os desafios da escola pÚblica paranaense … · angular, coeficiente linear e raiz da função....

Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO – SUED

DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS – DPPE

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

JOSÉ APARECIDO BORTOLATO

PRODUÇÃO DE UNIDADE DIDÁTICA- PEDAGÓGICA

O ENSINO DA FUNÇÃO POLINOMINAL DE 1º GRAU ATRAVÉS DA

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E ANÁLISE DE GRÁFICO

CASCAVEL

2013

JOSÉ APARECIDO BORTOLATO

PRODUÇÃO DE UNIDADE DIDÁTICA- PEDAGÓGICA

O ENSINO DA FUNÇÃO POLINOMINAL DE 1º GRAU ATRAVÉS DA

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E ANÁLISE DE GRÁFICO

Projeto apresentado à Coordenação do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE da Secretaria de Estado da Educação do Paraná, em convênio com a Universidade Estadual do Oeste do Paraná – UNIOESTE, campus Cascavel, como requisito para o desenvolvimento das propostas para o período de 2013/2014. Sob a orientação do Professor Paulo Domingos Conejo.

CASCAVEL

2013

1 - DADOS DE IDENTIFICAÇÃO

Professor Pde: José Aparecido Bortolato

Área/disciplina: Matemática

Escola de implementação: Colégio Estadual Eleodoro Elbano Pereira.

Público Alvo: Alunos do 9º. ano do Ensino Fundamental.

Turma: 9º. “A” e “B”.

Instituição: Colégio Estadual Eleodoro Elbano Pereira.

Nre: Cascavel

Município: Cascavel – PR

1.2 - TEMA DE ESTUDO DO PROFESSOR PDE:

Análise de gráficos de função polinomial do 1º Grau, através do coeficiente

angular, coeficiente linear e raiz da função.

1.3 - TITULO:

O ensino da função polinomial de 1º Grau para alunos do nono ano do ensino

fundamental, através da análise de gráficos na resolução de problemas

desfragmentados.

2 - INTRODUÇÃO

As dificuldades de aprendizagem e análise do conteúdo em

matemática estão presentes em todos os níveis e modalidades de ensino.

Estes limites resultam de inúmeras variantes que envolvem desde a formação

de docentes, a falta de estrutura e de materiais didáticos adequados, a

descontextualização do ensino com a realidade do educando, a falta de

metodologias e de avaliações adequadas, os desencontros entre aquilo que é

proposto em currículos e programas educacionais com o ensino que se efetiva

(ou não) na prática, entre outros. Quando se trata dos alunos do ensino

médio, seja do ensino regular ou da EJA, os problemas são agravados pela

falta de domínio dos conteúdos do ensino fundamental, os quais se configuram

como pré-requisitos para a apropriação dos demais conteúdos.

Assim, conforme apontam as Diretrizes Curriculares da Educação

Básica do Paraná – Matemática:

A aprendizagem da Matemática consiste em criar

estratégias que possibilitam ao aluno atribuir sentido e

construir significado às ideias matemáticas de modo a

tornar-se capaz de estabelecer relações, justificar,

analisar, discutir e criar. Desse modo, supera o ensino

baseado apenas em desenvolver habilidades, como

calcular e resolver problemas ou fixar conceitos pela

memorização ou listas de exercícios. (PARANÁ, 2008, p.

45)

Diante disso, este estudo se justifica pela necessidade de proporcionar

aos educandos novos meios de estabelecer relações e conexões com os

conteúdos matemáticos do ensino médio. A proposta é que, por meio da

resolução de problemas, os alunos possam apropriar-se do conteúdo de

Função do 1º Grau e desenvolver uma visão global daquilo que estão

estudando. Em geral, o ensino deste conteúdo é feito em partes separadas,

fragmentadas de tal modo que o aluno encontra muita dificuldade em

compreender o todo. O que se propõe, ao contrário disso, é partir do todo para

a compreensão de cada uma das partes, de maneira que o aluno possa inferir

sobre os problemas propostos e entender como resolvê-los.

Segundo Saviani (1991, p.103) "Uma instituição cujo papel consiste na

socialização do saber elaborado, e não o saber espontâneo, do saber

sistematizado, e não do saber fragmentado, da cultura erudita, não da cultura

popular."

Demonstra que na escola os conteúdos não devem ser: de senso

comum, mais sim cientifico, em que os mesmos tem um ordem de começo,

meio e fim, relacionados, integralizado e sistematizado. No ensino da

matemática é importante compreender a aula como prática educativa, na qual o

ensinar não é explicar, o aprender não é escutar e o conhecimento não se

encontra apenas naquilo que é expresso nos livros didáticos. Assim, a

qualidade do ensino está em promover a aprendizagem do aluno e,

principalmente, oportunizar lhe o desenvolvimento de sua criticidade e de sua

autonomia diante da realidade social.

Portanto, faz-se necessário avançar no sentido de proporcionar aos

educandos uma educação que lhe permita interagir com autonomia,

criatividade, criticidade e responsabilidade na sociedade.

Estas mudanças também são sentidas na matemática o que nos leva a

questionar como a utilização dos conceitos tem alterado a utilização do espaço

do entendimento e análise de conteúdo, e como estes conceitos e técnicas tem

interferido no modo de vida das pessoas diretamente ligadas a escola e a

produção.

Para tanto, é fundamental que os conhecimentos tenham relação com

a realidade socioeconômica e cultural do aluno, que sejam contextualizados,

que sejam relevantes, que tenham significância e sentido.

É preciso considerar que muitos são os limites no ensino da matemática.

Assim vale questionar: como o aluno irá interpretar e analisar a função do

1º grau, a partir do gráfico na resolução de problemas fragmentados?

como a resolução de problemas pode facilitar a aprendizagem do

conteúdo de funções de 1º Grau para os alunos? De que maneira

podemos partir da visualização do todo para compreender as partes de

um problema? Como estabelecer relações entre os conhecimentos

científicos e as informações que os alunos trazem?

Na busca de responder a estes e a outros questionamentos que possam

surgir durante este estudo, busca-se intervir na proposta de ensino da

matemática no Colégio Estadual Eleodoro Elbano Pereira, de modo a auxiliar

educandos e professores da instituição no ensino e aprendizagem dos

conteúdos de funções de 1º Grau.

Possibilitando a resolução de situações problemas, com análise de gráficos

de funções de 1º Grau, a partir de um resolução de um problema

desframentado (ver o conteúdo com maior dados possível, o seja o todo), pode

contribuir para a apropriação dos conteúdos, com isto possibilitando a diminuir

as dificuldades de aprendizagem dos conteúdos de funções, na medida em que

os problemas contextualização a realidade socioeconômica cultural.

O aluno estabelecer relações entre os conteúdos científicos e os saberes

populares para a resolução de problemas matemáticos que envolvam funções

do 1º Grau.

Segundo Moran (1991) “Não se deve falar do conteúdo há

sua importância para o futuro, mais um desafio do

presente.”

Para tanto, faz-se necessário compreender que a sociedade atual,

como meio de expandir o capital, provoca o acirramento da competitividade e

das relações de exploração e de exclusão social. Para a massa de excluídos

do processo produtivo a educação se configura como um meio (senão o único)

de adquirir conhecimentos que possibilitem sua interação social e o ingresso no

mundo do trabalho como fonte de renda para suprir as necessidades materiais

de sua existência.

O ensino da matemática é bastante desafiador e muitos são os limites

e várias são as dificuldades. Os diferentes níveis dos educandos, a falta de

cursos de formação continuada para professores, a falta de estrutura didático-

pedagógica de muitas escolas, a falta de condições estruturais para que o

aluno ingresse e tenha condições de permanência e de êxito, entre outros,

refletem limites que constantemente precisam ser transpostos por educandos e

educadores.

Segundo Pontes (1994):

Para os alunos, a principal razão do insucesso na disciplina de Matemática resulta desta ser extremamente difícil de compreender. No seu entender, os professores não a explicam muito bem nem a tornam fácil. Assim os alunos não percebem para que ela servi, nem porque são obrigados a estudá-la. Alguns alunos interiorizam mesmo desde cedo uma autoimagem de incapacidade em relação à disciplina. Dum modo geral, culpam-se a si próprios, aos professores, ou às características específicas da Matemática (PONTES, 1994, p. 2).

Neste sentido, é imprescindível que os educadores desenvolvam um

ensino matemático contextualizado e com significância para os alunos. Mesmo

que a intenção não seja fazer alusão ao pragmatismo, ninguém aprende por

aprender. De nada adianta um conhecimento que não se configura na

transformação do sujeito e da sociedade que ele interage. A aprendizagem

deve ser dinâmica e estimular a curiosidade e o consequente interesse na

busca de soluções de problemas, de reflexão, de levantamento de hipóteses e

da criação de novas possibilidades para a sua intervenção no mundo.

Mas que a aprendizagem se efetive no ensino da matemática a relação

professor-aluno e o diálogo entre ambos é fundamental. Assim, para Freire

(2005):

[...], o diálogo é uma exigência existencial. E, se ele é o

encontro em que se solidarizam o refletir e o agir de seus

sujeitos endereçados ao mundo a ser transformado e

humanizado, não pode reduzir-se a um ato de depositar

ideias de um sujeito no outro, nem tampouco tornar-se

simples troca de ideias a serem consumidas pelos

mutantes. (FREIRE, 2005, p. 91)

Desta forma, quanto mais o professor exercita a relação dialógica com

o aluno, maiores serão as possibilidades para que a aprendizagem se

desenvolva e que os limites sejam transpostos. O diálogo permite que o

professor possa criar estratégias de ensino que apresentem os conteúdos

matemáticos contextualizados com a realidade dos educandos, para que

tenham sentido e significância, mas para que, principalmente, tenham relações

com outras áreas de conhecimento.

No ensino da matemática, a resolução de problemas começou a

ganhar ênfase mundial no final da década de 1970. Em 1980, foi editada nos

Estados Unidos da América a “Agenda para Ação”, na qual buscava-se

melhoria para o ensino e a aprendizagem da matemática. A primeira

recomendação dessa agenda é que a resolução de problemas deve ser o foco

principal da matemática escolar e sugere que os educadores matemáticos

dirijam seus esforços para que seus alunos desenvolvam a habilidade em

resolvê-los (TRALDI JÚNIOR, 2002, p. 3).

No caso do Brasil, as discussões sobre a resolução de problemas no

ensino da matemática começaram em 1980, mas ganharam forma a partir da

publicação dos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental e

Médio (PCNEM) em 1998, os quais propunham que:

[...] é importante que a Educação se volte para o

desenvolvimento das capacidades de comunicação, de

resolver problemas, de tomar decisões, de fazer

inferências, de criar, de aperfeiçoar conhecimentos e

valores, de trabalhar cooperativamente. (BRASIL, 1998, p.

40)

Os PCNEM consideram que a aprendizagem da matemática pela via

da resolução de problemas é fundamental, visto que abordam os conceitos, as

ideias, os métodos matemáticos voltados às situações expostas neles, para

que os alunos busquem as soluções, explorando com isso inúmeras

capacidades cognitivas.

Compreender ou traduzir um problema matemático

consiste em transformar a informação que consta nesse

problema em termos matemáticos com os quais o aluno

possa lidar. Portanto, compreender um problema não

significa somente que o aluno possa compreender e

compreenda a linguagem e as expressões por meio das

quais a sua proposição é expressa ou que seja capaz de

reconhecer os conceitos matemáticos a que se faz

referência. (MILAN et al., 2005, p. 28)

A compreensão do problema demanda que este tenha relação com os

conhecimentos prévios do aluno, visto que a resolução deste problema

necessita da interpretação e da interação do aluno com o conhecimento.

Neste sentido, Pires (2002) aponta que na resolução de problemas:

Espera-se que o aluno possa enfrentar o problema

interpretando-o e estruturando a situação em que é

apresentado. Além disso, é preciso que ele não só

encontre respostas para uma questão, mas também e,

principalmente, saiba formular a questão pertinente

quando se encontra diante de uma situação problemática.

[...] A recompensa de um problema resolvido não é

apenas a solução., mas a satisfação do indivíduo em

resolvê-lo por seus próprios meios, é a imagem que ele

pode ter de si mesmo, como alguém capaz de resolver

problemas, de fazer matemática, de aprender. (PIRES,

2002, p. 44)

Pode-se dizer ainda que:

Problema é qualquer situação da nossa vida para a qual

tenhamos que encontrar uma solução. Resolvemos

problemas o tempo todo no nosso dia a dia. Da mesma

forma que procuramos meios para resolver problemas na

nossa vida, assim a resolução de problemas em

matemática é proposta pelo professor para que o aluno

possa expor e investigar novos conceitos. (PRIETO, 2007,

p. 1)

Diante disso, a resolução de problemas parece ser a melhor maneira

para que o aluno possa apropriar-se dos conteúdos sobre Funções do 1º Grau.

Considerando que o aluno irá trabalhar com exercícios desfragmentados,

calculando valores dos coeficientes angulares e lineares, raiz ou zero da

função, função crescente ou decrescente, construção e análise de gráficos.

Por meio da análise, o aluno será levado a compreender o todo

(desfragmentado), depois como fragmentar o todo e, ao fim, voltar para o todo

(desfragmentação).

3 - FUNDAMENTAÇÃO TEORICA DE FUNÇÃO DE 1º. GRAU

3.1- RELAÇÃO R

Sejam os conjuntos sem relaciona como outro conjunto, exemplo:

A={-3,-1,0,2,4} e B={9,1,0,4,16}, temos a relação

A x B= {(-3,9),(-1,1),(0,0),(2,4)(4,16)},

Relação de A em B é qualquer subconjunto de produto cartesiano A x B.

A B

3.2 - DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO:

Dados dois conjuntos não vazios, chama-se função uma relação R entre

todos os elementos de um conjunto, existe único correspondente no outro

conjunto.

O significado de função é intrínseco à matemática, permanecendo o

mesmo para qualquer tipo de função, seja ela do 1° ou do 2° grau, ou uma

função exponencial ou logarítmica.

O estudo das funções é importante, uma vez que elas podem ser

aplicadas em diferentes circunstâncias: nas engenharias, no cálculo estatístico

de animais em extinção, etc.

Exemplo:

Domínio Contradomínio

R1

3.2.1 – FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU OU AFIM:

Chamamos de função polinomial de 1º grau a qualquer função f (x) de

IR em IR, sendo assim, a função polinomial do 1° grau relacionará os valores

numéricos obtidos de expressões algébricas do tipo:

( ) , onde coeficiente angular a e coeficiente linear b são

números reais. , onde a e b são números reais, gráfico é uma reta.

Exemplos de funções polinomiais do 1º grau:

( ) ou

Coeficiente angular a = 6.

Coeficiente linear b = -16, a relação (0, -16), ponto de intersecção da

reta com o eixo das ordenadas.

Note que os valores numéricos mudam conforme o valor de x é alterado,

sendo assim obtemos diversos pares ordenados, constituídos da seguinte

maneira: A Relação (x, f(x)) veja que para cada coordenada x, iremos obter

uma coordenada f(x). Isso auxilia na construção de gráficos das funções.

*

*

*

*

Referência de vídeo

http://www.unifal-mg.edu.br/matematica/?q=video-aula-funcao-

http://www.youtube.com/watch?v=Tzhjd4qic64afim



NOTAÇÃO:

Uma função f de A em B, ou seja, domínio em A e imagem no

contradomínio B, indica-se: ( ), assim, cada

elementos x de A está associado a um único y, imagem de x pela função f, que

se indica f(x) e lê-se f de x.

O conjunto dos números reais IR surge para designar a união do

conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. É

importante lembrar que o conjunto dos números racionais é formado pelos

seguintes conjuntos: Números Naturais e Números Inteiros. Vamos

exemplificar os conjuntos que unidos formam os números reais.

RESUMINDO A DEFINIÇÃO:

( )

3.2.1 – FUNÇÃO LINEAR

Na função linear são dados dois conjuntos A e B não vazios, um relação entre

o A e B, se e somente se para todo elemento de A existe um número único

corresponde B.

( ) , o coeficiente angular a e coeficiente linear b é igual a zero.

3.3 - RAIZ OU ZERO DA FUNÇÃO

Dada a função polinomial de 1º grau, , chama-se raiz ou zero

da função, o valor de x para a , ou seja, o valor de x que anula a

função.

Então, para determinarmos a raiz ou zero da função, fazemos y=0 e

resolvemos a equação.

O ponto (2,0) é a intersecção da reta com o eixo x (eixos das abscissas).

3.4 - CONDIÇÕES DE FUNÇÃO:

O objetivo da função é relacionar para cada valor do domínio um valor para

o contradomínio.

Todos os elementos do conjunto do A, tem um único correspondente no B,

que é a Imagem Im;

( ) ( )

X Y

imagem 1

3.5 - CONDIÇÃO DE NÃO FUNÇÃO:

1. Quando sobram elementos do conjunto A, sem correspondentes;

2. Quando elementos do conjunto A, com mais de uma imagem, no

conjunto B.

imagem 2

3.6 - RECONHECER PELO DIAGRAMA UMA FUNÇÃO

imagem 3

1) Função 2) Função........ 3) Não é função........4) Não é função

3.7 - RECONHECIMENTO DO GRÁFICO

Representa uma função: Pois qualquer reta paralela a y intercepta o gráfico

em só ponto, isto é, todo x tem uma única imagem (IM).

Intercepta a reta no gráfico: Qualquer reta que traçarmos, vai interceptar

dois pontos distintos, no eixo das ordenadas y no do coeficiente linear b, e no

eixo da abscissa x no ponto da raiz da função.

O gráfico de função do 1º. Grau é uma reta.

imagem 4

3.8 - DOMÍNIO D:

É todos dos elementos dos conjuntos de X ou A; é um elemento arbitrário do domínio.

3.8.1 - DETERMINAÇÃO DO DOMÍNIO:

Na prática, é bastante comum indicarmos uma função apenas pela lei que a define, não mencionando, portanto, os dois conjuntos X e Y, domínio e contradomínio, da função.

Neste caso, devemos admitir que:

O Contradomínio é número real IR, e o Domínio é o conjunto formado por todos os Números Reais IR que variável arbitrária x pode assumir, de modo que as operações indicadas em f(x) possam ser efetuadas em Número Real IR.

Exemplos:

1. Seja ( )

, x não pode assumir valores que anulem o denominador,

então devemos ter:

, ou seja, .

Portanto, * +

2. Seja ( )√ , x não pode assumir valores que tornem o radicando 2x + 8 um número negativo, pois não há raiz quadrada real de número negativo. Então:

Logo: * +

3. Seja f(x)= 7x

x pode assumir qualquer valor real (IR), pois 7x é um número real qualquer que seja (x).

Então: D= IR.

3.9 - CONTRADOMINIO Cd:

É todos dos elementos dos conjuntos de (y).

3.10 - IMAGEM Im:

y= f(x), é os elementos do Domínio, que correspondentes aos elementos do Contradomínio, ou seja, é a imagem do Domínio no contradomínio.

Resumo:

X Y

imagem 5

Domínio D = { -3, -1, 0, 2, 4}

Contradomínio Cd = { 9, 1, 0, 4, 16}

Imagem Im = { 9, 1, 0, 4, 16}

3.11 - TIPOS DE FUNÇÕES

3.11.1 - FUNÇÃO SOBREJETORA

Dada uma função ( ), ela será sobrejetora se

o conjunto de imagem for igual ao contradomínio, ou seja não sobram elemento

em y.

( ) ( )

3.11.2 - FUNÇÃO INJETORA

Dada uma função ( ), ela será injetora

quando dois elementos quaisquer distintos no domínio, tiverem imagens Im

distintas no contradomínio Cd.

Cada elemento do Contradomínio só recebe um correspondente no Domínio.

( ) ( )

3.11.3 - FUNÇÃO BIJETORA

Dada uma função ( ), ela será bijetora

quando for ao mesmo tempo sobrejetora e injetora.

Não sobram elementos em Contradomínio é sobrejetora, e é injetora quando

cada elemento do Contradomínio só corresponde a um elemento do Domínio.

3.12 - FUNÇÃO CRESCENTE, ou DECRESCENTE

Segunda Danielle de Miranda Graduada em Matemática - Equipe Brasil

Escola, “Toda função pode ser representada graficamente, e a função do 1º

grau é formada por uma reta, essa reta pode ser crescente ou decrescente,

dependendo do sinal do Coeficiente Angular a”.

3.12.1 - FUNÇÃO CRESCENTE

Quando Coeficiente Angular a é positivo, ou seja, a > 0, exemplo:

f(x) = 2x – 1, ou y = 2x - 1, onde a = 2 e b = - 1.

Conforme o valor de (x) aumenta o valor de y também aumenta, então

dizemos que quando a função é crescente.

Com os valores do domínio e do contradomínio formamos as

coordenadas, que são pares ordenados que colocamos no plano cartesiano

para formar a reta. Veja: No eixo vertical colocamos os valores do

contradomínio, e no eixo horizontal colocamos os valores do Domínio.

imagem 6

3.12.2 - FUNÇÃO DECRESCENTE

Quando o Coeficiente angular a, é negativo, ou seja, a < 0. Por exemplo:

( )

Conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui, então dizemos que

quando a < 0 a função é decrescente.

imagem 7

3.13 - CARACTERISTICAS DE UM GRÁFICO

• Coeficiente angular a, a > 0 o gráfico será crescente.

• Coeficiente angular a, a < 0 o gráfico será decrescente.

• Coeficiente angular a, a > 0 o ângulo α formado com a reta e com o eixo x

será agudo (menor que 90°).

• Coeficiente angular a, a < 0 o ângulo α formado com reta e com o eixo x será

obtuso (maior que 90º).

• Apenas um ponto corta o eixo domínio, e esse ponto é a raiz ou zero da

função.

• Apenas um ponto corta o eixo contradomínio, esse ponto é o valor de b, que é

coeficiente linear.

3.14 - IDENTIFICAÇÃO DE GRÁFICOS:

Segundo o Estatístico Marco Duarte, um gráfico é uma representação

de dados obtidos nos experimentos na forma de figuras geométricas

(diagramas, desenhos, figuras ou imagens) de modo a fornecer ao leitor uma

interpretação de forma mais rápida e objetiva.

Embora as regras para construção dos gráficos não sejam tão rigorosas

como as de tabelas, a preocupação com a exatidão na sua representação deve

ser iminente. Alguns aspectos as serem considerados na construção de

gráficos:

Tamanho que deve ser adequado com a publicação;

Escala adequada de forma a não desfigurar os dados;

Título logo acima do gráfico;

As escalas devem crescer da esquerda para a direita e de baixo

para cima (setas indicativas são aconselhadas);

A legenda é um elemento do gráfico utilizado para identificação.

Principais elementos: Número, título, fonte, nota e chamada.

Onde tem dois pares ordenados no gráfico, que são os produtos

cartesiano, não eixo do horizontal é chamado abcissa e no eixo vertical é a

ordenada, é a origem do gráfico (0,0), portanto, para que o estudo das funções

do 1° grau, seja realizado com sucesso, compreenda bem a construção de um

gráfico e a manipulação algébrica das incógnitas e dos coeficientes.

imagem 8

3.14.1 - ANÁLISE DE GRÁFICO:

Os conteúdos do curriculum programáticos referentes ao 9º ano do

Ensino Fundamental; e 1º. Ano do ensino médio, incluem os estudos

relacionados à Funções, no conteúdo abordando questões que se relaciona, ou

seja, os a resolução de exercícios utilizando os: coeficientes (angular e linear);

raiz da função; tabelas; gráfico e por fim a análise do gráfico.

São abordadas de forma fragmentada, mas quando chega na colocação

de dados no gráfico e sua análise, volta na forma desfragmentada.

Segundo Marcos Noé – Matemática da Equipe Escola, “a análise exige

mais do aluno, a leitura e análise de gráficos exigem certa habilidade

interpretativa e conclusiva”.

5 - PLANO DE AULA:

Instituição: Colégio Estadual Eleodoro Elbano Pereira – Cascavel – Pr.

Público alvo: Alunos do 9º. ano do Ensino Fundamental.

Total de aulas: 32 aulas.

5.1 - Objetivo:

A formação básica a ser buscada no ensino médio se realizará mais

pelas competências, habilidades e disposições de condutas do que pela

quantidade de informação. Aprender e a pensar, a relacionar o conhecimento

com dados da experiência cotidiana, a dar significado ao aprendido e a captar

o significado do mundo.

Recorrer à compreensão numérica para avaliar propostas de intervenção frente

a problemas da realidade; avaliar, com auxilio de dados apresentados em

distribuição de argumentação consistente, resolver problemas envolvendo

processos de regressão, analisar o comportamento de variável expresso por

meio de uma distribuição estatística como importante recurso para a

construção de argumentação consistente.

E identificar o recurso matemático como importante recurso para a

construção de argumentação; Construir e identificar e interpretar conceitos de

regressão no contexto da atividade cotidiana na empresa, analisar o

comportamento de variável expresso por meio de uma distribuição estatística

como importante recurso para a construção de argumentação consistente.

Analisar o comportamento de variável expressa nos gráficos, ou tabelas,

a adequação de propostas de intervenção na realidade, identificar, interpretar e

produzir registros de informações sobre fatos ou fenômenos de caráter

aleatório, compreender os dados de amostras e utilização de dados para a

comparação quantitativa.

5.2 - Tema de Estudo:

Conceito de Função polinomial do 1º. grau e análise de gráfico.

5.3 - Procedimentos metodológicos:

As atividades de início foram os conceitos será entregue aos

acadêmicos a teorias de função, mais abrangentes; depois em seguida vai ser

exposto os conceitos de: coeficiente angular, coeficiente linear, função

crescente e decrescente, tabela e gráfico, e o desenvolvimento de exercícios e

a conclusão da aula, resolver lista de exercícios, para realizar esta atividade,

para ter um entendimento do conteúdo, o trabalho será realizado

individualmente.

5.4 - Recursos:

Listas de exercícios – Os materiais serão fornecidos em forma de cópias

impressas.

5.6 - METODO:

Exercício de função proposto resolução de problemas desfragmentado

do conceito, (no todo). O exercício iniciará o conceito desfragmetado (o todo,

ou seja, coeficientes e raiz da função), ou seja resolução do exercício com os

pontos principais do gráfico.

5.7 - Avaliação:

Trabalho com lista de exercícios.

5.8 – Cronograma das atividades:

As atividades que serão desenvolvidas na intervenção pelos alunos, o

material pesquisado foi selecionado criteriosamente, este material serão

utilizado para a análise de gráfico de função polinomial de 1º. Grau, este

material possibilita o entendimento e facilita o raciocínio e a compreensão de

análise de gráfico, as atividades serão desfragmentadas para ter um maior

entendimento e sua resolução logica do processo de análise.

O projeto será desenvolvido com alunos do ensino fundamental

regular, na disciplina de Matemática, serão duas turmas do 9º. ano, num total

de 16 encontros (cada turma), de 4 horas/aula semanais cada turma, dando um

total de 32 horas em sala de aula.

No primeiro encontro, será apresentado o projeto aos alunos, de modo

que eles compreendam os objetivos do mesmo.

Também será realizada uma entrevista com os mesmos, para

levantamento dos conhecimentos prévios sobre o tema de estudo, e a

transmissão dos conceitos.

Finalmente farão um trabalho acadêmico, criar exercício com base nos

realizado em sala.

No terceiro encontro, serão trabalhados com mais situações problemas

que envolvam o conteúdo de função do 1º Grau, de modo que os alunos

apliquem os conhecimentos obtidos na aula anterior, ou seja, resolução de

problemas desfragmentados com análise de gráficos.

No quarto encontro, os alunos deverão criar uma situação problema, na

qual eles possam resolver por meio da análise de gráficos.

O último encontro ficará reservado a avaliação do projeto pelos alunos,

de modo que eles apontem limites e possibilidades de aprendizagem dos

conteúdos abordados.

REFERÊNCIAS

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ORLANDO DONIZETE – Apostila Matemática – Ensino Médio – Volume

Único - São Paulo – Sp- Editora IBEP – 2002.

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MILAN, I.; GUERRA, I. C.; PAVOVAN, D. Competência leitora: Matemática.

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PIRES, C. M. C. Capítulo III: As áreas do conhecimento contempladas no

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Acesso em 05 de Maio de 2013.

DANTE, LUIZ R. Matemática – contextos e aplicação – volume único –

Editora Ática – São Paulo – Sp. - 2013

NOBILIONI, GIUSEPPE. Álgebra I – Coleção Objetivo; Editora Sol –São Paulo

– Sp – 2012.

SITE E OUTROS MATERIAS:

http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoPrimeiroGrauExercicios.aspx#a

nchor_ex10

http://www.geometras.com.br/?p=311

http://tudodeconcursosevestibulares.blogspot.com.br/p/funcoes.html

http://tudodeconcursosevestibulares.blogspot.com.br/2012/10/exercicios-

funcao-do-1-grau.html

http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoPrimeiroGrauExercicios.aspx#a

nchor_ex10

NOÉ, MARCOS. Matemática -Analisando Gráficos e Tabelas

Fonte: do site da Equipe Brasil Escola.

http://educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/analisando-graficos-

tabelas.htm

GUIRADO, JOÃO CÉSAR. Lista de exercício sobre funções – Professor do

departamento de matemática – Universidade Estadual de Maringá - UEM

http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoPrimeiroGrauExercicios.aspx#anchor_ex10


http://www.geometras.com.br/?p=311

http://tudodeconcursosevestibulares.blogspot.com.br/p/funcoes.html

http://tudodeconcursosevestibulares.blogspot.com.br/2012/10/exercicios-funcao-do-1-grau.html

http://tudodeconcursosevestibulares.blogspot.com.br/2012/10/exercicios-funcao-do-1-grau.html



AULA - 1

PLANO DE AULA DESCRIÇÃO

Números de aulas: 4 aulas

Turma: 9º. “A” e “B”

Tema: Demonstração do projeto didático, e

Função de 1º. Grau;

Conteúdo programático: Definição dos conceitos de função do

1º. Grau;

Estratégia: Repassar o conceito com exemplos

práticos;

Materiais: Cópias de materiais; videos

Números de aulas:

4 aulas;

Definição de função; Número Real – IR; exemplos de funções

polinomiais do 1º grau; Coeficiente angular (a); Coeficiente linear (b); raiz ou

zero da função; função numérica de variável real; condições de função;

condição de não função; diagrama; gráfico; representa uma função; Não

representa uma função, domínio; determinação do domínio; contradomínio;

imagem; tipos de funções (sobrejetora, injetora, bijetora); função crescente e

decrescente; características de um gráfico; identificação de gráficos; análise de

gráficos.

Assistir vídeos:





AULA – 2




Tema: Função de 1º. Grau;

Conteúdo programático: Trabalhar em forma de exercícios

práticos, os conceito de forma

desfragmento, os coeficientes,

raízes..


práticos;

Materiais: Cópias de materiais;

Números de aulas: 4 aulas;

Exercício:

1) Um motorista de táxi, dados: Cobra R$ 4,50 (de bandeira), e a mais R$ 0,90

(por quilômetro rodado).

Sabendo: O preço a pagar é dado em função do número de quilômetros

rodados. Calcular o preço pago (R$) numa corrida em que se percorreu 22

quilômetros?

A partir dos dados acima a função polinomial de 1º. Grau, ( ) .

Equação: Preço pago corrida = R$/por km / km (Varia) (x) + R$/Bandeira (Fixa) ( )

a) Qual o valor Coeficiente Angular a ?

b) Qual o Coeficiente Linear b ?

c) A função é uma função crescente ou decrescente?te angular é itivo.

d) Qual o valor da Raiz ou Zero da Função ?

e) Quanto pagou (R$) para percorrer 22 km?

f) Qual a tabela ?

Dados X (Km) Y (R$)

Raiz

Coeficiente Linear

Distância percorrida

Distância percorrida(2)

2) Calcule a raiz da função y = 2x – 9, esse é o momento em que a reta da

função intersecta o eixo x.

3) Dada a função f(x) = –6x + 12, determine a raiz dessa função.

(UFES) – O banco Mutreta & Cambalacho cobra uma tarifa para manutenção

de conta (TMC) da seguinte forma: uma taxa de R$ 10,00 mensais e mais uma

taxa de R$ 0,15 por cheque emitido. O banco Dakah Tom Malah cobra de TMC

uma taxa de R$ 20,00 mensais e mais uma taxa de R$ 0,12 por cheque

emitido. O Sr. Zé Doular é correntista dos dois bancos e emite, mensalmente,

20 cheques de cada banco. A soma das TMCs, em reais, pagas mensalmente

por ele aos bancos é:

(A) 10,15 (B) 20,12 (C) 30,27 (D) 35,40 (E) 50,27

4) (VUNESP) – Carlos trabalha como disc-jóquei (dj) e cobra uma taxa fixa de

R$ 100,00, mais R$ 20,00 por hora, para animar uma festa. Daniel, na mesma

função, cobra uma taxa fixa de R$ 55,00, mais R$ 35,00 por hora. O tempo

máximo de duração de uma festa, para que a contratação de Daniel não fique

mais cara que a de Carlos, é:

(A) 6 horas (B) 5 horas (C) 4 horas (D) 3 horas (E) 2 horas

5) (PUC-SP) – Um grupo de amigos “criou” uma nova unidade de medida para

temperaturas: o grau Patota. Estabeleceram, então, uma correspondência

entre as medidas de temperaturas em graus Celsius (°C), já conhecida, e em

graus Patota (°P), mostrada na tabela abaixo:

imagem 9

Lembrando que a água ferve a 100°C, então, na unidade Patota ela ferverá:

a) 96° b) 88° c) 78° d) 64° e) 56°

imagem 10

http://www.geometras.com.br/?attachment_id=312

http://www.geometras.com.br/downloads/geometras00033.pdf

http://www.geometras.com.br/?attachment_id=312

http://www.geometras.com.br/downloads/geometras00033.pdf

AULA – 3






práticos, os conceito de forma

desfragmento, os coeficientes, raízes,

tabelas e gráficos..


práticos;



Exercício:


(por quilômetro rodado). Sabendo: O preço a pagar é dado em função do

número de quilômetros rodados.

Construir e preencher o gráfico, com os valores abaixo?

Dados:

Coeficiente angular a: a = + 9

Coeficiente linear b: b= + 4,5 x = 0

Função crescente

Raiz ou Zero da Função: x = -5 y = 0

Ângulo: 42º. (Angulo da reta do gráfico).

Pagou para percorre 22 km - R$ 24,30 ( O preço a pagar por uma corrida que percorreu 22

quilômetros)

Tabela:

X (Km) Y (R$)

Raiz -5 0

Coeficiente Linear 0 4,5

Distância percorrida 22 24,3

Distância percorrida(2) 23 25,2

Gráfico: .

Y R$ +0,9

R$ ? Função ?

R$ ?24,30

b= ? (Coef. Linear)

4

Pecorrido ? (Raiz) 0 22 Km 23 Km x (km)

imagem 11

2) 20 ratos de laboratório, estão numerados de 1 a 20, foram testados

quanto à reação de uma certa dose de uma droga (estricnina).

Associamos o nº. 1 com um rato se ele reagir positivamente, caso

contrário, será associado ao número zero. Esta associação é uma

relação:

a) R é uma função?

b) Qual o domínio (x) de R?

c) Qual a relação entre o contra-dominio (Y) e o conjunto-imagem (Im)

de R?

3) (UFMG) Sendo a < 0 e b > 0, a única representação gráfica correta para

a função f(x) = ax + b é:

imagem 12

4) (UFPI-PI) A função real de variável real, definida por f(x) = (3 – 2a)x + 2, é

crescente quando:

5).(ENEM - 2011) O saldo de contratações no mercado formal no setor

varejista da região metropolitana de São Paulo registrou alta. Comparando as

contratações deste setor no mês de fevereiro com as de janeiro deste ano,

houve incremento de 4 300 vagas no setor, totalizando 880 605 trabalhadores

com carteira assinada. Disponível em: http://www.folha.uol.com.br. Acesso em:

26 abr. 2010 (adaptado).

Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja sempre o

mesmo nos seis primeiros meses do ano.

Considerando-se que y e x representam, respectivamente, as quantidades de

trabalhadores no setor varejista e os meses, janeiro sendo o primeiro, fevereiro,

o segundo, e assim por diante, a expressão algébrica que relaciona essas

quantidades nesses meses é:

a) y= 4300x b) y= 884905x c) y= 872005+4300x d) y= 876305+4300x

e) y= 880605+4300x

6). (Mackenzie-SP) A função f é definida porf(x) = ax + b. Sabendo-se que f(–1)

= 3 e f(1) = 1, o valor de f(3) é:

a) 0 b) –3 b) 2 c) –1 d) –5

AULA 4






práticos, fazer a análise de gráfico;


práticos;



Exercício:


(por quilômetro rodado).

Sabendo: O preço a pagar é dado em função do número de quilômetros

rodados.

Fazer a análise do exercício?

Dados:

Coeficiente angular a = 0,9

Coeficiente linear b= 4,5 e x= 0 (sempre)

Função crescente

Raiz ou Zero da Função x= -5 e y=0 (sempre)

Angulo 42º. ( Angulo da reta do gráfico ).

Pagou para pecorre 22 km - R$ 24,30 ( O preço a pagar por uma corrida que percorreu 22

quilômetros)

Tabela:

X (Km) Y (R$)

Raiz -5 0

Coeficiente Linear 0 4,5

Distância percorrida 22 24,3

Distância percorrida(2) 23 25,2

Gráfico:

R$ Y

R$ 25,20 Função Crescente

R$ 24,30

b=R$ 4,5 (Coef. Linear)

42º

Percorrido 5 Km (Raiz) 0 22 23 x (km)

imagem 13

2) (UE – PA) Nas feiras de artesanato de Belém do Pará, é comum, no período

natalino, a venda de árvores de natal feitas com raiz de patchouli. Um artesão

paraense resolveu incrementar sua produção investindo R$ 300,00 na compra

de matéria-prima para confeccioná-las ao preço de custo de R$ 10,00 a

unidade. Com a intenção de vender cada árvore ao preço de R$ 25,00, quantas

deverá vender para obter lucro?

3) (Vunesp – SP) Carlos trabalha como DJ e cobra uma taxa fixa de R$ 100,00,

mais R$ 20,00 por hora, para animar uma festa. Daniel, na mesma função,

cobra uma taxa fixa de R$ 55,00, mais R$ 35,00 por hora. Calcule o tempo

máximo de duração de uma festa, para que a contratação de Daniel não fique

mais cara que a de Carlos.

4) Um professor recebe um salário fixo da escola de R$ 640,00. Por razões

financeiras é obrigado a vender um certo produto lucrando R$ 4,00 por unidade

vendida. Esta situação pode ser representada por uma função? Porquê?

a) Se x representa o nº de unidades vendidas e y o montante recebido no

mês, escreva a sentença matemática que exprime a relação R dada.

b) Qual o domínio e o conjunto-imagem de R?

c) Construa o gráfico da relação.

d) Estabeleça considerações crítico-sociais.

5) Um esquilo colhe 50 nozes num período de 5 dias. Sabe-se que a cada dia

colhe 3 nozes a mais que no dia anterior. Quantas nozes colheiu em cada dia?

6) Num torneio de futebol, cada clube precisa jogar 2 vezes com um outro

(turno e returno). Assim, o número p de partidas do campeonato é dado em

função do número n de clubes disputantes. Determine esta função.

7) Após sucessivos aumentos da carne, José resolveu criar coelhos. Verificou

que possuía algumas tábuas e 8 m de tela. Várias alternativas se lhe

apresentaram:

a) Construir uma coelheira em formato retangular aproveitando ima das

paredes;

b) Construí-la sem o aproveitamento da parede;

c) Construí-la em formato circular;

d) Construí-la em formato semicircular aproveitando uma das paredes.

AULA - 5





Conteúdo programático: Trabalhar em forma de resolução de

exercícios práticos, fazer a análise de

gráfico;


práticos;



Exercício:

1) Uma pessoa vai escolher um plano de saúde entre duas opções: A e B.

Condições dos planos:

Plano A: cobra um valor fixo mensal (Coeficiente Linear) de R$ 140,00 e

(coeficiente Angular) R$ 20,00 por consulta num certo período.

Plano B: cobra um valor fixo mensal de R$ 110,00 e (Coeficiente angular) R$

25,00 por consulta num certo período.

Temos que o gasto total de cada plano é dado em função do número de

consultas x dentro do período pré – estabelecido. Vamos determinar:

a) Função correspondente a cada plano.

Planos = R$ / por consulta + R$ / fixo mensal

Plano A: f(x) = 20x + 140

Plano B: g(x)= 25x + 110

b) Em qual situação o plano A é mais econômico; o plano B é mais econômico;

os dois se equivalem.

1º) Para que o Plano A seja mais econômico: g(x) > f(x) (utilizar números de consultas)

2º) Para que o Plano B seja mais econômico: (utilizar números de consultas)

3º) Para que o Plano A e o Plano B sejam equivalentes:

(Os dois planos serão iguais quando for igual a números de consulta)

c) O plano mais econômico será:

Plano A ? (Quando o número de consultas for maior que)

Plano B? (Quando número de consultas for menor que)

Quandos os dois planos serão equivalentes ? (ao número de consultas for igual a).

d) Gráfico: (construa o gráfico)

2). Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes:

1.000 a parte fixa, e uma parte variável, que corresponde a uma com comissão

de 18% do total de vendas que ele fez durante o mês.

3)(Fuvest – SP) Determine a função que representa o valor a ser pago após um

desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria.

AULA 6







gráfico;


práticos de situação real;



Exercício:

1) Na produção de peças, uma fábrica tem um custo fixo de R$ 16,00 mais um

custo variável de R$ 1,50 por unidade produzida. Sendo x o número de peças

unitárias produzidas, determine:

a) A lei da função que fornece o custo da produção de x peças;

f(X) = R$/Custo variável + R$/Custo fixo ( )

b) Calcule o custo de produção de 400 (X) peças será (R$) ?

( ) f(400) = ?

Construir um gráfico: com coeficientes e raízes?

2) (PUC – SP) Às 8 horas de certo dia, um tanque, cuja capacidade é de 2 000

litros, estava cheio de água; entretanto, um furo na base desse tanque fez com

que a água por ele escoasse a uma vazão constante. Sabendo que às 14

horas desse mesmo dia o tanque estava com apenas 1 760 litros, determine

após quanto tempo o tanque atingiu a metade da sua capacidade total.

Da água que estava no tanque, 240 litros vazaram em 6 horas, que perfaz um

total de 40 litros por hora. Como a vazão é constante, podemos construir a

seguinte função: ( )

Para determinarmos o tempo que levou para o tanque atingir a metade da

capacidade, basta fazermos f(x) = 1000. Então:

AULA 7







gráfico;





Exercício:

1) No consumo de água de uma residência, existe consumo mínimo.

R$ Y

R$ ?

R$ 46

R$ 38

R$ 20

- 1,11 0 22 L. 23 L. 24 L. X Consumo / Litros

imagem 14

Responda e Analise:

1. Coeficiente Angular / pertence ao eixo:

2. Coeficiente Linear / pertence ao eixo:

3. Função crescente o decrescente:

4. Formula de função:

5. Raiz ou zero:

6. Taxa mínima de consumo:

7. Preço pago com consumo de 24 litros ?

8. Valor do ângulo do gráfico:

9. O número 7, é raiz da equação x + 5 = 2 ?

10. A produção de ferro numa mina, um operário ganha R$ 100,00 +

produção.

(Salário/ R$) Y

R$ 106

R$ 103

R$ 100

- 33 0 1 Ton. ? X (Produção / Ton.)

imagem 15

Responda e Analise:

1. Coeficiente Angular / pertence ao eixo:

2. Coeficiente Linear / pertence ao eixo:

3. Função crescente o decrescente:

4. Formula de função:

5. Qual o valor do ângulo do gráfico:

6. Raiz ou zero e qual o eixo:

7. Salário:

8. Quantas toneladas o funcionário precisa produzir para receber R$

106,00 ?

2) Qual é a raiz da equação 7x - 2 = - 4x + 5?

3) U = { -5, 0, 3 } é o conjunto universo da equação 6x + 18 = 0. Qual é o

conjunto solução desta equação?





AULA 8







gráfico;





Exercício:

1) Num cartão de credito quanto mais se gasta em compras, menos se

paga em anuidade do cartão, podendo até zerar a anuidade, sabendo se

não usar o cartão pagará a taxa de manutenção.

(Anuidade) - R$ Y

R$ 100

R$ 80

R$ 60

0 R$ 10 R$ 20 R$ 30 X (Gasto em milhares / R$)

imagem 16

Responda e Analise:

a. Coeficiente angular /pertence a que eixo:

b. Coeficiente linear / pertence a que eixo:

c. Formula:

d. Qual o valor do ângulo do gráfico:

e. Raiz da função / pertence a que eixo:

f. Função Crescente ou decrescente:

g. Quanto de compra para não pagar a anuidade:

h. Qual a anuidade, se não gastar nada:

2) A soma da minha idade, com a idade de meu irmão que é 7 anos mais

velho que eu dá 37 anos. Quantos anos eu tenho de idade?

3) Qual é o conjunto solução da equação 4x - 8 = 10?

4) Dada a função f(x)= ax+2, determinar o valor de a para que se tenha

f(4)=22

5) Na companhia aérea Tama, quem nunca viajou com a empresa, pagará

numa passagem aérea para São Paulo o valor de R$ 1.000,00, quanto

mais viagem menor o preço da passagem, é um incentivo da

companhia.

(Anuidade)- R$ Y

R$ 1000

R$ 950

R$ 900

0 1 ? 200 X (Viagem / Qtidade)

imagem 17

Responda e Analise:

a. Coeficiente angular /pertence a que eixo:

b. Coeficiente linear / pertence a que eixo:

c. Formula:

d. Qual o valor do ângulo:

e. Raiz da função / pertence a que eixo:

f. Função Crescente ou decrescente:

g. Quantas viagem precisa para não pagar o viagem para São Paulo ?

h. Quantas viagem precisa para pagar R$ 950,00 ?


6 ) Se eu adicionar 8 à quantidade de carrinhos que possuo, ficarei com a

mesma quantidade de carrinhos de meu irmão, se dos 28 que ele possui, for

retirada a quantidade que eu possuo. Quantos carrinhos eu tenho?

7) Comprei 7,5kg de um produto e recebi um troco de R$ 1,25. Caso eu tivesse

comprado 6kg, o troco teria sido de R$ 5,00. Quanto dei em dinheiro para

pagar a mercadoria?

8) Dada a função do 1° grau F(x) = (1-5x) Determine: A. F(0) B. F(-1) C. F(1/5) D. F(-1/5)? 9) Considere a função do 1º grau F(x)=-3x+2. Determine os valores de x para que se tenha:

10) Coloca no Gráfico e identificar o valor do: Coeficiente angular, coeficiente

linear, raiz da função, função crescente ou decrescente:

a) f(X)= - 2 x + 10

b) f(X)= - 5 x + 20

c) f(X)= + 10 x + 1000

d) f(X)= + 35 x + 60

e) f(X)= + 4 x - 20

f) y(X)= + 6 x

g) y(X)= - 8 x

Construa e preencha o gráfico com as funções acima

: Y

0 x

Fonte: do site da Equipe Brasil Escola. Imagem18

11) Um foguete para sair da atmosfera precisa de uma velocidade final de 1800

Km/horas, sabendo que vai de zero à 100 km/h em 1 segundo.

f(x) = 100 x; tempo (x), velocidade (y)







a) Quantos segundo leva para alcançar está velocidade?

b) Coeficiente angular e linear?

c) Raiz da função

d) Tabela?

e) Gráfico?

f) Qual tipo de função?

os desafios da escola pÚblica paranaense … · angular, coeficiente linear e raiz da função....

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