circuitos de segunda ordem - utfpr
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CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM
Prof. Luis C. Vieira
http://paginapessoal.utfpr.edu.br/vieira/el63a-eletricidade
INTRODUÇÃO • Circuitos que contem dois elementos armazenadores
de energia. • Segunda ordem → equações diferencias que incluem
derivadas de 2º grau.
VALOR INICIAL E VALOR FINAL
• v(0), dv(0)/dt, v(∞)
• i(0), di(0)/dt, i(∞)
• Usar sempre a convenção de sinais dos elementos passivos para v no capacitor e i no indutor. • A tensão do capacitor não muda abruptamente:
• A corrente no indutor não muda abruptamente:
A chave foi fechada há um bom tempo. Ela é aberta em t = 0. Determine i(0+), v(0+), di(0+)/dt, dv(0+)/dt, i(∞) e v (∞).
EXEMPLO 1
RLC SÉRIE SEM FONTES
Condições iniciais: Na ED:
Solução da ED Homogênea de 2ª Ordem
Solução da ED Homogênea de 2ª Ordem
As raízes s1 e s2 são chamadas de frequências
naturais.
• ω0 é chamada de frequência de ressonância, expressa em rad/s.
• α é o fator de amortecimento
Solução da ED Homogênea de 2ª Ordem
As constantes A1 e A2 são determinadas a partir dos valores iniciais de i(0) e di(0)/dt.
Resposta Natural:
Análise de α e ω0
• Se α > ω0 temos o caso sobreamortecido: – As raízes da equação característica do circuito são
diferentes e reais.
• Se α = ω0 temos o caso criticamente amortecido: – As raízes da equação característica do circuito são
iguais e reais.
• Se α < ω0 temos o caso subamortecido: – As raízes são complexas conjugas.
Circuito Sobreamortecido
α > ω0
Circuito Criticamente Amortecido
α = ω0
Circuito Subamortecido
α < ω0
Tanto ω0 quanto ωd são frequências naturais: • ω0 é chamada de frequência natural sem amortecimento • ωd é chamada frequência natural amortecida
Circuito Subamortecido
α < ω0
Circuito Subamortecido
α < ω0
A resposta tem uma constante de tempo 1⁄α e um período de 2π/ωd
Características Gerais do Circuito RLC
Resumo RLC sem Fontes
Tipo Condição Critério Resposta
Paralelo Sobre
amortecido Série
Paralelo Criticamente
amortecido Série
Paralelo Sub
amortecido Série
EXEMPLO 2
Determine i(t) no circuito abaixo. Suponha que o circuito tenha atingido o estado estável em t = 0-.
RLC PARALELO SEM FONTES
Condições iniciais: Na ED:
Solução da ED Homogênea de 2ª Ordem
Análise de α e ω0
• Se α > ω0 temos o caso sobreamortecido:
• Se α = ω0 temos o caso criticamente amortecido:
Análise de α e ω0
• Se α < ω0 temos o caso subamortecido:
ou
Resumo RLC sem Fontes
Tipo Condição Critério Resposta
Paralelo Sobre
amortecido Série
Paralelo Criticamente
amortecido Série
Paralelo Sub
amortecido Série
EXEMPLO 4
• No circuito RLC paralelo, encontre v(t) para t>0, assumindo que: – v(0) = 5 V – i(0) = 0 A – L = 1 H – C = 10 mF
• Considere três casos: – R=1,923 Ω – R=5 Ω – R=6,25 Ω
• Plote no Excel os três gráficos
Obs.: As constantes A1 e A2 são determinadas a
partir dos valores iniciais de v(0) e dv(0)/dt:
Exemplo 4 - Análise
RLC Série com Fonte Independente
A ED tem a mesma forma característica das equações vistas anteriormente. Mais
especificamente, os coeficientes são os
mesmos, mas a variável é diferente.
Logo, a equação característica para o
circuito RLC-Série não é afetada pela
presença da fonte cc.
RLC Série com Fonte Independente
• A solução da equação anterior, possui dois componentes: a resposta transitória vt(t) e a resposta em regime permanente vss(t):
• A resposta transitória vt(t) é a componente da resposta total que se extingue com o tempo. A forma dela é mesma do circuito RLC sem fonte, ou seja:
sobreamortecido
criticamente amortecido
subamortecido
RLC Série com Fonte Independente
• A resposta em regime permanente é o valor final de v(t) – no capacitor:
• Portanto:
sobreamortecido
criticamente amortecido
subamortecido
As constantes A1 e A2 podem ser determinadas a partir das condições iniciais para v(0+) e dv(0+)/dt
EXEMPLO 5
Encontre v(t) e i(t) para t > 0. Considere três casos:
• R=5Ω • R=4Ω (tarefa – plotar o gráfico) • R=1Ω (tarefa – plotar o gráfico)
Exemplo 5 - Análises
RLC Paralelo com Fonte Independente
A solução completa consiste na resposta transitória e na
resposta em regime permanente:
• A resposta transitória é mesma vista anteriormente.
• A resposta em regime permanente é o valor final de i (indutor). Para o circuito RLC-Paralelo é o valor final da corrente através do indutor que é o mesmo da fonte de corrente (IS)
RLC Paralelo com Fonte Independente
sobreamortecido
criticamente amortecido
subamortecido
As constantes A1 e A2 podem ser determinadas a partir das condições iniciais para i(0) e di(0)/dt
EXEMPLO 6
No circuito a seguir encontre i(t) e iR(t) para t > 0.
REFERÊNCIAS
• Charles K. Alexander; Matthew N. O. Sadiku. Fundamentos de Circuitos Elétricos; 5ª ed.
• J. David Irwin. Análise Básica de Circuitos para Engenharia; 10ª ed.
• Jack E. Kemmerly, Steven M. Durbin, William H. Hayt; Análise de Circuitos de Engenharia; 8ª ed.
• Robert Boylestad. Introdução À Análise de Circuitos; 12ª ed.