coeficiente angular de uma reta

7/21/2019 Coeficiente Angular de Uma Reta

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Coeficiente Angular de uma reta

A inclinação de uma reta r , que tem o ponto P como intersecção dela com o eixo- x , é amedida do menor ângulo que o eixo O x deve “girar”, no sentido anti-horário, para coincidircom a reta r . Tal ângulo pode ser nulo, agudo, reto ou obtuso, como podemos observar nasfiguras abaixo.

Coeficiente Angular

Denomina-se coeficiente angular ou declividade de uma reta r com equação y = ax + b,como sendo atangente da inclinação a.

Do ponto de vista geométrico, o coeficiente angular de uma reta é um número m queindica se os pontos da reta sobem ou descem, para cada unidade de variação horizontal davariável, da esquerda para a direita. Além disso, o número m dá a medida de quão íngremeé esta subida ou descida.

Em problemas práticos, o coeficiente angular de uma reta pode ser interpretado comouma razão ou como uma taxa de variação, dependendo das unidades que são utilizadas noseixos x e y . Se os eixos x ey apresentam as mesmas unidades, então o número que mede ocoeficiente angular é adimensional e representa uma razão. Agora, se os

eixos x e y apresentam unidades diferentes, o coeficiente angular tem dimensões erepresenta uma taxa de variação da grandeza y em relação à grandeza x .

Definimos o coeficiente angular m de uma reta não-vertical , como sendo a razão

quando vamos de um ponto P a um ponto Q da reta (ver figura abaixo).

Reta de coeficiente angular



Da figura observamos que, escrevendo P e Q em termos de suas coordenadas, ou seja,

P( x 0,y 0) e Q( x 1,y 1), a variação de y , quando passamos de P a Q, é dada por e

a variação de x é dada por . Assim,

coeficiente angular da reta =

onde a é a inclinação da reta.

EXEMPLO 1 Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos P(1,3) e Q(–1,5).

Desta forma, conhecendo-se dois pontos quaisquer de uma reta, podemos obter ocoeficiente angular da mesma e, conseqüentemente, sua inclinação.

Retas crescentes (ver fig.1 abaixo) têm coeficiente angular positivo. Neste caso, se avariação de x, quando nos deslocamos de um ponto P(x0,y0) a outro ponto Q(x1,y1) nestareta, é positiva, então a variação correspondente de y também é positiva. Retas quedecrescem (ver fig.2 abaixo) têm coeficiente angular negativo. Neste caso, se a variaçãode x , quando nos deslocamos de um ponto P a outro ponto Q nesta reta, é positiva, então avariação correspondente de y é negativa.

Observe que retas horizontais têm coeficiente angular nulo.

Se considerarmos retas que sobem rapidamente (descem rapidamente), a variaçãode y sobre estas retas é grande, relativamente à x , ou seja, possuem coeficiente

angular grande positivo (negativo).Retas que são quase horizontais têm coeficientes angulares pequenos (positivos ounegativos).

Propriedades:

1. Duas retas quaisquer são paralelas se, e somente se, elas têm o mesmo coeficienteangular.

2. Duas retas quaisquer são perpendiculares se, e somente se, o produto de seuscoeficientes angulares é igual a –1.

Conhecendo-se o coeficiente angular m e um ponto ( x 0,y 0) de uma reta não-vertical,obtemos a equação dessa reta do seguinte modo:

y – y 0 = m ( x – x 0) que é chamada equação reduzida da reta que passa pelo ponto ( x 0,y 0) com coeficienteangular m.

EXEMPLO 2 Determine a equação da reta r que passa pelo ponto (1,2) e é paralela a

reta .

EXEMPLO 3 Determine a equação da reta r perpendicular a reta e que passapelo ponto (4,7).



EXEMPLO 4 Cinética Química - A decomposição de NO2 em função do tempo t (emsegundos) a 383°C, para formar NO e O2, é uma reação de segunda ordem, pois verifica aseguinte relação:

onde [NO2] é a concentração de NO2 no tempo t , [NO2]0 é a concentração de NO2 notempo t = 0 e k = 10,1. Esta relação é a equação de uma reta com coeficiente angular iguala k .

Freqüentemente, o coeficiente angular e a interseção de uma reta y = ax + b com o eixo y ,têm interpretações físicas importantes. No Exemplo anterior, podemos observar que aintersecção da reta

com o eixo das ordenadas nos dá uma informação a respeito do valor da concentraçãode NO2 no instantet = 0 e o coeficiente angular k = 10,1 nos diz o quanto a concentraçãode NO2 varia por cada unidade de tempo. O valor positivo do coeficiente angular nos diz que

está havendo um aumento de com a variação do tempo e, conseqüentemente umadiminuição na concentração de NO2 com o passar do tempo.

Sabemos que o valor do coeficiente angular de uma reta é a tangente do seu ângulo de inclinação. Através dessa informação podemos encontrar uma forma prática para obter o valor do coeficiente angular

de uma reta sem precisar fazer uso do cálculo da tangente.

Vale ressaltar que se a reta for perpendicular ao eixo das abscissas, o coeficiente angular não existirá,pois não é possível determinar a tangente do ângulo de 90º.

Para representarmos uma reta não vertical em um plano cartesiano é preciso ter no mínimo dois pontospertencentes a ela. Desse modo, considere uma reta s que passa pelos pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) epossui um ângulo de inclinação com o eixo Ox igual a α.

Prolongado a semirreta que passa pelo ponto A e é paralela ao eixo Ox formaremos um triânguloretângulo no ponto C.



O ângulo A do triângulo BCA será igual ao da inclinação da reta, pois, pelo Teorema de Tales, duas retasparalelas cortadas por uma transversal formam ângulos correspondentes iguais.

Levando em consideração o triângulo BCA e que o coeficiente angular é igual à tangente do ângulo deinclinação, teremos:

tg α = cateto oposto / cateto adjacente

tg α = y B – y A / x B – x A

Portanto, o cálculo do coeficiente angular de uma reta pode ser feito pela razão da diferença entre doispontos pertencentes a ela.

m = tg α = ∆y / ∆ x

Exemplo 1 Qual é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (–1,3) e B (–2,4)?

m = ∆y/ ∆ x

m = 4 - 3 / (-2) - (-1)

m = 1 / -1m = -1

Exemplo 2 O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (2,6) e B (4,14) é:

m = ∆y/ ∆ x

m = 14 – 6/4 – 2m = 8/2m = 4

Exemplo 3O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (8,1) e B (9,6) é:



m = ∆y/ ∆ x

m = 6 – 1/9 – 8m = 5/1m = 5

Equação de Reta e Coeficiente Angular

Como se diferencia duas pessoas sem levar em conta suas características físicas?

Basta saber o nome.

- Está certo Profº Renato, mas em que isso me ajuda?

Muito simples, vamos dar nomes a essas retas. Só que na matemática este termo é maisconhecido por equação, ou seja, os nomes serão representados por equações.

- E daí Profº?

E daí que por estarmos no plano cartesiano xOy o formato "genérico" da nossa equação vaiobedecer esse jeitão aqui.

ax+ by+ c= 0

No intuito de fixar essa idéia, veremos abaixo (fig. 1.1) duas retas r e s representadas pelassuas respectivas equações.

A partir daí é fácil perceber que os coeficientes da reta r são a= 5, b= -1, c= 9 e os da reta s são a= 2, b= -2, c= 2.

OBS: O coeficiente "carrega" o sinal junto com ele conforme o b= -1 da reta r .



MARAVILHA! \o/

Encontrando a Equação de Reta

Pois então como eu ia dizendo, para executar tal feito (de encontrar a equação) eu recomendo a vocêutilizar um dos dois métodos que comentarei aqui, onde cada um tem seus prós e contras.

- Por dois pontos

Para este aqui, o pré-requisito indispensável é você ter as coordenadas de dois pontos A e B quaisquerda reta r (ver fig. 1.2).

Então agora que temos os pontos A= (2,1) e B= (5,4) podemos utilizar "um truque suuuujo" para achar aequação, onde construiremos um determinante em função das coordenas x e y .

Percebeu??? As coordenadas x de A e B estão na linha x do determinante, enquanto ascoordenadas y de A e B estão na linha y do determinante. E para resolver basta...

(x+ 8+ 5y) - (4x+5+ 2y)-3x+ 3y+ 3= 0 (-1)

3x- 3y- 3= 0 (/3)



x- y-1= 0

Que é a equação da reta que passa pelos pontos A e B. Fácil demais né! :p

- Por um ponto e o coeficiente angular

Antes de explicar esta parte vamos entender um pouco do que se trata esse lance de coeficiente angular.Por definição ele nada mais é do que a inclinação em relação ao eixo x (ver fig 1.3) e por comodidade orepresentaremos pela letra "m".

Com esta informação em mãos podemos dar seguimentos as explicações. Como eu ia dizendo, agoravamos descobrir como achar uma equação de reta quando temos apenas um ponto A qualquer e ocoeficiente angular m. Só que para tal precisamos ter na manga a velha fórmula

y2- y1= m.(x2- x1)

ou se preferir "iô-iô-mí-xô-xô"

Como este método parece mais tranquilo, vamos tentar entender por um simples exemplo.

Exemplo 1:

Seja o ponto A= (3,1) e o coeficiente angular m= 3, achar a equação da reta. Logo, x1= 3, y1= 1 e m= 3,então por "iô-iô-mí-xô-xô" temos,

y2- 1= 3.(x2- 3)y2- 1= 3x2- 93x2- y2- 8=0

ou3x- y- 8= 0

Achar Coeficiente Angular

Pois é, assim como foi com a equação de reta, para achar o coeficiente angular também teremos duasmaneiras de fazer, direto pela equação da reta ou tendo os dois pontos A e B da reta.



- Por dois pontos

É isso ae, quando temos dois pontos A= (x1, y1) e B= (x2, y2) basta substituir em "iô-iô-mí-xô-xô" queencontramos om em dois tempos.

Exemplo 2:

Suponha que por um azar do destino temos dois pontos D= (2,4) e E= (3,6) (usei letras diferentes paravocê não se viciar no A e B), qual o coeficiente angular?

Ora! Ora, ora, ora... joga no "iô-iô-mí-xô-xô" que teremos o seguinte,

y2- y1= m.(x2-x1) 6- 4= m.(3-2)

2= m

onde o coeficiente angular m= 2.

Está vendo, nem tudo em matemática é tão complicado!

- Pela Equação de reta

O segredo é basicamente o seguinte, pegar a equação da reta e isolar o "y" e depois verificar qual ocoeficiente de "x", e pronto, temos o coeficiente angular da reta.

Exemplo 3:

Seja r: 5x- y+ 8= 0 e s: x+ 4y- 3= 0 duas retas, ache os coeficientes angulares de r e s. Utilizando a

dedução anterior (m= -a/b), temos, para r: a= 5 e b= -1, assim m= 5 para s: a=1 e b= 4, assim m= -1/4

Finalizando

Uma utilidade importante a respeito do coeficiente angular é que ele serve para verificar o paralelismoentre duas retas.

- Como assim Profº?

É bem simples, se duas retas quaisquer tiverem coeficientes angulares iguais, elas são paralelas, caso

contrario elas se interceptam (ver fig 1.4).



Inclinação e coeficiente angular de uma reta

Sabemos que em uma reta existem infinitos pontos, com apenas dois desses pontos podemos representar essa mesmareta no plano cartesiano, pois dois pontos dist intos sempre serão colineares (pertencerão ou formarão uma reta).

Com o estudo da geometria analítica aprendemos que não é necessário ter dois pontos distintos para formar uma reta,podemos construir uma reta no plano cartesiano conhecendo apenas um de seus infinitos pontos e sabendo o valor doângulo formado com a reta e o eixo Ox.

Essa outra forma de representarmos uma reta será feita levando em consideração a inclinação da reta e o seu coeficienteangular. Considere uma reta s que intercepta o eixo Ox no ponto M.

A reta s está formando com o eixo Ox um ângulo β. A medida desse ângulo é feita em sentido anti-horário a partir de umponto pertencente ao eixo Ox. Assim, podemos dizer que a reta s tem inclinação β e o seu coeficiente angular (m) igual a:m = tg β.

A inclinação da reta irá variar entre 0° ≤ β <180°. Veja os exemplos de algumas possibilidades de variação da inclinação dareta e seus respectivos coeficientes angulares:

Exemplo 1:

Nesse exemplo o valor da inclinação é menor que 90º.

Inclinação igual a 45° e coeficiente angular igual a: m = tg 45° = 1.

Exemplo 2:

Nesse exemplo o valor da inclinação da reta é maior que 90° e menor que 180°.



Inclinação igual a 125° e coeficiente angular da reta igual a: m = tg 125° = -1.43.

Exemplo 3:

Quando a reta for paralela ao eixo Oy, ou seja, tiver uma inclinação igual a 90° o seu coeficiente angular não irá existir, poisnão é possível calcular a tg 90°.

Exemplo 4:

Nesse exemplo a reta s é paralela ao eixo Ox, ou seja, seu ângulo de inclinação é igual a 180°, portanto, o seu coeficienteangular será igual a: m = tg 180º = 0.

Coeficiente Angular e Linear ( ) y = a x + b

b > 0 e tan > 0

b < 0 e tan > 0

b > 0 e tan < 0

b < 0 e tan < 0

Observe que se m = 0 , então a função linear f ( x ) = b é a função constante eassim as funções lineares incluem as funções constantes .



Consideremos dois pontos distintos quaisquer ( x1 , f ( x1 ) ) e ( x2 , f ( x2 ) ) .

Observe nas figuras abaixo que o coeficiente angular satisfaz

Posição relativa de duas retas

Introdução

Aprendemos em Geometria Plana que duas retas r e s podem assumir as seguintes posições relativas:

a) concorrentes (caso particular importante: perpendiculares)

b) paralelas (distintas)

c) coincidentes

Relações entre os coeficientes

Considere as retas r e s (não-verticais), cujas equações reduzidas são, respectivamente:



(r ) : y mr . x + hr (s) : ms . x + hs

A seguir, temos as posições relativas das retas r e s:

Retas concorrentes

Se 0° ≤ θr < 180° e 0° ≤ θs < 180°, temos:

r e s concorrentes ⇔ θr ≠ θs ⇔ tg θr ≠ tg θs ⇔

⇔ mr ms

Conclusão:

“Se duas retas são concorrentes, seus coeficientes angulares são diferentes, e vice-versa.”

Considere duas retas distintas e concorrentes do plano, r e s, ambas oblíquas aos eixos coordenados e nãoperpendiculares entre si. As duas retas formam um ângulo entre si, que denominaremos de α. Esse ângulo α é tal que:



Onde ms e mr são os coeficientes angulares das retas s e r, respectivamente.Se ocorrer de uma das retas ser vertical e a outra oblíqua, o ângulo α formado entre elas é tal que:

Exemplo 1. Determine o ângulo formado entre as retas r: x - y = 0 e s: 3x + 4y – 12 =0

Solução: Para determinar o ângulo formado entre as duas retas, precisamos conhecer o coeficiente angular de cada umadelas. Assim, vamos determinar o coeficiente angular das retas r e s.

Para a reta r, temos:

x - y = 0y = x

Portanto, mr = 1.Para a reta s, temos:

Portanto, ms = -3/4Conhecendo os valores dos coeficientes angulares, basta aplicar a fórmula do ângulo entre duas retas:

Exemplo 2. Determine o ângulo formado entre as retas r: y = 3x + 4 e s: y = – 2x + 8.

Solução: Vamos determinar o coeficiente angular de cada uma das retas dadas.

Para a reta r, temos:y = 3x + 4mr = 3Para a reta s, temos:y = – 2x + 8ms = – 2



Aplicando a fórmula do ângulo entre duas retas, obtemos:

Rectas

Geometria analítica: rectas

Introdução

Entre os pontos de uma recta e os números reais existe uma correspondência biunívoca, isto é, a cada pontode recta corresponde um único número real e vice-versa.

Considerando uma recta horizontal x, orientada da esquerda para direita (eixo), e determinando umponto O dessa recta ( origem) e um segmento u, unitário e não nulo, temos que dois números inteiros econsecutivos determinam sempre nesse eixo um segmento de recta de comprimento u:

Medida algébrica de um segmento

Fazendo corresponder a dois pontos, A e B, do eixo x os números reais xA e xB , temos:



A medida algébrica de um segmento orientado é o número real que corresponde à diferença entre asabcissas da extremidade e da origem desse segmento.

Plano cartesiano

A geometria analítica teve como principal idealizador o filósofo francês René Descartes ( 1596-1650). Com oauxílio de um sistema de eixos associados a um plano, ele faz corresponder a cada ponto do plano um parordenado e vice-versa.

Quando os eixos desse sistemas são perpendiculares na origem, essa correspondência determina umsistema cartesiano ortogonal ( ou plano cartesiano). Assim, há uma reciprocidade entre o estudo da geometria( ponto, recta, circunferência) e da Álgebra ( relações, equações etc.), podendo-se representar graficamenterelações algébricas e expressar algebricamente representações gráficas.

Observe o plano cartesiano nos quadros quadrantes:

Exemplos:

A(2, 4) pertence ao 1º quadrante (x A > 0 e y A > 0 B)-3, -5) pertence ao 3º quadrante ( xB < 0 e yB < 0)

Observação: Por convenção, os pontos localizados sobre os eixos não estão em nenhum quadrante.



Distância entre dois pontos Dados os pontos A(x A, y A) e B(xB, yB) e sendo dAB a distância entre eles, temos:

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo rectângulo ABC, vem:

Como exemplo, vamos determinar a distância entre os pontos A(1, -1) e B(4, -5):

Razão de secção

Dados os pontos A(x A, y A), B(xB, yB), C(xC, yC) de uma mesma recta , o ponto C dividenuma determinada razão, denominada razão de secção e indicada por:

em que , pois se , então A = B. Observe a representação a seguir:



Como o , podemos escrever:

Vejamos alguns exemplos:

Considerando os pontos A(2, 3), B(5, 6) e P(3, 4), a razão em que o ponto P divide é:

Se calculássemos r p usando as ordenadas dos pontos, obteríamos o mesmo resultado:

Para os pontos A(2, 3), B(5, 6) e P(1, 2), temos:



Assim, para um ponto P qualquer em relação a um segmento orientado contido em um eixo, temos:

se P é interior a , então r p > 0

se P é exterior a , então r p < 0

se P = A, então r p =0 se P = B, então não existe r p (PB = 0)

se P é o ponto médio de , então r p =1

Condições de alinhamento de três pontos Se três pontos, A(x A, y A), B(xB, yB) e C(xC, yC), estão alinhados, então:

Para demonstrar esse teorema podemos considerar três casos: a) três pontos alinhados horizontalmente

Neste caso, as ordenadas são iguais: y A = yB = yC



e o determinante é nulo, pois a 2ª e a 3ª coluna são proporcionais. b) três pontos alinhados verticalmente

Neste caso, as abcissas são iguais: x A = xB = xC

e o determinante é nulo, pois a 1ª e a 3ª coluna são proporcionais. c) três pontos numa recta não paralela aos eixos

Pela figura, verificamos que os triângulos ABD e BCE são semelhantes. Então:

Desenvolvendo, vem:

Como:



então .

Observação: A recíproca da afirmação demonstrada é válida, ou seja, se , então ospontos A(x A,y A), B(xB,yB) e C(xC, yC) estão alinhados.

Equações de uma recta Equação geral

Podemos estabelecer a equação geral de uma recta a partir da condição de alinhamento de três pontos. Dada uma recta r , sendo A(x A, y A) e B(xB, yB) pontos conhecidos e distintos de r e P(x,y) um ponto genérico,

também de r , estando A, B e P alinhados, podemos escrever:

Fazendo y A - yB = a, xB - x A = b e x AyB - xBy A=c, como a e b não são simultaneamente nulos , temos:

ax + by + c = 0

(equação geral da recta r) Essa equação relaciona x e y para qualquer ponto P genérico da recta. Assim, dado o ponto P(m, n):

se am + bn + c = 0, P é o ponto da recta; se am + bn + c 0, P não é ponto da recta.

Acompanhe os exemplos:

Vamos considerar a equação geral da recta r que passa por A(1, 3) e B(2, 4).

Considerando um ponto P(x, y) da recta, temos:

Vamos verificar se os pontos P(-3, -1) e Q(1, 2) pertencem à recta r do exemplo anterior. Substituindoas coordenadas de P em x - y + 2 = 0, temos:

-3 - (-1) + 2 = 0 -3 + 1 + 2 = 0 Como a igualdade é verdadeira, então P r. Substituindo as coordenadas de Q em x - y + 2 = 0, obtemos:

1 - 2 + 2 0 Como a igualdade não é verdadeira, então Q r.

Equação segmentaria Considere a recta r não paralela a nenhum dos eixos e que intercepta os eixos nos pontos P(p, 0) e Q(0, q),

com :



A equação geral de r é dada por:

Dividindo essa equação por pq , temos:

Como exemplo, vamos determinar a equação segmentaria da recta que passa por P(3, 0) e Q(0, 2),conforme o gráfico:

Equações paramétricas São equações equivalentes à equação geral da recta, da forma x= f(t) e y= g(t), que relacionam as

coordenadas x e y dos pontos da recta com um parâmetro t.

Assim, por exemplo, , são equações paramétricas de uma recta r . Para obter a equação geral dessa recta a partir das paramétricas, basta eliminar o parâmetro t das duas

equações: x = t + 2 t = x -2

Substituindo esse valor em y = - t + 1, temos: y = -(x - 2) + 1 = -x + 3 x + y - 3 = 0 ( equação geral de r )

Equação Reduzida Considere uma recta r não paralela ao eixo Oy:



Isolando y na equação geral ax + by + c = 0, temos:

Fazendo , vem:

y = mx + q

Chamada equação reduzida da reta, em que fornece a inclinação da reta em relação ao eixo Ox. Quando a reta for paralela ao eixo Oy, não existe a equação na forma reduzida.

Coeficiente angular Chamamos de coeficiente angular da reta r o número real m tal que:

O ângulo é orientado no sentido anti-horário e obtido a partir do semi-eixo positivo Ox até a recta r . Desse

modo, temos sempre . Assim:

para ( a tangente é positiva no 1º quadrante)

para ( a tangente é negativa no 2º quadrante)

Exemplos:



Determinação do coeficiente angular

Vamos considerar três casos:

a) o ângulo é conhecido

b) as coordenadas de dois pontos distintos da recta são conhecidas: A(x A, y A) e B(xB, yB)

Como ( ângulos correspondentes) temos que .

Mas, m = tg Então:

Assim, o coeficiente angular da recta que passa, por exemplo, por A(2, -3) e B(-2, 5) é:



c) a equação geral da recta é conhecida Se uma recta passa por dois pontos distintos A(X A, Y A) e B(XB, YB), temos:

Aplicando o Teorema de Laplace na 1ª linha, vem: (Y A - YB)x + (XB - X A)y + X AY A - XBYB = 0 Da equação geral da recta, temos:

Substituindo esses valores em , temos:

Equação de uma recta r, conhecidos o coeficiente angular e um ponto de r Seja r uma recta de coeficiente angular m. Sendo P(X0, Y0), P r, e Q(x,y) um ponto

qualquer de r(Q P), podemos escrever:

Como exemplo, vamos determinar a equação geral da recta r que passa por P(1, 2), sendo m=3. Assim, temosX0=1 e Y0=2. Logo:

y-y0=m(x-x0)=y-2 = 3(x - 1) = y-2 = 3x - 3 = 3x - y - 1 = 0 que é a equação geral de r . Representação gráfica de rectas

Para representar graficamente as rectas de equação ax + by + c = 0 ( b 0), isolamos avariável y e atribuímos valores a x, obtendo pares ordenados que são pontos da recta. Assim, é mais conveniente usar a equação na forma reduzida, já que ela apresenta o y

isolado. Coordenadas do ponto de intersecção de retas A intersecção das rectas r e s, quando existir, é o ponto P(x, y), comum a elas, que é a

solução do sistema formado pelas equações das duas rectas. Vamos determinar o ponto de intersecção, por exemplo, das rectas r : 2x +y - 4 =0 e s: x -y

+1=0. Montando o sistema e resolvendo-o, temos:

Substituindo esse valor em x -y = -1, temos: 1 - y = -1

y = 2 Logo, P(1, 2) é o ponto de intersecção das rectas r e s.

Graficamente, temos:



Posições relativas entre retas Paralelismo

Duas retas, r e s, distintas e não-verticais, são paralelas se, e somente se, tiverem

coeficientes angulares iguais.

Retas Concorrência

Dadas as retas r : a1x +b1y + c1 = 0 e s: a2x + b2y + c2 = 0, elas serão concorrentes se tiverem coeficientes

angulares diferentes:

Como exemplo, vamos ver se as retas r : 3x - 2y + 1 = 0 e s: 6x + 4y + 3 = 0 são concorrentes:

Perpendicularismo Se r e s são duas retas não-verticais, então r é perpendicular a s se, e somente se, o produto de seus

coeficientes angulares for igual a -1. Lê-se . Acompanhe o desenho:



Ângulo entre duas rectas

Sendo r e s duas rectas não verticais e não perpendiculares entre si, pelo teorema do

ângulo externo , temos:

Dependendo da posição das duas rectas no plano, o ângulo pode ser agudo ou obtuso. Logo:

Essa relação nos fornece o ângulo agudo entre r e s, pois . O ângulo obtuso será o

suplemento de .

Distância entre ponto e recta Dados um ponto P(x1, y1) e uma recta r :ax + by + c = 0, a distância entre eles (dpr )é dada

por:



Vamos calcular a distância, por exemplo, do ponto P(-1,2) à recta r : x - 2y + 1 = 0.

Temos P(-1, 2) = P(x1, y1), a = 1, b= - 2 e c=1. Assim:

Bissectrizes Dadas as rectas concorrentes r : a1x + b1y + c1 = 0 e s: a2x + b2y + c2 = 0, que se

interceptam em um ponto Q, se P(x, y) é um ponto qualquer de uma das bissectrizes, P Q,então P é equidistante de r e s:

Considerando o sinal positivo, obtemos uma bissectriz; considerando o sinal negativo, obtemos a outra.

Vejamos um exemplo: Se r : 3x + 2y - 7 = 0 e s: 2x - 3y + 1 = 0, então suas bissectrizes são:

coeficiente angular de uma reta

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