CENTRO EDUCACIONAL C.C.G. MATERIAL DE APOIO: SÉRIES: ENSINO MÉDIO / Primeira fase - Nível 3

OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2009Instruções:

Leia os exercícios com muita atenção. Tente resolvê-los sozinho. Em caso de dúvidas procure pelo gabarito comentado (no final da apostila). Caso a dúvida prossiga, procure seu professor. Procure fazer e refazer todos os exercícios.

A 1ª prova será dia 6 de junho (sábado) na própria escola . Acreditamos em você!

1. (2008) No desenho temos AE = BE = CE = CD. Além disso,

a e b são medidas de ângulos. Qual é o valor da razão ?

A) B) C) 1 D) E)

2. (2008) Uma grande empresa possui 84 funcionários, e sabe-se que cada funcionário fala pelo menos uma das línguas entre Português e Inglês. Além disso, 20% dos que falam Português também falam Inglês e 80% dos que falam Inglês também falam Português. Quantos funcionários falam as duas línguas?A) 12 B) 14 C) 15 D) 16 E) 18

3. (2008) Rafael tem 10 cartões. Cada um tem escrito um dos números 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 48, 53, 68, e todos os dez números aparecem. Qual o menor número de cartões que Rafael pode escolher de modo que a soma dos números nos cartões escolhidos seja exatamente 100?A) 2 B) 3 C) 4 D) 5E) não é possível obter soma 100 com esses cartões.

4. (2008) Em uma pista de corrida, cujo formato é de um polígono regular de n vértices, numerados de 1 até n no sentido anti-horário, existem três pessoas: Nelly, Sônia e Penha, estando inicialmente todas em um mesmo vértice. Em um dado momento elas começam a caminhar pelos lados do polígono. Nelly caminha no sentido anti-horário, enquanto que Sônia e Penha caminham no sentido contrário. Nelly cruza com Sônia pela primeira vez em um vértice e com Penha dois vértices à frente. A velocidade de Nelly é o dobro da velocidade de Sônia e a velocidade de Sônia é o dobro da velocidade de Penha. Quantos vértices tem o polígono?A) 30 B) 60 C) 15 D) 10 E) 6

5. (2008) A primeira fase da OBM se realiza no dia 14 de junho, um sábado do ano bissexto 2008. Daqui a quantos anos o dia 14 de junho será novamente no sábado?A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

6. (2008) A primeira fase da OBM se realiza no dia 14 de junho, um sábado do ano bissexto 2008. Daqui a quantos anos o dia 14 de junho será novamente no sábado?A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

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7. (2008) De quantas maneiras podemos dividir R$ 10,00 em moedas de 10 centavos e de 25 centavos, se pelo menos uma moeda de cada valor tem que ser usada?A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19

8. (2008) De quantas maneiras podemos dividir R$ 10,00 em moedas de 10 centavos e de 25 centavos, se pelo menos uma moeda de cada valor tem que ser usada?A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19

9. (2008) Quantos dos números 2, 3, 5, 7, 11 são divisores de 3714 – 414?A) um B) dois C) três D) quatro E) cinco

10. (2008) Tenho um cubo de madeira, com três faces vermelhas e três faces azuis, de modo que faces opostas tenham cores diferentes. O cubo é cortado em 3 x 3 x 3 = 27 cubos menores. Quantos destes cubos menores têm, pelo menos, uma face vermelha e outra azul?A) 6 B) 12 C) 13 D) 14 E) 16

11. (2008) Considere 10 pessoas, todas de alturas diferentes, as quais devem ficar em fila de tal modo que, a partir da pessoa mais alta, as alturas devem decrescer para ambos os lados da fila (se a pessoa mais alta for a primeira ou a última da fila, todas as pessoas a partir dela devem estar em ordem decrescente de altura). Obedecendo essas condições, de quantos modos essas pessoas podem ficar em fila?A) 256 B) 768 C) 1260 D) 512 E) 2560

12. (2008) Cinco inteiros positivos maiores que um satisfazem as seguintes condições:

Quanto vale a soma ?A) 9 B) 16 C) 25 D) 36 E) 49

13. (2007) A figura mostra dois quadrados sobrepostos. Qual é o valor de x + y, em graus?

x

y

A) 270 B) 300 C) 330 D) 360 E) 390

14. (2007) Um número de quatro dígitos é dito peroba se possui pelo menos dois dígitos vizinhos com a mesma paridade. Quantos números perobas existem?

A) 8999 B) 8874 C) 7875 D) 8000 E) 7750

15. (2007) Os números 72, 8, 24, 10, 5, 45, 36, 15 são agrupados em duplas de modo que o produto de cada dupla é o mesmo. Qual número fica com o 10?A) 36 B) 45 C) 24 D) 15 E) 72

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16. (2007) Tintas pretas opacas absorvem 97% da luz, refletindo o restante. Cientistas desenvolveram uma nova cobertura superpreta que é “dez vezes mais preta” que tintas pretas opacas, querendo dizer que ela reflete 1/10 da luz refletida pelas tintas pretas opacas. Que porcentagem de luz a nova cobertura absorve?A) 9,7 B) 90,3 C) 99,7 D) 99,9 E) 970

17. (2007) Dizemos que uma palavra Q é quase-anagrama de outra palavra P quando Q pode ser obtida retirando-se uma letra de P e trocando a ordem das letras restantes, resultando em uma palavra com uma letra a menos do que P. Um quase-anagrama pode ter sentido em algum idioma ou não. Por exemplo, RARO, RACR e ARCO são quase-anagramas de CARRO.Quantos são os quase-anagramas da palavra BACANA que começam com A?A) 48 B) 60 C) 72 D) 96 E) 120

18. (2007) Uma avenida possui 100 prédios numerados de 1 a 100, onde prédios com numeração par se situam do lado direito da rua e prédios com numeração ímpar se situam no lado esquerdo. A quantidade de andares de cada prédio é igual à soma dos algarismos do número correspondente ao prédio. Assim, podemos afirmar que: A) A quantidade de prédios com mais de 10 andares é maior do lado direito da rua.B) A quantidade de prédios com menos de 5 andares é maior do lado direito da rua. C) Pelo menos metade dos prédios possui 10 ou mais andares.D) Em ambos os lados da rua há a mesma quantidade de prédios com exatos 8 andares.E) Pelo menos 25% dos prédios possui menos de 5 andares.

19. (2007) Qual o menor perímetro inteiro possível de um triângulo que possui um dos lados

com medida igual a ?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E)12

20. (2006) O máximo divisor comum entre os números 1221, 2332, 3443, 4554,........, 8998 é: A) 3 B) 33 C) 37 D) 11 E) 101

21. (2006) No fim de 1994, Neto tinha a metade da idade de sua avó. A soma dos anos de nascimento dos dois é 3844. Quantos anos Neto completa em 2006?A) 55 B) 56 C) 60 D) 62 E) 108

22. (2006) Quantos resultados diferentes podemos obter somando pares de números distintos do conjunto ?A) 2006 B) 2007 C) 4009 D) 4011 E) 4012

23. (2006) O professor Piraldo aplicou uma prova para seus cinco alunos e, após corrigi-las, digitou as notas em uma planilha eletrônica que calcula automaticamente a média das notas à medida que elas são digitadas. Piraldo notou que após digitar cada nota a média calculada pela planilha era um número inteiro. Se as notas dos cinco estudantes são, em ordem crescente, 71, 76, 80, 82 e 91, qual foi a última nota que Piraldo digitou?A) 71 B) 76 C) 80 D) 82 E) 91

24. (2006) O piso de um quarto tem forma de um quadrado de lado 4 m. De quantas maneiras podemos cobrir totalmente o quarto com oito tapetes iguais de dimensões 1 m e 2 m? Mostramos abaixo três maneiras de fazê-lo:

A) 27 B) 30 C) 34 D) 36 E) 52

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25. (2006) Altino está encostado num muro bem alto, durante a noite. A rua onde Altino está é iluminada por uma lâmpada no topo de um poste de 4 metros de altura, a 10 metros de distância do muro. Altino, um rapaz de 2 metros de altura, anda em direção ao muro. Seja f(x) a altura, em metros, da sombra de Altino produzida pela lâmpada no muro quando Altino está a uma distância de x metros do muro. Qual alternativa representa melhor o gráfico de f(x)?

A) B) C)

D) E)

26. Um professor de inglês dá aula particular para uma classe de 9 alunos, dos quais pelo menos um é brasileiro. Se o professor escolher 4 alunos para fazer uma apresentação, terá no grupo pelo menos dois alunos de mesma nacionalidade; se escolher 5 alunos, terá no máximo três alunos de mesma nacionalidade. Quantos brasileiros existem na classe?A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

27. Entre treze reais não nulos há mais números positivos do que negativos. Dentre os

produtos de dois dos treze números, 22 são negativos. Quantos números dentre

os treze números dados são negativos?A) 2 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

28. Em um ano, no máximo quantos meses têm cinco domingos? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

29. Os pontos L, M e N são pontos médios de arestas do cubo, como mostra a figura. Quanto mede o ângulo LMN?

L

M

N

A) 90o B) 105o C) 120o D) 135o E) 150o

30. As letras O, B e M representam números inteiros. Se O B M = 240, O B + M = 46 e O + B M = 64, quanto vale O + B + M?

A) 19 B) 20 C) 21 D) 24 E) 36

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GABARITO COMENTADO

1. (D) Como AE = BE = CE, então o triângulo ABC é retângulo em B. Dessa forma, podemos escrever a = 90 b. Como CE = CD, obtemos CED = CDE = 80. Logo, como CED é ângulo externo ao triângulo BEC e ECB = EBC = b, concluímos que

CED = b + b 2b = 80 b = 40 e a = 50. Portanto, .

2. (D) Seja P o número de funcionários que falam Português e I o número de

funcionários que falam Inglês. É fácil ver que

Além disso, Com isso, o número de funcionários que falam

as duas línguas é

3. (D) Note que todos os cartões deixam resto 3 na divisão por 5. Então, para que a soma dos cartões seja 100, que é múltiplo de 5, precisamos de pelo menos cinco cartões. Rafael pode escolher 3, 13, 23, 28 e 33, assim a resposta é 5.

4. (C) Sejam k a velocidade de Penha (em vértices por segundo) e t o tempo decorrido

até o encontro entre Nelly e Sônia. Como Nelly gasta segundos até o segundo

encontro, temos:

4kt + 2kt = n e 4k(t + ) + k(t + ) = n.

Daí kt = e n =15.

5. (C) É verdade que 14 de junho de 2008 é um sábado. Logo, 14 de junho de 2009 será um domingo, de 2010 será uma segunda-feira, de 2011 será uma terça-feira, de 2012 (que é bissexto) será uma quinta-feira, de 2013 será uma sexta-feira e, finalmente, de 2014 será um sábado. Portanto a próxima vez que o dia 14 de junho será num sábado acontecerá daqui a 6 anos.

6. (E) Temos que , onde e são, respectivamente,

as quantidade de moedas de 10 centavos e de 25 centavos. Para que seja um valor inteiro positivo basta que seja qualquer número par entre 2 e 38. Logo, temos 19 maneiras diferentes.

7. (D) Observe que 3714 – 414 = (3712 + 412)(3712 – 412) = (3712 + 412)(371 + 41)(371 – 41)

(3712 + 412)412330.Como 330 = 23511, claramente este número é múltiplo de 2, 3, 5 e 11. Além disso, como 7 divide 371, claramente 7 não divide 3714 - 414.

8. (E) Temos que , onde e são, respectivamente,

as quantidade de moedas de 10 centavos e de 25 centavos. Para que seja um valor inteiro positivo basta que seja qualquer número par entre 2 e 38. Logo, temos 19 maneiras diferentes.

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9. (D) Observe que 3714 – 414 = (3712 + 412)(3712 – 412) = (3712 + 412)(371 + 41)(371 – 41)

(3712 + 412)412330.

Como 330 = 23511, claramente este número é múltiplo de 2, 3, 5 e 11. Além disso, como 7 divide 371, claramente 7 não divide 3714 - 414.

10. (B) O cubo terá um vértice cujas três faces adjacentes são todas azuis. Estas faces contêm um total de 19 cubinhos com pelo menos uma face azul. Destes, devemos descontar os 7 cubinhos (do canto destacado) que não têm face vermelha. Logo, exatamente 19 – 7 = 12 cubinhos têm pelo menos uma face de cada cor.

11. (D) Formaremos a fila da seguinte maneira: inicialmente, posicionamos a pessoa mais alta. Então, a segunda pessoa poderá ocupar qualquer um dos dois lados em relação à primeira pessoa, de modo que há 2 modos da segunda pessoa ser posicionada. A terceira pessoa mais alta pode ser colocada em ambos os lados da fila então formada, tendo também 2 modos de entrar na fila. De um modo geral, cada pessoa terá dois modos de se posicionar na fila, escolhendo uma das duas extremidades. O total de posicionamentos feitos dessa forma é 1 29 = 512.

12. (D) Se são cinco inteiros maiores que um, então , e com isso, a soma de quaisquer quatro deles é pelo menos 8. Observando a equação

, onde 5 e 31 são primos, temos que e . Portanto, Obs. Note que a = 4, b = 5, c = 7, d = 9 e e = 11 é solução do sistema.

13. (A) Marque os ângulos opostos pelo vértice a x e a y. No pentágono com esses ângulos OPV marcados, a soma dos ângulos internos será igual a 540º: x + y + 90º + 90º + 90º = 540º, então x + y = 270º.

14. (C) Os únicos números que não interessam são aqueles em que todos os dígitos vizinhos possuem paridades diferentes: par-ímpar-par-ímpar ou ímpar-par-ímpar-par. Para o primeiro tipo, temos 4.5.5.5 = 500 números (não pode começar em zero!). Para o segundo tipo, temos 5.5.5.5 = 625 números. Esses são os números que não são peroba, então os demais números de 4 dígitos são peroba: 9000 – 1125 = 7875 números peroba.15. (A) Se os números estão agrupados em duplas de mesmo produto cada, então o maior e o menor devem estar juntos: 5 e 72, de onde tiramos que o produto de cada dupla deve ser 360. Assim, 10 deve formar dupla com o 36.

16. (C) As tintas pretas refletem 3% da luz. A tinta nova desenvolvida reflete 1/10 desse valor, ou seja, reflete 0,3% da luz, absorvendo o resto, que corresponde a 99,7%.

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17. (B) Retirando-se um A, devemos achar anagramas de BACAN que começam com A, que são 4!=24. Retirando-se um B, devemos achar anagramas de ACANA que começam com A, que são 4!/2!=12. Retirando-se C ou N, obtemos também 12 anagramas começados com A. Esses anagramas obtidos são quase-anagramas de BACANA, um total de 60 quase-anagramas.

18. (B) Para ter menos de 5 andares, a soma dos algarismos do número do prédio deve ser menor que 5. As possibilidades são, do lado direito (par), 4, 22, 40, 12, 30, 2, 20, 10, 100. Do lado esquerdo (ímpar), são 13, 31, 3, 21, 11, 1. Temos então mais prédios com menos de 5 andares do lado direito da rua.

19. (B) A soma dos dois outros lados deve ser maior que , de forma que o perímetro será maior que . O menor inteiro x maior que deve ser o menor inteiro a satisfazer

, de onde tiramos x = 9.

20. (D) Sendo d o mdc destes números, temos que d | 2332 – 1221 = 1111 = 11 101. Como 101 é primo, 101 não divide 1221 e 11 divide todos os 8 números, 11 é o mdc procurado.

21. (C) Seja x a idade de Neto em 1994. Então a idade de sua avó no mesmo ano era 2x. Os anos denascimento dos dois são 1994 – x e 1994 – 2x, respectivamente. Logo 1994 – x + 1994 – 2x = 3844, ou seja, x = 48. Neto completa 48 + 2006 – 1994 = 60 anos em 2006.

22. (C) Como , tomando a de 1 a 2005 obtemos todos os números ímpares de a . Como , tomando a de 2 a 2005 obtemos

todos os números pares de a . Logo obtemos todos os números de 3 a 4011, isto é, 4011 – 3 + 1 = 4009 ao todo.

23. (C) A soma de todas as notas é 71 + 76 + 80 + 82 + 91 = 400. A média de k números é inteira quando a soma dos k números é divisível por k. Assim, como 400 é divisível por 4 e a soma das quatro primeiras notas deve ser divisível por 4, o último número a ser digitado é múltiplo de 4, ou seja, é 76 ou 80.Se o último número é 76, a soma dos outros quatro números é 400 – 76 = 324, que é múltiplo de 3. Seguindo um raciocínio análogo ao anterior, obtemos que o penúltimo número a ser digitado é múltiplo de 3. Mas nenhum dos cinco números é múltiplo de 3, absurdo.Logo o último número é 80 (de fato, podem ocorrer as “ordens de digitação” 76, 82, 91, 71, 80 e 82, 76, 91, 71, 80).

24. (A)

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Na figura, há uma semelhança entre os triângulos retângulos de catetos 2 e 10 – x e de catetos 4

– f(x) e 10. Logo , para , cujo gráfico está melhor

representado na alternativa A.

25. (D)Começamos contando o número de maneiras de cobrir retângulos menores com tapetes 2 1:

No caso 4 4, o tapete que cobre o canto inferior esquerdo pode estar na horizontal ou na vertical, mas esses dois casos são simétricos, e o número de possibilidades em cada um deles é o mesmo. Vamos então contar o número de possibilidades no primeiro caso e multiplicar por dois:

A resposta é, portanto: de 18 2 = 36 maneiras.

26. (C) Suponha que haja alunos de 4 ou mais nacionalidades entre os 9 alunos da classe. Se

escolhermos um aluno de cada nacionalidade não haverá dois alunos de mesma nacionalidade, o

que é um absurdo. Logo há alunos de no máximo 3 nacionalidades.

Da mesma forma, entre os 9 alunos não há 4 de mesma nacionalidade, pois se houvesse poderíamos formar um grupo de 5 alunos com mais de 3 alunos de mesma nacionalidade. Logo há no máximo 3 alunos de cada nacionalidade.Como há 9 alunos, no máximo 3 nacionalidades e no máximo 3 alunos por nacionalidade, há exatamente 3 nacionalidades e 3 alunos de cada nacionalidade. Em particular, há 3 alunos brasileiros.

27. (A) Sejam x e 13 – x a quantidade de números negativos e positivos, respectivamente.

Assim, há x(13 – x) pares de números com produto negativo. Logo . Como há mais positivos que negativos, há 2 números negativos.

28. (C) Como 365 dividido por 7 dá quociente 52 e resto 1 e 366 dividido por 7 dá o mesmo

quociente e resto 2, em um ano, bissexto ou não, há no máximo 53 domingos. Um mês tem

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entre e dias, então todo mês tem 4 ou 5 domingos. Como 53 dividido por

12 dá quociente 4 e resto 5, há no máximo 5 meses com 5 domingos.

Um exemplo de ano com cinco meses com cinco domingos é um iniciado no domingo.

29. (C) Seja NP uma paralela às arestas verticais do cubo. Sendo 2a a medida da aresta do cubo,

pelo teorema de Pitágoras, LP = LM = MN = e LN =

.

Pela lei dos co-senos, . Logo o

ângulo LMN mede 120o.

30. (B) Sabendo que ,

e

.

Sendo O, B e M inteiros, a única possibilidade é O = 4, M = 6 e B = .

Assim, O + B + M = 4 + 10 + 6 = 20.

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