Um Sistema Baseado em Conhecimento

com Interface em Língua Natural para o

Ensino de Matemática

Gina Magali Horvath Miranda

Orientador: Dr. Saddo Ag. Almouloud

Mestrado Acadêmico em Educação Matemática, PUC-SP

RREESSUUMMOO O objetivo de nossa pesquisa é desenvolver uma ferramenta computacional utilizando técnicas de PLN (Processamento de Línguas Naturais) e inserir nesta ferramenta seqüências didáticas no campo da Geometria das Transformações embasado na Teoria das Situações Didáticas de Brousseau e os Registros de Representações Semióticas de Duval. Estamos utilizando os princípios da engenharia didática e para desenvolver o sistema computacional utilizamos semântica ontológica. Acreditamos que a simples utilização de uma ferramenta computacional não pode proporcionar o aprendizado, mas associada a atividades apoiadas nas teorias de Brousseau e de Duval, que se dedicam a estudar fenômenos que interferem no processo de ensino e de aprendizagem da matemática, cremos que nossa hipótese é possível. Palavras-Chave: Processamento de Línguas Naturais. Geometria das Transformações.

IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO

Este trabalho representa uma da minha dissertação de mestrado, que tem por

objetivo o desenvolvimento de uma ferramenta computacional para o ensino e a

aprendizagem de geometria das transformações. Para elaboração desta pesquisa tomamos

como base a Inteligência Artificial, mais especificamente o Processamento de Línguas

Naturais (PLN).

A escolha realizada na área de geometria, focando a geometria das transformações,

se dá ao fato de acreditarmos que conceitos, como rotação e translação, permitirão ao

aluno maior facilidade na verificação de relações de semelhança e congruência, por

exemplo. Acreditamos, também, que a simples utilização de uma ferramenta

computacional não propiciará o aprendizado, mas deve estar ligada a atividades preparadas

com a intenção de introduzir o conhecimento na produção do saber.

Uma segunda inspiração para a escolha foi a tese de doutorado de Weber (2003,

Modelisation Informatique de l’apprenant – une basse sur le modèle ckc et la Thèorie

de l’émergence). Seu trabalho foi desenvolvido sobre uma plataforma computacional

1

chamada Baghera escrita em Java (é um sistema multi-agentes) e possui link com software

“CABRI”. O conteúdo abrangido em geometria é a simetria.

QQUUEESSTTÃÃOO DDEE PPEESSQQUUIISSAA

O presente trabalho tem como objetivo a inserção de um modelo computacional para

ser utilizado com alunos do curso de licenciatura em Matemática, centrando-se em

Geometria das Transformações, com o propósito de contribuir no processo de ensino e de

aprendizado. Focamos nossos estudos em reflexão, translação e rotação aplicadas ao

Ensino Fundamental II, com intenção de gerar uma seqüência didática imersa em um

sistema computacional para ser utilizada na formação inicial de professores do curso de

Licenciatura em Matemática.

O modelo computacional tem como base o Processamento de Línguas Naturais

(PLN), que é um ramo da Inteligência Artificial (IA), o qual tem por objetivo interpretar e

gerar textos em uma língua natural (português, inglês, espanhol, etc). Podemos dividir a

pesquisa em PLN em:

• Interpretação, que busca mecanismos de compreensão de textos por meio

de uma representação que possa ser analisada e utilizada pelo computador;

• Geração de textos, que busca produzir textos os mais próximos possíveis de

textos produzidos por seres humanos.

Focaremos nossos estudos na interpretação de textos para busca de similaridade e

fundamentaremos nossa pesquisa na Teoria das Situações Didáticas de Guy Brousseau e na

Teoria dos registros de Representação Semiótica de Raymond Duval, as quais são mais

detalhadas mais tarde neste trabalho.

As motivações da escolha realizada sobre a geometria, contam com as dificuldades

enfrentadas como docente para ministrar aulas de geometria, pelas dificuldades

apresentadas pelos alunos e por ter vivido a geração da Matemática Moderna no Brasil,

fato que acontece com muitos professores hoje atuantes.

Manrique, Silva e Almouloud escrevem no artigo “Semelhanças e diferenças:

análise de atividades envolvendo objetos de diferentes dimensões” que “a formação inicial

dos professores em relação à Geometria é muito precária, pois os cursos não integram uma

reflexão profunda a respeito desse ensino e as modalidades de formação contínua ainda

2

não são suficientes para atender a esses objetivos” e citam LORENZATO (1995) no texto

que diz:

Presentemente, está estabelecido um círculo vicioso: a geração que não estudou Geometria não sabe como ensiná-la.[...], é preciso um amplo e contínuo esforço de diferentes áreas educacionais para que mudanças se efetivem no atual quadro do ensino da Geometria elementar. (p.4)

Com o movimento da Matemática Moderna, tivemos um direcionamento maior

para a Álgebra, deixando para segundo plano a Geometria. De modo geral os livros

didáticos, tratavam conteúdos desse campo, somente nos últimos capítulos.

Porém, salientamos aqui, que os livros didáticos mais recentes estão com propostas

mais atualizadas e notamos que a geometria não é colocada apenas no final dos livros. A

geometria, pouco a pouco, está se tornando presente nas práticas pedagógicas atuais. Um

exemplo disto é a coleção de 5ª a 8ª série de Imenes e Lellis que dá início ao curso por

geometria.

É notório que a intenção dos PCNs (Parâmetros Curriculares Nacionais) vai além

de apontar o conteúdo, preocupa-se em mostrar os problemas do presente e indicar

caminhos como de ensinar ou mesmo organizar situações de ensino e aprendizagem que

possam se relacionar com outros conteúdos da própria disciplina ou de outras. Para os

PCNs a geometria desempenha papel fundamental no currículo, uma vez que possibilita

desenvolver um pensamento particularmente voltado a compreender, descrever e

representar, de forma organizada, o mundo em que vive (p.122).

As transformações de figuras são vistas como atividades que devem ser

privilegiadas, pois, segundo os PCNs, permitem o desenvolvimento de conceitos

geométricos de forma significativa (p.124).

Diante dos fatos relatados, a intenção deste trabalho é construir uma ferramenta

computacional interativa, que contenha seqüências didáticas do campo da geometria, e

verificar como esta ferramenta pode ajudar na formação inicial de professores e

conseqüentemente no processo de ensino e de aprendizagem.

Como base nesta proposta, a questão de pesquisa é:

Em quais condições uma ferramenta computacional, com interface PLN,

pode ajudar no processo ensino e de aprendizagem da Geometria das

Transformações na formação inicial de professores?

Nossa hipótese é:

3

Uma seqüência didática criada segundo padrões da Teoria das Situações

Didáticas de Guy Brousseau e que utilize mais de um registro de

representações é capaz de promover conhecimentos necessários para que o

aluno enfrente uma situação geométrica desafiadora apresentada.

A aplicação desta seqüência didática inserida em uma plataforma

computacional, com interface interativa, é capaz de promover um novo

saber.

CCOONNSSIIDDEERRAAÇÇÕÕEESS TTEEÓÓRRIICCOO--MMEETTOODDOOLLÓÓGGIICCAASS

Desenvolveremos a pesquisa para construir uma seqüência didática usando os

princípios da Engenharia Didática cuja uma das funções é analisar situações didáticas

dentro do quadro teórico da Didática da Matemática.

Seguindo esses princípios, o trabalho deverá se desenrolar dentro de quatro fases:

análises preliminares, Concepção e análise a priori, Experimentação, Análise a posteriori e

validação.

Análises preliminares:

Segundo Artigue as Análises Prévias são:

...fase de concepção efetua-se apoiando-se num quadro teórico didático geral e em conhecimentos didáticos já adquiridos no domínio estudado, mas também apoiando-se num certo número de análises preliminares que são, na maior parte dos casos: a análise epistemológica dos conteúdos visados pelo ensino, a análise do ensino habitual e dos seus efeitos; a análise das concepções dos alunos, das dificuldades e

obstáculos que marcam a sua evolução; a análise dos limites do campo no qual virá situar-se a

realidade didática efetiva; e, naturalmente, tendo em conta os objetivos específicos da

investigação. (Artigue, 1988, p198, tradução de Maria José Figueiredo).

Para esta análise, estamos buscando subsídios nos Parâmetros Curriculares

Nacionais e nas Propostas Curriculares do Estado de São Paulo, analisando também livros

didáticos indicados e mais utilizados na rede pública de São Paulo, e no curso de

licenciatura de matemática da PUC-SP, no intuito de buscar como a geometria das

transformações vem sendo trabalhada. Além disso, buscamos embasamento em resultados

de pesquisas sobre o tema.

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Para apresentar a seqüência didática, nossa pesquisa apoiá-se na Teoria das

Situações Didáticas de Brousseau (1986), e na noção de Registro de Representações

Semiótica de Duval (1999).

Para desenvolvimento do sistema computacional usaremos a semântica ontológica,

a qual não é um produto terminado, vem evoluindo constantemente. Este tipo de semântica

suporta aplicações como traduções, extração da informação, sumarização de texto,

sistemas de perguntas e respostas entre outros (Nirenburg 2004).

Concepção e Análise a priori:

Segundo Artigue é nesta fase que:

“...o investigador toma a decisão de agir sobre um determinado número de variáveis do sistema não fixadas pelos constrangimentos: variáveis de comando, que ele supõe serem variáveis pertinentes para o problema estudado. Para facilitar a análise de uma engenharia, parece-nos útil distinguir dois tipos de variáveis de comando : • as variáveis macro-didáticas ou globais, que dizem respeito à organização global da engenharia; • e as variáveis micro-didáticas ou locais, que dizem respeito à organização local da engenharia, isto é, à organização de uma sessão ou de uma fase, podendo umas e outras ser, por sua vez, variáveis de ordem geral ou variáveis dependentes do conteúdo didático cujo ensino é visado.” (Artigue, 1988, p202, tradução de Maria José Figueiredo).

Uma variável global que é fundamental e que é uma das diretrizes de nossa questão

de pesquisa é a escolha em trabalhar com uma plataforma computacional com interface

PLN. O porquê dessa escolha é a interação Homem-Máquina, facilitando dessa forma a

utilização da ferramenta sem precisar se preocupar com a parte operacional, apenas com o

processo de ensino e aprendizagem a partir das seqüências didáticas.

Experimentação:

Esta fase, como o próprio nome diz, é a fase dos experimentos. No nosso caso,

temos dois tipos de experimentos:

• aplicar a seqüência didática em um grupo de alunos de curso de

licenciatura com o intuito de validar sua utilização para o processo

de ensino e aprendizagem.

• aplicar a seqüência didática imersa na plataforma computacional a

fim de sanar possíveis falhas operacionais.

Análise a posteriori e validação.

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Segundo Artigue:

“O objetivo da análise a priori é determinar de que forma permitem as escolhas efetuadas controlar os comportamentos dos alunos e o sentido desses comportamentos. Por isso, funda-se em hipóteses; será a validação dessas hipóteses que estará, em princípio, indiretamente em jogo no confronto, operando na quarta fase, entre a análise a priori e a análise a posteriori.” (Artigue, 1988, p205, tradução de Maria José Figueiredo).

Portanto durante esta fase, o conjunto de dados colhidos durante a experimentação

deve ser tratado e confrontado com as variáveis de comando da análise a priori.

FFUUNNDDAAMMEENNTTAAÇÇÃÃOO TTEEÓÓRRIICCAA

A teoria das situações didáticas busca a interação entre o professor, o aluno e o

saber, e o “milieu” no qual o aprendizado se desenrola. Esta teoria foi desenvolvida por

Guy Brousseau (1986) pesquisador francês da Universidade de Bordeaux, e apóia-se em 3

hipóteses, resumidamente:

• O aluno aprende adaptando-se a um “milieu” (meio) que é fator de dificuldades,

contradições e desequilíbrio;

• O “milieu” tem que ter a intenção didática que permita a aquisição do

conhecimento matemático pelo aluno;

• O “milieu” e as situações devem ter claros os saberes matemáticos envolvidos no

processo do ensino e da aprendizagem.

O objetivo da teoria das situações didáticas é estudar os fenômenos que interferem

no processo de ensino e de aprendizagem da matemática, e propor um modelo teórico para

a construção, análise e a experimentação das situações didáticas. Então podemos dizer é

que consiste em criar situações que conduzem a aquisição de um determinado conjunto de

conhecimentos que caracterizam uma aprendizagem significativa.

Uma situação fundamental é criar um conjunto de situações adidáticas cujo objeto a

ser ensinado são as respostas mais indicada, situações que permitam introduzir os

conhecimentos numa epistemologia propriamente científica.

Uma das características de uma situação adidática, além de fazer com que o aluno

evolua por iniciativa própria, é fazer com que o aluno adquira novos conhecimentos que

possam ser justificados pela lógica interna da situação em que o conhecimento seja fruto

da necessidade do aluno.

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Nosso trabalho aqui é criar situações-problema, que possam ter estas funções e

estarem inseridas no sistema computacional.

Guy Brousseau define contrato didático como o conjunto de comportamentos

específicos do professor esperado pelos alunos e o conjunto de comportamentos dos alunos

esperados pelo professor ( Almouloud, 2007, p.89).

Para que haja um processo de ensino e aprendizagem eficiente, a teoria das

situações sugere quatro fases distintas: Dialética da ação, dialética da formulação, dialética

da validação e dialética da institucionalização.

Dialética da ação: fase em que se coloca para o aluno um problema no qual o

conhecimento a ser ensinado faz parte da solução do problema e o aluno possa utilizar seus

saberes anteriormente adquiridos. Em nosso projeto, esta fase se dará no momento que o

sistema devolverá ao aluno, como resposta a um questionamento, uma situação-problema e

não uma resposta pronta.

Dialética da formulação: fase onde o aluno expõe por escrito ou oralmente sua

solução. Enfim, nesta fase há a formulação de seqüências lógicas para a generalização da

solução.

Dialética da validação: nesta fase a solução é submetida à validação, podendo

haver debate entre o professor e o aluno com a finalidade de justificar a solução.

Dialética da institucionalização: fase em que o professor formaliza o

conhecimento e permite ao aluno que a partir desta fase, este conhecimento possa ser

utilizado na resolução de outros problemas matemáticos.

Nas três primeiras fases o saber é personalizado e também socializado, pois no

momento da formulação e validação o aluno poderá compartilhar informações com seus

colegas e até com o professor. Na fase didática (última fase) o saber é descontextualizado,

o objeto de estudo é mostrado, e é despersonalizado, pois o saber é reconhecido

institucionalmente por uma comunidade científica.

Raymond Duval, filósofo e psicólogo, desenvolveu um modelo de funcionamento

cognitivo do pensamento, em termos de mudança de registros de representação semiótica

em que a maneira de visualizar e raciocinar matemática está intrinsecamente ligada á

utilização das representações semióticas.

Segundo Raymond Duval (1999) (Registros de Representações Semiótica) os

objetos matemáticos não são diretamente acessíveis à nossa percepção, sendo necessário

uma representação para esses objetos. Um mesmo objeto matemático possui várias formas

7

de representações que foram construídas durante o desenvolvimento da matemática. A

maneira de se raciocinar a matemática, depende dessas representações semióticas.

Para Duval (2005, p 21) a coordenação entre vários registros de representação é

condição necessária para o aprendizado e para que o objeto matemático não seja

confundido com suas representações ou seja, a compreensão da matemática só é efetiva no

momento em que distingue o objeto matemático da sua representação. A compreensão de

um conteúdo depende da coordenação de, no mínimo, dois registros.

Exemplo de representação de geometria das transformações em três registros

diferentes: Registro discursivo: As diagonais de um losango são eixos de simetria e

se interceptam formando um ângulo reto. Registro Figural

Registro simbólico

ADCABC ∆≡∆ CBDABD ∆≡∆

)ˆ()ˆ( DOAmedBOAmed = =90º

Podemos ter vários registros num mesmo quadro e um mesmo registro pode ser

utilizado em vários quadros e quanto maior a facilidade de se trabalhar com diferentes

registros de um mesmo objeto, maior será a possibilidade de apreensão deste objeto.

Duval classifica em 4 os tipos de registros: a representação discursiva que divide

em dois tipos de registros, a língua natural e os sistemas de escritas (registro numérico,

algébrico e simbólico), e a representação não discursiva que é também dividida em dois

tipos de registros, os registro figurais e os registros gráficos.

Classificação dos diferentes registros mobilizados no funcionamento matemático: REPRESENTAÇÃO

DISCURSIVA

REPRESENTAÇÃO

NÃO-DISCURSICA

REGISTROS

MULTIFUNCIONAIS:

Os tratamentos não são

algoritmizáveis.

Língua Natural

Associações verbais (conceituais).

Forma de raciocinar:

argumentação a partir de

observações, de crenças...;

Figuras geométricas planas ou em

perspectivas (configurações em

dimensão 0,1,2 ou 3).

apreensão operatória e

não somente perceptiva;

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dedução válida a partir de

definição ou de teoremas.

construção com

instrumentos.

REGISTROS

MONOFUNCIONAIS:

Os Tratamentos são

principalmente algoritmos.

Sistemas de escritas:

numéricas (binária, decimal,

fracionária...);

algébrica;

simbólica (línguas formais).

Cálculo

Gráficos cartesianos.

mudança de sistema de

coordenadas;

interpolação,

extrapolação.

(Duval, 2005, p.14)

Existem dois tipos de transformações de representações semióticas: o Tratamento e

a Conversão. O Tratamento é a transformação da representação numa outra equivalente,

porém permanecendo no mesmo registro, (exemplo completar uma figura segundo critérios

de simetria). A Conversão é a transformação da representação numa outra equivalente,

porém não permanecendo no mesmo registro, (exemplo passar de escrita algébrica de uma

equação à sua representação gráfica).

Segundo Duval, é a atividade de conversão que aparece como atividade de

transformação representacional fundamental, a que conduz aos mecanismos subjacentes á

compreensão, segundo o ponto de vista cognitivo.

Em resumo, para Duval, os fenômenos cognitivos reveladores da atividade

matemática concernem à mobilização de vários registros de representação semiótica e à

conversão dessas representações.

Ainda para Duval, o desenvolvimento de uma seqüência de atividades deve contar

com tarefas que tratem dos dois sentidos de conversão (a ida e a volta), sendo classificadas

como congruente ou não congruentes:

Congruente - quando a representação terminal transparece na representação

de saída, ou seja, há uma correspondência termo a termo entre os dois

registros;

Não Congruentes - quando uma reorganização da expressão dada do registro

de saída é necessária para obter-se a expressão correspondente do registro

final.

Duval destaca quatro maneiras de apreender uma figura: apreensão perceptiva (está

relacionada com a primeira visão e interpretação das formas da figura), apreensão

discursiva (está relacionada com notação em língua natural até uma legenda ou símbolos,

convenções matemáticas como, por exemplo, o símbolo para denotar 90º), apreensão

9

seqüencial (está relacionada com a construção da figura, quais propriedades estão

envolvidas na construção) e a apreensão operatória (corresponde a transformar a figura

dada em outras figuras para obter novos elementos que poderão nos levar à idéia da

solução de um problema ou de uma prova).

Construção da Plataforma Computacional

O sistema computacional aqui proposto possui técnicas de PLN, para, a partir das

informações que possui e de informações de entrada, possa gerar sua forma lógica e

localizar em sua base de dados a melhor seqüência didática para responder ao

questionamento de entrada.

Para que seja possível trabalhar com línguas naturais é necessário restringir o uso

da LN (Língua Natural) e do domínio da aplicação. Nossa LN será o português e restrito ao

domínio da geometria, mais especificamente, a geometria das transformações (isometria).

Para ajudar nessa tarefa, propõe-se o uso de uma ontologia específica, dentro do

campo da Geometria, uma interpretação semântica e uma base de dados com informações

específicas sobre o domínio (geometria das transformações).

A palavra “ontologia” dentro da Inteligência Artificial pode ser interpretada como o

conjunto de entidades com suas relações, definições, axiomas e vocabulário. Uma

ontologia pode se referir a um conjunto de objetos distintos que resultam da análise de um

domínio específico ou de um micro-mundo (Jurafsky, 2000) ou, pode ser construída com

abrangência geral, sendo neste caso, mais difícil de elaborar [Russel, 1995].

Para Nirenburg (2004), semântica ontológica é uma integração complexa de teorias,

e é constituída como uma sociedade de microteorias com especificações da língua e

organização do conhecimento referente ao domínio.

As descrições na semântica ontológica incluem representação do significado do

texto, entradas lexicais, conceitos ontológicos, exemplos de procedimentos para manipular

textos e seus significados.

Na estrutura da semântica ontológica o conhecimento está em diversas fontes: na

ontologia, no repositório de fatos e no léxico, sendo:

• “a ontologia consiste em um modelo do mundo físico (um modelo do discurso dos participantes e o conhecimento sobre a situação de comunicação de uma língua);”

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• “o repositório de fatos contém exemplos de eventos e objetos (o repositório pode ser atualizado de duas maneiras: a partir da análise de um texto ou diretamente com a aquisição humana);”

• “o léxico que inclui um léxico geral e um onomasticon que contenha vocabulário próprio do domínio estudado.” (Nirenburg, 2004, p 6, tradução nossa)

Um sistema PLN desenvolvido com uma semântica ontológica deve ser constituído de um

analisador com a finalidade de trabalhar os textos de entrada, que pode ser dividido em

diversos módulos:

• Módulo para tratar os caracteres especiais, números, símbolos e datas;

• Módulo para análise morfológica que cuide da separação dos morfemas

lexicais e gramaticais;

• Módulo para a análise semântica que possa trabalhar com a ambigüidade;

• Módulo para o controle do conhecimento, objetivos do texto e que

determine o estilo de texto e um gerador que pode variar dependendo da

aplicação e do tipo de entrada que determina o resultado final.

As pretensões do sistema são:

a) O aluno possui uma dúvida e elabora uma pergunta ao sistema, em

língua natural (o professor pode interferir);

b) O sistema faz a análise semântica e gera uma forma lógica a partir do

questionamento, utilizando-se do léxico;

c) A forma lógica é passada para ontologia que tenta localizar as

relações dos termos empregados pelo aluno e os existentes na

ontologia;

d) Se o processo até aqui foi possível, o sistema tentará buscar a

situação-problema mais adequada e devolverá para o aluno a

responsabilidade pela construção do seu saber, caso contrário, pedirá

que o aluno reformule a pergunta;

e) O aluno resolverá a situação problema e poderá comparar com uma

correção fornecida pelo sistema, ou se o professor preferir poderá

interferir;

f) Se o sistema falhar na situação b, pedirá ao aluno que elabore

novamente o questionamento e retornará ao processo (o processo se

repetirá apenas uma vez);

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g) Se o sistema falhar nas situações c ou d, retornará ao aluno que o

sistema não pode oferecer ajuda, e deverá guardar este

questionamento para posterior análise do professor e possível

inserção de novas seqüências didáticas (isto tornará o sistema

dinâmico);

h) O sistema guardará todo questionamento e situação-problema

indicada, para posterior análise do professor.

Neste momento estamos construindo nossa plataforma computacional e optamos

por iniciar pela Base de Dados das seqüências didáticas (o repositório de fatos). Utilizamos

para desenvolvimento Visual Pascal (Delphi) e para auxílio nas construções geométricas

optamos por utilizar o GeoGebra que é um software gratuito, criado por Markus

Hohenwarter que pode ser utilizado para geometria pois possui as ferramentas de um

software de geometria dinâmica e, também, ser utilizado para álgebra e cálculo. Para

finalizar as figuras geradas pelo GeoGebra e torná-las dinâmicas dentro de nossa

plataforma, utilizamos HTML.

Nossas seqüências didáticas foram separadas em: figuras com simetria, simetria

axial, simetria central, rotação e translação. Ao final de cada uma das seqüências

encontramos a institucionalização que, segundo Brousseau, é o momento em que o

professor formaliza o conhecimento para o aluno utilizá-lo na resolução de outros

problemas matemáticos. Neste momento apresentamos ao aluno atividades de

demonstração que, após a sua realização, são conferidas pelo sistema que aponta os erros

e/ou acerto.

Nas figuras abaixo mostraremos fragmentos do tema “figuras com simetria” , o que

representa menos de um quarto de nossa proposta com a criação das seqüências didáticas.

Esta seqüência será apresentada ao interpretar questões como figuras simétricas,

eixo de simetria, segmentos proporcionais, bissetriz de um ângulo, Mediatriz de um

segmento, entre outras (estas palavras estão relacionadas na ontologia). Dependendo da

formulação do questionamento o sistema deverá mostrar toda a seqüência ou apenas

separar uma das atividades da seqüência.

A figura que se segue é a apresentação para trabalhar com a seqüência completa de

figuras simétricas: Uma vez que o sistema selecionou a atividade completa, o usuário

deverá escolher entre fazer todas as atividades ou o sistema lhe fornece uma segunda opção

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(perceba a nota: Click em sair caso já

conheça: figuras simétricas, eixo de

simetria e as propriedades de simetria).

No caso de nosso usuário optar por

sair, isto não nos garante que seu

conhecimento abranja as referências, então

o sistema apresentará a institucionalização,

que será mostrada mais abaixo, mas,

optando por fazer as atividades, o sistema

não permitirá atividades incompletas.

A primeira atividade é uma atividade de percepção, com o objetivo de introduzir a

noção de figura simétrica e de eixo de simetria. Mostramos uma figura animada1 e figuras

estáticas que possuem simetria, e também, um pentágono sendo dobrado por um de seus

eixos de simetria. Observe abaixo um fragmento referente à atividade:

Note que as asas possuem o mesmo formato, como se

estivessem refletidas em um espelho:

Figuras como esta borboleta, nas quais existe uma dobradura que faz com que as duas partes obtidas coincidam, são denominadas figuras com simetria e a reta que passa pelo vinco da dobradura é chamada de eixo de simetria.

A segunda atividade é de manipulação e percepção, mantendo o mesmo objetivo da

primeira atividade. Apresentamos figuras com simetria e utilizamos como variáveis

didáticas à escolha da malha quadriculada e a posição do eixo de simetria (vertical,

horizontal e inclinado). Observe a atividade apresentada abaixo:

Movimente um dos pontos da figura e observe o que acontece:

13

1 A figura (borboleta) é um gif encontrado em http://www.uniblog.com.br/img/posts/imagem26/269347.gif acesso 24/01/2008

O objetivo da terceira atividade é a utilização dos conhecimentos adquiridos nas

atividades anteriores, as variáveis didáticas escolhidas são a complexidade das figuras

(uma simples e outra complexa) e a malha quadriculada.

O sistema está programado para aceitar e mudar para “cor de rosa” (neste caso)

qualquer quadradinho da malha (lado direito do eixo de simetria), porém a um segundo

toque retorna a cor original. Este problema tem como intenção fazer o aluno agir, refletir e

evoluir por iniciativa própria, segundo a Teoria das situações didáticas de Brousseau. O

sistema faz, no final, a conferência de possíveis erros e/ou acertos. apontando-os para o

usuário.

O objetivo da atividade quatro é introduzir as propriedades de figuras simétricas.

Esta atividade mostra a conservação das medidas dos ângulos opostos pelo eixo de simetria

e o conceito de ângulos congruentes, a conservação das medidas de segmentos opostos

pelo eixo de simetria e o conceito de segmentos congruentes e por fim o conceito de

“bissetriz de um ângulo”, induzindo ao aluno elaborar os conceitos matemáticos destes

objetos. Todas as tarefas desta atividade envolvem a manipulação das figuras. Abaixo

temos uma pequena parte da atividade:

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Movimente o ponto azul das figuras abaixo e observe as medidas de seus ângulos:

A quinta atividade tem como objetivo a aplicação dos conhecimentos adquiridos e

introdução da noção de figuras assimétricas, para tanto, mostramos uma série de figuras

simétricas e assimétricas de diferentes níveis de dificuldade, e solicitamos que seja

apontado o número de eixos de simetria. A tarefa é verificada pelo sistema: se a resposta

estiver correta, o sistema mostrará a figuras com os devidos eixos de simetria (como

mostra parte da atividade abaixo). Caso contrário, pedirá uma nova resposta.

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O objetivo da sexta atividade é a utilização e verificação dos conhecimentos

adquiridos nas atividades anteriores, como eixo de simetria, segmentos congruentes,

bissetriz de um ângulo , entre outros. É uma atividade de simples escolha entre verdadeiro

ou falso, porém se a resposta estiver incorreta o sistema buscará atividade anterior que

condiz com a pergunta e pedirá ao aluno para resolver novamente, pois entendemos que o

objetivo da atividade não foi alcançado.

A sétima atividade tem como objetivo introduzir o conceito de mediatriz. É uma

atividade de manipulação e observação da figura e as variáveis didáticas são o

comprimento do segmento e sua posição (horizontal, vertical e inclinado).

Após o término das atividades mostramos uma tela com quatro guias. Esta tela é a

institucionalização dos objetos matemáticos trabalhados neste tema. Abaixo colocamos o

conteúdo das guias.

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Ao final de cada tema criamos um link para um módulo complementar do sistema,

o qual é denominado módulo de demonstração. Esse módulo tem como objetivo principal

introduzir a demonstração matemática que, segundo Balacheff, “é uma prova aceita pela

comunidade matemática. A demonstração fundamenta-se em explicações apresentadas

numa seqüência de enunciados, organizados conforme regras determinadas. Um enunciado

é conhecido como verdadeiro, ou é deduzido a partir daqueles que o precederam, graças a

uma regra de dedução.” (Appud Haruma, 2000, p.5).

Para Duval, “a aprendizagem da demonstração consiste primeiramente na

consciência do tipo de discurso (é diferente do discurso realizado pelo pensamento

natural)....a dedução é uma forma de cálculo cuja organização não é evidente e , ainda, a

tomada de consciência do que é uma demonstração somente ocorre numa articulação de

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dois registros, dos quais uma é a utilização pelo aluno da linguagem natural (registro

discursivo)” ( Almouloud, 2005 , p.128).

O nosso módulo de demonstração tem início por um tutorial com o objetivo de

explicar a utilização da ferramenta e os passos de uma demonstração. Esse tutorial aponta a

importância da leitura do enunciado e sua compreensão antes de iniciar a tarefa, explica a

diferença da hipótese e da tese e traça um rápido relato sobre cada passo da demonstração

ser dependente dos passos anteriores. Esse tutorial é automático e se dá sobre um exemplo.

A primeira atividade de demonstração é bem simples (figura abaixo). Temos um

“Guia de Demonstração” à disposição na interface, onde o usuário deve fazer, entre vários

itens, a escolha da tese e da hipótese. Para cada passo da demonstração ele deverá escolher

um item e uma justificativa, e o sistema se encarrega de colocar suas escolhas nas caixas

de edição corretas sem interferir em sua resposta. Apenas após terminar a tarefa é que o

sistema fará a correção de item por item apontando os erros e/ou acertos.

Considerações Finais Nossa plataforma computacional e nossas seqüências didáticas ainda não estão

terminadas e, embora nossa maior preocupação no momento seja desenvolver uma

ferramenta que possa ser utilizada sem treinamentos prévios e as seqüências didáticas

possam exercer o seu objetivo de ensino e de aprendizagem, acreditamos que obteremos

uma resposta satisfatória a nossa questão de pesquisa, ou seja, que a união de duas Teorias

(Registros de Representação Semiótica, Duval e Teoria das Situações Didáticas,

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Brousseau) já comprovadamente eficientes à tecnologia pode promover e construção do

conhecimento.

Referências bibliográficas

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