CENTRO EDUCACIONAL C.C.G. MATERIAL DE APOIO: SÉRIES: 8°ANO E 9º ANO / Primeira fase - Nível 2

OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2009Instruções:

Leia os exercícios com muita atenção. Tente resolvê-los sozinho. Em caso de dúvidas procure pelo gabarito comentado (no final da apostila). Caso a dúvida prossiga, procure seu professor. Procure fazer e refazer todos os exercícios.

A 1ª prova será dia 6 de junho (sábado) na própria escola . Acreditamos em você!

1. (2005) Uma loja de sabonetes realiza uma promoção com o anúncio "Compre um e leve outro pela metade do preço”. Outra promoção que a loja poderia fazer oferecendo o mesmo desconto percentual éA) "Leve dois e pague um” B) "Leve três e pague um”

C) "Leve três e pague dois” D) "Leve quatro e pague três” E) "Leve cinco e pague quatro”

2. (2005) Devido a um defeito de impressão, um livro de 600 páginas apresenta em branco todas as páginas cujos números são múltiplos de 3 ou de 4. Quantas páginas estão impressas?A) 100 B) 150 C) 250 D) 300 E) 430

3. (2005) Figuras com mesma forma representam objetos de mesma massa. Quantos quadrados são necessários para que a última balança fique em equilíbrio?

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12

4. (2005) O desenho ao lado mostra um pedaço de papelão que será dobrado e colado nas bordas para formar uma caixa retangular. Os ângulos nos cantos do papelão são todos retos. Qual será o volume da caixa em cm3?

A) 1 500 B) 3 000 C) 4 500 D) 6 000 E) 12 000

5. (2005) Em certa cidade, acontece um fato interessante. Dez por cento dos Baianos dizem que são Paulistas e dez por cento dos Paulistas dizem que são Baianos. Todos os outros Paulistas e Baianos assumem a sua verdadeira origem. Dentre os Paulistas e Baianos, 20% dizem que são Paulistas. Que percentual os realmente Paulistas representam dentre os Paulistas e Baianos?A) 12,5% B) 18% C) 20% D) 22% E) 22,5%

1

6. (2005) Um professor de Inglês dá aula particular para uma classe de 9 alunos, dos quais pelo menos um é brasileiro. Se o professor escolher 4 alunos para fazer uma apresentação, terá no grupo pelo menos dois alunos de mesma nacionalidade; se escolher 5 alunos, terá no máximo três alunos de mesma nacionalidade. Quantos brasileiros existem na classe?A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

7. (2008) Quantos dos números abaixo são maiores que 10? , , , ,

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

8. é igual a:A) B) C) D) E)

9. (2008) Uma grande empresa possui 84 funcionários e sabe-se que cada funcionário fala pelo menos uma das línguas entre Português e Inglês. Além disso, 20% dos que falam Português também falam Inglês e 80% dos que falam Inglês também falam Português. Quantos funcionários falam as duas línguas?A) 12 B) 14 C) 15 D) 16 E) 18

10. (2008) Edmilson, Carlos e Eduardo ganharam um total de R$150,00 lavando carros. Eles ganharam quantidades diferentes de dinheiro. Como eles são muito amigos decidiram dividir o dinheiro ganho em partes iguais. Para isto, Edmilson deu metade do que ganhou para dividir em partes iguais entre Carlos e Eduardo, porém, Carlos tinha muito dinheiro e, portanto, deu R$ 10,00 a cada um dos outros dois. Finalmente, para que cada um tivesse a mesma quantidade de dinheiro, Eduardo deu R$ 2,00 a Edmilson. Quanto Eduardo ganhou antes da divisão?

A) R$ 76,00 B) R$ 51,00 C) R$ 23,00 D) R$ 50,00 E) R$ 100,00

11. (2008) De quantas maneiras podemos dividir R$ 10,00 em moedas de 10 centavos e de 25 centavos, se pelo menos uma moeda de cada valor tem que ser usada?

A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19

12. (2008) Soninha tem muitos cartões, todos com o mesmo desenho em uma das faces. Ela vai usar cinco cores diferentes (verde, amarelo, azul, vermelho e laranja) para pintar cada uma das cinco partes do desenho, cada parte com uma cor diferente, de modo que não haja dois cartões pintados da mesma forma. Na figura abaixo, por exemplo, os cartões são iguais, pois um deles pode ser girado para se obter o outro. Quantos cartões diferentes Soninha conseguirá produzir?

A) 16 B) 25 C) 30 D) 60 E) 120

2

13. (2008) Uma classe tem 22 alunos e 18 alunas. Durante as férias, 60% de todos os alunos dessa classe foram prestar trabalho comunitário. No mínimo, quantas alunas participaram desse trabalho?A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8

14. (2008) O grupo A da última Copa do Mundo de futebol terminou com os seguintes resultados:

Equipe Número de Pontos Áustria 7Brasil 5

Camarões 4Dinamarca 0

Sabe-se que Áustria e Camarões levaram apenas 1 gol, cada um. Além disso, Brasil e Dinamarca marcaram apenas 1 gol, cada um, enquanto que Áustria marcou 3 gols. Qual o resultado da partida Áustria Dinamarca?Observação: no grupo, cada seleção joga com as demais exatamente uma vez e, em cada partida, o time vencedor ganha 3 pontos, o perdedor não ganha nem perde pontos e, em caso de empate, cada time ganha 1 ponto.A) 1 0 B) 2 1 C) 2 0 D) 0 0E) Nada se pode afirmar.

15. (2008) Tenho um cubo de madeira, com três faces vermelhas e três faces azuis. O cubo é cortado em 333 = 27 cubos menores. Quantos destes cubos menores têm, pelo menos, uma face vermelha e outra azul? A) 6 B) 12 C) 14 D) 16E) depende de quais faces do cubo são vermelhas e quais são azuis.

16. (2007) Na figura, o lado do triângulo eqüilátero ABC é paralelo ao lado do quadrado DEFG. Qual é o valor do ângulo x?A) 80o B) 90o C) 100o D) 110o

E) 120o

17. (2007) Em uma prova de olimpíada, 15% dos estudantes não resolveram nenhum problema, 25% resolveram pelo menos um problema, mas cometeram algum erro, e os restantes, 156 estudantes, resolveram todos os problemas corretamente. O número de estudantes que participaram da olimpíada foi:A) 200 B) 260 C) 93 D) 223 E) 300

18. (2007) As seguradoras de automóveis A e B cobram um valor anual (prêmio) mais um valor que o usuário deve pagar em caso de acidente (franquia). Jean quer fazer um seguro para seu automóvel e recebeu as seguintes propostas das seguradoras: Seguradora A: Prêmio anual de R$ 1500,00 e franquia de R$ 1400,00Seguradora B: Prêmio anual de R$ 1700,00 e franquia de R$ 700,00Para valer a pena Jean contratar a Seguradora A, ele não deve se acidentar com o carro por pelo menos N anos. O valor de N é:A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

3

19. (2007) Determine em qual dos horários abaixo o ângulo determinado pelos ponteiros de um relógio é o menor. A) 02h30 B) 06h20 C) 05h40 D) 08h50 E) 09h55

20. (2007) A figura abaixo é formada por três quadrados de lado 1 e um retângulo que os contorna.

A área do retângulo é: A) B) C) 6 D) E) 8

21. (2006) São dadas duas tiras retangulares de papel com 20 cm de comprimento, uma com 5 cm de largura e outra com 11 cm de largura. Uma delas foi colada sobre a outra, perpendicularmente, de modo a formar a figura ilustrada ao lado. O perímetro dessa figura, em centímetros é:A) 50 B) 60C) 80D) 100E) 120

22. (2006) A soma de três números naturais consecutivos é igual ao produto desses três números. A soma dos quadrados desses números é:

A) 14 B) 15 C) 18 D) 24 E) 36

23. (2006) No fim de 1994, Neto tinha a metade da idade de sua avó. A soma dos anos de nascimento dos dois é 3844. Em 2006 Neto fará:

A) 55 anos B) 56 anos C) 60 anos D) 62 anos E) 108 anos

24. (2006) O número de quadrados que podem ser construídos com vértices nos pontos da figura abaixo é:

A) 18 B) 14 C) 9 D) 20 E) 10

25. Seis amigos planejam viajar e decidem fazê-lo em duplas, cada uma utilizando um meio de transporte diferente, dentre os seguintes: avião, trem e carro. Alexandre acompanha Bento. André viaja de avião. Carlos não acompanha Dário nem faz uso do avião. Tomás não anda de trem. Qual das afirmações a seguir é correta?

4

A) Bento vai de carro e Carlos vai de avião.B) Dário vai de trem e André vai de carro.C) Tomás vai de trem e Bento vai de avião.D) Alexandre vai de trem e Tomás vai de carro.E) André vai de trem e Alexandre vai de carro.

26. (2006) Ludmilson percebeu que para numerar as páginas de um livro, consecutivamente, a partir da página 2, foram usados 2006 algarismos. O número de páginas do livro de Ludmilson é:

A)701 B) 702 C) 703 D) 704 E) 705

27. (2006) Num relógio digital, as horas são exibidas por meio de quatro algarismos. Por exemplo, ao mostrar 00:00 sabemos que é meia-noite e ao mostrar 23:59 sabemos que falta um minuto para meia-noite. Quantas vezes por dia os quatro algarismos mostrados são todos pares?

A) 60 B) 90 C) 105 D) 180 E) 240

28. (2006) O professor Piraldo aplicou uma prova para seus cinco alunos e, após corrigi-las, digitou as notas em uma planilha eletrônica que calcula automaticamente a média das notas à medida que elas são digitadas. Piraldo notou que após digitar cada nota a média calculada pela planilha era um número inteiro. Se as notas dos cinco estudantes são, em ordem crescente, 71, 76, 80, 82 e 91, a última nota que Piraldo digitou foi:

A) 71 B) 76 C) 80 D) 82 E) 91

29. (2006) Samuel possui três irmãos a mais do que irmãs. O número de irmãos de Samila, irmã de Samuel, é igual ao dobro do número de suas irmãs. O número de filhos (homens e mulheres) que possui o pai de Samuel e Samila é:

A) 10 B) 13 C) 16 D) 17 E) 20

30. (2006) A figura a seguir representa um Tangram, quebra-cabeças chinês formado por 5 triângulos, 1 paralelogramo e 1 quadrado. Sabendo que a área do Tangram a seguir é 64 cm 2, qual é a área, em cm2, da região sombreada?

A) 7,6 B) 8 C) 10,6 D) 12 E) 21,3

GABARITO COMENTADO

1. (D) Pela promoção, quem levar 2 unidades paga pelo preço de 1,5 unidade, logo quem levar 4 unidades paga pelo preço de 3 unidades, ou seja, leva quatro e paga três

5

2. (D) Em 600 números inteiros consecutivos positivos, há múltiplos de 3 e

múltiplos de 4; entretanto, alguns desses números aparecem duas vezes nessa

contagem, pois são múltiplos dos dois números, ou seja, são múltiplos de 12. Como há

desses múltiplos, concluímos que o número de páginas com defeito é

.

3. (D) Na primeira balança temos 3 triângulos + 1 círculo = 6 quadrados. Na segunda, vemos 2 triângulos + 4 círculos = 8 quadrados, ou seja, 1 triângulo + 2 círculos = 4 quadrados.

Logo, 4 triângulos + 3 círculos = (3 triângulos + 1 círculo) + (1 triângulo + 2 círculos) = 6 quadrados + 4 quadrados = 10 quadrados.

4. (B) A caixa terá dimensões 20 cm 15 cm 10 cm. Logo, seu volume será igual a 20 15 10 = 3000 cm2.

5. (A) Se P é a fração de Paulistas, entre os Paulistas e Baianos, temos 0,9P + 0,1(1- P) = 0,2. Logo, 0,8 P = 0,1, ou seja, P = 0,125 = 12,5%.

6. (C) Suponha que haja alunos de 4 ou mais nacionalidades entre os 9 alunos da classe. Se escolhermos um aluno de cada nacionalidade não haverá dois alunos de mesma nacionalidade, o que é um absurdo. Logo há alunos de no máximo 3 nacionalidades.

Da mesma forma, entre os 9 alunos não há 4 de mesma nacionalidade, pois se houvesse poderíamos formar um grupo de 5 alunos com mais de 3 alunos de mesma nacionalidade. Logo há no máximo 3 alunos de cada nacionalidade.Como há 9 alunos, no máximo 3 nacionalidades e no máximo 3 alunos por nacionalidade, há exatamente 3 nacionalidades e 3 alunos de cada nacionalidade. Em particular, há 3 alunos brasileiros.

7. (C) Os quadrados dos números são respectivamente: 99, 112, 125, 108 e 98. Destes, apenas o primeiro e o último são menores que o quadrado de 10 que é 100. Assim, os três números do meio são maiores que 10.

8. (C)

9. (D) Seja P o número de funcionários que falam Português e I o número de funcionários que falam Inglês. É fácil ver que,

Além disso, Com isso, o número de funcionários que falam as

duas línguas é

10. (C)

6

Edmilson

Eduardo

Carlos

A quantidade final de cada é R$ 50,00, então = 50, então E com isso, Eduardo

tinha inicialmente R$ 23,00.

11. (E) Temos que , onde e são, respectivamente, as

quantidade de moedas de 10 centavos e de 25 centavos. Para que seja um valor inteiro positivo basta que seja qualquer número par entre 2 e 38. Logo, temos 19 maneiras diferentes.

12. (C) ou (D) ambas devem ser consideradas como resposta correta. (C) Escolhendo uma cor para o quadrado do centro (como o azul do exemplo), sobram 4 cores diferentes para pintar cada uma das quatro partes restantes do desenho, cada parte com uma cor

diferente, e isso pode ser feito de maneiras de modo que não haja dois cartões

pintados da mesma forma. Pode-se verificar que há 4 maneiras iguais de se pintar os cartões, pois ao serem giradas, obtém-se a mesma. Como há 5 maneiras de escolher uma cor para o quadrado do centro, Soninha conseguirá produzir cartões diferentes.(D) Se considerarmos que a diagonal com quadradinhos pretos é distinta da outra, então só precisamos dividir por 2. Logo Soninha conseguirá 60 cartões diferentes.

13. (B) Total de alunos: 40. Com isso, alunos. Como temos 22 alunos então pelo

menos 2 alunas participarão do trabalho.

14. (B) Como cada time joga três vezes, podemos concluir que: Dinamarca perdeu todos os jogos. Camarões ganhou um jogo, empatou uma vez e perdeu o outro. Brasil ganhou um jogo e empatou outras duas vezes. Áustria ganhou dois jogos e empatou outro.

Assim, Brasil venceu a Dinamarca. Como o Brasil marcou apenas um gol, o único resultado possível para esse jogo é 1 0. Além disso, os outros jogos do Brasil foram empates, logo o resultado foi 0 0 em ambos. Da mesma forma, podemos concluir que o Camarões venceu a Dinamarca por 1 0. Ou seja, o único gol que a Dinamarca marcou deve ter sido contra a Áustria. Por outro lado, sabemos que a Áustria venceu o Camarões e que o Camarões levou apenas um gol. Logo, o resultado desse jogo foi 1 0. Finalmente, como a Áustria marcou três gols, o jogo Áustria contra Dinamarca foi 2 1.

15. (E) Se o cubo tiver um vértice cujas três faces adjacentes são todas azuis, então estas faces conterão um total de 19 cubinhos com pelo menos uma face azul. Destes, devemos descontar os 7 cubinhos (do canto destacado) que não têm face vermelha. Neste caso, exatamente 19 – 7 = 12 cubinhos têm pelo menos uma face de cada cor.

7

Por outro lado, se o cubo não tiver três faces azuis incidindo num mesmo vértice, teremos duas faces opostas e uma face lateral azul, o mesmo acontecendo para as faces vermelhas. Neste caso, supondo que as faces superior, inferior e frontal sejam azuis, há 5 cubos que não possuem cor vermelha: os 3 cubos dos centros das faces azuis e os 2 cubos que dividem face com essas faces centrais. Como o mesmo ocorre para as faces vermelhas e há 26 cubos com pelo menos uma face pintada (de vermelho ou azul), neste caso há 26 5 5 = 16 cubos com pelo menos uma face de cada cor.

16. (E) Como o triângulo ABC é eqüilátero, o ângulo interno  mede 60o. Se é paralelo a , então o ângulo entre e é 60o ou 180o – 60o = 120o. Sendo x o maior ângulo entre

esses dois segmentos, x = 120o.

17. (B) Os 156 estudantes que resolveram todos os problemas corretamente correspondem a 100% – 25% – 15% = 60% do total. Logo, o número total de estudantes é (600/100). 156 = 260.

18. (B) Se o primeiro acidente é sofrido no ano N + 1, Jean gasta 1500(N + 1) + 1400 com a seguradora A e 1700(N + 1) + 700 com a seguradora B. Para que A seja mais favorável, devemos ter 1500(N + 1) +1400 < 1700(N + 1) + 700 ou seja N > 2,5. Logo, Jean deve ficar pelo menos 3 anos sem sofrer acidentes.

19. (E) Para medir o ângulo entre os ponteiros, basta obter as posições dos dois ponteiros. Fazendo isso para cada um dos horários, lembrando que o ângulo entre dois números consecutivos do relógio é 30º:

02h30: o ponteiro maior está sobre o 6 e o menor está exatamente na metade entre o 2 e o 3. Logo o ângulo entre eles será .

12 1

2

3

5

4

6

9

11

7

8

10

06h20: o ponteiro maior está sobre o 4 e o menor está 1/3 de hora depois do 6. Logo o

ângulo é .

12 1

2

3

5

4

6

9

11

7

8

10

8

05h40: o ponteiro maior está sobre o 8 e o menor está 1/3 de hora antes do 6. Logo o

ângulo é .

12 1

2

3

5

4

6

9

11

7

8

10

08h50: o ponteiro maior está sobre o 10 e o menor está 1/6 de hora antes do 9. Logo o

ângulo é .

12 1

2

3

5

4

6

9

11

7

8

10

09h55: o ponteiro maior está sobre o 11 e o menor está 1/12 de hora antes do 10. Logo

o ângulo é .

12 1

2

3

5

4

6

9

11

7

8

10

20. (B) A soma dos outros lados tem que ser maior que . Logo, o perímetro deve ser

maior que =8,66..., o que mostra que o menor perímetro inteiro possível é 9.

21. (C) Traçando-se retas paralelas aos lados, verificamos que o perímetro da figura é o mesmo que o de um quadrado de lado 20 cm , ou seja, 80 cm.

22. (A) Sejam n – 1, n e n + 1 os três números inteiros consecutivos. Temos

Portanto os números são 1, 2, 3 e a soma dos quadrados dos três números consecutivos é .

23. (C) Se x era a idade de Neto no final de 1994, então o ano em que nasceu é 1994 – x ; de forma análoga, o ano em que sua avó nasceu é 1994 – 2x. Assim, temos

. Portanto,

Neto completa em 2006 a idade de anos.

24. (D)

9

(veja as figuras acima)Contagem: 9 quadradinhos 1 14 quadrados 2 2, mas cada um dele tem um inscrito, então o total é 4 2 = 81 quadrado 3 3, mas com 2 quadrados inscritos, então o total é 3Total: 9 + 8 + 3 = 20

25. (D) Se Alexandre não vai de carro e acompanha Bento, que não vai de avião, então ambos vão de trem. Carlos não acompanha Dário e não anda de avião, logo é companheiro de Tomás, que não anda de trem; assim, ambos vão de carro. André, que viaja de avião, é companheiro de Dário; logo, ambos vão de avião. Portanto, Alexandre vai de trem e Tomás vai de carro.

26. (E) 2 a 9 – 8 números – 8 algarismos10 – 99 – 90 números – 180 algarismos Ainda restam 1818 algarismos e portanto ainda conseguimos formar 606 números de 3 algarismos. Assim, o livro de Ludmilson tem 9 + 90 + 606 = 705 páginas.

27. (C) As horas possíveis são 00, 02, 04, 06, 08, 20 e 22, totalizando 7 possibilidades. Para cada uma dessas horas, os minutos podem ser 00, 02,04,06,08,..., 40, 42, ..., 48, etc, num total de possibilidades. Portanto, o número de vezes em que o relógio exibe apenas algarismos pares é .

28. (C) A soma de todas as notas é 71 + 76 + 80 + 82 + 91 = 400. A média de k números é inteira quando a soma dos k números é divisível por k. Assim, como 400 é divisível por 4 e a soma das quatro primeiras notas deve ser divisível por 4, o último número a ser digitado é múltiplo de 4, ou seja, é 76 ou 80.Se o último número é 76, a soma dos outros quatro números é 400 – 76 = 324, que é múltiplo de 3. Seguindo um raciocínio análogo ao anterior, obtemos que o penúltimo número a ser digitado é múltiplo de 3. Mas nenhum dos cinco números é múltiplo de 3, absurdo.Logo o último número é 80 (de fato, podem ocorrer as “ordens de digitação” 76, 82, 91, 71, 80 e 82, 76, 91, 71, 80).

29. (C) Seja H o número de filhos homens e M o número de filhas mulheres. As afirmações são equivalentes à H – 1 = M + 3 e H = 2(M – 1). Resolvendo o sistema, temos: M = 6 e H = 10, logo a quantidade de filhos é 16.

30. (D) Colocando o Tangram sobre uma malha quadriculada, a região sombreada ocupa 3

quadradinhos da malha e sua área é, portanto, da área do Tangram, ou seja,

cm2.

10

11