circunferência
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DEFINIÇÃO MATEMÁTICA DE UMA CIRCUNFERÊNCIA OS ELEMENTOS DE UMA CIRCUNFERÊNCIA AS EQUAÇÕES DA CIRCUNFERÊNCIA A POSIÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA NO PLANO EM RELAÇÃO A PONTOS, RETAS E OUTRAS CIRCUNFERÊNCIASTRANSCRIPT
Geometria Analítica
CIRCUNFERÊNCIADEFINIÇÃO MATEMÁTICA DE UMA CIRCUNFERÊNCIA
OS ELEMENTOS DE UMA CIRCUNFERÊNCIA
AS EQUAÇÕES DA CIRCUNFERÊNCIA
A POSIÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA NO PLANO EM RELAÇÃO A PONTOS, RETAS E OUTRAS CIRCUNFERÊNCIAS
FICH
A T
ÉCN
ICA FUMEC VIRTUAL - SETOR DE
EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Gestão PedagógicaCoordenaçãoGabrielle Nunes P. AraújoTransposição PedagógicaTâmara Santos Soares
Produção de Design MultimídiaCoordenaçãoRodrigo Tito M. ValadaresDesign MultimídiaPaulo Roberto Rosa JuniorRaphael Gonçalves Porto Nascimento
Infra-Estrututura e SuporteCoordenaçãoAnderson Peixoto da Silva
AUTORIA
Prof. Fernando Henrique
APRESENTAÇÃO
Olá aluno (a), seja bem-vindo (a)! Iniciaremos agora mais uma etapa de estudo. Aqui, você aprenderá conceitos da circunferência e como determinar suas equações. Você
verá que a circunferência possui equações em formas diferentes e entenderá algumas particularidades desta notável curva plana. Espero que você tenha um ótimo aprendizado, mas para isso conto com a sua dedicação! Bons estudos!
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEMAo final deste módulo você será capaz de:
• Definir matematicamente uma circunferência;
• Reconhecer e determinar os elementos de uma circunferência;
• Determinar as equações da circunferência;
• Analisar a posição da circunferência no plano em relação a pontos, retas e outras circunferências.
BELO HORIZONTE - 2013
CIRCUNFERÊNCIA
Definição
A circunferência é uma curva plana que, como a reta, também é formada por um conjunto de infinitos pontos de R2. Sua definição matemática, ou seja, a regra que define como esses pontos devem estar posicionados no plano para que descrevam uma circunferência é a seguinte:
Circunferência é o conjunto de pontos em um plano, que são equidistantes de um ponto fixo deste plano.
Este ponto fixo é chamado de centro da circunferência, e a distância constante é seu raio. O centro e o raio são os principais elementos de uma circunferência.
1M
2M
3M
nMr
cP
Qπ
Figura 1
Na figura 01, temos uma circunferência de centro c e raio r, representada em um plano π. Os pontos M1, M2, M3, Mn pertencem à circunferência, se a distância de cada um deles ao centro da circunferência for igual ao raio.
dc M1 = dc M2 = dc M3 = dc Mn = r
IMPORTANTE
A distância do ponto Q ao centro é maior que o raio, portanto, ele não pertence à circunfe-rência, Q é um ponto exterior, assim como o ponto P também não pertence à circunferência, pois sua distância ao centro é menor que o raio, P é um ponto interior.
dc Q > r e dc Q < r
43Circunferência
EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIAPara determinar a equação de uma circunferência, é necessário conhecer seu centro e seu raio. Veja a figura 02, está representando no plano cartesiano uma circunferência de centro c (h, k) e raio r. Sabemos pela definição de circunferência que a distância de um ponto qualquer M (x, y) ao centro c (h, k) é igual ao raio r, correto?
r
( ),M x y
( ),c h k
Figura 02
Definição matemática: dcM = r
Então:
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
2 2
22 2 2
2 2 2
− + − =
− + − =
− + − =
x h y k r
x h y k r
x h y k r Equação da circunferência na forma centro-raio.
Quando a equação de uma circunferência se apresenta na forma centro-raio é relativa-mente fácil identificar seus principais elementos, ou seja, centro e raio.
Por exemplo, a equação 2
2 2( 3) 175
− + + =
x y representa uma circunferência de
centro 23,5
−
e raio 17 .
Exercício resolvido
Determinar a equação da circunferência cujo centro é o ponto C(–3,4) e o raio r = 6.
Equação centro-raio
2 2 2
2 2
( ) ( )
( 3) ( 4) 36
− + − =
− + − =
x h y k r
x y É a equação pedida, através da qual podemos identificar facilmente o centro e o raio.
44 Circunferência
EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA
Esta é a Equação Geral da circunferência.
A equação de uma circunferência também pode ser representada de forma geral, como o desenvolvimento da equação centro-raio. Veja a explicação a seguir:
Seja a equação de centro c (h,k) e raio r2 2 2( ) ( )− + − =x h y k r
Desenvolvendo temos:
2 2 2 2 22 2− + + − + =x hx h y ky k r
Colocando em ordem:
2 2 2 2 22 2 0+ − − + + − =x y kx ky h k r
Fazendo:
2 2 2
22
− =− = + − =
h Dh E
h k r F
Temos:
2 2 0+ + + + =x y Dx Ey F
IMPORTANTE
É importante observar que toda equação geral de circunferência possui os dois termos do 2º grau e seus coeficientes devem ser obrigatoriamente iguais.
Vamos desenvolver a equação do exercício anterior? Então, vamos lá!
Temos:
Esta equação está na forma Geral, não podemos identificar facilmente o centro e o raio ao olhar.
2 2
2 2
2 2
( 3) ( 4) 36
6 9 8 16 36 0
6 8 11 0
+ + − =
+ + + − + − =
+ + − − =
x y
x x y y
x y x y
45Circunferência
Identificando o Centro e o Raio na Equação Geral da Circunferência
Raio
Centro
λ
Se não podemos identificar facilmente o centro e o raio, então teremos de calcular, pois são os principais elementos da circunferência. Podemos fazer isso de duas maneiras:
1º MODO
Seja a equação geral: 2 2 0+ + + + =x y Dx Ey F
Para identificar o centro e o raio na equação apresentada utilizaremos os coeficientes D, E e F.
Centro: c (h,k)
22
2 ,2 2 2
= − ⇒ = −
= − ⇒ = − ∴ − −
DD h h
E D EE k k C
Raio: r2 2 2
2 22
2 22
2 2 2 22
2 2
4 44 4
4 2
= + −
= − + − −
= + −
+ − + −= ∴ =
F h k r
D Er F
D Er F
D E F D E Fr r
46 Circunferência
Obs:
se ( )2 2D E 4F 0+ − < ⇒ ∃⁄ circunferência (conjunto vazio)
se ( )2 2D E 4F 0+ − = ⇒ a circunferência é apenas um ponto
se ( )2 2D E 4F 0+ − > ⇒ a circunferência é real
Confira agora o exercício resolvido referente a este 1º modo de identificar o centro e o raio da circunferência. Veja como é fácil!
Exercício resolvido
Dada a equação da circunferência, 2 2 3 6 7 0+ − + − =x y x y , identifique o centro e o raio.
,2 2
3 6,2 2
3 , 32
− −
− − −
−
D EC
C
C
2 2 42
9 36 4 ( 7)2
9 36 282
732
+ −=
+ − × −=
+ +=
=
D E Fr
r
r
r
2º MODO
Podemos identificar o centro e o raio na equação geral de uma circunferência utilizando a técnica de “completar quadrados”. Isso equivale a, simplesmente, transformar a equação da forma geral para a forma centro-raio.
Quer um exemplo? Então pense em um quadrado perfeito, cuja expressão da
forma 2 22+ +a ab b pode ser reduzida para a forma 2( )+a b , isto quer dizer que, 2 2 22 ( )+ + = +a ab b a b . Vou usar a equação 2 2 4 6 3 0+ + − − =x y x y para exempli-
ficar esse processo.
Podemos reescrever a equação acima dessa forma:
2 24 6 3+ + ⋅⋅ ⋅ + − + ⋅ ⋅ ⋅ =x x y y
ATENÇÃO
Nos espaços pontilhados devemos inserir números com o objetivo de transformar o lado esquerdo da equação em uma soma de “quadrados perfeitos”, no caso desse nosso exemplo, esses números são 4 e 9 respectivamente.
A equação então ficará assim: 2 24 4 6 9 3 4 9+ + + − + = + +x x y y , note que ao somar 4 e 9 do lado esquerdo da equação tivemos que somar 4 e 9 também do lado direito, fizemos isto para não alterar o valor da equação.
Feito isso podemos concluir que 2 24 4 ( 2)+ + = +x x x e que 2 26 9 ( 3)− + = −y y y e ainda que 3 + 4 + 9 = 16. Então, a equação pode ser escrita na forma centro-raio
2 2( 2) ( 3) 16+ + − =x y , onde podemos identificar facilmente que o centro é o ponto (–2, 3) e o raio é 4.
47Circunferência
POSIÇÕES RELATIVAS DA CIRCUNFERÊNCIA NO PLANO
Posição relativa em relação a um pontoUm ponto P do plano em relação a uma circunferência pode ser:
• Interior à circunferência, quando a distancia de P ao centro C da circunferência for menor que o raio r, ou seja, dPC < r ;
• Pertencer à circunferência, quando a distância de P ao centro C for exatamente igual ao raio r, isto quer dizer que, dPC = r ;
• Exterior à circunferência, quando a distância de P ao centro C for maior que o raio r, assim, dPC > r .
Para verificar a posição relativa de um ponto P em relação a uma circunferência, ou seja, verificar se o ponto P é interior, pertence, ou é exterior à circunferência, basta calcular a distância de P ao centro da circunferência. Você se lembra da fórmula para calcular a distância entre dois pontos?
Então, para gravar, se a distância entre o ponto P e o centro C da circunferência der um valor menor que o raio, o ponto será interior: dPC < r. Agora, se a distância de P ao centro C for exatamente igual ao raio, o ponto pertencerá à circunferência: dPC = r . E, se a distância de P ao centro C for um número maior que o raio o ponto será exterior à circunferência: dPC > r. Para fixar estas informações vamos ver o exercício resolvido a seguir.
Exercício resolvido
Verificar a posição relativa entre a circunferência 2 2 2 2 7 0+ + + − =x y x y e os pontos A(–2,2), B(1,1) e D(–4,–1).
48 Circunferência
Antes de mais nada, usando as fórmulas que já vimos, podemos concluir que o centro da circunferência é o ponto C(–1,–1) e seu raio é 3. Então, vamos calcular a distância do ponto A ao centro C:
( )( ) ( )( ) ( )22 2 22 1 2 1 1 3 10 3= − − − + − − = − + = >dAC
Portanto, você pode verificar que o ponto A é exterior à circunferência.
Agora vamos calcular a distância do ponto B ao centro C:
( )( ) ( )( )22 2 21 1 1 1 2 2 8 3= − − + − − = + = >dBC
Note que neste caso o ponto B é interior à circunferência.
E finalmente calcularemos a distância do ponto D ao centro C:
( )( ) ( )( ) ( )22 2 24 1 1 1 3 0 9 3= − − − + − − − = − + = =dDC
Com base nesses cálculos veja que o ponto D pertence à circunferência.
Posição relativa em relação a uma retaUma reta r do plano em relação a uma circunferência pode ser:
• Secante à circunferência, quando a distância do centro C da circunferência à reta r for menor que o raio, ou seja, dC, reta < r ;
• Tangente à circunferência, quando a distância do centro C da circunferência à reta for exatamente igual ao raio, ou seja, dC, reta = r ;
• Exterior à circunferência, quando a distância do centro C da circunferência à reta for maior que o raio, ou seja, dC, reta > r.
49Circunferência
Para verificar a posição relativa de uma reta r em relação a uma circunferência, ou seja, verificar se a reta r é secante, tangente, ou é exterior à circunferência, basta calcular a distância do centro C da circunferência à reta. Agora eu pergunto a você, qual é a fórmula utilizada para calcular a distância entre ponto e reta?
Então, para gravar, se a distância entre o centro C da circunferência e a reta r der um valor menor que o raio, a reta será secante: dC, reta < r . Mas, se a distância do centro C à reta for exatamente igual ao raio, a reta será tangente à circunferência: dC, reta = r. Agora, se a distância do centro C à reta for um número maior que o raio a reta será exterior à circunferência: dC, reta > r . Para fixar estas informações vamos ver o exercício resolvido a seguir.
Exercício resolvido
Vamos verificar a posição relativa entre a circunferência 2 2 2 6 0+ − + =x y x y em cada uma das retas:
a) 3x + y – 10 = 0b) 3x + 4y – 6 = 0c) 3x – 4y + 5 = 0
Acompanhe as resoluções, lembrando que o centro da circunferência é o ponto C (1,–3) e o raio é 10 . A distância do centro da circunferência e a reta pode ser calculada com
a fórmula, 0 0
2 2
+ +=
+
ax by cdPR
a b.
Letra a: ( )
( )3 1 1 3 10 10 10 10
9 1 10
⋅ + ⋅ − −= = = =
+dC, reta raio
Portanto a reta é tangente à circunferência.
Letra b: ( )( )
3 1 4 3 6 15 3 1059 16
⋅ + ⋅ − −= = = <
+dC, reta raio
Portanto a reta é secante à circunferência.
Letra c: ( )
( )3 1 4 3 5 20 4 10
59 16
⋅ − ⋅ − += = = >
+dC, reta raio
Portanto a reta é exterior à circunferência.
Bom, caro(a) aluno(a), existe outra maneira de verificar a posição relativa entre uma circunferência e uma reta que vale a pena ser vista.
a
50 Circunferência
Quando uma reta é secante a uma circunferência, significa que a reta intercepta a circun-ferência em dois pontos, ou seja, existirão dois pontos de interseção entre a reta e a circunferência:
Quando uma reta é tangente a uma circunferência, só haverá um ponto em comum entre as duas curvas, ou seja, apenas um ponto de interseção:
E quando a reta é exterior à circunferência não existirão pontos de interseção:
Sabendo disso, podemos determinar a posição entre as duas curvas, resolvendo um sistema com as equações de ambas, pois a solução de um sistema de equações nos fornece os pontos em comum às duas curvas. Encontrando duas soluções para o sistema, ou seja, dois pontos de interseção, a reta será secante à circunferência. Encontrando apenas uma solução para o sistema, a reta será tangente, com um ponto de interseção, e caso o sistema não tenha solução a reta será exterior à circunferência, e isto significa que não há ponto de interseção. Acompanhe mais um exercício resolvido e veja a determinação dos pontos de interseção dos exemplos a seguir.
Exercício resolvido
Para determinar os pontos de interseção da reta 5 0+ − =x y com a circunferência 2 2 2 4 1 0+ − − + =x y x y . Montamos o sistema com as equações das duas curvas:
2 2
5 02 4 1 0
+ − =
+ − − + =
x yx y x y
Explicitando o y na equação da reta e substituindo-o na equação da circunferência tere-
mos 2 2(5 ) 2 4(5 ) 1 0+ − − − − + =x x x x , e após simplificar será assim 2 4 3 0+ + =x x ,
lembrando que esta é uma equação do 2º grau.
51Circunferência
Calculando o discriminante “delta” desta equação, podemos final-mente saber a posição da reta em relação à circunferência, então:
2 4∆ = −b ac4 0∆ = >
Se 0∆ > a reta é secante à circunferência, pois a equação do 2º terá duas raízes e, consequentemente, o sistema terá duas soluções (dois pontos de interseção).
OBSERVAÇÃO
Caso encontremos ∆ = 0 concluiremos que reta é tangente à circunferência (uma solução), mas caso encontremos ∆ < 0 concluiremos que a reta é exterior à circunferência (sistema sem solução).
CIRCUNFERÊNCIA QUE PASSA POR TRÊS PONTOS NÃO COLINEARES
Caro(a) aluno(a), você sabia que por três pontos quaisquer, não colineares (que não pertencem à mesma reta) sempre passa uma circunferência? Em outras palavras, sempre será possível determinar a equação de uma circunferência que passa por três pontos de um plano, desde que eles não sejam colineares.
Vou mostrar aqui três maneiras diferentes de determinar a equação de uma circunferência que passa por três pontos não colineares.
1ª maneiraObserve a figura:
PQ
R
52 Circunferência
Com os pontos P e Q definimos uma corda na circunferência, então o segmento PQ será uma corda, e com os pontos QR definimos outra corda QR.
PQ
R
Após desenhar as cordas PQ e QR encontramos os pontos médios das mesmas MPQ e MQR.
PQ
R
PQM
QRM
Traçamos então as retas mediatrizes dos segmentos PQ e PR.
Determinamos as equações dessas retas mediatrizes usando o ponto médio dos segmentos. Para determinar o coeficiente angular da mediatriz do segmento PQ, basta calcular o coeficiente angular de PQ e aplicar a regra do perpendicularismo, isto é, inverter e trocar o sinal. Idem para o coeficiente angular da mediatriz de QR.
mediatriz de PQ
mediatriz de PQ
PQ
R
As mediatrizes dos segmentos PQ e PR se interceptarão exatamente no centro C da circunferência. Então, para determinar o centro C da circunferência, resolvemos um siste-ma com as equações das mediatrizes.
PQ
R
Cr
Mediatriz É a reta que é perpendicular a um segmento traçada pelo seu ponto médio.
53Circunferência
IMPORTANTE
Determinando o centro, podemos calcular a distância deste centro C a qualquer ponto da circunferência que teremos o raio, por exemplo, o raio será a distância do centro C ao ponto P. Com o centro e o raio podemos, finalmente, determinar a equação da circunferência utilizando a fórmula que já deduzimos.
2ª maneiraPodemos determinar a equação de uma circunferência quando conhecemos o centro e o raio, então, é possível afirmar que quando conhecemos três pontos que pertencem à circunferência, é possível encontrar o centro da mesma resolvendo um sistema de equa-ções? É isto que você verá a seguir.
( ),P a b( ),Q c d
( ),C x y( ),R e f
Sabemos por definição que, a distância do centro C ao ponto P é igual à distância do centro C ao ponto Q, dCP = dCQ , e que a distância do centro C ao ponto P é igual à distância do centro C ao ponto R, dCP = dCR. Assim, podemos determinar as coorde-nadas do centro C resolvendo o sistema:
= =
dCP dCQdCP dCR
Encontrado o centro podemos calcular a distância do mesmo a qualquer ponto e teremos o raio r, por exemplo, r = dCP. Com o centro e o raio podemos finalmente determinar a equação da circunferência utilizando a fórmula que já deduzimos.
3ª maneira
Sabemos que a equação geral da circunferência é: 2 2 0+ + + + =x y Dx Ey F . Desta forma, se conhecemos três pontos que pertencem à circunferência, por exemplo, A(a1, a2 ), B(b1, b2 ) e C(c1, c2 ), podemos substituir cada um deles na equação geral acima e resolver um sistema de três equações para determinar os números D, E e F, assim, obteremos a equação da circunferência que contém os pontos A, B e C. Vejamos:
2 21 2 1 22 2
1 2 1 22 21 2 1 2
0
0
0
+ + + + =
+ + + + = + + + + =
a a a D a E Fb b b D b E Fc c c D c E F
Então aluno(a), chegamos ao final de mais um módulo. Há alguma dúvida sobre os elementos da circunferência e suas equações? Minha dica é que você pesquise um pouco mais sobre esse assunto na internet ou na bibliografia de referência. Que tal também estudar sobre as características reflexivas destas curvas e das curvas cônicas? São conceitos importantes para o estudo da Geometria Analítica. Bons estudos!
54 Circunferência
55
Síntese
Neste módulo você aprendeu a definição de uma circunferência no plano, viu que para determinar a equação de uma circunferência é necessário conhecer seu centro e seu raio. Você também compreendeu quais são os tipos de equações da circunferência e estudou sua posição no plano em relação a pontos e a retas.
Referências
EVES, Howard. Introdução à História da Matemática – Campinas: Editora da Unicamp, 1997.
JÚDICE, Edson Durão. Elementos de Geometria Analítica – Belo Horizonte: Sistema Pitágoras de Ensino, 1976, 2ª edição.
SIMMONS, George F. Cálculo com Geometria Analítica – São Paulo: Mc Graw-Hill, 1987.
WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica – São Paulo: Makron Books do Brasil Editora Ltda, 2000.