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Centro de massa, momento linear de sistemas de partículas e colisões
Prof. Luís C. Perna
No estudo que temos vindo a fazer
tratámos os objectos, como, por exemplo,
blocos de madeira, automóveis, etc. como
partículas.
Neste capítulo iremos estudar sistemas de
partículas e as razões pelas quais, em
determinadas condições, se podem estudar
os seus movimentos pelo respectivo centro
de massa.
Um corpo não é propriamente uma partícula
mas, sim, um sistema de partículas que
pode ter vários tipos de movimento.
Sistemas de partículas
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Vejamos quais os tipos de movimento que os corpos podem ter:
movimento de translação,
movimento de rotação ou
movimentos combinados de translação e de rotação.
Movimento dos corpos
Movimento dos corpos
No movimento de translação dos corpos
as suas partículas têm todas a mesma
velocidade.
No movimento de rotação dos corpos as
partículas têm velocidades diferentes,
excepto as que se mantêm sobre o eixo de
rotação, cuja velocidade de rotação é nula.
Neste caso, as partículas têm trajectórias
circulares de raios diferentes.
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Corpo rígido ou sólido
indeformável é um
sistema de partículas
cujas posições relativas
permanecem constante,
independentemente do
movimento ou da
interacção a que o corpo
está sujeito.
Corpo rígido e sistema discreto de partículas
Sistema discreto de partículas é um conjunto constituído por um
número finito de partículas cujas distâncias relativas variam no
decurso do movimento.
Centro de massa de um sistema de partículas
Quando um corpo só tem movimento de translação não é necessário
estudar cada partícula, pois todas elas têm a mesma velocidade,
descrevendo a mesma trajectória, sendo portanto, aceitável tratá-
lo como uma partícula.
Um corpo só com movimento de translação pode ser representado
pelo seu centro de massa (CM).
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Significado de centro de massa
O centro de massa (CM) de um sistema de partículas, é um ponto
onde se supõe estar concentrada toda a massa do corpo e onde se
considera aplicada a resultante das forças que actuam nesse
sistema.
Centro de massa de um sistema de partículas
Num sistema de partículas o movimento
de cada partícula é, em geral, complicado.
Porém, há um ponto, associado a cada
sistema de partículas, que possui, quase
sempre, um movimento simples:
É o centro de massa (CM) do sistema.
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Centro de massa de um sistema de partículas
Neste caso complicado de movimento,
o centro de massa, CM, descreve
simplesmente uma parábola.
Centro de massa de um sistema de partículas
O CM, tem o movimento que teria uma
partícula com a massa da saltadora e
onde actuasse a resultante das forças
exteriores exercidas sobre a saltadora.
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Como se determina experimentalmente o CM de corpos rígidos sem simetria?
Pendura-se o objecto por um ponto qualquer (ponto A, por exemplo)
e marca-se no objecto uma linha vertical que passe por esse ponto.
Pendura-se depois o objecto por um outro ponto, B, por exemplo, e,
de novo, marca-se a linha vertical que passa agora por B.
A intersecção das duas linhas indica a posição do centro de massa
(claro que o centro de massa está no interior do objecto e não na
sua superfície!).
CM de corpos rígidos com simetria
Se o corpo for homogéneo e apresentar simetria, o centro de
massa situar-se-á sobre esse elemento de simetria.
O CM de uma chapa rectangular, homogénea,
coincide com o centro geométrico
O CM de uma esfera homogénea situa-se no
centro geométrico.
O CM de um anel está no centro geométrico
e não pertence ao corpo.
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Como calcular o CM de duas partículas?
Experimentalmente, verifica-se que o CM está à distância l1 e l2
das partículas de massas m1 e m2, de tal modo, que distâncias e
massas satisfazem a seguinte condição:
m1 l1= m2 l2
m1 > m2
l1 < l2
Como calcular o CM de duas partículas?
Vamos determinar a posição do CM num referencial em que o eixo
dos xx passa pelas duas partículas:
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Da relação m1 l1= m2 l2 e das relações anteriores vem:
Como calcular o CM de duas partículas?
Esta expressão mostra que o CM é uma “média ponderada” das
coordenadas das partículas do sistema ou corpo quando se toma para
massa de cada partícula, nessa média, o valor da sua massa individual.
Generalizando para um sistema de n partículas
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Como calcular o vector de posição, r , do CM?
Se tivermos um sistema formado
por n partículas de massas m1, m2,
..., mn, localizadas pelos vectores
posição, , a posição
do seu centro de massa é obtida a
partir da seguinte expressão:
Em que rCM = xCM ex + yCM ey + zCM ez
S
n
i
ii
n
nnCM
m
rm
mmm
rmrmrmr
1
21
2211
...
...
1r
2r
nr
, , ... ,
Velocidade do centro de massa
Consideremos o vector posição do CM de um sistema.
Se derivarmos em ordem ao tempo a expressão anterior vem:
que é a expressão da velocidade do centro de massa.
S
n
i
ii
n
nnCM
m
vm
mmm
vmvmvmv
1
21
2211
...
...
S
n
i
ii
n
nnCM
m
rm
mmm
rmrmrmr
1
21
2211
...
...
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Aceleração do centro de massa
Se derivarmos novamente em ordem ao tempo, vem:
que é a expressão da aceleração do centro de massa.
S
n
i
ii
n
nnCM
m
am
mmm
amamama
1
21
2211
...
...
Momento Linear duma partícula
Suponha que um camião e um automóvel à mesma velocidade colidem
com um muro, será que os efeitos materiais devido à colisão são os
mesmos?
É necessário definir uma nova grandeza para exprimir o efeito
provocado, essa nova grandeza chama-se momento linear.
p = m v
Unidade SI de momento linear: Kg m s-1
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Momento Linear duma partícula
O momento linear é uma grandeza vectorial que tem a mesma
direcção e sentido da velocidade.
Tendo em conta o momento linear duma partícula, a 2ª Lei de
Newton pode escrever-se do seguinte modo:
A resultante das forças aplicadas é igual à taxa de variação
temporal do momento linear.
dt
pd
dt
vmd
dt
vdmamF
)(
vmp
Impulso de uma força
Quando ocorrem colisões, actuam forças que não são constantes. São
forças geralmente muito intensas e que duram intervalos de tempo muito
curtos, por ex.: colisões entre carros ou bolas de bilhar.
Podemos definir a grandeza impulso de uma força constante:
Unidade SI de impulso: N.s
O impulso da resultante das forças aplicadas a uma partícula durante
um intervalo de tempo, é igual à variação do momento linear ocorrido
nesse mesmo intervalo.
pI
t
pF
ptFI média
dt
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Momento Linear do centro de massa
Como
O segundo membro é o momento linear do sistema, uma vez que o
momento linear, de cada partícula é:
Então:
O momento linear do centro de massa, é igual ao momento linear
do sistema, se considerarmos o CM como uma partícula de massa m.
S
n
i
ii
CMm
vm
v 1
iii vmp
SCMSCMS pppvm
n
n
i
n
i
iiiCMS ppppvmvm
...21
1 1
Lei Fundamental de Newton para um sistema de partículas
Se derivarmos em ordem ao tempo a expressão:
em que a resultante das forças interiores é nula porque actuam
aos pares, sendo cada par formado por forças simétricas, logo têm
resultante nula, o que quer dizer que as forças exteriores
determinam o movimento do CM.
n
i
i
n
i
extiCMSCM
SS FFam
dt
vdm
dt
pd
1
int
1
CMSS vmp
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Lei Fundamental de Newton para um sistema de partículas
Esta Lei é conhecida por: Lei do movimento do CM.
Que se pode enunciar da seguinte forma:
“O CM dum sistema de pontos materiais desloca-se como se
nele estivesse concentrada toda a massa do sistema e nele
estivessem aplicadas todas as forças exteriores ao sistema”.
CMS
n
i
exti amF
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Lei da conservação do momento linear para um sistema de partículas
Deduzimos anteriormente a Lei do movimento do CM:
Quando a resultante das forças exteriores é nula, o momento linear do
sistema é constante.
Lei da conservação do momento linear – Num sistema isolado, há
conservação do momento linear, isto é, se a resultante das forças
exteriores for nula, o momento linear do sistema permanece constante
e a velocidade do CM mantém-se constante.
dt
pdamFF CM
CMS
n
i
extiR
1
,
..
,0 SistSistCMCMCMCM ppppkp
dt
pd
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Colisões
Em física, uma colisão é uma interacção
entre partículas, num intervalo de tempo
muito curto.
Podemos considerar colisões a nível
macroscópico, por contacto directo entre
objectos e colisões a nível microscópico,
por interacções à distância entre
partículas como é o caso, por exemplo, do
bombardeamento de núcleos com
partículas alfa.
Colisões
As forças de interacção entre as partículas que
colidem – forças de colisão, são forças interiores
ao sistema e, geralmente, de intensidade muito
superior à das forças exteriores. Daí estas
últimas poderem ser desprezadas.
Por exemplo na colisão de uma bola de ténis com
uma raqueta, enquanto se dá a colisão, para além
da força de colisão, há força gravítica e a
resistência do ar, uma vez que o intervalo de
tempo é muito curto, estas duas forças são
desprezáveis face à intensidade da força de
colisão.
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Colisões
Durante a colisão desprezam-se as forças exteriores, face às
forças de impacto. Por isso se considera que o sistema de
corpos que colidem é isolado.
Colisões
Numa colisão há sempre conservação do momento linear,
podendo, no entanto, haver ou não conservação da energia
cinética do sistema.
,
SistSist pp
0 SistEc 0 SistEcou
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Colisões elásticas e inelásticas
As colisões classificam-se, atendendo à energia cinética do
sistema antes e após a colisão.
Colisões elásticas ou perfeitamente elásticas
(Se a energia cinética total do sistema tem o mesmo valor antes e
depois da colisão)... SistfSisti EcEc
Colisões inelásticas
(Se a energia cinética total do sistema não se conserva. A energia
cinética inicial é diferente da final).
Colisões perfeitamente inelásticas
Quando, após uma colisão, os corpos ficam ligados um ao outro,
movendo-se em conjunto.
.. SistfSisti EcEc
Coeficiente de restituição, e
Coeficiente de restituição, e, é uma medida da elasticidade duma
colisão; pode relacionar-se com a dissipação de energia e com a
elasticidade dos materiais.
oaproximaçã
oafastament
ii
ff
v
ve
vv
vve
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• Numa colisão elástica ou perfeitamente elástica e = 1
• Numa colisão perfeitamente inelástica e = 0
• Numa colisão inelástica 0 < e < 1
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