cinematica de rotacoes usp - texto de aprofundamento de conceitos estudados

8/19/2019 Cinematica de Rotacoes USP - Texto de Aprofundamento de Conceitos Estudados

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Cinemática das Rotações


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Mecânica » Cinemática das Rotações 1

IntroduçãoO movimento de rotação é bastante comum no nosso planeta, mas também ocorre quando

consideramos as várias partes do Universo. As galáxias, por exemplo, exibem tal movimento, umavez que se suas partes não o zessem, cairiam sobre o centro da galáxia. As estrelas também, assim

como outros corpos celestes. A Terra está em rotação em torno de um eixo imaginário no espaço.A consequência disso é uma sucessão de dias intercalados com noites.

Todos os objetos podem exibir um movimento de rotação. O pião é aquele que utilizamos comoprotótipo no estudo desse movimento que, no entanto, pode ser bem mais complexo do que asimples rotação em torno de um eixo. Nesse caso, o eixo de rotação pode executar um movimento

de precessão. A própria Terra exibe esse tipo de movimento, bem mais sutil, pois o tempo que opião-Terra leva para dar uma volta completa é de 26.000 anos. Trata-se da precessão dos equinócios.Ou seja, o eixo em torno do qual a Terra gira está em movimento de rotação.

Figura 1

Figura 2: Movimento de precessão da Terra.

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As portas das casas são xadas aos batentes utilizando-se duas ou três dobradiças, cujo efeito

é permitir o movimento de rotação da porta em torno do batente. Para fazermos uma porta girar,devemos aplicar uma força sobre ela. Certamente, você já notou que é mais fácil abrir a portaempurrando-a a partir de pontos cada vez mais distantes das dobradiças.

Nos próximos capítulos, estudaremos a dinâmica do movimento de rotação. Nesse capítulo,abordaremos a cinemática das rotações. Qualquer rotação pode ser caracterizada por até três

ângulos. Assim, as variáveis relevantes no movimento de rotação são variáveis angulares. Outroproblema relevante nesse tipo de movimento é determinar a velocidade angular (que é comum atodos os pontos). Esses são os dois temas centrais desse capítulo.

O que caracteriza o movimento, em geral, é a variação do vetor de posição de um ponto arbi-

trário do corpo. Dizemos que houve movimento de rotação pura se o vetor de posição r mudou,depois de um intervalo de tempo, desse valor para outro, ainda vetor de posição r , isto é:

( 1 )

E de tal forma que o módulo do vetor não se altere:

( 2 )

RotaçõesDenimos uma transformação de um objeto como sendo uma rotação pura se a transformação

for da forma

( 3 )

Uma rotação pura elimina cisalhamentos, mudanças de escala e translações.

Figura 3: Exemplo trivial ecorriqueiro de rotação emtorno de um eixo.

r r → '

.

r r = '

.

Figura 4

x

y

z

R R R

R R R

R R R

x

y

z

′′

′

=

11 12 13

21 22 23

31 32 33

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Ou seja,

( 10 )

Nesse caso, r representa a distância do ponto até a origem.Enquanto que a condição para que o ângulo entre dois segmentos de reta unindo os pontos até

a origem do sistema de coordenadas seja conservado em uma transformação é equivalente a

( 11 )

Essa última condição equivale à preservação de ângulos, uma vez que podemos escrevê-la soba forma:

( 12 )

Tendo em vista a propriedade de se manter os tamanhos, a propriedade (000) é equivalente apreservar os ângulos (θ = θ′)

Portanto, na linguagem matricial, escrevemos que uma rotação preserva comprimentos eângulos se as seguintes propriedades forem satisfeitas:

( 13 )

As duas propriedades cam asseguradas se a matriz de rotação for tal que

( 14 )

em que Rt é a matriz transposta de R. Infere-se que uma matriz de rotação é tal que

( 15 )

Uma matriz com essa propriedade é conhecida como matriz ortogonal.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y z x y z r r 2 2 2 2 2 2 2 2

+ + = ′ + ′ + ′ = ′( )

r r r r 1 2 1 2

= ′ ′

r r r r 1 2 1 1

cos cosθ θ= ′ ′ ′

r r r r r R R r

r r r r r R R r

T

T

=

=

′ ′ ≡

′ ′ ≡1 2 1 2 1 2

Rt R = 1

Rt = R−1

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Matrizes ortogonais têm o determinante restrito à condição:

( 16 )

Assim, matrizes ortogonais só podem ter determinantes iguais a +1 ou −1. Consideramosrotações como aquelas para as quais

( 17 )

Assim, rotações são denidas como aquelas transformações da forma (000 para as quais amatriz R satisfaz as propriedades (000) e (000).

A matriz mais geral de rotação pode ser parametrizada em termos de três ângulos, denominadosângulos de Euler. Escrevemos assim que a matriz de rotação mais geral possível é função de três

variáveis (ψ, θ, φ), que são as variáveis dinâmicas das rotações:

( 18 )

Rotação em Torno de um EixoA variável dinâmica da rotação é o ângulo de rotação em torno de um eixo. A matriz de rotação

em torno de um eixo, tomado aqui como sendo o eixo z , é dada por:

( 19 )

Infere-se que as coordenadas em um e outro sistema de referência se relacionam de acordo com:

( 20 )

Ou, mais explicitamente:

( 21 )

det det det R R Rt

= → ( ) =1 12

det R = +1

R = R(ψ, θ, φ)

R z ( )

cos

cosθ

θ θ

θ θ= −

sen

sen

0

00 0 1

′ =r R r z ( )θ

x

y

z

x

y

z

= −

′

′

′

cos

cos

θ θ

θ θ

sen

sen

0

0

0 0 1

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Em termos de componentes, temos:

( 22 )

Uma rotação de um ângulo α em torno do eixo y se escreve como:

( 23 )

Enquanto que uma rotação por um ângulo β em torno do eixo x se escreve:

( 24 )

As matrizes R y (α) e R

x (β) são dadas, respectivamente, por:

( 25 )

Figura 5: Numa rotação pura emtorno de um eixo, o módulo do vetorposição se mantém constante.

′ = +

′ = − +

′ =

x x y

y x y

z z

sen

sen

cos

cos

θ θ

θ θ

′ =r R r y

( )α

′ =r R r x

( )β

R

R

y

x

α

α α

α α

β β β

( ) =

−

( ) =

−

cos sin

sin cos

cos sin

0

0 1 0

0

1 0 0

0

0 ssin cosβ β

Figura 6: Ilustração de movimentos de rotação em tornode um eixo.

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Rotações mais Gerais: Ângulos de EulerPode-se mostrar que, para efetuarmos uma rotação de um objeto, a mais geral possível, bastam

3 ângulos (usualmente os ângulos de Euler). Para denirmos os ângulos de Euler, vamos transformaro problema como se estivéssemos fazendo a rotação de um sistema de coordenadas xas no objeto.

Consideremos dois eixos rotacionados da forma mais geral possível. O plano x - y cruza com oplano x' - y' ao longo de um eixo, conhecido como a linha nodal.

Note-se que o plano x' y' perfura o plano x y, determinando um segmento de reta (linha nodal).Os ângulos φ e ψ são denidos como o ângulo entre os eixos e y e x com essa reta (linha nodal).

Podemos fazer os três eixos coincidir, fazendo uma rotação em torno do eixo z do ângulo ψ, emseguida uma rotação do ângulo θ em torno da linha nodal, e nalmente uma rotação de um ângulo

φ em torno do eixo z '.Seja ψ o ângulo formado pela linha nodal e o eixo x. O ângulo ψ é o primeiro ângulo de Euler.O segundo ângulo de Euler é o ângulo entre os eixos z e z ', designado pela letra grega θ.

O ângulo entre a linha nodal e o eixo x' é o terceiro ângulo de Euler, designado pela letra φ.Temos portanto que as coordenadas desse sistema se relacionam com as anteriores, da

seguinte forma:

( 26 )

Figura 7

Figura 8

x

y

z

x

y

z

= −

′′

′′

′′

cos

cos

ψ ψ

ψ ψ

sen

sen

0

0

0 0 1

⇒

′′

′′

′′

=

−

x

y

z

cos

cos

ψ ψ

ψ ψ

sen

sen

0

0

0 0 1

x

y

z

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Na nossa notação anterior, temos que

( 27 )

Fazemos agora uma rotação em torno da linha nodal de um ângulo θ. A linha nodal é o eixo x''.Para uma rotação em torno desse eixo, temos

( 28 )

Em que R x(θ) é dado por:

( 29 )

Consequentemente, podemos escrever:

( 30 )

Finalmente, fazemos uma rotação em torno do eixo z ' de um ângulo φ.

( 31 )

Obtemos nalmente que

( 32 )

Portanto, a matriz de rotação mais geral é dada pelo produto

( 33 )

′′ = ′′′ ⇒ ′′′ = − ′′r R r r R r x x

( ) ( )θ θ

′′ = ′′′ ⇒ ′′′ = − ′′r R r r R r x x

( ) ( )θ θ

R x

θ θ θ

θ θ

( ) =

−

1 0 0

0

0

cos sin

sin cos

r R r R R r z z x

= ′′ = ′′′( ) ( ) ( )ψ ψ θ

′′′ = ′ ⇒ ′ = − ′′r R r r R r z z

( ) ( )ϕ ϕ

r R R R r z x z = ′( ) ( ) ( )ψ θ ϕ

R R R R z x z

ψ θ ϕ ψ θ ϕ, , ( ) ( ) ( )( ) =

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Lembrando que a transposta de um produto de matrizes é igual ao produto das matrizes trans-

postas, mas na ordem inversa, isto é:

( 34 )

Pode-se facilmente vericar que a matriz transposta é a matriz inversa na rotação:

( 35 )

O Vetor Deslocamento AngularConsideremos agora o caso em que fazemos uma rotação innitesimal. Ou seja, consideramos

um valor diminuto do ângulo de rotação. Faremos assim o ângulo φ muito pequeno e o represen-taremos pelo símbolo δφ. Para valores innitesimais do ângulo de rotação, valem as aproximações:

( 36 )

Nas circunstâncias acima, podemos escrever a relação (000) da seguinte forma:

( 37 )

Portanto, o vetor deslocamento associado a esse ponto, ∆ = −r r r , tem coordenadas:

( 38 )

O fato é que, como se pode ver facilmente, podemos escrever o vetor deslocamento sob a formade um produto vetorial. Para tal, denimos o vetor δΩ

como sendo dado por:

( 39 )

Figura 9

R R R R R R RT

z

T

x

T

z

T

z x z ψ θ ϕ ϕ θ ψ ϕ θ ψ, , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) = = − − −

R R R RT ψ θ ϕ ψ θ ϕ ψ θ ϕ ψ θ ϕ, , , , , , , ,( ) ( ) = ( ) ( ) =−1 1

cos

.

δϕ

δϕ δϕ

≅

≅

1

sen

x x y

y y x

z z

'

'

'.

= +

= −

=

δϕ

δϕ

∆( ) =∆( ) = −

∆( ) =

r y

r x

r

x

y

z

δϕ

δϕ

0.

δ δϕ

Ω = k .

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Com a denição acima, o vetor deslocamento associado ao ponto P será dado por:

( 40 )

O versor k tem o sentido do eixo z , que é , nesse caso, o eixo de rotação.Observe-se que o vetor deslocamento angular é apenas uma generalização, para grandezas

vetoriais, da relação entre espaço percorrido e deslocamento angular, no caso do movimentocircular. Lembramos que nessas circunstâncias vale a relação:

( 41 )

O vetor δΩ

introduzido em (000) é denominado vetor deslocamento angular. Sua expressão foideduzida para uma rotação em torno do eixo z no sentido anti-horário.

Veremos que o vetor deslocamento angular mais geral possível, aquele efetuado em torno deeixos z

1, z

2 e z

3, e associado a ângulos bem pequenos cujos valores são, respectivamente, d φ, d ψ e

d θ, é dado pela expressão:

( 42 )

O vetor deslocamento, no caso de uma rotação geral, será dado pelo produto vetorial do vetordeslocamento angular pelo vetor de posição do ponto P :

( 43 )

δ δ

r r = Ω × .

ds = d φ R.

d d k d k d k

Ω = + +ϕ ψ θ1 2 3

δ δ ϕ ψ θ

r r d k d k d k r = × = + +( )×Ω 1 2 3 .

Figura 10: Resultado de rotações em torno de eixos distintos.

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Dessa expressão, segue que é necessário dar uma denição de vetor deslocamento angular

para um eixo arbitrário. O vetor deslocamento angular é denido (como todo vetor) a partir do seumódulo, direção e sentido.

A direção do vetor deslocamento angular é dada pelo eixo de rotação. Já seu sentido é dado pela regra da mão direita. Com a mão direita, leve r para a nova posição r '.

O polegar indica o sentido.

O módulo é igual à variação do ângulo de rotação, no caso qualquer um dos valores d φ, d ψ e d θ.

O Vetor Velocidade AngularA partir do vetor deslocamento angular, podemos denir o vetor velocidade angular por meio

do processo limite:

( 44 )

Esse processo limite dene uma taxa de variação instantânea, a qual se relaciona com as taxasde variação instantânea dos ângulos de rotação. Assim, o vetor velocidade angular é denido pelasexpressões:

( 45 )

ω = ∆

∆∆ →lim .

t

t 0

Ω

ω ϕ ψ θ

≡ = + +d

dt

d

dt k

d

dt k

d

dt k

Ω1 1 1

,

Figura 11: Ângulos de Euler associados a três rotações sucessivas: a primeira em torno do eixo z ; a segunda emtrono da linha dos nós; e, finalmente, uma rotação em torno do novo eixo, denominado z '.

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em que os versores

k 1, k 2 e k 3 são associados aos eixos de rotação, de acordo com as regras apre-

sentadas anteriormente.Levando-se em conta que a velocidade de um ponto é a taxa com que o vetor posição muda com

o tempo, escrevemos:

( 46 )

Portanto, a relação entre a velocidade com que um ponto se desloca sobre um corpo quando eleestá em movimento de rotação é:

( 47 )

Essa velocidade está associada estritamente a uma rotação pura, isto é, estamos admitindo que

o corpo não exiba o movimento de translação. Essa é a velocidade percorrida por alguém queobserva a partícula ou corpo em rotação em torno do eixo.

Novamente aqui notamos a semelhança com o movimento circular, no qual escrevemos:

( 48 )

Portanto, a denição (000) é uma generalização necessária, visando a estabelecer relações entregrandezas vetoriais.

Rotação em Torno de um EixoA análise das rotações pode ser simplicada por meio do uso de matrizes. Lembramos que,

como foi discutido no capítulo 10, numa rotação de um ângulo θ em torno do eixo z , as coordenadasdo novo ponto, ( x', y', z ') se relacionam com as coordenadas do ponto antes da rotação, ( x, y, z ), deacordo com a expressão:

( 49 )

Figura 12: Uso da regra da mão direita paraespecificar a direção e o sentido do vetordeslocamento angular.

V dr

dt

d

dt r = = ×

Ω.

V r = ×ω .

v = ω R.

x

y

z

x

y

z

′

′

′

= −

cos

cos

θ θ

θ θ

sen

sen

0

0

0 0 1

.

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Utilizando a notação do capítulo 10, a taxa com que o vetor de posição varia com o tempo é

dada, em geral, por dois termos:

( 50 )

O primeiro termo do lado direito da equação envolve a taxa com que a matriz de rotação varia

com o tempo. Veremos que ela está relacionada com o conceito de velocidade angular.Notemos, primeiramente, que uma variação innitesimal da matriz de rotação se escreve como:

( 51 )

Infere-se daí que:

( 52 )

É fácil vericar que:

( 53 )

Denindo o vetor d Ω

, o vetor deslocamento angular, como o produto do ângulo innitesimalpelo versor indicando a direção e o sentido da rotação:

( 54 )

Concluímos, mediante uma conta muito simples, que:

( 55 )

d r

dt

dR

dt r R

d r

dt z

'

.= ( )

+ ( )2 θ

θ

dR d z

θ θ

θ θ

θ θ( ) =

−

− −

sen

sen

cos

cos

0

0

0 0 1

dR r d R R

x

y z z z θ θ

θ θ

θ θ θ θ( ) =

−

− −

−( ) ( )

sen

sen

cos

cos

0

0

0 0 0 z z

d r

= −

θ

0 1 0

1 0 0

0 0 0

'.

dR r d r d dR

d r

z

z θ θ θ θ

θθ

( ) = −

= ( )

=

'.

0 1 0

1 0 0

0 0 0 0

d d k

Ω = θ .

dR r d r z

θ( ) = ×

Ω '

.

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A velocidade de uma partícula localizada sobre o corpo rígido será, portanto, dada por:

( 56 )

Tendo em vista a denição do vetor velocidade angular de rotação em torno de um eixo comosendo dada por:

( 57 )

Concluímos que:

( 58 )

ou seja, utilizando matrizes, deduzimos o resultado expresso pela equação ( 000). Consideremosagora o caso mais geral.

Ângulos de Euler

Consideremos dois sistemas de eixos cartesianos que diram entre si apenas por conta de umarotação, considerada aqui como sendo a mais geral possível. Tais eixos podem ser pensados comoxos a um corpo rígido que gira. Assim, em princípio, eles podem ser pensados como associados aposições diferentes do mesmo ao longo do tempo. Os eixos cartesianos serão denotados por ( x, y, z )e ( x', y ', z '). Uma rotação mais geral possível pode ser parametrizada em termos de três ângulos,denominados ângulos de Euler. Para entendê-los, chamamos a atenção para o fato de que o plano

x – y perfura o plano x' – y', determinando assim um segmento de reta. Denominamos linha nodala tal segmento (vide Figura 13).

É sempre possível fazer os três eixos ( x, y, z ) coincidir com os três eixos ( x', y', z ') por meio de trêsrotações: uma rotação em torno do eixo z de um ângulo φ até o eixo x coincidir com a linha nodal;em seguida uma rotação do ângulo θ em torno da linha nodal; e nalmente uma rotação de umângulo ψ em torno do eixo z '. Todas as rotações serão consideradas com sinal positivo dos ângulos,desde que elas ocorram contra o ponteiro dos relógios.

Seja φ o ângulo formado pela linha nodal e o eixo x. Este ângulo é o primeiro dos ângulos de Euler.O segundo ângulo de Euler é o entre os eixos z e z '. Ele será designado pela letra grega θ.

vd r

dt

d

dt r ≡ = ×

Ω.

ω θ

≡ =d

dt

d

dt k

Ω.

v r ≡ ×ω ,

M â i Ci áti d R t õ 15

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O ângulo entre os eixos z ' e a linha nodal é o terceiro ângulo de Euler, designado pela letra ψ.

Realizando rotações apropriadas envolvendo esses ângulos, podemos fazer os dois sistemas dereferência coincidir por meio de três rotações sucessivas. Cada rotação será caracterizada por um

ângulo de Euler. A primeira será em torno do eixo z , rotação de um ângulo φ. Essa rotação faz comque o eixo x coincida com a linha nodal.

Sendo a primeira rotação em torno do eixo z , de um ângulo φ, de forma que o eixo x coincida coma linha nodal, isto nos leva a um segundo referencial, aqui denotado por ( x'', y'', z '') (vide Figura 14).As coordenadas desse referencial se relacionam com as coordenadas ( x, y, z ) da seguinte forma:

( 59 )

Portanto, o versor perpendicular ao plano de rotação será perpendicular ao plano x – y, dado por:

( 60 )

Assim, nessa primeira rotação, somos levados a um segundo conjunto de eixos, os quais desig-namos por duas linhas. Na nossa notação anterior, temos que:

( 61 )

Figura 13: Ilustração dos ângulos de Euler ressaltando a linha nodal.

x

y

z

x

y

z

"

"

"

cos

cos

= −

ϕ ϕ

ϕ ϕ

sen

sen

0

0

0 0 1

.

Figura 14: Ângulos de Euler associadosà rotação de um corpo rígido.

k z

= ∇ .

r R r z

" .= ( )ϕ


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Em seguida, fazemos uma rotação em torno da linha nodal de um ângulo φ, de tal sorte que os

eixos z e z ' coincidam. Isso é sempre possível, uma vez que ambos os eixos são perpendiculares

à linha nodal, representada, nessa notação, pelo eixo x''. Para uma rotação em torno desse eixo,lembramos que o versor ortogonal ao plano de rotação será dado por:

( 62 )

De acordo com (000), esse versor é dado por:

( 63 )

Essa segunda rotação posiciona o referencial cartesiano de tal forma que as novas coordenadas,representadas agora por ( x''', y''', z ''') se relacionam com as coordenadas anteriores ( x'', y'', z ''), de

acordo com:

( 64 )

A matriz de rotação R x(θ) é dada por:

( 65 )

Consequentemente, podemos escrever:

( 66 )

As coordenadas se relacionam assim:

( 67 )

i x x y z

" " , , .= ∇ ( )

i i j" cos .= −ϕ ϕsen

r R r x''' " ,= ( )θ

R x

θ θ θ

θ θ

( ) =

−

1 0 0

0

0

cos

cos

.sen

sen

′′′ =

r R R r z x( ) ( ) .ϕ θ

′′′

′′′

′′′

=

−

x

y

z

1 0 0

0

0

cos

cos

cos

θ θ

θ θ

sen

sen

ϕϕ ϕ

ϕ ϕ

sen

sen

0

0

0 0 1

−

cos

x

y

z


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Observe-se que o versor ortogonal ao plano de rotação será dado, nesse caso, por:

( 68 )

De (000) e (000), segue que o versor ortogonal ao plano de rotação em torno desse novo eixoserá dado por:

( 69 )

Finalmente, por meio de uma terceira rotação, fazemos com que a linha nodal se superponhaao eixo x'. Isso pode ser conseguido a partir de uma rotação em torno do eixo z ' de um ângulo ψ.Temos assim que:

( 70 )

Obtemos, nalmente, que:

( 71 )

Portanto, a matriz de rotação mais geral é dada pelo produto:

( 72 )

Lembrando que a transposta de um produto de matrizes é igual ao produto das matrizes trans-

postas, mas na ordem inversa, isto é:

( 73 )

Pode-se facilmente vericar que a matriz transposta é a matriz inversa na rotação:

( 74 )

′ = ∇ ′( )k z x y z , , .

k i j k

' cos cos .= + +sen sen senθ ϕ θ ψ θ

r R r z

' ''' .= ( )ϕ

r R R R r z x z

' .= ( ) ( ) ( )ψ θ ϕ

R R R R z x z

ψ θ ϕ ψ θ ϕ, , .( ) = ( ) ( ) ( )

R R R R R R RT

z

T

x

T

z

T

z x z ψ θ ϕ ϕ θ ψ ϕ θ ψ, , .( ) = ( ) ( ) ( ) = −( ) −( ) −( )

R R R RT ψ θ ϕ ψ θ ϕ ψ θ ϕ ψ θ ϕ, , , , , , , , .( ) ( ) = ( ) ( ) =−1 1

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ç

Utilizando as expressões (000) e (000) em (000), obtemos:

( 77 )

Na segunda alternativa, escrevemos a velocidade angular em termos dos vetores da base doreferencial ligado aos eixos ( x', y', z '). Ou seja:

( 78 )

Assim, em cada caso, devemos relacionar os versores

k i, ′′ e

′k da expressão (000) aos versoresde cada base. Nesse último caso, devemos lembrar que:

( 79 )

A expressão da forma (000) é muito útil quando abordamos o movimento do corpo rígido.A partir de (000), (000) e (000), obtemos para as componentes da velocidade angular as seguintesexpressões:

( 80 )

A outra forma de fazê-lo é por meio da determinação da derivada do vetor de posição comrespeito ao tempo. Escrevemos:

( 81 )

ω ϕ θ

θ ϕ ψ

ω ϕ θ

θ ϕ ψ

ω θ

x

y

z

d

dt

d

dt

d

dt

d

dt

d

= +

′ = −

′ =

cos

cos

cos

sen sen

sen sen

ψψ ϕ

dt

d

dt + .

ω ω ω ω= ′ ′ + ′ ′ + ′ ′ x y z i j k .

k z x y z

i x x y z

= ′∇ ′ ′ ′( )′′ = ′∇ ′′ ′ ′ ′( )

, ,

, , .

ω θ ψ ϕ

ψ θ

ω θ ψ ϕ

ψ θ

ω θ

' cos

' cos

' cos

x

y

z

d

dt

d

dt

d

dt

d

dt

= +

= +

=

sen sen

sen sen

d d

dt

d

dt

ϕ ψ+ .

d r

dt

d R R R

dt r

z x z

'

.'=

( ) ( ) ( )( )ψ θ ϕ


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Efetuando-se as derivadas, encontraremos três termos, os quais podem ser escritos como:

( 82 )

Agrupando os termos, veremos que a expressão para a velocidade do ponto pode ser escrita

sob a forma:

( 83 )

Com ω dada pela expressão (000).

dR

dt r

d R

dt R

d R

dt R R R

z

z

x

z z x

'( )

( )( )

( ) ( ) ( )= ( )

+ ( )

+= =

−ψ ψ θ

ψ ψ θψ θ0 0

1 d d R

dt R R r

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Créditos

Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP).

Autoria: Gil da Costa Marques.

Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura.

Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro.

Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru.

Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira.

Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino,Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S.

Animações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein.

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