelas,

significando que a razão de fluência lenta irreversível é a mesma em qualquer idade.

Este método apresenta melhores resultados do que o método da razão de

fluência, porque a parcela da fluência reversível em concretos jovens, quando são

descarregados, é mais bem determinada. Entretanto, a função de fluência não

representa corretamente a fluência do concreto jovem, carregado em idade t > t0, e a

fluência em concreto de idade avançada fica muito subestimada.

5.3.3. MÉTODO DE DISCHINGER MELHORADO

Neste método, admite-se que a parcela da deformação rápida se desenvolva

com maior velocidade que a parcela de deformação lenta irreversível. Para

possibilitar um tratamento analítico mais simples, L.F. NIELSEN (apud NEVILLE

[1983]) propôs adicionar a parcela de deformação rápida na parcela de deformação

elástica, e tratar a parcela da deformação lenta irreversível da mesma maneira que no

método da razão de fluência. Com estas considerações temos que, para a carga inicial

aplicada na idade t0, a função de fluência será expressa da seguinte forma:

f f0

d 0

(t) - (t )1E E(t )

(t, t ) 0φ φ+Φ = (5.15)

Onde Ed é o módulo de elasticidade fictício e:

d

d 0

1 1E E(t ) E(t0 )

φ= + (5.16)

NIELSEN recomendou φd = 1/3 e posteriormente, RUSCH propôs o valor de

φd = 0,4 para (t-t’) > 90 dias, valor este adotado pelo CEB-FIB 1978.

Pode-se dizer que o método de DISCHINGER constitui um método composto

pelo método do módulo efetivo (EM method) e pelo método da razão de fluência

(RC method). A vantagem deste método esta na simplicidade do tratamento analítico

e dos bons resultados obtidos para os casos práticos, onde o tempo de aplicação da

carga excede três meses.


46

Em estudos realizados, OYAMADA [1998] comparou os vários métodos de

aplicação para o estudo da fluência citados anteriormente. Nesse estudo, o autor

comprova que nenhum destes métodos para análise da fluência pode ser considerado

como exato. O mesmo cita que este fato não é de vital importância, visto que, na

prática, sempre são necessárias hipóteses simplificadoras para facilitar a solução dos

problemas.

OYAMADA [1998] descreve que para os exemplos numéricos apresentados

em seu trabalho, pode-se observar que por meio de uma formulação matemática

muito mais simples, chegou-se a resultados de deformações muito próximos ao

apresentado pelo Método da Razão de Fluência Lenta Irreversível, o qual apresenta

menos simplificações e, conseqüentemente, melhores resultados.

Este capítulo apresentou uma classificação das funções de fluência e dos

métodos diferenciados de cálculo de deformação devido à fluência. A importância

em citar tais funções e métodos de cálculo da fluência está em classificar e

compreender quais destas funções e métodos estão sendo utilizados pelos programas

e pela norma brasileira NBR 6118/2003. Isto é necessário para que seja possível

haver um melhor entendimento no comportamento da fluência nestas análises.

No próximo capítulo será apresentada a formulação para o cálculo da

deformação por fluência proposta pela NBR 6118/2003, assim como a metodologia

de ensaio para a determinação da fluência para concreto endurecido segundo a NBR

8224/1983.

MODELO DE FLUÊNCIA – NBR 6118/2003

47

MODELO DE FLUÊNCIA

NBR 6118/2003

de

61

fen

no

flu

de

me

nu

ex

gr

de

6
Neste capítulo será apresentada uma formulação para o cálculo da
formação ao longo do tempo (fluência) segundo a norma brasileira NBR

18/2003 como também a descrição da realização de ensaio para a determinação do

ômeno da fluência para concreto endurecido segundo a NBR 8224/1983. Estas

rmas propõem o cálculo e o ensaio em peças de concreto para a determinação da

ência. Serão baseados na NBR 6118/2003 os cálculos de deformação e

slocamento para a viga proposta no próximo capítulo. Estes resultados, como já

ncionado anteriormente, serão comparados com os resultados obtidos em análises

méricas por meio do Método dos Elementos Finitos (MEF) e em resultados

perimentais de vigas em concreto armado.

6.1. FORMULAÇÃO PROPOSTA PELA NBR 6118/2003

Segundo a norma brasileira NBR 6118, em casos onde não seja necessária

ande precisão de resultados, os valores finais do coeficiente de fluência ϕ(t,t0) e da

formação específica de retração εcs(t∞,t0) do concreto, submetido a tensões


48

menores que 0,5.fck quando do primeiro carregamento, podem ser obtidos, por

interpolação linear, a partir da Tabela 6.1.

Nos casos em que a tensão σc(t0) não varia significativamente, permite-se que

essas deformações sejam calculadas pela expressão:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+= ∞

∞ (28)E),(

)(tE1).(),(ε

ci

0

0ci00c

ttttt c

ϕσ (6.1)

onde:

- εc(t∞,t0) é a deformação específica total do concreto entre os instantes t0 e t∞;

- σc(t0) é a tensão do concreto devido ao carregamento aplicado em t0

submetido a uma tensão unitária no instante t0;

- ϕ(t∞,t0) é o limite para o qual tende o coeficiente de fluência provocado por

carregamento aplicado em t0;

O valor de ϕ(t∞,t0) pode ser calculado pela interpolação da Tabela 6.1. Essa

tabela fornece o valor característico superior de ϕ(t∞,t0) em algumas situações usuais.

O valor característico inferior de ϕ(t∞,t0) é considerado nulo.

Tabela 6.1 – Valores característicos superiores da deformação específica de retração εcs(t∞,t0) e do

coeficiente de fluência ϕ(t∞, t 0).

Umidade Ambiente %

(valor médio) 40 55 75 90

Espessura Fictícia

2Ac/u (cm) 20 60 20 60 20 60 20 60

5 4,4 3,9 3,8 3,3 3,0 2,6 2,3 2,1

30 3,0 2,9 2,6 2,5 2,0 2,0 1,6 1,6 ϕ(t∞, t 0)

60 3,0 2,6 2,2 2,2 1,7 1,8 1,4 1,4

5 -0,44 -0,39 -0,37 -0,33 -0,23 -0,21 -0,10 -0,09

30 -0,37 -0,38 -0,31 -0,31 -0,20 -0,20 -0,09 -0,09εcs(t∞,t0)

t0

(dias)

60 -0,32 -0,36 -0,27 -0,30 -0,17 -0,19 -0,08 -0,09


49

A Tabela 6.1 fornece o valor do coeficiente de fluência ϕ(t∞,t0) e da

deformação específica εcs(t∞,t0) em função de umidade ambiente e da espessura

equivalente 2Ac/u , onde Ac é a área da seção transversal e u é o perímetro da seção

em contato com a atmosfera. Os valores desta tabela são relativos à temperatura do

concreto entre 10ºC e 20ºC, podendo, entretanto, admitir temperaturas entre 0ºC e

40ºC. Esses valores são válidos para concretos de cimento Portland comum.

Deformações específicas devidas à fluência e à retração mais precisas podem

ser calculadas segundo indicações do ANEXO A da NBR 6118/2003 ou como segue

abaixo.

6.2. EFEITO DO TEMPO NO CONCRETO ESTRUTURAL – NBR 6118/2003

A norma brasileira estabelece que dados usados no seu Anexo A têm caráter

informativo e podem, na falta de dados melhores, ser usados no projeto de estruturas

de concreto.

Quando não há impedimento à livre deformação do concreto e a ele é

aplicado, no tempo t0, uma tensão constante no intervalo t-t0, sua deformação total no

tempo t vale:

)()()()(ε 0c tttt csccc εεε ++= (6.2)

)()(

)(0

00 tE

tt

ci

cc

σε = (6.3)

),()(

)( 028

0 ttE

tt

ci

ccc ϕ

σε ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= (6.4)

onde:

- εc(t0) é a deformação imediata, por ocasião do carregamento, com Eci(t0)

calculado, para j = t0, pela expressão: ; 5,00 .5600)( ckjci ftE =

- εcc(t0) é a deformação por fluência, no intervalo de tempo (t,t0), com Eci28

calculado pela mesma expressão para j = 28 dias;

- εcs(t) é a deformação por retração, no intervalo de tempo (t,t0).


50

A norma afirma que a deformação do concreto por fluência (εcc), compõe-se

de duas parcelas, uma rápida e outra lenta. A deformação rápida (εcca) é irreversível e

ocorre durante as primeiras 24 horas após a aplicação da carga que a originou. A

deformação lenta por sua vez é composta por duas parcelas: a deformação lenta

irreversível (εccf) e a deformação lenta reversível (εccd).

ccdccfccacc εεεε ++= (6.5)

)(1εεεε cccctotc, ϕ+=+= (6.6)

dfa ϕϕϕϕ ++= (6.7)

onde:

- ϕa é o coeficiente de deformação rápida;

- ϕf é o coeficiente de deformação lenta irreversível;

- ϕd é o coeficiente de deformação lenta reversível;

As hipóteses adotadas pela norma para o cálculo do efeito da fluência, quando

as tensões no concreto são as de serviço, são as seguintes:

a) a deformação por fluência εcc varia linearmente com a tensão aplicada;

b) para acréscimos de tensões aplicados em instantes distintos, os

respectivos efeitos de fluência se superpõem;

c) a deformação rápida produz deformações constantes ao longo do

tempo; os valores do coeficiente já são função da relação entre a

resistência do concreto no momento da aplicação da carga;

d) o coeficiente de deformação lenta reversível ϕd depende apenas da

duração do carregamento; o seu valor final e o seu desenvolvimento ao

longo do tempo são independentes da idade do concreto no momento de

aplicação da carga;

e) o coeficiente de deformação lenta irreversível ϕf depende de:

− umidade relativa do ambiente (U);

− consistência do concreto;


51

− espessura fictícia da peça hfic;

− idade fictícia do concreto no instante da aplicação da carga;

− idade fictícia do concreto no instante considerado;

f) para o mesmo concreto, as curvas de deformação lenta irreversível em

função do tempo, correspondentes a diferentes idades do concreto no

momento do carregamento, são obtidas, umas em relação às outras, por

deslocamento paralelo ao eixo das deformações conforme a Figura 6.1.

Uma observação bem pertinente pode ser feita com relação à função

estabelecida pela norma, para a obtenção da deformação lenta irreversível. Pela

norma as curvas de deformação (Figura 6.1) são consideradas paralelas, ou seja, a

cada intervalo de tempo tomado, o comportamento da curva é o mesmo e

independente desse tempo. Deste modo, é evidenciada a não caracterização do

comportamento do concreto, uma vez que, existindo o aumento da resistência do

material com o tempo, estas curvas não poderiam ser paralelas.

Em um instante t, a deformação devida à fluência é dada por:

)t(t,Eσεεε)t(t,ε 0

c28

cccdccfcca0cc ϕ=++= (6.8)

com Ec28 calculado, para j = 28 dias, pela expressão Ec28 = 5600fck0,5 e ϕ(t,t0)

calculado por:

t2

Figura 6.1 – Variação εccf (t)

tempo t t3t1

εccf

Def

orm

ação

Len

ta Ir

reve

rsív

el


52

[ ] dd0fffa0 .β)(tβ(t)β)t(t, ∞∞ +−+= ϕϕϕϕ (6.9)

com:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

∞ )()(

1.8,0 0

tftf

c

caϕ (6.10)

onde:

- t é a idade fictícia do concreto no instante considerado;

- t0 é a idade fictícia do concreto ao ser introduzido o carregamento, em dias;

- fc(t0)/fc(t∞) é a função de crescimento da resistência do concreto com a idade

definida em 12.3 da respectiva norma;

- βf(t) ou βf(t0) é o coeficiente relativo à deformação lenta irreversível, função

da idade do concreto (Figura 6.2);

- ϕd∞ é o valor final do coeficiente de deformação lenta reversível que é

considerado igual a 0,4;

- βd é o coeficiente relativo à deformação lenta reversível em função do tempo

(t-t0) decorrido após o carregamento.

2c1cf .ϕϕϕ =∞ (6.11)

fic

fic

hh

+

+=

2042

2cϕ (6.12)

ar

cfic u

Ah

.2γ= (6.13)

onde:

- ϕ1c é a parcela do coeficiente de deformação lenta irreversível que depende da

umidade relativa do ambiente (U%) e da consistência do concreto dado pela

Tabela A.1 no Anexo A da respectiva norma;

- Ac é a área da seção transversal da peça;

- uar é à parte do perímetro externo da seção transversal da peça em contato

com ar;


53

- γ é o coeficiente que depende da umidade relativa do ambiente U%, devendo

ser calculado pela seguinte expressão:

).1,08,7exp(1 U+−+=γ (6.14)

Figura 6.2 – Variação βf (t)

DCttBAtttf ++

++= 2

2

)(β (6.15)

113.588.350.4223

++−=ficficfic

hhhA (6.16)

23.3234.3060.76823

−+−=ficficfic

hhhB (6.17)

183.1090.13.20023

++−−=ficficfic

hhhC (6.18)

1931.35343.31916.757923

++−=ficficfic

hhhD (6.19)

onde:

- hfic é a espessura fictícia, dada em metros (0,05 ≤ hfic ≤ 1,6 sendo que para

valores fora deste intervalo, deve-se adotar os extremos correspondentes);

- t é o tempo em dias para (t ≥ 3);


54

7020

0

0

+−+−

=tttt

dβ (6.20)

Em relação a considerar a idade fictícia do concreto, a norma faz o seguinte

comentário:

“A idade a considerar é a idade fictícia (tef), em dias, quando o endurecimento

se faz à temperatura ambiente de 20ºC e, nos demais casos, quando não houver cura

a vapor, a idade a considerar é a idade fictícia dada por:

∑ ∆+

=i

iefi t

Tt ,30

10α (6.21)

onde:

- t é a idade fictícia, em dias;

- α é o fator que depende da velocidade de endurecimento do cimento; na falta

de dados experimentais permite-se o emprego dos valores constantes da

Tabela 6.2;

- Ti é a temperatura média diária do ambiente;

- ∆tef,i é o período, em dias, durante o qual a temperatura média diária do

ambiente, Ti, pode ser admitida constante.

Tabela 6.2 – Valores da fluência e da retração em função da velocidade de endurecimento do cimento.

α Cimento Portland (CP) Fluência Retração

De endurecimento lento (CP III e CP IV, todas as classes de resistência) 1 De endurecimento normal (CP I e CP II, todas as classes de resistência) 2 De endurecimento rápido (CP V-ARI) 3

1

Onde: CP I e CP I-S – Cimento Portland comum CP II-E, CP II-F e CP II-Z – Cimento Portland composto CP III - Cimento Portland de alto-forno CP IV - Cimento Portland pozolânico CP V-ARI – Cimento Portland de alta resistência inicial RS – Cimento Portland resistente a sulfatos (propriedade de alguns dos tipos de cimento citados)

Quando há variação de tensão ao longo do intervalo, induzida por ações

externas ou agentes de diferentes propriedades reológicas (incluindo-se armadura,

concretos de diferentes idades, etc), a deformação total no concreto pode ser

calculada por:


55

dτE

)t,(αE1

τσ)t(t,ε)t(t,

E)(tσ

)(tE)(tσ(t)ε

c28

0

cτ

t

tτ

c0cs0

28c

0c

0c

0cc

0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

+++= ∫=

τϕϕ (6.22)

em que os três primeiros termos representam a deformação não impedida e a integral,

os efeitos da variação de tensões ocorridas no intervalo. Permite-se substituir essa

expressão por:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

c28

0

0c0c0cs

28c

0

0c0cc E

)t(t,)(tE

1)t(t,∆σ)t(t,εE

)t(t,)(tE

1)(tσ(t)εϕϕ

(6.23)

onde:

- ∆σc (t,t0) é a variação total de tensão no concreto, no intervalo (t,t0);

- α é o coeficiente característico que tem valor variável conforme o caso.

No cálculo de perdas de protensão de casos usuais onde a peça pode ser

considerada como concretada e a protensão aplicada de uma só vez, pode-se adotar

α = 0,5 e admitir Ec(t0) = Ec28, como feito na seção 9.6.3.4.2. desta norma. Observar-

se que aquela subseção considera que o coeficiente de fluência do concreto ϕ = ϕa +

ϕf + ϕd é um coeficiente de deformação lenta irreversível com as propriedades

definidas para ϕf.

Nos outros casos usuais pode-se considerar α = 0,8, mantendo Ec(t0) ≠ Ec28

sempre que significativo. Essa aproximação tem a vantagem de tratar ϕ como uma

única função, sem separar ϕa, ϕf, e ϕd.

É possível separar ϕa, ϕf, e ϕd, mas para isso é necessário aplicar a expressão

integral ao problema em estudo. A expressão simplificada não se aplica nesse caso.

Nos próximos capítulos será retratada a descrição e a modelagem numérica

feita em vigas de concreto armado. Serão feitas considerações do material estudado

bem como a forma que se procedeu à modelagem. É importante ressaltar que os

cálculos provenientes das deformações e deslocamentos baseados na NBR

6118/2003 foram feitos em uma seqüência de cálculo no programa Mathcad

disponíveis no ANEXO 2 deste trabalho.


56

Algumas observações, pertinentes, podem ser feitas com relação aos cálculos

da deformação e da flecha em estruturas de concreto armado tendo como base a NBR

6118/2003.

A consideração em algumas propriedades do concreto para a obtenção da

deformação e flecha como, por exemplo, o abatimento do tronco de cone (slump)

pode, atualmente, ser desconsiderada nos cálculos. Isso se deve ao fato de que o

“slump” de uma amostra de concreto pode ser modificado, inserindo no material

algum tipo de redutor de pega (aditivos ou adições), que permitirá uma boa ou má

consistência no concreto com a mesma relação água-cimento (a/c).

6.3. EFEITO DA PERDA DE RIGIDEZ DEVIDO A FISSURAÇÃO NO

CONCRETO

Cuidados especiais devem ser tomados em relação à fissuração e verificação

das flechas no ELS, principalmente quando se adota a relação entre momentos muito

diferente da que resulta de uma análise elástica.

6.3.1. ELEMENTOS LINEARES SUJEITOS A SOLICITAÇÕES NORMAIS – ELS

Nos estados limites de serviço as estruturas trabalham parcialmente no

estádio I e parcialmente no estádio II. A separação entre essas duas partes é definida

pelo momento de fissuração. Esse momento pode ser calculado pela seguinte

expressão aproximada:

t

cctR y

I.f.M

α= (6.24)

onde:

- α é o fator que correlaciona, aproximadamente, a resistência à tração na flexão com a resistência à tração direta (α = 1,2 para seções T ou duplo T ou α = 1,5 para seções retangulares);

- yt é à distância do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada;

- Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto;


57

- fct é a resistência à tração direta do concreto com o quantil apropriado a cada

verificação particular.

Para determinação do momento de fissuração deve ser usado o fctk, inf no

estado limite de formação de fissura e o fct,m no estado limite de deformação

excessiva (ver seção 8.2.5 da NBR 6118). No caso da utilização de armaduras ativas

deve ser considerado o efeito da protensão no cálculo do momento de fissuração.

6.3.2. ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO EXCESSIVA

A verificação dos valores limites estabelecidos para a deformação da

estrutura (tabela 13.2 da NBR 6118/2003), mais propriamente rotações e

deslocamentos em elementos estruturais lineares, analisados isoladamente e

submetidos à combinação de ações, deve ser realizada por meio de modelos que

considerem a rigidez efetiva das seções do elemento estrutural, ou seja, levem em

consideração a presença da armadura, a existência de fissuras no concreto ao longo

dessa armadura e as deformações diferidas no tempo.

A deformação real da estrutura depende também do processo construtivo,

assim como das propriedades dos materiais (principalmente do módulo de

elasticidade e da resistência à tração) no momento de sua efetiva solicitação. Em face

da grande variabilidade dos parâmetros citados, existe uma grande variabilidade das

deformações reais. Não se pode esperar, portanto, grande precisão nas previsões de

deslocamentos dadas pelos processos analíticos a seguir prescritos.

6.3.3. AVALIAÇÃO APROXIMADA DA FLECHA EM VIGAS

O modelo de comportamento da estrutura pode admitir o concreto e o aço

como materiais de comportamento elástico e linear, de modo que as seções ao longo

do elemento estrutural possam ter as deformações específicas determinadas no

estádio I, desde que os esforços não superem aqueles que dão início à fissuração, e

no estádio II, em caso contrário.

Deve ser utilizado no cálculo o valor do módulo de elasticidade secante Ecs,

sendo obrigatória à consideração do efeito da fluência.


58

6.3.4. FLECHA IMEDIATA EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO

Para uma avaliação aproximada da flecha imediata em vigas, pode-se utilizar

a expressão de rigidez equivalente dada a seguir e desenvolvida por Branson:

ccsII

3

a

rc

3

a

rcseq I.EI

MM

1I.MM

EEI ≤⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (6.25)

onde :

- Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto;

- III é o momento de inércia da seção fissurada de concreto no estádio II;

- Ma é o momento fletor na seção crítica do vão considerado, momento máximo

no vão para vigas biapoiadas ou contínuas e momento no apoio para balanços,

para a combinação de ações considerada nessa avaliação;

- Mr é o momento de fissuração do elemento estrutural, cujo valor deve ser

reduzido à metade no caso de utilização de barras lisas;

- Ecs é o módulo de elasticidade secante do concreto.

A determinação do momento de inércia (III) após a fissuração da estrutura

(ESTÁDIO II) é dada pela seguinte expressão:

( )23

II ..3.I IIse

II xdAxb−+= α (6.26)

( ) 0'..2. 2

=−− dxAxbIIse

II α (6.27)

onde:

- b é a base da viga;

- αe é a relação entre o módulo de elasticidade da armadura e do concreto;

- As é a armadura de flexão positiva;

- d é a distância entre a borda superior da viga e o eixo da armadura positiva;

- xLN é o posicionamento da linha neutra após a fissuração do concreto;


59

- d’ é à distância entre o eixo da armadura positiva e a borda inferior da viga.

Para o calculo do deslocamento vertical (flecha) de uma viga biapoiada com

carregamento concentrado no meio do vão, usa-se a seguinte expressão:

EIlPa.48. 3

= (6.28)

onde:

- a é o comprimento deslocado no centro do vão da viga em relação ao seu eixo

vertical;

- P é o carregamento aplicado;

- l é o comprimento (vão) da viga;

O valor de EI dependerá do valor do momento de fissuração da estrutura. Este

será igual a EIeq se o valor do momento de fissuração da viga for maior que o valor

do momento devido ao carregamento, ou seja, Mr > Ma. Isso implicará dizer que a

estrutura está trabalhando em ESTÁDIO II.

Caso contrário, quando Mr ≤ Ma, o valor de EI nada mais é que o produto do

módulo de elasticidade secante do concreto pelo momento de inércia da estrutura em

ESTÁDIO I.

6.3.5. CÁLCULO DA FLECHA DIFERIDA NO TEMPO PARA VIGAS DE CONCRETO ARMADO

A flecha adicional diferida, decorrente das cargas de longa duração em

função da fluência, pode ser calculada de maneira aproximada pela multiplicação da

flecha imediata pelo fator αf dado pela expressão:

'f 501 ρ+ξ∆

=α (6.29)

onde:

d.bA'

s' =ρ (6.30)


60

− ∆ξ é um coeficiente função do tempo, que pode ser calculado pelas expressões seguintes:

)t()t( 0ξ−ξ=ξ∆ (6.31)

32,0t t)996,0.(68,0)t( =ξ (para t ≤ 70 meses) (6.32)

meses70tpara2 >=ξ∆ (6.33)

Tabela 6.3 – Valores do coeficiente ξ em função do tempo

Tempo (t) meses 0 0,5 1 2 3 4 5 10 20 40 ≥ 70

Coeficiente ξ(t) 0 0,54 0,68 0,84 0,95 1,04 1,12 1,36 1,64 1,89 2

onde:

- t é o tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida;

- t0 é a idade, em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração.

O valor da flecha total incluindo a fluência deve ser obtido multiplicando a

flecha imediata por (1 + αf).

6.4. ENSAIO PARA DETERMINAÇÃO DA FLUÊNCIA EM CONCRETO

ENDURECIDO - NBR 8224/1983

A relevância deste item no trabalho é dada pela importância em se ter o

devido conhecimento técnico no que diz respeito ao procedimento de ensaio para a

determinação da fluência em concreto endurecido. Além disso, a aplicação deste

procedimento de ensaio é que deveria ser fator basilar para a calibração dos modelos

disponíveis nos programas estudados (ADINA e DIANA), uma vez que estes não

conseguem reproduzir completamente algumas das intempéries (variação de umidade

e temperatura) existentes na estrutura analisada.

O objetivo desta norma é prescrever o método para a determinação da

deformação do concreto, devido ao fenômeno da fluência. Segundo a mesma a

deformação por fluência é determinada em uma certa idade, pela diferença entre a

deformação total e a soma das deformações independentes da permanência do

carregamento ao longo do tempo como:


61

a) deformação imediata que ocorre, no ato da aplicação do carregamento;

b) deformação autógena que ocorre ao longo do tempo de duração de ensaio de

fluência.

A deformação imediata é medida no ato de aplicação da carga e a deformação

autógena é determinada em corpos-de-prova similares àqueles utilizados para a

determinação de fluência, sendo mantidos em condições ambientais idênticas, não

sendo, contudo, submetidos a carregamento.

6.4.1. FORMA E DIMENSÕES DOS CORPOS-DE-PROVA

Os corpos-de-prova devem ser cilíndricos, possuindo relação altura/diâmetro

igual ou maior que 2. O diâmetro dos corpos-de-prova deverá respeitar os seguintes

limites:

Tabela 6.4 – Limite para corpos-de-prova.

Diâmetro do Corpo-de-ProvaDimensão Máxima Característica

do Agregado-graúdo

150 mm 19 mm

150 mm 38 mm

250 mm 76 mm

450 mm 152 mm

Para que a interpretação dos resultados dos ensaios seja significativa, é

essencial dispor dos resultados de ensaios de resistência à compressão, da

deformação autógena, e do módulo de deformação, executados em corpos-de-prova

complementares. A deformação autógena será a deformação observada ao longo do

tempo nos corpos-de-prova complementares não submetidos a qualquer espécie de

carregamento. As dimensões dos corpos-de-prova para a determinação da

deformação autógena deverão ser as mesmas dos utilizados para o ensaio de fluência.

Os corpos-de-prova complementares e aqueles destinados ao ensaio de

fluência deverão ser moldados com o mesmo traço, e se possível da mesma

amassada, e deverão ser submetidos às mesmas condições de cura.


62

6.4.2. PREPARAÇÃO DOS CORPOS-DE-PROVA

Quando forem utilizados dispositivos para a medição de deformação, serão

necessários discos metálicos pouco deformáveis sob tensão, para a fixação do

medidor de deformações (extensômetro). O disco inferior deverá permitir a passagem

do cabo do medidor, possuindo para isso uma ranhura que partirá do orifício central e

terá comprimento do raio do disco. A largura da ranhura deverá ser suficiente para

permitir a passagem do cabo do extensômetro. O cabo do extensômetro deverá estar

protegido contra danos, enquanto corpo-de-prova estiver sob carga.

A espessura do disco deverá ser de 20mm. O disco superior deverá ser

colocado logo após o endurecimento do concreto devendo ser colocado com resina

epóxi. Um cuidado especial deve ser tomado na colocação dos discos, de tal forma a

manter a perpendicularidade do plano do mesmo em relação ao eixo longitudinal do

corpo-de-prova. A Figura 6.3 ilustra o posicionamento dos discos e do extensômetro

embutido.

Figura 6.3 (a) – Posicionamento do extensômetro

DISCO METÁLICO SUPERIOR

DISCO METÁLICO INFERIOR

JAQUETA DE VEDAÇÃO

Figura 6.3 (b) – Posicionamento dos discos e da jaqueta

Figura 6.3 – Aparelho para ensaio da fluência no concreto.

Os corpos-de-prova deverão ser adensados, de acordo com os requisitos dos

parágrafos 4 e 5 da NBR 5738, utilizando somente vibração mecânica. O diâmetro do

vibrador deverá ser compatível com a dimensão máxima característica do agregado

graúdo. Na modelagem dos corpos-de-prova providos de extensômetros embutidos,


63

deverão ser tomados cuidados especiais para que o mesmo não seja avariado ou

deslocado de sua posição durante a operação de adensamento.

Os extensômetros embutidos no concreto devem estar coincidentes com o

eixo dos moldes, que deverão estar na posição vertical durante a moldagem.

Deverão, portanto, ser previstos dispositivos de fixação que assegure o correto

posicionamento dos extensômetros.

A quantidade mínima de corpos-de-prova moldados para cada idade de

carregamento deverá ser a seguinte:

a) dois corpos-de-prova para os ensaios de resistência à compressão;

b) dois corpos-de-prova para os ensaios de fluência.

No ensaio de fluência, além de corpos-de-prova destinados ao ensaio

propriamente dito, deverão ser moldados pelo menos dois corpos-de-prova munidos

com dispositivos de medição de deformação, que permanecerão descarregados,

durante todo período de ensaio. Tais corpos-de-prova denominados “de controle”

indicarão as variações volumétricas devido a outras causas, diferentes do

descarregamento.

6.4.3. CURA DOS CORPOS-DE-PROVA

Para a cura padrão, antes da desforma, os corpos-de-prova deverão ser

guardados em uma sala com temperatura de (23,0 ± 2,0)ºC e cobertos com material

que evite a evaporação recomendando-se o uso de plástico ou filme plástico.

Os corpos-de-prova deverão ser desformados após um período não inferior a

20 horas nem superior a 48 horas após a modelagem. Após a desforma, que deverá

ser feita de preferência dentro da câmara úmida, os corpos-de-prova deverão ser

mantidos na câmara úmida, à temperatura de (23,0 ± 2,0)ºC até a idade de ensaio.

A umidade relativa na câmara úmida não deve ser menor que 95% sendo o

seu valor indicado no relatório.


64

Poderão ser especificados outras condições de cura e estocagem, em função

das necessidades do projeto e da obra. Essas condições deverão, entretanto, ser

detalhadas de modo preciso no relatório.

6.4.4. APARELHAGEM

A máquina de ensaio deverá ser capaz de aplicar e manter a carga

especificada para o ensaio durante todo o período de realização do ensaio, não

devendo ter erro de exatidão maior que 2%. Será composta dos seguintes elementos:

a) célula hidráulica de carregamento;

b) mola de reação;

c) rótula de apoio.

No dispositivo de carregamento que utiliza células hidráulicas existem várias

estruturas que podem ser carregadas simultaneamente, por meio de uma unidade

central de manutenção de carga.

O ajuste desta carga é feito por meio de reguladores e de leitura em

manômetros. Existe também a possibilidade de ajuste automático das variações de

carga por meio de reguladores a uma fonte de pressão.

Os aparelhos ou instrumentos destinados à medição das deformações deverão

apresentar precisão de leitura de no mínimo 20 x 10-6m.

6.4.5. EXECUÇÃO DO ENSAIO

Para a comparação da característica de diferentes misturas de concreto deverá

ser definida para o ensaio somente uma idade de carregamento. Para casos

específicos poderão ser definidas outras idades de carregamento, devendo as mesmas

constar no relatório de ensaio.

A temperatura ambiente durante o ensaio deverá ser a especificada pelo

solicitante e deverá ser rigorosamente mantida no intervalo de variação de ± 2ºC.

Qualquer variação de temperatura acima ou abaixo dos valores limites especificados,


65

poderá provocar variações volumétricas significativas, que deverão ser corrigidas

após serem calculadas e analisadas.

A tensão a ser aplicada nos corpos-de-prova deverá ser de (40 ± 2)% da

resistência à compressão do concreto na idade de carregamento. Para a determinação

da tensão de carregamento, os corpos-de-prova complementares deverão ser

ensaiados à resistência à compressão, imediatamente antes do ensaio.

O carregamento deverá se feito a uma velocidade tal que a carga total seja

aplicada no corpo-de-prova durante um período o mais próximo possível de 30

segundos.

A carga deverá ser aplicada após o posicionamento correto dos corpos-de-

prova na máquina de ensaio. Os corpos-de-prova devem ser centrados na máquina de

ensaio de modo que o eixo de aplicação da carga coincida com o eixo vertical dos

corpos-de-prova.

Antes do carregamento definitivo deverão ser realizados dois ciclos iniciais

de carregamento e descarregamentos nos corpos-de-prova, até a carga estabelecida

nos ensaio. Deve também ser feita uma leitura nos aparelhos medidores de

deformação imediatamente antes do carregamento definitivo (leitura de referência).

As leituras subseqüentes, tanto da carga aplicada como das deformações deverão ser

feitas na seguinte seqüência:

a) 30 segundos após o carregamento (deformação imediata);

b) 5, 10 e 30 minutos após o carregamento;

c) 1, 2 e 5 horas após o carregamento;

d) diariamente por uma semana;

e) duas vezes por semana até completar um mês;

f) semanalmente até completar o ensaio.

AVALIAÇÃO EXPERIMENTAL DA FLUÊNCIA EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO

66

AVALIAÇÃO EXPERIMENTAL DA FLUÊNCIA EM VIGAS

DE CONCRETO ARMADO

flu

su

es

fo

ex

Pe

En

Pa

em

co

lon

ten

7
Neste trabalho é estudado o comportamento do concreto sob o efeito da
ência. Para o estudo serão consideradas vigas biapoiadas de concreto armado

bmetidas a uma carga concentrada constante. As tensões consideradas para o

tudo da fluência serão as de compressão, porém, neste capítulo será abordado de

rma resumida o comportamento da fluência no concreto à tração.

Também será mostrado neste capítulo, de forma bastante resumida, um ensaio

perimental de fluência em vigas de concreto armado realizado no Centro de

squisa e Desenvolvimento em Construção Civil (CPqDCC) do Departamento de

genharia de Construção Civil (PCC) da Escola Politécnica da Universidade de São

ulo (EPUSP). Uma descrição completa deste experimento poderá ser encontrada

FIGUEIREDO [2003]. Este ensaio experimental servirá como referência para a

mparação com a modelagem numérica apresentada no próximo capítulo.

Quando caracterizamos que a fluência no concreto é a sua deformação ao

go do tempo sob tensão constante, quase nunca é explicitado sob que estado de

são o material se encontra (compressão ou tração).


67

A grande maioria dos artigos e estudos encontrados, tanto em referência

nacionais como internacionais, mostram dados de fluência relacionados a tensões de

compressão. Isto se deve ao fato de quando o concreto é dosado e controlado, os

dados convencionalmente utilizados são baseados em sua resistência à compressão

(maior resistência) e não na sua resistência à tração e, também, porque existe uma

maior facilidade em se ensaiar a fluência no concreto à compressão, quando

comparado com o concreto submetido a outras tensões como tração ou cisalhamento.

NEVILLE [1970].

7.1. FLUÊNCIA NA TRAÇÃO

O comportamento específico da fluência sobre tensões de tração e de

cisalhamento é muito pouco pesquisado no Brasil e no mundo. Aqui será mostrado

de forma resumida o comportamento da fluência no concreto sob tensões de tração.

Alguns dos principais interesses em se conhecer o comportamento da fluência

sob tensões de tração é baseado na possibilidade de se estimar fissuras no concreto

devido à retração ou à variação de tensões térmicas, como também a possibilidade de

estimar cálculos de resistência à tração em vigas de concreto protendido e em

projetos de estruturas que retenham água (NEVILLE [1970]).

A realização do ensaio de resistência à tração no concreto, que não leva em

conta o efeito da fluência, apresenta uma certa dificuldade em sua concepção.

Quando estes ensaios levam em consideração tal fenômeno, existe a aparição de

problemas adicionais como: a aplicação da tensão deve ser baixa, pois a resistência

do material à tração é pequena e, conseqüentemente, a deformação medida será baixa

também, sendo deste modo muito difícil a medição de valores exatos de deformação.

Se, além disso, o concreto secar sob carregamento constante, pode ocorrer

simultaneamente deformação por retração, com valores diversas vezes maiores que a

fluência, acarretando assim grandes erros nos valores medidos da deformação por

fluência NEVILLE [1970].

GLANVILLE e THOMAS [1939] observaram que a fluência à compressão

pode ser igual à fluência à tração para um nível igual de tensões. Um das razões para


68

que eles pudessem fazer esta afirmação é que em seus testes foi levado em

consideração à variação de umidade quando o concreto estava sob carregamento.

Esta igualdade na deformação por fluência foi também confirmada no U.S Bureau of

Reclamation tests em concreto massa, para resistências de até um terço da resistência

última à tração.

NEVILLE [1970] comenta que a taxa de fluência na tração é inicialmente

mais alta que na compressão sob mesma tensão. Após aproximadamente um mês de

carregamento, a taxa de fluência na tração diminuiu consideravelmente verificando-

se que, em longo prazo, a fluência na tração é provavelmente menor que na

compressão. Este comportamento foi encontrado tanto para concreto massa quanto

para concretos curados a umidade relativa do ar de 50% e indicou também que a

fluência da pasta de cimento pura, na umidade relativa de 50%, é aproximadamente

cinco vezes mais alta na tração que na compressão. Segundo NEVILLE [1970],

alguns testes sugerem que para concretos selados, a fluência na tração é 20% a 30%

maior que na compressão.

ILLSTON [1965] também confirma uma taxa inicial mais alta de fluência à

tração. Isto é ilustrado na Figura 7.1. Segundo NEVILLE [1970], seus testes são

provavelmente as mais extensivas avaliações disponíveis na investigação da

influência da relação de tensão resistente, idade de carregamento, tempo de

carregamento e umidade na fluência à tração. Entretanto, somente um traço foi

utilizado em seus ensaios.

Compressão

Tração

100

50

0

Def

orm

ação

por

Flu

ênci

a (1

0-6)

100 200 300 400 500 600Tempo sob Carga (dias)

Figura 7.1 – Fluência na tração e na compressão sob tensão constante de 9 Kg/cm2.NEVILLE


69

NEVILLE [1970] comenta que ensaios mostraram que a fluência na tração é

proporcional à tensão aplicada se a relação tensão-resistência à compressão não

ultrapassar 0,5. A influência da idade do carregamento na taxa de fluência parece

similar tanto para corpos comprimidos ou tracionados. Em NEVILLE [1970] pode

ser encontrada a opinião de alguns autores sobre o comportamento da fluência no

concreto em tensões de tração.

RUETZ (apud NEVILLE [1970]) cita que observou tanto na tração como na

compressão, simultâneos aumentos da fluência quando comparados com a fluência

sob nenhuma condição de troca de umidade. Para GVOZDEV (apud NEVILLE

[1970]) influências ambientais no concreto à tração e à compressão são similares

qualitativamente, mas não quantitativamente, porém ele não apresentou nenhum

resultado sobre isso.

Houve pouco aumento na deformação por fluência com o aumento do tempo de

carregamento. L’HERMITE (apud NEVILLE [1970]) relata uma fluência de 9.10-6 e

3.10-5 sob uma tensão de 16 Kgf/cm2 e 26 Kgf/cm2, respectivamente, após 3 dias de

carregamento. A resistência à tração do concreto era de 35 Kgf/cm2; não existe

nenhuma informação sobre a proporção da mistura (traço de concreto) avaliada.

NEVILLE [1970] mostra na Figura 7.2 a influência do tipo de cimento na

fluência à tração dando a indicação do efeito do cimento contido na mistura.

0 50 100 150 200

300

200

100Tipos de Cimento Portland

IV

III

II

I

Def

orm

ação

por

Flu

ênci

a (1

0-6)

Tempo sob Carga (dias)

Figura 7.2– Influência do tipo de cimento na fluência à tração para concretos. NEVILLE (1970).


70

Estes tipos de cimentos são classificados segundo o American Society for

Testing and Materials (ASTM).

A Figura 7.3 mostra o comportamento da fluência do concreto na flexão.

Inicialmente, a fluência na compressão e na tração, não levando-se em conta a

retração, é a mesma, mas depois de aproximadamente um mês sob carregamento, a

taxa de fluência na tração cai a quase zero. Pressupõe-se que os resultados, como

apresentados, são afetados pelo fato que a retração medida no lado tracionado foi

maior que no lado comprimido; as razões para isto não são sabidas.

0

100

150

Fibra Comprimida

Fibra Tracionada

100050010050105Def

orm

ação

por

Flu

ênci

a (1

0-6)

50

Tempo sob Carga (escala logarítmica) - dias

Figura 7.3 – Fluência na flexão.NEVILLE (1970)

OBERTI’S (apud NEVILLE [1970]) testou concretos feitos com cimento

pozolana e mostrou que a relação entre deformação total e a deformação inicial,

diminuiu com o aumento na idade de carregamento. Valores de 5,6 para 7 dias, 4,7

para 28 dias e 4,0 para 4 meses foram encontrados após 4 anos sob carga. A baixa,

porém constante taxa de deformação, foi medida nesse tempo.

7.2. REALIZAÇÃO DO ENSAIO EXPERIMENTAL

Foram analisadas 14 vigas quanto à fluência, divididas em 7 grupos (A, B, C,

D, E, F e G). Todas têm mesma característica quanto à geometria e armaduras,

porém as propriedades físicas dos concretos são bastante diferentes.


71

Essas vigas foram submetidas a idênticas condições de carregamento durante

um período de 140 dias. As vigas foram produzidas com concretos de resistência à

compressão variando entre 34 e 55 MPa, aproximadamente. Dentre todas as vigas

ensaiadas, somente 4 grupos (A, B, C e D) foram comparados com a modelagem

numérica computacional. Isto se deve ao fato que não seria necessário ser feita a

comparação em todos os 7 grupos para se ter uma boa conclusão dos resultados das

mesmas.

Os requisitos para a concepção das vigas foram o atendimento às dimensões

previstas para as mesmas 20x30x600 cm, e apoio nas duas extremidades sobre

roletes distanciados de 580cm (vão livre de cada viga), que por sua vez estavam

apoiados em pilaretes de concreto com as dimensões de 20x30x120cm como

mostrado na Figura 7.4.

Os pilaretes foram moldados com concreto de 25 MPa, fornecido com dois

meses de antecedência em relação à moldagem das vigas, de modo a se garantir boa

rigidez dos mesmos.

Figura 7.4 – Vista dos apoios das vigas experimentais.

PILARETES

As armaduras foram compostas por duas barras superiores, duas barras

centrais e duas barras inferiores com 12,5mm de diâmetro cada. O objetivo da

adoção das armaduras centrais e superiores foi evitar o efeito de empenamento da


72

viga por retração devido à restrição diferenciada que ocorre quando, na estrutura, não

existe armaduras simétricas.

A armadura posicionada na fôrma antes da moldagem das vigas pode ser

observada na Figura 7.5.

Figura 7.5 – Vista da armadura posicionada na fôrma.

A Figura 7.6 mostra um desenho esquemático das vigas que foram

submetidas tanto ao ensaio experimental quanto à modelagem numérica.

20 c

m

30 cm

3,25 cm

6,75 cm

φ 6,3 c/ 10

16 c

m

26 cm

2 φ 12,5

2 φ 12,5

580 cm

2 φ 12,5

Figura 7.6 – Detalhamento das vigas estudadas.

O carregamento foi feito em três etapas principais. Na primeira, houve a

preparação da superfície superior das vigas para receber a chapa metálica de onde se


73

apoiaria o cabo de aço da cuba de carregamento. Este preparação foi feita por meio

de um lixamento de modo a se evitar concentração de esforços e pequenos

esmagamentos, dado que a flecha da viga tomaria como referência a parte superior

da chapa metálica. Uma vez posicionada a chapa no topo das vigas, foram

posicionados os relógios de medição que realizaram a medida da flecha das vigas. O

apoio dos relógios de medição foi realizado por cavaletes de suporte apoiados no

chão, como pode ser observado na Figura 7.7.

Figura 7.7 - (a) apoio do relógio de medição sobre a chapa metálica para medida dos

deslocamentos verticais (b) cavalete de suporte do relógio de medição.

Relógio de Medição

Chapa Metálica

Uma vez posicionados os relógios de medição, foi retirado o cimbramento

das vigas, dos apoios no centro da viga, sendo monitorada simultaneamente a

deformação obtida com o peso próprio. Logo após a retirada do cimbramento foi

realizada a medida do deslocamento vertical imediato, por meio do relógio de

medição. Optou-se, posteriormente, pelo posicionamento de um fio no topo da viga

alinhado ao seu comprimento, que funcionava como um referencial para a medida da

deflexão total no centro da viga.

Após a retirada do cimbramento, passadas 24 horas, foram medidos

novamente os deslocamentos verticais. Após essa leitura aplicou-se um carregamento

concentrado no meio do vão das vigas, por meio de tambores preenchidos com

limalha de aço totalizando um peso de 200 kg (Figura 7.8). É importante frisar que

este carregamento permaneceu constante ao longo de todo o ensaio. Logo após a


74

aplicação do carregamento foi realizada uma segunda leitura do deslocamento

vertical imediato. Finalizado a aplicação do carregamento das vigas, procedeu-se à

leitura diária dos deslocamentos verticais medidos pelo relógio de medição.

Figura 7.8 – Viga após aplicação do carregamento.

Como dito anteriormente, após ser aplicado o carregamento a viga teve uma

deformação e um deslocamento (flecha) imediato, com o passar do tempo, foram

medidos seus deslocamentos no intervalo de 24 horas até completar o tempo de

ensaio (140 dias). É importante ressaltar que as vigas foram desformadas 28 dias

após a moldagem e carregadas 24 horas após a desforma. As características físicas

dos concretos utilizados nas vigas do ensaio experimental estão mostradas no

ANEXO 3 deste trabalho. Os resultados dos deslocamentos de todas as vigas serão

mostrados no Capítulo 9 deste trabalho.

Com o carregamento aplicado, ocorre na viga uma variação de tensão ao

longo de todo seu comprimento, sendo que a máxima tensão (tração ou compressão)

é encontrada no meio de seu vão. Porém, como neste caso as maiores deformações e,

conseqüentemente, os maiores deslocamentos ocorrem no meio da viga, a medição

dessas duas grandezas não foi feita para todo o comprimento da mesma, mas sim de

forma puntual, no meio do vão. A figura 7.9 ilustra claramente onde foram tomadas

as medidas de deslocamento na viga estudada.


75

Medidas de deslocamento e deformação

CORTE A-A

A

A

X

X

Figura 7.9 – Local onde foram tomadas as medidas de deslocamento e de deformação.

Como a viga é considerada biapoiada a tensão normal é calculada como:

WM R=σ (7.1)

.onde:

8.

4. 2LPLPM R += e

yIW = (7.2)

• σ é a tensão normal de tração ou compressão;

• MR é chamado de momento resistente;

• W é o módulo de resistência à flexão;

• L é o comprimento da viga;

• I é o momento de inércia da seção transversal;

• y é a distância da linha neutra até a fibra inferior.

Dependendo do valor do carregamento aplicado na estrutura, a mesma poderá

ou não vir a sofrer fissuração, ou seja, poderá estar tanto no ESTÁDIO I como no

ESTÁDIO II (Figura 7.9). Para fins práticos a grande maioria das estruturas de

concreto trabalham no ESTÁDIO II, assim, baseado na NBR 6118/2003 serão


76

calculados não só as deformações e deslocamentos como também o momento de

fissuração dessas vigas.

1/r

M

Mro

Mrn

Muo

Mun

ESTÁDIO Ia ESTÁDIO II ESTÁDIO III ESTÁDIO Ib

Figura 7.10 – Diagrama Momento-Curvatura da seção.

Normalmente para cargas de serviço, a tensão de compressão é da ordem de

40% a 50% da resistência do concreto à compressão. Nessa condição a seção

encontra-se seguramente no ESTÁDIO II de solicitação. Assim, os cálculos que

envolvem a verificação dos estados limites de utilização devem ser efetuados no

ESTÁDIO II.

Para um melhor entendimento sobre o gráfico momento-curvatura da Figura

7.10, será dado uma sucinta explicação do mesmo. Para a aplicação de um pequeno

carregamento, o comportamento do concreto e, também, da armadura pode ser

definido como elástico-linear, na compressão e na tração. Tem-se assim, uma reta no

diagrama momento-curvatura e diz-se que a seção se encontra no ESTÁDIO Ia de

solicitação.

Com o aumento do carregamento, começa a plastificação do concreto por

tração na sua fibra mais tracionada (ESTÁDIO Ib); logo, uma seção qualquer da viga

pode romper por tração para um momento fletor de valor Mro conhecido como

momento de fissuração. Colocada uma quantidade de armadura necessária, a seção

apresentará uma fissura, porém, sem perda da capacidade portante porque a armadura

terá condições de substituir, do ponto de vista de equilíbrio, a resultante de tensões

de tração que existia na seção tracionada da seção antes de ocorrer à fissuração.


77

Continuando com o aumento progressivo do carregamento, tem-se uma fase

de formação de novas fissuras, bem como, de aumento das aberturas das fissuras

existentes, que tendem a se estabilizar numa configuração fissurada final para um

momento Mrn.

Entre Mro e Mrn o diagrama momento-curvatura é não linear por corresponder

a uma fase de fissuração progressiva. Entre Mrn e Muo, já com a fissuração

estabilizada, o comportamento é praticamente elástico-linear com aberturas

crescentes das fissuras existentes; diz-se que a seção se encontra no ESTÁDIO II de

solicitação. O momento Muo corresponde ao início da plastificação do concreto por

compressão. Entre Muo e Mun, o andamento do diagrama volta a ser não linear

devido à plastificação progressiva do concreto comprimido. Mun é o momento último

da seção por compressão do concreto e corresponde ao cálculo no ESTÁDIO III de

solicitação.

Este trabalho será realizado considerando a não-linearidade física do

concreto, ou seja, que a relação entre tensão e deformação no material não obedecem

à lei de Hooke. Será então necessário definir uma curva tensão-deformação do

material caracterizando o seu comportamento. Será considerada também a presença

de fissuras na estrutura, ou seja, que o concreto esteja no ESTÁDIO II do gráfico da

Figura 7.10. Estas considerações serão feitas para que se possa caracterizar de forma

mais realista o comportamento do material estudado.

Para o aço a consideração é diferente. Este material será considerado como

homogêneo, isotrópico e elástico-linear. Deste modo, somente as armaduras

obedeceram à definição baseada na lei de Hooke da Teoria da Elasticidade. É

importante frisar que a consideração do fenômeno da fluência será feita somente no

concreto, caracterizando desta forma que as armaduras não sofrerão tal fenômeno.

As tabelas com as características mecânicas e físicas dos concretos usados nas

vigas que foram ensaiadas experimentalmente estão mostradas no ANEXO 3.


78

7.3. LIMITAÇÕES DO MODELO EXPERIMENTAL

Na realização do ensaio experimental foi observado que alguns cuidados

importantes não foram devidamente tomados. A não preocupação com tais cuidados

poderá acarretar, após a realização dos ensaios, discrepâncias nos resultados obtidos.

Foi observado no acompanhamento deste ensaio que não existia uma devida

infraestrutura no laboratório para a realização do ensaio de deformação lenta, pois

sua realização não ocorreu em câmera úmida, ou seja, não foi mantido o controle da

temperatura e da umidade. Esta consideração é muito importante uma vez que estas

duas propriedades são consideradas fundamentalmente importantes para a

determinação da deformação por fluência no concreto, como descrito no Capítulo 3.

Não existindo tal infraestrutura para que possa ser feita a realização de tal

ensaio, deve-se ter o cuidado de ao menos registrar, no período em que este foi

realizado, a variação de umidade e temperatura.

Uma das deficiências observada neste ensaio está relacionada com o tipo de

vinculação das vigas. Para a caracterização de apoios do 2º gênero foram colocados

roletes nas duas extremidades da viga, porém não atentou-se para o fato que, para

existir tal caracterização, a translação no eixo longitudinal de pelo menos um dos

apoios da viga deveria ser fixada. Deste modo, após a aplicação do carregamento e

devido a esse descuido, o sistema viga-pilarete ficou hipoestático, não ocorrendo

assim um “equilíbrio” estimado (devido a imperfeições) no comportamento da viga.

A Figura 7.11 (a) mostra um dos apoios das vigas que não encontrava-se

devidamente vinculado.

Após ser observado que a estrutura não estava devidamente vinculada como

deveria, foram colocados calços de madeira nos apoios para impedir sua translação

longitudinal como mostrado na Figura 7.11 (b). Está deficiência não acarretará

maiores problemas nos resultados medidos uma vez que sua correção aconteceu

antes mesmo da aplicação do carregamento.


79

(a)

(b)

Figura 7.11 – (a) Apoio do 1º gênero; (b) Apoio do 2º gênero.

Calço de Madeira

Outro erro encontrado que poderia ter comprometido os resultados obtidos no

ensaio experimental das vigas diz respeito à forma como foram medidos os

deslocamentos.

A Figura 7.12 é uma ilustração aproximada de como foi realizado o ensaio

para a determinação das flechas diferidas no tempo.

PILARETE

ROLETE

TAMBOR

RELÓGIO

CAVALETE

VIGA

Figura 7.12 – Ilustração da realização do ensaio.

Como pode ser visto na Figura 7.12 o relogio de medição está posicionado na

parte superior da viga tendo como apoio o cavalete, que por sua vez está fixado ao


80

chão. O erro está em não se ter tomado como referência, para as medidas de

deslocamento, uma linha que passe pelo eixo longitudinal da viga na configuração

indeformada, e sim o chão.

Como o ponto de referência do relógio de medição é o chão, qualquer

movimentação realizada entre o chão e o topo da viga, influenciará na contagem do

relógio. Como os pilaretes que dão sustentação para a viga também são feitos de

concreto, existirá nos mesmos deformações imediatas e por fluência que

influenciaram na medida real dos deslocamentos. A Figura 7.13 ilustra a possível

falha na medição dos deslocamentos da viga após ser aplicado o carregamento, ou

seja, em sua configuração deformada.

Deformação do pilarete

Figura 7.13 – Ilustração da configuração deformada após o carregamento.

Como afirmou-se aqui que a forma em que foram feitas as medições de

deslocamentos nas vigas estudadas foram realizadas de maneira incorreta e, que

devido a isto ocorreria, possivelmente, uma variação no que diz respeito aos

deslocamentos medidos, foi efetuado o cálculo apenas do encurtamento imediato nos

pilares para que pudesse ser analisada, de forma quantitativa, qual seria a

significância deste erro.


81

A equação utilizada para calcular a flecha imediata devido a compressão nos

pilares de concreto foi a seguinte:

AElPl

..

=∆ (7.3)

onde:

• ∆l é a flecha imediata;

• P é o carregamento aplicado;

• l é o comprimento da viga;

• E é o módulo de elasticidade do concreto;

• A é a área da seção transversal da peça;

Após a excução dos cálculos verificou-se que o deslocamento vertical

(encurtamento) dos pilaretes foi insignificante, não maior que 0,05 mm. Mesmo

considerando o fenômeno da fluência para este caso, o resultado da flecha ainda sim

permaneceria bastante irrelavante. Deste modo, é aceitavel que se desconsidere

qualquer tipo de discrepância encontrada nos resultados dos deslocamentos imediatos

e ao longo do tempo nos pilaretes.

É impotante frisar que mesmo não considerando, especificamente neste caso,

a influência dos deslocamentos verticais imediatos e por fluência, a ocorrência do

erro na medição dos deslocamentos nas vigas não é justificavel. Isso se deve porque

o carregamento que foi aplicado na viga foi relativamente pequeno, não

proporcionando uma alta deformação e consequentemente um alto deslocamento

vertical nos pilaretes.

Além dessas deficiências ocorridas na realização do ensaio experimental, é

possível observar que alguns outros erros podem também ter acontecido na

caracterização do material, ou seja, na determinação de suas propriedades físicas, tais

como módulo de elasticidade, resistência à compressão ou resistência à tração.

Esta afirmativa é feita pois estima-se uma possível relação entre módulo de

elasticidade e resistência a compressão diretamente proporcional. A tabela de

resistência à compressão do ANEXO 3 mostra que o concreto A possui resistência


82

aos 28 dias superior a do concreto C. Porém, na tabela referente ao módulo de

elasticidade, observa-se que o módulo de elasticidade do concreto A é menor do que

o módulo do concreto C, ao contrário do esperado. Isto também pode ser observado

entre os concretos B e D. O que é importante ressaltar é que nem sempre a relação

entre módulo e resistência têm que ser diretamente proporcinal, ou seja, existiram

casos em que um concreto mesmo tendo resistência a compressão maior que outro,

seu módulo de elasticidade poderá ser menor. Assim sendo, é possível que tenha

ocorrido algum equívoco na determinação desta ou de outras propriedades.

Com a descrição de tais deficiências ocorridas no ensaio experimental é

esperado que os resultados dos delocamentos nas vigas possam apresentar

disparidades quando comparados com os resultados provenientes de cálculos

analíticos.

SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL DA FLUÊNCIA

83


da

ap

pa

a d

da

en

ma

pr

an

co

vis

El

pr

8
Neste capítulo será apresentado de forma bastante simples o comportamento
deformação por fluência no Método dos Elementos Finitos (MEF). Também são

resentadas as considerações utilizadas no cálculo dos programas que foram usados

ra a determinação da fluência nas vigas em estudo. Alem disso, é apresentada tanto

escrição da modelagem da geometria da estrutura como a aplicação do fenômeno

fluência em ambos os programas.

Simultaneamente ao desenvolvimento e aperfeiçoamento de programas de

genharia e de computadores com memórias expandidas e com tempos de execução

is rápidos, ocorreu o desenvolvimento de métodos numéricos para solucionar

oblemas não-lineares em duas ou três dimensões. Na área de estruturas em geral, a

álise de estruturas de concreto armado tem sido tratada com o uso de leis

nstitutivas (tais como elástico, perfeitamente plástico ou com comportamento

coelástico) (BAZÄNT [1988]).

A análise numérica computacional deste trabalho será baseada no Método dos

ementos Finitos (MEF) que é um método numérico bastante útil na solução de

oblemas de engenharia, particularmente na análise do comportamento estrutural.


84

O Método dos Elementos Finitos consiste fundamentalmente num processo

de discretização de um meio contínuo, com infinitos graus de liberdade, num

conjunto de elementos discretos, designados por elementos finitos, unidos entre si

por pontos discretos conhecidos como nós (BATHE [1996]). Neste trabalho foram

utilizados dois programas comerciais para a modelagem das vigas em concreto

armado, o ADINA e o DIANA.

8.1. CONSIDERAÇÃO DA FLUÊNCIA SEGUNDO O MEF

Segundo BAZÄNT [1988], procedimentos analíticos que são exatos para

predizer campos de tensão e de deformação com linearidade e homogeneidade

encontram numerosas dificuldades quando aplicados em estruturas de concreto.

Entre essas dificuldades está a incorporação de um comportamento não-homogêneo

causado pela presença do aço, das fissuras no concreto, da umidade, da temperatura,

dos efeitos de tensões triaxiais e da heterogeneidade do material. Embora existam

tentativas recentes para modelagem do comportamento de estruturas de concreto

armado baseadas em uma análise elástica por elementos finitos, a preponderância da

pesquisa neste campo nos últimos cinco anos tem sido com a modelagem do

comportamento inelástico em estruturas de concreto armado pelo uso dos elementos

finitos (BAZÄNT [1988]).

8.1.1. FORMULAÇÃO DO MEF PARA ANÁLISE DA FLUÊNCIA EM ESTRUTURAS

Para estruturas de concreto armado, em geral, é assumida a aplicação teórica

de pequenas deformações/pequenos deslocamentos e assim, não será distinguido o

equilíbrio estrutural na configuração deformada ou indeformada (BAZÄNT [1988]).

A idéia básica do MEF baseado em deslocamentos é de representar os

deslocamentos (u, v, w) dentro do elemento por meio dos deslocamentos nodais e

funções de interpolação, assim:

i

L

jj uzyxNzyxu ),,(),,(

1∑

=

= (8.1)


85

onde Nj são as funções de interpolação associadas com os L nós do modelo e ui são

os valore nodais do deslocamento u (x, y, z). Expressões similares são aplicadas para

v(x, y, z) e w(x, y, z). A taxa de deformação dentro do elemento pode ser definida

como:

{ } [ ]{ }δε && ),,(),,( zyxBzyx = (8.2)

onde { }ε& é um vetor das componentes das taxas de deformação, [B] é a matriz dos

gradientes das funções de interpolação Nj e { }δ& é o vetor de velocidade nodais do

elemento, ou seja,

{ } ),,,...,,,,,,( 222111 LLLT

wvuwvuwvu &&&&&&&&&& =δ (8.2a)

Uma vez obtida a matriz gradiente dos deslocamentos [B], o equilíbrio é

estabelecido pelo princípio dos deslocamentos virtuais:

∑∫=ne

VTa

e dVBR }{][}{ σ&& (8.3)

A somatória é feita sobre todos elementos que compõem a malha de

elementos finitos e é o vetor de taxa de forças externas nodais. { }aR&

O comportamento do material é descrito por um processo inelástico.

Decompondo-se a taxa de deformação total )(ε& em uma taxa de deformação elástica

e)(ε& , uma taxa de deformação por fluência c)(ε& , uma taxa de deformação devido a

perda de umidade com o ambiente (retração) s)(ε& e uma taxa de deformação devido

a variação térmica T)(ε& , tem-se:

Tsce εεεεε &&&&& +++= (8.4)

onde todas as variáveis são função do tempo t. Deste modo, a taxa de deformação

elástica e a taxa de tensão podem ser relacionadas da seguinte forma:

eD }]{[}{ εσ && = (8.5)

onde [D] é a matriz de elasticidade e }{σ& é a taxa de tensão. Para materiais que

obedecem a processos inelásticos, a taxa de tensão é dada por:


86

}){}]({[}{ ηεσ &&& −= D (8.6)

onde { }η& são as taxas de deformações inelásticas (fluência, retração e deformação

térmica). As taxas de deformações inelásticas são, usualmente, dadas por um vetor

em função da tensão, da temperatura e de qualquer acúmulo de deformação

inelástica.

},),({}{ Ttf ση =& (8.7)

Substituindo a equação (8.6) na equação (8.3) chega-se a um sistema de

equação para as velocidades nodais { }δ& desconhecidas.

ηδ }{}{}]{[ RRK a &&& += (8.8)

sendo [K] a matriz de rigidez e { }ηR& o vetor de taxa inicial inelástica que são dados

por:

dVBDBKT

eV e

]][[][][ ∑∫=

(8.9)

dVDBRT

eV e

}]{[][}{ ηη && ∑∫=

(8.10)

A equação (8.8) também pode ser escrita de forma incremental sobre um

intervalo de tempo para deslocamentos incrementais {∆δ}e tensões incrementais

{∆σ}.

ηδ }{}{}]{[ RRK a ∆+∆=∆ (8.11)

Do mesmo modo a equação (8.10) fica da forma:

dVDBRT

eV e

}]{[][}{ ηη ∆=∆ ∑∫

(8.12)

Pode-se considerar que [K] permanece constante quando utilizarmos

materiais que não variam suas propriedades com o tempo e também quando não for

considerado o efeito de 2ª ordem, ou seja, a não-linearidade geométrica na estrutura.


87

8.1.2. UM MODELO LINEAR DE ENVELHECIMENTO

Segundo BAZÄNT [1982] uma das características que distingue o concreto

de outro material viscoelástico é o efeito do envelhecimento. Por sofrer

envelhecimento, a lei constitutiva do material se modifica ao longo do tempo. Esta

modificação se deve a ação da hidratação química do cimento e é extremamente

importante para a resposta da fluência.

BAZÄNT [1982] comenta que ensaios experimentais indicam que a

deformação devido a um incremento na carga é independente de todos os

incrementos passados da carga e com isso pode-se aplicar o princípio da

superposição de McHenry. Assim, para pequenos incrementos no vetor das tensões

{dσ} ocorrendo em t’ medido a partir do tempo de concretagem, temos:

}{)],([)}({0

' σε dttJtt

∫= (8.13)

Se o material é isótropo e elástico a matrix [J(t,t’)], para um estado de tensão

tridimensional, pode ser escrita:

])[,()],([ '' DttJttJ = (8.14)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+

+

−−−−−−

=

)1(2100000

0)1(210000

00)1(21000

000100010001

][

ν

ν

ννν

νννν

D (8.15)

Análises numéricas de estruturas sujeitas à fluência, baseadas na lei Tensão-

Deformação da equação (8.13) podem ser realizadas subdividindo o intervalo de

tempo total de interesse em incrementos de tempo ∆t e tempos discretos tr (r = 1,

2,...). A integral da equação (8.13) pode então ser aproximada por finitas somas, que

envolvem mudanças da tensão ao longo do tempo.


88

8.2. MODELO DE FLUÊNCIA DO ADINA

Para a modelagem das vigas foi usada a versão 8.1.2 do ADINA (Automatic

Dynamic Incremental Nonlinear Analysis). A representação do fenômeno da fluência

pelo ADINA pode ou não incluir os efeitos de deformação térmica e de deformações

plásticas independentes do tempo.

O comportamento à fluência para qualquer tipo de material pode ser

escolhido pelas definições disponíveis no próprio software: Material Termo-Elástico

com Fluência (TECM), Material Termo-Plástico com Fluência (TPCM) ou Material

Termo-Elasto-Plástico-Multilinear com Fluência (TEPMC).

O modelo utilizado para a modelagem da fluência nas vigas foi o Material

Termo-Elasto-Plástico-Multilinear com Fluência (TEPMC), pois o mesmo

caracteriza de forma mais adequada tanto o fenômeno da fluência quanto às

propriedades físicas do material. Este modelo considera efeitos de deformações

térmicas ( )THrs

t e , de deformações plásticas independentes do tempo ( )Prs

t e e de

deformações por fluência ( )Crs

t e . A relação constitutiva usada para o calculo é:

( )THrs

tCrs

tPrs

trs

tEijrs

tij

t eeeeC −−−=σ (8.16)

onde é o tensor das tensões no tempo t e é o tensor de elasticidade na

temperatura correspondente ao tempo t. O tensor é expresso pelo módulo de

elasticidade

ijtσ E

ijrstC

Eijrs

tC

Et e pelo coeficiente de Poisson , ambos dependentes do tempo. νt

O material TEPMC pode ser usado somente para modelagem de elementos de

treliça (truss), de duas ou três dimensões (2-D solid ou 3-D solid), para elementos de

casca (shell) ou elementos tubulares (pipe). Estes modelos podem ser usados para

formulações com pequenas deformações/pequenos deslocamentos, pequenas

deformações/grandes deslocamentos ou grandes deformações/grandes

deslocamentos, onde neste último apenas elementos de duas ou três dimensões

podem ser aplicados na modelagem.

A aplicação da relação constitutiva da equação 8.16 implica que as

deformações térmicas, plásticas e por fluência são independentes uma das outras.


89

Assim, a única interação entre elas vem do fato de que todas as deformações afetam

as tensões. A Figura 8.1 mostra a curva Deformação-Tempo para situação de um

campo de tensões unidimensional.

Figura 8.1– Deformação considerada pelo ADINA em uma análise unidimensional.

Tempo t

Def

orm

ação

por

Flu

ênci

a

Para a determinação das deformações ou deslocamentos provenientes do

fenômeno da fluência no ADINA, se faz necessária a escolha de uma Equação de

Fluência. Deste modo, após a consideração do comportamento elástico, plástico ou

elastoplástico do material, a deformação por fluência pode ser definida por meio de

três equações: equação de potência, equação exponencial e equação de oito

parâmetros. As três Equações de fluência utilizadas pelo ADINA são mostradas a

seguir.

1- Lei Potencial da Fluência

21 ..0aaC tae σ= (8.17)

2- Lei Exponencial da Fluência

tGeFe tRC .)1.( . +−= (8.18)

σ.0

1exp. aaF = (8.19)

4a

32 a.aR ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ=

(8.20)

σ.5

6exp. aaG = (8.21)


90

3- Lei de Oito Parâmetros da Fluência

HC TSe −= exp.. (8.22)

onde:

1a0 .aS σ= (8.23)

642 a5

a3

a t.at.atT ++= (8.24)

16,273a

H 7

+θ=

(8.25)

Para a análise do comportamento da deformação por fluência em estruturas de

concreto utilizando o ADINA, foi feita uma simulação das três funções acima citadas

baseadas no comportamento da curva Deformação-Tempo. Os cálculos

primeiramente foram efetuados tendo como base a NBR 6118/2003 (Capítulo 6) e,

posteriormente, tentou-se igualar as curvas determinadas em função das equações do

software com a determinada pela NBR 6118/2003.

A calibração das curvas em função das equações do ADINA foi realizada

manualmente. Foi feita uma calibragem nas constantes das equações (a1... a7) para

que as deformações resultantes se aproximassem das obtidas pela norma brasileira,

como mostrado na figura 8.5.

Verificou-se que das três funções citadas anteriormente, a que melhor

representou a curva Deformação-Tempo proposta pela NBR 6118/2003 foi a Lei

Exponencial da fluência (equação 8.18). A comparação das curvas Deformação-

Tempo entre a função exponencial dada pelo ADINA e os cálculos provenientes da

NBR 6118/2203 podem ser encontrados no ANEXO 2 deste trabalho.

8.3. MODELO DE FLUÊNCIA DO DIANA

Para a modelagem das vigas foi usada a versão 8.1 do DIANA. O software

possibilita que efeitos ao longo do tempo, como a fluência, possam ser modelados

com base em modelos viscoelásticos em série de Kelvin e Maxwell. O programa

também pode gerar parâmetros nos modelos em série de Maxwell ou Kelvin para a


91

fluência, onde os dados de entrada possam ser funções de fluência descritas (geradas

pelo próprio usuário) ou por modelos baseados em normas internacionais.

Atualmente, essas normas são a European CEB-FIP Model Code 1990, o American

Concrete Institute code 209 e a Duch NEN 6720 code.

O modelo utilizado neste trabalho para o cálculo da fluência no DIANA foi o

da norma Européia, o CEB-FIB 1990. A descrição deste modelo será feita na seção

8.3.1.

Se considerados os modelos viscoelásticos (séries de Kelvin e Maxwell) para

a representação do fenômeno da fluência e baseando-se no princípio da superposição,

a função de fluência pode ser usada para o cálculo da deformação em função de um

histórico de tensões.

O comportamento da fluência é descrito por uma função J(t0 ,t). Na função de

fluência descrita pelo software, a relação entre tensão e deformação é dada por:

∫ ∞−= 0 )(.).,()( 0

tdttCttJt σε & (8.26)

A matrix C é adimensional e descrita em função do coeficiente de Poisson ν:

2(1 )

2(1 )

2(1 )

1

1

1

0 0 00 0 00 0 0

C0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

+ν

+ν

+ν

−ν −ν

−ν −ν

−ν −ν

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎥ (8.27)

8.3.1. MODELO DE FLUÊNCIA PARA O CONCRETO SEGUNDO O CEB-FIB 1990

Nesse tópico será mostrado como o DIANA, baseado na norma européia

CEB-FIB 1990, leva em consideração o efeito da fluência em estruturas de concreto

armado. Serão descritas também quais as propriedades dos materiais que o software

utiliza para o cálculo das deformações e dos deslocamentos na modelagem das vigas.


92

O modelo do CEB-FIB 1990 considera o desenvolvimento da resistência à

compressão do concreto fcm com o tempo. Essa evolução de resistência é função do

tipo de cimento, da temperatura e de condições de cura e pode ser estimada como

sendo:

cm cc cm28f (t) (t).f= β (8.32)

onde fcm28 é a resistência a compressão do concreto aos 28 dias e βcc é um coeficiente

que depende do tempo segundo a expressão:

cceq

28(t) exp s 1t

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟β = −⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ (8.33)

onde s é um coeficiente que depende do tipo de cimento (Tabela 8.1) e teq é a idade

equivalente do concreto definida como:

0

eq Atref

1 1t cT T( )

⎛ ⎞= −⎜ ⎟τ⎝ ⎠

∫ dt (8.34)

T(τ) é a temperatura do concreto na idade de τ dias, Tref é a temperatura de referência

igual a 293 ºK e CA é a constante de Arrhenius igual a 4000 K-1.

Tabela 8.1 – Coeficiente de fluência para o Modelo de Código do CEB-FIB.

Tipo de Cimento s α

Cimento de endurecimento rápido e alta resistência (RS) 0,20 1

Cimento de endurecimento normal e rápido (N & R) 0,25 0

Cimento de endurecimento demorado (SL) 0,38 -1

O valor característico da resistência a tração ftk na idade de t dias pode ser

estimado por:

23

cktk tk0,m

c0k

f (t)f f .f

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (8.35)

com fck0,m = 1,4 MPa, fck0 = 10 MPa e onde fck é a resistência característica à

compressão do concreto definida como:


93

ck cmf (t) f (t) f= − ∆ (8.36)

onde ∆f = 8 MPa e fcm é a resistência média à compressão do concreto dada pela

equação 8.32.

O software também considera a evolução do módulo de elasticidade Ec com o

tempo pela seguinte expressão:

c ccE (t) (t).E= β c28 (8.37)

onde Ec28 é o módulo de Elasticidade do concreto aos vinte e oito dias de idade e βcc

é o coeficiente que depende do tempo dado pela equação 8.34.

Dentro de uma faixa de serviço onde ⎢σ ⎢< 0,4 fcm(t0), a fluência assume um

comportamento linear em relação a tensão. A função de fluência J(t, t0) pode ser

calculada como:

00

c 0 c28

(t, t )1J(t, t )E (t ) E

φ= + (8.38)

onde E(t0) é o módulo de elasticidade do concreto na idade do carregamento t0, e

φ(t,t0) é o coeficiente de fluência. O efeito do tipo de cimento, da cura e da

temperatura pode ser considerado modificando a idade do carregamento de acordo

com:

0,mod 0,T 1.20,T

9t max 0,5 ; t 12 t

α⎛ ⎞⎛ ⎞⎜= +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎟⎟

(8.39)

onde α é o coeficiente que depende do tipo de cimento (Tabela 8.1) e t0,T é definido

como:

0t

0,T A0ref

1 1t cT T( )

⎛ ⎞= −⎜ ⎟τ⎝ ⎠

∫ dt

0

(8.40)

Na função de fluência, a norma européia também considera um coeficiente de

fluência calculado por:

0 0 c(t, t ) . (t t )φ = φ β − (8.41)


94

Sendo que φ0 é conhecido como coeficiente de fluência incremental e βc(t-t0) é o

coeficiente que descreve o desenvolvimento da fluência com o tempo após o

carregamento. Estes dois coeficientes são respectivamente definidos em (8.42) e

(8.47). Assim o coeficiente de fluência incremental pode ser definido como:

0 RH cm28 0. (f ). (t )φ = φ β β (8.42)

onde:

0RH 1

3

0

RH1RH1

h0, 46h

−φ = +

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(8.43)

cm28 12

cm28

cm,0

5,3(f )ff

β =⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(8.44)

0 1 50

1(t )0,1 t

β =+

(8.45)

c2.Ahu

= (8.46)

sendo RH é a umidade relativa do ambiente em porcentagem (%), RH0 = 100%, h é a

altura da peça de concreto em milímetros (mm) (com Ac sendo a área da seção

transversal e u o perímetro em contato com o ar) e h0 = 100 mm.

O desenvolvimento da fluência no tempo é dado por:

( )( )

0,3

0c 0

H 0

t t(t t )

t t⎛ ⎞−

β − = ⎜ ⎟⎜ ⎟β + −⎝ ⎠ (8.47)

onde:

18

H0 0

RH hmin 1500 ;150 1 1,2 250RH h

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟β = + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ (8.48)


95

8.4. CONSIDERAÇÕES SOBRE A MODELAGEM DAS VIGAS NO ADINA

A modelagem das vigas em concreto foi realizada utilizando elementos

tridimensionais (3D-Solid). Para a modelagem do aço foi utilizado elemento de viga

de Bernoulli e Euller (Beam). As vigas analisadas neste software foram modeladas

com as mesmas características geométricas das vigas analisadas experimentalmente,

porém suas propriedades físicas definidas particularmente.

O período para a determinação dos deslocamentos verticais (flechas) foi

baseado no ensaio experimental. Deste modo, os deslocamentos foram tomados nos

mesmos intervalos de tempo previstos experimentalmente.

Os efeitos das deformações térmicas não foram considerados durante a

modelagem das vigas, pois os mesmos não foram medidos no ensaio experimental e

a temperatura foi dada como constante durante todo período estudado.

No ADINA as vigas foram modelas considerando-se a aderência perfeita

entre os dois materiais (aço e concreto), porém a modelagem das armaduras, neste

software, terá que ser realizada juntamente com a modelagem da estrutura, pois a

definição de superfícies e volumes assim se faz necessária.

Na modelagem numérica no ADINA foi considerado o efeito da não-

linearidade física somente para o concreto. A curva Tensão-Deformação, que

caracteriza o comportamento do concreto, foi definida em função dos dados retirados

do ensaio experimental. A tabela com os valores das propriedades físicas dos

concretos estão mostradas no ANEXO 3.

O aço foi considerado como um material elástico e isotrópico com relação

Tensão-Deformação linear. Seu módulo de elasticidade foi estipulado em 210GPa

com coeficiente de Poisson de 0,3.

8.4.1. MODELAGEM DA ESTRUTURA

A modelagem geométrica da viga em concreto armado foi feita considerando

a estrutura tridimensional e definindo-se pontos, linhas, superfícies e volumes,

respectivamente.


96

Simultaneamente a modelagem da geometria da viga, foi feita também a

modelagem somente das armaduras longitudinais, pois foram as únicas a serem

consideradas em estudo. Para o aço foi definida uma seção transversal na opção

Cross-Sections como elemento Pipe com diâmetro de 17,67 mm.

Após a definição da geometria da viga, foi aplicado o carregamento em uma

linha da superfície superior da peça. Este carregamento foi definido como 6,67 kN/m

e posicionado no centro da viga com relação a sua coordenada longitudinal e,

distribuído em relação a sua base.

Nas análises também foi considerado o peso próprio da viga com um peso

específico de 25 kN/m3. Estes carregamentos se mantiveram constantes ao longo de

todo o ensaio.

Com o carregamento aplicado haverá na viga uma variação da tensão ao

longo de todo seu comprimento longitudinal, sendo que a máxima tensão (tração ou

compressão) sofrida pela estrutura será no centro do vão. Porém, como as maiores

deformações e os maiores deslocamentos verticais ocorrerão no meio da viga, a

medição dessas duas grandezas não será feita em todo o comprimento, mas de forma

pontual, no centro do vão. Fixou-se nas duas extremidades inferiores da estrutura a

translação na direção vertical. A movimentação na direção horizontal foi permitida

apenas em um dos apoios, sendo que o outro permaneceu fixo.

A próxima etapa foi fazer a divisão no número de segmentos usados para a

geração da malha, tanto para o aço representado por linhas, como para o concreto

representado por volumes. É importante ressaltar que a divisão destes segmentos

deve ser igual tanto para as linhas que representa o aço, como para os volumes que

representam o concreto para garantir a aderência total entre o aço e o concreto por

meio de nós coincidentes.

A divisão do número de segmentos foi realizada levando-se em consideração

a convergência nos resultados obtidos tanto para deformação quanto para

deslocamento. A variação desses resultados foi observada na ordem de 10 ‰ após

uma certa distribuição desses segmentos.

Após a divisão de segmentos das linhas e dos volumes foi realizada a geração

da malha. Para as linhas que representam o aço foram definidos 2 nós por elemento


97

(elemento de barra) e para os volumes que representam o concreto foram definidos

20 nós por elemento (elemento quadrático). A Figura 8.2 mostra o modelo de

elementos finitos feito no ADINA.

Figura 8.2– Modelagem da viga feita no ADINA.

8.5. CONSIDERAÇÕES SOBRE A MODELAGEM DAS VIGAS NO DIANA

No DIANA, a modelagem das vigas em concreto armado foi realizada

também utilizando elementos tridimensionais (Struct-3D). Na modelagem do aço

para estruturas de concreto armado, o software utiliza um comando denominado

reinforcement. Este comando caracteriza que a armadura poderá ser inserida no

material como barras isoladas ou como armadura distribuída.

O DIANA considera a aderência perfeita entre os dois materiais (aço e

concreto), porém para modelagem das armaduras não se faz necessário à definição de

superfícies ou de volumes. Isto se deve, ao fato que no DIANA quando aplicado o

comando reinforcement, a geração da armadura para concreto armado é feita

automaticamente, por meio de elementos de viga de Bernoulli-Euller de 2 nós.

As vigas analisadas neste software também foram modeladas com as mesmas

características geométricas das vigas analisadas experimentalmente e suas

propriedades físicas definidas particularmente. O período para a determinação dos

deslocamentos verticais (flechas) também foi baseado no ensaio experimental. Assim


98

como no ADINA, os efeitos das deformações térmicas também não foram

considerados durante a modelagem das vigas.

Na modelagem numérica no DIANA foi considerado o efeito da não-

linearidade física somente para o concreto. A curva Tensão-Deformação, que

caracteriza o comportamento do concreto, foi definida em função dos dados retirados

do ensaio experimental assim como para o ADINA. Estes dados podem ser

encontrados nas tabelas com os valores das propriedades físicas dos concretos

mostradas no ANEXO 3. O aço foi considerado como um material elástico e

isotrópico com relação Tensão-Deformação linear. Seu módulo de elasticidade foi

adotado em 210GPa.

8.5.1. MODELAGEM DA ESTRUTURA

A modelagem da viga em concreto armado foi feita considerando a estrutura

tridimensional e definindo-se pontos, linhas, superfícies e volumes, respectivamente.

Porém, a interface gráfica do DIANA tanto para a solicitação de dados como para o

desenho geométrico da estrutura é pouco desenvolvida quando comparada com a do

ADINA, ou seja, existe uma maior dificuldade tanto na modelagem da geometria

como na aplicação das propriedades e na visualização dos comandos.

Para a modelagem das armaduras longitudinais foi necessária somente à

modelagem de seis pontos. Após a aplicação dos pontos foi escolhida a opção

reinforcement e com isso caracterizadas as armaduras na viga. Para o aço foi definida

uma área de seção transversal de 122,72 mm2 (bitola de 12,5mm) na opção de

caracterização das propriedades físicas dos materiais.

Após a definição da geometria da viga, foi aplicado um carregamento em um

ponto médio da superfície superior da peça. Este carregamento foi definido uma

força de 2000 N e posicionado no centro da viga com relação a sua coordenada

longitudinal. Nas análises também foi considerado o peso próprio da viga adotada

uma densidade 2,5. 10-6 kg/mm3. Todos os carregamentos se mantiveram constantes

ao longo de todo o ensaio e as medições das deformações e dos deslocamentos serão

feitas de forma pontual, no centro do vão. Fixou-se nas duas extremidades inferiores


99

da viga a translação no eixo vertical. A movimentação no eixo horizontal foi adotada

apenas para um dos apoios, sendo que o outro permaneceu fixo.

Após a conclusão na modelagem da geometria, dos carregamentos e das

condições de contorno, fez-se a divisão no número de segmentos usados para a

geração da malha. A divisão do número de segmentos foi realizada levando-se em

consideração a convergência nos resultados do ADINA.

Após a divisão de segmentos das linhas e dos volumes foi realizada a geração

da malha. Para o aço não se faz necessária a criação da malha, pois o programa já o

faz quando definida a opção reinforcement. Para os volumes que representam o

concreto, foram usados elementos quadráticos com 20 nós por elemento. Este

elemento é denominado pelo software como CHX 60. As figuras 8.3 e 8.4 mostram o

elemento CHX 60 e o modelo de elementos finitos feito no DIANA,

respectivamente.

Figura 8.3– Elemento quadrático CHX 60.

Figura 8.4 – Modelagem da viga feita no DIANA.


100

8.6. CONSIDERAÇÃO DO FENÔMENO DA FLUÊNCIA PELO ADINA

Como já citado, o ADINA possibilita o cálculo da fluência baseando-se em

três equações: Lei da potência, Lei exponencial e Lei de oito parâmetros. A escolha

de qual destas três equações representará melhor o comportamento da fluência pelo

ADINA é feita por opção do usuário. A curva que serviu como base de comparação

para mostrar qual das três equações melhor representaria nosso modelo, foi à curva

Deformação-Tempo embasadas na norma brasileira de concreto NBR 6118/2003. Os

cálculos provenientes da NBR 6118/2003 para a determinação da fluência em vigas

de concreto armado podem ser encontrados no ANEXO 2 deste trabalho.

A Figura 8.5 mostra a comparação das curvas Deformação-Tempo das três

equações disponíveis no ADINA para o cálculo da fluência, com a curva

Deformação-Tempo calculada pela NBR 6118/203.

0 500 1000 1500 20000

a) 0 500 1000 1500 2000

b) 0 500 1000 1500 2000

c) Figura 8.5– Comparação das curvas de fluência do ADINA em vermelho com a curva de fluência da NBR

6118 em azul: a) Equação da potência; b) Equação exponencial; c) Equação de oito parâmetros.

Para a análise do comportamento da viga biapoiada sobre efeito da fluência,

optou-se pela escolha da função exponencial de fluência (equação 8.19). É fácil

observar que os resultados das deformações ao longo do tempo encontrados para esta

equação foram os que mais se aproximaram, em idades iniciais, quando comparada

com a curva da NBR 6118, além de apresentar um comportamento assintótico

caracterizando o fenômeno da fluência.

BAZÄNT [1982] comenta que quando a deformação ao longo do tempo

(fluência) é caracterizada por meio de uma equação exponencial, os resultados

obtidos por meio desta equação serão mais preciso em idades mais recentes, ou seja,


101

este tipo de função consegue caracterizar melhor o comportamento da fluência no

concreto em suas idades iniciais.

É importante frisar que todas as três equações citadas para o cálculo da

fluência no ADINA estão em função de constantes (a1, a2,..., a7). Deste modo, a

“montagem” das curvas baseadas nas três equações do ADINA foi realizada com a

adoção de valores para suas respectivas constantes. Estes valores foram encontrados

calibrando-se manualmente as equações até ser achada uma maior aproximação com

a curva modelo (NBR 6118/2003).

Após a adoção da equação de fluência 8.19 usada no ADINA (equação

exponencial) e a definição das suas respectivas constantes, foi feita a escolha de qual

modelo de fluência que será usado. Como já referido no item 8.2 deste capítulo o

modelo escolhido foi o TEPMC. Este modelo possibilita a manipulação do

comportamento da fluência com a caracterização do comportamento do material

(concreto). Deste modo, foi caracterizada a curva Tensão-Deformação para cada tipo

de concreto utilizado neste trabalho. A Figura 8.6 mostra um exemplo da curva

Tensão-Deformação caracterizada pelo ADINA. O programa não admite o

comportamento de softening (amolecimento) na curva Tensão-Deformação

proporcionando desta maneira uma maior rigidez ao elemento estrutural.

Figura 8.6 – Exemplo de uma curva gerada pelo ADINA para a caracterização física do concreto.

σct

σcc

εct

εcc

Compressão

Tração

σ

ε

Os valores das tensões e das deformações referentes à montagem das curvas

estão sendo mostrados no ANEXO 3 deste trabalho e foram retirados de

FIGUEIREDO [2003].


102

As figuras 8.7 e 8.8 mostram as telas do ADINA para a aplicação do modelo

do material e para a definição do modelo TEPMC, respectivamente.

Figura 8.7– Aplicação para o modelo de material utilizado.

Figura 8.8– Caixa de entrada de dados referente ao modelo TEPMC.

O período estipulado para a obtenção dos dados referentes a deslocamentos e

deformações foram de 1, 2, 3, ..., 10, 20,..., 100, 200,..., 500, 1000, 1500, 2000, 2500,

3000 e 3500 dias.


103

Os resultados das deformações e dos deslocamentos estão sendo mostrados

no Capítulo 9. As figuras 8.9 e 8.10 mostram as isobandas de deformação e de

deslocamento vertical, respectivamente.

Figura 8.9– Isobanda de deformação no ADINA.

Figura 8.10– Isobanda de deslocamento vertical no ADINA.

8.7. CONSIDERAÇÃO DO FENÔMENO DA FLUÊNCIA PELO DIANA

Como já mencionado, o modelo escolhido para o cálculo da fluência no

DIANA foi o CEB-FIB 1990. A preferência pela escolha deste modelo foi feita pelo

fato de que o CEB-FIB 1990 é considerado uma das normas mais usadas no Brasil e

no mundo para projetos que envolvem estruturas de concreto, em geral.


104

A aplicação de um modelo de cálculo para a fluência no DIANA, assim como

as definições de parâmetros necessários para esse cálculo, podem ser consideradas

mais simples quando comparadas com as do ADINA. Isto implica em dizer que o

modelo de fluência adotado pelo DIANA possui uma maior facilidade de

manipulação e na aplicação das propriedades.

É importante lembrar que as características da função de fluência descrita

pelo CEB-FIB 1990 foram mostradas no Capítulo 5. Este tipo de função de fluência é

classificada por um método denominado método produtório.

Outra classificação para este método também é feita neste mesmo capítulo,

agora em função de métodos para análise da fluência. Segundo estes métodos, o

modelo apresentado pelo CEB-FIB 1990 é classificado como método da razão de

fluência que concluiu que, por meio de dados experimentais retirados de ensaios em

concretos “novos” e em qualquer idade t, a razão de fluência independe da idade de


A aplicação da deformação por fluência nas vigas modeladas no DIANA foi

feita usando um dos modelos de fluência disponíveis no software (viscoelástico ou

normas), e o aplicando ao respectivo material requerido. Isto foi feito utilizando o

comando que gerencia as propriedades dos materiais (property manager) e definindo

estas propriedades para cada material, respectivamente. As propriedades físicas de

cada viga estão sendo mostradas no ANEXO 3 e foram retiradas do ensaio

experimental descrito no Capítulo 7.

O DIANA, diferente do ADINA, pode considerar para um mesmo material

dois modelos de comportamento. Isto que dizer que para um mesmo material pode-se

requerer tanto o comportamento à fluência quanto a fissuração. Além disso, o

software também considera uma definição mais precisa no comportamento do

concreto pela curva Tensão-Deformação. Nesta definição é possível caracterizar,

além da perda de rigidez devido à fissuração, o efeito de softening (amolecimento)

no comportamento do concreto.

A Figura 8.11 mostra a definição da curva Tensão-Deformação para a viga

produzida com o concreto do tipo A. A consideração da não-linearidade física do

material pode ser observada juntamente com o efeito de amolecimento.


105

Figura 8.11– Curva Tensão-Deformação definida pelo DIANA para o concreto do tipo A.

σσct

σcc

εct

εcc

Compressão

Tração

ε

As figuras 8.12 e 8.13 mostram a caixa de dados para a aplicação dos

modelos de fissuração e de fluência, respectivamente.

Figura 8.12– Aplicação do modelo de fissuração para o concreto no DIANA.


106

Figura 8.13– Aplicação do modelo de fluência do CEB pelo DIANA.

O modelo de fissuração utilizado nos exemplos das vigas foi o Multi-

directional Fixed Crack que caracteriza um modelo de fissuração distribuída. Como

o modelo utilizado para a caracterização da fluência foi o CEB-FIB 1990 e, como

este modelo é baseado no principio da superposição de McHenry, é certo não

considerar a plasticidade no concreto à compressão, pois este princípio é limitado a

estados de tensão que variem entre 40% a 50% da resistência a compressão do

concreto (fck).

As propriedades definidas para o cálculo da fluência no DIANA estão sendo

mostradas na Tabela 8.2. Estes dados foram todos retirados e baseados no ensaio

experimental descrito no Capítulo 7 deste trabalho e que servirá de comparação com

os resultados de deslocamentos obtidos pelo software.

Como não foram revelados valores de temperatura e umidade na realização

do ensaio, resolveu-se estimar os mesmo tendo como base valores obtidos pelo

Instituto Nacional de Meteorologia no mesmo período em que foram realizados os

ensaios de fluência nas vigas de concreto armado.


107

Tabela 8.2 – Dados de entrada baseados no CEB 1990 para o DIANA.

Modulo de Elasticidade aos 28 dias = 23,8 GPa

Resistência à Compressão aos 28 dias = 25 GPa

Tipo de Cimento = Secagem normal

Tipo de Cura = Úmida

Coeficiente de Poisson = 0,15

Umidade Relativa do Ambiente = 50 %

Altura Fictícia da Peça = 120 mm

Temperatura = 25 ºC

Dia de Carregamento = 29

O período para a obtenção dos dados referentes a deslocamentos e

deformações foram os mesmo estipulados para o ADINA. Após a aplicação dos

dados referentes ao material estudado, é feito o processamento dos mesmos pelo

software. Os resultados de deformações e deslocamentos estão sendo mostrados no

Capítulo 9. As figuras 8.14 e 8.15 mostram as isobandas de deformação e

deslocamento vertical das vigas de concreto no DIANA, respectivamente.

Figura 8.14– Isobanda de deformação no DIANA.


108

Figura 8.15– Isobanda de deslocamento vertical no DIANA.

Além das isobandas de deformação e de deslocamento vertical pode ser

visualizado no DIANA a fissuração da estrutura em vários níveis de carregamento

em vários períodos de tempo. A Figura 8.16 mostra a fissuração da viga após 3500

dias.

Figura 8.16– Zona fissurada na viga D após 3500 dias mostrada no DIANA.

COMPARAÇÃO ENTRE OS RESULTADOS EXPERIMENTAIS E NUMÚRICOS 109

COMPARAÇÃO ENTRE OS RESULTADOS

EXPERIMENTAIS E NUMÉRICOS

do

(C

co

ob

rep

pr

se

De

res

se

9
Neste capítulo, são feitas comparações entre os resultados dos deslocamentos
ensaio experimental (Cápitulo 7), os cálculos embasados na NBR 6118/2003

apítulo 6) e os resultados encontrados pela simulação da fluência nas vigas de

ncreto armado modeladas nos programas ADINA e DIANA (Capítulo 8). O

jetivo destas comparações é de verificar se os modelos numéricos apresentam boa

resentatividade quando comparados com os modelos do ensaio experimental.

9.1. COMPARAÇÃO ENTRE DESLOCAMENTOS

As comparações com os dados experimentais foram feitas considerando os

imeiros 140 dias após a aplicação do carregamento, pois a medição destes dados só

fez até este período. Estas comparações são realizadas por meio de curvas de

formação-Tempo e de Deslocamento-Tempo formadas com os respectivos

ultados. Assim, os resultados de deslocamento para as vigas A, B, C e D estão

ndo mostrados nas Figuras 9.1, 9.2, 9.3 e 9.4, respectivamente. A tabela contendo


os valores de deslocamentos e de deformações para os concretos A, B, C e D, está

apresentada no ANEXO 1 deste trabalho.

Deslocamento-Tempo (Viga A)

0,000

0,010

0,020

0,030

0,040

0 50 100 150

Tempo (dias)

Des

loca

men

to (

m)

NBR 6118ADINAExperimentalDIANA

Figura 9.1 – Comparação entre as curvas de deslocamento até 140 dias para viga A.

Deslocamento-Tempo (Viga B)

0,000

0,010

0,020

0,030

0,040

0 50 100 150Tempo (dias)

Des

loca

men

to (

m)


Figura 9.2 – Comparação entre as curvas de deslocamento até 140 dias para viga B.


Deslocamento-Tempo (Viga C)

0,000

0,010

0,020

0,030

0,040

0 50 100 150Tempo (dias)

Des

loca

men

to (

m)

NBR 6118

ADINA

Experimental

DIANA

Figura 9.3 – Comparação entre as curvas de deslocamento até 140 dias para viga C.

Deslocamento-Tempo (Viga D)

0,000

0,010

0,020

0,030

0,040

0 50 100 150Tempo (dias)

Des

loca

men

to (

m)


Figura 9.4 – Comparação entre as curvas de deslocamento até 140 dias para viga D.

Todos os gráficos Deslocamento-Tempo, no período de 140 dias, apresentam

características semelhantes com relação ao seu desenvolvimento ao longo do tempo,

ou seja, cada curva (ADINA, DIANA, NBR 6118 ou Ensaio Experimental)

apresenta, aproximadamente, o mesmo comportamento quanto à fluência,

independente do tipo de concreto utilizado (A, B, C ou D). Observa-se nas Figuras

9.1, 9.2, 9.3 e 9.4 que as curvas de Deslocamento-Tempo do ADINA, DIANA e NBR

6118 mantêm uma mesma equivalência, tanto em termos qualitativos como


quantitativos. Esta equivalência é devido às propriedades das funções que

caracterizam a fluência no concreto serem as mesmas, tanto no DIANA como na

NBR 6118. No ADINA, a função utilizada para calcular a fluência é uma função

exponencial, caracterizando um comportamento semelhante nos primeiros 140 dias

de ensaio, quando comparada com as curvas citadas anteriormente.

Nas mesmas figuras, observou-se que as curvas dos resultados obtidos com os

ensaios experimentais caracterizaram o comportamento da fluência devido ao

aumento assintótico do deslocamento ao longo do tempo. Verificou-se que esse

aumento do deslocamento ao longo do tempo foi, em média, 2,5 vezes maior (em

140 dias) quando comparadas com as outras curvas. Em termos quantitativos, estes

resultados estão bem acima do que normalmente era para ocorrer, uma vez que

resultados de âmbito experimental tendem a mostrar menores valores quando

comparados com resultados oriundos de cálculos analíticos (Normas ou Códigos).

Esta afirmativa é feita partindo-se do pressuposto que nos cálculos analíticos estão

sendo utilizados coeficientes que majoram o carregamento e minoram as

propriedades dos materiais.

A pergunta feita agora é “Qual o motivo para a grande diferença entre os

resultados dos deslocamentos do ensaio experimental e das análises numéricas?” A

explicação para tal diferença encontrada entre esses resultados pode ser dada

levando-se em consideração quatro hipóteses. A primeira hipótese considera que a

diferença entre os deslocamentos numéricos e experimentais foi atribuída somente

aos erros ocorridos durante a realização dos ensaios experimentais, direta ou

indiretamente.

A segunda hipótese considera que a diferença entre os deslocamentos foi

atribuída somente as equações dos modelos numéricos (Normas ou Códigos). Esta

hipótese partiu do pressuposto que as equações dos modelos numéricos foram criadas

a partir de resultados de ensaios experimentais executados com materiais diferentes

dos encontradas na atualidade.

A terceira hipótese considera que possa ter havido erros na medição inicial

dos deslocamentos da viga, pois ocorreram grandes acréscimo nos deslocamentos


iniciais das vigas num curto intervalo de tempo (10 primeiros dias). Este tipo de

comportamento não caracteriza o fenômeno da fluência.

A quarta hipótese considera que a diferença entre ambos os resultados

(numérico e experimental) foi atribuída, simultaneamente, as três hipóteses citadas

anteriormente, ou seja, todas as hipóteses podem ter influenciado de maneira

significativa na diferença dos resultados dos deslocamentos.

Considerando-se somente a primeira hipótese, verificou-se que dois principais

fatores podem ser atribuídos ao aumento excessivo no deslocamento dos ensaios

experimentais. Estes fatores são descritos no Capítulo 7 como deficiências do ensaio

experimental e são: controle de umidade/temperatura e erro na caracterização das

propriedades físicas dos materiais. Foi verificado também neste mesmo capítulo, que

as deficiências devido ao erro nas vinculações e os erros de medição dos

deslocamentos pouco contribuíram para a diferença ocorrida entre as curvas

experimentais e as demais.

Como a umidade relativa do ar, a temperatura e as propriedades físicas do

material estão correlacionadas entre si, resolveu-se manipula-las de modo a verificar

a sensibilidade destes parâmetros na análise. Com isso, procurou-se chegar a uma

possível explicação para a discrepância entre os resultados obtidos nas curvas.

Como exemplo, foi escolhido o gráfico Deslocamento-Tempo obtido em

função do concreto do tipo D. Observa-se na Figura 9.4 que as curvas da NBR 6118,

do ADINA e do DIANA estão caracterizando um mesmo comportamento,

quantitativo e qualitativo, até os 140 dias de ensaio. Desta maneira, optou-se por

representar as três curvas de forma única, ou seja, por uma única curva chamada de

curva variável, uma vez que seus comportamentos são praticamente equivalentes.

A manipulação da curva variável será realizada por meio de mudanças no

valor do módulo de elasticidade e no valor da umidade relativa do ar na função de

fluência, disponível na NBR 6118. Estas mudanças foram realizadas com o intuito de

obter uma maior sensibilidade no comportamento dos deslocamentos ao longo do

tempo da viga no concreto do tipo D. Optou-se por escolher a função de fluência da

NBR 6118 para representar o comportamento da curva variável, pois a mesma


apresenta maior praticidade quando comparada com a manipulação nos dois

programas, ADINA e DIANA.

Primeiramente, optou-se em mudar somente o valor do módulo de

elasticidade do concreto na função de fluência. Com a diminuição do módulo de

elasticidade em relação ao módulo inicial (Anexo 3), verificou-se que ocorreu,

praticamente, o mesmo aumento no valor dos deslocamentos ao longo do tempo. Isso

demonstra um crescimento proporcional entre si dos valores dos deslocamentos para

todos os pontos (dias) da curva, comparada com a curva original (Figura 9.5).

É importante ressaltar que feito o contrário, ou seja, o valor do módulo de

elasticidade tivesse sido aumentado, ocorreria uma diminuição praticamente igual

nos deslocamentos da curva original.


0,000

0,010

0,020

0,030

0,040

0 50 100 150

Tempo (dias)

Des

loca

men

to (

m)

Curva Original (E = 35,6GPa)Curva ExperimentalCurva Variável (E = 11,3 GPa)

Figura 9.5– Variação somente do módulo de elasticidade do concreto.

Destaca-se nesta primeira verificação que diminuindo somente o módulo de

elasticidade do concreto, a curva variável equivale-se à curva original apenas entre

75 e 140 dias de ensaio como mostrado na Figura 9.5.

Optou-se também por verificar o comportamento da curva original quando

considerada somente a variação da umidade relativa do ar. A variação no valor da

umidade foi feita inicialmente considerando um valor fictício igual a 0. Na Figura

9.6, está apresentada uma nova curva variável obtida com a diminuição da umidade

relativa do ar.


Diminuindo-se apenas o valor da umidade relativa do ar em relação ao seu

valor inicial observa-se na Figura 9.6 que a curva variável tende a aumentar seus

valores de deslocamento ao longo do tempo de maneira desproporcional.


0,000

0,010

0,020

0,030

0,040

0 50 100 150

Tempo (dias)

Des

loca

men

to (

m)

Curva Original (U = 50%)Curva ExperimentalCurva Variável (U = 0%)

Figura 9.6– Variação somente da umidade relativa do ar.

Este crescimento desproporcional no deslocamento ao longo do tempo indica

a influência da umidade relativa do ar no concreto, quando levado em consideração o

fenômeno da fluência.


0,000

0,010

0,020

0,030

0,040

0 50 100 150

Tempo (dias)

Des

loca

men

to (

m)

Curva Original (E=35,6GPa e U=50%)Curva ExperimentalCurva Variável (E= 20GPa e U= 15%)

Figura 9.7– Variação simultânea do módulo de elasticidade e da umidade relativa do ar.

Por último, tentou-se aproximar a curva variável da curva experimental

manipulando simultaneamente e aleatoriamente o valor do módulo de elasticidade e


da umidade relativa do ar. Na figura 9.7, está apresentada a curva variável

encontrada considerando-se a umidade de 15% e do módulo de elasticidade de

20GPa.

Verifica-se que as mudanças simultâneas ocorridas no módulo de elasticidade

e na umidade relativa do ar caracterizaram um comportamento da curva variável

semelhante ao da curva experimental. Levando-se em consideração a hipótese

adotada, pode-se afirmar por meio desta análise que, as diferenças entre os resultados

númericos e experimentais estejam vincunladas somente a possíveis erros no ensaio

experimental. Assim é razoável considerar que ocorreram possíveis falhas na

obtenção do módulo de elasticidade e na consideração do efeito real da umidade

relativa do ar (in situ).

Analisando agora a segunda hipótese, tentou-se explicar a discrepância entre

os resultados experimentais e numéricos. Partiu-se do pressuposto que os modelos

numéricos utilizados para a caracterização da fluência (NBR 6118 e CEB-FIB 1990)

encontram-se desatualizados. Isto implica em dizer que estes modelos de cálculo não

descrevem de forma totalmente adequada o comportamento da fluência no concreto.

Uma explicação para isto pode ser dada verificando-se a evolução na

composição do cimento atual quando comparado com cimentos produzidos em

décadas anteriores. Atualmente, após 28 dias de cura, a evolução da resistência a

compressão em concretos produzidos a partir de cimentos atuais é muito baixa, o que

não acontecia com concretos produzidos com cimentos antigos. Isto se deve, pois

atualmente os cimentos estão cada vez mais finos e tendem a ficar hidratados mais

rápido (FIGUEIREDO [2004]).

Considerou-se que as equações disponíveis em normas e códigos foram

criadas a partir de vários ensaios experimentais. Estes ensaios foram executados com

cimentos que possuem propriedades bastante diferentes comparados com os cimentos

produzidos atualmente. Deste modo, pode-se considerar que estas equações não

conseguem caracterizar um real comportamento da fluência em concretos produzidos

com cimentos atuais. A Figura 9.8 ilustra a evolução da resistência a compressão

para concretos produzidos a partir de cimentos novos e antigos.


Figura 9.8– Evolução da resistência a compressão de concretos produzidos a partir de cimentos

novos e antigos (FIGUEIREDO [2004]).

Cimento Novo Cimento Antigo

Análise da Fluência

fck,28

fck

Tempo

28 dias

Como a evolução da resistência a compressão em concretos produzidos com

cimentos atuais após 28 dias é baixa, é aceitável que as deformações e deslocamentos

oriundos deste concreto sejam maiores do que em concretos que apresentam maiores

evoluções em sua resistência a compressão após 28 dias (FIGUEIREDO [2004]).

Na Figura 9.8 está apresentado que, após 28 dias, os concretos produzidos a

partir de cimentos antigos possuem uma evolução na sua resistência a compressão.

Devido a este considerável aumento em sua resistência após 28 dias, é previsível que

ocorram menores deformações com o passar do tempo.

A terceira hipótese considera que a diferença entre os resultados

experimentais e numéricos pode ser, parcialmente explicada, devido a um erro

ocorrido na medição dos deslocamentos em idade iniciais (10 primeiros dias). Pode-

se afirmar tal hipótese, pois o comportamento inicial das curvas apresentadas nas

Figuras 9.1, 9.2, 9.3 e 9.4 não caracteriza o fenômeno da fluência. A Figura 9.9 é o

gráfico de Deslocamento-Tempo da viga produzida com concreto D e foi tomada

como exemplo para mostrar tal comportamento.

É importante ressaltar que este comportamento pode ser observado não só na

curva de Deslocamento-Tempo da viga produzida com concreto do tipo D, como

também em qualquer uma das outras curvas obtidas por meio dos ensaios

experimentais mostradas nas Figuras 9.1, 9.2 e 9.3.


Figura 9.9– Picos de deslocamento excessivo em um curto intervalo de tempo.


0,000

0,010

0,020

0,030

0,040

0 50 100 150Tempo (dias)

Des

loca

men

to (

m)


Pico de Deslocamento

A quarta hipótese é a mais provável, pois considera que a diferença entre os

resultados de deslocamentos experimentais e numéricos é atribuída as três hipóteses

citadas anteriormente, ou seja, cada uma das hipóteses podem ter influenciado de

maneira significativa na diferença dos resultados dos deslocamentos.

As Figuras 9.10, 9.11, 9.12 e 9.13 apresentam gráficos de Deslocamento-

Tempo obtidos pelas respostas das modelagens no ADINA e DIANA, juntamente

com a formulação proposta pela NBR 6118, para um intervalo de tempo de 3000

dias.

Deslocamento-Tempo (Viga A)

0,000

0,010

0,020

0,030

0 700 1400 2100 2800 3500

Tempo (dias)

Des

loca

men

to (

m)

NBR 6118

ADINA

DIANA

Figura 9.10– Comparação entre as curvas de deslocamento até 3000 dias para viga A.


Deslocamento-Tempo (Viga B)

0,000

0,010

0,020

0,030

0 700 1400 2100 2800 3500Tempo (dias)

Des

loca

men

to (

m)

NBR 6118

ADINA

DIANA

Figura 9.11– Comparação entre as curvas de deslocamento até 3000 dias para viga B.

Deslocamento-Tempo (Viga C)

0,000

0,010

0,020

0,030

0 700 1400 2100 2800 3500

Tempo (dias)

Des

loca

men

to (

m)

NBR 6118

ADINA

DIANA

Figura 9.12– Comparação entre as curvas de deslocamento até 3000 dias para viga C.



0,000

0,010

0,020

0,030

0 700 1400 2100 2800 3500Tempo (dias)

Des

loca

men

to (

m)

NBR 6118

ADINA

DIANA

Figura 9.13– Comparação entre as curvas de deslocamento até 3000 dias para viga D.

Foi observado nas Figuras 9.10, 9.11, 9.12 e 9.13 que, após aproximadamente

150 dias, ocorre em todas as vigas uma divergência nos resultados dos

deslocamentos. A diferença entre os resultados dos deslocamentos obtidos com os

programas ADINA, DIANA e pela NBR 6118, já era esperada. Isto se deve,

primordialmente, ao tipo de função utilizada pelo ADINA para o cálculo da fluência.

Como já explicitado, quando utilizada uma função do tipo exponencial para calcular

a fluência, os resultados de deslocamentos e deformações, em tempos mais afastados

do inicial, não apresentam boa representatividade.

A pergunta que pode ser feita agora é “Como pode existir uma diferença

considerável nos resultados entre a NBR 6118 e o DIANA, se o tipo de método para

o calculo da fluência (Método da Razão de Fluência) é o mesmo para os dois e as

funções de fluência utilizadas pelos dois são muito parecidas?” Essa pergunta pode

ser respondida baseando-se nas equações 8.44 e 8.49 do Capítulo 8 que representam,

na formulação do DIANA (CEB-FIB 1990), a evolução da resistência a compressão

e do módulo de elasticidade do concreto com o tempo. Assim, com a existência de

tais evoluções, a estrutura (viga) tende a ficar mais rígida, ou seja, menos

deformável.



0,000

0,010

0,020

0,030

0,040

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

Tempo (dias)

Des

loca

men

to (

m) NBR 6118

ADINACurva Variavel (E=20GPa e U=15%)DIANA

Figura 9.14– Gráfico de Deslocamento-Tempo para viga D com Curva Variável até 3000 dias.

O gráfico da Figura 9.14 apresenta a comparação entre as curvas de

Deslocamento-Tempo do ADINA, do DIANA, da NBR 6118 e da Curva Variável até

3000 dias. Esta tenta representar, por meio da retroanalise feita anteriormente, o

comportamento do concreto do tipo D. O comportamento da curva variável mostrado

na Figura 9.14 foi obtido variando o módulo de elasticidade e a umidade relativa do

ar do equacionamento proposto pela NBR 6118 até que fossem achados resultados de

deslocamentos próximos dos resultados encontrados no ensaio experimental.

9.2. COMPARAÇÃO ENTRE DEFORMAÇÕES

Na comparação entre os resultados das deformações, os dados do ensaio

experimental também não foram levados em conta, pois não houve a coleta dos

mesmos para esse tipo de estudo. Os gráficos comparativos entre as deformações

estão sendo mostrados nas Figuras 9.14, 9.15, 9.16 e 9.17 para as vigas A, B, C e D,

respectivamente. O intervalo de tempo tomado para a comparação dos dados também

foi de 3000 dias.


Deformação-Tempo (Viga A)

0,0E+00

5,0E-04

1,0E-03

1,5E-03

0 700 1400 2100 2800 3500

Tempo (dias)

Def

orm

ação

(m

/m)

NBR 6118ADINA

DIANA

Figura 9.15– Comparação entre as curvas de deformação até 3000 dias para viga A.

Deformação-Tempo (Viga B)

0,0E+00

5,0E-04

1,0E-03

1,5E-03

0 700 1400 2100 2800 3500

Tempo (dias)

Def

orm

ação

(m

/m)

NBR 6118

ADINA

DIANA

Figura 9.16– Comparação entre as curvas de deformação até 3000 dias para viga B.


Deformação-Tempo (Viga C)

0,0E+00

5,0E-04

1,0E-03

1,5E-03

0 700 1400 2100 2800 3500

Tempo (dias)

Def

orm

ação

(m

/m)

NBR 6118

ADINA

DIANA

Figura 9.16– Comparação entre as curvas de deformação até 3000 dias para viga C.

Deformação-Tempo (Viga D)

0,0E+00

5,0E-04

1,0E-03

1,5E-03

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

Tempo (dias)

Def

orm

ação

(m

/m)

NBR 6118

ADINA

DIANA

Figura 9.17– Comparação entre as curvas de deformação até 3000 dias para viga D.

Os resultados obtidos para as deformações das quatro vigas representadas

pelas Figuras 9.10, 9.11, 9.12 e 9.13 estão dentro do previsto. Esta afirmativa pode

ser feita com base na descrição sobre a diferença nos resultados dos deslocamentos

das três curvas, anteriormente apresentadas. Isto se deve ao fato de que, como a viga

é considerada biapoiada, as maiores deformações, necessariamente, estão ocorrendo

onde ocorrem nos pontos de maiores deslocamentos, e vice-versa.


Na Tabela 9.1 estão apresentadas as diferenças percentuais entre os resultados

dos deslocamentos por fluência nas quatro curvas montadas a partir das respostas

fornecidas pelo ADINA (AD), DIANA (DI), NBR 6118 (NBR) e Ensaio

Experimental (EE).

Os valores percentuais foram obtidos dividindo-se a diferença entre os

deslocamentos verticais (flecha) de duas curvas aleatórias pelo valor do menor

deslocamento entre essas curvas.

Pelos valores fornecidos na Tabela 9.1, observa-se que existe uma diferença

bastante significativa nos valores dos deslocamentos do ensaio experimental quando

comparados com qualquer uma das outras curvas (ADINA, DIANA ou NBR 6118).

No caso da viga B, a diferença entre o EE e a NBR foi maior que o dobro do valor

registrado pela norma.

Tabela 9.1 – Diferenças percentuais entre os resultados dos deslocamentos.

VIGA Tempo (dias) NBR

NBREE

fff −

AD

ADNBR

fff −

DI

DINBR

fff −

AD

ADDI

fff −

100 147 % 6 % 3 % 3 % A FLECHA

3000 -- 35 % 13 % 20 %

100 212 % 5 % 0,8 % 5 % B FLECHA

3000 -- 37 % 10 % 22 %

100 121 % 7 % 3 % 4 % C FLECHA

3000 -- 38 % 20 % 12 %

100 156 % 6 % 5 % 1,2 % D FLECHA

3000 -- 34 % 15 % 16 %

Como observado em todos os gráficos de deslocamento e também pela Tabela

9.1, quando comparados os valores dos deslocamentos entre a NBR 6118 e os dois

programas, verificou-se que o DIANA foi o que obteve uma melhor aproximação de

valores com a norma. Na comparação entre os dois programas, foi verificado que


devido às diferenças nas funções matemáticas expressas por ambos, existem

diferenças de valores somente em idades mais avançadas, conforme comentado

anteriormente.

Na Tabela 9.1 não foram comparados os resultados dos deslocamentos por

fluência do Ensaio Experimental com o ADINA e com o DIANA, pois as curvas

determinadas com os resultados dos programas apresentaram resultados muito

semelhantes aos obtidos pela NBR 6118, para o período de 100 dias, desta maneira

optou-se por utilizar apenas a NBR 6118 na comparação com os resultados

experimentais.

CONCLUSÕES

126

CONCLUSÕES

10

Conclui-se que as modelagens numéricas feitas nos programas ADINA e

DIANA, e os cálculos embasados na NBR 6118/2003 para a caracterização do

fenômeno da fluência em vigas de concreto armado não conseguiram representar, de

forma quantitativa, o comportamento da fluência quando comparadas com os ensaios

experimentais realizados em laboratório.

Conclui-se que a diferença quantitativa entre os deslocamentos apresentados

nas curvas experimentais e numéricas foi atribuída, simultaneamente, a três fatores:

possíveis erros ocorridos durante a realização do ensaio experimental, direta ou

indiretamente; possíveis erros na medição inicial dos deslocamentos no ensaio

experimental e a desatualização dos modelos que calculam a fluência (NBR

6118/2003 e CEB-FIB 1990).

Testando diferentes valores para o módulo de elasticidade do concreto do

ensaio D e para a umidade relativa do ar, verificou-se que foi possível aproximar o

comportamento entre a curva experimental e a numérica. Deste modo, pode-se

concluir que estas duas propriedades influenciam de maneira significativa a

deformação por fluência em estruturas de concreto e precisam ser adequadamente

representadas.

CONCLUSÕES

127

Concluiu-se também, que a desatualização dos modelos da NBR 6118/2003 e

do CEB-FIB 1990 utilizados para a caracterização da fluência no concreto é atribuída

à utilização de materiais com propriedades físicas diferentes dos materiais utilizados

atualmente, ou seja, não foi levada em consideração, em suas elaborações, a

evolução tecnológica no comportamento de tais materiais.

Pode-se concluir que todas as curvas apresentaram um bom comportamento

qualitativo, ou seja, todas caracterizaram de forma adequada o comportamento

assintótico do fenômeno estudado.

Devido às deficiências ocorridas no ensaio experimental, a possíveis erros na

medição inicial dos deslocamentos e a validade parcial dos métodos de cálculo da

fluência descritos na NBR 6118/2003 e no CEB-FIB 1990, é possível concluir que

não pode ser feita nenhuma correlação entre os resultados de deslocamento dos

cálculos analíticos e dos ensaios experimentais. Porém, é possível estabelecer,

quantitativamente, a eficiência e a eficácia dos programas utilizados neste trabalho

quando requeridos a calcular a deformação por fluência em vigas de concreto

armado, uma vez que conseguiram reproduzir, aproximadamente, o comportamento

do ensaio experimental quando alterados alguns dados de entrada (Umidade e

Módulo de Elasticidade).

Quando comparadas às curvas entre os programas (ADINA e DIANA) e a

NBR 6118, constatou-se que, tanto em termos de deformações quanto em termos de

deslocamentos, as curvas obtidas por meio do DIANA foram as que mais se

aproximaram da NBR 6118. Fato que é justificado pela semelhança entre as suas

funções de fluência.

A disparidade dos resultados (deformações e deslocamentos) entre as curvas

obtidas por meio do ADINA e da NBR 6118 é atribuída, principalmente, às

características distintas entre suas respectivas funções de fluência. Assim, pode-se

concluir que o DIANA representou melhor que o ADINA a deformação e o

deslocamento por fluência quando tomada como base a NBR 6118/2003.

Pode-se concluir ainda, com relação aos dois programas, que a simulação do

fenômeno da fluência em estruturas de concreto é melhor representada pelo DIANA,

pois este software permite a consideração simultânea de efeitos como perda da

CONCLUSÕES

128

rigidez (hardening), amolecimento (softening) e retração. Soma-se a isto uma maior

simplicidade quanto à caracterização da fluência.

10.1. PROPOSTAS PARA FUTUROS TRABALHOS

Com base nas conclusões, uma proposta interessante para os próximos

trabalhos será a realização de novos ensaios experimentais em vigas de concreto

armado, porém deve-se tomar cuidado em sua execução para que não possa vir a

ocorrer irregularidades que o comprometam, como as citadas ao longo deste trabalho.

Estes ensaios poderão então ser comparados com sua modelagem numérica baseada

no MEF ou em qualquer outro método de cálculo que considera o fenômeno da

fluência. O objetivo destas comparações seria de verificar qual a real influência dos

possíveis erros ocorridos no ensaio experimental descrito neste trabalho.

Com os resultados de novos ensaios experimentais, propõe-se também um

estudo para atualizar o modelo matemático da NBR 6118/2003 proposto a calcular a

fluência em estruturas de concreto armado. Desta forma, será possível adequar um

novo modelo de fluência para a NBR 6118/2003 e verificar qual sua diferença com o

modelo elaborado a partir de materiais antigos se realmente for comprovada a

ineficiência causada pela desatualização do modelo.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 129

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

11
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Struct. 8, 511-31, 1978.

ANEXO 1 – Tabela de Resultados

133

ANEXO 1

ANEXO 1 – Tabela de Resultados

134

Com exceção aos dados retirados do ensaio experimental que somente terão

respostas para 100 e 140 dias, a tabela abaixo mostra os valores dos deslocamentos e

das deformações para 100, 140 e 3000 dias dos programas ADINA e DIANA, e da

NBR 6118/2003.

VIGAS DIAS Experimental NBR 6118 ADINA DIANA 100 0,02719 0,01084 0,01069 0,01100 140 0,02869 0,01144 0,01104 0,01165 Deslocamento

(m) 3000 -- 0,01704 0,01241 0,01485 100 -- 3,90E-04 3,23E-04 3,62E-04 140 -- 4,25E-04 3,35E-04 3,77E-04

A Deformação

(m/m) 3000 -- 6,54E-04 3,92E-04 4,54E-04 100 0,02078 0,00658 0,00638 0,00685 140 0,02214 0,00694 0,00648 0,00715 Deslocamento

(m) 3000 -- 0,01034 0,00754 0,00934 100 -- 3,32E-04 2,34E-04 2,97E-04 140 -- 3,63E-04 2,37E-04 3,07E-04

B Deformação


(m) 3000 -- 0,01675 0,01214 0,01355 100 -- 3,69E-04 2,98E-04 3,51E-04 140 -- 4,02E-04 3,06E-04 3,74E-04

C Deformação


(m) 3000 -- 0,01469 0,01082 0,01250 100 -- 3,80E-04 3,18E-04 3,70E-04 140 -- 4,12E-04 3,28E-04 3,82E-04

D Deformação

(m/m) 3000 -- 5,58E-04 3,95E-04 4,49E-04

ANEXO 2 – Cálculo da fluência pela NBR-6118/2003

135

ANEXO 2


136

β 1 t( ) exp s 128t

⎛⎜⎝

⎞⎠

0.5−

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

:=

β f t( )t2 A t⋅+ B+( )t2 C t⋅+ D+

:=β d t t0,( )t t0− 20+( )t t0− 70+

:=

D 7579 hfic( )3⋅ 31916 hfic( )2⋅− 35343 hfic( )⋅+ 1931+:=

C 200− hfic( )3⋅ 13 hfic( )2⋅+ 1090 hfic( )⋅+ 183+:=

B 768 hfic( )3⋅ 3060 hfic( )2⋅− 3234 hfic( )⋅+ 23−:=

A 42 hfic( )3⋅ 350 hfic( )2⋅− 588 hfic( )⋅+ 113+:=

hfic γ 2⋅Acuar⋅:=

(Perímetro externo da seção transversal da peça em contato com o ar)

uar 2 b⋅ h⋅ 2 b⋅ l⋅+ 2h l⋅+:=

γ 1 exp 7.8− 0.1 U⋅+( )+:=

Ac b h⋅:=

Ec 35600000:=

(Considerando Umidade Relativa)ζ1c 4.45 0.035 U⋅−:=

(Pela NBR 6118 considerando CP V-ARI)s 0.2:=

(Pela NBR 6118 considerando CP I e II)s 0.25:=

(Pela NBR 6118 considerando CP III e IV)s 0.38:=

fck 39900:=γ c 1.4:=

ζd 0.4:=t0 29:=h 0.2:=

l 5.8:=σ c 3947:=U 30:=b 0.3:=

* Dados Iniciais

Deformação Por Fluência Pela NBR 6118/2003 (VIGA D)


137

fc t t0,( )fckγ c

t0 28≥if

β 1 t( )fckγ c

t0 28<if

:=

ζa t t0,( ) 0.8 1fc t t0,( )

fck−

⎛⎜⎝

⎞

⎠⋅:=

ζ2c42 hfic 100⋅+( )20 hfic 100⋅+

:=

onde:

ζ f ζ1c ζ2c⋅:=

ζ t t0,( ) ζa t t0,( ) ζ f β f t( ) β f t0( )−( )⋅+ ζd β d t t0,( )⋅+:=

ε cc t t0,( )σ c 1.3 ζ t t0,( )+( )⋅

Ec:=

0 875 1750 2625 35000

1.75 .10 4

3.5 .10 4

5.25 .10 4

7 .10 4

εcc t t0,( )

t


138

0 500 1000 1500 20000

1.625 .10 4

3.25 .10 4

4.875 .10 4

6.5 .10 4

εca t( )

εcc t t0,( )

t

* Comparação dos Resultdos

ε ca t( ) F 1 exp R− t⋅( )−( )⋅ G t⋅+:=

R a2σ ca3

⎛⎜⎜⎝

⎞

⎠

a4

⋅:=G a5 exp a6 σ c⋅( )⋅:= F a0 exp a1 σ c⋅( )⋅:=

* Formulação

a6 0:=a5 1 10 8−⋅:=

a4 0.268:=a3 0.005:=a2 0.00035:=a1 0.001675:=a0 6.3 10 7−⋅:=

* Constantes

Determinação das Constantes Pelo ADINA para a Lei de Fluência 2


139

fcdfck

1.4 10⋅:=

kN

cm2

Ecs 3.56 107⋅:= As 2.45:= Ass 2.45:= As2 2.45:=WIcyt

:=

fctm 0.3 fck

23⋅:= Para o caso de estado limite de deformação excessiva

fctsup 1.3 fctm⋅:=

fctinf 0.7 fctm⋅:= Para o caso de estado limite de formação de fissuras

fct 0.9 fctsup( )⋅:= Para o caso de tração direta

Mrα fctinf⋅ Ic⋅ 1000⋅

yt:= Momento de Fissuração

Momento máximo no vão p/ vigas biapoiadas (carga distribuida) Mk1

pp l2⋅8

:=

Mk2P l⋅4

:= Momento máximo no vão p/ vigas biapoiadas (carga concentrada nomeio do vão)

Mk1 6.3075= KN .m

Mk2 2.9= KN .m

Ma Mk1 Mk2+( ):=

Ma 9.2075=

Elementos Lineares Sujeirtos a Solicitações Normais (Viga D)

α 1.2:= para seções T ou duplo T b 0.3:= bf 0:= l 5.8:=

α 1.5:= para seções retangulares hf 0:= h 0.2:= CA 50−

Es 21000:=kN

cm2 Icb h3⋅

12:= pp b h⋅ 25⋅:= fyk 50:=

kN

cm2

fck 39.9:= MPa Ac b h⋅:=yt

b h⋅ 0.5⋅ h⋅ bf+ b hf⋅ 0.5⋅ hf⋅−

b h⋅ bf b−( ) hf⋅+:=

d 0.1675:= pp 1.5=

dlinha 0.0325:= t0 29:= P 2:= kN


140

EI Ecs Icm⋅ Mr Ma≥if

EIeq Mr Ma<if

:=

Ecs Icm⋅ 7120=EIeq 4244.2234=

EIeq EcsMrMa

⎛⎜⎝

⎞

⎠

3

Icm⋅ 1MrMa

⎛⎜⎝

⎞

⎠

3

−⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

IIIm⋅+⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

⋅⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

:=Avaliação Aproximada da Flecha Imediata

IIIm III 10 8−⋅:=

Transformação de cm4 para m4

Icm Ic 10 8−⋅:=

cm4Ic 2 104×=

cm4III 3515.3396=

Icb 100⋅ h 100⋅( )3⋅

12:=

Momento de Inércia da seção fissurada de concreto no estádio II para armadura tripla

IIIb 100⋅ xln( )3⋅

3αe As⋅ d 100⋅ xln−( )2⋅+ αe As2⋅ xln dlinha 100⋅−( )2⋅+ Ass αe⋅

h 100( )⋅

2⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

xln−⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

2⋅+:=

Momento de Inércia

xln 4.12:=

Find xln( ) 7.0123755946139647250− 4.1219261564117175340( )→

b 100( )⋅ xln2⎡⎣ ⎤⎦

2As2 αe⋅( ) xln dlinha 100( )⋅−⎡⎣ ⎤⎦⋅+ As αe⋅( ) d 100( )⋅ xln−⎡⎣ ⎤⎦⋅− Ass αe⋅

h 100( )⋅

2⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

xln−⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅−⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

0

Given

Cálculo da Linha Neutra

αeEs 10000⋅

Ecs:=

Análise no Estádio II

Flechas Imediatas em Vigas de Concreto Armado


141

mfdt 0.0093=

fdt f 1 αf+( )⋅:=

αf 0.2997=αf

∆ξ

1 50 ρ⋅+:=

∆ξ ξ t( ) ξ t0( )−:=ξ t0( ) 0.68 0.996t0( )⋅ t0

0.32⋅:=

ρAs2

b 100⋅ d⋅ 100⋅:=

ξ t( ) 0.68 0.996t( )⋅ t0.32⋅ t 70≤if

2 t 70>if

:=

Tempo,em meses, quando se deseja o valor da flecha diferidat 4:=

Tempo de aplicação do carregamento em mesest0 0.96667:=

Cálculo da Flecha Diferida no Tempo

Flecha Imediatamf 0.0071=

f f1 f2+:=

f2 0.0019=Carga Concentradaf2P l3⋅

48 EI⋅:=

f1 0.0052=f15 pp⋅ l4⋅384 EI⋅

:=Carga Distribuida

ANEXO 3 – Características Físicas das Vigas

142

ANEXO 3


143

Informações básicas dos concretos A e B utilizadas no experimento.

Concreto Informação

A B Abatimento

(mm) 85 100

Marca e tipo do cimento

Cimento CP III 40 Ribeirão Votoran CP III 40

Marca e tipo de aditivo - Grace RT 66

Dosagem do aditivo 0,5% 4%

Qualificação da areia

Areia artificial oriunda de britagem fina e grossa

Areia média quartzosa Concressand e areia

artificial Qualificação

da brita Britas 0 e I Britas I e II Guinaís

Cimento (kg) 2191 313 1630 135,8 Areia artificial

(kg) - - 4990 415,8

Areia (kg) - - 7867,8 655,7 Areia de brita

fina (kg) 1729 247 - -

Areia de brita grossa (kg) 4032 576 - -

Brita 0 (kg) 1414 202 - - Brita I (kg) 5663 809 3610 300,8 Brita II (kg) - - 9910 825,8 Água (kg) 1365 195 1152,2 96,0

Dosagem do aditivo 11 litros 1,57

litros/m3 65,2kg 5,4 kg/m3

Traço 1:0,79:1,84:0,65:2,58:0,62 1:3,06:4,82:2,21:6,08:0,71


144

Informações básicas dos concretos C e D utilizadas no experimento.

Concreto Informação C D

Abatimento (mm) 87 57

Marca e tipo do cimento Holcim CP III 40 Cauê CP II E 40

Marca e tipo de aditivo MBT 322 N Mastermix Sika Mix Plastmant

322N

Dosagem do aditivo 0,04% 0,3%

Qualificação da areia

Areia Curi e areia artificial Cantargra Areia branca Terralheiro

Qualificação da brita Britas I e II Cantareira Brita I Britta

Cimento (kg) 1363 270 1675 396

Areia (kg) 1976 366 3685 729 Misto (kg) 2687 527 - - Brita I (kg) 4176 833 5400 1062 Brita II (kg) 1036 207 - - Água (kg) 736 145,6 630 126

Dosagem do aditivo 5,4litros 1,08l/m3 5litros 1l/m3

Traço 1:1,36:1,95:3,09:0,77:0,54 1:2,20:3,22:0,38


145

Valores obtidos para a resistência à compressão axial para todos os concretos.

Resistência à compressão axial (MPa)

Idade (dias)

A B C D 12,1 23,5 15,1 23,9 3 14 20,6 15,5 22,5

Valor assumido 14 23,5 15,5 23,9

25,9 29,5 24 28,5 7 24,7 27,7 25,4 28,7

Valor assumido 25,9 29,5 25,4 28,7

37,1 45,3 34,3 39,6 33,7 44 33,6 39,4 28 37,5 44,8 32,8 39,9

Valor assumido 37,5 45,3 34,3 39,9 fck (MPa) 30,9 38,7 27,7 33,3

40,6 45,8 37,7 41,2 106 36,5 46,8 35,9 46,8

Valor assumido 40,6 46,8 37,7 46,8

Evolução de resistência à compressão para os concretos utilizados no experimento.

Na tabela abaixo se encontram apresentados os valores obtidos para o módulo de

elasticidade e para a resistência à tração por compressão diametral, tendo sido ambas

as propriedades determinadas a vinte e oito dias de idade.


146

Valores obtidos para o módulo de elasticidade e resistência à tração por compressão diametral.

VIGA Módulo a 28 dias (GPa)

Resistência à Tração por Compressão Diametral (MPa)

A 28,4 28 29

2,9 3,6

Valor 29 3,6

B 44,2 38,2 40,4

4,0 4,1

Valor 44,2 4,1

C 34,8 28,4 30

2,9 3,1

Valor 34,8 3,1

D 33,6 34,2 35,6

3,7 3,7

Valor 35,6 3,7

comparaÇÃo entre a modelagem numÉrica … · 8.1.2. um modelo linear de envelhecimento .....87...

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