Como elas saltam...

Objectivo

Estudo da função à qual pertencem os pontos correspondentes às alturas máximas

atingidas por uma bola durante um movimento de queda utilizando novas

tecnologias como o sensor CBR®

Os pontos mais escuros no gráfico correspondem à altura máxima atingida pela bola após cada colisão contra o solo

• O atrito da superfície de contacto

• A elasticidade da bola

• O peso da bola

• A resistência do ar

Razões para a progressiva diminuição da altura máxima atingida pela bola

Estes factores levam a uma dissipação de energia e consequente diminuição da velocidade

Traçado da função dos pontos máximos dos saltos da bola

• A função não é uma recta.

• A função apresenta características de uma função quadrática ou de uma exponencial.

Experiências Realizadas

Ao longo desta apresentação os valores utilizados serão sempre os obtidos em apenas uma das experiências na qual o corpo se encontrava a 1,39m do solo.

No âmbito deste projecto foram realizadas várias experiências com corpos e em superfícies de contacto diferentes.

Hipóteses

Exponencial

y = ax2 + bx + c y = a.bx

Quadrática

Função Quadrática

• Através da utilização das funções da calculadora TI-83 que permitem o cálculo de regressões é possível obter a expressão da função quadrática que melhor se adapta aos pontos pretendidos

• Após de alguma investigação foi possível concluir que :

ax2 + bx + C

ConstanteMassa da bola (kg)

Altura inicial

• Tomando b ( massa da bola ) valores menores, segundo o gráfico da função quadrática, a bola nunca cairia

Corpo de Massa 0,47 kg (valor de B)

Corpo de Massa 0,047 kg (valor de B)

Falsidade da função quadrática

Função Exponencial

A função exponencial é dada por y = a.bx

• y é a altura máxima da bola em determinado salto

y(Altura do salto)

• a é a altura inicial da bola pois quando x = 0, y = a

a (Altura inicial)

• Inicialmente b pensava-se ser o coeficiente de atrito devido à colisão corpo-solo o que provocava a redução da altura máxima de cada salto

Sendo o gráfico uma linha recta, a bola continuaria sempre o movimento regressando sempre à posição inicial o que implicaria não haver dissipação de energia e consequentemente inexistência de atrito. Situação que não é viável no sistema físico em que nos encontramos

Função Exponencial

Contudo, se b = 1

Sendo a função crescente a bola aumentaria a altura máxima atingida a cada salto o que não é igualmente uma situação viável uma vez que a altura atingida tende a diminuir até a bola atingir um estado de repouso

permanente.

Função Exponencial

Se b > 1 (ex. b = 1,1)

Então se 0 < b < 1 é possível concluir que b seria uma percentagem.

Mas que percentagem ?

Após alguma investigação e pesquisa foi possível inferir que,

Função Exponencial

Sempre que a bola salta, ela irá atingir uma altura máxima que corresponde a uma determinada percentagem do salto anterior.

Esta percentagem é aproximadamente constante durante todo o movimento sendo denominada de coeficiente de restituição e correspondendo ao valor b.

Exemplo: Uma bola que seja largada a uma altura de 1m e atinja no primeiro salto 0,7m terá como expressão das alturas máximas y = 1 x 0,7x (0,7 corresponde a 70% de 1m). Desta forma, no 2º salto atingirá 0,49m (70% de 0,7).

70%

70%

d(m)

1

0.7

0.49

1 2 3 salto

Cálculos analíticos

Função Exponencial

PercentagemCálculosAlturas Máximas

0,74 = 74%0,28

0,76 = 76%0,38

0,74 = 74%0,5

0,74 = 74%0,68

0,71 = 71%0,92

----------1,39

71,039,192,0

74,092,068,0

74,068,05,0

76,05,0

38,0

74,038,028,0

%7474,0x~

(valores obtidos numa das várias experiências realizadas)

• x é o numero do salto e só pode ter valores inteiros.

Assim, o cálculo da altura máxima em cada um dos saltos seria calculada da seguinte forma:

1º salto – y = a.b1

2º salto – y = a.b2

3º salto – y = a.b3

Função Exponencial

A Teoria e a Prática

Como é observado na imagem abaixo a função obtida por meio analítico para obtenção das alturas máximas atingidas durante o movimento não contém os pontos de altura máxima.

y = a.bx

y = 1,39 x 0,74x

Prática

• A função obtida através da TI-83 como sendo a função que mais se aproxima dos pontos de altura máxima é descrita pela altura máxima do corpo em função do tempo

y = 1,39x0,65x

A Teoria e a Prática

• A função obtida de modo analítico descreve as alturas máximas em função do número do salto e como tal nunca se adaptaria ao gráfico de descrição do movimento uma vez que neste as posições encontram-se em função do tempo

• A função é descontínua porque x só pode ter valores inteiros.

A Teoria e a Prática

Teoria

y = 1,39 x 0,74x

Contudo, se para os pontos de altura máxima colocarmos o número do salto como componente de x no lugar dos valores temporais verificamos que, tal como esperado, a função obtida analiticamente (y = 1,39 x 0,74x) se aproxima dos pontos.

A Teoria e a Prática

Teoria

Para finalizar:

y = a.bx

Onde:

y – altura atingida no salto

a – altura inicial

b – coeficiente de restituição

x – número do salto

Realização do Projecto

Rui Pereira

Carla Lopes

Luís Oliveira

Em representação da turma

11º B1

Escola Secundária de Valongo

Com a colaboração de:

João Silva