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CÉLIA MARQUES DOS SANTOS
ESTATÍSTICA: INTERPRETANDO INFORMAÇÕES
IES: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE LONDRINA – UEL
ORIENTADORA: Profa. Ms. BÁRBARA N. PALHARINI ALVIM SOUSA ROBIM
ÁREA CURRICULAR: MATEMÁTICA
Londrina
2011
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CÉLIA MARQUES DOS SANTOS
ESTATÍSTICA: INTERPRETANDO INFORMAÇÕES
Produção Didática (Unidade Didática) apresentado ao Programa de Desenvolvimento Educacional. Orientadora: Profa. Ms. Bárbara Nivalda Palharini Alvim Sousa Robim
Londrina
2011
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1. DADOS DE IDENTIFICAÇÃO
Professora: Célia Marques dos Santos
Escola: Colégio Estadual Professora Eudice Ravagnani de Oliveira
Cidade: Florestópolis
NRE: Londrina
IES: Universidade Estadual de Londrina
Orientadora: Profa. Ms. Bárbara Nivalda Palharini Alvim Sousa Robim
Disciplina: Matemática
Público objeto da intervenção: Alunos de Matemática de 7ª séries
Ano: 2011
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SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................ 04
2 A MATEMÁTICA E A ESTATÍSTICA ......................................................... 06
2.1 Alguns Conceitos Básicos da Ciência Estatística ..................................... 08
2.1.1 Tabelas .................................................................................................. 08
2.1.2 Gráficos ................................................................................................. 08
2.1.3 Gráfico de barras ................................................................................... 09
2.1.4 Gráfico de setores ................................................................................. 09
3 ESTRATÉGIA DE AÇÃO ............................................................................ 09
3.1 A Resolução de Problemas como Metodologia ........................................ 10
4 AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM ........................................................... 12
5 ATIVIDADES .............................................................................................. 13
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................ 18
7 REFERÊNCIA ............................................................................................. 19
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1 INTRODUÇÃO
A sala de aula é um dos ambientes nos quais os nossos alunos adquirem
conhecimentos, trocam ideias com seus colegas e com o seu professor. A partir
desta interação entre ambos, espera-se que os alunos se apropriem dos conteúdos
com mais facilidade. Na medida em que o professor propor o conteúdo aos alunos, é
importante incentivá-los para que os mesmos superem seus próprios limites e
possam gostar do conteúdo matemático, aumentando sua capacidade de pesquisar
e interpretar dados coletados.
Consideramos necessário que o professor perceba o potencial de seus
alunos, percebendo traumas que estes têm a respeito da Matemática, de séries
anteriores, fazendo com que eles se valorizem e acreditem em si mesmos. Mas,
para isso acontecer é necessário existir planejamento, trabalho individual,
criatividade, interesse e boa vontade.
Em seu dia a dia os alunos estão envolvidos com várias informações
veiculadas por meio de gráficos, tabelas, jornais, revistas, entre outros. Na
Matemática o estudo do tratamento destas informações se dá por meio da
Estatística. Deste modo, um ensino que vise abordar conceitos Matemáticos
(associados à Estatística) pode ser interessante e significativo para os alunos, visto
que este conteúdo faz parte de seu dia a dia.
A Estatística e a Matemática são Ciências que investigam e permitem o
estabelecimento de relações, proporcionando aos alunos atividades desafiadoras,
em que é necessário fazer análises e tirar conclusões sobre essas análises.
Consideramos que ao trabalhar com conteúdos associados à Estatística os
alunos podem adquirir um conhecimento significativo. Neste contexto, é necessário
que lhes sejam oferecidas chances de uma participação ativa na construção de seu
conhecimento, para que os mesmos possam: questionar, argumentar, analisar e
assimilar os conteúdos.
Em relação à Estatística, os PCNs (Parâmetros Curriculares Nacionais),
afirmam que:
Com relação à estatística, a finalidade é fazer com que o aluno venha a construir procedimentos para coletar, organizar, comunicar e
5
interpretar dados, utilizando tabelas, gráficos e representações que aparecem frequentemente no seu dia a dia (BRASIL, 1997: p.56).
Nesse sentido, no trabalho com a Estatística é importante que o aluno
adquira conhecimentos para que ele investigue, leia e interprete gráficos e tabelas.
Visando o estudo de conteúdos associados à Estatística e a aproximação
destes conteúdos com contextos do dia a dia dos alunos, será apresentado, neste
material didático, diversos materiais de pesquisa para recortes de tabelas e gráficos
em revistas e jornais, para que os alunos possam conhecer ocorrências de
acontecimentos em seu universo de possibilidades com cálculos de razão,
proporção e porcentagem, para que recortem e colem em seus cadernos, a fim de
fazerem análises das informações e tecer conclusões. Será solicitado, ainda, que
organizem uma pesquisa, de tema de seu interesse, para que possam colocar e
organizar dados vivenciando os processos de uma pesquisa estatística. Após os
mesmos terem coletados seus dados e organizado sua pesquisa, eles terão que
apresentar estes dados em tabelas e gráficos Estatísticos.
Desse modo, espera-se que os alunos aprendam a coletar dados, organizar
e registrar informações por meio de tabelas e gráficos de modo que interpretem as
informações contidas nestes registros e possam fazer previsões e recolher dados
sobre fatos e fenômenos do dia a dia.
O objetivo principal desta intervenção consiste em colocar os alunos em uma
situação de investigação em que será necessário investigar gráficos e tabelas em
revistas e jornais, internet e fazer pesquisas de opinião para que possam: observar,
manusear e interpretar os conteúdos da Estatística.
Os alunos deverão identificar, interpretar, construir e representar dados
Estatísticos de modo que possam reconhecer a importância da Estatística no mundo
em que vivem.
Neste contexto, consideramos importante que os alunos saibam relacionar o
conteúdo matemático associado à Estatística, com o seu dia a dia.
O material aqui proposto se direciona aos alunos da 7ª série do Ensino
Fundamental, e busca incentivar o interesse pelo conteúdo da Estatística, para que
os alunos possam perceber que este conteúdo está presente em seu dia a dia por
meio de: revistas, jornais, televisão, internet, etc. Acreditamos, ainda, que:
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[...] Aprende-se Matemática não somente por sua beleza ou pela consistência de suas teorias, mas, para que, a partir dela, o homem amplie seu conhecimento e, por conseguinte, contribua para o desenvolvimento da sociedade (PARANÁ 2008, p.48).
2 A MATEMÁTICA E A ESTATÍSTICA
No mundo em que estamos vivendo a circulação de informações é maior a
cada dia que passa. As pesquisas de opinião estão ganhando mais espaço, e neste
contexto, as pessoas devem ser capazes de ler, interpretar gráficos e tabelas, e,
analisar criticamente as informações que recebem.
A Matemática faz parte da história do ser humano desde a Antiguidade, e
sabemos que está em constante transformação, sendo que, resolver problemas da
vida cotidiana é uma necessidade sempre atual.
Assim, a importância da Matemática deve ser explorada da forma mais
ampla possível no Ensino Fundamental e Médio. Dante (2005) descreve que
devemos dar uma boa base Matemática às pessoas, visto que:
Mais do que nunca precisamos de pessoas ativas e participantes, que deverão tomar decisões rápidas e, tanto quanto possível, precisas. Assim, é necessário formar cidadãos, matematicamente alfabetizados, que saibam como resolver, de modo inteligente, seus problemas de comércio, economia, administração, engenharia, medicina, previsão do tempo e outros da vida diária. E, para isso, é preciso que a criança tenha, em seu currículo de Matemática elementar, a resolução de problemas como parte substancial, para que desenvolva desde cedo sua capacidade de enfrentar situações-problema (DANTE, 2005, p.15).
Segundo Dante (2005), para que as pessoas sejam participantes e ativas, é
necessário que o professor se coloque no papel de mediador do conhecimento, e
que seja criativo o suficiente para envolver seus alunos em situações-problema
interessantes fazendo com que os mesmos se entusiasmem no estudo da
Matemática. É preciso, ainda, que o professor ajude-os a buscar melhor
compreensão do mundo em que vivem. Com essas atitudes é possível que os
alunos desenvolvam o raciocínio lógico e o espírito criativo, e posteriormente eles
7
poderão questionar as situações-problema com liberdade de expressão,
desenvolvendo a capacidade de criação e sua independência.
Uma das maneiras de fazer com que os alunos superem suas dificuldades é
associar os conteúdos matemáticos à assuntos do dia a dia de modo que seja
possível relacionar conhecimentos adquiridos com o Tratamento da Informação. O
estudo do Tratamento da Informação pode se constituir um meio para se resolver
situações-problema em que são exigidas a análise, interpretação e exploração de
resultados obtidos em problemas que estão vinculados ao dia a dia. E, neste
contexto, se encontra a Estatística.
Segundo as DCE’s (Diretrizes Curriculares da Educação Básica):
Pode-se dizer que a Estatística iniciou-se no século XVII, em estudos sobre as taxas de mortalidade, os quais serviram aos governos para coletar informações relativas ao número de nascimentos, casamentos e dados sobre migração, entre outras. A Estatística, então, tornou-se um conteúdo matemático importante, ao ter seus conceitos aplicados em vários campos do conhecimento. Entre eles, destacam-se: as Ciências Sociais, a Genética e a Psicologia. Pela necessidade de quantificar os dados coletados nas pesquisas, a aplicabilidade de métodos estatísticos se tornou essencial. Como resultado, novos conceitos como os de correlação e regressão foram introduzidos na Matemática (PARANÁ, 2006, 39; 2008, 60)
A linguagem e as metodologias associadas à Estatística aparecem com
frequência nos meios de comunicação. Para sua compreensão é necessário que os
alunos adquiram conhecimentos relacionados à Matemática. Neste contexto, os
alunos deverão ser capazes de ler e interpretar dados apresentados por meio de
tabelas ou gráficos, fazer a análise das informações neles contidos e, a partir daí,
tomar decisões adequadas as situações estudadas.
Desse modo, cabe aos professores de Matemática proporcionar situações
em que seja necessário o contato com conceitos matemáticos associados a
contextos do dia a dia. Pretende-se com esse trabalho proporcionar situações-
problema em que sejam abordados conceitos matemáticos relacionados à
Estatística, conteúdo que está presente no dia a dia de todos e que requer ligações
e relações com conceitos Matemáticos.
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2.1 Alguns Conceitos Básicos da Ciência Estatística
Abordamos aqui alguns dos conceitos relacionados à Estatística que se
pretende trabalhar por meio desta Unidade Didática.
2.1.1 Tabelas
As tabelas apresentam os dados coletados de forma ordenada, e facilitam a
leitura e a interpretação de um conjunto de dados.
Para a construção de uma tabela alguns elementos essenciais são: título,
linhas e colunas.
É necessário que o professor explore a leitura de tabelas, para que os
alunos sejam capazes de entender as informações nelas contidas, e por meio destas
informações construam gráficos.
2.1.2 Gráficos
Os gráficos são recursos utilizados na Estatística para sintetizar os
resultados de uma pesquisa e tornar a sua apresentação objetiva. Para se construir
um gráfico, é necessário elaborar tabelas com os dados com que se pretende
trabalhar.
O trabalho com gráficos é importante, na Estatística, por que é por meio
deles que exploramos a leitura e as informações associadas às pesquisas. Assim os
alunos podem fazer análises e previsões sobre o tema em estudo.
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2.1.3 Gráfico de barras
O gráfico de barras é utilizado para comparação da variável em estudo e
suas frequências, sendo construído por meio de retângulos paralelos, horizontais ou
verticais, de mesma largura e comprimentos proporcionais às frequências.
O gráfico de barras vertical é também chamado de gráfico de colunas.
2.1.4 Gráfico de setores
O gráfico de setores é bastante utilizado, comumente chamado de pizza. As
informações nele contidas são representadas por meio das partes de um círculo.
O círculo completo corresponde ao total da pesquisa apresentada (100%
dos dados), e cada parte colorida corresponde ao valor de uma variável, uma
dessas partes chama-se setor circular. Neste tipo de gráfico, as informações são
apresentadas, em geral, na forma de porcentagem.
Com relação ao trabalho com gráficos, cabe ao professor escolher o tipo de
gráfico que seja mais compatível com os conteúdos trabalhados e os conhecimentos
prévios dos alunos. Por exemplo, dependendo do ano de estudo em que o professor
trabalha, o gráfico de barras oferece mais possibilidades de representação,
enquanto que o gráfico de setores exigirá alguns cálculos que os alunos talvez não
estejam preparados para efetuar.
3 ESTRATÉGIA DE AÇÃO
O presente trabalho será desenvolvido com alunos da 7ª série do Ensino
Fundamental do Colégio Estadual Professora Eudice Ravagnani de Oliveira –
Ensino de 1° a 2° grau, tendo como objetivo estudar conteúdos associados à
Estatística e proporcionar aos alunos o contato com situações-problema associadas
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ao dia a dia, bem como desenvolver atividades de pesquisa, coleta e organização de
dados.
Para que os objetivos sejam alcançados pretende-se na realização desse
trabalho fazer com que os alunos investiguem e identifiquem gráficos e tabelas
presentes em livros, jornais, revistas e na internet. Neste momento, a fim de explorar
os conteúdos de forma ampla, serão elencados questionamentos e solicitado aos
alunos análises orais e escritas das atividades e investigações exploradas. Neste
contexto, pretende-se explorar, ainda, conteúdos de razão, proporção e
porcentagem que são requeridos no trabalho com tabelas e gráficos.
Visando aproximar os alunos de contextos reais e conduzi-los a um
aprendizado mais efetivo iremos utilizar a metodologia associada à resolução de
problemas.
3.1 A Resolução de Problemas como Metodologia
Para que os alunos utilizem conhecimentos adquiridos em Matemática,
considera-se importante que o professor se comporte como orientador entre o
conhecimento e os alunos, usando diversas práticas metodológicas para a resolução
de problemas, tornando suas aulas atrativas, incentivando os alunos, sendo
orientador de suas ideias e levando-os a participar da construção de seu próprio
conhecimento.
Polya (1978), ao falar sobre a resolução de problemas, especifica que para
se resolver um problema, é necessário seguir alguns passos como:
Compreender o problema;
Estabelecer um plano para solucioná-lo;
Executar o plano;
Examinar a solução obtida.
Os quatro passos estabelecidos por Polya (1978) dizem, de modo geral,
como uma situação-problema pode ser abordada pelos alunos. Para um
entendimento como um todo da abordagem de situações-problema por meio desta
metodologia consultamos Onuchic (2004), já que, assim como Polya (1978), outros
pesquisadores abordam essa metodologia.
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Segundo Onuchic (2004), cabe ao professor ao abordar uma situação-
problema:
Dividir os alunos em grupos para que possam trocar ideias e aprender
com seus colegas. Nesse momento, os alunos devem tentar resolver o
problema com seus conhecimentos prévios;
Atuar como questionador, lançando questões que façam com que os
alunos investiguem e participem ativamente da construção do
conhecimento;
Pedir que alguns grupos escolham um participante para expor os
resultados do problema na lousa;
Promover uma plenária, envolvendo todos os alunos da turma, para que
possam refletir sobre o resultado apresentado e para que todos cheguem
a um consenso sobre a resolução;
Sintetizar o conteúdo trabalhado na situação-problema.
Nesta perspectiva as etapas descritas por Polya (1978) são ampliadas,
estão contidas no passo a passo descrito em Onuchic (2004).
Os documentos oficiais também citam essa metodologia. Segundo os PCNs
para resolver um problema é necessário aos alunos:
elabore um ou vários procedimentos de resolução (como realizar simulações, fazer tentativas, formular hipóteses;
compare seus resultados com os de outros alunos;
valide seus procedimentos (BRASIL, 1998, p.41).
Considerando tais observações, para resolver um problema ou uma
situação-problema, os alunos devem saber da necessidade de se obter
conhecimentos, de observar, analisar elaborar, efetuar e comparar, para que
possam compreender o problema, executar um plano para solucioná-lo, solucioná-lo
e por fim examinarem a solução obtida. Considera-se que uma das maneiras para
que possam se envolver na atividade é por meio do trabalho em grupo e utilizando
de situações-problema que sejam do contexto de seu dia a dia.
Destacamos ainda o que essa metodologia pode proporcionar aos alunos de
acordo com os PCN`s:
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A resolução de problemas [...] possibilita aos alunos mobilizar conhecimentos e desenvolver a capacidade para gerenciar as informações que estão a seu alcance. Assim, os alunos terão oportunidade de ampliar seus conhecimentos acerca de conceitos e procedimentos matemáticos bem como de ampliar a visão que têm dos problemas, da Matemática, do mundo em geral e desenvolver sua autoconfiança (BRASIL, 1998, p. 40)
Assim, considerando a metodologia da resolução de problemas, para a
resolução das atividades dessa Unidade Didática utilizaremos os seguintes
procedimentos:
Os alunos serão divididos em grupos de quatro alunos;
As atividades serão entregues em folhas impressas para que os alunos
resolvam com seus conhecimentos prévios discutindo com os colegas do
grupo. Para isso será estabelecido um tempo de 20 minutos;
Após a resolução será pedido que um aluno de cada grupo exponha sua
resolução na lousa;
Em seguida, professor e alunos trabalharão em plenária para discutir e
analisar os resultados.
Nesse contexto, o professor irá sintetizar conteúdos e explicar novos
conteúdos sempre que necessário.
4 AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM
A avaliação deste trabalho será feita por meio das fases do desenvolvimento
do projeto. Será avaliado:
A participação dos alunos;
Os registros escritos produzidos pelos alunos;
O desenvolvimento dos alunos no decorrer das atividades;
O desempenho individual e a colaboração dos alunos no trabalho em
grupo.
Considera-se, nesta unidade didática, o processo de avaliação da
aprendizagem como algo contínuo. Neste contexto, faz-se importante analisar e
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levar em consideração todo o processo de ensino e aprendizagem, bem como todas
as manifestações dos alunos com relação ao conteúdo.
5 ATIVIDADES
A partir do levantamento de situações-problema de contextos reais e, que
estão cercadas de conceitos matemáticos, foram elaboradas atividades que visam
permitir aos alunos adquirir conhecimentos sobre a Estatística, especificamente, no
que diz respeito ao “Tratamento da Informação”.
Para iniciar o trabalho, serão desenvolvidas cinco atividades para verificar os
conhecimentos prévios dos alunos com relação aos conteúdos introdutórios da
Estatística (por exemplo, razão, proporção, porcentagem).
Atividade 1
Copie a tabela e calcule a razão de A para B.
a 12 32 -81 -12 -6 2,4
b 3 16 27 -6 2 0,2
a/b
Atividade 2
Determine a razão entre a altura de Antonio (altura: 175 cm) e a de Claudio (altura:
125 cm)?
R:
Atividade 3
Verifique se o produto dos meios é igual à dos extremos
5
2
10
4
18
9
6
3 9:4 = 16:6
14
Atividade 4
Em uma proporção, o produto dos meios é 81. Qual é o produto dos extremos?
R:
Atividade 5
Resolva os itens a seguir:
a) Escreva as razões na forma de taxa percentual:
100
3
100
53
100
12
b) Represente na forma de razões centesimais:
5% = 17% = 18% = 78% =
c) Transforme as frações na forma de taxa percentual:
5
4
15
6 20:40 =
Estas atividades podem proporcionar com que os alunos determinem o
quociente de dois números inteiros, quando possível, e façam a relação entre as
quantidades. Por meio delas entende-se ser possível retomar conceitos associados
à porcentagem, conteúdo este presente no trabalho com a Estatística.
Deste modo, o objetivo destas atividades reside em observar os
conhecimentos que os alunos adquiriram em anos anteriores, para que o professor
possa rever o conhecimento prévio dos alunos e, se necessário, adequar suas aulas
de acordo com o conhecimento dos mesmos.
As atividades 6, 7, 8 e 9 dizem respeito aos objetivos desta Unidade Didática
e visam colocar os alunos em uma situação de investigação em que será necessário
investigar gráficos e tabelas em revistas, jornais e na internet, bem como fazer
15
pesquisas de opinião para que possam observar, manusear e interpretar os
conteúdos da Estatística.
Atividade 6
Reunidos em grupos procurem em jornais e revistas gráficos e tabelas,
recortem e analisem o tema e as informações contidas nesses gráficos. Em seguida
escolha um dos registros escolhidos (gráficos ou tabelas), cole em uma folha e faça
uma análise do que este registro representa, levantando, se necessário, informações
a respeito do tema.
O objetivo desta atividade é despertar nos alunos o gosto pela pesquisa,
observação e análise dos gráficos que aparecem frequentemente no seu dia a dia.
Atividade 7
Uma pizzaria fez uma pesquisa com 200 pessoas com o intuito de saber quais eram
os sabores de pizza que elas mais preferiam e a partir desta pesquisa o gráfico a
seguir foi elabora.
Sabores de pizza mais vendidos na pizzaria A
Fonte: fictícia.
16
Analise o gráfico e responda as questões:
a) Qual sabor da pizza preferida pela maioria das pessoas entrevistadas?
b) Quantas pessoas responderam que preferem o sabor de calabresa?
c) Quantas pessoas preferem outros sabores?
d) Qual a sua preferência?
Após conduzida a atividade, de modo que todos os alunos respondam as
questões, será solicitado que os alunos, em grupos, organizem as respostas por
meio de uma tabela, atribuindo nomes aos sabores mais citados e classificando os
demais sabores.
Por meio desta atividade espera-se que os alunos observem, analisem e
interpretem o gráfico apresentado e aprendam a organizar dados por meio de uma
tabela.
Atividade 8
Na tabela abaixo constam as opiniões de 80 pessoas sobre um filme que acaba de
estrear na cidade.
Tabela 1. Opinião do público
Opinião Número de Pessoas
Excelente 16
Ótimo 19
Bom 14
Regular 20
Ruim 06
Péssimo 05
Soma 80
A partir da análise da tabela faça as atividades:
a) Represente os dados da tabela por meio de um gráfico de barras
b) Utilize a tabela abaixo e calcule as porcentagens de acordo com as opiniões. De
acordo com as porcentagens obtidas, construa um gráfico de setores para
representar estes dados.
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Tabela 2. Opinião do Público com as respectivas porcentagens
Opinião Número de Pessoas Porcentagem
Excelente 16
Ótimo 19
Bom 14
Regular 20
Ruim 06
Péssimo 05
Soma 80
Esta atividade tem como objetivo averiguar se os alunos aprenderam os
conteúdos trabalhados, como, por exemplo, o conteúdo de porcentagem. Espera-se,
ainda, que os alunos sejam capazes de mudar os dados da representação tabular
para a representação gráfica.
Atividade 9
Em grupos realizem uma pesquisa, na sala de aula, sobre os aniversários por
trimestre do ano dos meninos e das meninas, e após a realização da pesquisa
represente os dados coletados por meio de uma tabela, de um gráfico de colunas e
de um gráfico de setores. Utilize esse procedimento para:
a) Os dados referentes aos meninos
b) Os dados referentes às meninas
c) Analise se os gráficos são semelhantes ou não?
d) A partir da pesquisa efetuada e da análise feita, o que é possível concluir?
O modelo de tabela a ser elaborado será:
Tabela 1. Aniversários dos Meninos por Trimestre do Ano
Aniversário Número de meninos Porcentagem
1° trimestre
2° trimestre
3° trimestre
4° trimestre
Soma
18
Tabela 2. Aniversários das Meninas por Trimestre do Ano
Aniversário Número de meninas Porcentagem
1° trimestre
2° trimestre
3° trimestre
4° trimestre
Soma
O objetivo desta atividade é fazer com que os alunos iniciem um processo
de investigação e organização de dados. Espera-se que nesta atividade os alunos
saibam trabalhar com conceitos sobre pesquisas, cálculos de porcentagens e as
comparações dos resultados obtidos.
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
A expectativa desta Unidade Didática é fazer com que os alunos sejam
capazes de reconhecer em revistas, jornais e na internet, tabelas e diversos tipos de
gráficos e, a partir daí possam fazer análises, apresentar solução dos problemas
solicitados e tirar suas próprias conclusões.
Por meio da análise inicial de revistas, jornais e internet, espera-se, ainda,
que os alunos iniciem ou aprimorem seu aprendizado no que diz respeito à coleta,
organização e análise de dados, conteúdos estatísticos associados ao tratamento da
informação.
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7 REFERÊNCIAS
ANDRINI, A. Praticando matemática. Ensino do 1° Grau. São Paulo: Ed. do Brasil, 1989.
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997.
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: matemática. Brasília – MEC/SEF, 1998.
DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas da matemática. 12.ed. São Paulo: Ática, 2005.
IEZZI, G.; DOLCE, O.; MACHADO, A. Matemática e realidade: ensino fundamental. 5.ed. São Paulo: Atual, 2005.
MORI, I. Matemática: Idéias e desafios / Iracema e Dulce. 14.ed. São Paulo: Saraiva, 2005.
ONUCHIC, L. de La Rosa; ALLEVATO, N. S. G. As diferentes “personalidades” do número racional trabalhadas através da resolução de problemas. Bolema, Rio de Claro (SP), ano 21, nº 31, 2008, pp. 79 a 102.
POLYA, G. A arte de resolver problemas. Trad. de Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: Interciência, 1978.
RIBEIRO J. S. Projeto radix matemática. São Paulo: Scipione, 2009.
PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação do Paraná – Diretrizes Curriculares da Educação Básica. Curitiba: MEC/SEED 2006.
PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação do Paraná – Diretrizes Curriculares da Educação Básica. Paraná: MEC/SEED, 2008.