controle preditivo baseado em modelo - controle preditivo generalizado - (gpc ) curso de...
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Controle Preditivo Baseado em Modelo
- Controle Preditivo Generalizado -(GPC )
Curso de Especialização em Automação IndustrialGrupo de Controle Automação e Robótica
GCAR/UFRGS
Prof. Dr. João Manoel Gomes da Silva Jr.
Vantagens
• Pode tratar sistemas instáveis• Pode tratar sistemas de fase não mínima• Pode utilizar pesos diferentes em cada instante na
função custo maior flexibilidade de sintonia
Característica: utilização de um modelo baseado na respresentação por função de transferência
Modelo
)()()1()()()( 111 tezCtuzBztyzA d
ncnc
nbnb
nana
zczazczC
zbzbzbbzB
zazazazA
22
11
1
22
110
1
22
11
1
1)(
)(
1)(
• Modelo CARMA (controller auto-regressive moving average) função de transferência
e(t): ruído branco de média zerou(t): sinal de controley(t): saída do processo
Modelo
1
111
1
)()()1()()()(
z
tezCtuzzBtyzA d
• Modelo CARIMA
Em geral C(z-1) é escolhido como 1
Critério
2
1 1
2221 )]1()[()]()|(ˆ)[(),,(
N
NJ
N
ju
u
jtujjtwtjtyjNNNJ
Predição
)()(~)(1 111 zFzzAzE jj
j )()(~ 11 zAzA
• Para definir a equação de predição, consideremos primeiramente a seguinte equação diofantina
com
Os polinômios Ej e Fj são determinados de forma única e possuem grau (j-1) e na, respectivamente. Eles podem ser obtidos dividindo-se 1 por até que o resto possa ser fatorado como . O quociente desta divisão será
)(~ 1zA)( 1 zFz j
j
)( 1zE j
Predição
)()()1()()()()()(~
1
1111
jtezEdjtuzBzEjtyzEzA
j
jj
)()()1()()()())(1( 1111 jtezEdjtuzBzEjtyzFz jjjj
• Multiplicando-se a equação diofantina por obtém-se o seguinte:
• Como
)()()1()()()()()( 1111 jtezEdjtuzBzEtyzFjty jjj
)()(~)(1 111 zFzzAzE jj
j
).( 1zEz jj
Predição
)()()1()()|(ˆ 11 tyzFdjtuzGtjty jj
)()()( 111 zBzEzG jj
• Como o grau do polinômio é igual a j-1 os termos de ruído são todos no futuro, logo a melhor predição é dada por :
Onde:
)( 1zE j
Predição
BzfGG
BzfEBEGj
jjj
jjjjj
0,1
0,11 )(
)1(1,
11,0,
1
,1
1,0,1
)(
)(
j
jjjjj
nanajjjj
zezeezE
zfzffzF
• Considerando-se
• Pode-se obter Gj iterativamente da seguinte maneira:
N-Predições à frente
)()1()|(ˆ
)()1()|2(ˆ)()()|1(ˆ
22
11
tFNtuGtNdty
tFtuGtdtytFtuGtdty
Nydnd
ydd
ydd
)1()(G)()(FGuy 1'1 tuztyz
Matrizes
)|(ˆ
)|2(ˆ)|1(ˆ
tNdty
tdtytdty
y
)1(
)1()(
Ntu
tutu
u
021
01
0
000
ggg
ggg
G
NN
NNNNd
d
d
zzgzggzG
zzggzGzgzG
zG
))(
))(())((
)('
)1(1
110
1
2110
12
01
1
1
)(
)(2
)(1
1
1
1
1
)(
zNd
zd
zd
F
FF
zF
Resposta ao salto
Resposta Livre
fGuy
)()(f))(~1(f 1j
11j jdtuzBzAz
)1()(G)()(FGuy 1'1 tuztyz
• Como os dois últimos termos desta equação dependem apenas do passado podemos agrupá-los em f:
f =resposta livre
Com: 0para0)(e)(f0 jjtuty
Critério
TNdtwdtwdtw )]()2()1([w
0TT fubHuu
21 J
w)(fw)(ff
Gw)2(fb
λI)G2(GH
T0
TT
T
uu)wfGu()wfGu( T TJ
Com:
Solução Ótima
f)(wGλI)G(GbHu T1T1
f)K(w)( tu
K=primeira linha da matrix T1T GλI)G(G
• Estratégia de horizonte deslizante:
Esquema Geral
Observações
• Note que a ação de controle é calculada com relação a erros (preditos) futuros e não passados
• Matriz a ser invertida de ordem N (=horizonte de predição)
• EPSAC: Nu=1 limitado com relação a otimalidade.
Exemplo
)()1()()()1( 1
101 tetuzbbtyaz
21111 8.08.11)1)(()(~ zzzzAzA11
11
1 8.08.1)(1)( zzFzE
13
213
12
12
952.1952.244.28.1144.144.28.11
zFzzEzFzE
Sistema de 1a ordem:
com a=0.8, bo=0.4, b1=0.6, N1=1, N=Nu=3
Exemplo
3213
212
11
464.1056.232.14.0
08.132.14.0
6.04.0
zzzG
zzG
zG
)1(952.1)(952.2)1(464.1)1(44.1)(44.2)1(08.1
)1(8.0)(8.1)1(6.0
)1(952.1)(952.2)1(464.1)1(44.1)(44.2)1(08.1
)1(8.0)(8.1)1(6.0)1(44.1)(44.2)1(08.1
)2()1(
)(
4.032.1056.204.032.1004.0
)|3(ˆ)|2(ˆ)|1(ˆ
tytytutytytu
tytytu
tytytutytytu
tytytutytytu
tutu
tu
ttyttytty
f
)1(952.1)(952.2)1(464.1)1(44.1)(44.2)1(08.1
)1(8.0)(8.1)1(6.0
)2()1(
)(
4.032.1056.204.032.1004.0
)|3(ˆ)|2(ˆ)|1(ˆ
tytytutytytu
tytytu
tutu
tu
ttyttytty
Exemplo
1334.0154.0029.0286.0165.0154.0147.0286.0133.0
GλI)G(G T1T
• Considerando: 8.0
Exemplo
)3(147.0)2(286.0)1(133.0)1(805.0)(371.1)1(604.0)(
twtwtwtytytutu
)3(147.0)2(286.0)1(133.0)1(805.0)(371.1)2(604.0)1(396.0)(
twtwtwtytytututu
Considerando uma referência constante:
ou seja, o sinal de controle é função de saídas e controles passados e referências futuras
Exemplo
Exemplo
056.232.1
4.0
100322112
10011
00
bbgagagagbbgag
bg
4.032.1056.204.032.1004.0
G
j
i
j
ikijij kgbgag
1
1
01 0,0com
Cálculo sem passar pela solução da eq. Diofantina usar resposta ao salto
Exemplo
)1(6.0)(4.0)(8.0)1()2(6.0)1(4.0)1(8.0)(
tututytytututyty
)1(6.0)(4.0)1(8.0)(8.1)1( tututytyty
)1(464.1)1(952.1)(952.2)1(8.0)2(8.1)3(
)1(08.1)1(44.1)(44.2)(8.0)1(8.1)2()1(6.0)1(8.0)(8.1)1(
tutytytftftf
tutytytytftftutytytf
A resposta livre pode ser calculada através do modelo considerando que todos os controles futuros são iguais a u(t-1):