comparação de modelos estatísticos

8/6/2019 Comparação de modelos estatísticos

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SOCIEDADE EDUCACIONAL DE SANTA CATARINA - SOCIESC

INSTITUTO SUPERIOR TUPY – IST

CAIO ZAFALON

CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSO

Joinville

2009/2



1

CAIO ZAFALON


Projeto apresentado ao InstitutoSuperior Tupy como pré-requisito paraobtenção de grau de bacharel emEngenharia de Produção Mecânica.

Profa. Dra. Sueli Fisher

Joinville

2009/2



2

CAIO ZAFALON


Projeto julgado e aprovado em suaforma final, sendo assinado pelosprofessores da Banca Examinadora.

Joinville, ____de _______________de __________

______________________________________ Profa. Dra. Sueli Fischer Beckert – IST

_____________________________________ Prof. Dr. Ricardo Martins Cury – IST

______________________________________ Prof. Dr. Adilson José de Oliveira - IST



3

AGRADECIMENTOS

A minha orientadora Dra. Sueli Fisher Beckert quero agradecer pelo apoio,

disponibilidade e ajuda prestada na elaboração deste projeto.

Aos meus pais por todo o apoio necessário mesmo nos momentos mais

difíceis.

E por fim, à minha namorada Rafaella por toda a paciência e carinho durante

a elaboração deste projeto.



4

RESUMO

A verificação eficaz das características da qualidade de um processo de produção

necessita freqüentemente de ferramentas do controle estatístico de processo para adetecção, identificação e análise das causas significantes responsáveis porvariações que afetam o comportamento do processo de maneira imprevisível. Esteprojeto apresenta um estudo focado nos gráficos de controle de Shewhart, CUSUMe MMEP a fim de, verificar a sensibilidade dos mesmos. A partir deste pressuposto,um comparativo do desempenho dos gráficos de controle será realizado a partir deum estudo de caso, em que, os dados serão coletados em um modelo idealestatístico e através de uma empresa metal mecânica local, serão coletados asinformações reais para a realização de um comparativo no intuito de avaliar ascaracterísticas de aplicação de cada gráfico de controle.

Palavras-chave: Gráfico de Controle. Controle Estatístico de Processo. CUSUM,MMEP e Shewhart.



5

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 Gráfico linear de causas comuns de variação......................................17

Figura 2 Gráfico linear de causas especiais de variação....................................18

Figura 3 Gráfico de uma curva normal típica......................................................20

Figura 4 Gráfico das distribuições normais com mesma média e desvios padrão

diferentes....................................................................................................................21

Figura 5 Gráfico das distribuições normais com mesmo desvio padrão e médias

diferentes....................................................................................................................21

Figura 6 Gráfico de probabilidades da distribuição normal.................................22Figura 7 Gráficos dos Padrões anormais de variação de um processo.............24

Figura 8 Gráfico de dispersão de um processo com normalidade......................25

Figura 9 Gráfico de dispersão de um processo sem normalidade......................26

Figura 10 Gráfico de controle genérico para monitoramento de um processo.....28

Figura 11 Gráfico de uma Máscara V típica..........................................................42

Fígura 12 Estrutura do gráfico de controle MMEP................................................45



6

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 Tabela da eficiência relativa do estimador R........................................33

Tabela 2 Tabela de implementação do algoritmo de soma acumulada..............40



7

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

A2 , D3 e D4 Coeficientes para o projeto de gráficos de Shewhart

Ci+ Soma acumulada incluindo a i-ésima amostra

Ci− Soma acumulada dos valores acima do pretendido Soma acumulada dos valores abaixo do pretendido0 Soma acumulada (valor inicial)

CEP Controle Estatístico de Processos

CUSUM Soma acumulada (Cumulative Sum )

MMEP Média Móvel Exponencialmente Ponderada

d Distância entre o vértice e o ponto de superposição da máscara Vd2 e d3 Fatores de correção para a estatística R

H Intervalo de decisão

h Intervalo de decisão padronizado

Ho Hipótese nula

H1 Hipótese alternativa

K Declividade da máscara V

K Declividade padronizada da máscara V (fator de sensibilidade)LC Linha Central

LIC Limite Inferior de Controle

LSC Limite Superior de Controle

n Tamanho da amostra

R Amplitude amostral

I-ésima observação

−1 Uma observação anterior a i-ésima Média das observações Média das médias das observações Média da j-ésima amostra Variável padronizada dos valores de i x

σ Desvio padrão da população

σ

Desvio padrão estimado

Desvio padrão das médias amostraisδ Tamanho ou amplitude da mudança em unidades de desvio padrão



8

α Probabilidade de um erro tipo I

β Probabilidade de um erro tipo II

θ Ângulo da máscara V

μ Média populacional0 Valor médio desejado do processo, média sob controle

μ1

Valor médio do processo para o estado fora controle



9

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 10

1.1 ESTRUTURA DO TRABALHO ......................................................................... 12

2 CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSO ....................................................... 13

2.1 CONTROLE DO PROCESSO OU CONTROLE DO PRODUTO ...................... 14

2.2 CAUSAS COMUNS.......................................................................................... 15

2.3 CAUSAS ESPECIAIS ....................................................................................... 16

2.4 SUBGRUPOS RACIONAIS .............................................................................. 18

2.5 COMPORTAMENTO NORMAL DO PROCESSO ............................................ 19

2.5.1 Propriedades da Distribuição Normal ................................................... 21

2.5.2 Padrões de Anormalidade ...................................................................... 232.5.3 Identificação da Normalidade no Processo .......................................... 24

3 GRÁFICOS DE CONTROLE DE SHEWHART ...................................................... 28

3.1 ETAPAS PARA UTILIZAÇÃO DOS GRÁFICOS DE CONTROLE .................... 29

3.1.1 Coleta dos Dados .................................................................................... 30

3.1.2 Estabelecimento dos Limites de Controle ............................................ 30

3.1.3 Interpretação do Controle Estatístico ................................................... 30

3.2 GRÁFICOS DE CONTROLE PARA VARIÁVEIS .............................................. 313.2.1 Gráfico − ............................................................................................ 33

3.2.2 Gráfico & ........................................................................................ 36

3.3 GRÁFICOS DE CONTROLE CUSUM .............................................................. 37

3.3.1 Gráfico de Controle CUSUM Tabular ..................................................... 38

3.3.2 Máscara V ................................................................................................ 41

3.4 GRÁFICO DE CONTROLE MMEP ................................................................... 43

3.4.1 MMEP como Preditor do Nível do Processo......................................... 453.5 CAPACIDADE DO PROCESSO ...................................................................... 45

3.5.1 Índice de Capacidade Potencial do Processo ().............................. 47

3.5.2 Índice de Desempenho do Processo () ........................................... 48

3.5.3 Índices ..................................................................................... 48

4 METODOLOGIA .................................................................................................... 50

4.1 CRONOGRAMA .............................................................................................. 51

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................... 52

REFERÊNCIAS......................................................................................................... 53

ANEXOS ................................................................................................................... 55



10

1 INTRODUÇÃO

O Controle Estatístico de Processos e em particular as técnicas de Controle

da Qualidade, através dos gráficos de controle, têm sido cada vez mais importantes

pelo fato de desempenharem papel primordial na indústria moderna. O controle de

qualidade almeja realizar tarefas que não possuam defeitos, uma antiga

preocupação da humanidade. A primeira idéia de controlar um processo produtivo é

atribuída a Walter Shewhart, que em 1931 apresentou e instrumentalizou um

conjunto de conceitos que servem de base para o moderno Controle Estatístico de

Processos (CEP). Montgomery (2004), diz que, o principal objetivo do Controle

Estatístico de Processo é atingir uma garantia da qualidade para tornar-se cada vezmais o fator chave na decisão do fabricante em relação a produtos e serviços. Este

fator é considerado a base que conduz ao sucesso de uma organização, tanto para

a manutenção da competitividade no mundo globalizado, como para a rentabilidade

de um processo produtivo. Para que este nível de qualidade possa ser atingido,

devem-se utilizar técnicas estatísticas convenientes e recorrer ao empenho geral de

todos os envolvidos na melhoria contínua para a estabilidade de um processo.

Desta forma, o Controle Estatístico de Processos pode ser entendido comoum conjunto de ferramentas práticas, utilizado para fornecer informações que

permitem tomar decisões relacionadas à especificação, produção e inspeção do

produto a ser fabricado bem como a avaliação do produto final. Os gráficos de

controle apresentam essas informações, de modo que, quando usadas

adequadamente são de fundamental importância para as decisões descritas acima.

Um dos grandes desafios atuais na indústria é a dificuldade na seleção do

gráfico de controle e uma limitação no uso de gráficos tradicionais como & (média e amplitude) e i & (valores individuais e amplitude móvel). Estes

gráficos, também conhecidos como gráficos de Shewhart, apresentam uma

desvantagem de apenas usar a informação sobre o processo contido no último

ponto plotado. Conforme Montgomery (2004, p. 100) “essa característica torna o

gráfico de controle de Shewhart relativamente insensível a pequenas mudanças no

processo da ordem de 1,5 sigma ou menos”. De acordo com Alves (2003), os

gráficos de Shewhart não acumulam as informações de amostras anteriores, mas



11

através de testes de seqüência fazem o uso de valores amostrais plotados

sucessivamente para uma tomada de decisão.

A dificuldade imposta pelas regras adicionais dos gráficos de Shewhart e sua

inabilidade de detectar desvios moderados fez com que se desenvolvessem

modelos de gráficos de controle que acumulam informações das amostras coletadas

sucessivamente capazes de detectar tais desvios e que fossem fáceis de utilizar. Um

desses modelos de gráficos que acumulam informações incorporadas na estatística

analisada são os Gráficos de Controle de Soma Acumulada (Cumulative Sum

Control Charts – CUSUM). Estes gráficos são capazes de detectar pequenas

mudanças na distribuição da característica da qualidade, manter um controle

apertado sobre o processo e dar uma estimativa do novo nível do processo ou danova média.

Para tanto, no estudo em lotes de produção a utilização inadequada de

gráficos de controle pode gerar decisões incorretas na aprovação ou reprovação de

lotes de produção devido ao critério de como eles foram implementadas no processo

produtivo.

Ainda de Alves (2003), é importante que os produtos sejam produzidos

corretamente à primeira vez. Dessa maneira, a variabilidade das características daqualidade reduz sistematicamente sendo de total interesse para o processo

produtivo, pois aumenta a confiabilidade do produto final. São ações fundamentais

para alcançar a estabilidade e melhorar a capacidade em qualquer processo de

produção.

O projeto tem por objetivo estabelecer critérios para seleção eficaz dos

gráficos de controle em processos normais de produção. Especificamente, será

realizada revisão dos gráficos tradicionais de controle, um estudo em outras técnicascontrole estatístico de processo (CUSUM e MMEP), a comparação dos resultados

obtidos, quanto à normalidade e aos índices de desempenho, nos diferentes gráficos

de controle e relacionar fatores relevantes para a correta utilização do gráfico de

controle.

O conteúdo apresentado neste projeto é de grande relevância aos envolvidos

direta ou indiretamente ao controle de qualidade nas indústrias, pois ainda hoje

muitos dos métodos de controle utilizados genericamente nestas empresas são

baseados quase que exclusivamente em análises de médias e índices simples de



12

desempenho, que se constituem em técnicas relativamente lentas e ineficientes na

identificação de variações ou desvios de processo.

1.1 ESTRUTURA DO TRABALHO

A estrutura do trabalho inicia (capítulo 1) com introdução aos assuntos

tratados, objetivos do trabalho, justificativa e importância, e as limitações do mesmo.

O segundo (capítulo 2) consiste na apresentação de uma visão dos conceitos

relacionados à qualidade de serviços e controle estatístico de processos. Disserta

também, os fundamentos principais para o conhecimento de um processo normal,

assim como, as principais características de anormalidade para que se entenda oprincípio dos gráficos de controle.

O Terceiro capítulo inicia o estudo com os gráficos de controle, explicando os

gráficos de Shewhart, CUSUM e MMEP finalizando a fundamentação teórica falando

sobre a capacidade do processo e seus principais índices, assim como as

considerações para a continuidade deste trabalho.

O quarto capítulo é apresentado a metodologia e o cronograma para segunda

fase do projeto referente para o primeiro semestre do ano de 2010.O quinto e ultimo capítulo descreve as considerações finais abrangendo a

idéia da continuação deste projeto.



13

2 CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSO

Ao falar em controle estatístico de processo, é necessário citar as etapas do

controle da qualidade em um processo produtivo. As etapas são:

— Definir um padrão a ser atingido;

— Inspecionar (medir o que foi produzido e comparar com o padrão);

— Diagnosticar a não conformidade (descrição do desvio entre o que foi

produzido e o padrão);

— Identificar as causas das não conformidades/defeitos;

— Realizar uma ação corretiva para eliminação das causas;

— Atualizar os padrões, seja do produto ou processo.

É importante destacar que: “O estado da estatística preditiva assume uma

população estável, mas predições não podem ser realizadas antes que as condições

do processo tenham sido inteiramente definidas” (FLOTT, 2002, p.112).

O CEP, tradicionalmente, é uma ferramenta com base estatística, de auxílio

ao controle da qualidade, nas etapas do processo, particularmente no caso de

processos repetitivos. É importante dizer que, para prognosticar a produção

utilizando o controle estatístico de processo, é necessário que haja uma população

estabilizada. Uma vez verificado que o processo é estável e controlado o prognóstico

pode ser antecipado, ou seja, se alguma coisa dê errada ou prestes a dar errado, o

CEP apresentará sinais claros de não conformidade no processo.

Os métodos estatísticos e sua aplicação na melhoria da qualidade têm uma

longa história. Em 1924, Walter A. Shewhart desenvolveu o conceito estatístico decontrole, que é considerado segundo Montgomery (2004, p.7) “o começo formal do

controle estatístico da qualidade”.

No final dos anos de 1920, Harold F. Dodge e Harry G. Romig desenvolveram

a amostragem de aceitação com base estatística como uma alternativa a 100% de

inspeção. No meio da década de 30, os métodos estatísticos de controle eram

largamente usados na Western Eletric, a divisão de manufatura da Bell Telephone

Lab., empresa em que Shewhart, Harold e Harry trabalhavam. No entanto, o valor docontrole estatístico da qualidade não era amplamente reconhecido pela indústria.



14

Desde 1980, tem havido um grande crescimento no uso de métodos

estatísticos para a melhoria da qualidade nos Estados Unidos. Isto aconteceu, em

grande parte, às grandes perdas de negócios e mercados sofridas por muitas

companhias domésticas, que não adotaram o uso dos métodos estatísticos

perdendo em alguns casos, na indústria automobilística, cerca de 1 milhão de

dólares por hora (MONTGOMERY 2004, p.8).

Porém, hoje, o CEP é entendido como uma filosofia de gerenciamento

(princípios de gerenciamento) e um conjunto de técnicas e habilidades, originais da

estatística e da engenharia de produção, que visam garantir a estabilidade e a

melhoria contínua do processo de produção. Em resumo, visa o controle e a

melhoria do processo.

2.1 CONTROLE DO PROCESSO OU CONTROLE DO PRODUTO

Segundo Flott (2002, p. 112), entretanto, na prática, a primeira vez que o

gráfico de controle é utilizado no processo, é comumente utilizado para mostrar que

o processo está fora de controle. Estando fora de controle não significa

necessariamente que o processo não esteja encontrando as especificações.Estando em controle estatístico de processo, significa que a variabilidade do

processo reduziu, e isso está diretamente ligado com a qualidade do produto.

Foi notado em várias referências que o assunto de controle estatístico de

processo, é tratado como controle estatístico do produto. Hay-yu (2008, p.2)

pergunta: “O que nós medimos quando dissemos que estamos medindo o processo?

Mais precisamente, talvez, o que estamos controlando?”. Analisando a questão, é

dito que a produção do processo é medida e não a variação do processo em si.A maioria das indústrias que aplicam o controle estatístico de processo utiliza

no conceito da característica do produto, com espessura, circularidade,

comprimento, diâmetro, etc. O problema está ligado que até o setor de qualidade

juntamente com a organização age como se o “P”, da palavra CEP, fosse ligado à

peça ou produto, e não ao processo.

Flott, ao entrevistar uma grande companhia no setor de qualidade foi

questionado que, ao se plotar características do produto, eles na verdade, estariam

controlando o processo. Mesmo que isso de certa forma seja verdadeira, deve-se

perceber e visualizar que aplicar a ferramenta somente no produto não é suficiente,



15

pois, se houver algum parâmetro inerente a fabricação do produto em si, haverá

descontrole do processo. Portanto, o ideal é que sejam controlados todos os

parâmetros envolventes no processo para que isso não seja necessário no produto.

2.2 CAUSAS COMUNS

O primeiro passo para reduzir a variação de qualquer processo é saber

distinguir causas comuns de causas especiais. Atribui-se a causas comuns, ou

causas aleatórias, às formas que agem de forma consistente no processo. De

acordo com Montgomery (2004) “Essa variabilidade natural ou “ruído de fundo” é o

efeito cumulativo de muitas causas pequenas, essencialmente inevitáveis”. Portanto,

são causas que ocorrem inerentes ao processo. De acordo com Filho (2008) são

exemplos de causas comuns:

a) Quanto ao Meio Ambiente

— Iluminação deficiente;

— Alto nível de ruído;

— Variação de temperatura do ambiente.

b) Quanto a Mão-de-obra

— Treinamento inadequado;

— Treinamento insuficiente.

c) Quanto a Máquina

— Envelhecimento; — Desgaste.

d) Quanto a Matéria-prima

— Compra continua de material de baixa qualidade (variação da matéria-prima

entre lotes).

e) Quanto aos Métodos — Instruções erradas ou inexistentes;



16

— Especificações inexistentes ou confusas;

— Especificações da matéria-prima incompatíveis com as especificações do

produto.

f) Quanto ao Meio de Medição

— Instrumento de medição inadequado;

— Método de medição incompleto ou incorreto.

2.3 CAUSAS ESPECIAIS

As causas especiais, ou, causas atribuíveis são tipos de variabilidade

específicos no processo, portanto, máquinas ajustadas ou controladas de maneira

inadequada, erros do operador, ou matéria-prima defeituosa. Diz-se que quando um

processo opera na presença de causas atribuíveis está fora de controle e quando

opera apenas com as causas aleatórias, o processo está sob controle estatístico. De

acordo com Filho (2008) são exemplos de causas especiais:

a) Quanto ao Meio Ambiente — Iluminação precária devido à lâmpadas queimadas;

— Aumento da temperatura devido à quebra do controlador da temperatura.

b) Quanto a Mão-de-obra

— Falta de cuidado devido a acesso de mau-humor;

— Saúde subitamente abalada;

— Operador substituto inexperiente;

— Vício que afeta esporadicamente o comportamento.

c) Quanto a Máquina

— Súbita desregulagem da máquina;

— Ferramenta indevida tomada por engano no almoxarifado;

— Quebra ou inoperância de algum componente notada pelo operador.



17

d) Quanto a Matéria-prima

— Uma remessa fora da especificação;

— Lote que recebeu estocagem ou manuseio inadequado;

— Utilização de material indevido.

e) Quanto aos Métodos

— Folha de instrução de operação ilegível, usada por um colaborador de

processo inexperiente.

f) Quanto ao Meio de Medição

— Quebra do instrumento de controle;

— Quebra dos óculos do operador do instrumento.

A Figura 1 apresenta um gráfico linear. Nele estão sendo acompanhados os

indicadores de defeitos. O gráfico mostra os efeitos nos índices devido às causas

comuns.

Figura 1 – Gráfico linear de causas comuns de variação

Fonte: Schissatti (1998, cap. 2)

Da mesma forma, a Figura 2 mostra os efeitos nos índices devido às causas

especiais em um gráfico de controle.



18

Figura 2 – Gráfico linear de causas especiais de variação

Fonte: Schissatti (1998, cap. 2)

2.4 SUBGRUPOS RACIONAIS

Subgrupo racional é uma amostra na qual todos os itens são produzidos sob

condições, em que, apenas variações, causas comuns, são responsáveis na

variação observada (NELSON, 1988).

A parte mais importante na preparação de um gráfico de controle é a

formação de subgrupos, pois é fundamental para a determinação do seu

desempenho. “Antes de formar os subgrupos é necessário eliminar as variações e,

então agrupar os dados para que a variação por fatores admissíveis constitua a

variação dentro do subgrupo” (KUME, 1993).

Não existe regra geral estabelecida para a escolha do tamanho e a freqüência

do subgrupo, também chamado de tamanho de amostra. Mas de acordo comParanthaman (1990), o tamanho do subgrupo pode ser classificado como:

— Amostra individual (n= 1). Quando um único dado já é representativo. A taxa

de produção é baixa ou mesmo quando a avaliação é muito dispendiosa;

— Amostra pequena ou moderada (n= 4, 5 ou 6). As pequenas amostras são

extraídas com elevada freqüência nas empresas, pois tendo baixa freqüência,

ou seja, amostragem muito grande, na extração de amostras, muitos itens



19

defeituosos poderão ser produzidos no período de retirada de uma amostra

para outra.

— Amostra grande (n>10). Juran (1992) afirma que, “quanto maior o tamanho do

subgrupo menor o desvio-padrão da distribuição das médias, sendo os limites

de controle 3σ mais rígidos, e mais sensíveis ao gráfico ". No gráfico quando o n = 15 até 25 utiliza-se para descobrir pequenas mudanças.

É aconselhável a coletar dados em intervalos regulares, porém deve-se ter

muito cuidado para não haver manipulação dos dados por parte dos operadores. Os

dados poderão estar sendo induzidos nos períodos de amostragem, evitando que a

mesma seja totalmente aleatória como se é desejado.

2.5 COMPORTAMENTO NORMAL DO PROCESSO

Conhecida como a “curva em forma de sino”, a distribuição normal tem sua

origem associada aos erros de mensuração. Sabe-se que, quando se efetuam

repetidas mensurações de determinada grandeza com um equipamento equilibrado,

não se chega ao mesmo resultado todas às vezes. Obtém-se, ao contrário, umconjunto de valores que oscilam de modo aproximadamente simétrico, em torno do

verdadeiro valor. Construindo-se o histograma desses valores, obtém-se uma figura

com forma aproximadamente simétrica. Gauss deduziu matematicamente a

distribuição normal como distribuição de probabilidade dos erros de observação,

denominando-a então “lei normal dos erros”. Abraham de Moivre, um matemático

francês exilado na Inglaterra, publicou a função densidade de probabilidade da

distribuição normal com média µ e variância σ² (ou, de forma equivalente, desviopadrão σ) em 1733.

Inicialmente se supunha que todos os fenômenos da vida real devessem

ajustar-se a uma curva em forma de sino; em caso contrário, suspeitava-se de

alguma anormalidade no processo de coleta de dados. Daí a designação de curva

normal.

A observação cuidadosa subseqüente mostrou, entretanto, que essa

distribuição normal, não correspondia à realidade. De fato, não são poucos os

exemplos de fenômenos da vida real representados por distribuições não normais,



20

curvas assimétricas, por exemplo. Mesmo assim, a distribuição normal desempenha

papel preponderante na estatística, e os processos de inferência nela baseados têm

larga aplicação.

A distribuição normal tem sua função de densidade de probabilidade dada

por:

f x =1σ 2π e

−1

2−(x−μ)σ 2

−∞ < x < ∞ (1)

Como se pode observar, através da equação acima, a distribuição normal

inclui os parâmetros μ e σ, os quais possuem os seguintes significados:

μ: Posição central da distribuição (média, x);

σ: Dispersão da distribuição (desvio padrão, x).

Segundo Montgomery (2004, p.40), “se uma variável aleatória “x” tem

distribuição normal com média μ e variância σ2, ela é representada por: X N(μ,

σ2)”.A figura 2 ilustra uma curva normal típica, com seus parâmetros descritosgraficamente.

Figura 3 – Gráfico de uma curva normal típica

Fonte: Correa (2003)



21

2.5.1 Propriedades da Distribuição Normal

Para uma mesma média μ e diferentes desvios padrão σ, a distribuição que

tem maior desvio padrão se apresenta mais achatada, acusando maior dispersão em

torno da média. A que tem menor desvio padrão apresenta “pico” mais acentuado e

maior concentração em torno da média. A Figura 3 compara três curvas normais,

com mesma média, porém com desvios padrão diferentes. A curva A se apresenta

mais dispersa que a curva B, que por sua vez se apresenta mais dispersa que a

curva C. Neste caso, σ A > σ B > σ C.

As distribuições normais com o mesmo desvio padrão e médias diferentes

possuem a mesma dispersão, mas diferem quanto à localização. Quanto maior amédia, mais à direita está a curva. A Figura 4 ilustra o fato, em que, a curva A possui

média maior que a curva B (μ A > μ B).

Figura 4 – Gráfico das distribuições normais com mesma média e desvios

padrão diferentes


Figura 5 – Gráfico das distribuições normais com mesmo desvio padrão e

médias diferentes




22

Como descrito anteriormente, a probabilidade de uma variável assumir

valores entre a e b é igual à área sob a curva entre esse dois pontos. A

determinação destas probabilidades é realizada matematicamente através da

integração da função de densidade de probabilidade entre os pontos a e b de

interesse. No caso da normal, a integral não pode ser calculada exatamente, e a

probabilidade entre dois pontos só pode ser obtida aproximadamente, por métodos

numéricos. Esta tarefa é facilitada através do uso da distribuição normal padrão.

No caso da distribuição normal, algumas dessas áreas com os pontos a e b

função da média μ e do desvio padrão σ são bastante difundidos, e estão

representadas na Figura 5.

Figura 6 – Gráfico de probabilidades da distribuição normal


Portanto, 68,26% dos valores populacionais caem entre os limites definidos

como média mais ou menos um desvio padrão (μ 1σ); 95,46% dos valores caem

entre média mais ou menos dois desvios padrão (μ 2σ); e 99,73% dos valores

caem entre média mais ou menos três desvios padrão (μ 3σ).

Infelizmente, a normalidade não garante a ausência de causas especiais

agindo no processo. Algumas causas especiais podem alterar o processo sem

destruir sua simetria ou unimodalidade. Da mesma forma, uma distribuição não

normal pode não ter causas especiais agindo sobre ela, mas sua forma de

distribuição é não simétrica.



23

2.5.2 Padrões de Anormalidade

Siqueira (1997, p. 48), diz que, “quando se um ponto pertencente a um

subgrupo fora dos limites de controle, o processo está fora de controle ou instável”.

Isto significa que há uma causa especial presente. É possível visualizar a ausência

de controle de um processo imaginando que o ponto fora do limite de controle

pertence a uma população diferente para a qual os limites de controles, presentes,

foram estabelecidos.

Um processo pode ser considerado fora de controle, mesmo quando todos os

pontos estão dentro dos limites de controle. Caso esse, que ocorre quando se tem

um padrão de variação anormal no processo. Nos gráficos de controle, não é normalque nove ou mais pontos consecutivos se situam dentro da faixa de ± 1 σ em torno

do valor central. “A probabilidade de ocorrência de um padrão anormal é

aproximadamente igual à probabilidade de um ponto cair além do limite de ± 3 σ”, diz

SIQUEIRA (1997, p.48). Existem oito padrões clássicos para sensibilizar os gráficos

de controle conforme representados na Figura 6:

— Padrão 1 – Um ou mais pontos fora dos limites de controle; — Padrão 2 – Uma seqüência de oito pontos consecutivos de um mesmo lado

da linha central;

— Padrão 3 – Seis pontos em uma seqüência sempre crescente ou decrescente;

— Padrão 4 – Quatorze pontos em seqüência alternadamente para cima e para

baixo;

— Padrão 5 – Dois ou três pontos fora dos limites de alerta dois-sigma;

— Padrão 6 – Quatro ou cinco pontos consecutivos além dos limites um-sigma; — Padrão 7 – Quinze pontos em seqüência na zona C (tanto acima quanto

abaixo da linha central);

— Padrão 8 – Oito pontos em seqüência de ambos os lados da linha central com

nenhum na zona C.



24

Figura 7 – Gráficos dos Padrões anormais de variação de um processo

Fonte: Siqueira (1997)

2.5.3 Identificação da Normalidade no Processo

A análise para identificar se os dados coletados podem ser utilizados para

definição dos intervalos de confiança baseia-se na hipótese de que os erros seguem

uma distribuição Normal (distribuição de Gauss). A condição de normalidade dos

resíduos não é necessária para a obtenção dos estimadores de mínimos quadrados,

mas é fundamental para a definição de intervalos de confiança e testes de

significância. Ou seja, na falta de normalidade, os estimadores são não-

tendenciosos, mas os testes não têm validade, principalmente em amostras

pequenas. Entretanto, pequenas fugas da normalidade não causam grandesproblemas.



25

A não-normalidade dos resíduos pode ser causada por violações de outras

condições básicas, tais como a variância não constante dos erros ou a escolha de

um modelo incorreto para a equação.

O teste mais simples e rápido é o teste gráfico de dispersão, comparando a

freqüência acumulada dos resíduos padronizados com a curva Normal, em que, “s” é

desvio-padrão dos resíduos. O aspecto do gráfico varia de acordo com o software

estatístico, mas sempre existe uma linha-base, representando a curva Normal, e os

resíduos acumulados do modelo ajustado devem aproximar-se desta linha. Fugas

significativas são indicadoras de não-normalidade dos resíduos, e o modelo deve ser

descartado, buscando-se outra configuração para a equação.

As Figuras 7 e 8 mostram a dispersão dos resíduos resultando emnormalidade ou não. As figuras são meramente para efeito de visualização.

Figura 8 – Gráfico de dispersão de um processo com normalidade

Fonte: adaptado UNISINOS (2004)



26

Figura 9 – Gráfico de dispersão de um processo sem normalidadeFonte: adaptado UNISINOS (2004)

É bastante comum também, o emprego de um teste numérico. Pelas

propriedades da Normal, 68% dos resíduos devem estar no intervalo (-1; 1), 90% no

intervalo (-1,64; 1,64) e 95% no intervalo (-1,96; 1,96). Então, se os resíduos

corresponderem a estes limites, aproximadamente, pode-se dizer que a normalidade

está garantida.Outro método de grande utilização para identificação da normalidade no

processo é o teste de Anderson-Darling. Usual para os métodos de máxima

verossimilhança e mínimos quadrados. É uma medida da proximidade dos pontos e

da reta estimada no gráfico de probabilidade. O teste de Anderson-Darling é um

teste alternativo dos testes de aderência, o qual tem a vantagem de ser mais

sensível que outros testes como o Chi-quadrado e Kolmogorov- Smirnov, pois dá

mais ênfase aos pontos das caudas da distribuição. Assim, valores pequenos daestatística de Anderson-Darling indicam que a distribuição estima melhor os dados.

Para estabelecer um critério de rejeição ou não rejeição do modelo

(distribuição de probabilidade), é formulada a seguinte teste de hipótese:

H0: Y segue uma determinada distribuição de probabilidade

H1: Y não segue esta distribuição de probabilidade proposta



27

A estatística do teste para tomar a decisão é dada por:

2

= − − (2

−1)

=1 + 1 − +1− (2)

Em que, F é a função de distribuição acumulada da distribuição específica. Observe

que são os dados ordenados. Os valores críticos ou de rejeição para o teste de

Anderson-Darling dependem da distribuição específica que está sendo testada. O

teste de Anderson-Darling é um teste unicaudal e a hipótese nula (H0) é rejeitada se

o teste estatístico fornecer valor superior ao crítico. Cabe observar que este teste

pode ser ajustado (pode ser multiplicado por uma constante, a qual usualmente

depende do tamanho da amostra n), MELO(2000).



28

3 GRÁFICOS DE CONTROLE DE SHEWHART

Os métodos estatísticos e de probabilidade com base no tempo são

suficientes para determinar se existem causas especiais. A mais versátil e robusta é

o gênero de gráficos de controle desenvolvidos pelo Dr. Walter Shewhart do Bell

Lababoratory na década de 20. Foi o responsável pela distinção entre variação

controlada e não controlada, que corresponde a chamadas causas comuns e

especiais. Shewhart desenvolveu uma ferramenta simples, mas poderosa para

separar os dois tipos de causas, o gráfico de controle.

Desta forma, o gráfico de controle é uma ferramenta utilizada dentro do

controle estatístico de processo para descrever, de maneira precisa, umacaracterística da qualidade que foi medida ou calculada a partir de uma amostra

versus o número da amostra ou o tempo. O gráfico contém uma linha central,

representando o valor médio da característica da qualidade que corresponde ao

estado sob controle. Duas outras linhas horizontais, chamadas limite superior de

controle (LSC) e limite inferior de controle (LIC). Estes limites são estabelecidos para

probabilidades de 99,73% sendo μ ± 3σ e são escolhidos de modo que, se o

processo está sob controle, praticamente todos os pontos amostrais estarão entreeles.

A Figura 9 mostra um gráfico de controle genérico.

Figura 10 –

Gráfico de controle genérico para monitoramento de um processoFonte: Bornia (2004)



29

Além de oferecer uma exposição visual dos dados que representa um

processo, os gráficos de controle utilizam amostragens seqüenciais para identificar

quando um processo se altera e necessita de ação corretiva. O principal foco do

gráfico de controle é a tentativa de separar as causas de variações especiais das

causas de variações comuns.

Os gráficos de controle podem ser usados, também, para estimar parâmetros

de um processo de produção e, com isso, determinar a capacidade do processo.

Pode não ser possível eliminar totalmente a variabilidade do processo, mas o gráfico

de controle é uma ferramenta eficaz auxiliar na redução dessa variabilidade.

Montgomery (2004) destaca algumas das razões que contemplam a

popularidade dos gráficos de controle:

— É uma técnica comprovada de melhoria da produtividade;

— São eficazes na prevenção de defeitos;

— Evitam ajustes desnecessários nos processos;

— Fornecem informações confiáveis para diagnóstico sobre o desempenho e

capacidade dos processos.

3.1 ETAPAS PARA UTILIZAÇÃO DOS GRÁFICOS DE CONTROLE

Os gráficos de controle são desenvolvidos a partir das medições de

determinada característica ou aspecto do processo. Essas medições se combinam

em um dado estatístico, por exemplo, média, mediana, amplitude, desvio padrão,

valores individuais, que descreve um atributo da forma de distribuição do processo.

Para que os gráficos de controle possam ser desenvolvidos devem-se seguiralgumas etapas listadas abaixo:

1. Coleta dos dados;

2. Estabelecimento dos limites de controle (LIC, LC e LSC);

3. Interpretação do controle estatístico.



30

3.1.1 Coleta dos Dados

Os dados para medição são coletados em amostras individuais de um fluxo

do processo. As amostras são coletadas em subgrupos e podem consistir em uma

ou mais peças. Em geral, quanto maior o subgrupo, maior será a facilidade de

detecção das mudanças do processo.

3.1.2 Estabelecimento dos Limites de Controle

De acordo com Montgomery (2004, p.102), “os limites de controle são

definidos pela variação natural dos valores estatísticos de controle”. Eles definem umintervalo em que os valores estatísticos devem cair dentro de modo aleatório.

Considera-se, idealmente, que existam apenas causas comuns de variação. Por

exemplo, se a média de dois subgrupos diferentes do mesmo processo for

calculada, é plausível esperar que eles sejam mais ou menos iguais. Mas, como eles

foram calculados usando peças diferentes, não se espera que as duas médias

sejam idênticas. Existe um limite para as expectativas sobre essa diferença devido à

possibilidade aleatória. Isso define a posição do limite de controle.Para auxiliar na análise gráfica dos valores estatísticos de controle marcados,

desenham-se linhas indicando a estimativa da linha central e os limites de controle

da estatística de controle no gráfico. Geralmente, para configurar uma carta de

controle é preciso calcular:

— A Linha Central;

— O Limite Superior de Controle (LSC); — O Limite Inferior de Controle (LIC).

As fórmulas serão apresentadas a frente neste projeto.

3.1.3 Interpretação do Controle Estatístico

A solução de problemas de um processo é possível através da interpretaçãodo gráfico de controle, sendo esta, a etapa mais difícil e a que consome mais tempo.



31

Meticulosidade, paciência, perspicácia, e entendimento são requeridos para se

desenvolver ações que irá melhorar o desempenho de forma mensurável.

Considerando que o processo não tem causas especiais que afetam sua

variabilidade, os valores estatísticos de controle ficarão entre os limites de controle

de modo aleatório, ou seja, nenhum padrão, gerando anormalidade, será evidente.

O objetivo da análise do gráfico de controle é identificar qualquer evidência de

que a variabilidade ou a centralização do processo não esteja operando em nível

constante, que um ou ambos estejam fora de controle estatístico, necessitando

portando, tomar providências apropriadas. A centralização é controlada pela média

dos valores estatísticos, e a variação pela amplitude dos valores estatísticos de

controle. Conforme o Manual de Referência do CEP (2005), as conclusõesdeclaradas para essas estatísticas de controle também se aplicam igualmente as

outras possíveis estatísticas de controle.

A mesma referência ainda diz que os limites de controle da centralização

dependentes dos valores estatísticos da variação devem ser analisados em primeiro

lugar por questões de estabilidade. Assim, a habilidade em interpretar tanto as

amplitudes dos subgrupos como as médias dos subgrupos depende da variabilidade

peça-a-peça, em que, o gráfico R é analisado em primeiro lugar.A prontidão é importante na análise de problemas, pois se consegue

minimizar o resultado inconsistente da produção obtendo evidências “frescas” para

seu diagnóstico. Para cada indicação de uma causa especial nos dados do gráfico

de controle, deve-se conduzir a análise da operação do processo para determinar a

causa e então corrigi-la. Busca-se também, melhorar a compreensão do processo

para que a prevenção da causa, não se repita.

É importante frisar que o referencial, apesar de utilizar os gráficos da média eamplitude, os conceitos se aplicam a todas as abordagens dos gráficos de controle.

3.2 GRÁFICOS DE CONTROLE PARA VARIÁVEIS

Em geral, duas situações se aplicam ao controle estatístico de processo: uma

em que as características da qualidade são mensuráveis, denominadas variáveis, e

a outra corresponde às características da qualidade não mensuráveis denominados

atributos avaliados com base em dados que só podem ser contados ou classificados



32

tais como, passa/não passa, claro/escuro, com trinca/sem trinca, etc. Este trabalho

citará apenas os gráficos de controle para variáveis.

Segundo Montgomery (2004, p.129), “uma característica da qualidade que é

medida em sua escala numérica é chamada variável”. A exemplo disso, pode-se

citar características como tamanho ou largura, temperatura e volume, etc. Uma

variável pode ser contínua ou discreta, conforme o seu contra domínio seja infinito

ou finito. Se a característica de qualidade é variável, usualmente monitora-se o

processo com dois gráficos de controle, Saniga e Shirland (1977), afirmar que um é

empregado para monitorar a centralidade e o outro para monitorar a dispersão da

variável.

Conforme Siqueira (1997, p.10) o uso do gráfico de controle por variável temfinalidades de fornecer informações quanto a:

a) Para melhoria da qualidade – o gráfico de controle por variável é a mais

efetiva técnica para alcançar a melhoria da qualidade, embora se sabe que,

utilizar gráfico de controle unicamente para comprovar a existência de um

programa de controle de qualidade não é suficiente;

b) Sobre a capacidade do processo – Admitindo que o processo já tenha umamelhoria significativa de qualidade, o gráfico de controle, durante o ciclo de

qualidade, indicará quando não será mais possível obter melhoria da

qualidade sem investimento significativo. Nesse momento, a verdadeira

capacidade do processo pode ser obtida;

c) Para tomada de decisões relativas à especificações do produto – Se a

capacidade do processo foi obtida, as especificações podem ser estreitadas;

d) Para tomada de decisões sobre o processo de produção – O gráfico decontrole é utilizado para identificar se um padrão normal de variação está

ocorrendo e, portanto, o processo está sob controle, ou se um padrão

anormal de variação está ocorrendo, e há necessidade de eliminação das

causas especiais de variação;

e) Para tomada de decisões sobre peças recém-produzidas – O gráfico de

controle pode também ser utilizado para liberação de itens para um processo

seguinte identificando se a peça está conforme ou necessitando de

retrabalho.



33

Um gráfico de controle para variáveis pode explicar dados do processo em

termos de sua variação, variabilidade peça-a-peça e média do processo. Por isso, os

gráficos de controle geralmente são preparados e analisados aos pares, um gráfico

para medida representativa do processo e outro para a variação do processo. O par

mais comumente utilizado é o dos gráficos , em que, é a média aritimética

dos valores em pequenos subgrupos e R é a amplitude dos valores dentro de cada

subgrupo. Os gráficos podem ser os mais comuns, mas não significa que eles

são os mais apropriados para todas a situações. Outro par de gráfico que vem sendo

aplicado com maior freqüência são os gráficos

&

, em que,

são os valores

individuais e é a amplitude móvel.A seguir apresentam-se as fórmulas dos gráficos de controle para variáveis,

com três desvios padrões de afastamento em relação à linha média.

3.2.1 Gráfico −

Considerando os gráficos de controle por variáveis, esse é o mais utilizado na

industria. O gráfico é principalmente escolhido quando o tamanho da amostra variarentre 2 e 9 unidades. Invariavelmente, o tamanho da amostra se situa em torno de 4

ou 5 unidades. Na prática o tamanho da amostra deve ser determinado com base na

capacidade de detecção de mudanças, ou seja, na capacidade de inspeção e o

tempo de resposta, na taxa de produção, no custo de inspeção ou então no erros

estatísticos associados.

No entanto, a medida que "n" aumenta diminui a sensibilidade da amplitude R

como estimador do desvio padrão do processo s. Montgomery demonstra que para

valores de "n" próximos de 10, a amplitude já perde significativamente sua

sensibilidade como estimador (MONTGOMERY, 1991, p. 204).

A Tabela 1 abaixo apresenta a "eficiência relativa" do estimador R em função

do tamanho da amostra "n":

Tabela 1 – Tabela da eficiência relativa do estimador R

n Eficiência Relativa

2 1,0003 0,9924 0,975



34

5 0,9556 0,93010 0,850

Fonte: Montgomery (1991)

Supomos agora que “m” amostras de tamanho “n” e suas respectivas médias1, 2 ,… , m também são normalmente distribuídas, então um estimador não

viciado de μ é dado por:

=

1

=1

(3)

Sendo assim, pode ser usado como linha central de um gráfico de .Agora para construir os limites de controle para a média utilizam-se as

amplitudes das amostras “n” como estimador do desvio padrão σ. Portanto, um

estimador para uma amostra 1 , 2 ,… , n de tamanho “n” pode ser definido como:

= − í (4)

Do relacionamento do range e do desvio padrão de uma amostra

normalmente distribuída tem-se que a variável aleatória = , chamada de

amplitude relativa é uma função do tamanho da amostra “n” com média 2. Por

conseqüência, um estimador de σ é dado por

2

(valores tabulados de d2 podem

ser consultados no anexo).Deste modo, tem-se que a média das amplitudes 1,2,… , pode ser

dada por:

=1

=1

(5)



35

e o desvio padrão pode ser estimado por: =2

, em que, σ é o desvio padrão, é a

amplitude e

2 é a constante. Este estimador é particularmente bom para amostras n

de tamanhos pequenos, entre 2 e 5, perdendo eficiência rapidamente à medida quea amostra aumenta de tamanho devido ao fato de não explicar o comportamento das

amostras entre Xmax e Xmin.

Desta forma, os parâmetros do gráfico podem ser definidos como:

= + 2

=

6

= − 2

Pode-se também construir um gráfico de controle para a variável R, em que a

média pode ser estimada por e o desvio padrão pode ser estimado por , que é

uma função da amplitude relativa W = R/σ cujo desvio padrão é definido como d3,

também sendo uma função que depende exclusivamente do tamanho da amostra n.

Portanto, R = Wσ e o desvio padrão de R, o qual é obtido pela expressão

σR = d3

σ,

pode ser estimado por:

= 3

2

(7)

Desta forma, os parâmetros do gráfico R podem ser definidos como:

= 4 = 8 = − 3

Compreendendo melhor, a amplitude “R” mede a variação “dentro” de cada

amostra em um dado momento. O gráfico monitora a variação “entre” as amostras,

que é a variação do processo ao longo do tempo. Ao controlar um processo através

de gráficos, é preciso maximizar a probabilidade de ocorrer variação “entre”

amostras, ao longo do tempo, e minimizar a probabilidade de haver variação “dentro”



36

de amostras, variação em um dado momento. Estas amostras assim obtidas são

chamadas de “subgrupos racionais” (VIEIRA, 1999).

Os valores referentes as constantes encontram-se no Anexo A.

3.2.2 Gráfico &

Essa carta é utilizada quando o tamanho da amostra n = 1, isto é, a amostra

consiste de uma única unidade individual. Alguns exemplos de aplicação são:

— Processos homogêneos em que não faz sentido amostras com tamanho

maior que uma unidade. Um exemplo é o controle de temperatura de um

banho químico;

— Quando se tem inspeção automatizada 100%;

— Para processos cuja taxa de produção é baixa, não fazendo sentido acumular

resultados ao longo do tempo para a avaliação da estabilidade do processo;

— Quando o tamanho de amostra n > 1 for economicamente inviável.

O procedimento para estimar a variabilidade dos dados baseia-se no cálculo das

amplitudes móveis entre duas observações consecutivas. Desta maneira pode-se

estabelecer um gráfico de controle para a variável de interesse.

Assim sendo, a construção do gráfico de controle para a média X é o seguinte:

= + 2

=

(9)

= − 2

E para construção do gráfico da amplitude móvel é:

= 4 = (10)

=

3

Em que, = 1−1 − −1=2 ,2 = 2,660,4 = 3,267 3 = 0



37

3.3 GRÁFICOS DE CONTROLE CUSUM

Montgomery (2004) fala sobre a desvantagem associada à utilização dos

gráficos de controle de Shewhart. Essa desvantagem é associada à insensibilidade

a pequenas variações nos processos, digamos da ordem de 1,5 σ ou inferiores

ignorando ainda toda a informação relacionada à seqüência de pontos registrados,

utilizando unicamente a informação do último ponto plotado. Assim, quando o

interesse é analisar pequenas variações nos processos, alternativas podem ser

utilizadas aos gráficos de Shewhart, os gráficos de controle CUSUM e MMEP.

Incorporando diretamente toda a informação na seqüência dos valores da

amostra, o gráfico CUSUM plota as somas cumulativas dos desvios dos valores daamostra de um valor-alvo (MONTGOMERY, 2004). Supondo que amostras de

tamanho ≥ 1 sejam coletadas, e que seja a média da j-ésima amostra. Então,

se μ0 é o alvo para a média do processo, o gráfico de controle da soma cumulativa é

formado, plotando-se a quantidade versus a amostra . é a soma cumulativa até, e

incluindo, a i-ésima amostra.

= − 0 =1 (11)

Os gráficos de controle (CUSUM) apresentam um diferencial importante que é

a combinação de várias amostras. Além disso, eles são particularmente mais

eficazes com amostras seqüenciais de tamanho n=1, ou seja, são muito indicados

para algumas situações, em que, o monitoramento do processo é feito mediante

observações individuais, explica Alves (2003). Exemplos de tais situações ocorrem:

— Na produção de substâncias químicas;

— Em processos, em que, o subgrupo racional freqüentemente tem tamanho

n=1;

— No controle on-line que usam computadores para monitorar o processo;

— Em processos que utilizam medida automática para cada fração discreta

produzida.



38

Montgomery (2004) apresenta o gráfico de controle de Soma Acumulada,

aplicado à média e a variabilidade do processo, mencionando que é possível

projetar procedimentos de CUSUM para outras variáveis estatísticas, tais como a

amplitude e desvio padrão de subgrupos, variáveis binomiais e de Poisson em

modelos de não conformidades e processos contínuos. Neste projeto será focado no

gráfico da soma cumulativa para a média do processo.

Alves (2003) diz que, “um desvio do valor nominal do processo é indicado

com uma tendência crescente ou decrescente dos pontos plotados no gráfico

CUSUM”. Ou seja, quando o processo permanece sob controle no valor-alvo , a

soma cumulativa definida na equação 11 é um passeio aleatório. Sendo assim,

desvia-se para um valor 1. É observada uma tendência crescente quando 1 > 0 euma tendência decrescente quando 1 < (MONTGOMERY, 2004). Ainda, se uma

tendência se desenvolve nos pontos plotados, tanto para cima quanto para baixo,

considera-se esse fato como evidência de que a média do processo mudou, e deve

ser elaborada uma pesquisa para determinar alguma causa atribuível. Para analisar

de maneira visual estas tendências, é preciso estabelecer limites.

Há duas maneiras de representar os gráficos CUSUMS, o CUSUM tabular e o

método da máscara V do CUSUM. Das duas segundo Montgomery (2004), “a tabular

é preferível”

Será apresentado agora, o método do CUSUM tabular ou algoritmo. Será

discutido, também, o procedimento do método da máscara V.

3.3.1 Gráfico de Controle CUSUM Tabular

O método do CUSUM tabular pode ser construído para monitorar a média deum processo, em que, podem ser realizados tanto para observações individuais,

quanto para as médias de subgrupos racionais.Primeiro será visto o caso de

observações individuais.

Seja, a i-ésima observação do processo. Quando o processo está sob

controle, tem uma distribuição normal com média μ0

e desvio padrão σ. Supõem-

se que, ou σ é conhecido, ou uma estimativa está disponível.

O CUSUM tabular trabalha acumulando desvios de μ0 que estão acimado alvo, com uma estatística C+, e acumulando desvios de μ

0que estão abaixo do



39

alvo, com outra estatística C−. As estatísticas C+ e C− são chamadas CUSUMS

unilaterais superior e inferior, respectivamente(MONTGOMERY, 2004). Estes planos

de decisão são os limites de controle e é representado por H = ±h. Ambas são

calculadas através de algoritmo de soma acumulada conforme as equações 12 e 13.

+ = á 0, − + + −1+ (12) − = á 0, − − + −1+ (13)

Em que, os valores iniciais + e − são arbitrariamente iguais a zero. Se, ao

longo dos cálculos, for encontrado um valor negativo para

+, então é necessário

substituí-lo por zero.

Da mesma forma se, ao longo dos cálculos, for encontrado um valor positivo

para −, é necessário também substituí-lo por zero. é a observação controlada

no tempo i, é a média da amostra e K é um valor de referência (valor de

compensação ou folga) e é aproximadamente a metade do valor que se tem

interesse em detectar rapidamente, determinado valor entre o valor pretendido e

o valor da média fora de controle μ1

(ALVES, 2003).

Assim, se a mudança é expressa em unidades de desvio padrão como

μ1

= μ0

+ ( = μ1− μ0

σ, então K é a metade da magnitude da mudança ou:

=δ

2σ =

μ1− μ

0

2(14)

Em que, δ é o tamanho da mudança que se deseja detectar em unidades de

desvios padrão; σ o desvio padrão; o valor pretendido e 1 o valor da média forade controle. Alves (2003) diz que, “o fator de sensibilidade K está diretamente

relacionado com a magnitude da variação que se deseja detectar com o gráfico

CUSUM”. Quanto menor este fator, menor será a faixa de variação que o gráfico

será capaz de detectar e maior será a sensibilidade do gráfico.

No algoritmo de soma acumulada para cada amostra são obtidos valores dos

desvios

+ e

− que são inseridos numa tabela e acumulados sucessivamente. A

soma acumulada destes desvios é comparada com um intervalo de decisão H. Se+ > H ou se − < H, então o processo é considerado fora de controle. Um valor



40

razoável para H é cinco vezes o valor do desvio padrão σ, isto é, H = 5σ (ALVES

2003).

Nas situações em que se torna necessário algum ajuste em alguma variável

manipulável para trazer o processo de volta ao valor-alvo , uma estimativa da

nova média do processo pode ser útil:

μ = + +++

, + > − −

−− , − > (15)

Para o gráfico CUSUM Tabular padronizado o algoritmo de soma

acumulada é definido como:

+ = á 0, − + −1+ (16) − = á 0,−− + −1

+ = í 0, + + − (17)

Há duas vantagens em padronizar o CUSUM. Primeiro, muitos gráficos de

CUSUM podem agora ter os mesmo valores de K e h, e as escolhas dessesparâmetros não dependem de escala (isto é, não dependem de σ). Depois, o

CUSUM padronizado conduz, naturalmente, a um CUSUM para controle da

variabilidade (MONTGOMERY, 2004).

No CUSUM tabular pode ser implementada uma tabela com três conjuntos de

colunas. O primeiro conjunto com os valores observados, o segundo com o desvio, a

soma acumulada unilateral

+ e o valor

+. O terceiro com o desvio, a soma

acumulada unilateral − e o valor −.

Tabela 2 – Tabela de implementação do algoritmo de soma acumulada




41

Na Tabela 2, + e − indicam o número de períodos em que a soma

unilateral + ou − foi diferente de zero, imediatamente após ter sido zero. A

contagem

+ e

−inicia-se ou recomeça sempre que o valor

+ ou

−assume

valor zero. É importante que o analista do processo compare o valor das somas

acumuladas + e − com o intervalo de decisão H a cada amostra i coletada para

concluir o estado do processo analisado. Se o processo estiver fora de controle o

analista precisa encontrar as causas especiais que levaram o processo a tal estado

e estimar seu valor médio para que possa fazer o ajuste adequado(ALVES 2003).

Embora Montgomery tenha desenvolvido o CUSUM tabular para caso de

observação individual (n=1), o CUSUM estende-se facilmente ao caso de médias de

subgrupos racionais (n>1). Substitui-se por , que é a média amostral ou média

do subgrupo, nas fórmulas 12 – 17 e substitui-se σ por σx = .

3.3.2 Máscara V

Alves (2003, p.39) diz que, “um desvio do valor nominal do processo é

indicado com uma tendência crescente ou decrescente dos pontos plotados no

gráfico CUSUM”.

Portanto, quando a média da estatística é monitorada, desvia-se para um

valor 1. É observada uma tendência crescente quando 1 > 0 e uma tendência

decrescente quando 1 < . Para analisar de maneira visual estas tendências, é

preciso estabelecer limites. Um dos caminhos para estabelecer tais limites é utilizar

a Máscara V sobre o gráfico CUSUM. O procedimento Máscara V é utilizado como

um método alternativo além do Gráfico CUSUM Tabular para avaliar essas

tendências. Este procedimento alternativo, descreve Alves (2003), só se tornou

popular após o artigo de Barnard (1959) que propõe o método Máscara V sobre o

gráfico CUSUM aplicado a sucessivos valores padronizados da estatística CUSUM

1

1

ii

i

j

iiC y yC ,em que, i

Y é a observação padronizada

0

i

i

X Y

MONTGOMERY, 2004).



42

Figura 11 – Gráfico de uma Máscara V típica


O gráfico típico da Máscara V demonstrado acima consiste em colocar o

ponto O sobre o último valor de e a linha OP paralela ao eixo horizontal. O

procedimento de decisão diz que, se todas as somas cumulativas anteriores

estão dentro do V (representado horizontalmente), o processo está

sob controle. Caso uma das somas cumulativas encontra-se fora da Máscara V, o

processo é considerado fora de controle. Montgomery (2004, p.266) frisa que, “a

Máscara V deveria ser aplicada a cada novo ponto no gráfico CUSUM, levando o V

para trás na direção da origem”. O desempenho da Máscara V é determinado pela

distância-guia d e o ângulo θ mostrado no gráfico acima.

Montgomery (2004, p.267), diz que, o CUSUM tabular e o método da Máscara

V são equivalentes se: .tan. Ak e dk d Ah )tan(.. , em que, “A” é a distância

horizontal no traçado da Máscara V entre pontos sucessivos, em termos da distância

unitária na escala vertical.

Um método para a seleção de d e foi sugerido por Johnson (1961) que

recomendou os seguintes parâmetros para a Máscara V:

A2tan

1 e

1ln

22

d , em que, 2α é a maior probabilidade permitida de um sinal

quando a média do processo está no alvo e β é a probabilidade de não detectar uma

mudança de tamanho δ. Se β é pequeno, então

)ln(2d .



43

Montgomery (2004, p.267) aconselha a não usar o método da Máscara V,

pois existem alguns problemas associados a esse procedimento.

— A Máscara V é um método bilateral; não sendo muito útil para problemas de

monitoramento de processos unilaterais;

— A característica inicial rápida, muito útil na prática, não pode ser

implementada com a Máscara V;

— Algumas vezes torna-se difícil determinar quão longe o V da Máscara deve se

estender para trás fazendo com que a interpretação do prático seja confusa e

difícil;

— Talvez o maior problema com a Máscara V seja a ambigüidade associada a α

e β.

3.4 GRÁFICO DE CONTROLE MMEP

O gráfico de controle da média móvel exponencialmente ponderada (MMEP),

também conhecido como EWMA (Exponentially Weighted Moving Average),

introduzido por Roberts (1959), é considerado também uma boa alternativa aográfico de controle de Shewhart, quando se está interessado em detectar pequenas

mudanças. Montgomery (2004, p.268) diz que, “o gráfico de controle MMEP é similar

ao gráfico de controle CUSUM quanto à sensitividade em detectar pequenas

mudanças”. Além disso, o gráfico de controle MMEP é considerado mais fácil de

operar e estabelecer do que o método CUSUM.

O gráfico MMEP é definido como: 1)1( iii z x z , em que, 10 é uma

constante e o valor inicial é o alvo do processo, de modo que 00 z .

O gráfico de controle MMEP consiste na plotagem dei

z versus o número da

amostra i (ou tempo). A linha central e os limites de controle para o gráfico de

controle MMEP, construídos sob a suposição de normalidade, são dados por:



44

])1(1[)2(

2

0

i L LSC

0 LC (17)

])1(1[)2(

2

0

i L LIC

Para grandes valores de i na equação 8, os limites, superior e inferior de

controle do gráfico tornam-se respectivamente iguais a:

)2(0

L LSC e )2(

0

L LIC respectivamente.

Os parâmetros de planejamento do gráfico MMEP são os valores de L e λ. É

possível escolher valores para esses parâmetros de modo a atingir um desempenho

do gráfico de controle MMEP, para que o mesmo seja próximo ao do método

CUSUM. Valores baixos de λ fazem com que o gráfico detecte mais rapidamente

pequenas mudanças na média do processo. Alguns dos valores de λ,

freqüentemente escolhidos para o planejamento do gráfico são 0,1 e 0,2Montgomery (2004, p.271).

O gráfico MMEP é muito utilizado para observações individuais, mas é sabido

que o método apresenta ótimo desempenho para subgrupos racionais de n > 1. Não

há grandes mudanças de um gráfico MMEP para observações individuais ou para

subgrupos, a única alteração é substituir os parâmetrosi

x para x e para

n

x

.



45

Fígura 12 – Estrutura do gráfico de controle MMEP

Fonte: Morais (2001)

3.4.1 MMEP como Preditor do Nível do Processo

Montgomery (2004, p.274) descreve que o gráfico de controle MMEP tem

uma interpretação mais ampla, e diz que é possível o gráfico de controle MMEP

fornecer uma previsão de onde estará a média do processo no próximo intervalo de

tempo, ou seja, é uma previsão do valor da média do processo, µ, no período +

1.

Portanto, a estatística MMEP pode ser considerada uma previsão da média

do processo no tempo + 1, em que, o MMEP é plotado um período à frente, ou

seja, é plotado no período + 1 no gráfico de controle. Isso possibilita que o

prático visualize quanta diferença há entre a observação corrente e a estimativa da

média corrente do processo.

3.5 CAPACIDADE DO PROCESSO

Quando se pensa em gráficos de controle logo é associado à relação entre os

limites de controle com a ocorrência de não conformidades, no entanto, o fato de um

processo estar sob controle, ou seja, dentro destes limites, não significa que os

produtos resultantes atendem à especificação de qualidade exigida.

Com este objetivo, o estudo da capacidade trata da relação existente entre oslimites de controle, que são obtidos com base nos dados de processo, com os limites



46

de especificação, geralmente definidos pelo cliente ou pela área de projetos, que

proporcionam o intervalo em que as medidas das características da qualidade

podem variar. Kotz & Johnson (2002) salientam que tais índices devem ser

empregados posteriormente à checagem de que o processo está sob controle

estatístico, o que reforça o caráter complementar destas técnicas à implantação de

um sistema de garantia da qualidade.

Neste sentido pode-se classificar um processo como:

Processo capaz: os resultados das medições ou limites de controle

encontram-se dentro da especificação do projeto, ou seja, não estão

sendo produzidos produtos não conformes;

Processo não-capaz: os resultados das medições ou limites de controle

encontram-se fora da especificação do projeto. Neste caso podem estar

sendo produzidos produtos não conformes.

Uma das ferramentas mais utilizadas para análise da capacidade de processo

é o histograma, cujo principal objetivo é facilitar a organização e disposição das

freqüências de dados através de uma representação gráfica para que se possam

obter informações sobre o seu comportamento.

A inclusão dos limites de especificação nestes histogramas nos possibilita

analisar a localização e a variação dos dados, fornecendo uma boa idéia sobre a

capacidade do processo. O Anexo B exemplifica a construção e análise desta

ferramenta.

Geralmente, dois índices são utilizados para mensurar a capacidade de umprocesso em consentir às especificações. Estes índices de capacidade,

fundamentados na suposição de normalidade dos dados e de que o processo esteja

sob controle, são comumente conhecidos como Cp e Cpk.

Os índices se baseiam na relação entre os limites de especificação e o desvio

padrão dos dados, que no caso dos gráficos de controle para , R e , S são

estimados por:

= 2 = 4

(18)



47

3.5.1 Índice de Capacidade Potencial do Processo ()

Este índice foca na centralização do processo, fornecendo uma medida

indireta da habilidade do potencial do processo em satisfazer a especificação. Seu

cálculo se dá da seguinte forma:

=−

6 (19)

Em que:

LSE = Limite Superior de Especificação;

LIE = Limite Inferior de Especificação;

= Desvio Padrão Amostral Estimado.

Para o processo ser considerado capaz, o índice Cp deve ser igual ou maior do

que um, porém, devido a este valor ser exatamente a especificação sugere-se uma

regra para garantir que este seja suficientemente capaz considerando a sua

centralização:

Cp < 1,00 - A capacidade do processo é inadequada à especificação exigida.

Deve-se diminuir a variabilidade para reduzir o número de não conformes e

garantir que o produto atenda a especificação;

1,00 ≤ Cp ≤ 1,33 - A capacidade está dentro da especificação exigida. Porém,

ainda deve-se diminuir a variabilidade do processo, pois esta pode gerarprodutos não conformes;

Cp > 1,33 - A capacidade é adequada à especificação exigida. Neste caso não

se faz necessária intervenção a menos que se queira reduzir a variabilidade

para aumentar a qualidade dos produtos.



48

3.5.2 Índice de Desempenho do Processo ()

O índice Cpk foi crescido para suprir algumas deficiências do Cp,

principalmente com relação a dispersão do processo. O índice Cp também não leva

em consideração o seu nível ou a sua centralização.

A aquisição do índice de capacidade Cpk se dá através do cálculo de dois

índices de especificação unilaterais chamados de Cpl “lower ” e Cpu “upper ” que são

obtidos por:

= −3 = − 3 (20)

Logo, = min { ; }. (21)

Segundo o manual de referência do controle estatístico de processo (2005,

p.22), “a análise mais detalhada da composição do índice indica que ele

quantifica a capabilidade em função da pior metade dos dados do processo”. Com

isso verifica-se que, além da variabilidade, a posição também é relacionada à

especificação, fornecendo uma medida extremamente posicionada sobre o

comportamento do processo frente às suas características de engenharia.

Para o processo ser considerado capaz, o índice Cpk≥1. Entretanto, da

mesma forma que definido para o índice Cp, as mesmas regras podem ser utilizadas

para se garantir uma maior margem de segurança para a operação do processo.

3.5.3 Índices Os índices Pp e o Ppk também podem ser empregados para expressar

capacidade com a vantagem de não precisar de grandes amostras e da suposição

de estabilidade do processo.

A construção destes índices se dá de maneira similar a dos equivalentes Cp e

Cpk, substituindo-se apenas o desvio padrão estimado pelo desvio padrão amostral.



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=−

6 = min −3 ,

−3 Em que, S é o desvio padrão

da amostra.

Os índices apresentam vantagens sobre o Cp e Cpk, pois, o seucálculo leva em conta tanto as causa comuns quanto as especiais de variação, e o

seu uso deve ser encarado como um dos indicativos da capacidade do processo. Lu

e Rudy (2002) comentam que o cálculo destes índices não leva em conta toda a

variação do processo, pois os dados empregados para a sua estimação geralmente

são provenientes somente de um intervalo curto de tempo, indicando assim, que os

valores Pp e Ppk são mais restritos que os valores de Cp e Cpk.



50

4 METODOLOGIA

De acordo com Gil (1989), as pesquisas ou trabalhos científicos podem ser

classificados de acordo com seus objetivos em três tipos básicos de estudo voltados

a buscar uma resposta ou solução para um determinado problema. Estas pesquisas

são baseadas em métodos descritivos, exploratórios ou explicativos.

Segundo Yin (1994), o estudo de caso é um procedimento de pesquisa

indicada quando: os investigadores possuem pouco controle sobre o evento

estudado e o foco é sobre um fenômeno contemporâneo dentro de um contexto da

vida real.

O método de trabalho adotado para o desenvolvimento deste projetoenquadra-se no método exploratório, sendo o mesmo, quando se deseja ampliar o

conhecimento sobre o tema inerente ao objeto, aliado a um estudo de caso que se

justifica pelos seguintes motivos:

a) Aplicação direta em casos reais e ideais dos gráficos de controle de

Shewhart, CUSUM e MMEP que serão estudados;

b) Descrever o estudo para demonstrar como os resultados foramalcançados;

c) Estabelecer critérios para seleção eficaz dos gráficos de controle em

processos normais de produção;

d) Verificar a praticidade na utilização dos gráficos de controle a serem

estudados.

A metodologia de pesquisa a ser desenvolvida neste trabalho, constituir-se-ána aplicação de gráficos de controle de Shewhart, CUSUM e MMEP para a análise

estatística de processos industriais, partindo-se da premissa que os processos serão

normais. A verificação da metodologia proposta é efetuada através da aplicação de

um estudo de caso, utilizando-se para tanto o software Minitab, versão 15.1.30.0.

As amostras serão coletadas em duas etapas. Na primeira etapa serão

gerados valores oriundos de modelos probabilísticos, em que, a análise dará uma

condição ideal para o processo. A segunda etapa será realizada a coleta de dados

provenientes de uma indústria metal mecânica local, em que, com dados reais,

serão comparados os diferentes tipos de gráficos de controle.



51

Os resultados pretendidos deste projeto constituem o objeto de análise para

fazer as comparações entre os gráficos de controle de Shewhart, CUSUM e MMEP.

A partir destes resultados pretende-se verificar o desempenho de cada gráfico de

controle, investigando se existem diferenças significativas entre os três

procedimentos, em detectar pontos fora de controle e averiguar se uma técnica é

mais eficiente que a outra, para a prática do controle de qualidade.

4.1 CRONOGRAMA

A Tabela 3 demonstra o cronograma definido para a segunda fase do projeto

a ser realizado no primeiro semestre do ano de 2010.

Tabela 3 – Cronograma para o primeiro semestre do ano de 2010.



52

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Visto que o estudo dos gráficos de controle possuem grande abrangência e

ao mesmo tempo importância para o controle estatístico, é possível colocar que o

projeto é de grande relevância aos envolvidos direta ou indiretamente ao controle de

qualidade nas indústrias, pois ainda hoje muitos dos métodos de controle utilizados

genericamente nestas empresas são baseados quase que exclusivamente em

análises de médias e índices simples de desempenho, que se constituem em

técnicas relativamente lentas e ineficientes na identificação de variações ou desvios

de processo.

O Instituto Superior Tupy ao relevar este tema, coloca-se entre as instituiçõesque rogam pela qualidade de ensino e abre possibilidades para novos estudos

quanto ao controle estatístico de processo e da qualidade.

Na continuação deste projeto, busca-se a elaboração de simulações dos

gráficos de controle em questão, assim como um estudo de caso real afim de

concluir sobre as vantagens e desvangens de cada gráfico de controle e sua

praticidade no campo industrial.



53

REFERÊNCIAS

ALVES, Custodio da Cunha. Gráficos de Controle CUSUM: um enfoque dinâmico

para a análise estatítica de processos. Dissertação (Mestrado em Engenharia de

Produção) - Curso de Pós-graduação em Engenharia de Produção, Universidade

Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2003.

ALVES, C. da C.; SAMOHYL, R. W. (2006). O monitoramento de processos

industriais via gráficos de controle CUSUM. em: Qualimetria. Disponível em:

<http://www.qualimetria.ufsc.br/artigos.htm [Ultimo acesso: Set. 9, 2009]>.

DAIMLERCHRYSLER. Controle Estatístico de Processo. 2a ed. 2005.

DÁVILA, Vitor Hugo Lachos. CUSUM E MMEP. Unicamp. São Paulo. 2007.

FILHO, Dullio C. de Macedo. Controle Estatístico de Processo. 2008.

FLOTT, Leslie W. Metal Finishing What is SPC?. P. 112-114. 2002.

JURAN, J. M.; GRYNA, F. M. Controle da qualidade. 4. ed. São Paulo: McGraw-Hill

do Brasil , 1993. V. 6. E V.7.

KUME, H. Métodos estatísticos para melhoria da qualidade, Editora Gente,

São.Paulo, 1993.

MONTGOMERY,D.C. The Economic Design of Control Charts: A Review and

Literature Survey. Journal of Quality Technology, v.12, 75-87, 1980.

MONTGOMERY, D. C. Introdução ao Controle Estatístico da Qaulidade. 4ª Ed.

Rio de Janeiro : John Wiley, 2009.

NELSON, Lloyd S. Control charts: rational subgroups and effective applications,

Journal of Quality Technology, New York, v. 20, no. 1, Jan. 1988. Disponível em: <

http://www.qualityamerica.com >. Acesso em: 29 abril. 2009.



54

SIQUEIRA, L. G. P. Controle estatístico do processo. São Paulo: Pioneira. 1997.

SCHISSATTI, Márcio Luiz. Uma Metodologia de Implantação de Cartas de

Shewhart para o Controle de Processos. Dissertação (Mestrado em Engenharia

de Produção) - Curso de Pós-graduação em Engenharia de Produção, Universidade

Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 1998.

RAMOS, E. M. L. S. Aperfeiçoamento e Desenvolvimento de Ferramentas do

Controle Estatístico da Qualidade – Utilizando Quartis para Estimar o Desvio

Padrão. Tese de Doutorado pela Universidade Federal de Santa Catarina,

Florianópolis, Abril de 2003.

VIEIRA, Sonia. Estatística para a qualidade Rio de Janeiro: Ed. Campus, 1999.

WERKEMA, Maria Cristina. Ferramentas estatísticas básicas para o

gerenciamento do processo. Belo Horizonte: Fundação Cristiano Ottoni, 1995.



55

ANEXOS



Anexo A

Fatores para o cálculo dos limites de controle ( 3σ ) para os gráficos , R.




Anexo B

Fonte: Almas (2009)



1

Anexo D

Fonte: Dávila (2007)



2




3

Anexo E




4

comparação de modelos estatísticos

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