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CINTHIA ANDREIA GARCIA SOUSA

UM ESTUDO SOBRE MÉTODOS DECONTINUAÇÃO PARA ANÁLISE DE

ESTRUTURAS NÃO LINEARES

São Paulo2012

CINTHIA ANDREIA GARCIA SOUSA

UM ESTUDO SOBRE MÉTODOS DECONTINUAÇÃO PARA ANÁLISE DE

ESTRUTURAS NÃO LINEARES

Dissertação de Mestrado apresentada à Escola Poli-

técnica da Universidade de São Paulo para obtenção

de título de mestre.Área de Concentração:

Engenharia de Estruturas

Orientador:

Prof. Dr. Paulo de Mattos Pimenta

São Paulo2012

À minha mãe, meu irmão e ao meu noivo, Rodrigo.

ii

Agradecimentos

Ao orientador, Prof. Dr. Paulo de Mattos Pimenta, pelo apoio, incentivo, orientação e

sobretudo pela amizade e confiança em mim depositadas.

Ao Prof. Gabriel, por ter me apresentado a essa área fascinante, que é a Engenharia de

Estruturas. Agradeço imensamente por ter me apoiado e inspirado nas minhas decisões

profissionais.

À minha querida mãe, Maria das Graças, por ser meu grande exemplo de vida, amor,

força, esperança e fé. Ao meu irmão Demis, pela amizade e companheirismo. Agradeço

ainda por sempre acreditarem na minha capacidade e me darem suporte para superar

todas as etapas e dificuldades durante todo esse período.

Ao Rodrigo Rocha, meu grande amor e inspiração, por toda dedicação incondicional,

amor e carinho. Agradeço por sempre estar disposto a me ajudar e por tudo que eu

aprendi com ele até hoje. Obrigada por me dar o privilégio de viver ao seu lado.

A todos os colegas do JAC/LMC/AADP pela amizade. Em especial, ao Fernando Gon-

çalves, Leonardo Lago, Marcelo Teixeira, Jorge Costa, Henrique Campelo, Paulo Nigro

e a Gabriela Lins, pelo apoio, incentivo e companheirismo.

Às minhas grandes amigas Ludmila Figueiredo e Flávia Evangelista, por sempre esta-

rem ao meu lado, pelo amor fraterno e amizade eterna. Ao meu grande amigo Ronaldo,

por sempre estar disposto a me ajudar e pela ótima companhia.

À FAPESP pelo apoio financeiro.

"O inimigo mais perigoso que você poderá encontrar será sempre você mesmo."

Friedrich Nietzsche.

iv

Resumo

Nas últimas décadas, considerável evidência tem sido direcionada no desenvolvi-

mento de métodos computacionais que analisam os comportamentos não lineares das

estruturas. O método da corda é considerado o tipo de método de seguimento de tra-

jetórias que possui a técnica mais comum e versátil para analisar tais comportamentos

não lineares. No entanto, testes realizados pelos autores concluem que tais métodos

ainda apresentam algumas dificuldades quando as estruturas possuem formas comple-

xas e comportamentos fortemente não lineares. Devido a isso, o objetivo do trabalho em

questão é acrescentar duas modificações ao método da corda, a fim de desenvolver um

modelo mais seguro e estável. A esses métodos, inclui-se (i) uma equação alternativa

para o passo previsor, que tornará o método mais estável ao ultrapassar pontos críticos;

e (ii) um parâmetro de controle, que através do conceito de soma dos comprimentos de

corda, é chamado de método da corda acumulado. Ao final, por consequência destas

alterações, um procedimento mais robusto para o método da corda é obtido. Sua vali-

dação é apresentada, pelos autores, através de exemplos utilizando estruturas treliçadas

(bidimensionais e tridimensionais) em um programa de simulação numérica desenvol-

vida.

Palavras-chave: Métodos de Continuação, Análise Não Linear de Estruturas, Algo-

ritmo(Otimização).

Abstract

In the last decades, a considerable effort has been directed to develop of computa-

tional methods to analyze the nonlinear behavior of structures. The arc-length method

is considered the type of path following method which have the most common and ver-

satile techniques for analyzing such nonlinear behaviors. Nevertheless, tests performed

by the authors conclude that such methods present some difficulties when the structures

possess complex shapes and strongly nonlinear behaviors. Due to this, the purpose of

the present work is to add two amendments to the arc-length method, in order to de-

velop a model safer and more stable. In such methods, it is included (i) an alternative

equation for the predictor step, that will make the method most stable to overcoming

critical points, and (ii) a control parameter, through the concept of sum of the arc length

up to now, referred to as accumulated arc-length method. By the end, as a result of these

modifications, a more robust procedure for the method of the string is obtained. And

its validation is presented by the authors through examples using truss structures in a

two-dimensional and three-dimensional numerical simulation program developed.

Keywords: Arc-Length Method, Nonlinear Structural Analysis, Algorithm (Optimiza-

tion).

Sumário

Lista de Figuras ix

Nomenclatura xiii

1 Introdução 1

2 Teoria Geometricamente Exata para Treliças 6

2.1 Considerações Sobre Tensões e Deformações . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Equações Constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Equações de Equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Métodos de Continuação 15

3.1 Formulação Inicial para os Métodos de Continuação . . . . . . . . . . . 21

3.2 Métodos Corretores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.1 Método da Corda Esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.2 Método da Corda Cilíndrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.3 Método da Corda de Schweizerhof-Wriggers . . . . . . . . . . 30

3.3 Métodos Previsores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3.1 Sinal do Determinante da Matriz de Rigidez . . . . . . . . . . . 34

3.4 Comprimento de Corda Incremental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4 Otimização do Método da Corda 38

4.1 Método da Corda Acumulado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1.1 O Comprimento da Corda Acumulado . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1.2 Aproximação Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1.3 Aproximação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1.4 Aproximação Quadrática Alternativa . . . . . . . . . . . . . . 46

4.1.5 Parâmetros de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2 Novo Método Previsor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2.1 Critério do Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5 Simulação Numérica 53

5.1 Métodos Previsores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.1.1 Treliça de duas barras geometricamente simétricas . . . . . . . 53

5.1.2 Domo em forma de estrela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.2 Métodos Corretores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.2.1 Domo em forma de estrela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2.2 Arco Circular bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.3 Método Acumulado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6 Conclusões Finais 82

Referências 84

Lista de Figuras

2.1 Descrição da deformação de uma barra. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.1 Diagrama carga-deformação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2 Trajetórias primária e secundária. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3 Comportamento de carga limite (snap-through). . . . . . . . . . . . . . 17

3.4 Comportamento de deslocamento limite (snap-back). . . . . . . . . . . 17

3.5 Método de Controle de Carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.6 Método de Controle de Deslocamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.7 Método da Corda proposto por Riks (1979). . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.8 Método da Corda proposto por Crisfield (1991). . . . . . . . . . . . . . 20

3.9 Método da Corda de Schweizerhof-Wriggers (SCHWEIZERHOF; WRIG-

GERS, 1986). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.1 Treliça com duas barras simétricas e carga aplicada . . . . . . . . . . . 54

5.2 Diagrama de carga-deformação da treliça utilizando o previsor det(Kt). 54

5.3 Diagrama de carga-deformação da treliça utilizando o Critério do Pro-

duto Interno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.4 Comparação dos Diagramas carga-deformação da treliça utilizando os

dois métodos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.5 Domo tridimensional em forma de estrela. . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.6 Diagrama de carga-deformação do Domo utilizando o previsor det(Kt). 57

5.7 Diagrama de carga-deformação utilizando o Critério do Produto Interno. 58

5.8 Trajetória de equilíbrio com pontos convergidos do Domo utilizando o

Método da Corda Cilíndrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.9 Diagrama de convergência do Domo no Método da Corda Cilíndrico. . 60

5.10 Trajetória de equilíbrio com pontos convergidos do Domo utilizando o

Método de Schweizerhof-Wriggers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.11 Diagrama de convergência do Domo no Método de Schweizerhof-Wriggers. 61

5.12 Trajetória de equilíbrio do domo com pontos de deformação. . . . . . . 61

5.13 Estado deformado do domo no ponto A. . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.14 Estado deformado do domo no ponto B. . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.15 Estado deformado do domo no ponto C. . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.16 Estado deformado do domo no ponto D. . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.17 Estado deformado do domo no final da trajetória de equilíbrio. . . . . . 63

5.18 Arco circular treliçado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.19 Trajetória de equilíbrio do Arco utilizando o Método da Corda Cilíndrico. 64

5.20 Trajetória de equilíbrio do Arco, com pontos convergidos, utilizando o

Método da Corda Cilíndrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.21 Diagrama de convergência do Arco no Método da Corda Cilíndrico. . . 65

5.22 Diagrama de carga-deformação do Arco utilizando o Método de Schweizerhof-

Wriggers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.23 Diagrama de carga-deformação do Arco, com pontos convergidos, uti-

lizando o Método de Schweizerhof-Wriggers. . . . . . . . . . . . . . . 66

5.24 Diagrama de convergência do Arco no Método de Schweizerhof-Wriggers. 67

5.25 Trajetória de equilíbrio do Arco com pontos de deformação. . . . . . . 67

5.26 Estado deformado do arco no ponto A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.27 Estado deformado do arco no ponto B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.28 Estado deformado do arco no ponto C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.29 Estado deformado do arco no ponto D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.30 Estado deformado do arco no ponto E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.31 Estado deformado do arco no ponto F. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.32 Estado deformado do arco no final do processo. . . . . . . . . . . . . . 71

5.33 Propriedades geométricas do cilindro (CAMPELLO, 2005). . . . . . . . . 72

5.34 Barras de treliça do cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.35 Diagrama de carga-deformação do cilindro utilizando o Método da Corda

Cilíndrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.36 Diagrama de carga-deformação do cilindro utilizando o Método da Corda

Acumulado (λd = 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.37 Diagrama de comparação de convergência. . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.38 Diagrama de carga-deformação do cilindro para λd = 100. . . . . . . . 75

5.39 Configuração deformada do cilindro em λd = 100. . . . . . . . . . . . 76





5.44 Diagrama de carga-deformação do cilindro para λd = 10000. . . . . . . 78

5.45 Configuração deformada do cilindro em λd = 10000. . . . . . . . . . . 79

5.46 Configuração atual e deformada do cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.47 Configuração deformada do cilindro, visto pelo ângulo 1. . . . . . . . . 80



Nomenclatura

Letras Latinas

x Vetor posição de um ponto no espaço em relação à sua origem

u Vetor deslocamento do ponto no espaço

ℓr Comprimento da barra de treliça na configuração de referência é

ℓ Comprimento da barra de treliça na configuração deformada

N Força normal

Ar Área da seção transversal na configuração de referência

E Módulo de Elasticidade

U Energia de deformação da barras de treliça

V r Volume da barra na configuração de referência

D Módulo tangente de rigidez elástica

L Matriz composta por matrizes identidade

p Vetor de deslocamentos nodais

lr Vetor de comprimento da barra na configuração de referência

I Matriz identidade

l Vetor de comprimento da barra na configuração deformada

P Vetor dos esforços nodais internos

kt Matriz de rigidez tangente de uma barra

ke Matriz de rigidez elástica da barra de treliça

kg Matriz de rigidez geométrica da barra de treliça

Rint Vetor dos esforços internos da estrutura

Kt Matriz de rigidez tangente da estrutura

A Matriz de conectividade do elemento de barra e

r Vetor dos deslocamentos nodais da estrutura no sistema global

g Vetor de forças residuais

p Vetor de deslocamento nodal

qef Vetor de força externa aplicada

qi Vetor de forças internas

s Comprimento de corda

D Matriz diagonal

I0 Número de iterações requeridas

Id Número de iterações desejadas

Li Comprimento do arco acumulado

Ld Comprimento de corda acumulado desejado

Letras Gregas

ρ Estiramento

ε Deformação linear

σ Tensão nominal

σ0 Tensão inicial

ϕ Energia de deformação específica por unidade de volume

ξ Vetor de coordenadas nodais

δ Representa as grandezas virtuais

δε Deformação virtual

λ Fator de carregamento

ψ Parâmetro de dimensionamento

∆l Comprimento de corda incremental

∆p Vetor de deslocamento incremental

∆λ Fator de carregamento incremental

δp Vetor de deslocamento iterativo

δλ Fator de carregamento iterativo

δ p̄ Vetor de deslocamento que se origina do método de Newton-Raphson

δpt Vetor de deslocamento tangencial

∆qef Vetor forças externas incremental

λd Fator de carregamento predefinido

∆ld Comprimento de corda incremental desejado

γ Parâmetro de comprimento acumulado

1

1 Introdução

Com o crescente avanço tecnológico e a consolidação do Método dos Elementos

Finitos, houve uma grande necessidade de analisar estruturas com características com-

plexas, levando em consideração as não linearidades geométricas e materiais. Desse

modo, o desenvolvimento e a aplicação de procedimentos numéricos para seguir tra-

jetórias de solução em problemas estruturais não lineares têm recebido uma atenção

significativa nas últimas décadas.

As análises do comportamento de sistemas estruturais requerem a solução das equa-

ções de equilíbrio mediante a variação de parâmetros do sistema, tais como: intensidade

de carga, amplitudes de deslocamento, variáveis de projeto, entre outros. Estas análi-

ses são de considerável interesse para a localização e caracterização dos pontos críticos

(pontos limites e de bifurcação) nestes conjuntos de soluções (RIKS, 1984).

Um método de análise estrutural ideal deve ser capaz de traçar inteiramente a tra-

jetória de equilíbrio de uma estrutura, podendo apresentar um comportamento suave

quanto um fortemente não linear, mesmo com a presença de pontos limites de carga e

de deslocamento e, possivelmente, pontos de bifurcação. Isto é possível através da utili-

zação de procedimentos incrementais-iterativos como o de Método de Newton-Raphson.

Para tanto, foram desenvolvidas várias técnicas de solução para obter a trajetória

de equilíbrio. O Método de de Newton-Raphson com controle de Carga foi o primeiro

método desenvolvido com este propósito, mas ele falha na vizinhança do ponto limite.

Para superar as dificuldades em ultrapassar os pontos limites, foram introduzidas as

técnicas de controle de deslocamento (BATOZ; DHATT, 1979). No entanto, para sistemas

1 Introdução 2

estruturais que exibem comportamento de snap-through ou snap-back, estas técnicas

conduzem ao erro.

Como alternativa, ou era necessário alternar entre os controles de carga e de desloca-

mento (SABIR; LOCK, 1972) utilizando as molas artificiais de Wrigth e Gaylord (1968),

ou lançar mão de técnicas que optam por abandonar as iterações de equilíbrio nas ime-

diações do ponto limite (BERGAN; SOREIDE, 1978; BERGAN et al., 1978). Contudo, estas

técnicas são desenvolvidas especificamente para uma determinada estrutura.

A motivação dos Métodos de Continuação consistia em encontrar respostas para

perguntas sobre o comportamento de uma estrutura como as citadas por Crisfield (1991)

(com tradução nossa):

• Realmente era um ponto limite ou foi o procedimento de solução ite-

rativa que entrou em colapso?

• Isso foi apenas um máximo local e a estrutura ainda pode ser carre-

gado, estando longe de sofrer um colapso?

• Como é o processo de colapso, dúctil ou frágil?

Os Métodos de Continuação são, basicamente, métodos previsores-corretores. Um

número considerável de diferentes Métodos de Continuação são propostos na literatura,

entre os quais, o mais popular é o método chamado de Método da Corda originalmente

desenvolvido por Riks (1972, 1979) e Wempner (1971).

O Método da Corda é composto pelo seguintes procedimentos de solução: formula-

ção inicial, onde uma equação de restrição é formulada, método previsor, método corre-

tor e controle do comprimento de corda. Além disso, os Métodos da Corda diferenciam-

se uns dos outros através das variações de ao menos um destes procedimentos.

Diferentes versões do Métodos da Corda desenvolvido por Riks (1972, 1979) e

Wempner (1971) foram propostas por Ramm (1981), Crisfield (1981, 1991), Riks (1984),

Forde e Stieme (1987), Al-Rasby (1991), Fafard e Massicotte (1991), Wagner (1991),

Wriggers P. e Miehe (1987) com o propósito de aprimorar o método original modifi-

1 Introdução 3

cando a equação de restrição ou algum outro conceito pertencente ao passo corretor.

Do mesmo modo, Crisfield (1991), Feng et al. (1996), Neto e Feng (1999), Bergan

e Soreide (1978), Bergan et al. (1978) propuseram diferentes métodos para aprimorar a

determinação do sinal correto para o carregamento incremental inicial, pertencente ao

passo previsor.

Além disso, Teng e Lou (1997), Teng e Luo (1998) propuseram a adição um parâ-

metro de comprimento de corda acumulado ao Método da Corda desenvolvido por Cris-

field (1991), com o objetivo de obter um comprimento de corda melhor dimensionado.

Este método ainda proporciona a possibilidade de convergência em carregamentos pre-

definidos pelo usuário.

Devido ao grande volume de publicações que propõem diferentes técnicas e proce-

dimentos para aprimorar algum ponto do Método da Corda, foi percebida a necessidade

de verificar e testar estas modificações e, reunir as que apresentarem um melhor desem-

penho, desenvolvendo, deste modo, um Método da Corda mais robusto.

Com isso, a motivação principal que levou a realização deste trabalho consiste em

contribuir, consistentemente, para o aprimoramento do Método da Corda.

O objetivo principal deste trabalho é testar e propor um procedimento mais eficiente

para o Método da Corda por meio da análise de alguns Métodos da Corda distintos,

tornando-o mais robusto.

Primeiramente, será considerado o Método da Corda Cilíndrico, desenvolvido por

Crisfield (1991), que utiliza uma equação de restrição quadrática. Este método fornecerá

duas raízes possíveis, havendo possibilidade de ocorrerem raízes complexas. Com isso,

uma versão linearizada deste método foram propostas por Schweizerhof e Wriggers

(1986), na qual apenas uma raiz apropriada para o passo corretor é encontrada. Esta

versão também será considerada neste trabalho para fins comparativos.

Além disso, métodos previsores mais eficientes também serão analisados, levando

em consideração os trabalhos desenvolvidos por Crisfield (1991, 1997) e Feng et al.

(1995, 1996). A fim de aumentar a eficiência do Método da Corda, evitando que a

1 Introdução 4

trajetória de equilíbrio siga pela direção errada, ocorrendo o problema de doubling back

e , consequentemente a a falência do método.

Com o intuito de obter um maior controle sobre a execução do Método da Corda,

este será modificado através da introdução de um novo parâmetro fundamentado no

conceito do comprimento de corda acumulado. Contudo, este novo método é nomeado

por Método da Corda Acumulado e foi proposto por Teng e Lou (1997), Teng e Luo

(1998).

Através desta modificação, serão acrescentados ao Método da Corda dois parâme-

tros de controle. O primeiro diz respeito à convergência do método em uma carga

definida no início do processo. Este controle se faz necessário para analisar o comporta-

mento das estruturas para determinados níveis de carga. O segundo parâmetro refere-se

ao controle do comprimento da corda, este controle é essencial para que seja obtido uma

trajetória de equilíbrio de um modo eficiente através da escolha apropriada do compri-

mento de corda. Assim, o problema de retorno da trajetória para passos já convergidos

(doubling back) é totalmente resolvido.

Os procedimentos estudados serão testados através de simulações numéricas uti-

lizando estruturas treliçadas. As simulações serão desenvolvidas computacionalmente

utilizando o programa Matlab.

Dentro de todo esse contexto, o conteúdo dessa dissertação de mestrado foi dividido

em seis capítulos.

O Capítulo 2 apresenta a formulação da Teoria Geometricamente Exata utilizada

para estruturas em forma de treliças.

O Capítulo 3 refere-se aos Métodos de Continuação. Neste capítulo serão descritos

os Métodos da Corda considerados para este trabalho, apresentando suas respectivas

formulações.

No Capítulo 4, serão apresentadas as formulações referentes aos métodos propostos

para otimização do Método da Corda. Este capítulo diz respeito à implementação do

Método da Corda Acumulado e do Método previsor baseado no critério do produto

1 Introdução 5

interno.

No Capítulo 5, toda a teoria desenvolvida nos capítulos anteriores serão aplicadas

a diferentes estruturas treliçadas para testar o desempenho e a eficiência dos Métodos

descritos.

Finalmente, o Capítulo 6 apresenta as conclusões e ponderações referente aos mé-

todos testados no capítulo anterior.

6

2 Teoria Geometricamente Exatapara Treliças

O objetivo deste capítulo é apresentar a formulação da teoria estrutural geometrica-

mente exata para a análise não linear de treliças espaciais. As formulações apresentadas

foram propostas por Pimenta (1986, 1996) e serão restritas apenas aos materiais elásti-

cos.

Para tanto, supor-se-á que as barras das treliças sejam prismáticas – na qual sua

seção transversal é considerada constante ao longo do eixo – e que o carregamento

externo seja aplicado nos nós da estrutura.

2.1 Considerações Sobre Tensões e Deformações

O sistema de coordenadas globais que será considerado para as estruturas aqui es-

tudadas encontra-se representado pela Figura 2.1, na qual são apresentadas as configu-

rações de referência e deformada (atual) de uma barra de treliça através do espaço.

e3

e2e

1

a

br

a

b

a

b

rr

rr

l lr

xxa

ar

Conf. de

referência

Conf.

atual

Figura 2.1: Descrição da deformação de uma barra.

2.1 Considerações Sobre Tensões e Deformações 7

Neste sistema, o vetor x é denominado de vetor posição de um ponto no espaço em

relação à sua origem e o vetor u é chamado de vetor deslocamento do ponto no espaço.

O comprimento da barra de treliça na configuração de referência é representado por ℓr

e na configuração deformada por ℓ .

Define-se como medida de deformação qualquer grandeza que compare os compri-

mentos da barra de treliça nas configurações de referência e atual. Uma medida básica

de deformação é o estiramento, representado pela letra grega ρ , e é dado por

ρ =ℓ

ℓr (2.1)

A família de medidas de deformação é definida através da seguinte relação

ε =

{(ρm −1)/m , m ̸= 0

lnρ , m = 0(2.2)

No entanto, neste trabalho, será considerada apenas a medida de deformação linear,

definida na Equação 2.3, como medida de deformação da barra de treliça.

ε = ρ −1 (2.3)

Ao examinar a Figura 2.1 que apresenta as configurações de referência e deformada

de uma barra de treliça, nota-se que atua sobre a barra na configuração deformada uma

força normal denominada por N. A tensão nominal (σ ) atuante na barra na configuração

deformada é dada por

σ =NAr (2.4)

onde Ar é a área da seção transversal na configuração de referência. Sendo assim, a

partir da Equação 2.4 observa-se que

2.2 Equações Constitutivas 8

N = σAr (2.5)

2.2 Equações Constitutivas

Nesta seção, tratar-se-á, de forma concisa, as relações constitutivas elásticas para as

barras de treliças.

Uma barra está em regime elástico se existir uma relação em que cada deformação

associa a uma só tensão. A equação constitutiva elástica pode ser expressa pela função

σ = σ (ε) (2.6)

A Equação 2.7 se refere à equação constitutiva linear dada pela lei de Hooke e

trata-se de um caso particular da Equação 2.6.

σ = Eε +σ0 (2.7)

onde E é o módulo de Elasticidade e σ0 é a tensão inicial.

A seguir, pode-se definir que

ϕ (ε) =∫ ε

0σ (η)dη (2.8)

onde ϕ é a energia de deformação específica por unidade de volume da configuração de

referência.

Com isso, a energia de deformação (U) da barras de treliça é dada por

U = Arℓrϕ (2.9)

2.3 Equações de Equilíbrio 9

onde o volume da barra na configuração de referência é dado por V r = Arℓr.

Para a lei de Hooke definida pela Equação 2.7, tem-se

ϕ =12

Eε2 +σ0ε (2.10)

Considerando a definição da Equação 2.8, conclui-se que

σ =dϕdε

(2.11)

onde, observa-se que, ϕ pode ser utilizado como potencial para as tensões.

O módulo tangente de rigidez elástica, representado pela letra D, é definido por

D =dσdε

(2.12)

ou

D =d2σdε2 (2.13)

Em geral, pode-se dizer que

D = D(ε) (2.14)

Contudo, para a lei de Hooke, D é considerada uma constante dada por

D = E (2.15)

2.3 Equações de Equilíbrio

Considerando novamente a Figura 2.1, nota-se que a e b correspondem às extremi-

dades de uma barra de treliça na configuração deformada. Com isso, é possível deter-


minar os vetores x e u destas extremidades e assim obter os vetores de coordenadas (ξ )

e deslocamentos (p) nodais da barra representados, respectivamente, por

ξ =

[xa

xb

]6x1

(2.16)

e

p =

[ua

ub

]6x1

(2.17)

O vetor de comprimento da barra na configuração de referência (lr) é dado pelo

vetor que une a extremidade a com a extremidade b. Considera-se a sua origem na

extremidade a, da seguinte forma

lr = L ξ (2.18)

considerando que L é uma matriz composta por matrizes identidade (I), como

L =[−I3 I3

](2.19)

Da mesma forma, o vetor de comprimento da barra na configuração deformada (l)

é definido por

l = L(ξ +p) (2.20)

Os comprimentos da barra nas configurações de referência e deformada são calcu-

lados, respectivamente, do seguinte modo

ℓr =

√lrT lr (2.21)

e

ℓ=

√lT l (2.22)


Por conseguinte, pode-se definir a deformação linear ε em função dos deslocamen-

tos nodais como se observa na Equação 2.23

ε = ε (p) (2.23)

ou, explicitamente,

ε =

√(ξ +p)T LT L(ξ +p)

ℓr −1 (2.24)

Através do Princípio dos Trabalhos Virtuais, torna-se possível obter o vetor dos

esforços nodais internos, representado pela letra P, para a barra de treliça da seguinte

forma

PT δp = Arℓrσδp (2.25)

onde δ representa as grandezas virtuais. No entanto, é preciso lembrar que a deformação

virtual (δε) é definida como

δε =

(∂ε∂p

)T

δp (2.26)

Para tanto, define-se o novo vetor

b =∂ε∂p

(2.27)

Ao passo que a Equação 2.26 torna-se

δε = bT δp (2.28)

Introduzindo a expressão acima na Equação 2.25, obtém-se


P = Arℓrσb (2.29)

Ao aplicar as técnicas de diferenciação para a Equação 2.24, considerando a defini-

ção dada pela Equação 2.27, obtém-se a seguinte expressão para o vetor b

b =1ℓrℓ

LT l (2.30)

Substituindo o vetor b (Equação 2.30) na Equação 2.29, obtém-se que o vetor de

forças nodais internas da barra é dado por

P = N1ℓ

LT l (2.31)

Do mesmo modo, a matriz de rigidez tangente (kt) de uma barra é definida por

kt =∂P∂p

(2.32)

a qual, por diferenciação da Equação 2.29, é possível obter sua definição da seguinte

forma

kt = Arℓrb(

∂σ∂p

)T

+Arℓrσ(

∂b∂p

)(2.33)

Para resolver a expressão acima, deve-se considerar, utilizando a regra da cadeia,

que

∂σ∂p

=dσdε

∂ε∂p

(2.34)

Nota-se que, ao considerar as Equações 2.12 e 2.15 fornecidas na seção anterior e

as Equações 2.28 e 2.30, obtém-se


∂σ∂p

= Db =Dℓrℓ

LT l (2.35)

Além disso, também por diferenciação da Equação 2.30, tem-se

∂b∂p

=1ℓrℓ

LT L− 1ℓrℓ3 LT l lT L (2.36)

Finalmente, a matriz de rigidez tangente da barra é obtida introduzindo as Equações

2.35 e 2.36 na Equação 2.33

kt =DAr

ℓr LT(

1ℓ2 l lT

)L+

Nℓ

LT(

I3−1ℓ2 l lT

)L (2.37)

A matriz de rigidez apresentada acima pode ser dividida do seguinte modo

kt = ke +kg (2.38)

As parcelas da Equação 2.38 são apresentadas a seguir pelas Equações 2.39 e 2.40.

ke =DAr

ℓr LT(

1ℓ2 l lT

)L (2.39)

kg =Nℓ

LT(

I3−1ℓ2 l lT

)L (2.40)

onde ke é a matriz de rigidez elástica e kg a matriz de rigidez geométrica da barra de

treliça.

A partir de então, é possível calcular o vetor dos esforços internos (Rint) e a matriz

de rigidez tangente (Kt) de uma dada estrutura através de P e kt para todas as barras

desta estrutura, como se observa nas Equações 2.41 e 2.42.


Rint = ∑e

AeT P (2.41)

Kt = ∑e

AeT kt Ae (2.42)

onde A é a matriz de conectividade do elemento de barra e definida por

p = A r (2.43)

O vetor r, definido pela Equação 2.43, consiste no vetor dos deslocamentos nodais

da estrutura no sistema global.

15

3 Métodos de Continuação

A análise não linear de estabilidade estrutural considera os comportamentos não li-

neares tanto geométricos quanto materiais de uma dada estrutura. Quando há uma maior

complexidade estrutural, os sistemas de equações não lineares que regem seu compor-

tamento necessitam de técnicas que descrevam por completo suas trajetórias de equilí-

brio. Consequentemente, os métodos de seguimento de trajetórias foram desenvolvidos,

como o próprio nome diz, para traçar as trajetórias de soluções não lineares arbitrárias,

identificando os pontos críticos e comportamentos de equilíbrio dessas estruturas.

O produto final de um dado sistema de equações não lineares de uma estrutura

é transferido para um sistema de coordenadas retangulares, como o apresentado pela

Figura 3.1, cujos eixos representam o fator de carga e o deslocamento de um dado

grau de liberdade e recebe o nome de diagrama de carga-deslocamento. A trajetória

adquirida neste diagrama representa, ponto a ponto, o estado de equilíbrio da estrutura

e, dessa forma, é conhecida como trajetória de equilíbrio da estrutura.

Convém observar que, quando o estado de equilíbrio inicial de uma estrutura é con-

siderado com deformações e tensões iniciais nulas (como adotado no presente trabalho),

sua trajetória de equilíbrio terá como ponto de partida a origem do diagrama de carga-

deslocamento, apresentado na Figura 3.1.

Os diagramas de carga-deslocamento são compostos por trajetórias de equilíbrio e

pontos críticos que representam o comportamento de uma estrutura. Geralmente, são

encontradas mais de uma trajetória de equilíbrio para uma determinada estrutura, como

mostra a Figura 3.2. A trajetória que cruza o estado inicial é designada por trajetó-


Figura 3.1: Diagrama carga-deformação.

ria fundamental ou primária e as demais são chamadas de trajetórias secundárias e

terciárias.

Figura 3.2: Trajetórias primária e secundária.

Por sua vez, os pontos críticos são divididos em pontos limites e pontos de bifurca-

ção. Estes últimos caracterizam-se por localizar o cruzamento (intersecção) entre duas

ou mais trajetórias de equilíbrio. Os pontos limites encontram-se localizados tangen-


cialmente à trajetória de equilíbrio, isto é, são paralelos ou ao eixo dos deslocamentos

(pontos limite de deslocamento) ou ao eixo do fator de carga (pontos limite de carga).

Caso, durante o processo do Método de Continuação, estes pontos forem ultrapas-

sados ou por um incremento de carga ou por um deslocamento adicional, o equilíbrio

estático da estrutura é perdido e esta passará dinamicamente para a próxima posição de

equilíbrio pós-crítico. Estes comportamentos dinâmicos são, respectivamente, chama-

dos de snap-through, como se vê na Figura 3.3, e de snap-back, apresentado na Figura

3.4.

Figura 3.3: Comportamento de carga li-mite (snap-through).

Figura 3.4: Comportamento de deslo-camento limite (snap-back).

As várias técnicas de seguimento de trajetórias diferenciam-se umas das outras pelas

condições de restrição adotadas para a resolução do sistema de equações não lineares.

Portanto, nos próximos parágrafos, os métodos que representam maior relevância para

este trabalho serão sucintamente apresentados.

O Método de Controle de Carga caracteriza-se por apresentar uma equação de res-

trição fundamentada na equação de equilíbrio da estrutura, definida como a diferença

entre as forças internas e o carregamento externo prescrito. Esta condição de restri-

ção resulta exatamente no método de Newton-Raphson padrão e, consequentemente,

apresenta comportamento instável ao ultrapassar os pontos de carga limites, como re-


presenta a Figura 3.5. Dessa forma, torna-se incapaz de traçar por completo a trajetória

de equilíbrio de uma estrutura com comportamento não linear.

Figura 3.5: Método de Controle deCarga.

Figura 3.6: Método de Controle deDeslocamento.

O Método de Controle de Deslocamento difere-se do Método de Controle de Carga

por ser capaz de ultrapassar os pontos limites de carga. Sua equação de restrição é uma

função dependente dos incrementos dos deslocamentos e pode ser formulada para um

único componente do campo de deslocamentos que seja decisivo para o processo. Este

método mostra-se sensível na presença dos pontos limites de deslocamento, tornando-se

instável ao ultrapassá-los, como ilustra a Figura 3.6. Consequentemente, a análise não

é completada.

O Método da Corda é, portanto, o único tipo de Método de Seguimento de Tra-

jetórias capaz de obter uma trajetória de equilíbrio completa, ultrapassando os pontos

limites e de bifurcação e ainda descrevendo os comportamentos de snap-through e snap-

back de uma estrutura.

Como já mencionado, Riks (1972, 1979) e Wempner (1971) foram os pioneiros no

desenvolvimento do Método da Corda, cuja característica principal consiste em encon-

trar a intersecção entre a equação de equilíbrio da estrutura e um dado comprimento de

corda.


Para tanto, estes autores propuseram uma equação de restrição linear em relação

ao fator de carga e ao campo de deslocamentos que fosse capaz de descrever um plano

normal tangente à curva calculada para o último passo convergido (Figura 3.7).

Figura 3.7: Método da Corda proposto por Riks (1979).

Poucos anos depois, Crisfield (1981) propôs que o Método da Corda fosse utilizado

com uma equação de restrição não linear capaz de descrever uma superfície esférica em

torno do último passo convergido, denominado de Método da Corda Esférico.

Em um trabalho posterior, Crisfield (1991) propôs que os termos de carga da equa-

ção de restrição não linear fossem desprezados com o objetivo de tornar o método mais

estável. Com isso, a superfície descrita por esta equação passou a ser cilíndrica ao invés

de esférica. Este método foi chamado de Método da Corda Cilíndrico e é ilustrado pela

Figura 3.8.

Posteriormente, uma linearização de forma consistente para o Método de Newton-

Raphson da equação de restrição quadrática (CRISFIELD, 1991) foi desenvolvida por

Schweizerhof e Wriggers (1986), como mostra a Figura 3.9.

O propósito desta versão linearizada do Método da Corda Cilíndrico é obter apenas

uma raiz como solução para o método, eliminando o surgimento de raízes complexas.

Consequentemente, este método necessita de um menor esforço computacional para ser


Figura 3.8: Método da Corda proposto por Crisfield (1991).

executado, convergindo de forma mais rápida e eficiente. No presente trabalho, este

método será denominado por Método da Corda de Schweizerhof-Wriggers.

Figura 3.9: Método da Corda de Schweizerhof-Wriggers (SCHWEIZERHOF; WRIGGERS,1986).

O Método de Continuação é composto por 4 procedimentos de solução: (1) Formu-

lação inicial, onde uma equação de restrição é formulada 1; (2) Corretor; (3) Previsor;

1Esta etapa é comumente chamada de Estratégia de Parametrização.

3.1 Formulação Inicial para os Métodos de Continuação 21

e (4) Controle do comprimento de corda. Estes procedimentos serão apresentados a

seguir.

3.1 Formulação Inicial para os Métodos de Continua-ção

A formulação que será apresentada abaixo, desenvolvida por Riks (1972, 1979) e

Wempner (1971), trata-se da formulação geral para o desenvolvimento de todos os tipos

de Método da Corda existentes.

O objetivo do Método de Continuação é encontrar a intersecção entre o sistema de

equações não lineares de uma dada estrutura e um dado comprimento de corda através

de uma equação de restrição. Para que isso se torne possível, é preciso criar um conjunto

de equações envolvendo a equação de equilíbrio da estrutura e a equação de restrição

escolhida.

Inicialmente, considera-se que o sistema de equações não lineares da estrutura seja

apresentado na forma da seguinte equação de equilíbrio

g(p,λ ) = qi (p)−λqef = 0 (3.1)

no qual g é o vetor de forças residuais, p é o vetor de deslocamento nodal, λ é um

escalar que representa o fator de carregamento, qef é o vetor de força externa aplicada e

qi é o vetor de forças internas.

Para completar este conjunto de equações, adiciona-se uma equação de restrição

através do conceito do comprimento de corda, representado pela letra s e definido pela

Equação 3.2.

s =∫

ds (3.2)


O termo diferencial ds é dado pela Equação 3.3.

ds =√

dpT dp+dλ 2ψ2qef2qef (3.3)

onde ψ é um parâmetro de dimensionamento e sua função é determinar a influência dos

termos de carga da equação no comportamento do Método da Corda.

A interseção entre o comprimento de corda s, representado pela Equação de res-

trição 3.2, e a Equação de equilíbrio 3.1 só será possível se a equação de equilíbrio se

tornar uma função de s, como mostrado na Equação 3.4.

g(s) = qi (p(s))−λ (s)qef = 0 (3.4)

Contudo, ao adotar esta aproximação, torna-se muito difícil limitar com êxito a

tendência ao equilíbrio e, neste caso, utiliza-se Métodos Previsores-Corretores 2 para

solucionar a Equação 3.4.

Dessa forma, modifica-se a forma diferencial da Equação 3.3 por sua forma incre-

mental correspondente, que resulta em

a =(∆pT ∆p+∆λ 2ψ2qef

T qef)−∆l2 = 0 (3.5)

onde a é a forma geral da equação de restrição que é escrita em termos do vetor de des-

locamento e do fator de carga, ambos desconhecidos. Ainda na Equação 3.5, define-se

que o ∆l é o comprimento de corda incremental e representa o raio fixo para a interse-

ção desejada com a trajetória de equilíbrio. O vetor de deslocamento ∆p e o fator de

carregamento ∆λ são incrementais e relativos ao último estado convergido da equação.

No Método da Corda, o fator de carregamento (λ ) é considerado uma variável des-

conhecida. Dessa forma, o número de variáveis a serem determinadas será n+1, onde

n é o número de variáveis desconhecidas do vetor de deslocamento (p) e 1 é a variável

2Original do inglês: Predictor-Corrector Method.


que corresponde ao fator de carregamento (λ ).

As variáveis mencionadas acima são determinadas através da aplicação do método

iterativo de Newton-Raphson para as Equações 3.1 e 3.5. Com isso, são obtidas as

mudanças iterativas referentes ao vetor de deslocamentos e ao fator de carga.

Quando isso se faz necessário, o Método de Newton-Raphson é melhor introduzido

através da linearização das Equações 3.1 e 3.5. Essa linearização é obtida através da

Série de Taylor truncada, conforme as Equações 3.6 e 3.7.

gi+1 = gi +∂g∂p

δpi +∂g∂λ

δλ i = gi +Ktδpi −qefδλ i = 0 (3.6)

ai+1 = ai +∂a∂p

δpi +∂a∂λ

δλ i = ai +2(∆pi)T δpi +2∆λ iδλ iψ2qef

T qef = 0 (3.7)

Nota-se que os índices sobrescritos i+ 1 representam o novo passo iterativo e i o

passo iterativo imediatamente anterior a este3. Ainda nas Equações 3.6 e 3.7 , Kt é

a matriz de rigidez tangente da estrutura e δpi e δλ i são, respectivamente, o vetor de

deslocamento iterativo e o fator de carregamento iterativo.

Primeiramente, combinam-se as Equações 3.6 e 3.7 e, num segundo momento,

considera-se gi+1 = ai+1 = 0 para calcular δpi e δλ i na forma de um sistema de matri-

zes, conforme a Equação 3.8.

(δpi

δλ i

)=−

[Kt −qef

2(∆pi)T 2∆λ iψ2qef

T qef

]−1(gi

ai

)(3.8)

É importante observar que a matriz estendida (Equação 3.8) não é simétrica para

valores incrementais desconhecidos do vetor de deslocamento e do fator de carga. Esta

matriz não se torna singular nos pontos limites, embora a matriz de rigidez tangente

3A partir daqui, estes índices sobrescritos serão frequentes nas equações. Portanto, considera-se sem-pre que i refere-se ao passo iterativo atual e (i+1) ao passo iterativo sucessor.

3.2 Métodos Corretores 24

(Kt), que a compõe, seja singular nestes pontos. Porém, nos pontos de bifurcação esta

matriz se torna singular.

O sistema de equações não-simétricas supracitado é normalmente resolvido através

de técnicas de particionamento capazes de utilizar a estrutura simétrica da matriz de

rigidez Kt e, com isso, se torna um algoritmo eficiente. No entanto, a propriedade de

não singularidade nos pontos limites é perdida (WRIGGERS, 2008).

A partir deste ponto, existem várias maneiras diferentes de se obter a solução do

sistema apresentado na Equação 3.8. Porém, neste trabalho, serão abordados apenas

dois métodos formulados nas seções a seguir.

3.2 Métodos Corretores

Nesta fase de solução do Método da Corda, são aplicados os procedimentos para

resolução do sistema de equações estendido. São desenvolvidas as diferentes equações

de restrição que define o definirá o tipo de Método da Corda.

Neste seção são apresentados dois tipos de Métodos Corretores, um com equação

de restrição quadrática e o outro com equação de restrição linearizada.

3.2.1 Método da Corda Esférico

Nesta seção, será apresentada a formulação desenvolvida por Crisfield (1981, 1991)

através das equações gerais apresentadas anteriormente.

Ao invés de solucionar o sistema definido pela Equação 3.8, Crisfield (1981) propôs

a resolução direta da equação de restrição (Equação 3.6), levando em consideração o

procedimento desenvolvido por Batoz e Dhatt (1979) para o Método de Controle de

Deslocamento 4. O diferencial deste método advém da divisão do vetor de deslocamento

iterativo, δp, em duas partes.

4Original do inglês: Displacement Control Method.


Para tanto, o Método de Newton-Raphson é alterado ao se consider um novo fator

de carregamento incremental desconhecido (λ i+1 = λ i + δλ i). Com isso, o vetor de

deslocamento iterativo (δp) se torna

δpi =−(Kt)−1g

(pi,λ

)=−(Kt)

−1gi +δλ i(Kt)−1qef (3.9)

Considerando a última forma apresentada na Equação 3.9, a subdivisão de δp pode

ser expressa como

δpi = δ p̄i +δλ iδpti (3.10)

As duas parcelas que compõem a Equação 3.10 são dadas por

δ p̄i =−(Kt)−1gi (3.11)

δpti = (Kt)

−1qef (3.12)

onde δ p̄i é a mudança iterativa que se origina do método de Newton-Raphson para o

carregamento controlado (com fator de carga fixo λ i) e δpti é o vetor de deslocamento

iterativo correspondente ao vetor de força externa qef.

Ao aplicar as mudanças acima mencionadas, o novo vetor de deslocamento incre-

mental é dado pela Equação 3.13.

∆pi+1 = ∆pi +δpi+1 = ∆pi +δ p̄i +δλ iδpti (3.13)

onde δλ i é a única variável desconhecida.

Por consequência, a equação de restrição (Equação 3.5) é reescrita como


((∆pi)T ∆pi +

(∆λ i)2ψ2qef

T qef

)=((

∆pi+1)T ∆pi+1 +(∆λ i+1)2ψ2qef

T qef

)= ∆l2

(3.14)

O valor de ai foi considerado como igual a 0 pelo simples fato de que o raio da

interseção desejada é sempre mantido constante durante o processo iterativo.

A substituição de ∆pi+1 (Equação 3.13) na Equação 3.14 resulta em uma equação

quadrática, como mostra a Equação 3.15.

a1δλ 2 +a2δλ +a3 = 0 (3.15)

Percebe-se que os coeficientes desta equação quadrática são iguais a

a1 =(δpt

i)T δpti +ψ2qef

T qef (3.16)

a2 = 2δpti (∆pi +δ p̄i)+2∆λ iψ2qef

T qef (3.17)

a3 =(∆pi +δ p̄i)T (∆pi +δ p̄i)−∆l2 +

(∆λ i)2ψ2qef

T qef (3.18)

A Equação 3.15 é nomeada de equação de restrição esférica, pois uma esfera é

introduzida próxima ao último passo convergido e, consequentemente, este Método da

Corda ficou conhecido como Método da Corda Esférico5.

No presente trabalho, será considerado o Método da Corda Cilíndrico, que será

discorrido a seguir.

3.2.2 Método da Corda Cilíndrico

O Método da Corda Cilíndrico é uma variação do Método da Corda Esférico, onde o

parâmetro de dimensionamento de carga (ψ) presente na equação de restrição esférica é

desconsiderado. Sua equação de restrição é chamada de equação de restrição cilíndrica.

5Original do inglês: Spherical Arc-length Method.


O parâmetro de dimensionamento ψ determina a influência do controle de carga e

de deslocamentos no comportamento do método da corda. Quando este é desconside-

rado, os termos referentes ao controle de carga da equação de restrição (Equação 3.15)

são desprezados e, com isso, o Método da Corda torna-se mais eficiente em ultrapassar

os pontos limites e os de bifurcação (AL-RASBY, 1991).

Isto se deve ao fato de que se o parâmetro de dimensionamento tender a um (ψ → 1),

o termo da equação de restrição (Equação 3.5), que contém forças externas e carrega-

mentos, tenderá ao infinito. Por consequência, o Método da Corda se comportará de

forma similar ao Método de Controle de Carga e perderá a sua característica de ultra-

passar os pontos críticos.

Não obstante, se o parâmetro de dimensionamento tende a se tornar igual a zero

(ψ → 0), o termo que contém cargas e forças externas da Equação 3.15 também ten-

derá a zero. Assim, sua capacidade de ultrapassar os pontos limites e os de bifurcação

continuará vigente.

Portanto, ao se considerar ψ = 0, a Equação 3.15 se torna igual a(∆pi)T ∆pi = ∆l2 (3.19)

Como consequência da Equação 3.15, a equação quadrática Equação 3.15 é apre-

sentada como mostra a Equação 3.20

a1δλ 2 +a2δλ +a3 = 0 (3.20)

os coeficientes da Equação 3.20 são dados pelas Equações 3.21, 3.22 e 3.23.

a1 =(δpt

i)T δpti (3.21)

a2 = 2(δpt

i)T (∆pi +δ p̄i) (3.22)

a3 =(∆pi +δ p̄i)T (∆pi +δ p̄i)−∆l2 (3.23)


No Método da Corda desenvolvido por Crisfield (1991), por haver uma equação

de restrição quadrática, três situações distintas podem ocorrer na sua resolução. Essa

característica é muito importante neste método, pois o êxito do seu desenvolvimento

depende da escolha apropriada do fator incremental de carga δλ .

Dentre as possíveis situações para a escolha da raiz apropriada na Equação 3.20,

estão:

1. Duas raízes reais δλ1 e δλ2:

Apenas uma delas será a raiz que levará a trajetória pela direção correta. A ou-

tra raiz, provavelmente, terá o sentido contrário. A escolha da raiz que levará à

direção correta é feita através da comparação entre as duas soluções encontra-

das para o vetor de deslocamento incremental atualizado ∆pi+1. Isto quer dizer

que serão encontrados ∆p1i+1 e ∆p2

i+1, ambos referentes às raízes δλ 1 e δλ 2,

respectivamente.

A raiz apropriada será aquela que possuir a direção mais próxima do vetor de

deslocamento incremental anterior ∆pi, considerando o menor ângulo entre este

e ∆pi+1. Isso é obtido ao analisar o maior cosseno do ângulo, através da seguinte

equação

cosθ =

(∆pi)T ∆pi+1

∆l2 =

(∆pi)T (∆pi +δ p̄i)

∆l2 +δλ i(δpt

i)T δpti

∆l2 (3.24)

De um modo mais simplificado, considera-se que

cosθ =a4 +a5δλ

∆l2 (3.25)

Os coeficiente da Equação 3.25 são dados por

a4 =(∆pi +δ p̄i)+ (∆pi)T ∆pi (3.26)

a5 =(∆pi)T δpt

i (3.27)


2. Apenas uma raiz real δλlin:

Haverá apenas uma raiz real se o valor de a1 da Equação 3.21 for menor ou igual

a zero (a1 ≤ 0). Neste caso, a Equação 3.20 se tornará linear. Com isso, δλ é

dado por

δλlin =−a3

a2(3.28)

Os coeficientes a2 e a3 são expressos nas Equações 3.22 e 3.23.

3. Raízes não reais (raízes complexas):

A presença de raízes complexas podem ocorrer na vizinhança de pontos de bi-

furcação quando o comprimento de corda incremental (∆l) atual é razoavelmente

grande. Quando isso ocorre, o processo iterativo é cessado imediatamente e o

comprimento de corda incremental (∆l) é recalculado para o início do novo passo

incremental.

Encontrar raízes complexas é uma das maiores dificuldades deste método e não

há, na literatura, registro de um método que resolva, por definitivo, este problema.

Ao final de todo esse processo δpi e δλ i são calculados, atualizando o vetor de des-

locamento incremental ∆pi+1 e fator incremental de carga ∆λ i+1, conforme as Equações

3.52 e 3.30.

∆pi+1 = ∆pi +δpi (3.29)

∆λ i+1 = ∆λ i +δλ i (3.30)

O fato de se trabalhar com três possibilidades de escolha das raízes torna o Método

da Corda Cilíndrico desvantajoso, pois um esforço computacional extra é necessário

para o cálculo e escolha das raízes apropriadas.


3.2.3 Método da Corda de Schweizerhof-Wriggers

Nesta seção, será apresentada uma equação de restrição para o Método da Corda

proposto por Schweizerhof e Wriggers (1986), derivado de um processo de linearização

consistente.

Para o desenvolvimento deste método, Schweizerhof e Wriggers (1986) utilizam

com base os Métodos da Corda propostos por Crisfield (1981) e Ramm (1981).

Quanto ao método desenvolvido por Ramm (1981), os autores retiram a ideia de

utilizar uma equação de restrição linear. Devido ao fato de que a equação de restrição

linear, por possuir apenas uma raiz, torna-se exatamente satisfeita em toda iteração,

além do beneficio de não ser preciso escolher a raiz correta.

Do mesmo modo, consideram o método desenvolvido por Crisfield (1981) por pos-

sui a característica de ser mais estável perante fortes não linearidades. Devido ao fato

deste método utilizar uma equação de restrição quadrática, o que a torna apenas iterati-

vamente satisfeita.

Deste modo, Schweizerhof e Wriggers (1986) sugerem a utilização de uma equa-

ção de restrição linearizada de uma maneira consistente utilizando um método do tipo

Newton 6 para que os problemas mencionados acima sejam o resolvidos.

Para isso, ao invés de resolver diretamente a Equação 3.8, opta-se por resolver as

Equações 3.6 e 3.7, considerando gi+1 = ai+1 = 0, como mostram as Equações 3.31 e

3.32.

−gi = Ktδpi −qefδλ i (3.31)

−ai = 2(∆pi)T δpi +2∆λ iδλ iψ2qef

T qef (3.32)

O vetor de deslocamento iterativo δpi é isolado na Equação 3.31, do seguinte modo

δpi =−(Kt)−1gi +δλ i(Kt)

−1qef (3.33)

6A Newton-type scheme.


Nota-se que a Equação 3.33 é idêntica à Equação 3.9 proposta por Batoz e Dhatt

(1979), no qual o vetor de deslocamento incremental é dividido em dois termos, con-

forme a Equação 3.34.

δpi = δ p̄i +δλ iδpti (3.34)

Os dois termos do vetor de deslocamento são dados pelas Equação 3.35 e 3.36.

δ p̄i =−(Kt)−1gi (3.35)

δpti = (Kt)

−1qef (3.36)

Ao introduzir diretamente a Equação 3.34 na Equação 3.32, obtém-se

(∆pi)T (δ p̄i +δλ iδpt

i)+∆λ iδλ iψ2qefT qef =−

(ai

2

)(3.37)

onde, a é dado pela Equação 3.5 e representa a forma geral da equação de restrição

escrita em termos do vetor de deslocamentos e do fator de carga.

A Equação 3.37 é satisfeita para a quando a convergência é atingida. Esta equação

de restrição não precisa ser satisfeita em todo o conjunto de iterações.

O fator de carga é obtido isolando δλ na Equação 3.37, como mostra a Equação

3.38.

δλ i =−(ai/2

)−(∆pi)T δ p̄i

(∆pi)T δpti +∆λ iψ2qefT qef(3.38)

A equação acima é chamada de equação de restrição do Método de Schweizerhof e

de Wriggers.

Os termos de carga da equação de restrição (Equação 3.38) podem ser negligenci-

ados, como já proposto anteriormente na Seção 3.2.2, ao se considerar ψ = 0. Deste

modo, a Equação 3.38 vai influenciar apenas os termos de deslocamentos, de acordo

com a Equação 3.39.

δλ i =−(ai/2

)−(∆pi)T δ p̄i

(∆pi)T δpti(3.39)

3.3 Métodos Previsores 32

Como já mencionado, em comparação com o Método da Corda criado por Crisfield

(1981), este método possui duas vantagens: a equação de restrição não é apenas iterati-

vamente satisfeita; e sua forma linear apresenta apenas uma única raiz à ser determinada

e, devido a esse fato apresenta uma maior eficiência computacional ao elimina o pro-

blema de cálculo e escolha das raízes apropriadas e de ocorrência de raízes complexas.

Deste modo, Schweizerhof e Wriggers (1986) sugerem que a versão consistente-

mente linearizada seja utilizada sempre que as raízes do Método de Crisfield se tornarem

complexas.

Após calcular o vetor de deslocamento iterativo, δp, e o fator de carga iterativo, δλ ,

o novo vetor de deslocamento e o fator de carga incremental são atualizados mediante

as Equação 4.1 e 4.2.

∆pi+1 = ∆pi +δpi (3.40)

∆λ i+1 = ∆λ i +δλ i (3.41)

3.3 Métodos Previsores

Os Métodos de Continuação são compostos de duas fases: uma previsora e a outra

corretora, descrita na Seção XXX. Esta seção será dedicada à apresentação do Passo

Previsor 7, cuj objetivo é indicar a direção que será tomada pelo passo iterativo inicial

do Método da Corda.

A fase previsora é de grande importância para todo o processo iterativo, pois é

através desta fase que se constrói um valor de partida adequado para a fase de correção,

utilizando a informação pertencente ao último ponto calculado.

Caso a escolha do passo previsor não seja apropriada, o corretor poderá convergir

para um ponto indesejado, por conta do problema de não linearidade em questão. Desse

modo, o conjunto de pontos de solução encontrado não seguirá uma sequência correta

e, consequentemente, poderá ser encontrada uma trajetória de solução inadequada.

7Tradução livre do termo em inglês Predictor Step.


Quando este fenômeno indesejável ocorre, os métodos de continuação podem con-

vergir em pontos previamente calculados, fazendo com que a trajetória de equilíbrio

retorne a estes pontos. Este comportamento é comumente conhecido por double back

ou track back, e caracteriza uma falha na execução do método, pois o comportamento

da estrutura não será conhecido.

A expressão para o previsor origina-se da equação de estimativa desenvolvida por

Crisfield (1981). Nesta equação é adotado o Método Explícito de Euler 8 para previsores

tangenciais 9, que são obtidos apenas com base na última solução calculada. Para tanto,

considera-se a Equação 3.42 para o vetor de deslocamento incremental.

∆p1 = Kt−1∆qef (3.42)

onde Kt é a matriz de rigidez tangente no início do incremento e ∆qef o vetor incremen-

tal de forças externas.

É importante salientar que o número sobreposto ao vetor de deslocamento incre-

mental, ∆p, representa o número de iterações do passo previsor, que sempre tem o

incremento i igual a 1. Isto significa que o passo previsor será calculado apenas para a

primeira iteração.

O vetor incremental de forças externas dado pela Equação 3.42 pode ser definido

como

∆qef = ∆λ 1qef (3.43)

no qual ∆λ 1 é o carregamento incremental na primeira iteração e qef o vetor de forças

externas da estrutura.

Substituindo a Equação 3.43 na Equação 3.42, obtém-se

∆p1 = ∆λ 1Kt−1qef (3.44)

Considerando a definição do vetor δpt dada pela Equação ?? e substituindo-a na

8Na nomenclatura inglesa: forward-Euler Scheme.9Original do inglês: Tangencial predictor.


Equação 3.44, tem-se que

∆p1 = ∆λ 1δpt0 (3.45)

Neste caso, δpt0 é o vetor iterativo de deslocamento tangencial no início do processo

incremental.

A Equação 3.45 tem que ser restringida pelo comprimento de corda incremental ∆l.

Para tanto, deve-se substitui-la na Equação 3.19, resultando a Equação 3.46.

∆λ 1 =± ∆l√(δpt0)

T δpt0= s

∆l√(δpt0)

T δpt0(3.46)

onde, s representa o sinal (+ ou −) que acompanhará a equação.

É importante observar na Equação 3.46 a possibilidade de se terum sinal positivo ou

negativo. Isto significa que existem duas soluções que possuem o mesmo valor, porém

as suas direções são opostas.

Apenas uma dessas soluções seguirá a trajetória de equilíbrio correta. A outra so-

lução levará à falência do método. Desta forma, é extremamente importante escolher

corretamente o sinal desta equação.

3.3.1 Sinal do Determinante da Matriz de Rigidez

Diferentes critérios são encontrados na literatura para determinar a direção correta

da trajetória de equilíbrio. O método de escolha do sinal apropriado mais utilizado foi

originalmente introduzido por Crisfield (1981).

Neste método, a escolha do sinal s para a Equação 3.46 é fundamentada na definição

da matriz de rigidez tangente, do seguinte modo

s(∆λ 1) = s(det(Kt)) (3.47)

onde Kt é a matriz de rigidez tangente da estrutura no início do incremento, quando ∆λ 1

é calculado.

3.4 Comprimento de Corda Incremental 35

A Equação 3.47 determina que o sinal de ∆λ 1 será sempre positivo quando o deter-

minante de Kt for positivo, o que significa que a matriz de rigidez é positiva definida

(estrutura está em equilíbrio estável). Do mesmo modo, quando o determinante de Kt

for negativo (estrutura está em equilíbrio instável) o sinal de ∆λ 1 será negativo.

Além do mais, neste critério, o sinal do determinante poderá ser facilmente calcu-

lado através da análise do sinal dos termos da matriz diagonal D, originada do processo

de fatorização LDLT da matriz de rigidez Kt. Esta analise é feita do seguinte modo{todos D > 0 → s =+1

ao menos um D < 0 → s =−1(3.48)

Este método responde bem na presença de pontos limites. No entanto, na presença

de pontos de bifurcação o sinal geralmente fica oscilando entre positivo e negativo em

sua vizinhança.

3.4 Comprimento de Corda Incremental

A determinação do tamanho apropriado para o comprimento de corda incremental

∆l ainda é um procedimento subjetivo. Por conta disso, seu tamanho ideal depende de

alguns fatores do comportamento da trajetória de equilíbrio, tais como o grau de não

linearidade da curvatura da trajetória de equilíbrio e a posição dos pontos limites e de

bifurcação.

Como ainda não existe uma regra geral para definir comprimento de corda ideal, a

primeira estimativa depende de um processo de tentativa e erro.

O comprimento de corda pode ser considerado fixo, onde o valor é constante ao

longo de todo o processo do Método da Corda, ou variável, no qual seu valor varia

durante o processo incremental.

A magnitude do primeiro comprimento de corda incremental (∆l) pode ser um valor

arbitrado pelo analista antes do início do processo ou esta magnitude apropriada pode


ser calculada no início do processo de acordo com a Equação 3.49.

∆l =√(δpt0)

T δpt0 (3.49)

onde δpt0 é o vetor de deslocamento iterativo calculado no início do processo do Mé-

todo da Corda, o que justifica o índice sobreposto 0.

Para os demais passos incrementais o comprimento de corda ∆l, caso seja variável,

pode ser determinado de forma automática durante o processo incremental através do

procedimento chamado de passo de dimensionamento automático 10.

Este procedimento tem como finalidade mensurar o grau de não linearidade da traje-

tória de equilíbrio. Esta técnica leva ao fornecimento de pequenos incrementos quando

a resposta é mais não-linear e de grandes incrementos quando a resposta é mais linear.

O algoritmo deste procedimento ajusta o tamanho do próximo incremento através

de uma relação entre o comprimento de corda incremental no passo atual e número de

iterações necessários para alcançar a convergência. Esta técnica foi desenvolvida por

Crisfield (1981) e é dada pela Equação 3.50.

∆li = ∆l0

(Id

I0

)n

= ∆l0

(Id

I0

)1/2(3.50)

onde ∆li é o novo comprimento de corda incremental, ∆l0 é o comprimento de corda in-

cremental no passo atual, I0 é número de iterações requeridas e Id o número de iterações

desejadas. Nota-se que estas duas últimas variáveis são definidas pelo usuário no início

do processo. Ainda na Equação 3.50, observa-se que o parâmetro n foi considerado

como 0,5 por Ramm (1981), com o intuito de evitar que ocorram rápidas oscilações no

comprimento de corda incremental ∆l.

Caso raízes complexas sejam encontradas o comprimento de corda deve ser redu-

zido e o processo do Método da Corda reiniciado. O procedimento utilizado para reduzir

este comprimento de corda é chamado de corte automático de incremento 11, e é dado

10Termo traduzido livremente do original em inglês: Automatic step sizing.11Traduzido livremente do inglês: automatic increment cutting.


pela Equação 3.51.

∆li+1 = β∆li (3.51)

onde, β é um escalar com valor definido entre

0,1 ≤ β ≥ 0,5 (3.52)

O corte automático de incremento também é utilizado quando o sistema não alcança

a convergência após atingir o número máximo de iterações permitidas, cujo valor é

adotado no início do processo.

38

4 Otimização do Método da Corda

Nos Capítulos anteriores foram descritas e formuladas todas as etapas referentes

ao Método da Corda. Foi visto que existem alguns pontos que podem dificultar o bom

funcionamento deste método. Por conta disso, e o objetivo deste Capítulo consiste

sistematicamente em apresentar soluções para tais imperfeições.

Como já foi supracitado na Seção 3.4, ainda não existe na literatura um método

específico com a finalidade de determinar e controlar o tamanho apropriado para o com-

primento de corda ao longo do passo incremental no Método da Corda.

Este é um critério muito importante para o desenvolvimento dos métodos de con-

tinuação, pois o tamanho do comprimento de corda irá afetar todos os passos necessá-

rios para circunscrever a trajetória de solução considerada. Além disso, a cada passo

incremental, este também afetará o número de iterações de equilíbrio requeridas para

alcançar convergência no passo corretor e, ainda, poderá afetar o custo total para traçar

toda a trajetória.

As técnicas apresentadas na Seção 3.4 para determinar e controlar o tamanho do

comprimento de corda levam a procedimentos que trabalham razoavelmente bem para

problemas com suaves não linearidades. Todavia, apresentam algumas dificuldades em

estruturas que possuem mudanças repentinas e fortes não linearidades em suas trajetó-

rias de equilíbrio. Também é importante ressaltar que, caso o comprimento de corda

seja mal dimensionado, há possibilidade de raízes complexas aparecerem.

Um dos pontos chave em um algoritmo de Método da Corda diz respeito à esco-

lha correta do sinal do parâmetro de carregamento incremental na primeira iteração em

4 Otimização do Método da Corda 39

cada passo incremental-iterativo. Entretanto, conforme a Seção 3.3, existem vários cri-

térios propostos na literatura para tal determinação, porém nenhum com desempenho

satisfatório.

A escolha incorreta deste sinal inevitavelmente levará a uma resposta indesejada e,

consequentemente, causará a falência do método ou por divergência no passo corretor

ou pelo retorno da trajetória (doubling back) em pontos previamente calculados. Isto

normalmente acontece na presença de pontos limites e de bifurcação, principalmente

quando as estruturas possuem comportamentos fortemente não lineares.

Finalmente, quanto aos problemas de retorno da trajetória (doubling back) em pon-

tos já convergidos, estes podem ocorrer em qualquer estágio de um método de continu-

ação e caracterizam-se como o "fenômeno"mais indesejável que pode ocorrer em um

método de continuação.

Este fenômeno ocorre quando, por alguma razão, uma solução atual (representada

por esta letra k), converge para uma solução já calculada anteriormente (k−1), ao invés

de convergir para a próxima solução desejada (k+1). Quando isto ocorre não é possível

traçar a trajetória de equilíbrio completa da estrutura em questão.

Em geral, o doubling back pode ocorrer apenas se uma estimativa inicial ruim é

construída no estágio previsor do método, onde o critério para a escolha do incremento

de carregamento inicial correto não funciona apropriadamente. Dessa forma, o doubling

back pode ser evitado se um critério correto for válido.

Na realidade, a ocorrência dos doubling backs se dão através da deficiência entre

o parâmetro de trajetória usado e o verdadeiro comprimento de corda, o qual aumenta

quando as características não lineares se tornam mais intensas.

A única maneira para diminuir esta deficiência é adaptar uma estratégia própria de

controle do comprimento de corda, tal que a mudança entre quaisquer duas soluções

adjacentes não sejam muito acentuadas. A escolha de um preditor tangente próximo à

solução desejada garantirá encontrar um corretor adequado.

Para que os problemas descritos acima sejam resolvidos, serão propostos, nas pró-

4.1 Método da Corda Acumulado 40

ximas seções, dois métodos que serão acrescentados ao Método da Corda. Um método

define um comprimento de corda incremental e o outro propõe um novo critério de

determinação do sinal do previsor.

Primeiramente, será proposto o Método da Corda Acumulado, desenvolvido por

Teng e Luo (1998). Este método possui parâmetros de controle do comprimento de

corda e é muito estável, mesmo em estruturas com comportamentos estruturais forte-

mente não lineares.

O segundo método foi desenvolvido por Feng et al. (1995) e diferencia-se dos de-

mais por determinar o sinal apropriado (positivo ou negativo), levando em consideração

o histórico do comportamento da trajetória de equilíbrio em questão.

Ao modificar o Método da Corda utilizando estes dois métodos, os problemas acima

citados serão resolvidos. Este novo método possui maior estabilidade de execução e ga-

rante que a trajetória de equilíbrio de uma estrutura seja sempre obtida, não importando

qual o seu grau de não linearidade.

4.1 Método da Corda Acumulado

O Método da Corda Acumulado é uma forma melhorada do método da Corda, de

forma que ele possa alcançar a convergência para fatores de carga predefinidos, pon-

tos de bifurcação previstos ou valores predefinidos de qualquer outros parâmetros que

estejam em função do carregamento.

Com o objetivo de aumentar o controle do usuário sobre o Método da Corda, Teng e

Lou (1997) propuseram que um novo parâmetro fosse acrescentado ao método da corda

convencional. Este novo parâmetro foi chamado de comprimento de corda acumulado1. Ao agregar este parâmetro ao Método da Corda, este passou a se denominar Método

da Corda Acumulado 2.1Na nomenclatura inglesa, diz-se accumulated arc length.2Na nomenclatura inglesa: Accumulated Arc-Length Method.


A teoria utilizada por Teng e Lou (1997) foi primeiramente proposta por Riks (1984)

para o cálculo de pontos críticos em uma trajetória de equilíbrio.

A principal motivação para utilizar o comprimento de corda acumulado neste tra-

balho, se baseia no ganho de eficiência para a convergência em pontos críticos. Além

disso, com o advento deste parâmetro, é eliminada a possibilidade de retorno da trajetó-

ria em pontos que já foram convergidos anteriormente.

Quando não existe a necessidade de monitorar o comportamento de uma determi-

nada estrutura para um determinado fator de carga, seja para ter acesso às características

de uma estrutura para um determinado nível de carga ou para que o Método da Corda

Acumulado inicie desde o primeiro passo iterativo, o valor para o fator de carregamento

predefinido pode ser considerado nulo.

4.1.1 O Comprimento da Corda Acumulado

A idéia essencial do Método da Corda Acumulado é, inicialmente, utilizar o Método

da Corda Convencional para traçar a trajetória de equilíbrio de uma determinada estru-

tura. Durante esta execução, um monitoramento contínuo do processo é realizado para

observar o fator de carga convergido. Este monitoramento é uma poderosa ferramenta

de controle do usuário ao processo. Quando este fator convergido se aproximar do fator

de carga predefinido, o Método da Corda Acumulado é imediatamente acionado.

Para incluir este processo no método da corda convencional, ele deve ser modifi-

cado. Isso se torna possível através do conceito do comprimento de corda acumulado.

O comprimento da corda acumulado é definido como a soma de todos os incremen-

tos de comprimento do corda ∆l calculados até o momento presente, incluindo o fator

de carga atual. Sua representação é ilustrada pela Equação 4.1.

Li =i

∑k=1

∆lk (4.1)

O parâmetro Li é o comprimento do arco acumulado no passo de carga atual i e ∆lk


é o comprimento da corda incremental do método da corda convencional no passo de

carga k.

O parâmetro L representa o estado atual da estrutura e depende não apenas das

características da estrutura e seus carregamentos, mas também do processo incremental

de carga durante a análise.

Para que seja possível modificar o método da corda convencional, um novo parâ-

metro γ é definido como

γ(Li) = λi −λd (4.2)

onde λi é o fator de carregamento convergido (no método da corda convencional) no

passo de carregamento incremental i e λd é o fator de carregamento predefinido 3 que

será introduzido pelo analista no início do processo.

Nota-se que, por simplicidade de representação na formulação do Método da Corda

Acumulado proposto por Teng e Luo (1998), a convergência é requerida apenas para

um fator de carga predefinido. Em uma única análise, vários fatores de carga poderão

ser predefinidos.

O processo relativo ao Método da Corda Acumulado é iniciado quando, através da

escolha de um critério de aproximação racional, o fator de carregamento convergido

(λi) aproxima-se do fator de carregamento predefinido (λd). Contudo, neste trabalho,

pode se assumir que o valor para o fator de carregamento predefinido seja negligenciado

(λd = 0), fazendo com que o Método Acumulado se inicie junto com o Método da Corda

Convencional.

Para que o Método da Corda convencional seja modificado, calcula-se um com-

primento da corda desejado, representado por ∆ld , para o passo de carga incremental

seguinte (i+1). Para isso, o comprimento de corda acumulado desejado, Ld , deve satis-

fazer a Equação 4.3.

γ(Ld) = 0 (4.3)

3O índice d deriva-se da palavra inglesa "desired", porém aqui será utilizado como predefinido.


A Equação 4.4 define o comprimento de corda acumulado desejado.

Ld = Li+1 = Li +∆li+1 = Li +∆ld (4.4)

onde, ∆ld representa o comprimento de corda desejado para o próximo passo incremen-

tal.

Utilizando a expressão de expansão da Série de Taylor de forma truncada para a

Equação 4.3, temos

γ(Ld) = γ(Li +∆ld) = γ(Li)+dγ(Li)

dL∆ld +

12

d2γ(Li)

dL2 ∆ld2 + ...= 0 (4.5)

A Equação 4.5 permite encontrar uma aproximação para o comprimento do corda

incremental desejado (∆ld). Neste trabalho serão apresentadas três formas distintas de

aproximação para este comprimento, todas estas foram também propostas por Teng e

Lou (1997).

4.1.2 Aproximação Quadrática

Nesta aproximação, apenas os termos truncados até a segunda ordem da Equação

4.5 são considerados, sendo que os termos de terceira ordem e superiores são omitidos.

Portanto, a equação quadrática é, deste modo, ilustrada pela Equação 4.6.

γ(Li)+dγ(Li)

dL∆ld +

12

d2γ(Li)

dL2 ∆ld2 = 0 (4.6)

As derivadas de γ em relação à L, da Equação 4.6, são obtidas utilizando aproxima-

ção por diferenças finitas regressivas.

dγ(Li)

dL=

γ (Li)− γ (Li−1)

Li −Li−1(4.7)


d2γ(Li)

dL2 =dγ(Li)

/dL−dγ(Li−1)

/dL

Li −Li−1(4.8)

dγ(Li−1)

dL=

γ (Li−1)− γ (Li−2)

Li−1 −Li−2(4.9)

As derivadas referem-se ao passo de carregamento incremental atual (i) e ao passo

de carga incremental anterior a este (i−1).

A substituição de 4.2 em 4.7 e 4.9, respectivamente, leva às Equações 4.10 e 4.11.

dγ(Li)

dL=

λi −λi−1

Li −Li−1(4.10)

dγ(Li−1)

dL=

λi−1 −λi−2

Li−1 −Li−2(4.11)

Para o desenvolvimento da Equação 4.8, considera-se os resultados das derivadas

de primeira ordem obtidos pelas Equações 4.10 e 4.11, que são substituídas na Equação

4.8, resultando na Equação 4.12.

d2γ(Li)

dL2 =λi −λi−1

(Li −Li−1)2 −

λi−1 −λi−2

(Li−1 −Li−2)(Li −Li−1)(4.12)

A expressão final da aproximação quadrática é obtida introduzindo os resultados

das derivadas de primeira e segunda ordem dadas pelas Equações 4.10, 4.11 e 4.12,

respectivamente, na Equação 4.6. Com isso,

b1 ∆ld2 +b2 ∆ld +b3 = 0 (4.13)

Os coeficientes b1, b2 e b3 são definidos pelas Equações 4.14, 4.15 e 4.16, respecti-

viamente.

b1 =12

(λi −λi−1

(Li −Li−1)2 −

λi−1 −λi−2

(Li−1 −Li−2)(Li −Li−1)

)(4.14)


b2 =

(λi −λi−1

Li −Li−1

)(4.15)

b3 = (λi −λd) (4.16)

A Equação 4.13 permite encontrar o novo comprimento de corda incremental do

passo (i+1) para alcançar o nível de carga predefinido. Contudo, por ser uma equação

quadrática, existem duas raízes possíveis para ∆ld . A raiz apropriada é aquela que mais

se aproxima da solução linear. Para tanto, comparam-se as duas raízes, em termos de

valores absolutos, e a raiz apropriada é, em geral, muito menor do que a outra raiz.

Observa-se que os valores absolutos são utilizados, pois o sinal de ∆ld pode ser positivo

ou negativo dependendo da localização do ponto desejado.

Raízes imaginárias (ou complexas), teoricamente, podem ser obtidas em alguns

casos especiais, quando o valor de dγ(Li)/

dL se aproxima de zero. Não obstante, con-

forme os autores Teng e Luo (1998), esta possibilidade raramente ocorre em cálculos

numéricos. Em suas simulações numéricas este tipo de problema nunca ocorreu.

4.1.3 Aproximação Linear

A aproximação linear do comprimento do arco incremental desejado, ∆ld , é encon-

trada de forma análoga à aproximação quadrática (Seção 4.1.2). No entanto, consideram-

se apenas os termos lineares da Equação 4.5. Com isso, tem-se que

γ(Li)+dγ(Li)

dL∆ld = 0 (4.17)

Substituindo as Equações 4.10 e 4.2 na Equação 4.17, obtém-se a seguinte expres-

são

(λi −λd)+

(λi −λi−1

Li −Li−1

)∆ld = 0 (4.18)


Afim de simplificar a Equação, isola-se o ∆ld na Equação 4.18, resultando em

∆ld =λd −λi

λi −λi−1(Li −Li−1) =

λd −λi

λi −λi−1∆li (4.19)

Finalmente, a Equação 4.19 ilustra é a forma final da equação de aproximação linear

de ∆ld . Em consequência de sua linearidade, apenas um valor para ∆ld será encontrado.

A aproximação linear é uma opção vantajosa, devido à sua maior estabilidade por

determinar apenas uma raiz. Com isso, menos esforço computacional será demandado.

A aproximação linear tem como principal vantagem a não geração de raízes complexas

na solução do problema.

4.1.4 Aproximação Quadrática Alternativa

Teng e Luo (1998) propuseram uma formulação alternativa à aproximação quadrá-

tica desenvolvida na Seção 4.1.2, considerando-a mais vantajosa, pois há escolha da raiz

apropriada e não há possibilidade de gerar raízes complexas.

Nesta formulação, o comprimento de corda acumulado (L) é definido em função do

fator de carga, como mostra a Equação 4.20.

L = L(λ ) (4.20)

Após a convergência do fator de carga λi, no final do passo de carregamento i, o

comprimento de corda acumulado é igual a Li.

Adicionalmente, expande-se o comprimento de corda acumulado desejado (Ld) em

função do comprimento de corda atual (Li) através da expressão de expansão da Série

de Taylor de forma truncada.

Ld = L(λd) = L(λi +∆λd) = Li +dLi

dλ∆λd +

12

d2Li

dλ 2 ∆λd2 + ... (4.21)

onde

∆λd = λd +λi (4.22)


Considerando apenas os termos de primeira e segunda ordem da Equação 4.21, a ex-

pressão para o comprimento da corda incremental desejado (∆λd) é dada pela Equação

4.23.

∆ld = Ld −Li =dLi

dλ∆λd +

12

d2Li

dλ 2 ∆λd2 (4.23)

Novamente, para resolver as derivadas de L com relação a λ , utiliza-se a expressão

de diferenças finitas regressivas.

dLi

dλ=

Li −Li−1

λi −λi−1(4.24)

d2Li

dλ 2 =dLi/

dλ −dLi−1/

dλλi −λi−1

(4.25)

dLi−1

dλ=

Li−1 −Li−2

λi−1 −λi−2(4.26)

No entanto, substituindo as Equações 4.24 e 4.26 na Equação 4.25, tem-se

d2Li

dλ 2 =Li −Li−1

(λi −λi−1)2 −

Li−1 −Li−2

(λi −λi−1)(λi−1 −λi−2)(4.27)

Finalmente, a Equação para a aproximação alternativa é obtida substituindo as

Equações 4.24 e 4.27 na Equação 4.23.

∆ld =Li −Li−1

λi −λi−1∆λd +

12

(Li −Li−1

(λi −λi−1)2 −

Li−1 −Li−2

(λi −λi−1)(λi−1 −λi−2)

)∆λd

2 (4.28)

Com isso, conclui-se que, ao utilizar o comprimento da corda acumulado (L) em

função do fator de carga (λ ), a equação final não se torna quadrática, pois o valor do

fator de carga (λd) é conhecido.

Nota-se que, se apenas os termos lineares da Equação 4.23 forem considerados,

encontra-se uma aproximação linear para o comprimento do corda incremental idêntica

à Equação 4.19 da Seção 4.1.3.


4.1.5 Parâmetros de Controle

O Método da Corda Acumulado completa-se com a adição de dois novos parâmetros

que controlam o seu funcionamento. Estes, que são nomeados de parâmetros de con-

trole, são de essencial importância para o método e desempenham as seguintes funções:

controlar o comprimento da corda incremental e controlar o fator de carga convergido.

Como já mencionado anteriormente, o Método da Corda Acumulado só é acionado

através da análise da magnitude entre o fator de carga convergido e o fator de carga

predefinido. Para tanto, adiciona-se um critério de aproximação (α) entre estes fatores,

critério este que deve ser imposto pelo usuário no início do método.

O parâmetro de controle de carregamento determina quando o Método da Corda

Acumulado será ativado, através do monitoramento, a cada passo incremental, do fator

de carga convergido.

λd −λi ≤ α (4.29)

A análise da diferença entre o fator de carga convergido (λi) e o fator de carga

predefinido (λd) impõe que, quando esta diferença for menor ou igual ao critério de

aproximação α , o Método da Corda Acumulado deve ser acionado.

Quando este for acionado, será calculado o comprimento de corda desejado através

de uma das aproximações mencionadas nas seções anteriores. Consequentemente, ha-

verá dois comprimentos de corda diferentes, um dado pelo método convencional (∆l) e

o outro pelo método acumulado (∆ld).

Portanto, faz-se necessário adicionar outro parâmetro de controle ao processo para

determinar qual o comprimento de corda mais apropriado para ser utilizado na continu-

ação do método.

E este é designado por parâmetro de controle de comprimento de corda, que por

sua vez, analisa a magnitude de ∆ld e ∆l e determina qual o comprimento de corda que

4.2 Novo Método Previsor 49

será utilizado para o próximo passo, do seguinte modo,

∆l < ∆ld → ∆l ou ∆l > ∆ld → ∆ld (4.30)

O comprimento de corda ideal será, sempre, o de menor magnitude entre os dois

comprimentos encontrados. Isso se deve ao fato de que grandes comprimentos de corda

podem levar o método mais facilmente à divergência.

A cada passo incremental, o parâmetro de controle de carga será acionado e, caso o

Método da Corda Acumulado seja solicitado, o parâmetro de controle de comprimento

de corda também será utilizado. Deste modo, observa-se que os parâmetros de controle

são essenciais para o funcionamento do Método da Corda Acumulado.

O Método da Corda Acumulado também pode ser utilizado para alcançar conver-

gência de valores predefinidos de outros parâmetros, como por exemplo, deslocamentos

ou tensões. Logo, troca-se apenas as variáveis de carregamento (λ ) pelas variáveis cor-

respondentes ao parâmetro que será analisado.

4.2 Novo Método Previsor

Nesta seção, será apresentado o critério proposto por Feng et al. (1995) para de-

terminar o sinal correto para o fator de carregamento incremental. Este critério produz

uma previsão muito confiável para a próxima direção que a trajetória de equilíbrio de-

verá seguir.

Apenas por conveniência, a Equação 3.46, que calcula o incremento de carga para

o próximo passo, será reescrita aqui.

∆λ 1 = s∆l√

(δpt0)tδpt0

(4.31)

A letra s representa o sinal (+ ou −) que acompanhará a equação. Portanto, esta

equação terá duas soluções possíveis que, por sua vez, definem duas direções tangentes


e opostas uma à outra e, com uma delas, o procedimento retornará à solução anterior.

Como já mencionado, o critério mais utilizado para determinar o sinal do fator de

carga é dado pelo determinante da matriz de rigidez da estrutura.

s(∆λ 1) = s(det(Kt)) (4.32)

Contudo, o método proposto pela Equação 4.32 só funciona adequadamente no

Método da Corda a partir do início do seu processamento até o instante em que o ponto

de bifurcação é encontrado.

Por conta disso, um novo critério foi desenvolvido por Feng et al. (1995, 1996),

para a escolha do sinal adequando para o fator de carga incremental.

4.2.1 Critério do Produto Interno

Segundo Neto e Feng (1999), a maioria dos critérios desenvolvidos para determinar

o sinal do fator de carga incremental dependem exclusivamente de informações relativas

ao ponto de equilíbrio atual (no início do incremento). Consequentemente, a escolha do

sinal é feita sem considerar o histórico da trajetória de equilíbrio atual.

Em situações nas quais as estruturas possuem comportamentos fortemente não li-

neares, a escolha de tais critérios resultam na predição errada da direção das trajetórias

de equilíbrio para o primeiro passo incremental. Diante disso, Feng et al. (1995, 1996)

propuseram um critério diferente para a determinação do sinal de ∆λ ao considerar a

história da trajetória de equilíbrio atual da estrutura, evitando o erro de predição na

direção das trajetórias de equilíbrio.

Neste critério, o sinal do fator de carga previsto deve coincidir com o sinal do pro-

duto interno 4 entre o vetor de deslocamento incremental convergido no passo anterior,

∆p, e o vetor de deslocamento tangencial iterativo do passo atual, δpt, como mostra a

4Produto Interno é uma operação algébrica entre dois vetores.


Equação 4.33.

sinal(∆λ 1) = sinal(∆pTδpt) (4.33)

Desta forma, este método foi nomeado de critério do produto interno. O ponto fun-

damental relativo a este critério se deve ao fato de que o ∆p carrega consigo informações

sobre a história da trajetória de equilíbrio atual.

A fim de continuar traçando a trajetória atual sem retornar aos pontos previamente

convergidos, a ideia básica deste critério requer que o vetor de deslocamento do incre-

mento inicial esteja sempre em direção crescente na trajetória, obedecendo a condição

mostrada pela Equação 4.34.

∆λ∆pTδpt > 0 (4.34)

Além disso, o produto positivo entre ∆pT e δpt indica que o fator de carga está,

a cada nova iteração, aumentando de valor, de forma que o sinal positivo deva ser es-

colhido para o previsor ∆λ 1 continuar seguindo a trajetória de equilíbrio atual. Simi-

larmente, caso o produto entre ∆pT e δpt for negativo, o valor do fator de carga irá

decrescer e, assim, o sinal negativo deve ser escolhido para ∆λ 1.

A importância de se considerar o histórico da trajetória de equilíbrio pode ser pro-

vada através de argumentos geométricos. Para tanto, sabe-se que o vetor de deslo-

camento tangente δpt já definido pela Equação ??b, será repetido aqui, é dado pela

Equação 4.35.

δpt = (Kt)−1qef (4.35)

O vetor δpt é um vetor tangente à trajetória de equilíbrio no eixo dos deslocamentos.

Este vetor aponta para a direção do gradiente positivo de λ , fornecendo a informação

da direção ao longo da qual o fator de carga aumenta. Isso mostra que esta direção está

associada com a escolha positiva de λ . Desta forma, o vetor δpt indica a nova direção

da trajetória de equilíbrio atual.

Por outro lado, o vetor de deslocamento incremental ∆p é um vetor secante à traje-

tória de equilíbrio e, quando suficientemente pequeno, dá uma aproximação satisfatória


da curva de solução dentro do intervalo. O valor de ∆p, deste modo, se aproxima da

história da trajetória de equilíbrio dentro de um dado intervalo.

O vetor δpt precisa ser suficientemente pequeno para determinar precisamente a

próxima direção da trajetória, esta necessidade sempre será mantida, pois uma limitação

para o tamanho máximo deste vetor é imposta pelo comprimento de corda incremental.

Além do mais, observa-se que critério desenvolvido por Feng torna-se insensível à

presença de pontos de bifurcação e de pontos limites, assim como as dificuldades asso-

ciadas ao critério baseado no sinal do determinante de Kt e as trajetórias com acentuados

snap-backs.

53

5 Simulação Numérica

Neste capítulo, serão apresentadas simulações numéricas computacionais necessá-

rias para validar os métodos propostos e formulados neste trabalho. Para tais simulações

utilizam-se estruturas em formato de treliça discretizadas através da Teoria Geometri-

camente Exata, proposta no Capítulo 2.

As estruturas aqui utilizadas foram desenhadas utilizando um programa de pré e pós

processamento em elementos finitos chamado GID. Este programa é ideal para gerar

toda a informação requerida através de uma análise numérica estrutural porém, neste

trabalho, utiliza-se apenas as ferramentas de geração de malha para variadas estruturas.

Em seguida, foi criada uma interface para a transferência de dados entre o GID

e o programa do Método da Corda desenvolvido em ambiente Matlab, utilizando um

problem type chamado MAT-fem.

5.1 Métodos Previsores

O desempenho dos métodos previsores serão provados por meio de uma análise

comparativa dos seus comportamentos utilizando o Método da Corda Cilíndrico.

5.1.1 Treliça de duas barras geometricamente simétricas

A primeira estrutura utilizada é a treliça simples de duas barras geometricamente

simétricas, como mostra a Figura 5.1. Esta treliça foi discretizada em dois elementos


de barra e possui material de comportamento elástico linear, cujo o Módulo de Elas-

ticidade é igual a 2.1 × 105. A seção transversal da barra é igual a 20 e as demais

características geométricas são mostradas na Figura 5.1. Esta estrutura também possui

uma carga unitária, aplicada ao seu quarto grau de liberdade global, que será aumentada

incrementalmente.

Figura 5.1: Treliça com duas barras simétricas e carga aplicada

Na primeira simulação realizada, utilizou-se o método previsor baseado no sinal

do determinante da matriz de rigidez da estrutura Kt (Seção 3.3.1). A trajetória de

equilíbrio desta estrutura encontra-se na Figura 5.2.

Figura 5.2: Diagrama de carga-deformação da treliça utilizando o previsor det(Kt).


Nesta figura, também foi plotado o determinante de Kt para uma avaliação do seu

comportamento ao longo do processo.

Em seguida, utilizou-se o método previsor chamado de Critério do Produto Interno,

apresentado na Seção 4.2. A Figura 5.3 ilustra o diagrama de carga-deformação utili-

zando este previsor e também o determinante de Kt.

Figura 5.3: Diagrama de carga-deformação da treliça utilizando o Critério do ProdutoInterno.

Observa-se na Figura 5.4, que a estrutura comportou-se de forma muito uniforme

ao utilizar os dois métodos, de modo que a trajetória de equilíbrio convergiu exatamente

nos mesmos pontos.

Deste modo, pode-se concluir que este exemplo não é indicado para a avaliação

de desempenho dos Métodos Previsores por não apresentar situações fortemente não

lineares.


Figura 5.4: Comparação dos Diagramas carga-deformação da treliça utilizando os doismétodos.

5.1.2 Domo em forma de estrela

A segunda estrutura se refere a um domo em treliça espacial com o formato de uma

estrela, como mostra a Figura 5.5. Este domo já foi proposto na literatura por Crisfield

(1997) e Wriggers (2008) e possui, como característica, um comportamento fortemente

não linear.

Este domo possui material elástico não linear de St. Venant com Módulo de Young

igual a 1079.6. Quanto a sua geometria, os nós externos do domo estão localizados

em um círculo de raio igual a 50 e os nós internos em um círculo de raio igual a 25.

Os nós internos estão localizados a uma altura de 6.216, enquanto os nós do centro do

domo estão a uma altura de 8.216. Nesta estrutura, os nós externos estão simplesmente

apoiados e o ponto de carga unitária aplicada situa-se no topo do Domo, conforme a

Figura (5.5).

Assim como no exemplo anterior, foi aplicado, primeiramente, o Método da Corda


Figura 5.5: Domo tridimensional em forma de estrela.

Cilíndrico, utilizando o previsor baseado no sinal do determinante de Kt. O comporta-

mento desta estrutura encontra-se na Figura 5.6.

Figura 5.6: Diagrama de carga-deformação do Domo utilizando o previsor det(Kt).

Observa-se que, circunstancialmente, não foi possível completar a trajetória de

equilíbrio completa desta estrutura. Após o incremento de número 83 o Método da

Corda retorna ao passo incremental anterior e fica oscilando entre os passos 82 e 83 até

o término do Método.


Em seguida, foi aplicado o Método da Corda Cilíndrico utilizando o Critério do

Produto Interno proposto por Feng et al. (1995). A trajetória de equilíbrio desta estrutura

é mostrada pela Figura 5.7.

Figura 5.7: Diagrama de carga-deformação utilizando o Critério do Produto Interno.

Desta vez, a trajetória de equilíbrio foi completamente traçada, utilizando para isso

um total de 315 passos incrementais. A Figura 5.7 também mostra a trajetória de com-

portamento do determinante de Kt.

Nota-se que a trajetória de equilíbrio do domo possui um comportamento forte-

mente não linear com vários snap-through e snap-backs. Devido a este fato, o método

previsor que utiliza o sinal o determinante de Kt não consegue traçar completamente a

trajetória.

5.2 Métodos Corretores

Nesta seção, os Métodos Corretores descritos na Seção 3.2 terão seus desempenhos

testados e comparados. Duas estruturas com comportamentos diferentes serão utiliza-

das. Uma delas diz respeito a um Domo, em formato de estrela (já apresentado na Seção

5.2.1), e a outra corresponde a um arco circular bidimensional.


5.2.1 Domo em forma de estrela

As propriedades materiais e geométricas do domo espacial, em formato de estrela

(Figura 5.5), foram apresentadas na Seção 5.2.1.

Primeiramente, foi aplicado a esta estrutura o Método da Corda com equação de

restrição cilíndrica desenvolvido por Crisfield (1981). O diagrama de carga-deformação

encontra-se na Figura 5.8.

Figura 5.8: Trajetória de equilíbrio com pontos convergidos do Domo utilizando o Mé-todo da Corda Cilíndrico.

Ao utilizar esta equação de restrição cilíndrica, a trajetória de equilíbrio da estru-

tura é traçada utilizando 315 passos incrementais. A cada passo incremental, são ne-

cessários, em média, 2 passos iterativos para alcançar a convergência. Esta relação de

incrementos-iterações é ilustrada pela Figura 5.9.

Do mesmo modo, aplicou-se nesta estrutura o Método Corretor desenvolvido por

Schweizerhof e Wriggers (1986). A trajetória de equilíbrio do domo é mostrada através

do diagrama de carga-deformação da Figura 5.10.


Figura 5.9: Diagrama de convergência do Domo no Método da Corda Cilíndrico.

Figura 5.10: Trajetória de equilíbrio com pontos convergidos do Domo utilizando oMétodo de Schweizerhof-Wriggers.

Quanto ao desempenho, para se obter a mesma trajetória de equilíbrio do Método

Cilíndrico, foram necessários 465 passos incrementais. A taxa de convergência por

passo incremental ficou com uma média de 3 passos iterativos, como ilustra a Figura

5.11.


Figura 5.11: Diagrama de convergência do Domo no Método de Schweizerhof-Wriggers.

Na Figura 5.12, são assinalados alguns pontos convergidos da trajetória de equilí-

brio. As configurações deformadas do domo, referente a esses pontos, são apresentadas

em vermelho nas Figuras de 5.13 a 5.17.

Figura 5.12: Trajetória de equilíbrio do domo com pontos de deformação.


Figura 5.13: Estado deformado do domo no ponto A.

Figura 5.14: Estado deformado do domo no ponto B.

Figura 5.15: Estado deformado do domo no ponto C.


Figura 5.16: Estado deformado do domo no ponto D.

Figura 5.17: Estado deformado do domo no final da trajetória de equilíbrio.

5.2.2 Arco Circular bidimensional

A segunda análise retrata uma estrutura de arco circular bidimensional em treliça

(Figura 5.18), já proposto na literatura por Crisfield (1997).

Este arco possui 101 barras, totalizando 42 nós. O Módulo de Young considerado

é igual a 1× 107. Quanto às características geométricas, as barras externas estão lo-

calizadas em um raio com valor igual a 50 e as barras internas em um raio igual a 48.

Este arco está engastado em suas duas extremidades e o ponto de carga unitária aplicada


situa-se no centro do arco, conforme a Figura 5.18.

2 45°R=48

2 45°

Figura 5.18: Arco circular treliçado.

Do mesmo modo, aplicou-se a esta estrutura o Método da Corda com equação de

restrição cilíndrica. Consequentemente, foi obtido o diagrama de carga-deformação,

como ilustra a Figura 5.19.

Figura 5.19: Trajetória de equilíbrio do Arco utilizando o Método da Corda Cilíndrico.

Para traçar completamente a trajetória de equilíbrio da estrutura, foram necessários

670 passos incrementais. O diagrama carga-deformação com os pontos convergidos é


mostrado na Figura 5.20. Além disso, foram utilizados, em média, 3 passos iterativos

para alcançar a convergência em cada incremento, como ilustra a Figura 5.21.

Figura 5.20: Trajetória de equilíbrio do Arco, com pontos convergidos, utilizando oMétodo da Corda Cilíndrico.

Figura 5.21: Diagrama de convergência do Arco no Método da Corda Cilíndrico.

Ao se utilizar o Método Corretor através da equação de restrição de Schweizerhof-

Wriggers, a trajetória de equilíbrio do arco é mostrada pela Figura 5.22.


Figura 5.22: Diagrama de carga-deformação do Arco utilizando o Método deSchweizerhof-Wriggers.

Quanto ao desempenho, foram necessários 692 passos incrementais para traçar to-

talmente a trajetória de equilíbrio, conforme a Figura 5.23.

Figura 5.23: Diagrama de carga-deformação do Arco, com pontos convergidos, utili-zando o Método de Schweizerhof-Wriggers.


A Figura 5.24 apresenta um diagrama com a relação entre os incrementos e as ite-

rações convergidas. Foram necessários uma média de 4 passos iterativos para alcançar

a convergência em cada passo incremental.

Figura 5.24: Diagrama de convergência do Arco no Método de Schweizerhof-Wriggers.

Novamente, a configuração deformada da estrutura em alguns pontos convergidos

da trajetória de equilíbrio (Figura 5.25), são apresentadas pelas Figuras de 5.26 a 5.32.

Figura 5.25: Trajetória de equilíbrio do Arco com pontos de deformação.


Figura 5.26: Estado deformado do arco no ponto A.

Figura 5.27: Estado deformado do arco no ponto B.


Figura 5.28: Estado deformado do arco no ponto C.

Figura 5.29: Estado deformado do arco no ponto D.


Figura 5.30: Estado deformado do arco no ponto E.

Figura 5.31: Estado deformado do arco no ponto F.

5.3 Método Acumulado 71

Figura 5.32: Estado deformado do arco no final do processo.

5.3 Método Acumulado

Nesta seção, será implementado o Método da Corda Acumulado descrito na Seção

4.1. Para tanto, é utilizada uma estrutura em treliça no formato de um cilindro. Esta

estrutura será pressionada por duas forças concentradas, de forma que esteja em con-

dições que simulam o amassamento de uma lata de cerveja pelos dedos de uma pessoa

(Figura 5.33).

Este tipo de estrutura já foi utilizado por Campello (2005) e por Tiago (2007), com

a ressalva de ter sido empregado elementos de casca na modelagem. Este exemplo é

conhecido na literatura como pinched cylinder. Não obstante, foi levado ao contexto de

uma lata de cerveja por Campello (2005).

As propriedades geométricas do cilindro são apresentadas na Figura 5.33. A seção

transversal considerada é igual a 1 e o Módulo de Young adotado é igual a 3.0× 104.

Foram aplicadas duas forças opostas e concentradas no meio do cilindro e os graus de

liberdade das extremidades são restringidos. Além disso, o cilindro foi discretizado em


Figura 5.33: Propriedades geométricas do cilindro (CAMPELLO, 2005).

596 barras de treliça e possui 152 nós, como ilustra a Figura 5.34.

Figura 5.34: Barras de treliça do cilindro.

Em primeiro lugar, será comparado o desempenho do Método da Corda Acumulado

em relação ao Método da Corda Cilíndrico. Para tanto, a estrutura cilíndrica foi subme-

tida à análise pelo Método da Corda Cilíndrico, cujo diagrama de carga-deformação é

mostrado pela Figura 5.35.

Do mesmo modo, a estrutura foi submetida à análise pelo Método da Corda Acumu-

lado sem se considerar um carregamento predefinido, ou seja, foi adotado como λd = 0.

Com isso, o Método Acumulado se inicia logo no primeiro incremento. A Figura 5.36


Figura 5.35: Diagrama de carga-deformação do cilindro utilizando o Método da CordaCilíndrico.

ilustra a trajetória de equilíbrio da estrutura utilizando este método.

Quanto à análise de desempenho, o Método Cilíndrico necessita de menos passos

incrementais para traçar a trajetória de equilíbrio completa, totalizando 113 passos in-

crementais. Fazendo uma comparação, o Método Acumulado necessita de 125 passos

incrementais para traçar a trajetória até o mesmo ponto. Este último método necessita

de alguns passos incrementais a mais pelo fato do comprimento de corda ∆l calculado

ser ligeiramente menor do que o comprimento de corda calculado no Método Cilindrico.

Em contrapartida, o Método Acumulado possui uma taxa de convergência mais

eficiente do que o Método Cilíndrico, por necessitar de menos passos iterativos para

alcançar a convergência. Esta comparação pode ser vista através da Figura 5.37.

Deste modo, mesmo utilizando mais passos incrementais, o Método da Corda Acu-

mulado continua sendo uma boa opção para aprimorar o Método da Corda Cilíndrico,

uma vez que, a diferença de incrementos não é expressiva para comprometer o desem-

penho do Método da Corda. Mesmo assim, proporciona uma maior estabilidade ao


Figura 5.36: Diagrama de carga-deformação do cilindro utilizando o Método da CordaAcumulado (λd = 0).

Figura 5.37: Diagrama de comparação de convergência.


Método, melhorando a sua taxa de conversão.

A partir de então, será empregado apenas o Método da Corda Acumulado, pois será

testada a sua capacidade de convergir para um determinado carregamento predefinido.

Serão considerados 4 valores diferentes de carregamento desejado λd . Estes valores são:

100, 1000, 5000 e 10000. O critério de aproximação adotado é igual a α = 1.0×10−5.

As trajetórias de equilíbrio da estrutura com convergência em cada um dos carrega-

mentos predefinidos λd são apresentadas pelos diagramas de carga-deformação dados

pelas Figuras de 5.38 a 5.44, respectivamente.

As configurações deformadas da estrutura são apresentadas concomitantemente em

relação aos seus diagramas de carga-deformação correspondentes.

Figura 5.38: Diagrama de carga-deformação do cilindro para λd = 100.


Figura 5.39: Configuração deformada do cilindro em λd = 100.




Observa-se que independente do tamanho do carregamento predefinido, esse mé-

todo sempre irá alcançar a convergência neste.

Quanto aos diferentes métodos de aproximação desenvolvidos, diferentemente do

que Teng e Lou (1997) relataram, não apresentaram nenhuma diferença no desempe-

nho do Método Acumulado. Deste modo, recomenda-se que o método de aproximação

linear seja utilizado ao invés dos demais para evitar a possibilidade de ocorrência de

futuros problemas na escolha das raízes.

A configuração deformada do cilindro é mostrada, por vários ângulos, através das

Figuras de 5.46 a 5.49. Essa configuração deformada ocorre tanto no final do processo

do Método da Corda Cilíndrico quanto do Acumulado.


Figura 5.46: Configuração atual e deformada do cilindro.

Figura 5.47: Configuração deformada do cilindro, visto pelo ângulo 1.

82

6 Conclusões Finais

Nessa dissertação de mestrado, os Métodos de Continuação denominados Métodos

da Corda foram minuciosamente estudados, com o objetivo de otimizar o seu funciona-

mento.

Foram formulados dois tipos de Métodos Corretores, o Método da Corda Cilíndrico,

desenvolvido por Crisfield (1991), e o Método da Corda de Schweizerhof-Wriggers

(SCHWEIZERHOF; WRIGGERS, 1986), cujos desempenhos foram comparados.

Além disso, também foram propostos dois Métodos Previsores, o Método do deter-

minante da matriz de rigidez e o Critério do produto interno, desenvolvidos, respectiva-

mente, por Crisfield (1981) e por Feng et al. (1996), Neto e Feng (1999).

Finalmente, o Método da Corda Cilíndrico foi modificado através da introdução

de um parâmetro de comprimento de corda acumulado desenvolvido por Teng e Lou

(1997), Teng e Luo (1998), sendo assim nomeado de Método da Corda Acumulado.

Estes métodos supracitados foram aplicados a estruturas treliças com comporta-

mento não linear através de programação computacional e , deste modo, foi possível

obter as conclusões descritas abaixo.

Primeiramente, foi observado que, é de grande importância dimensionar cuidado-

samente o tamanho do comprimento de corda que será considerado na análise. Pois,

foi observado, neste trabalho, que um comprimento de corda mal dimensionado pode

ocasionar um número maior de divergências nas iterações e aumentar a possibilidade

de ocorrência de raízes complexas. Quanto maior o comprimento de corda escolhido,

6 Conclusões Finais 83

maior será a probabilidade dos problemas acima ocorrerem. Deste modo conclui-se

que, a determinação correta do comprimento de corda incremental inicial possui uma

importância significativa para o sucesso dos Métodos da Corda.

Com relação aos dois métodos corretores apresentados, as simulações numéricas

mostraram que o Método da Corda Cilíndrico apresenta um melhor desempenho em

comparação com o Método da Corda de Schweizerhof e de Wriggers. Isso é evidenci-

ado com um menor número de passos incrementais para traçar a trajetória de equilíbrio,

a taxa de convergência apresentada é melhor. Devido a necessidade de se satisfazer, a

cada iteração, a equação de restrição este método possui um maior domínio de atração

sobre os pontos da trajetória de equilíbrio. Como proposto por Schweizerhof e Wrig-

gers (1986), o Método consistentemente linearizado pode ser adicionado ao Método da

Corda Cilíndrico para ser usado apenas quando as raízes complexas aparecerem.

O método previsor, baseado no sinal do determinante da matriz de rigidez, pode

ser utilizado apenas em estruturas simples que não possuam comportamento de snap-

back. Por outro lado, as simulações numéricas utilizando o método previsor do Produto

interno evidenciaram a sua grande eficácia e estabilidade, mesmo quando a estrutura

apresenta um comportamento fortemente não linear.

Em primeiro lugar, pode-se concluir que o Método da Corda Acumulado é um pro-

cedimento de fácil implementação no Método da Corda. Além do mais, neste trabalho,

consolidou-se como uma boa alternativa para o aprimoramento do Método da Corda,

uma vez que, apresentou uma taxa de convergência incremental melhor quando com-

parada com a taxa de convergência do Método da Corda Cilíndrico. Isto se deve ao

conceito de comprimento de corda introduzido através do parâmetro de comprimento de

corda acumulado proporcionou uma otimização no tamanho do comprimento de corda

incremental. Esta característica também é útil para a para prevenir que não ocorra de

retorno da trajetória a pontos já convergidos.

Finalmente, como opção de otimização do Método da Corda, sugere-se fortemente

utilizar o método previsor do Critério de Produto Interno e como método corretor o

Método da Corda Acumulado com aproximação linear em análises estruturais.

84

Referências

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cinthia andreia garcia sousa - teses.usp.br · agradecimentos ao orientador, prof. dr. paulo de...

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