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CONTROLE PREDITIVO APLICADO A UM ROBÔ OMNIDIRECIONAL UTILIZANDO O PREDITOR DE SMITH

FILTRADO

PEDRO X. ALCANTARA , HUMBERTO X. ARAÚJO, TITO L. M. SANTOS

Programa de Pós Graduação em Engenharia Elétrica, Universidade Federal da Bahia

Rua Aristides Novis, n. 02 – Federação, Salvador, Bahia

E-mails: [email protected], [email protected], [email protected]

Abstract This paper deals with the application of a synthesis methodology based on Model Predictive Control (MPC), associ-ated to Smith Predictor, applied to a three-wheeled omnidirectional mobile robot for trajectory tracking. The approach makes use of an objective function for finite horizon and is based on Linear Matrix Inequality (LMI) framework. The actuator constraints can also be taken in account by this controller. The stability of the closed loop system is performed by means of restrictions asso-ciated with non-increasing monotonicity of the objective function. The Filtered Smith predictor approach is used in order to compensate time delay and to attenuate high frequency measurement noise. A simulation study is presented in order to evaluate the proposed strategy with respect to the advantages associated to high frequency noise attenuation.

Keywords Smith Predictor, Model Predictive Control (MPC), Omnidirectional Robot, Trajectory Control, Closed-loop Stabil-ity, Actuator Constraints, Linear Matrix Inequalities (LMIs).

Resumo Este trabalho apresenta uma aplicação da estratégia de Controle Preditivo baseado em Modelo (MPC) juntamente com o Preditor de Smith no controle de trajetória de um robô móvel omnidirecional de três rodas. O MPC com horizonte de pre-visão finito é desenvolvido no contexto das desigualdades matriciais lineares (LMIs), e pode tratar de restrições associadas ao si-nal de controle e sua variação. A garantia de estabilidade do sistema em malha fechada é realizada por meio de restrições relacio-nadas com a monotonicidade não crescente da função objetivo. O Preditor de Smith filtrado é utilizado no tratamento do tempo de atraso do sistema e na atenuação de ruídos de alta frequência. São realizadas simulações para avaliar as vantagens associadas à técnica proposta no que diz respeito à atenuação de ruído de altas frequências.

Palavras-chave Preditor de Smith, Controle Preditivo Baseado em Modelo (MPC), Robô Omnidirecional, Controle de Traje-tória, Estabilidade, Restrições, Desigualdades Matriciais Lineares (LMIs).

1 Introdução

A robótica vem se tornado uma alternativa cada vez mais viável para as mais diversas utilizações e aplicações. Os robôs omnidirecionais (Conceição et

al., 2011) têm se destacado entre os robôs móveis, pelo fato de poderem se mover em qualquer direção, sem a necessidade de reorientação. Essa classe de robôs possui grande poder de manobra e são muito difundidos para aplicações em ambientes dinâmicos. Essas características os colocam em vantagem, por exemplo, em relação aos robôs nas configurações Ackerman e diferencial (Li e Zell, 2007).

As técnicas MPC têm comprovado bom desem-penho em aplicações práticas, uma vez que são capa-zes de lidar com não linearidades, restrições do sinal de controle e sistemas multivariáveis, características presentes na robótica móvel. Exemplos de MPC em robótica móvel são (Maurovic et al., 2011), (Oliveira e Carvalho, 2003), dentre outros.

A abordagem MPC utilizando-se as desigualdades matriciais lineares (LMIs) foi primeiramente apresen-tada em (Kothare et al., 1996), para horizonte de pre-visão infinito. Desde então, trabalhos utilizando LMIs vêm aumentando em número e relevância (Casavola et al., 2003), (Mao, 2003). Uma das vantagens do uso das LMIs é que os problemas de otimização baseados nessas desigualdades podem ser resolvidos em tempo polinomial, com convergência global garantida, per-mitindo assim seu uso em tempo real. Outras vanta-gens das LMIs podem ser encontradas em (Kothare et

al., 1996 ) e (Boyd et al.,1994).

Sabe-se que estratégias de controle preditivo po-dem lidar com o problema do atraso de maneira natu-ral. No entanto, a predição ótima, inerente às estraté-gias MPC convencionais, tem algumas limitações no que diz respeito à especificação de requisitos de ma-lhas a exemplo da robustez (Normey-Rico e Cama-cho, 2007). No contexto da robótica móvel, esta limi-tação já foi demonstrada formalmente e experimen-talmente para o caso sem restrições (Normey-Rico et

al., 1999), ao se comparar a predição ótima com o preditor de Smith filtrado (Normey-Rico e Camacho, 2007). Além do exposto, demonstrou-se num trabalho recente, que as vantagens associadas à utilização do preditor de Smith filtrado (PSF) são diretamente ex-tensíveis a estratégias MPC com restrições (Santos e Normey-Rico, 2012).

A despeito das vantagens do PSF no que diz res-peito à melhoria do comportamento robusto, esta estratégia de compensação de atraso pode ser utilizada para atenuar ruídos de altas frequências, o que tem sido pouco utilizado em trabalhos recentes. A depen-der dos sensores utilizados para obtenção da velocida-de e da posição, pode-se observar uma degradação significativa na relação sinal/ruído em robótica móvel.

Neste artigo, a estratégia de controle MPC associ-ada ao preditor de Smith filtrado é proposta como solução do problema de atraso de tempo e ruídos de medição em um robô omnidirecional. Esta técnica MPC é formulada com as desigualdades matriciais lineares (LMIs), e tem estabilidade garantida via mo-notonicidade não crescente da função objetivo (Sco-kaert e Clarke, 1994), (Zheng e Morari, 1993) e (Oli-veira et al., 2000). A lei de controle utilizada é desen-

Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014

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volvida no espaço de estados e minimiza uma função objetivo de horizonte finito, sujeita a restrições nos sinais de entrada. Diferentemente do que foi apresen-tado em (Normey-Rico et al., 1999), que utilizou o preditor de Smith para melhorar a robustez, utilizando um algoritmo MPC sem restrições, pretende-se discu-tir a respeito das potencialidades do PSF num algo-ritmo MPC com restrições com vistas a reduzir o efeito indesejado do ruído de medição.

Na Seção 2, é desenvolvida a modelagem do ro-bô. Na Seção 3, é feita uma introdução sobre a técnica MPC em forma de LMIs. O Preditor de Smith filtrado é analisado na Seção 4. Na Seção 5, são analisados os resultados obtidos nos experimentos. Na Seção 6, são apresentadas as conclusões desse trabalho.

2 Modelagem do robô

O robô estudado é composto de duas peças de fibra de vidro que se encaixam, onde ficam alocados os moto-res de modelo A-max 22 R179, da Maxon Motors, conforme Figura 1. Os motores são fixados às rodas holonômicas do tipo Vex Omni Wheels. Os parâmetros foram levantados através de ensaios práticos (Ribeiro et al., 2011). Nesta seção, o modelo matemático do robô móvel omnidirecional é apresentado.

Figura 1. Robô móvel Figura 2. Sistema de coordenadas

2.1 Modelo Cinemático

Conforme a Figura 2, os vetores de velocidade das rodas e as velocidades do centro de massa do robô satisfazem as seguintes equações (Conceição et al., 2009):

,

cos sen ,

cos sen . (1)

As equações (1) podem ser reescritas como:

0 1 cos sen cos sen , (2)

, com i=1, 2 e 3. (3)

O valor de é π/6 rad. As velocidades do robô podem ser escritas em função das velocidades angula-res dos motores , considerando-se as equações (3), sendo ri, o raio da roda i, e li, a relação de redução do motor i. Assim, obtém-se o seguinte modelo:

! , com

! " 0 00 " 00 0 " e # 0 00 # 00 0 #. (4)

2.2 Modelo Dinâmico

As equações que descrevem o comportamento dinâ-mico do robô da Figura 1 são apresentadas em (Con-ceição et al., 2009). Neste trabalho, considera-se um modelo simplificado, levando-se em conta os efeitos dos atritos de Coulomb e viscoso e desprezando-se aqueles do atrito estático. Assim, tendo-se como refe-rencial o robô, o modelo dinâmico é descrito por: $%&'( )%&*( +% ,-./0&*(1 2 3&*(3* , (5)

$%4&'( )%4&*( +%4 ,-./0&*(1 2 3&*(3* , (6)

Γ )6&*( +6 ,-./0&*(1 7 3&*(3* , (7)

com ,-./&8( 9 1, 8 : 0,0, 8 0,1, 8 ; 0,< (8)

e $ =$% $%4 Г? representa o vetor força no corpo do robô e o momento de torque no seu centro de gravida-de. Considera-se que o centro de gravidade é igual ao centro geométrico. 7 é o momento de inércia e 2, a massa do robô. A partir da Figura 2, obtêm-se as se-guintes relações entre as forças no robô e nas rodas, na forma matricial:

$%$%4Γ 0 cos cos 1 sen sen @AAAB C @AAAB. (9)

O comportamento de cada motor pode ser descri-to pelas seguintes equações:

D&*( E 3-E&*(3* !E-E&*( F%&*(, (10)

G&*( #F'-E&*(, (11) sendo E a indutância da armadura do motor, !E, a resistência de armadura e F', a constante da força eletromotriz. Com valor pouco significativo, a indu-tância de armadura E é desprezada neste trabalho.

A força de tração em cada roda, i=1,2,3, é dada por:

A&*( G&*(" , (12)

sendo que G&*( é o torque de rotação. A Tabela 1 mostra os parâmetros geométricos e dinâmicos do motor estimados em (Conceição et al., 2011).

Tabela 1: Parâmetros do modelo Símbolo Descrição Valor

r1; r2; r3 (m) raio das rodas 0,035 l1, l2, l3 relação de redução do motor 19

In (Kg.m2) momento de inércia do robô 0,025 M (Kg) Massa do robô 1,258

Bv (N.s/m) atrito viscoso relativo a v 2 Bvn (N.s/m) atrito viscoso relativo a vn 1,5 Bω (N.s/m) atrito viscoso relativo a ω 0,024

Cv (N) atrito de Coulomb relativo a v 1,2 Cvn (N) atrito de Coulomb relativo a vn 0,8 Cω (N) atrito de Coulomb relativo a ω 0,0035

Ra1, Ra2, Ra3 (Ω)

resistência de armadura 1,66

Kt1, Kt2, Kt3 (V.s/rad)

constante emf 0,0059

L (m) distância das rodas ao centro de massa 0,1


1793

2.3 Representação em espaço de estados

O modelo do robô no espaço de estados apresenta um termo não linear devido ao atrito de Coulomb, ou seja: HI&*( JKH&*( )KD&*( FK,-./0H&*(1, (13) L&*( +KH&*(, (14) com JK MF'!N F , )K M, (15)

M OPPPQ RSTRUVWRR 0 00 XSTXUVWXX 00 0 YSTYUVWYYZ[[

[\, F' @F'R 0 00 F'X 00 0 F'YB (16)

F OPPPPQ)2 0 00 )/2 00 0 )7 Z[[

[[\ , +K 1 0 00 1 00 0 1. (17)

Assumindo-se a presença de um segurador de or-dem zero, obtém-se o seguinte modelo discreto, no espaço de estados: H&] 1( JH&]( )D&]( F,-./&H&]((, (18)

L&]( +H&](. (19) Definindo-se

ΔH&]( H&]( H&] 1(, (20)

ΔD&]( D&]( D&] 1(, (21)

obtém-se o seguinte modelo: ΔH&] 1( JΔH&]( )ΔD&]( F=,-./0H&](1 ,-./0H&] 1(1?, (22)

L&] 1( + ΔH&] 1( L&](. (23)

A não linearidade devido ao atrito de Coulomb em (22) não é levada em consideração no cálculo da lei de controle, mas nas simulações em malha fecha-da.

Sistemas de controle em tempo discreto estão su-jeitos a atrasos de tempo devido ao processamento da lei de controle e ao tempo para comunicação de da-dos. A literatura especializada (Åstrom e Wittenmark, 1996) recomenda que esses atrasos sejam inferiores a 10% do período de amostragem a fim de que sua influência no desempenho do sistema em malha fe-chada possa ser desprezada. Para o sistema de contro-le do robô da Figura 1, o tempo de processamento e de comunicação pode variar entre 40 e 60 ms, o que é significativo face ao período de amostragem aqui utilizado, que é de 50ms.

Assim sendo, se o atraso for inserido na modela-gem, o modelo do robô resultante será mais fidedigno na descrição do seu comportamento dinâmico, resul-tando em uma melhoria de desempenho do sistema de controle. Para obter um modelo no espaço de estados que considere o atraso de um período de amostragem, pode-se realizar a seguinte modificação: _ΔH&] 1(ΔD&]( ` aJ )0 0b _ ΔH&](ΔD&] 1(` a07 b ΔD&](, (24)

L&] 1( =+ 0? _ΔH&] 1(ΔD&]( ` L&](. (25)

3 Controlador MPC

O algoritmo MPC utilizado neste trabalho foi propos-to em (Araújo et al., 2011). Uma condição suficiente para a estabilidade em malha fechada é imposta ao controlador. Esta condição é definida pela imposição de uma monotonicidade não crescente da função obje-tivo a cada iteração. Essa lei de controle também leva em consideração restrições no sinal de controle e em sua variação.

3.1 Função Objetivo

A função objetivo utilizada pela lei de controle, com horizonte finito, é dada por:

c&]( de<Lf&] g|]( "&] g(eijklmn de<oD&] g 1|](eVjpRkq

mn , (26)

sendo rs, o horizonte de previsão, rt, o horizonte de controle, Mm>0 e !m>0, as matrizes de ponderação, <Lf&] g|]( e <oD&] g 1|](, as saídas previstas no instante ] g e os valores ótimos dos incrementos dos sinais de controle no instante ] g 1, respecti-vamente, computados no instante ], e "&] g(, a referência no instante ] g. A lei de controle é obtida por: u-/<vt&w|w(…<vt&wykq|w( c&](. (27)

O sinal de controle é considerado constante nos instantes posteriores a ] rt 1, ou seja, oD&] g|]( 0 para g z rt. Em cada iteração, o vetor u, contendo a sequência ótima dos incrementos do sinal de controle, é calculado, obedecendo ao prin-cípio do horizonte móvel.

Na síntese do controlador, considera-se que o modelo do sistema a ser controlado é definido pelas equações no espaço de estados:

oH&] 1( JoH&]( )oD&](, (28)

L&] 1( +oH&] 1( L&](, (29)

sendo que L&]( e oH&]( são as saídas medidas e as variações dos estados do sistema, respectivamente.

Deste modo, definindo-se os vetores

yf OPPQ Lf&] 1|]<(Lf&] 2|]<(Lf&] rs|]<(Z[[

\ e u oD&]|]<(oD&] 1|]<(oD&] rt 1|]<(, (30)

as saídas previstas podem ser calculadas no horizonte de previsão finito através da seguinte equação (Araújo et al., 2011):

yf Hu Fox&k( y&k(, (31) com H

OPPPQ CSB 0 0 … 0 CSB CSB 0 … 0 CSBCSNB

CSBCSNB CSB … 0 … CSNB … CSNNB Z[

[[\, (32)

$ +J+J+klJ , @777B e m ∑ Jmn . (33)

Assim, a função objetivo apresentada na equação (26) é equivalente a

J&k( &f (TQ&f ( uTRu, (34)


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com Ms 3-. M, M … Mkl , ! 3-.0!, ! … !kq1, (35)

e "&] 1("&] 2("&] rs(. (36)

O vetor r contém os sinais de referência. Assume-se que os estados do sistema estão disponíveis a cada período de amostragem. Neste trabalho, os estados do sistema são as próprias saídas.

3.2 Restrições na Entrada

Neste artigo, as restrições nos atuadores destinam-se a estabelecer os limites inferior e superior do sinal de controle D&] g|]( e de seus incrementos oD&] g|](:

Dj D&] g|]( DEj ,

j ∆D&] g|]( Ej ,

- 1, 2, … , /t; ] z 0; 0 g rt 1, (37)

sendo que /t é igual ao número de entradas da planta, Dj e DEj , os limites inferior e superior do sinal

de controle, na entrada -, no instante de previsão ] g, respectivamente, e j e Ej , os limites infe-

rior e superior da variação do sinal de controle, na entrada i, no instante de previsão ] g, respectiva-mente.

Como

9 D&]|]( ∆D&]|]( D&] 1(D&] 1|]( ∆D&] 1|]( ∆D&]|]( D&] 1( < (38)

as restrições no sinal de controle podem ser manipu-ladas utilizando o complemento de Schur, resultando nas seguintes desigualdades: D D&] 1( &=7q0 0 … 0?( ∆ DE D&] 1(, DR D&] 1( &=7q7q 0 … 0?( ∆ DER D&] 1(, D&¡qpR( D&] 1( &=7q7q 7q … 7q?( ∆ DE&¡qpR( D&] 1(, i 1, 2, … , n£; k z 0. (39)

A notação (M)i significa que apenas a linha i da matriz M é considerada. As restrições nas variações do sinal de controle em (37) podem ser reescritas de forma similar υ¥¦§¨© &I§N (&¦y«.§(∆u υ¥¬¨© ,

i 1, 2, … , n£; k z 0; 0 j N£ 1. (40)

Para a definição da condição de estabilidade, que será apresentada na sequência, exige-se o cálculo do valor ótimo de u°°°°, ou seja, os valores ótimos dos incrementos do sinal de controle calculados na itera-ção posterior, ou seja, computados no instante ] 1.

u°°°° ∆u&k 1|k 1(∆u&k 2|k 1(∆u&k N£|k 1(. (41)

As restrições no sinal de controle também são le-vadas em consideração no instante ] 1. Definindo-se a matriz T T =I 0 0 … 0? ² R§³ §N , (42) de forma análoga às desigualdades apresentadas em (39) e (40), calculadas no instante ], podem ser de-terminadas no instante ] 1:

D &G(∆ D&] 1( &=7q0 0 … 0?( ∆ °°°° DE &G(∆ D&] 1(, DR &G(∆ D&] 1( &=7q7q 0 … 0?( ∆ °°°° DER &G(∆ D&] 1(, D&¡qpR( &G(∆ D&] 1( &=7q7q 7q … 7q?( ∆ °°°° DE&¡qpR( &G(∆ D&] 1(, i 1, 2, … , n£; k z 0. (43)

j &7qkq (&ym.q(∆ °°°° Ej ,

- 1, 2, … , /t; ] z 0; 1 g rt 1. (44)

3.3 Lei de Controle

A minimização da função objetivo é realizada com o auxílio de um limitante superior ´ : 0:

J&k( γ. (45) Considerando-se a equação (34), pode-se reescre-

ver (45) da seguinte forma:

=H¶· Fox&k( y&k( ?TQ=H¶· Fox&k( y&k ? ¶ TR¶ γ. (46)

Utilizando-se o complemento de Schur, é possível reescrever a inequação (50) como: @γ =H¶· Fox&k( y&k( ?TQ ¶ TR¸ I 0¸ ¸ I B z 0. (47)

O símbolo * é utilizado para indicar uma estrutura simétrica. Para determinar a condição de estabilidade, é necessário definir as matrizes:

$° +J+J+klJ, ¹° "&] 2("&] 3("&] rs 1(, (48)

»¼ OPPPQ +) +) 0 … 0 +) +) +) … 0 +)+kl)

+)+kl) +) … 0 … +kl) … +klkq) Z[[

[\. (49)

A matriz »¼ pode ser particionada da seguinte forma: »¼ ½¾° »¿. (50)

A seguir é apresentado o problema MPC com ga-rantia de estabilidade (Pitanga et al., 2012).

Teorema 1: A lei de controle, com garantia de es-tabilidade, considerando-se as restrições no sinal de controle e em seus incrementos, pode ser calculada a partir do seguinte problema de otimização:

u-/∆ ,∆ °°°°,ÀÁ,ÀÂÁ Ã (51)

sujeito a

@γ =H¶· Fox&k( y&k( ?TQ ¶ TR¸ I 0¸ ¸ I B z 0, (52)

OPPQ Ã V ¶ NGN!¸ 7 0¸ ¸ 7

¶ °°°°N!007 Z[[\ z 0, (53)

Å z ´, (54)

´ z Ã , (55)

com Æ ½¾°G¶ »¶ °°°° $°oH&]( L&]( ¹°¿NMsRX, (56)


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Figura 3. Estratégia de controle com compensação de atraso.

acrescido das restrições (39), (40), (43) e (44).

Å é o valor ótimo de ´ calculado no instante ] 1. A cada iteração, duas sequências de variações dos sinais de controle são calculadas, , iniciando do instante ], e °°°°, a partir do instante ] 1. Apenas o primeiro elemento do vetor é aplicado no instan-te ]. Na primeira iteração, a LMI (54) não é usada pelo fato de ainda não existir um valor para Å. A LMI (53) é obtida de forma similar à desigualdade (52), porém calculada no instante k+1, e Ã é o limitante superior associado.

Essa lei de controle que considera os valores óti-mos de ´, calculados no instante anterior, presente e futuro, garante que o limite superior da função objeti-vo seja monotonicamente não crescente, conduzindo à BIBO estabilidade em malha fechada.

A LMI (52) relaciona-se com o limitante superior da função objetivo. A LMI (53) é similar à LMI (52), porém relativa a ΔD°°°°, acrescida do termo ¶ NGN!G¶ , sendo ! uma nova matriz de ponderação, e com ela o esforço de controle associado aos elementos de G· também é otimizado. A agressividade do controlador pode então ser ajustada, dependendo dos valores das matrizes de ponderação Ms , ! e !. As LMIs (54) e (55) garantem estabilidade em malha fechada, através da imposição da monotonicidade não crescente do limitante superior da função objetivo:

Å z ´&¸( z Ã&¸(, Ç] z 0, (57)

e a notação (*) significa o valor ótimo solução do problema (51).

4 Preditor de Smith Filtrado

A compensação de atraso explícita (Normey-Rico e Camacho, 2007) pode ser utilizada como uma ferramenta para aumentar a robustez, atenuar ruído ou alterar a rejeição de perturbação em estratégias de controle preditivo voltadas para sistemas com atraso. Neste tipo de estratégia, o compensador de atraso tem o papel de determinar a predição da saída, antecipando o comportamento futuro devido ao efeito do atraso. Assim, a relação entre o controle atual, D&](, e a saída prevista, H&] 3|](, não apresenta atraso, sendo 3 o atraso nominal em tempo discreto, conforme indicado na Figura 3. A lei que define o

sinal de controle, a partir da saída prevista, é descrita como segue: D&]( È0H&] 3|](1.

(58)

Desta maneira, lei de controle (58) pode ser determi-nada a partir de um modelo sem atraso. Conforme discutido em (Santos e Normey-Rico, 2012), dado um sistema com atraso definido por: H&] 1( JH&]( )D&] 3( É&](,

(59)

a descrição para o sistema composto pelo conjunto processo-preditor, pode ser realizada por: HÊ&] 1( JHÊ&]( )D&]( ÉË&](,

(60)

sendo É&]( e ÉË&]( incertezas aditivas não mensurá-veis e HÊ&]( Ì H&] 3|](. Em sistemas reais, o preditor cumpre uma função importante, na medida em que o efeito das incertezas do modelo, do ruído e o comportamento da rejeição de perturbação dependem da estratégia de compensação de atraso escolhida (Normey-Rico e Camacho, 2007). Neste contexto, o preditor de Smith filtrado tem sido utilizado com sucesso em diversas aplicações práticas, incluindo robótica móvel (Nor-mey-Rico et al., 1999). Para o caso em que todos os estado são mensuráveis, a estrutura de implementação do preditor de Smith pode ser representada conforme Figura 4, sendo &Í( &Í( &Í(ÍÎ$&Í(, &Í( &Í7 J() e $&Í( um filtro estável de ganho estático unitário e Í a variável complexa asso-ciada à Transformada- Ï.

Figura 4. Estrutura unificada do Preditor de Smith Filtrado.

A grande vantagem desta estrutura de compen-sação de atraso está no fato de que o filtro de robus-tez, $&Í(, permite alterar o desempenho da malha sem modificar o comportamento nominal. Da Figura


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4, observa-se que os estados medidos passam direta-mente pelo filtro. Há de se enfatizar que a incerteza aditiva, É&](, pode representar qualquer diferença entre o valor esperado para H&] 1(, dado o modelo nominal, e o valor efetivamente medido. Essa diferen-ça contempla erros de modelagem, ruído e perturba-ções externas. Adicionalmente, foi demonstrado em (Santos e Normey-Rico, 2012) que a incerteza aditiva, que afeta a malha de controle no caso do preditor de Smith filtrado, está relacionada com a incerteza do sistema original, ou seja: ÐÑ &Í( $&Í(Ð&Í(.

(61)

Assim, o efeito do ruído sob H&] 3 1|]( pode ser atenuado, reduzindo o impacto negativo que o mesmo imporia à malha de controle. Portanto, o filtro de robustez representa um grau de liberdade adicional para atender os requisitos de malha, o que não está disponível no caso em que se utiliza a compensação de atraso intrínseca à estratégia MPC. Desta maneira verifica-se que o filtro de robustez pode ser utilizado para atenuar ruídos de medição, pois o comportamento de altas frequências, observado em É&](, pode ser atenuado por meio de um filtro $&Í( passa-baixas. Considerando um filtro de robustez de segunda ordem descrito por:

$&z( Óz&1 a(z a Õ, (62)

observa-se, para diferentes valores da constante Ö, as respostas em frequência indicadas na Figura 5.

Figura 5. Resposta em frequência do filtro de 2ª ordem, para dife-rentes valores de Ö.

Para um filtro de primeira ordem, o comportamento é similar, porém o corte é menos acentuado.

Deve-se ressaltar que há um compromisso na-tural entre a velocidade da resposta de rejeição à per-turbação e a robustez/atenuação de ruído mesmo na presença de restrições (Santos e Normey-Rico, 2012). Ao se elevar o valor de a, aproximando-o de 1, reduz-se o efeito das incertezas e do ruído de alta frequência na malha de controle, contudo, perde-se em desempe-nho em termos da resposta de rejeição à perturbação – problema regulador.

5 Resultados

O robô utilizado nesse trabalho apresenta um signifi-cativo atraso de transporte provocado pelo tempo de processamento e de comunicação, como já menciona-do. Em (Pitanga et al., 2012), o atraso provocado pelo processamento foi tão crítico, que os forçou a utilizar N 1 e N£ 1, para não comprometer de forma considerável o desempenho do controlador. Além disto, ruídos de medição significativos podem ser observados nos experimentos com o robô. Com o objetivo de tratar estes problemas, o atraso de tempo e o ruído de medição, melhorando a robustez do sistema, o controlador MPC com garantia de estabilidade foi utilizado em conjunto com o Predi-tor de Smith Filtrado. Simulações foram realizadas considerando-se um ruído de medição com amplitude aleatória variando de -0,3 a 0,3, e o atraso de um perí-odo de amostragem no modelo do robô.

As matrizes de ponderação utilizadas foram:

Msm 10 0 00 10 00 0 10 × ! Ø 1 0 00 1 00 0 1,

g 1, 2, … , rs × - 1,2, … , rt, (63)

e o valor de Ø foi escolhido 0,01, com N 5 e N£ 3. A velocidade de navegação do robô é 0,6 m/s. O parâmetro Ö do filtro dos preditores foi ajusta-do, com simulações, em 0,9. Os sinais de controle podem assumir valores no intervalo [-6V,6V], com variações limitadas em 1V.

5.1 Rastreamento de trajetória

Para analisar o desempenho do controlador MPC com Preditor de Smith, simulações foram feitas para o rastreamento de uma trajetória quadricular, com lados de um metro de comprimento. As simulações foram realizadas com três configurações distintas. O MPC em conjunto com o Preditor de Smith, o Preditor de Smith Filtrado com filtro de primeira ordem, e o Pre-ditor de Smith Filtrado com filtro de segunda ordem. Todas elas na presença e na ausência de ruído. Para simular o ruído, foi gerado um sinal através do comando rand do MATLAB, e somado à saída realimentada do processo.

Figura 6. Comparação de trajetórias com o Preditor de Smith sem

filtro.


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Figura 7. Comparação de trajetórias com o Preditor de Smith com filtro de primeira ordem.

Figura 8. Comparação de trajetórias com o Preditor de Smith com

filtro de segunda ordem.

Figura 9. Comparação das três trajetórias, com ruído.

A partir das 6 a 9, pode-se observar que, na presença de ruído, o Preditor de Smith Filtrado, com filtro de segunda ordem apresenta um melhor desempenho, sobretudo em relação ao Preditor de Smith. Elas mos-tram ainda que o sistema de controle apresenta um bom desempenho, apesar dos desvios em relação à trajetória desejada.

Nas Figuras 10 a 12, pode-se ver os sinais de controle para as três simulações. Nota-se que as res-trições nos sinais de controle e em suas variações são respeitadas.

Figura 10. Sinais de controle com o Preditor de Smith.

Figura 11. Sinais de controle com o Preditor de Smith com filtro de

primeira ordem.

Figura 12. Sinais de controle com o Preditor de Smith com filtro de segunda ordem.

6 Conclusão

Neste trabalho, foram apresentados resultados de simulação para avaliar a influência do Preditor de Smith e do Preditor de Smith Filtrado no desempenho do controlador MPC com garantia de estabilidade e com restrições. Foram considerados os problemas levantados na implementação e que comprometeram o desempenho do sistema de controle, problemas como atraso de comunicação e processamento e ruídos de medição.

Foram realizadas simulações para atestar a efeito da presença de ruído para o bom desempenho do controlador, considerando-se um atraso de período de amostragem no modele do robô. Além disso, foram levadas em consideração restrições nos sinais de con-trole, satisfazendo-se as limitações de tensão e corren-te dos atuadores. Observou-se que a utilização do Preditor de Smith apresenta um desempenho bastante comprometido pela presença do ruído, problema esse solucionado com a implementação do Preditor de Smith Filtrado. O uso de um filtro passa-baixa de segunda ordem apresentou melhoras significativas e um desempenho bastante satisfatório.

Para trabalhos futuros, sugere-se aplicação da lei de controle proposta no robô estudado, em tempo real.


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Agradecimentos

Os autores agradecem o apoio do CNPq.

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