cld.pt · web viewo capitulo inicia-se com a descrição do procedimento de discretização que é...

Capítulo 16 Método do Volume Finito em Malhas não-Estruturadas477

Capítulo 16

Método do Volume Finito emMalhas Não estruturadas

16.1 Localização das variáveis na malha

Este capítulo dedica-se às técnicas e métodos que são aplicados à resolução de problemas com malhas não - estruturadas híbridas num contexto generalizado de escoamentos incompressíveis, viscosos, em geometrias complexas. O Capitulo inicia-se com a descrição do procedimento de discretização que é aplicado à equação de transporte de um escalar com convecção e difusão. O objectivo principal é o de apresentar independentemente e de forma clara o tratamento dos vários termos envolvidos, presentes também nas equações de Navier –Stokes, sendo que a ligação a estas é feita quando tal se justifique. As equações da continuidade e da conservação do momento linear, apresentadas nas expressões 161 e 162, podem ser escritas na forma de uma equação de transporte para a

quantidade φ :

∂ ρφ∂ t

+div (ρvφ−Γφ gradoφ )=Sφ (16.1)

Onde v é o campo de vectores velocidade, ρ é o campo escalar de massa especifica

(densidade), Γ φ é a difusidade de φ , e Sφ é o balanço de fontes /poços de φ . No presente trabalho, usando o método de Volumes Finitos, a integração numérica da eq. 16.1 é feita numa malha não-estruturada híbrida consistindo, sem perda de generalidade, no caso bi - dimensional,


de triângulos e quadriláteros. A formulação admite outras tipologias de malha mas estas formas são suficientes para a generalidade das aplicações.

Seja σ uma partição do domínio de interesse, Ω⊂ IR2, i.e.,

Ω= ¿

i∈ jσ i

; σ i∩σ j=φ ; i≠ j ; i , j∈ j 1; σ={σ i}i∈J (16.2)

Onde J é um conjunto (finito) de índices e σ i∈σ é um volume de controlo. No presente

trabalho, cada volume de controlo σ i∈σ pode ser um triângulo ou um quadrilátero. Na aproximação de Volumes Finitos, começa-se com a integração da Eq. 16.1 em cada volume de

controlo de forma a procurar uma solução da Eq. 16.1 no sentido generalizado, [48 ] .

Dados τ∈σ e um passo no tempo, Δt , prossiga-se da forma seguinte.

ρφn+1− ρφn

Δtm (τ )+∫

∂ τdiv (ρvφ−Γ φ )=∫

τSφ

(16.3)

onde m (τ ) é a medida de Lebesgue de τ e a barra sobre os termos significa média temporal. Neste passo foi usado o Teorema da Divergência de Gauss para a passagem de integração sobre τ para um integral sobre a sua fronteira, ∂ τ . A Eq. 16.3 pode ser escrita na seguinte forma de balanço de fluxos:

ρφn+1− ρφn

Δtm (τ )+ ∑

i∈∂ τCi+ ∑

i∈∂ τDi=S

(16.4)

onde ∂ τ é o conjunto de faces de τ é a quantificação média de fontes/poços de φ sobre τ , e C i e Di são os fluxos convectivo e difusivo de φ sobre a face i∈∂ τ , respectivamente. Em símbolos temos:

C i≡∫

iρvn φ , i∈∂ τ

(16.5)

Di≡∫

i−Γφ

∂φ∂ n

, i∈∂τ (16.6)

S≡∫

τSφ

(16.7)

Em que vn é a componente da velocidade normal à face i∈∂ τ e

∂φ∂ n é a derivada na direcção

normal (exterior) à face, i.e.,

∂φ∂ n

=grad φ .n.

O arranjo das variáveis no volume de controlo pode ser∙ ”Cell Centred” ⇒ variáveis nos centroides∙ ”Overlapping” ⇒ variáveis associadas com os nós da malha


∙ ”Cell Vertex” ⇒ variáveis estão centradas em volta de um nó da malha.Como exemplificado na malha 2D da figura 16.1

Figura 16.1 Localização das variáveis na malha.

As quantidades geométricas como áreas e volumes podem ser obtidas para 2D:

(a)

Figura 16.2 Volume em controlo em 2D

ΩI , J=b2 [ ( x1−x3) ( y2− y4 )+(x4−x2) ( y1− y3) ]

.


S⃗m=¿ [Sx , m ¿ ] ¿

¿¿¿

S⃗1=balignl [ y2− y1 ¿ ]¿

¿¿¿

S⃗2=balignl [ y3− y2¿ ]¿

¿¿¿

S⃗3=balignl [ y2− y1 ¿ ]¿

¿¿¿

S⃗4=balignl [ y1− y4 ¿ ] ¿

¿¿¿

n⃗m=

S⃗m

ΔSm

ΔSm=|⃗Sm|=√Sx , m

2 +S y , m2

(b)

Figura 16.3 Volume de controlo em 3D

Δx A=x8−x1 , ΔxB=x5-x 4 , Δy A= y8− y1 , ΔyB= y5 -y 4 , Δz A=z8−z1 , ΔzB= z5 -z4 ,

S⃗1=n⃗1 ΔS1

S⃗1=12¿ [ ΔyA ΔzB−Δz A ΔyB ¿ ] [ Δz A ΔxB−ΔxA Δzb ¿] ¿

¿¿

ΔSm=|⃗Sm|=√Sx , m2 +S y , m

2 +S z, m2


16.2 – Triangulação de Delaunay – Diagramas de Voronoi Considere a geometria mostrada na Fig. 16.4, onde uma triangulação de Delaunay é utilizada para discretizá - la. O método de elementos finitos tradicional trabalha, usualmente, com esta triangulação (poderão ser também quadriláteros). Armazenando as variáveis nos vértices dos triângulos. Funções de interpolações são adoptadas e as equações aproximadas são obtidas através da minimização de um resíduo ponderado baseado em algum critério, através da escolha de uma função peso. O mais conhecido é o método de Galerkin, no qual as funções peso são escolhidas iguais às funções de interpolação. No método de elementos finitos não existe a conservação em nível de elementos, como, por exemplo, conservação da massa em nível dos elementos triangulares. Para criar um método numérico observando os princípios de conservação, a triangulação de Delaunay pode ser empregada para construir os volumes finitos. O resultado são os diagramas de Voronoi que, na realidade, é o dual da triangulação de Delaunay. Os volumes criados, mostrados na Fig. 16.5 cobrem todo o domínio e sobre eles são realizados os balanços de conservação para obter as equações aproximadas. Observe que cada vértice dos triângulos está contido em um diagrama de Voronoi.As propriedades dos diagramas de Voronoi são muito interessantes e facilitam a realização dos balanços de conservação sobre os volumes. A fig. 16.6

Fig. 16.4 – Triangulação de Delaunay

Fig. 16.3 – Diagramas de Voronoi


apresenta um diagrama de Voronoi onde podemos observar as seguintes propriedades:

1. O segmento AB é o normal ao segmento P 2 e corta P 2 no meio. Esta propriedade é muito importante para avaliar as derivadas normais que envolverão, sempre, apenas o ponto P e seus vizinhos. Além disso, as interpolações para obter as propriedades nas interfaces realizadas.

2. Qualquer ponto, dentro do diagrama de Voronoi centrado em P , está mais perto de P do que qualquer ponto nodal vizinho. Esta característica confere à discretização boa uniformidade.

3. Pelos vértices dos triângulos passa um círculo.

Os diagramas de Voronoi não são, obviamente, de fácil geração, uma vez que devem satisfazer a essas propriedades. Com os diagramas de Voronoi tem-se as vantagens da simplicidade das aproximações numéricas existentes em um sistema ortogonal estruturado e as vantagens da flexibilidade, característica principal das malhas não-estruturadas.

Fig. 16.6 – Características dos diagramas de Veronoi

16.2.1 – Construção pelo Método das Medianas

Considere novamente a Fig. 16.4, imaginando uma triangulação qualquer, sobre a qual serão construídos os volumes elementares, utilizando o método das medianas. Este método consiste em ligar aos contróides dos triângulos com os pontos médios dos lados dos triângulos. O resultado está mostrado na Fig. 16.7. O volume finito criado desta forma é, sem duvida, mais geral, sendo o diagrama de Veronoi um caso particular. Os esquemas numéricos para estes volumes.


Fig. 16.7 – Volume de controlo criado pelo método da mediatriz.

16.2.2 Formulações Usando os Diagramas de Voronoi

Existem vários problemas, em diversas áreas da física e da engenharia semelhantes ao problema da difusão de calor em um sólido. Por isso consideramos como exemplo a equação

bidimensional transiente de uma variável φ , dada por

∂∂ t

( ρφ )= ∂∂ x (Γ φ ∂φ

∂ x )+ ∂∂ y (Γ φ ∂φ

∂ y )+S (16.1)

ou

∂∂ t

( ρφ )=∇ . ( Γφ ∇ φ ) (16.2)

onde, se quisermos recuperar a equação da condução de calor, o coeficiente e o transporte Γ

será igual a k /c p e φ , a temperatura. A Fig. 16.8 mostra o volume elementar P sobre o qual será realizada a integração e seus vizinhos.

Linearizando o termo fonte na forma S=SPφ+Sc adoptando uma

∫V , t

∂∂ t

( ρφ ) dVdt=∫V , t

∇ . ( Γ φ ∇ φ ) dVdt+∫V , t

(SPφ+Sc )dVdt (16.3)

encontramos

Mpφp−M p∘ φ p

∘

Δt= ∑

i=int erfaces(Γ φ ∂ φ

∂ n⃗ )Pi

ΔSPi+Sp φpΔV +Sc ΔV (16.4)

Onde M p é a massa dentro do volume de controlo


Fig. 16.8 – Volume de controlo de integração.

Neste ponto, aparece a vantagem do uso dos diagramas de Voronoi. A derivada normal de φ nas interfaces Pi do volume de controlo é facilmente determinada. Pois todos os pontos vizinhos estão ligados a P através da normal. Usando uma função de interpolação linear, pois o problema é de difusão para a Eq. (16.4) resulta

Mpφp−M p∘ φ p

∘

Δt= ∑

i=int erfacesΓ Pi

φ (φp−φ i )ΔSPi

LPi−Sp φpΔV=

M P∘ φP

∘

ΔtSc ΔV

(16.5)

Ap φp=∑ A i φi+B

(16.6)onde

Ai=Γ Pi

φ ΔS Pi

LPi (16.7)

AP=∑ Ai−SP ΔV +

M P∘

Δt (16.8)

B=

M P∘ φP

∘

Δt+Sc ΔV

(16.9)

Note que os coeficientes são exactamente iguais aos coeficientes que se obtêm para a solução do problema numa malha cartesiana ortogonal.

16.2.3 Formulação Usando o Volume Criado pela Mediatriz

A apresentação da formulação que emprega volumes de controlo obtidos pelo método da mediatriz tem por objectivo mostrar as diferenças entre esta formulação e aquela apresentada na secção anterior, para volumes de Veronoi.Ficará claro ao leitor que a metodologia desenvolvida por Baliga e Patankar (1980) denomina-se CVFEM–Control Volume Finite Element Method pela sua semelhança com a formulação tradicional de elementos finitos, pelo menos no que concerne à aplicação das funções de interpolação e à montagem das equações algébricas.


Somente o problema puramente difusivo será apresentado, pois o objecto é apenas mostrar o procedimento de uma forma geral. A equação da condição de calor bidimensional em consideração é dada por

∂∂ x ( Γφ ∂φ

∂ x )+ ∂∂ y (Γφ ∂ φ

∂ y )+Sφ=0 (16.76)

Ou, usando o fluxo J⃗ , por

∇ . ( J⃗ )−Sφ=0 (16.77)

J⃗=−Γφ ∇ φ (16.78)

Como todo método que cria as equações aproximadas através do balanço, o procedimento é a integração da equação diferencial na forma conservativa no volume elementar. Neste caso, o volume de integração está mostrado na Fig. 16.8 onde vemos que o volume de controlo hachurado é composto por contribuições de diversos elementos do tipo 123.

Fig.16.9-Volume de controlo para o método da mediatriz.

A integração da Eq. (16.77) no volume de controlo mostrado resulta em

∫a

0

J⃗⋅n⃗ ds+∫0

c

J⃗⋅⃗n ds− ∫1a 0 c

Sφ dV + [ Contribuições deoutroselementos associados ao nó 1 ]=0

(16.79)

O termo fonte é linearizado da mesma forma, como mostra na Cap.4 por

Sφ=Sp φ+Sc (16.80)

Observe que a integração dada pela Eq. (16.79) requer o valor da derivada de φ ao longo das

linhas ao e oc . Os valores de φ , por outro lado, são armazenados nos vértices dos elementos


triangulares. É necessário, portanto o estabelecimento de uma função de interpolação para φ .

Tal função de interpolação deve, a partir do conhecimento de φ um vértice dos triângulos.

Fig. 16.10 -Elemento triangular.

Permitir o cálculo de φ e de suas derivadas em derivadas em qualquer posição dentro do e

………. mente triangular. Especialmente os valores das derivadas de φ serão necessários nos pontos t e r , conforme mostra a Fig. 16.9. Deve ser lembrado que, também para a formulação usando malhas Voronoi, foi necessária uma função de interpolação. Naquele caso. Entretanto formulação ficou mais simples, porque os

valores de φ , armazenados nos vértices dos triângulos, estão sobre uma linha recta normal à interface. A função interpolação pode ser, então, unidimensional. Aqui ela deve ser bidimensional. Como estamos tratando com problemas puramente difusivos, a função interpolação pode ser linear. Desta forma, a seguinte função satisfaz

φ=Ax+By+C (16.81)

Com os valores de φ1 , φ2 e φ3 e os valores das coordenada ( x , y ) os pontos 1, 2 e 3 encontramos as constantes A , B e C como

A=

[ ( y2− y3)φ1+( y3− y1 )φ2+( y1− y2)φ3 ]D (16.83)

B=

[ (x3−x2) φ1+(x1−x3)φ2+(x2−x1)φ3 ]D (16.84)

C=

[ (x2 y3−x3 y2)φ1+(x3 y1− y3 x1)φ2+(x1 y2−x2 y1)φ3 ]D (16.85)

Com D dado por

D=( x1 y2+x2 y3+x3 y1− y1 x2− y2 x3− y3 x1) (16.86)

Lembrando que o vector fluxo é dado por


E obtendo o valor das derivadas da φ através da função de interpolação, as componentes do fluxo resultaram em

J x=−AΓ φ, J y=−BΓφ

(16.87)

Portanto, as integrações al longo de ao e oc resultam em

∫a

0

J⃗⋅n⃗ dS=( AΓφ ) y a− (BΓ φ ) xa (16.88)

∫0

c

J⃗⋅n⃗ dS=( AΓφ ) y c−( BΓφ ) xc (16.89)

A Fig. 16.11 apresenta interpretações geométricas das integrações dadas pelas Eqs. (16.88) e

(16.89). Considerando o vector J⃗ nos pontos r e t , o produto J x ya+J y xa nos dá o fluxo em oc . Os sinais que aparecem estão de acordo com o sistema de eixos local centrado em o . A

regra para atribuir o sinal correcto para xa , ya etc. é a mesma já comentada anteriormente, na secção 16.3.3. O leitor pode verificar que as expressões dadas pelas Eqs. (16.88) e (16.89) são

as componentes contravariantes, sem normalização métrica, do vector fluxo difusivo de φ , que aparecem quando malhas estruturadas são empregadas. O termo fonte é integrado por

∫

1 a0 cSφ dV=

Ae

3Sc+

Ae

3S p φ1

(16.90)

Onde Ae é dado por

Ae=|D

2| (16.91)

A integração ao longo da superfície pertencente ao elemento 123 resulta, portanto, em

∫a

0

J⃗⋅n⃗ dS+∫0

c

J⃗⋅⃗n dS− ∫1a 0 c

Sφ dV =C1 φ1+ C2φ2+C3φ3+B1 (16 . 92)

Onde os coeficientes são dados por

C1=

Γφ

D [ ( y a− yc ) ( y2− y3 )+(xa−xc ) (x2−x3) ]−Ae

3S p

(16.93)

C2=

Γ φ

D [ ( ya− yc ) ( y3− y1 )+(xa−xc ) (x3−x1) ] (16.94)


C3=

Γ φ

D [ ( ya− yc ) ( y1− y2 )+(xa−xc ) (x1−x2)] (16.95)

B1=−

Ae

3Sc

(16.96)

Fig. 16.11-Representação de J⃗ nas interfaces de integração

È fácil ver que, quando a parcela corresponde aos outros elementos 1 adicionada, teremos uma equação algébrica para o volume de controlo centrada em 1 que conecta o ponto 1 com todos os seus vizinhos, como esperado, na fórmula

Ai φ i= ∑

vizinhosANB φ NB+B i

(16.97)

O sistema linear dado pela Eqs. (16.97) deve ser agora resolvido usando algum método

adequado para malhas não - estruturadas. Após obtida a solução teremos os valores de φ determinados em todos os vértices dos triângulos ou seja, no centro dos volumes de controlo

nos quais foram realizados os balanços de conservação da propriedade φ . Para malhas não - estruturadas, entretanto, a solução do sistema linear uma tarefa mais complexa do que para malhas estruturadas. Isto se deve ao facto da matriz de coeficientes resultantes não ser de banda fixa uma vez que

16.4 Discretização de uma Equação de transporte Após a aplicação do teorema de Gauss a equação de transporte geométrica aparece como um

balanço entre as faces de fluxos convectivos F⃗c e fluxos difusivos F⃗v e o termo de fonte Q⃗ .

∂W⃗∂ t

=− 1Ω [∮∂Ω

( F⃗c−F⃗v )dS−∫Ω

Q⃗ dΩ ]dW⃗ i , J , K

dt=− 1

ΩI , J , K [∑m=1

N F

( F⃗c−F⃗v )m ΔSm−(Q⃗ Ω)I , J , K ]Note que o integral no volume comutou com a derivada parcial temporal.


∂∂ t ∫Ω

W⃗ dΩ=Ω ∂W∂ t

Figura 16.12 Malhas não desfasadas de uma malha não ortogonal

Vamos discretizar o fluxo convectivo nas faces de um volume de controlo representado na figura 16.13. O fluxo mássico para a face-e vem.

m¿

=∫Se

( ρV⃗ ) d⃗S=( ρV⃗ )e S⃗e ρe [U e ( yne− yse )−V e ( xne−xSe ) ]

(12.48)

Ou para a face n , na:

m¿

n=ρn [ V n (xne−xnw )−U n ( yne− ynw ) ] (12.49)

E o fluxo convectivo:

FeC=∫

Se

( ρ V⃗ Φ ) d⃗S=Φe∫Se

( ρV⃗ ) d⃗S=m¿

e Φe

(12.50)

Φe é aproximado por um dos múltiplos esquemas para discretização da convecção. As funções interpoladas são dadas por:

f x=Pe

Pe+eE , f y=

PnPn+nN

As áreas e os volumes são obtidos:

δV =12|⃗sw ,ne× s⃗e , nw|=|⃗we×sn|


S⃗e=|yn− ys|e i⃗ −(xn−xs )e j⃗

S⃗n=−|ye− yW|n i⃗ −(xe−xW )n j⃗

( S⃗W )P=−( S⃗e )W

( S⃗S )P=−( S⃗n)S

Figura: 16.14 Volume de controlo “não - ortogonal”

O fluxo difusivo da variávelΦ vem dado por:

FeD=−∫

Se

(ΓΦ grad Φ) d⃗S=− ( ΓΦ grad Φ )e S⃗e

(12.52)

Num sistema de coordenadas cartesiano ( x´ , y´ ) com origem na face - e podemos exprimir o gradiente por:

grad Φ=∂ Φ∂ x´

i⃗ ´+ ∂ Φ∂ y´

j⃗ ´ S⃗e=|Se| i⃗ ´

assim:

FeD=−ΓΦ , e(∂Φ

∂ x´ )|Se| (12.53)


Como não existe nenhum ponto na direcção x´ devemos exprimir o gradiente na direcção ξ e

η . Então a transformação de coordenadas ( x´ , y´ )→ (ξ , η ) vem:

∂Φ∂ x´ =

1sin ψ ( ∂Φ

∂ ξ−cosψ ∂ Φ

∂η ) (12.54)

com:

sin ψ=S⃗e P⃗ESe PE ;

cosψ=S⃗e S⃗e

η

Se PE ;

S⃗eη=−( yE− yP ) i⃗ +(xE−xP ) j⃗ ; |⃗Se

η|=PE 1 ;

∂Φ∂ ξ

≈Φ E−ΦP

PE ;

∂Φ∂η

≈Φne−Φse

se , ne ;

|⃗Se|=se ,ne; P⃗E=(xE−xP ) i⃗ + ( y E− y P) j⃗

e substituindo vem que:

FeD=−

ΓΦ ,e

S⃗e P⃗E [ (ΦE−ΦP ) (S⃗e S⃗e )+( Φne−Φse ) ( S⃗e S⃗e

η ) ] (12.55)

Se a malha for ortogonal o termo (Φne−Φse ) ( S⃗e S⃗eη) é nulo ou seja se S⃗e e P⃗e estiverem na

mesma direcção a assim S⃗eη

por definição de ser ortogonal a P⃗e implica que S⃗e . S⃗eη=0 . O

termo é assim incluído explicitamente no termo de fonte.

Figura 16.15 Discretização dos termos difusivos

Com resultados da discretização o fluxo difusivo na face - e pode ser expresso por:


FeD=De (ΦE−Φ P)−SΦ , e

D (12.56)

com

De=CΦ ,e [ ( yne− y se )2+( xne−Sse )2 ]SΦ ,e

D =CΦ,e [ ( yne− y se ) ( y E− y P )+(xne−xse ) (x E−x P) ] (Φne−Φse ) (12.57)

CΦ, e=ΓΦ , e

( yne− y se ) (x E−xP )−(xne−xse ) ( y E− y P )

O termo deve ser incluído explicitamente no termo fonte

Os coeficientes difusivos ΓΦ , e e o valor de Φne e Φse são obtidos por interpolação linear para a equação de variação de qualidade de movimento segundo x vem que:

FeD=−De (U E−U P )+SU ,e

P (12.58)

Onde

De=CU , e [( yne− yse )2+(xne−xse )2] (12.59)

SU , eD =CU ,e {(UE−U P) ( y ne− y se )2−

(U ne−U se ) [2 ( y E− y P ) ( yne− yse )+(x E−xP ) (xne−xse ) ]−

(xne−xse ) [ (V E−V P ) ( y ne− y se )−(V ne−V se ) ( y E− yP ) ]}

CU , e=μe

( yne− y se ) (xE−xP )−( xne−x se ) ( y E− y P)

Para os termos fontes estão linearizados e multiplicados pelo volume da célula que é calculado de acordo com o cálculo do volume é dado por

δV =12|⃗nw , se× s⃗w , ne|=

= 12|( xse−xnw ) ( yne− ysw )−( xne−xsw ) ( yse− ynw )|

(12.60)

A equação de diferenças finitas resultante vem:

aP ΦP=∑

nbanbΦnb+QΦ


16.5 Discretização da equação de Poisson-2DVamos considerar a equação do calor 2D com uma fonte uniforme no domínio

−k (T xx+T yy )=q⇔T xx+T yy=−qk=−4

em k=2 e q=8

Integração: ∫V

(T xx+T yy )dV =−∫V

4 dV

Teorema de Gauss: ∫S

T x⋅nx dS+∫S

T y⋅n y dS=−∫S

4dV

∑∫

V(T x⋅nx+T y⋅n y )dSc=−∫

V4 dV

∑c

(T x⋅nx+T y⋅n y )c δSc⏟Fc

=−∫V

4 δV

No domínio representado na figura 16.7 com a malha constituída só por 2 volumes de controlo, (por razões pedagógicas!) e representada na figura 17.8

Figura 16.7 Geometria

Figura 16.8: 2 volumes de controlo: Malha

Os parâmetros geométricos da malha são das componentes dos vectores área.


Vectores normais Áreas

s : { n⃗=¿ (0 ¿ ) ¿¿

¿ δS s=12

n : n⃗n=¿ (0 ¿) ¿¿

¿¿ δSn=9

e : { n⃗e=1

2√2¿ (2 ¿ ) ¿

¿¿ δSe=2√2

w : { n⃗w= 1√5

¿ (−2 ¿ ) ¿¿

¿ δSw=√5

Fluxo sul do volume controle V 1

F s=(T x⋅nx+T y⋅ny )s δSS=−12 (T y )S

T y=J ( xξT η−xη T ξ ) J= 1

xξ yη−xη yξ

( J )S≈ΔξΔη

( xse−x sw) ( yP− ys)−(x P−xs) ( yse− ysw )

⇒ ( T y )S≈(xse−xsw ) (T P−T s )−( xP−x s) (T se−T sw )(xse−xsw ) ( y P− ys )−( xP−x s) ( y se− y sw)

⇒ (T y )S≈(12−0 ) (T 1−0 )−(23

4−6) (0−0 )

(12−0 ) (1−0 )−(234

−6) (0−0 )=T 1

⇒FS≈−12T 1

Diferenças Centrais


(xξ )S≈xse−xsw

Δξ

( y ξ )S≈y se− y sw

Δξ

(T ξ )S≈T se−T sw

Δξ

Diferenças Progressivas

(xη )S≈x P−xs

Δη

( y η)S≈yP− y s

Δη

(T η )S≈T P−T s

Δη

Fluxo - Norte do volume de controle-V1

Fn= (T x . nx+T y .ny )n δSn=9 (T y )n

T y=J ( xξT η−xη T ξ )

( J )S≈ΔξΔη

( xne−xnw ) ( y n− yP )−(xn−xP ) ( yne− ynw )

T n≈12 (T 1+T 2)

⇒ (T y )n≈(10−1 )(T1+T 2

2−T1)−(11

2−23

4 )(T ne−52 )

(10−1 ) (2−1 )−(112

−234 ) (2−2 )

⇒ ( T y )n≈12 (T2−T 1)+ 1

36 (T ne−52 )


T ne=T 1+T 2

2−45

4 de (T x+T y )ne=0!

⇒ ( T y )n=T 2−T 1

2+ 1

36 (T 1+T 2

2−55

4 )⇒Fn=

378

T 2−358

T1−5516


(xξ )n≈xne−xnw

Δξ

( y ξ )n≈yne− ynw

Δξ

(T ξ )n≈T ne−T nw

Δξ


(xη )n≈xn−x P

Δη

( y η)n≈yn− y P

Δη

(T η )n≈Tn−T P

Δη

Condições de Fronteira

(T x+T y )ne=0:

ñ , s - Pontos dos cantos da fronteira


(xξ )ne≈xne−xn

Δξ


( y η)ne≈yne− yn

Δξ

(T η )ne≈T ne−T n

Δξ


(xη )ne≈xñ− xs

Δη

( y η)ne≈yñ− y s

Δη

(T η )ne≈T ñ−T s

Δη

⇒ (T x )ne≈( yñ− ys ) (T ne−T n )−( yne− yn) (T ñ−T s )( y ñ− ys) ( xne−xn )−( yne− yn) (xñ−x s)

⇒ (T y )ne≈(xne−xn) ( Tñ−T s)−(xñ−xs) (Tne−T n)( yñ− ys ) (xne−xn )−( yne− yn )( xñ−xs)

0=(4−0 )(T ne−T 1+T 2

2 )−(2−2 ) (T ñ−T ñ)⏟T x/ J

+(10+112 ) (20−0 )− (8−12 )(T ne−

T1+T2

2 )⏟T y /J

⇒T ne=T1+T2

2−45

4

Este

Fe=(T x .nx+T y . n y )e δSe

Fe=2 (T x+T y )e=0 RB!!!

Oeste


Fw=(T x . nx+T y . ny )w δSw

Fw=(−2T x+T y )w

⇒ (T x )w≈( ynw− ysw ) (T w−T P )− ( yn− y P) (Tnw−T sw)( xw−xP ) ( ynw− ysw )−( xnw−xsw ) ( yw− y P )

⇒ ( T y )w≈( xw−xP ) (T nw−T sw )−(xnw−xsw ) (T w−T P)(xw−xP ) ( ynw− ysw )−(xnw−xsw ) ( yw− yP )

⇒ (T x )w≈(2−0 )( 5

16−T1)−(1−1 )( 5

2−0)

( 12−23

4 )(2−0 )− (1−0 ) (1−1 )

⇒ (T y )w≈( 12−23

4 )( 52−0)−(1−0 )( 5

16−T 1)

(12−23

4 ) (2−0 )−(1−0 ) (1−1 )

⇒Fw=−1021

T 1−235168

Diferenças Regressivas

(xξ )w≈xw−xP

Δξ

( y η)w≈y w− yP

Δξ

(T η )w≈T w−T P

Δξ



(xη )w≈xnw−xsw

Δη

( y η)w≈ynw− ysw

Δη

(T η )w≈T nw−T sw

ΔηCondições Fronteiras: Sul e Norte do volume de controle-V2

Sul:

Fs=−(378

T2−358

T 1−5516 )

Norte:

Fn= (T x . nx+T y .ny )nδSn=6 (T y )

T ne=Tn=20

⇒ (T y )n≈(8−2 ) (20−T2 )−(5−5 .25 ) (20−20 )

(8−2 ) (4−3 )−(5−5 . 25 ) (4−4 )

Fn=120−6 T 2

Volume de controle-V2

Este:

Fe=0 tal como V1

Oeste

Fw=(−2T x+T y )w

⇒ ( T x )w≈(4−2 )(135

16−T 2)−(3−3 )(20−5

2 )( 3

2−21

4 )( 4−2 )−(2−1 ) (3−3 )


⇒ ( T y )w≈( 3

2−21

4 )(20−52 )−(2−1 )(135

16−T 2)

( 32−21

4 )( 4−2 )−(2−1 ) (3−3 )

⇒Fw=−23

T 2−115

8

∑c

Fc=−4 δV

KV 1 KV 2

F s −12 T1−(37

8T 2−

358

T 1−5516 )

Fn 378

T 2−358

T1−5516

120−T2

Fe 0 0

Fw −1021

T 1−235168

−23

T 2+115

8δV 21 15

[ 16 .851 −4 .625 ¿ ]¿¿

¿¿

16.4 Referências

∙ M. Schafer, M Kornhaas, M. Heck, H. Sun, Numerische stromungssimulation, Fachgebiet numerische Berechnungsverfahren im Maschinenbau, techniche Universitat Darmstadt

∙ Clovis R. Malistra, Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos Cumputacional, CTC Editora, 1995

∙ Raithhy G. D. e Torrauce, K. E. Upstream – Weigha Differencing Schemes and their Application to Elliptic Problems Involving Fluid Flow, Computers and Fluids, vol.2. p191 – 206 (1974)

∙ M. H. Kobayashi, J. M. C. Pereira, e J. C. F. Pereira, A conservative finite – volume 2nd order accurate projection method on hybrid unstructured grids, Journal of Computational Physiscs 150 (1999), no. 1, 40 – 75.

∙ Baliga, B. R., Patankar, S. V. “A new Finite Element Formulation por Convection – Diffusion problems”, Numeric Heat Transfer, vol. 3, p – 394 – 409 (1980)


∙ Ferziger I. H. and Peric M., Computational Methods for Fluid Dynamics, 3nd Edition, Springer, 2002.

4. Flecther C. A. J. Computational Techniques for Fluid Dynamics. Vol. 1, 2 Spring – Verlag, 1988

5.Hirsch C. Numerical Computation of Internal And External Flows. Vol. 1, 2 John Wiley & Sons, 1996.

16.5 Problemas

P 16.1 Calcule a distribuição de temperaturas num trapézio ABCD com

AB=1 m T AB=300 kBB´=1 .m T CB=Linear de 300 a 400 kB´ C=0.1 m T CD=Linear de 400 a 500 kB ´ D=0 .6 m T DA=Linear de 500 a 300 k

Considerando dois volumes de controlo.

P16.2 Calcule a distribuição de temperaturas no losango

Em que as faces AB e DC são adiabáticas e a temperatura adimensionalizada na face AD é 1 .0 e BC é zero, considerando 3 volumes de controlo.

P16.3 Repita o problema P16.2 considerando a solução transiente com condições iniciais de temperatura adimensional nula.

P16.5 Considere um problema bidimensional de escoamento potencial subsónico sobre uma parede com uma sobre elevação dada por um semi-circulo. Construa uma malha com 8 volumes de controlo e obtenha a equação de diferenças finitas para um dos volumes de controlo.


P16.6 Escreva um algoritmo para a solução de uma equação de transporte bidimensional num

quadrado [0 , π2 ]usando um campo prescrito de velocidades, da formaU =cos πy sin πx e

V=−cos πx sin πy . Considere volumes de controlo triangulares.P16.7 Considere um domínio triangular discretizado com uma malha não estruturada formada por 4 triângulos iguais e de lado 0.1 m e ângulos de 60º. Pretende-se obter o campo de temperaturas.

a)Obtenha pelo método de volume finito as equações de diferenças finitas, correspondentes á discretização da equação do calor estacionária e 2D sem fontes)

.b) Para as condições fronteiras indicadas calcule as temperaturas nos pontos 1,2,3 e P,

cld.pt · web viewo capitulo inicia-se com a descrição do procedimento de discretização que é...

Documents