ch ƯƠ ng 2 - agu staff zone · 2016. 8. 22. · Định ngh ĩa 2. 3. nh ững bi ến ng ẫu...
TRANSCRIPT
47
CHƯƠNG 2
BIẾN NGẪU NHIÊN
2.1. BIẾN NGẪU NHIÊN
2.1.1. Khái niệm biến ngẫu nhiên
Định nghĩa 2. 1. Biến ngẫu nhiên (hay đại lượng ngẫu nhiên) là đại lượng bằng số mà giá trị của nó nhận được một cách ngẫu nhiên tùy theo kết quả của phép thử. Ta
ký hiệu các biến ngẫu nhiên là các chữ cái in hoa , , ,...X Y Z
Miền giá trị của biến ngẫu nhiên X được ký hiệu là ImX , nó là tập hợp tất cả các giá trị của X .
Về mặt toán học ta có định nghĩa như sau:
Định nghĩa 2. 2. Cho Ω là không gian mẫu của một phép thử, một hàm
:X Ω → sao cho với mỗi giá trị x ∈ , tập hợp ( ) / X xω ω∈Ω ≤ là một biến
cố. Ta gọi X là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian mẫu Ω .
Từ định nghĩa toán học của biến ngẫu nhiên, ta thấy rằng có nhiều cách xác định một hàm từ không gian mẫu của phép thử tới tập số thực. Do đó, cũng có nhiều biến ngẫu nhiên cùng xác định trên một không gian mẫu.
Chú ý: Cho X là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian mẫu Ω , ta quy ước các ký hiệu viết tắt sau:
( ) ( ) /X x X xω ω< = ∈Ω < ;
( ) ( ) /X x X xω ω≤ = ∈Ω ≤ ;
( ) ( ) /X x X xω ω> = ∈Ω > ;
( ) ( ) /X x X xω ω= = ∈Ω = ;
….
Tóm lại, ( ) ( ) /X K X Kω ω∈ = ∈Ω ∈ , với K là một khoảng hay đoạn
trong tập số thực.
Từ định nghĩa toán học của biến ngẫu nhiên, ta thấy rằng có nhiều cách xác định một hàm từ không gian mẫu của phép thử tới tập số thực. Do đó, cũng có nhiều biến ngẫu nhiên cùng xác định trên một không gian mẫu. Từ đó, ta có định lý sau:
Định lí 2. 1. Nếu ,X Y là các biến ngẫu nhiên trên Ω ; ,a b là các hằng số thực thì
( ) ( ) ( ); ; ; / 0 , min , , max ,aX bY X Y XY X Y Y X Y X Y+ − ≠ cũng là các biến ngẫu
nhiên trên Ω . Hơn nữa, nếu g là một hàm liên tục trên thì g X cũng là biến
ngẫu nhiên trên Ω .
48
Ví dụ 2. 1. Gieo một đồng xu cân đối đồng chất hai lần. ký hiệu X là số mặt sấp xuất hiện. Khi đó X là một biến ngẫu nhiên và miền giá trị của X là
Im 0, 1, 2X = . Biến ngẫu nhiên này có miền giá trị hữu hạn.
Ví dụ 2. 2. Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất, gọi Y là số chấm xuất hiện.
Khi đó, Y là biến ngẫu nhiên và Im 1,2,3,4,5,6Y = . Biến ngẫu nhiên này có miền
giá trị hữu hạn.
Ví dụ 2. 3. Quan sát số người X đến siêu thị Vincom trong troảng thời gian 8 giờ
đến 8 giờ 30. Ta có X là biến ngẫu nhiên, Im 0,1, 2,....X = . Biến ngẫu nhiên này
có miền giá trị vô hạn nhưng đếm được.
Ví dụ 2. 4. Một lớp học có 50 sinh viên, chọn ngẫu nhiên một sinh viên của lớp. Gọi X là chiều cao của sinh viên được chọn và Y là cân nặng của sinh viên đó. Khi
đó ,X Y là các biến ngẫu nhiên. Miền giá trị của ,X Y lần lượt là số đo chiều cao,
cân nặng của các sinh viên. Giả sử trong lớp bạn có chiều cao thấp nhất là 145 cm và
bạn có chiều cao cao nhất không quá 175cm. Khi đó [ )( )Im 145;175X cm= . Giả sử
trong lớp bạn có cân nặng nhỏ nhất là 35kg và cân nặng cao nhất không quá 70 kg.
Khi đó [ )( )Im 35;70Y kg= . Hai biến ngẫu nhiên này có miền giá trị là tập vô hạn
không đếm đươc.
Ví dụ 2. 5. Bắn một viên đạn vào bia gọi X là khoảng cách từ điểm chạm của
viên đạn đến tâm của bia thì X là biến ngẫu nhiên, ( )Im 0,X d= nó chính là một
khoảng trong , và là một tập vô hạn không đếm được.
Ví dụ 2. 6. Quan sát tuổi thọ T của một linh kiên điện tử. Thì T là một biến ngẫu
nhiên mà miền giá trị của nó là: ( )Im 0;T = +∞ và là tập vô hạn không đếm được.
Định nghĩa 2. 3. Những biến ngẫu nhiên có miền giá trị là tập hữu hạn, hay vô hạn đếm được được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc. Những biến ngẫu nhiên có miền giá trị là tập hợp vô hạn, không đếm được tương đương một khoảng trong tập số thực được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục.
Ví dụ 2. 7. Các biến ngẫu nhiên như ở các Ví dụ 2. 1, Ví dụ 2. 2 và Ví dụ 2. 3, là biến ngẫu nhiên rời rạc. Còn các biến ngẫu nhiên như ở Ví dụ 2. 4, Ví dụ 2. 5 và Ví dụ 2. 6 là biến ngẫu nhiên liên tục.
2.1.2. Hàm phân phối
Định nghĩa 2. 4. Cho biến ngẫu nhiên X xác định trên không gian xác suất ( ),PΩ .
Hàm F được xác định bởi:
( ) ( ),x F x P X x∈ = ≤ (2.1)
được gọi là hàm phân phối xác suất tích lũy (gọi tắt là hàm phân phối ) của X.
49
Từ định nghĩa của hàm phân phối và tính chất của xác suất, dễ thấy rằng:
x∀ ∈ , ( )0 1F x≤ ≤ (2.2)
Hàm phân phối F của BNN X có các tính chất cơ bản được thể hiện ở định lý sau:
Định lí 2. 2. Cho biến ngẫu nhiên X xác định trên không gian xác suất ( ),PΩ ; F là
hàm phân phối của X. Khi đó,
(i) 1 2 1 2, ,x x x x∀ ∈ < ta có ( ) ( )1 2F x F x≤ (2.3)
(tức là hàm phân phối có tính chất không giảm);
(ii) lim ( ) 0x
F x→−∞
= và lim ( ) 1x
F x→+∞
= (2.4)
(có giới hạn khi x → −∞ bằng 0 và giới hạn khi x → +∞ bằng 1);
(iii) ) ( ) ( )lim ,x a
F x F a a+→
= ∀ ∈ (2.5)
(tức là F liên tục bên phải trên );
(iv) ( ) ( ) ( )P a X b F b F a< ≤ = − với mọi a và b thỏa a < b; (2.6)
(v) ( ) ( ) ( )limx a
P X a F a F x−→
= = − với mọi a ∈ , trong đó. (2.7)
Ví dụ 2. 8. Giao một đồng xu cân đối đồng chất. Khi đó, không gian mẫu
,S NΩ = . Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số mặt sấp xuất hiện, tức là
( ) ( )0; 1X N X S= = . Với mọi x ∈ ta xét biến cố ( )X x≤ . Ta biết không gian
mẫu Ω có các tập con là , , ,S N∅ Ω mà ( )X x≤ là biến cố tức là tập con của
Ω . Như vậy, ( )X x≤ là tập nào trong số các tập con của Ω ?
Trước hết, nếu 0x < thì không có giá trị nào của X nhỏ hơn x , cho nên
( )X x≤ = ∅ . Nếu 0 1x≤ < thì chỉ có ( ) 0X N x= ≤ cho nên ( ) X x N≤ = . Còn
nếu 1 x≤ thì cả ( ) 0X N = và ( ) 1X S = đều nhỏ hơn hoặc bằng x , ( )X x≤ = Ω .
Vậy hàm phân phối xác suất của X là
( )
0 0
1/ 2 0 1
1 1
neáu neáu neáu
x
F x x
x
<
= ≤ < ≥
Ví dụ 2. 9. Gieo một đồng xu cân đối đồng chất hai lần. Gọi X là số lần mặt sấp xuất hiện. Khi đó hàm phân phối xác suất của X là:
50
( )
0 0
1/ 4 0 1
3/ 4 1 2
1 2
neáu neáu neáu neáu
x
xF x
x
x
<
≤ <=
≤ < ≥
Ví dụ 2. 10. Giao một con xúc xắc cân đối đồng chất. X là số chấm xuất hiện. Khi đó hàm phân phối xác suất của X là:
( )
0 1
1/ 6 1 2
2 / 6 2 3
3/ 6 3 4
4 / 6 4 5
5 / 6 5 6
1 6
neáu neáu neáu neáu neáu neáu neáu
x
x
x
F x x
x
x
x
<
≤ < ≤ <
= ≤ < ≤ < ≤ <
≥
Định lí 2. 3. Nếu một hàm :F → thỏa ba tính chất (i), (ii) và (iii) trong Định lí
2. 2 thì F là hàm phân phối của một biến ngẫu nhiên trên một không gian xác suất
nào đó.
2.1.3. Bảng phân phối xác suất
Định nghĩa 2. 5. Cho X là một biến ngẫu nhiên rời rạc với Im ,iX x i I= ∈ ,
1,2,..., ,...I n= hay I = . Giả sử 1 2 ... ....nx x x< < < < Với mỗi Imix X∈ đặt
( )i ip P X x= = , ta có bảng sau được gọi là bảng phân phối xác suất của biến ngẫu
nhiên X .
x 1 2 ... ... ....i nx x x x
( )iP X x= 1 2 ... ... ...i np p p p
Tính chất:
(i) 0,ip i≥ ∀ (2.8)
(ii) 1i
i I
p∈
=∑ (2.9)
(iii) ( )i
i
x x
F x p≤
= ∑ (2.10)
(iv) Với , :a b a b∀ ∈ < có ( )i
i
a x b
P a X b p< ≤
< ≤ = ∑ (2.11)
51
Ví dụ 2. 11. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số chấm xuất hiện khi gieo một lần con
súc sắc cân đối đồng chất. Ta có Im 1,2,3,4,5,6X = và ( )1
,6ip P X i= = =
1,6i∀ = , ta có bảng phân phối xác suất của X là:
x 1 2 3 4 5 6
( )P X x= 1 1 1 1 1 1
6 6 6 6 6 6
Từ đó ta có hàm phân phối xác suất của X là:
( )
0 1
1/ 6 1 2
2 / 6 2 3
3/ 6 3 4
4 / 6 4 5
5 / 6 5 6
1 6
neáu neáu neáu neáu neáu neáu neáu
x
x
x
F x x
x
x
x
<
≤ < ≤ <
= ≤ < ≤ < ≤ <
≥
Xác suất được số chấm lớn hơn 3 là:
( ) ( ) ( ) ( )3 1
3 4 5 66 2
P X P X P X P X> = = + = + = = = .
Ngoài sử dụng bảng phân phối xác suất người ta còn sử dụng hàm mật độ rời rạc để mô tả phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc.
Định nghĩa 2. 6. Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc, có miền giá trị ImX . Với
mỗi x ∈ , đặt
( )( ) Im
0 Im
khi
khi
P X x x Xf x
x X
= ∈=
∉
Được gọi là hàm mật độ rời rạc hay mật độ của X .
Tính chất: Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc với giá trị ,ix i I∈ thì:
(i) ( ) 0,f x x≥ ∀ ∈ (2.12)
(ii) ( )Im
1x X
f x∈
=∑ (2.13)
(iii) Với ( ) ( ),i
i
x x
x F x f x<
∀ ∈ =∑ (2.14)
(iv) Với , :a b a b∀ ∈ < có ( ) ( )a x b
P a X b f x≤ <
≤ < = ∑ (2.15)
52
Ví dụ 2. 12. X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần sấp trong 3 lần gieo một đồng tiền xu, ta có bảng phân phối như sau:
x 0 1 2 3
( )P X x= 1
8
3
8
3
8
1
8
Ta có ( )1 3 3 7
2,58 8 8 8
F = + + = .
2.1.4 Hàm mật độ xác suất
Định nghĩa 2. 7. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối F . Nếu F liên tục
thì ta nói X là biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất liên tục. Nếu F có đạo hàm
thì ta nói X là biến ngẫu nhiên có phân phối liên thục tuyệt đối. Khi đó
( ) ( )f x F x′= được gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên .X Để đơn giản
ta gọi biến ngẫu nhiên có phân phối liên tục tuyệt đối là biến ngẫu nhiên liên tục.
Định lí 2. 4. Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f . Khi đó, f là một
hàm xác định trên và có tính chất sau:
(i) ( ) 0,f x ≥ x∀ ∈ (2.16)
(ii) ( ) 1f x dx
+∞
−∞
=∫ . (2.17)
Ngược lại,
Định lí 2. 5. Nếu một hàm số f xác định trên thỏa hai tính chất (i) và (ii) của
Định lí 2. 4 thì f là hàm mật độ của một biến ngẫu nhiên liên tục X nào đó.
Từ định nghĩa hàm mật độ và công thức đạo hàm theo cận trên ta có:
( ) ( )x
F x f t dt x−∞
= ∀ ∈∫
Nghĩa là khi biết hàm mật độ ta có thể tìm được hàm phân phối.
Định lí 2. 6. Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ ( )f x thì:
Với mọi ( ), 0x P X x∈ = = (2.18)
Với mọi , ,a b a b∈ < ,
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )b
a
P a X b P a X b P a X b
P a X b f x dx F b F a
≤ ≤ = ≤ < = < ≤
= < < = = −∫. (2.19)
Ví dụ 2. 13. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối
53
( )1 0
0 0
xe xF x
x
λ− − ≥=
<
với 0λ > là một hằng số.
Khi đó X là biến ngẫu nhiên liên tục và hàm mật độ:
( )0
0 0
xe xf x
x
λλ − ≥=
<
Ví dụ 2. 14. Cho hàm 3
2, 1
( )0 , 1
xf x x
x
>
= ≤
a) Chứng tỏ ( )f x là hàm mật độ của một biến ngẫu nhiên liên tục X .
b) Tìm hàm phân phối xác suất ( )F x của X .
c) Tính xác suất ( )0 3P X< <
Giải
a) Ta có ( ) 0,f x x≥ ∀ ∈ và
3 21
2 1( ) 2 lim 1
12b
bf x dx dx
x x
+∞ +∞
→+∞−∞
= = − =
∫ ∫ .
Do đó, theo Định lí 2. 5 ( )f x là hàm mật độ xác suất của một biến ngẫu
nhiên liên tục X nào đó.
b) Ta có ( ) ( )x
F x f t dt−∞
= ∫ . Do đó:
Nếu 1,x ≤ thì ( ) 0F x = .
Nếu 1x > , ( ) 3 2 211
2 1 11
xx
F x dtt t x
= = − = −∫
Vậy, hàm phân phối của X là:
( )2
0 1( ) 1
1 1
khi
khi
x x
F x f t dtx
x−∞
≤
= =− <
∫
c) Ta có: ( ) ( ) ( )8
0 3 3 09
P X F F< < = − = .
54
2.2. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MỘT BIẾN NGẪU NHIÊN
2.2.1. Kỳ vọng
Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên là một tham số đặc trưng cho giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên đó. Chẳng hạn, nếu coi X là biến ngẫu nhiên chỉ điểm số của một bài kiểm tra của một học sinh, thì điểm trung bình tất cả các bài kiểm tra của học sinh đó chính là kỳ vọng của X . Cụ thể ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 2. 8. Cho biến ngẫu nhiên X có miền giá trị hữu hạn
1 2Im , ,..., nX x x x= và bảng phân phối xác suất:
x 1x 2x … nx
( )P X x= 1p 2p … np
Khi đó kỳ vọng của X , ký hiệu là EX , được tính bằng công thức sau:
1 1 2 2 ... n nEX x p x p x p= + + + . (2.20)
Ví dụ 2. 15. Một biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất
x 0 1 2 3
( )P X x= 0,2 0,3 0,2 0,3
Khi đó kỳ vọng của X là 0 0,2 1 0,3 2 0,2 3 0,2 1,3EX = × + × + × + × = .
Ví dụ 2. 16. Một hộp có 12 sản phẩm trong đó có 7 sản phẩm loại A và 5 sản phẩm loại B. Từ hộp đó lầy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số sản phẩm loại A trong 3 sản phẩm lấy ra. Hãy lập bảng phân phối xác suất và tính kỳ vọng của X .
Giải
Miền giá trị của X , Im 0,1,2,3X = .
( )3
7 5312
, 0,1, 2,3k kC C
P X k kC
−
= = =
Bảng phân phối xác suất của X :
x 0 1 2 3
( )P X x= 1
22
7
22
21
44
7
44
Kỳ vọng của X :
1 7 21 7 70. 1. 2. 3.
22 22 44 44 4EX = + + + = .
55
Định nghĩa 2. 9. Cho biến ngẫu nhiên X có miền giá trị 1 2Im , ,..., ,...nX x x x=
là tập vô hạn đếm được. Đặt ( )i ip P X x= = , 1, 2,...i = Nếu chuỗi 1
| |i i
i
x p∞
=
< +∞∑
thì X có kỳ vọng, ký hiệu là EX và được xác định là:
1i i
i
EX x p∞
=
=∑ (2.21)
Ví dụ 2. 17. Một kho hàng có rất nhiều sản phẩm giống nhau trong đó có 30% là sản phẩm loại A. Người ta lấy ngẫu nhiên từng sản phẩm kiểm tra cho đến khi gặp sản phẩm loại A thì dừng. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số sản phẩm đã kiểm tra.
Tìm luật phân phối xác suất và tính kỳ vọng của .X
Giải
Đặt iA “Sản phẩm kiểm tra lần thứ i là sản phẩm loại A”, 1,2,...i =
Ta có
( ) ( )11 0,3P X P A= = =
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 22 0,7.0,3P X P AA P A P A= = = =
( ) ( ) 21 2 33 0,7 .0,3P X P AA A= = =
….
( ) 10,7 .0,3kP X k −= =
Vậy, phân phối xác suất của X là ( ) 10,7 .0,3kP X k −= = .
Kỳ vọng của X :
1 1
1 1
.0,7 .0,3 0,3 .0,7k k
k k
EX k k∞ ∞
− −
= =
= =
∑ ∑
Xét tổng: 1
1
.n
k
k
k x −
=
∑ với ( )0,1x ∈ , ta có:
( )
( ) ( ) ( )( )
11 2
1 1
1
2
1. 1 ... 1 1
1
1 1 1
1
nn nk k n
k k
n n
xk x x x x x
x
n x x x
x
+−
= =
+
′′ − ′= = + + + + − = − −
+ − + −=
−
∑ ∑
56
Cho n → +∞ , và để ý rằng ( )( )lim 1 1 . 0nn x x+ − = và ( )1lim 1 1nx +− = do
( )0,1x ∈ . Ta có: ( )
12
1
1.
1k
k
k xx
∞−
=
=−
∑ .
Thay 0,7x = ta được ( )
12
1
1 100,3 .0,7 0,3.
31 0,7k
k
EX k∞
−
=
= = =
− ∑ .
Như vậy, nếu cứ lấy từng sản phẩm kiểm tra thì trung bình kiểm tra khoảng 3,33 sản phẩm thì dừng.
Định nghĩa 2. 10. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ ( )f x . Nếu
( )| |x f x dx+∞
−∞
< ∞∫ thì X có kỳ vọng, ký hiệu là EX và được tính là:
` ( )EX xf x dx+∞
−∞
= ∫ (2.22)
Ví dụ 2. 18. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ
( )[ ]
[ ]2
0 0,1
0,1
neáu
neáu
xf x
ax x
∉=
∈
a) Tìm a .
b) Tìm kỳ vọng của X .
Giải
a) Theo tính chất hàm mật độ ta có:
( ) 1f x dx+∞
−∞
=∫ 11 3
2
0 0
1 1 1 33 3
ax aax dx a⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =∫
b) Kỳ vọng của X :
( )11 4
3
0 0
3 33
4 4
xEX xf x dx x dx
+∞
−∞
= = = =∫ ∫ .
2.2.2. Tính chất kỳ vọng
(i) Nếu biến ngẫu nhiên X hầu như chỉ nhận một giá trị là C , tức là
( ) 1P X C= = (hầu chắc chắn) thì EX C= .
(ii) Nếu X là biến ngẫu nhiên, ,a b là các hằng số thì
( )E aX b aEX b+ = + . (2.23)
(iii) Cho hai biến ngẫu nhiên X và Y . Khi đó
57
( )E X Y EX EY+ = + (2.24)
(iv) Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập, tức là việc X nhận giá trị của nó không ảnh hưởng đến việc Y nhận giá trị của Y , thì
( ) .E XY EX EY= (2.25)
(v) Nếu ϕ là một hàm số liên tục và X là biến ngẫu nhiên thì ( )Z Xϕ= là
biến ngẫu nhiên, và kỳ vọng của Z nếu có được tính bằng công thức.
+ Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc và có bảng phân phối xác suất
x 1x 2x … nx
( )P X x= 1p 2p … np
Thì
( )1
n
i i
i
EZ x pϕ=
=∑ (2.26)
+ Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có miền giá trị
1 2Im , ,..., ,...nX x x x= là tập vô hạn đếm được với ( )i ip P X x= = ,
1, 2,...i = thì
( )1
i i
i
EZ x pϕ∞
=
=∑ (2.27)
+ Nếu biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ ( )f x thì
( ) ( )EZ x f x dxϕ+∞
−∞
= ∫ (2.28)
Lưu ý: Kỳ vọng của X là giá trị trung bình mà X nhận được. Chẳng hạn, nếu
X là chiều cao của một cây trồng loại A (cùng độ tuổi) thì EX là chiều cao trung
bình của loại cây đó. Nếu Y là biến ngẫu nhiên chỉ năng suất lúa của một thửa
ruộng trong vùng B nào đó thì EY là năng suất lúa trung bình của cả vùng. Tuy
nhiên, kỳ vọng của biến ngẫu nhiên không phải là trung bình cộng tất cả các giá trị
của biến ngẫu nhiên đó. Nếu biến ngẫu nhiên có các giá trị 1 2, ,..., nx x x với xác suất
như nhau thì trung bình cộng của 1 2, ,..., nx x x chính là kỳ vọng của chúng. Còn nếu
như các giá trị đó có xác suất không đều thì giá trị kỳ vọng và trung bình cộng khác
nhau.
Ví dụ 2. 19. Một thùng sản phẩm có 7 sản phẩm loại A và sản phẩm loại B. Người ta lấy ra 3 sản phẩm đi bán. Bán một sản phẩm loại A được 10 ngàn đồng. Bán một sản phẩm loại B được 8 ngàn đồng. Hỏi khi bán hết 3 sản phẩm lấy ra được bình quân bao nhiêu ngàn đồng?
58
Giải
Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số sản phẩm loại A trong 3 sản phẩm lấy ra. Ta có bảng phân phối xác suất của X như sau (xem Ví dụ 2. 16):
x 0 1 2 3
( )P X x= 1
22
7
22
21
44
7
44
Và 7
4EX = .
Gọi Y là biến ngẫu nhiên chỉ số tiền khi bán hết 3 sản phẩm lấy ra. Ta có
( )10 8 3 2 24Y X X X= + − = + (ngàn đồng).
Tiền lời bình quân khi bán 3 sản phẩm:
72 24 2. 24 27,5
4EY EX= + = + = (ngàn đồng)
2.2.3. Phương sai
Định nghĩa 2. 11. Cho biến ngẫu nhiên X có kỳ vọng là EX , khi đó nếu biến ngẫu
nhiên ( )2
X EX− có kỳ vọng thì kỳ vọng đó được gọi là phương sai của biến ngẫu
nhiên X . ký hiệu phương sai của X là DX . Như vậy ta có:
( )2
DX E X EX= − (2.29)
Từ định nghĩa phương sai và kỳ vọng của biến ngẫu nhiên ta có:
+ Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc và có bảng phân phối xác suất
x 1x 2x … nx
( )P X x= 1p 2p … np
thì ( )2
1
n
i i
i
DX x EX p=
= −∑
+ Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có miền giá trị 1 2Im , ,..., ,...nX x x x= là
tập vô hạn đếm được với ( )i ip P X x= = , 1,2,...i = thì ( )2
1i i
i
DX x EX p∞
=
= −∑ .
+ Nếu biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ ( )f x thì
( ) ( )2
DX x EX f x dx+∞
−∞
= −∫
59
Từ tính chất của kỳ vọng ta có:
( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 22 .DX E X EX E X X EX EX E X EX = − = − + = −
Như vậy, ta có công thức tính phương sai:
( ) ( )22DX E X EX= − (2.30)
Từ đó suy ra:
+ Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc và có bảng phân phối xác suất
x 1x 2x … nx
( )P X x= 1p 2p … np
thì ( )22
1
n
i i
i
DX x p EX=
= −∑
+ Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có miền giá trị 1 2Im , ,..., ,...nX x x x= là
tập vô hạn đếm được với ( )i ip P X x= = , 1,2,...i = thì ( )22
1i
i
DX x p EX∞
=
= −∑ .
+ Nếu biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ ( )f x thì
( ) ( )22DX x f x dx EX
+∞
−∞
= −∫
Ví dụ 2. 20. Hãy tìm phương sai của biến ngẫu nhiên X ở Ví dụ 2. 16, Ví dụ 2. 17 và Ví dụ 2. 18.
Giải
+ Ở Ví dụ 2. 16: Ta có 7
4EX =
2 2 2 2 21 7 21 7 1610 . 1 . 2 . 3 .
22 22 44 44 44EX = + + + =
Do đó, 2
161 7 105
44 4 176DX
= − =
+ Ở Ví dụ 2. 17: Ta có 10
3EX =
2 2 1
1
0,3 .0,7k
k
EX k∞
−
=
=
∑
Xét
60
( )2 1 1 1
1 1 1
1n n n
k k k
k k k
k x k kx kx− − −
= = =
= + −∑ ∑ ∑
( )2
1 1
1 1
11 1
1
nn nk k
k k
xk kx x x
x
+− +
= =
′′′′ − + = = − − −
∑ ∑
Cho n → +∞ ta được ( )( )
13
1
1 21 1
1 1k
k
k kx xx x
∞−
=
′′ + = − − =
− −∑ và
( )1
21
1
1k
k
kxx
∞−
=
=−
∑ .
Do đó:
( ) ( )2 1
3 21
2 1
1 1
nk
k
k xx x
−
=
= −− −
∑
Cho 0,7x = ta được:
( ) ( )2 2 1
3 21
2 1 1700,3 .0,7
91 0,7 1 0,7k
k
EX k∞
−
=
= = − =
− − ∑
Do đó, phương sai của X là:
( )2
22 170 10 70
9 3 9DX EX EX
= − = − =
Ở Ví dụ 2. 18, ta có 3
4EX =
( )11 5
2 2 4
0 0
3 33
5 5
xEX x f x dx x dx
+∞
−∞
= = = =∫ ∫
Do đó, 2
3 3 3
5 4 80DX
= − =
.
Lưu ý: Ta có thể hiểu nôm na phương sai của một biến ngẫu nhiên là bình
quân bình phương độ lệch của mỗi giá trị của biến ngẫu nhiên đó so với giá trị kỳ
vọng của nó, nói cách khác nó chính là độ lệch bình phương trung bình. Phương
sai phản ánh độ phân tán giá trị của biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình
(kỳ vọng). Trong công nghiệp và kỹ thuật, phương sai biểu thị độ chính xác của chi
tiết máy: nếu đường kính chi tiết máy có phương sai càng nhỏ nghĩa là chi tiết máy
đó càng chính xác. Trong nông nghiệp, phương sai biểu thị mức độ đồng đều của
năng suất lúa, hay sản lượng sữa của đàn bò,…
61
2.2.4. Tính chất của phương sai
(i) Nếu X C= h.c.c. thì 0DX = (2.31)
(ii) ( ) 2D aX b a DX+ = với ,a b là các hằng số (2.32)
(iii) Nếu ,X Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập thì
( )D X Y DX DY+ = + (2.33)
Ví dụ 2. 21. Một biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất như sau:
ix 0 1 2 3
( )iP X x= 0,1 0,3 0,4 0,2
a) Tính kỳ vọng và phương sai của X .
b) Tính kỳ vọng và phương sai của các biến ngẫu nhiên 3 5Z X= + và
3T X= .
Giải
a) Ta có 0.0,1 1.0,3 2.0,4 3.0,2 1,7EX = + + + = .
( ) ( )22 2 2 2 2 20 .0,1 1 .0,3 2 .0,4 3 .0, 2 1,7 0,81DX E X EX= − = + + + − = .
b) Áp dụng tính chất kỳ vọng và phương sai ta có:
( ) 3 5 10,1E Z EX= + =
23 7,29DZ DX= = .
Đối với biến ngẫu nhiên T ta có:
( ) ( )Im
3 3 0.0,1 1.0,3 2.0, 4 3.0,2 3,6363x X
ET xP X x∈
= = = + + + =∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22
2
9 9
9.1,7 3,6363 2,0773.
DT E T ET E X ET EX ET= − = − = −
= − =
2.2.5. Độ lệch chuẩn
Định nghĩa 2. 12. Cho biến ngẫu nhiên X có phương sai là DX , khi đó
X DXσ = được gọi là độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên .X
Từ tính chất của phương sai ta suy ra tính chất của độ lệch chuẩn là
( ) | | XaX baσ σ
+= . Ta có định lý sau:
62
Định lí 2. 7. Nếu X có kỳ vọng là µ và phương sai là 2σ thì
* XX
µ
σ
−= có kỳ
vọng bằng 0 và phương sai bằng 1.
Thật vậy, theo tính chất của kỳ vọng ta có
( ) ( )* 1 10EX EX µ µ µ
σ σ= − = − = và theo tính chất của phương sai ta có.
2*
2 2
11DX DX
σ
σ σ= = = .
Biến ngẫu nhiên *X được gọi là biến ngẫu nhiên chuẩn hóa của X .
Ví dụ:
2.2.6. Các số đặc trưng khác của biến ngẫu nhiên
a) Mômen gốc bậc k của biến ngẫu nhiên X là đại lượng ( )k
km E X= trong
điều kiện nó tồn tại.
b) Mômen trung tâm (hay quy tâm) bậc k là đại lượng ( )k
k E X EXµ = − .
Như vậy kỳ vọng chính là mômen bậc 1 và phương sai là mômen quy tâm bậc 2.
Định lí 2. 8. Giả sử X là biến ngẫu nhiên, ,k l là các số nguyên dương sao cho
k l≤ , khi đó:
(i) Nếu km tồn tại thì lm cũng tồn tại
(ii) Nếu km tồn tại thì kµ cũng tồn tại và ngược lại.
c) Mode. Giả sử X là BNN có hàm mật độ là f. Người ta gọi Mode của X,
ký hiệu Mod(X), là giá trị 0 Imx X∈ sao cho: ( )0( ) maxx
f x f x∈
=
.
Trong trường hợp X là BNN rời rạc thì
( ) ( )0 0 ImMod
ii
x XX x P X x Max P X x
∈= ⇔ = = =
d) Trung vị (Med). Giả sử X là biến ngẫu nhiên, số Mex được gọi là trung vị
(med) của biến ngẫu nhiên X nếu ( )1
2MeF x = .
e) Hệ số bất đối xứng. Nếu X là biến ngẫu nhiên có mômen bậc 3 hữu hạn
thì tỉ số 31 3
µγ
σ= , ở đây σ là độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X.
Nếu 1 0γ > thì X có phân bố lệch trái.
63
Nếu 1 0γ < thì X có phân bố lệch trái.
f) Hệ số nhọn. Để biểu thị độ nhọn của đường cong mật độ quanh kỳ vọng ta
dùng đại lượng sau và gọi là hệ số nhọn của X: 42 4
3µ
γσ
= − .
Nếu 2 0γ > thì có nghĩa là phân bố đó có đỉnh “nhọn” hơn đường cong của
phân phối chuẩn.
Nếu 2 0γ < thì có nghĩa là phân bố đó có đỉnh “phẳng” hơn đường cong của
phân phối chuẩn.
2.3. VECTƠ NGẪU NHIÊN
2.3.1. Vectơ ngẫu nhiên
Định nghĩa 2. 13. Cho ( ), ,PΩ TTTT là không gian xác suất. Một ánh xạ
( ) ( ) ( ) ( )( )1 2
:
, ,...,
n
n
Z
Z X X Xω ω ω ω ω
Ω →
=
được gọi là vectơ ngẫu nhiên n chiều. Ở đây n là không gian Ơclit thực n chiều
và , 1,iX i n= là các biến ngẫu nhiên thực và kí hiệu là ( )1 2, ,..., nZ X X X=
Nói cách khác véctơ ngẫu nhiên n chiều là một bộ n biến ngẫu nhiên cùng xác định trên một không gian xác suất.
Nếu 2n = ta có vectơ ngẫu nhiên hai chiều. ký hiệu ( ),Z X Y= , trong đó
,X Y là các biến ngẫu nhiên.
2.3.2. Phân phối xác suất của vectơ ngẫu nhiên
Định nghĩa 2. 14. Giả sử ( )1 2, ,..., nZ X X X= là vectơ ngẫu nhiên n chiều trên
( ), ,PΩ TTTT hàm n biến thực ( )1 2, ,...,Z nF x x x xác định bởi:
( ) [ ] ( )1 2 1 21
, ,..., , , ,...,n
n
Z n i i n
i
F x x x P X x x x x=
= ≤ ∀ ∈
∩ (2.34)
Được gọi là hàm phân phối đồng thời của các biến ngẫu nhiên 1 2, ,..., nX X X
hay hàm phân phối của vectơ ngẫu nhiên ( )1 2, ,..., nX X X X= .
Để đơn giản ta xét trường hợp hai chiều:
64
2.3.3. Vectơ ngẫu nhiên hai chiều
Cho một vectơ ngẫu nhiên hai chiều ( ),Z X Y= . Khi đó hàm phân phối xác
suất của Z là ( ) ( ), ;ZF x y P X x Y y= ≤ ≤ . Ở đây
( ) ( ) ( );X x Y y X x Y y≤ ≤ = ≤ ∩ ≤
Định lí 2. 9. Hàm phân phối ( ),ZF x y của vectơ ngẫu nhiên Z có tính chất sau:
(i) ( ) ( ) 20 , 1, ,ZF x y x y≤ ≤ ∀ ∈ (2.35)
(ii) ( ),ZF x y là hàm không giảm theo từng biến và không giảm theo toàn
thể.
(iii) ( ) ( ) ( ) ( )lim , ; lim ,Z Y Z Xx y
F x y F y F x y F x→+∞ →+∞
= = (2.36)
(iv) ( ) ( ) ( ), , ,lim , 1, lim , 0; lim , 0X Y X Y X Yx x yy
F x y F x y F x y→+∞ →−∞ →−∞→+∞
= = = . (2.37)
(v) ( ), ,X YF x y là hàm liên tục trái theo từng biến trên .
2.3.4. Phân phối đồng thời rời rạc
Định nghĩa 2. 15. Giả sử ( ),Z X Y= là vectơ ngẫu nhiên,
1Im ,..., ,... ,iX x x i I= ∈ ; 1Im ,..., ,... ,jY y y j J= ∈ . Đặt
( ); , ,ij i jp P X x Y y i I j J= = = ∈ ∈ .
Khi đó,
0ijp ≥ và ,
1ij
i I i J
p∈ ∈
=∑ . Ta lập bảng phân phối hai chiều như sau:
Y
X
1 2 ... ...iy y y
1x
2x
...
ix
….
11 12 1... ...jp p p
21 22 2... ...jp p p
... ... ... ... ...
1 2 ... ...i i ijp p p
... ... ... ... ...
65
2.3.5. Hàm mật độ biên duyên
Định nghĩa 2. 16. Từ phân phối đồng thời của ,X Y ta có thể tìm ra phân phối riêng
của từng biến. Từ hệ thức ( ) ( )( )i i j
j J
X x X x Y y∈
= = = =∑ , suy ra:
( ) ( );i i j ij
j J j J
P X x P X x Y y p∈ ∈
= = = = =∑ ∑ (2.38)
Gọi là xác suất biên duyên của biến ngẫu nhiên X . Bảng phân phối xác suất biên duyên của biến ngẫu nhiên X là:
X 1 2 ... ...ix x x
[ ]iP X x= 1 2 ... ...jp p p• • •
với i ij
j J
p p•∈
=∑ .
Tương tự, đối với biến ngẫu nhiên Y , ta có
( ) ( );j i j ij
i I i I
P Y y P X x Y y p∈ ∈
= = = = =∑ ∑ (2.39)
Gọi là xác suất biên duyên của biến ngẫu nhiên Y . Bảng phân phối xác suất biên duyên của biến ngẫu nhiên Y :
Y 1 2 ... ...iy y y
jP Y y = 1 2 ... ...jp p p• • •
Trong đó, 1
m
j ij
i
p p•=
=∑
2.3.6. Mật độ điều kiện
Định nghĩa 2. 17. Với mọi Im , Imj iy Y x X∈ ∈ , ta có
( )( )
( ) .
;/ i j ij
i j
jj
P X x Y y pP X x Y y
pP Y y
= == = = =
= (2.40)
gọi xác suất điều kiện của X với điều kiện jY y= , bảng phân phối xác suất điều
kiện của X với điều kiện jY y= :
X/ jY y= 1 2 ... ...ix x x
( )/ jP X x Y y= = 1 2 ... ...j j ij
j j j
p p p
p p p• • •
Tương tự, xác suất điều kiện của Y với điều kiện iX x= là
66
( )( )
( )
;/ i j ij
j i
i i
P X x Y y pP Y y X x
P X x p •
= == = = =
= (2.41)
Bảng phân phối xác suất điều kiện của Y với điều kiện iX x= là:
/ iY X x= 1 2 ... ...iy y y
jP Y y = 1 2 ... ...iji i
i i i
pp p
p p p• • •
Ví dụ 2. 22. Cho ,X Y có phân phối đồng thời rời rạc phụ thuộc vào λ như sau:
Y
X
1,5 2 3,5
1
2
4
3λ
2λ
λ
λ
4λ
2λ
0
2λ
5λ
a) Hãy xác định hằng số λ
b) Tìm phân phối biên duyên
c) Tính các mật độ điều kiện.
Giải
a) Ta có 1 1
11 20 1
20
n m
ij
i j
p λ λ= =
= ⇔ = ⇔ =∑∑ .
b) Phân phối biên của X ;
X 1 2 4
( )P X x= 4
20
8
20
8
20
Phân phối biên của biến Y
Y 1,5 2 3,5
( )P Y y= 6
20
7
20
7
20
c) Phân phối điều kiện của X với điều kiện 1,5Y =
X/ 1,5Y = 1 2 4
( )/ 1,5P X x Y= = 3
6
2
6
1
6
Phân phối điều kiện của X với điều kiện 2Y =
67
X/ 2Y = 1 2 4
( )/ 2P X x Y= = 1
7
4
7
2
7
Phân phối điều kiện của X với điều kiện 3,5Y =
X/ 3,5Y = 1 2 4
( )/ 3,5P X x Y= = 0 2
7
5
7
Phân phối điều kiện của Y với điều kiện 1X =
Y / 1X = 1,5 2 3,5
( )/ 1P Y y X= = 3
4
1
4 0
Phân phối điều kiện của Y với điều kiện 2X =
Y / 2X = 1,5 2 3,5
( )/ 2P Y y X= = 2
8
4
8
2
8
Phân phối điều kiện của Y với điều kiện 2X =
Y / 2X = 1,5 2 3,5
( )/ 2P Y y X= = 1
8
2
8
5
8
2.3.7. Đối với trường hợp liên tục
Định nghĩa 2. 18. Các biến ngẫu nhiên 1 2, ,..., nX X X được gọi là có phân phối đồng
thời liên tục tuyệt đối nếu tồn tại hàm ( )1 2, ,.., 1 2, ,..., 0
nX X X nf x x x ≥ trên n sao cho:
( ) ( )1 2
1 2 1 2, ,.., 1 2 , ,.., 1 2 1 2, ,..., ... , ,..., ...n
n n
x x x
X X X n X X X n nF x x x f u u u du du du−∞ −∞ −∞
= ∫ ∫ ∫
Hàm ( )1 2, ,.., 1 2, ,...,
nX X X nf x x x được gọi là hàm mật độ đồng thời của
1 2, ,..., nX X X .
Các tính chất:
(i) Nếu 1 2, ,.., nX X XF là liên tục tuyệt đối trên n
thì hàm mật độ
( )1 2, ,.., 1 2, ,..., 0
nX X X nf x x x ≥ và
( )( )
1 2
1 2
, ,.., 1 2, ,.., 1 2
1 2
, ,...,, ,...,
...n
n
n
X X X n
X X X n
n
F x x xf x x x
x x x
∂=
∂ ∂ ∂ (2.42)
68
(ii) ( )1 2, ,.., 1 2 1 2... , ,..., ... 1
nX X X n nf u u u du du du+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
=∫ ∫ ∫ (2.43)
Ngược lại nếu có hàm thực n biến không âm và thỏa (2.43) thì nó là hàm mật độ của một vectơ ngẫu nhiên nào đó.
Đối với vectơ ngẫu nhiên hai chiều ta có các kết quả sau:
Định lí 2. 10. Nếu ,X Y có phân phối đồng thời liên tục tuyệt đối với mật độ đồng
thời ( ), ,X Yf x y thì X (tương ứng Y ) có phân phối liên tục tuyệt đối và
( ) ( ), ,X X Yf x f x y dy+∞
−∞
= ∫ (tương ứng ( ) ( ), ,Y X Yf y f x y dx+∞
−∞
= ∫ ). Các ( )Xf x và ( )Yf y
được gọi là mật độ biên duyên của ,X Y .
Mật độ điều kiện. Giả sử ,X Y là các biến ngẫu nhiên có mật độ đồng thời
liên tục tuyệt đối với hàm mật độ ( ), ,X Yf x y . Ta gọi
( )( )( )
,/
,, X Y
X Y
Y
f x yf x y
f y=
Khi ( ) 0Yf y ≠ là mật độ điều kiện của X với Y y= .
Tương tự, ( )( )( )
,/
,, X Y
Y X
X
f x yf x y
f x=
Khi ( ) 0Xf x ≠ là mật độ điều kiện của Y với X x= .
Ví dụ 2. 23. Cho ,X Y có hàm mật độ đồng thời
( )( )
,
, 0, 0,
0 , 0, 0
x y
X Y
e x yf x y
x y
− + > >=
≤ ≤
Theo mệnh đề 2.2 ta tính được ( ), 0
0, 0
x
X
e xf x
x
− >=
≤ và ( )
, 0
0, 0
y
Y
e yf y
y
− >=
≤
Hàm phân phối đồng thời
( ) ( )( )( )
, ,
1 1 , 0, 0, ,
0, 0, 0
x yyx
X Y X Y
e e x yF x y f u v dudv
x y−∞ −∞
− − > >= =
≤ ≤∫ ∫
2.3.8. Covarian – Hệ số tương quan
Định nghĩa 2. 19. (Covarian – Hiệp phương sai) Cho hai biến ngẫu nhiên X và Y
có kỳ vọng lần lượt là Xµ và
Yµ . Covarian (hay còn gọi là Hiệp phương sai) của X
69
và Y , ký hiệu là ( ),Cov X Y , chính là kỳ vọng của biến ngẫu nhiên
( )( )X YX Yµ µ− − . Tức là:
( ) ( )( )( ),Cov X YX Y E X Yµ µ= − − (2.44)
Dĩ nhiên, định nghĩa trên chỉ có nghĩa trong điều kiện ( )( )( )X YE X Yµ µ− −
tồn tại.
Từ tính chất của kỳ vọng, chúng ta có:
( ) ( ),Cov X YX Y E XY µ µ= −
Như vậy, nếu X và Y độc lập thì ( )cov , 0X Y = .
Định lí 2. 11. Nếu X và Y là 2 biến ngẫu nhiên có phương sai thì
( ) ( ) ( ) ( )2cov ,D X Y D X D Y X Y+ = + + (2.45)
Chứng minh.
Đặt Z = X + Y, chúng ta có Z X Yµ µ µ= + . Ta có
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2
2cov , .
X Y
X Y X Y
X Y X Y
D X Y E X Y
E X E Y E XY
E X E Y E XY
D X D Y X Y
µ µ
µ µ µ µ
µ µ µ µ
+ = + − +
= + + − + +
= − + − + −
= + +
Hệ quả. Cho X và Y là 2 biến ngẫu nhiên có phương sai; a và b là 2 số thực,
chúng ta có
(i) ( , ) ( , )Cov = CovaX bY ab X Y (2.46)
(ii) 2 2( ( ) ( ) 2 ( , )D + ) = D D CovaX bY a X b Y ab X Y+ + (2.47)
(iii) Nếu X và Y độc lập thì ( ) ( ) ( )D X Y D X D Y+ = + (2.48)
Định nghĩa 2. 20. (Hệ số tương quan) Giả sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên có kỳ
vọng, theo thứ tự, là Xµ và Yµ có độ lệch chuẩn, theo thứ tự, là Xσ và Yσ . Hệ số
tương quan của X và Y, ký hiệu ( ),X Yρ , là số thực được xác định bởi
( )( )cov ,
,X Y
X YX Yρ
σ σ= (2.49)
Nếu X và Y độc lập thì ( ) .X YE XY µ µ= ; từ đó, Cov(X,Y) = 0 và ρ(X,Y) = 0.
Điều ngược lại không đúng.
Ví dụ 2. 24. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ. f:
70
1( ) 2
0
neáu [-1,1]
neáu [-1,1]
xf x
x
∈
= ∉
Đặt 2Y X= , thì rõ ràng X và Y không độc lập.
Vì 1
1
1( ) . 0
2E X x dx
−
= =∫
Và 1
3 3
1
1( ) ( ) 0
2E XY E X x dx
−
= = =∫ nên ρ(X,Y) = 0.
Ví dụ 2. 25. Thống kê về lãi suất cổ phiếu tính cho 100 USD khi đầu tư vào hai ngân hàng A và B trong một năm tương ứng là X (đơn vị %), Y (đơn vị %) cho kết quả trong bảng sau:
Y
X -2 5 10
-1 0,1 0,15 0,1
4 0,05 0,2 0,1
8 0,1 0,15 0,05
a) Tính ( ),Cov X Y và ( ),X Yρ
b) Tìm tỉ lệ đầu tư vào A và B để thu nhập hàng năm đều đặn nhất.
Giải
a) Dễ dàng tính được:
( )3, 45; 13, 2475; 4,5; 18,25; 14,45EX DX EY DY E XY= = = = =
Suy ra, ( ) ( ) ( ) ( ), 14,45 3, 45.4,5 1,075Cov X Y E XY E X E Y= − = − = −
Và ( )( ), 1,075
, 0,0691.13,2475 18,25X Y
Cov X YX Yρ
σ σ
−= = = −
b) Gọi p là tỉ lệ đầu tư vào cổ phiếu A ( 0 1p≤ ≤ ). Khi đó lợi nhuận thu
được là ( )1Z pX p Y= + − . Để có thu nhập ổn định (ít rũi ro nhất) thì DZ
phải bé nhất. Ta có
( ) ( ) ( )22 1 2 1 ,DZ p DX p DY p p Cov X Y= + − + −
233,6475 38,65 18, 25 7,1509p p= − + ≥ dấu “=” xảy ra khi 0,5743p = .
Vậy, khi đầu tư vào cổ phiếu A vơi tỉ lệ 57,43% thì lợi nhuận ổn định nhất.
71
Định lí 2. 12. Nếu hai BNN X và Y có hệ số tương quan là ρ(X,Y) thì |ρ(X,Y)| ≤ 1;
hơn nữa, |ρ(X,Y)| = 1 nếu và chỉ nếu có hai hằng số thực a và b sao cho Y = aX + b,
có thể trừ một số giá trị của X, tại đó, xác suất bằng 0.
Chứng minh.
Đặt * X
X
XX
µ
σ
−= và * Y
Y
YY
µ
σ
−= ,
chúng ta có
D(X* − Y*) = D(X*) + D(Y*) − 2Cov(X*, Y*) = 2(1 − ρ(X,Y)).
Vì vế trái không âm nên ρ(X,Y) ≤ 1.
Tương tự, dùng D(X* + Y*), chúng ta chứng minh được ρ(X,Y) ≥ −1.
Nếu ρ(X,Y) = 1 thì D(X* − Y*) = 0; như vậy, với xác suất bằng 1, X* − Y* = c
(c là hàm số hằng). Suy ra:
. .
. .
XY Y Y
X
Y YY Y X
X x
XY c
X c
µσ σ µ
σ
σ σµ σ µ
σ σ
−= − +
= + − −
Đặt, , .Y YY Y X
X x
a b cσ σ
µ σ µσ σ
= = − − , ta được Y aX b= + .
Chứng minh tương tự cho trường hợp ρ(X,Y) = − 1.
Điều ngược lại hiển nhiên đúng.
2.4. BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV - LUẬT SỐ LỚN
2.4.1. Bất đẳng thức Chebyshev
Định lí 2. 13. Cho biến ngẫu nhiên X có kỳ vọng µ và độ lệch chuẩn σ . Khi đó,
với mọi số thực ε > 0 cho trước,
( )2
2P X
σµ ε
ε− ≥ ≤ (2.50)
Chứng minh.
Xét trường hợp X rời rạc và có miền giá trị ImX , đặt
Im / | |A x X x µ ε= ∈ − ≥ và Im \B X A= . Khi đó ta có:
72
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 22
Im
2 2
2
.
. .
.
x X
x A x B
x A
DX E X x P X x
x P X x x P X x
x P X x
σ µ µ
µ µ
µ
∈
∈ ∈
∈
= = − = − =
= − = + − =
≥ − =
∑
∑ ∑
∑
( )2.x A
P X xε∈
≥ =∑ (Do với mọi x A∈ thì | |x µ ε− ≥ )
( ) ( )2 2 | |x A
P X x P xε ε µ ε∈
= = = − ≥∑
Từ đó, suy ra ( )2
2.P X
σµ ε
ε− ≥ ≤
Trường hợp X liên tục chứng minh tương tự.
2.4.2. Luật số lớn
Định nghĩa 2. 21. Dãy ( ) , 1nX n ≥ các biến ngẫu nhiên được gọi là hội tụ theo xác
suất đến biến ngẫu nhiên X , ký hiệu là P
nX X→ , nếu với mọi 0ε > ta có:
( )lim | | 1nn
P X X ε→∞
− < = . (2.51)
Định nghĩa 2. 22. Dãy ( ) , 1nX n ≥ được gọi là tuân theo luật số lớn nếu dãy
1
1 n
i
i
X Xn =
= ∑ hội tụ theo xác suất về ( )1
1 n
i
i
E X EXn =
= ∑ hay với mọi 0ε > , ta có
( )( )lim | | 1n
P X E X ε→∞
− < = .
Định lí 2. 14. (Định lý Chebyshev) Giả sử ( )nX là một dãy các BNN độc lập và có
phương sai bị chặn trên bởi cùng một số C. Khi đó, dãy ( )nX tuân theo luật số lớn.
Chứng minh.
Theo giả thiết, ( )iD X C≤ với mọi *i ∈ .
Theo các tính chất của phương sai vì các iX độc lập nên
21
1( ) ( )D D
n
i
i
X Xn =
= ∑
Với mọi ε > 0 cho trước, theo bất đẳng thức Chebyshev, chúng ta có:
( )( )
2 20 ( )
D X CP X E X
nε
ε ε≤ − ≥ ≤ ≤
Do đó,
73
( )( ) 0nP X E X ε →∞− ≥ →
hay
lim ( ( ) ) 1n
P X E X ε→∞
− < = .
Hệ quả. Giả sử (Xn) là một dãy các BNN độc lập có cùng phân phối, với kỳ
vọng µ và độ lệch chuẩn σ. Khi đó, với mọi ε > 0 cho trước, chúng ta có:
( )lim 1Pn
X µ ε→∞
− < = (2.52)
Định Lý Chebyshev cho chúng ta một qui tắc thực hành trong phạm vi số lớn:
Giả sử để đo một đại lượng có số đo x chưa biết, người ta đo n lần độc lập nhau. Kết quả mỗi lần đo là một biến ngẫu nhiên mà giá trị của chúng có thể sai khác với x một cách đáng kể, nhưng theo luật số lớn thì trung bình các kết quả đo sẽ sai
lệch với kỳ vọng của nó (là µ ) không đáng kể và điều đó hầu như chắc chắn nếu số
phép đo đủ lớn.
Chúng ta xét một trường hợp đặc biệt quan trọng của định lý Chebyshev: Giả
sử trong một phép thử, người ta quan tâm đến xác suất xuất hiện p của một biến cố
T, gọi là “thành công”. Làm thế nào để tìm được p ?.
Định lí 2. 15. (Định lý Bernoulli). Trong quá trình B(n; p), nếu gọi X là biến ngẫu
nhiên chỉ số thành công và đặt 1
1 n
i
i
P Xn =
= ∑ , gọi là tần suất thành công, thì với mọi ε
> 0 cho trước,
( )lim 1n
P P p ε→∞
− < = (2.53)
Chứng minh.
Đặt iX là BNN chỉ số lần thành công ở phép thử thứ ( )1,2,...,i i n= thì
( )1i i nX
≤ ≤ là một dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối xác suất:
( ) ( )0 1 , 1i iP X p P X p= = − = =
Nên iEX p= và ( )1iDX p p= − với mọi 1, 2,...,i n=
Vì 1
1 n
i
i
P Xn =
= ∑ nên áp dụng Hệ quả của Định lý Chebyshev, chúng ta có
điều phải chứng minh.
74
BÀI TẬP CHƯƠNG 2
2. 1. Một xạ thủ có bốn viên đạn. Anh ta bắn lần lượt từng viên cho đến khi trúng đích hoặc hết đạn thì thôi. Biết rằng xác suất trúng đích mỗi viên đạn là 0,8. Tìm luật phân phối xác suất của số viên đạn đã bắn.
2. 2. Trong một đội tuyển, 3 vận động viên ,A B và C thi đấu với xác xuất thắng
trận của mỗi người lần lượt là 0,6; 0,7 và 0,8. Trong một đợt thi đấu, mỗi vận động viên thi đấu một trận độc lập nhau.
a) Tìm luật phân phối xác suất cho số trân thắng của đội tuyển.
b) Tính xác suất để đội tuyển thắng ít nhất một trận.
c) Sau đợt thi đấu, đội tuyển có hai trận thắng; tính xác suất để A thua trận.
d) Tính số trận thắng trung bình và phương sai của số trận thắng của đội tuyển.
2. 3. Một cơ sở sản xuất các bao kẹo. Số kẹo trong mỗi bao là một biến ngẫu nhiên
X có phân phối xác suất như sau:
x 18 19 20 21 22
( )P X x= 0,14 0,24 0,32 0,09 0,21
a) Tìm xác suất để một bao kẹo được chọn ngẫu nhiên sẽ chứa từ 19 đến 21 viên kẹo.
b) Tìm trung bình và phương sai của số viên kẹo trong mỗi bao.
c) Chi phí sản xuất của mỗi bao kẹo là 3X + 16. Tiền bán mỗi bao kẹo là 100$. Không phân biệt số kẹo trong bao. Tìm lợi nhuận trung bình và độ lệch chuẩn của lợi nhuận cho mỗi bao kẹo.
d) Năm bao kẹo được chọn ngẫu nhiên. Tính xác suất để ít nhất một trong hai bao chứa ít nhất 20 viên kẹo.
2. 4. Một hộp đựng 6 sản phẩm, trong đó có hai phế phẩm. Người ta lần lượt kiểm tra từng sản phẩm (không hoàn lại) cho đến khi gặp hai phế phẩm thì dừng lại. Tìm luật phân phối xác suất cho số sản phẩm được kiểm tra. Tính số lần kiểm tra trung bình.
2. 5. Số lượng xe ô tô mà một đại lý bán được trong một tuần là một biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất như sau:
Số xe bán được 0 1 2 3 4 5
Xác suất 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,1
75
a) Tính xác suất để đại lý đó bán được nhiều nhất 3 xe trong một tuần. Tính kỳ vọng và phương sai của số xe mà đại lý bán được trong một tuần.
b) Giả sử chi phí cho hoạt động của đại lý bằng căn bậc hai của số xe bán được cộng với 5 (triệu đồng). Tìm chi phí trung bình cho hoạt động của đại lý trong một tuần.
2. 6. Một cửa hàng bán sữa tươi mua vào mỗi chai với giá 20 ngàn đồng và bán ra với giá 50 ngàn đồng mỗi chai. Cuối ngày, chai nào không bán được thì phải bỏ. Biết phân phối xác suất của số chai sửa bán ra mỗi ngay trong bảng sau:
Số bán ra (chai) 10 11 12 13
Xác suất 0,15 0,2 0,4 0,25
Đối với chủ cửa hàng, có hai loại thiệt hại: Thiệt hại do dư thừa, gây ra do số bán ra ít hơn số mua vào, và thiệt hại cơ hội, do số mua vào ít hơn số cầu.
Chủ cửa hàng nên mua vào bao nhiêu chai sữa mỗi ngày để ít thiệt hại nhất?
2. 7. Nhu cầu hàng ngày về một loại thực phẩm có bảng phân phối xác suất như sau:
Nhu cầu (kg) 30 31 32 33 34 35
Xác suất 0,15 0,2 0,35 0,15 0,1 0,05
Mỗi kg thực phẩm có giá 5 ngàn đồng và bán ra với giá 8 ngàn đồng. Nếu cuối ngày không bán hết phải hạ giá còn 3 ngàn đồng mới bán hết. Phải đặt mua hàng ngày bao nhiêu kg thực phẩm để lợi nhuận cao nhất?
2. 8. Một công ty dự định mua một số xe hơi để cho thuê. Giá mua mỗi xe là 5000 USD; mỗi xe cho thuê 24 USD/ngày. Công ty dự định cho thuê 6 ngày/tuần (312 ngày/năm), và chi phí cho mỗi xe là 1,5 USD/ngày. Cuối năm, công ty sẽ bán lại xe với giá 50% giá mua ban đầu. Ước tính nhu cầu về số xe thuê mỗi ngày như sau:
Số xe theo nhu cầu 11 12 13 14 15
Xác suất 0,20 0,25 0,30 0,13 0,12
Tìm số xe tối ưu mà công ty cần mua.
2. 9. Một thiết bị có 3 bộ phận hoạt động độc lập nhau. Xác suất để trong thời gian làm việc các bộ phận bị hỏng tương ứng là 0,1; 0,15 và 0,2. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số bộ phận hỏng trong thời gian làm việc.
a) Lập bảng phân phối xác suất của X .
b) Tìm kỳ vọng, phương sai và giá trị Mode của .X
Tính xác suất trong thời gian làm việc có không quá 1 bộ phận bị hỏng.
2. 10. Một người điều khiển 3 máy tự động hoạt động độc lập với nhau. Xác suất bị hỏng trong một ca sản xuất của máy 1,2 và 3 lần lượt là 0,1; 0,2 và 0,3.
76
a) Lập bảng phân phối xác suất cho số máy hoạt động tốt trong một ca sản xuất.
b) Sau sản xuất, người điều khiển báo rằng suốt ca chỉ có một máy hoạt động tốt. Tính xác suất để máy hoạt động tốt đó là máy một.
c) Trung bình, trong một ca, có bao nhiêu máy hoạt động tốt? Tính độ lệch chuẩn của số máy hoạt động tốt trong một ca sản xuất.
2. 11. Một công ty có 3 tổng đại lý. Gọi ,X Y và Z theo thứ tự là khối lượng hàng
bán được trong một này của 3 tổng đại lý trên (tính bằng tấn). Biết phân phối xác
suất của các biến ngẫu nhiên ,X Y và Z như sau:
ix 5 6 7 8
( )iP X x= 0,1 0,3 0,4 0,2
jy 4 5 6 7 8
( )jP Y y= 0,15 0,2 0,4 0,1 0,15
kz 7 8 9 10
( )kP Z z= 0,2 0,3 0,4 0,1
Tính khối lượng hàng hóa bán được trung bình trong một tháng (30 ngày) của công ty trên.
2. 12. Tiến hành khảo sát một chuyến xe buýt tại một tuyến giao thông. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số khách trên mỗi chuyến. Biết X có phân phối xác suất như sau:
x 25 30 35 40 45
( )P X x= 0,15 0,2 0,3 0,25 0,1
a) Tính kỳ vọng và độ lệch chuẩn của X
b) Giả sử chi phí cho mỗi chuyến xe buýt là 200 ngàn đồng, không phụ thuộc vào số khách đi trên xe, thì công ty phải quy định giá vé là bao nhiêu để có thể thu được số tiền lời trung bình cho mỗi chuyến xe là 100 ngàn đồng?
2. 13. Một người tham gia trò chơi gieo 3 đồng tiền vô tư. Anh ta được 500đ nếu xuất hiện 3 mặt sấp, 300đ nếu xuất hiện 2 mặt sấp, và 100đ nếu chỉ có một mặt sấp xuất hiện. Mặc khác, anh ta mất 900đ nếu xuất hiện 3 mặt ngửa. Trò chơi này có
77
công băng với người này không? ( Trò chơi được gọi là công bằng đối với người chơi nếu tham gia chơi nhiều lần thì trung bình anh ta hòa vốn).
2. 14. Một người tham gia trò chơi sau: Gieo một con xúc xắc vô tư ba lần độc lập nhau. Nếu xuất hiên “ mặt 1” cả 3 lần thì được thưởng 6 ngàn đồng; nếu xuất hiện “ mặt 1” 2 lần thì được thưởng 4 ngàn đồng; xuất hiện “mặt 1” 1 lần thì được thưởng 2 ngàn đồng; khi không có “mặt 1” nào xuất hiện thì không được thưởng. Mỗi lần tham gia trò chơi, người chơi phải đóngM ngàn đồng. Hãy định M để trò chơi công bằng.
2. 15. Theo thống kê dân số, xác suất để một người ở độ tuổi 40 sẽ sống thêm 1 năm nữa là 0,999. Một công ty bảo hiểm nhân thọ bán bảo hiểm một năm cho những người ở độ tuổi đó là 10 ngàn, và trong trường hợp người mua bảo hiểm bị chết thì số tiền bồi thường là m triệu. Nếu lợi nhuận trung bình của công ty khi bán mỗi thẻ bảo hiểm là 5 ngàn thì m là bao nhiêu?
2. 16. Cho biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ:
( )0, 0
, 0
xf x
e xλλ −
<=
≥,
Tính ,EX DX .
2. 17. Cho hàm [ ]
[ ]
2 , 0;1( )
0 , 0;1
x xf x
x
∈=
∉
a) Chứng tỏ ( )f x là hàm mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục
X .
b) Tìm hàm phân phối xác suất ( )F x của X
c) Tính xác suất 1
02
P X
< <
.
2. 18. Cho hàm 3
2, 1
( )0 , 1
xf x x
x
>
= ≤
a) Chứng tỏ ( )f x là hàm mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục
X .
b) Tìm hàm phân phối xác suất ( )F x của X .
c) Tính xác suất ( )0 3P X< <
2. 19. Cho hàm 3, 1
( )0 , 1
ax
f x x
x
>
= ≤
(a là hằng số)
78
a) Tìm a để ( )f x là hàm mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên liên
tụcX
b) Tìm hàm phân phối xác suất ( )F x của X .
2. 20. Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ
[ ]
[ ]
2 , 0;1( )
0 , 0;1
x xf x
x
∈=
∉
Tìm kỳ vọng và phương sai của X .
2. 21. Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ
[ ]
[ ]
23 , 0;1( )
0 , 0;1
x xf x
x
∈=
∉
Tìm kỳ vọng và phương sai của X .
2. 22. Điều tra thu nhập hàng năm (đơn vị triệu đồng) của các cặp vợ chồng đang
làm việc. Với :X thu nhập của chồng, :Y thu nhập của vợ, kết quả cho trong bảng sau đây:
Y
X 10 20 30 40
10 0,2 0,04 0,01 0
20 0,1 0,36 0,09 0
30 0 0,05 0,1 0
40 0 0 0 0,05
a) Tìm phân phối biên của thu nhập của chồng, của vợ; thu nhập trung bình hằng năm của họ.
b) Tìm phân phối thu nhập của vợ có chồng thu nhập 20 triệu/năm; thu nhập trung bình của họ.
c) Tìm hệ số tương quan ,X Yρ , từ đó cho kết luận về sự phụ thuộc giữa thu
nhập của vợ và chồng.
d) Lập bảng phân phối xác suất cho tổng thu nhập của vợ chồng. Tính trung bình tổng thu nhập (theo hai cách).
2. 23. Giả sử chọn ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp có 3 quả cầu đỏ, 4 quả cầu trắng, 5
quả cầu vàng. Gọi ,X Y tương ứng là số quả cầu đỏ, cầu vàng có được trong 3 quả
cầu được chọn.
79
c) Lập bảng phân phối đồng thời của X và .Y d) Tìm phân phối biên của X và .Y e) Tìm phân phối điều kiện của X biết số quả cầu vàng được chọn là 1. f) Tìm ,X Yρ .
2. 24. Thống kê về lãi cổ phần tính cho 100 USD của 2 ngân hàng A và B trong một số năm tương ứng là X (đơn vị %), Y (đơn vị %) kết quả cho trong bảng sau đây:
Y
X -2 5 10
-1 0,1 0,15 0,1
4 0,05 0,2 0,1
8 0,1 0,15 0,05
a) Lập bảng phân phối biên cho X và Y . Tính lãi suất cổ phần trung ình cho từng ngân hàng.
b) Khi 5%Y = , tính lãi suất cổ phần trung bình của X . c) X và Y có độc lập nhau không? Tính ,X Yρ .
d) Lập bảng phân phối xác suất cho T X Y= + . Tính ( )E T và ( )D T .
2. 25. Một người đang cân nhắc giữa đầu tư vào cổ phiếu hay trái phiếu. Lãi suất tính bằng % của cổ phiếu S và trái phiếu T có bảng phân phối xác suất đồng thời như sau:
S
T -10 0 10 20
6 0 0 0,1 0,1
8 0 0,1 0,3 0,2
10 0,1 0,1 0 0
a) Nếu đầu tư toàn bộ tiền vào cổ phiếu thì lãi suất kỳ vọng và độ lệch chuẩn
của nó là bao nhiêu? b) Câu hỏi tương tự nếu như đầu tư toàn bộ tiền vào trái phiếu. c) Nếu đầu tư cả cổ phiếu và trái phiếu thì nên đầu tư theo tỉ lệ nào để tổng
lãi suất kỳ vọng là lớn nhất. d) Nếu muốn đàu tư sao cho mức rủi ro về lãi suất nhỏ nhất thì nên đầu tư
theo tỉ lệ nào?
2. 26. Cho vec tơ ngẫu nhiên ( ),X Y có hàm mật độ đồng thời:
( )26
, 0 1, 0 2, 7 2
0
neáu
nôi khaùc
xyx x y
f x y
+ < < < ≤
=
a) Tìm các mật độ biên ( ) ( ),X Yf x f y .
b) Tính ( ) ( ),E X E Y
80
c) Tìm ( )P X Y> ;
d) Tìm ( )E XY
e) Tìm ( )/ 1E X Y = .
2. 27. Cho vec tơ ngẫu nhiên ( ),X Y có hàm mật độ đồng thời:
( ), 0 1, 0 1
,0
neáu nôi khaùc
x y x yf x y
+ < < < <=
a) Tìm các mật độ biên ( ) ( ),X Yf x f y .
b) Tính ( ) ( ),E X E Y ; Tìm ( )E XY
c) X và Y có độc lập không? d) Tìm ( )1P X Y+ < .