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Disciplina: Sistemas Estruturais
Assunto: Estruturas Isostáticas
Prof. Ederaldo Azevedo
Aula 5
e-mail: [email protected]
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP
Curso: Arquitetura e Urbanismo
Disciplina: Sistemas Estruturais
5. Estruturas Isostáticas
5.1 Conceito de Estruturas Isostáticas
Os vínculos restringem os graus de liberdade de
movimento da estrutura, provocando forças reativas
conhecidas como reações de apoio.
Nas estruturas isostáticas as reações de apoio só
aparecem quando existem forças ativas (cargas
aplicadas).
As cargas aplicadas são dadas ou facilmente
determináveis e as reações de apoio são as forças
procuradas ou as incógnitas.
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Disciplina: Sistemas Estruturais
5. Estruturas Isostáticas
5.1 Conceito de Estruturas Isostáticas
Nas estruturas isostáticas, o número de vínculos é o
essencialmente para impedir a mobilidade da estrutura, e
as reações de apoio, que surgem em função das cargas
aplicadas, são em número igual aos movimentos
restringidos.
As reações de apoio são, portanto, forças com ponto de
aplicação e direção conhecidos.
O conjunto, cargas aplicadas mais reações de apoio,
forma um sistema de forças em equilíbrio.
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5. Estruturas Isostáticas
5.2 Esquemas, representações e simplificações de
cálculo.
As estruturas não são analisadas como elas ficarão
depois de serem concebidas, assim, a fim de estabelecer
um esquema de cálculo, ou modelo matemático,
algumas simplificações tornam-se necessárias, e estão
em geral associadas:
•à geometria: representação da estrutura por barra,
que representa o meio de seu eixo do elemento;
•ao sistema de forças: forças e momentos
concentrados e distribuídos;
•à análise numérica a ser efetuada: planas e
espaciais;
•à representação dos apoios.
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5. Estruturas Isostáticas
5.3 Unidades de Força e Momento.
unidade de força e tf/m;
unidade de comprimento kN/m;
N/cm;
e outros.
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Disciplina: Sistemas Estruturais
Ex.:
unidades de força distribuída
10 KN/m
5. Estruturas Isostáticas
5.3 Unidades de Força e Momento.
tfm/m;
unidade de momento kNm/m;
unidade de comprimento Ncm/cm;
e outros.
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5. Estruturas Isostáticas
5.4 Resultantes dos carregamentos
De acordo com a disposição dos esforços as forças
distribuídas podem ser representadas através de figuras
geométricas como: retângulos, triângulos, trapézio e
outros.
A resultante de uma carga(força) distribuída ao longo
de um comprimento L, é determinado pela área delimitada
do intervalo(representado pela figura) sendo o ponto de
aplicação da resultante R coincidente com o centro de
gravidade do diagrama(figura abaixo).
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5.4 Resultantes dos carregamentos
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5. Estruturas Isostáticas
5.5 Vigas Isostática
Cálculo das Reações
Nas estruturas isostáticas constituídas por uma única
chapa, o número de equações de equilíbrio
disponíveis é igual ao número de incógnitas,
possibilitando o cálculo das reações de forma muito
simples.
VIGAS ISOS: Nº DE EQUAÇÕES = Nº DE INCÓGNITAS
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5. Estruturas Isostáticas
5.5 Vigas Isostática
Cálculo das Reações
Assim, supondo a estrutura no plano xy(planas), as
condições de equilíbrio é dado pelas equações:
∑(Fx=0) ∑(Fy=0) ∑(M=0)
Onde Fx e Fy são as componentes das forças aplicadas
em relação aos eixos x e y, respectivamente e;
M o módulo do momento das forças em relação a um
ponto qualquer do plano.
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5. Estruturas Isostáticas
5.5 Vigas Isostática
Cálculo das Reações
Poderão ser usadas, nos problemas práticos, também
como condições de equilíbrio, três equações de
momentos, desde que relativas a pontos não
pertencente à mesma reta(pontos não colineares):
Equações de
Momentos : ∑Ma=0 ∑Mb=0 ∑Mc=0
Onde a, b e c são não colineares.
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5. Estruturas Isostáticas
5.5 Vigas Isostática
Cálculo das Reações de Apoio:
Exemplo de Aplicação:
As Incógnitas (reações de apoio) são determinadas pelas
equações de equilíbrio e como são três equações,
normalmente são suficientes.
A técnica para cálculo de reações consiste em “isolar”, a
estrutura da terra, mediante a retirada dos apoios,
aplicando-se na direção dos movimentos restringidos os
esforços incógnitos(encontrar o valor) correspondentes.
O método para determinação das reações de apoio
adotado segue um roteiro de 04 passos:
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5.5 Vigas Isostática
Cálculo das Reações de Apoio: Passo a Passo
Exemplo de Aplicação:
1º identificar e destacar dos sistemas os elementos
estruturais que serão analisados. Desenhar o modelo
estrutural (ME);
2º traçar o diagrama de corpo livre (DCL) do elemento a
ser analisado; .
O DCL consiste em isolar a estrutura da terra, mediante a
retirada dos apoios, aplicando-se na direção dos
movimentos restringidos os esforços incógnitos
correspondentes.
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5.5 Vigas Isostática
Cálculo das Reações de Apoio: Passo a Passo
Exemplo de Aplicação:
3º determinar um sistema de referência (SR) para a
análise(xy);
4º estabelecer as equações de equilíbrio da estática (EE);
∑Fx=0 ∑Fy=0 ∑M=0
.
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5.5 Vigas Isostática
Cálculo das Reações de Apoio:
Exemplo1: Viga isostática com carga distribuída simétrica.
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5.5 Vigas Isostática
Cálculo das Reações de Apoio:
Exemplo1: Viga isostática com carga distribuída simétrica.
Equações de Equilíbrio (EE):
∑Fx=0 ∑Fy=0 ∑M=0
∑Fx=0 RH=0
∑Fy=0 RV1 + RV2 – q.L = 0
∑M=0 ;
Para se fazer um somatório de momentos, é necessário
escolher um ponto fixo, que deverá estar localizado
dentro do sistema de referência adotado.
Para maior facilidade é necessário conveniente que esse
ponto coincida com um ponto localizado sobre o
modelo estrutural onde houver maior número de
incógnitas.
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Disciplina: Sistemas Estruturais
5.5 Vigas Isostática
Cálculo das Reações de Apoio:
Exemplo1: Viga isostática com carga distribuída simétrica.
No exemplo em análise o ponto a ser escolhido é o ponto
A. A escolha do ponto para determinação dos momentos
é um passo muito importante, pois dependendo do ponto
escolhido, a resolução do problema pode ser simplificada
ou muito complicada.
Assim,
∑Ma=0 (RH1.0) + (RV1.0) – (RV2.L) + (q.L.L/2)=0
q.L²/2- RV2.L=0 (multiplicando 1/L)
q.L/2 – RV2=0 RV2= qL/2
Substituindo RV2 na equação ∑Fy=0
∑Fy=0 RV1 + qL/2 – qL =0
RV1 = qL/2
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Cálculo das Reações de Apoio:
Exemplo1: Viga isostática com carga distribuída simétrica.
Respostas:
RV1=qL/2; RV2=qL/2; RH=0
Exemplo 2: Viga isostática com carga concentrada no
centro da viga.
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Cálculo das Reações de Apoio:
Exemplo 2: Viga isostática com carga concentrada no
centro da viga.
Equações de Equilíbrio (EE):
∑Fx=0 ∑Fy=0 ∑M=0
∑Fx=0 RH=0
∑Fy=0 RV1 + RV2 – P = 0 RV1 = P – RV2
∑Ma=0 (RH1 . 0) + (RV1.0) – (RV2.L) + (P.L/2) = 0
P.L/2 – RV2.L=0
Multiplicando 1/L para simplificar temos RV2=P/2
Substituindo RV2 na equação ∑Fy=0
∑Fy=0 RV1=P – RV2 RV1=P/2
Respostas:
RV1= P/2; RV2= P/2; RH=0
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Cálculo das Reações de Apoio:
Exemplo3: Viga isostática com carga distribuída e uma
concentrada no centro da viga.
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Cálculo das Reações de Apoio:
Exemplo3: Viga isostática com carga distribuída e uma
concentrada no centro da viga. Equações de Equilíbrio (EE)
∑Fx=0 ∑Fy=0 ∑M=0
∑Fx=0 RH=0
∑Fy=0 RV1 + RV2 – q.L - P = 0 RV1 + RV2= P + qL
∑Ma=0 (RH1 . 0) + (RV1.0) – (RV2.L) + (q.L.L/2) + (P.L/2) = 0
P.L/2 + q.L²/2 – RV2.L =0 multiplicando 1/L para simplificar
P/2 + q.L/2 – RV2 =0
RV2 = P/2 + qL/2
Substituindo RV2 na equação ∑Fy=0
∑Fy=0 RV1 + RV2 = P + qL
RV1=P/2 + qL/2
Respostas:
RV1= P/2 + ql/2;
RV2= P/2+ qL/2; e RH=0
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Cálculo das Reações de Apoio:
Análise dos resultados obtidos nos três exemplos
anteriores: 1.A reação de apoio horizontal em todos os casos é igual a zero,
porque não existe, no modelo em análise, nenhuma força horizontal
ativa;
2.Quando uma viga está submetida a uma carga uniformemente
distribuída, as reações de apoio são iguais:RV1=RV2=q.L/2
3.Quando a viga está submetida a uma carga concentrada no meio do
seu vão, as reações de apoio também são iguais: RV1=RV2=P/2
4.Quando a viga estiver submetida a uma carga uniformemente
distribuída e a uma carga concentrada no meio do seu vão, as
reações de apoio são iguais ao somatório das reações dos dois casos
anteriores: RV1=RV2= qL/2 + P/2, isso acontece devido ao princípio da
superposição de efeitos.
5.As cargas uniformemente distribuídas são concentradas a um
determinado ponto. Esse ponto deve ser o baricentro da área de
atuação da carga. No caso de cargas uniformemente distribuídas de
seção constante, o baricentro é exatamente o centro do espaço de
atuação da carga.(abaixo)
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Cálculo das Reações de Apoio:
Análise dos resultados obtidos nos três exemplos
anteriores: 6.Em cargas triangulares, o baricentro está localizado a 1/3 do lado
maior.(abaixo);
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Exercícios Resolvidos:
1. Calcule as reações de apoio para a viga de 6m de
vão submetida ao carregamento de carga concentrada de
60KN aplicada no seu centro.
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Equações de Equilíbrio (EE)
𝑭𝒙 = 𝟎 𝑭𝒚 = 𝟎 𝑴 = 𝟎
𝑭𝒙 = 𝟎 RH=0
𝑭𝒚 = 𝟎 RV1 + RV2 – 60 = 0 RV1 + RV2= 60
𝑴𝒂 = 𝟎 (RH1 . 0) + (RV1.0) + 60.3 - RV2.6 = 0
0+0+180 - RV2.6 =0
6RV2=180
RV2=180/6
RV2=30 kN
Exercícios Resolvidos:
1. Calcule as reações de apoio para a viga de 6m de
vão submetida ao carregamento de carga concentrada de
60KN aplicada no seu centro.
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Substituindo RV2 na equação RV1 + RV2= 60
𝑭𝒚 = 𝟎 RV1 + 30 = 60
RV1 = 30 kN
Respostas:
RV1= 30 kN;
RV2= 30 KN;
RH=0
Exercícios Resolvidos:
2.Calcule as reações de apoio para uma viga de 6m de comprimento
submetida ao carregamento de carga uniformemente distribuída, de
8KN/m por todo o vão.
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Equações de Equilíbrio (EE)
𝑭𝒙 = 𝟎 𝑭𝒚 = 𝟎 𝑴 = 𝟎
𝑭𝒙 = 𝟎 RH=0
𝑭𝒚 = 𝟎 RV1 + RV2 – (8.6) = 0 RV1 + RV2= 48
𝑴𝒂 = 𝟎 (RH1 . 0) + (RV1.0) + 48.3 - RV2.6 = 0
0+0+144 - RV2.6 =0
6RV2=144
RV2=144/6
RV2= 24 kN
Substituindo RV2 na equação RV1 + RV2= 48
𝑭𝒚 = 𝟎 RV1 + 24 = 48
RV1 = 24 kN
Exercícios Resolvidos:
2.Calcule as reações de apoio para uma viga de 6m de comprimento
submetida ao carregamento de carga uniformemente distribuída, de
8KN/m por todo o vão.
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Respostas:
RV1= 24 kN;
RV2= 24 KN;
RH=0
Exercícios Resolvidos:
3.Calcule as reações de apoio para uma viga de 6m de comprimento
submetida ao carregamento de carga parcialmente distribuída, de
6KN/m a partir do primeiro terço do vão.
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Equações de Equilíbrio (EE)
𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌 = 𝟎
Fx = 0 RH=0
Fy = 0 RV1 + RV2 – (6.4) = 0 RV1 + RV2= 24
Ma = 0 (RH1 . 0) + (RV1.0) + 24.4 - RV2.6 = 0
0+0+96 - RV2.6 =0
6RV2=96
RV2=96/6
RV2= 16 kN
Substituindo RV2 na equação RV1 + RV2= 24
Fy = 0 RV1 + 16 = 24
RV1 = 8 kN
Exercícios Resolvidos:
4. Calcule as reações de apoio para uma viga de 6m de comprimento
submetida ao carregamento de carga distribuída triangular, sobre todo
o vão com 6KN/m na extremidade direita.
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Equações de Equilíbrio (EE)
𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌 = 𝟎
Fx = 0 RH=0
Fy = 0 RV1 + RV2 – (6.6/2) = 0 RV1 + RV2= 18
Ma = 0 (RH1 . 0) + (RV1.0) + 18.4 - RV2.6 = 0
0+0+72 - RV2.6 =0
6RV2=72
RV2=72/6
RV2= 12 kN
Substituindo RV2 na equação RV1 + RV2= 18
Fy = 0 RV1 + 12 = 18
RV1 = 6 kN
Exercícios Resolvidos:
5. Calcule as reações de apoio para uma viga de 6m de comprimento
submetida a um momento externo(carga momento) de 30 kNm no
sentido horário, aplicado a 2m da extremidade esquerda.
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Equações de Equilíbrio (EE)
𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌 = 𝟎
Fx = 0 RH=0
Fy = 0 RV1 + RV2 = 0 RV1 = - RV2
Ma = 0 (RH1 . 0) + (RV1.0) + 30 - RV2.6 = 0
0 + 0 + 30 - RV2.6 =0
6RV2=30
RV2=30/6
RV2= 5 kN
Substituindo RV2 na equação RV1 = - RV2
Fy = 0 RV1 = -5
RV1 = - 5 kN
Exercícios Resolvidos:
5. Calcule as reações de apoio para uma viga de 6m de comprimento
submetida a um momento externo(carga momento) de 30 kNm no
sentido horário, aplicado a 2m da extremidade esquerda.
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Respostas:
RV1= - 5 kN;
RV2= 5 KN;
RH=0
Obs.: O sinal negativo de RV1 indica que o sentido correto da reação
é o oposto ao inicialmente arbitrado.
Exercícios Resolvidos:
6. Calcule as reações de apoio para uma viga em balanço de 4m de
comprimento submetida a uma carga concentrada de 20 kN na sua
extremidade.
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Exercícios Resolvidos:
6. Calcule as reações de apoio para uma viga em balanço de 4m de
comprimento submetida a uma carga concentrada de 20 kN na sua
extremidade.
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Equações de Equilíbrio (EE)
𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌 = 𝟎
𝐅𝐱 = 𝟎 RH=0
𝐅𝐲 = 𝟎 RV1 – 20 = 0 RV1 = 20 KN
𝐌𝐚= 𝟎 (RH1 . 0) + (RV1.0) + Ma + 20.4 = 0
0 + 0 + Ma + 80 =0
Ma = - 80 kNm
Obs.: O sinal negativo de Ma indica que o sentido adotado deste
momento foi errado portanto o sentido correto é o anti-horário.
Exercícios Resolvidos:
7.Calcule as reações de apoio para uma viga bi-apoiada de 6m de
vão, submetida a uma carga distribuída de 8 kN/m, com um balanço
de 2m na extremidade esquerda submetida a um momento
externo(carga momento) de 20 kNm no sentido anti-horário localizado
à cinco metros do apoio esquerdo e uma carga concentrada de 10 kN
na extremidade.
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Exercícios Resolvidos:
7.
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Curso: Arquitetura e Urbanismo
𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌 = 𝟎
𝐅𝐱 = 𝟎 RH=0
𝐅𝐲 = 𝟎 RV1 + RV2 – 32 – 10 = 0 RV1 + RV2 = 42
𝐌𝐚= 𝟎 (RH . 0) + (RV1.0) + 32.2 - 20 - RV2.6 + 10.8= 0
0 + 0 + 64 – 20 - RV2.6 - 80 =0
6RV2=100 - 64
RV2=36/6
RV2= 6 kN
Substituindo RV2 na equação RV1 + RV2= 42
𝐅𝐲 = 𝟎 RV1 + 6 = 42
RV1 = 36 kN
Exercícios Resolvidos:
7.
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Exercícios Resolvidos:
8.Calcule as reações de apoio para o modelo estrutural de pórtico
abaixo:
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Exercícios Resolvidos:
8.Calcule as reações de apoio para o modelo estrutural de pórtico
abaixo:
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Equações de Equilíbrio (EE)
𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌 = 𝟎
𝐅𝐱 = 𝟎 3 - RH=0 RH= 3 KN
𝐅𝐲 = 𝟎 RV1 – (4. 4,0)+ RV2 = 0 RV1+ RV2 = 16 KN
𝐌𝐛 = 𝟎 + (RV1 . 9) + (3.1,5) - (16.7) + Rh.0 + Rv2.0) =0
9RV1 + 4,5 – 112 +0 + 0=0
9RV1=107,5 RV1=11,94 KN
Substituindo RV1 na equação RV1 + RV2= 16
𝐅𝐲 = 𝟎 11,94 + RV2 = 16
RV2 = 4,06 kN
Exercícios Resolvidos:
9.Calcule as reações de apoio para o modelo estrutural de treliça
abaixo:
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Exercícios Resolvidos:
9.Calcule as reações de apoio para o modelo estrutural de treliça
abaixo:
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Curso: Arquitetura e Urbanismo
Equações de Equilíbrio (EE)
Fx = 0 Fy = 0 M = 0
Fx = 0 RH=0 RH= 0
Fy = 0 RV1 – 5 – 10 – 5 + RV2 = 0 RV1+ RV2 = 20 KN
Mb = 0 + (RV1 . 16) - (5.12) - (10.8) –(5.4) + Rh.0 + Rv2.0=0
16RV1 - 60 – 80 - 20 +0 + 0=0
16RV1=160 RV1=10 KN
Substituindo RV1 na equação RV1 + RV2= 20
Fy = 0 10 + RV2 = 20
RV2 = 10 kN