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ÁLGEBRA LINEAR - TUTORCENTRO DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE TERESINA - CET FRANCISCO ALVES DE ARAÚJO LTDA FACULDADE DE TECNOLOGIA DE TERESINA - CET
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr
CENTRO DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE TERESINA - CET FRANCISCO ALVES DE ARAÚJO LTDA FACULDADE DE TECNOLOGIA DE TERESINA - CET
2010
CARO(A) ALUNO(A),
É com imenso prazer que apresentamos a você caro aluno(a) essa nova
modalidade de ensino. Já a alguns anos o ensino superior vem ganhando a forma
da educação a distância, proporcionando ao aluno acesso ao ensino de qualidade
independente do lugar onde esteja.
Aqui você terá ao seu dispor condições suficientes para desenvolver
seus estudos num ambiente virtual que no primeiro momento pode até causar uma
certa estranheza, mas fique certo que este veiculo de ensino é tão eficiente quanto
as aulas tradicionais que você conhece bem.
Estaremos pronto para auxiliá-lo no momento em que você precisar.
Sinta-se a vontade frente a essa nova realidade.
Quanto a Disciplina, a Álgebra Linear é um ramo da Matemática que
surgiu do estudo detalhado de sistemas de equações lineares, sejam elas
algébricas ou diferenciais. Nossa habilidade de analisar e resolver equações ficará
gradativamente ampliada quando soubermos realizar operações com matrizes.
Nesta unidade de ensino, iremos fornecer algumas ferramentas
indispensáveis para que se possa lidar com as diversas aplicações de Álgebra
Linear, tanto em Matemática, Física e Química. Abordaremos alguns conceitos e
estruturas fundamentais como: matrizes, sistemas de equações lineares, espaços
vetoriais, transformações lineares, autovetores e autovalores, dentre outros.
É necessário,portanto, que você, caro estudante, disponibilize algumas
horas do seu tempo para estudar, analisar e entender os conceitos e teoremas
para com segurança aplicar na resolução de exercícios e problemas sugeridos ao
final de cada tópico.
Boa Sorte!
Teorema de Laplace ............................................................................................................ 28
Regra de Sarrus .................................................................................................................. 29
Propriedades do Determinante ............................................................................................ 32
Ficha Resumo...................................................................................................................... 41
Notação Matricial ................................................................................................................. 46
Sistema Linear ..................................................................................................................... 47
Escalonamento de Sistemas ................................................................................................ 52
Equações Vetoriais .............................................................................................................. 56
Exercícios Propostos ........................................................................................................... 61
Sistemas de Coordenadas ................................................................................................... 80
Posto ................................................................................................................................... 88
A Matriz de uma Transformada Linear ............................................................................... 113
Transformadas Lineares do Rn .......................................................................................... 115
Ficha Resumo.................................................................................................................... 117
O Produto Interno .............................................................................................................. 121
Definição ............................................................................................................................ 122
Complementos Ortogonais ................................................................................................ 125
Ângulos em R2 e R3 ........................................................................................................... 126
Mínimos Quadráticos ......................................................................................................... 143
Ficha Resumo.................................................................................................................... 147
SIMULADO .......................................... ............................................................................. 151
BIBLIOGRAFIA ...................................... ........................................................................... 155
ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 7
UNIDADE I
As origens da álgebra se encontram na antiga Babilônia, cujos
matemáticos desenvolveram um sistema aritmético avançado, com o qual puderam
fazer cálculos algébricos. Com esse sistema eles foram capazes de aplicar fórmulas
e calcular soluções para incógnitas para uma classe de problemas que, hoje, seriam
resolvidos como equações lineares, equações quadráticas e equações
indeterminadas. Por outro lado, a maioria dos matemáticos egípcios desta Era e a
maioria dos matemáticos indianos, gregos e chineses do primeiro milénio a.C.
normalmente resolviam estas equações por métodos geométricos, como descrito no
Papiro Rhind, Sulba Sutras, Elementos de Euclides e Os Nove Capítulos da Arte
Matemática. Os estudos geométricos dos gregos, consolidado nos Elementos,
deram a base para a generalização de fórmulas, indo além da solução de problemas
particulares para sistemas gerais para especificar e resolver equações.
O nome "Álgebra" surgiu do nome de um tratado escrito por Al-Khwarizmi,
um matemático nascido na Pérsia por volta de 800 d.C. em Khwarizmi, atualmente
no Uzbequistão, e que viveu em Bagdá na corte do Califa Al Manum.
Ab ‘Abd Allh Muammad ibn Ms al-Khwrizm é considerado o
fundador da álgebra como a conhecemos hoje. Seu trabalho intitulado: Al-Jabr wa-
al-Muqabilah, isto é, O livro sumário sobre cálculos por transposição e redução era
um trabalho extremamente didático e com o objetivo de ensinar soluções para os
problemas matemáticos cotidianos de então. A palavra Al-jabr, da qual álgebra foi
derivada significa "reunião", "conexão" ou "complementação". A palavra Al-jabr
significa, ao pé da letra, a reunião de partes quebradas. Foi traduzida para o latim
quase quatro séculos depois, com o título Ludus Algebrae et Almucgrabalaeque. Na
data de 1140, Robert de Chester traduziu o título árabe para o latim, como Liber
Algebrae et almucabala. No século XVI é encontrado em inglês como Algiebar and
Almachabel, e em várias outras formas, mas foi finalmente encurtado para Álgebra.
As palavras significam "restauração e oposição".
No Kholâsat Al-Hisâb ("Essência da Aritmética"), Behâ Eddin (cerca de
1600 dC) escreve: "O membro que é afetado por um sinal de menos será
aumentado e o mesmo adicionado ao outro membro, isto sendo álgebra; os termos
homogêneos e iguais serão então cancelados, isto sendo al-muqâbala".
Os Mouros levaram a palavra al-jabr para a Espanha, um algebrista
sendo um restaurador ou alguém que conserta ossos quebrados. Por isso, em Dom
Quixote (II, cap. 15) é feita menção a "um algebrista que atendeu ao infeliz Sansão".
Em certo tempo não era raro ver sobre a entrada de uma barbearia as palavras
"Algebrista y Sangrador" (Smith, Vol. 2, páginas 389-90).
O uso mais antigo da palavra álgebra no inglês em seu sentido
matemático foi por Robert Recorde no The Pathwaie to Knowledge (O Caminho para
o Conhecimento) em 1551: "Também a regra da falsa posição, que traz exemplos
não somente comuns, mas alguns pertinentes à regra da Álgebra".
Álgebras (no plural) aparece em 1849 no Trigonometry and Double
Algebra ("Trigonometria e Dupla Álgebra") de Augustus de Morgan: "É mais
importante que o estudante tenha em mente que, com uma exceção, nenhuma
palavra ou sinal de aritmética ou álgebra tem um átomo de significado ao longo
deste capítulo, cujo objeto são os símbolos, e suas leis de combinação, dando uma
álgebra simbólica (página 92) a qual pode daqui em diante se tornar a gramática de
cem álgebras significativas e distintas" [Coleção de Matemática Histórica da
Universidade de Michigan].
A expressão "uma álgebra" é encontrada em 1849 no Trigonometry and
Double Algebra ("Trigonometria e Dupla Álgebra") de Augustus de Morgan: "A
linguagem ordinária tem métodos de assinalamento instantâneo de significado a
termos contraditórios: e assim ela tem analogias mais fortes com uma álgebra (se
houvesse uma tal coisa) na qual estão pré-organizadas regras para explicar novos
símbolos contraditórios à medida em que surgem, do que em uma {álgebra} na qual
uma única instância deles demanda uma imediata revisão de todo o dicionário"
[Coleção de Matemática Histórica da Universidade de Michigan].
Começou a ser usada na Europa para designar os sistemas de equações
com uma ou mais icógnitas a partir do século XI.
A notação algébrica utilizada hoje normalmente por nós, começou com
François Viète e foi configurada na forma atual por René Descartes. Assim, os
processos para achar as raízes de equações dos babilônios, gregos, hindus, árabes
e mesmo dos algebristas italianos do século XV eram formulados com palavras e às
vezes até com versos (Índia).
“Erros são no final de contas, fundamentos da verda de. Se o homem não sabe o que é
“Uma coisa é já um avanço do conhecimento saber o q ue ela não é.”
Carl Jung, psicólogo e psiquiatra.
Matrizes
Definição
Matriz é uma tabela de números formada por m linhas e n colunas.
Dizemos que essa matriz tem ordem m x n (lê-se: m por n) sendo, m 1 e n 1.
Representação
Geralmente dispomos os elementos de uma matriz entre parênteses ou
entre colchetes.

− Lê-se: matriz de ordem dois por três, ou seja, duas linhas
e três colunas.

− Lê-se: matriz B de ordem três por dois, ou seja, três linhas e
duas colunas.
c) C =
33 625

− Lê-se: matriz C de ordem três por três, ou seja, três
linhas e três colunas.
A = Essa matriz representa uma matriz
qualquer de ordem m x n.
Um modo simplificado de fazer representação é:
A = ,
Onde :
• ija : elemento da matriz, sendo os índices i e j indicadores da posição do
elemento na matriz.
Exemplos :
a) O elemento (lê-se a um três) ocupa a primeira linha e a terceira coluna.
b) O elemento (lê-se: a dois três) ocupa a segunda linha e a terceira coluna.
Exemplo :
Resolvendo:

a11 = (1 + 1)2 = 4 a21 = (2 + 1)2 = 9
a12 = (1 + 2)2 = 9 a22 = (2 + 2)2 = 16
a13 = (1 + 3)2 = 16 a23 = (2 + 3)2 = 25
Logo ,
1694 A
Tipos de Matrizes
Matriz Linha
É a matriz que possui uma única linha, ou seja, tem ordem 1 x n.
Exemplo:
Matriz Coluna
É a matriz que possui uma única coluna, ou seja, tem ordem m x 1.
Exemplo:
Matriz Nula
É a matriz que possui todos os elementos iguais a zero.
Exemplo:
Matriz Quadrada
É a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas.
Nesse caso, dizemos que a matriz é quadrada de ordem n.
Exemplos:
53 Lê-se: matriz quadrada de ordem dois.
Consideremos a matriz A = [ quadrada de ordem n:

=
321
3333231
2232221
1131211
Nessa matriz, a diagonal principal é o conjunto dos elementos aij em que
ji = , ou seja: {a11, a22, a33,..., ann}
A diagonal secundária é o conjunto dos elementos aij em que i + j = n + 1.
Exemplo :
− 279
842
531
• O elemento = 4 é um elemento da diagonal principal. Logo, i = j = 2.
• O elemento é um elemento da diagonal secundária. Logo:
i + j = n + 1
3 + 1 = 3 + 1
Chama-se matriz identidade a uma matriz quadrada em que cada
elemento da diagonal principal tem o valor 1 e os demais têm o valor zero.
Notação: (n representa a ordem da matriz identidade).
Diagonal principal
Diagonal secundária
Diagonal principal
Diagonal secundária
b)
Uma matriz identidade pode ser definida do seguinte modo:
= , onde
Matriz Transposta
Dada uma matriz A de ordem m x n, chama-se matriz transposta de A,
indicada por , a matriz cuja ordem é n x m, sendo as suas linhas ordenadamente
iguais as colunas de matriz A.
Exemplos:
Note que :
A primeira linha da matriz A é igual à primeira coluna da matriz
A segunda linha da matriz A é igual à segunda coluna da matriz
b) Se B=
67
53
41
Note que: A primeira linha da matriz B é igual a primeira coluna da matriz tB
A segunda linha da matriz B é igual a segunda coluna da matriz tB
Exemplo: Construir a matriz M = [mij]3x3, tal que:

≠− =+
jiseji mij e determine Mt.
Então :
m11 = 1 + 1 = 2 m12 = 1 – 2 = – 1 m13 = 1 – 3 = - 2
m12 = 2 - 1 = 1 m22 = 2 + 2 = 4 m13 = 2 – 3 = - 1
m13 = 3 - 1 = 2 m32 = 3 – 2 = 1 m13 = 3 + 3 = 6
Logo,
Igualdade de Matrizes
Duas matrizes, A e B, de mesma ordem serão iguais (A = B) se, e
somente se, os seus elementos de mesma posição forem iguais, ou seja:
A= e B= [
Exemplo:

Notamos que as matrizes A e B são da mesma ordem, 2 x 3, e todos os
elementos de mesma posição são iguais. Logo, A = B.
Exemplo:
Determinar os números reais x e y de modo que as matrizes A e B sejam
iguais, dadas:
625 e B=

=+
=−
(II) x + y = 5
(I) 5x – 2y = 4
5(5 – y) – 2y = 4 => 25 – 5y – 2y = 4 => y = 3
Como x = 5 – 3 => x = 2
Operações com Matrizes
Adição de Matrizes
A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem é a matriz, também de
mesma ordem, obtida com a adição dos elementos de mesma posição das matrizes
A e B.
A+B = =
Sendo as matrizes A= e B = , a soma de A e B é matriz
A + B =
Propriedades da Adição
Considerando matrizes de mesma ordem, são válidas as propriedades a
seguir:
Exemplo:

=

− +

=

+

−
Exemplo:
Exemplo :
720
68
Elemento Simétrico A + (-- A) = 0
A matriz oposta da matriz A de ordem m x n é a matriz A de ordem m x n,
cujos elementos de mesma posição são simétricos.
Exemplo:

=

− −−
+

da matriz A.
Exemplo :

− =

+

Subtração de Matrizes
A diferença entre duas matrizes A e B, de mesma ordem, é a matriz
obtida pela adição da matriz A com a oposta da matriz B, ou seja:
( )BABA −+=−
Exemplo:

− =

− −

=−
178 BA
Multiplicação de um Número Real por uma Matriz
O produto de um número real k por uma matriz A é obtido pela
multiplicação de cada elemento da matriz A por esse número real k.
Exemplo:

−− −=

− =

− +

− 612
84
212
81
y
x
Logo x – 1 = 4 => x = 5 e 2y = – 6 => y = – 3
3) Sendo dadas as matrizes:

− −
=

− =
31 BeA
−=− +=+
BAx
BAx
BAyx
BAyx
Multiplicação de Matrizes
A multiplicação entre matrizes exige uma técnica mais elaborada que as
operações já vistas.
matriz 222221
24
53
43
21
c11 = [1 ⋅ (- 3)] + (2 ⋅ 4) = - 3 + 8 = 5 c12 = [3 ⋅ (- 3)] + (4 ⋅ 4) = - 9 + 16 = 7
c12 = (1 ⋅ 5) + (2 ⋅ 2) = 5 + 4 = 9 c22 = (3 ⋅ 5) + (4 ⋅ 2) = 15 + 8 = 23
Observe, por exemplo, que para obter o elemento c12 da matriz A.B
multiplicamos o primeiro elemento da linha 1 de A pelo primeiro elemento da coluna
2 de B, segundo elemento da linha 1 de A pelo segundo elemento da coluna 2 e
somamos esses produtos.

Esse produto foi possível porque o número de colunas da matriz A é igual
ao número de linhas da matriz B.
Considerando as matrizes A = [aij]m x p e B = [bkj]p x n, o produto A. B é a
matriz C = [ij]m x n, sendo cada elemento e aij obtido através da soma dos produtos
dos elementos da j-ésima linha de A pelos elementos correspondentes da i-ésima
coluna de B.
A multiplicação de duas matrizes, A e B, só é possível quando o número
de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B, tendo a matriz
BAC .= o mesmo número de linhas de A e o mesmo número de colunas de B:
Am x ⋅ B p x n = Cm x n
Propriedades da Multiplicação
Associativa (A . B) . C = A. (B . C)
Distributiva (A + B). C = A. C + B. C e C (A + B) = C. A + C. B
Exemplo:

−− −
=

Resolvendo os sistemas, obtemos:

− −
=

21
02
dc
ba
Matriz Inversa
Consideremos A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A-1 é a
matriz inversa de A se, e somente se, A ⋅ A-1 = In e A-1 ⋅ A = In, ou seja:
A ⋅ A-1 = A-1 ⋅ A = In, onde:
A é a matriz dada
A-1 é a matriz inversa da matriz A
In é a matriz identidade de mesma ordem da matriz A
Exemplo 1:
A matriz

−
− =
Resolvendo:

=

++ ++
⇒

=

123
02
023
12
db
db
ca
ca
Resolvendo o sistema, encontramos: a = 2; b = - 1; c = - 3 e d = 2.
Assim, a matriz inversa da matriz A é

− −
=−
23
121A

Classificação

≠= ==
jisea
jisea
ij
ij
0
1
A matriz transposta de A = [aij]m x n é At.
At = [bij]n x m, sendo aij = bij para 1 ≤ i ≤ m e m ≤ j ≤ n.
Igualdade de matrizes:
Sendo as matrizes: A = [aij]m x n e B = [bij]m x n, temos: A + B = [aij + bij]m x n
Propriedade comutativa: A + B = B + A
Propriedade associativa: A + (B + C) = (A + B) + C
Elemento simétrico: A + (— A) = 0
Elemento neutro: A + 0 = A
Subtração A + B = A + (— B) A e B são matrizes de mesma ordem.
Multiplicação de um número real por matriz
Para calcular o produto de um número real k por uma matriz A,
multiplicamos cada elemento da matriz A por esse número real k.
Multiplicação de matriz por matriz
Sendo A = [aik]m x p, B = [bkj]p x n e C = [cij]m x n, temos:
C = A ⋅ B ⇔ Cij = ail ⋅ blj + ai2 ⋅ b2j ++... + aip ⋅ bpj
Matriz inversa A A-1 = A-1, A = In, onde A é a matriz dada, de ordem n; A-1 é a matriz
inversa da matriz A; E In é a matriz identidade de mesma ordem da matriz
A.
Exercícios Propostos
1) Numa mesma classe estudam Carlota, Fabiana e Luciana, que obtiveram
notas 6,0; 7,5 e 5,0 em Português e 9,0; 7,0 e 8,0 em Matemática.
a) Formar a matriz “alunos x matrizes”.
b) Dizer qual é o tipo da matriz.
2) Dada à matriz A = (aij)2x3 tal que aij = i2, obter o elemento b23 da matriz B =
(bij)2x3 transposta de A.

=

− +
14
23
4
2
yx
yx

−
−
.
5) Dada à matriz A ==. Determinar a matriz inversa de A.
“ A matemática é a chave de ouro que abre todas as ci ências .”
Durruy
UNIDADE II
Determinantes
Definição
Determinante de uma matriz quadrada é um número real que associamos
a essa matriz segundo algumas regras.
Notação: sendo a matriz A=

det A =
Determinante de uma matriz quadrada de 1ª ordem.
O determinante da matriz A = [a11]1x1 é igual ao número que constitui:
det A = a11
Observe que o determinante de uma matriz quadrada de 1ª ordem é o
número real de igual valor ao do elemento a11.
Exemplo :
O determinante da matriz A = [3]1x1 é det A = 3.
Determinante de uma matriz quadrada de 2ª ordem.
O determinante da matriz A = 222221
1211
, é o número real obtido
através do produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos
elementos da diagonal secundária:
det A = 21122211 2221
det B = 9 ⋅ 1 - 2 ⋅ 4 ⇒ det B = 1
Cofator de um Elemento a ij
Cofator de um elemento aij de uma matriz quadrada é o resultado do
produto de (- 1)i+j pelo determinante Dij, obtido pela eliminação da linha e da coluna
do elemento aij.
Exemplo :
a) cofator do elemento a11
Resolvendo :
Resolvendo :
Resolvendo:
−− +aCof
Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz quadrada de ordem n (n ≥ 2) é obtido pela
soma dos produtos dos elementos de qualquer linha ou coluna, pelos respectivos
cofatores.
Exemplo :

−
, vamos considerar
a 1ª coluna, pois a presença do elemento zero facilita os cálculos:
det A = ( ) ( ) ( ) 24
det A = 22 — 64
Vamos desenvolver o cálculo do mesmo determinante, utilizando agora a
3ª coluna:
⋅−⋅+ −
⋅−⋅+⋅−⋅ +++
det A = 3 .1. (— 16) + 2. (— 1). 11 + 7. 1. 4
det A = — 42

=
A é obtido pela aplicação do teorema de Laplace.
Podemos escolher os elementos de 1ª linha, por exemplo, e teremos:
det A = a11 ⋅ (a22 ⋅ a33 – a23 ⋅ a32) = a12 ⋅ (a21 . a33 – a31) + a13 ⋅ (a21 . a32 – a22. a31)
Logo, o determinante da matriz A é o número real:
det A = a11 ⋅ a22 ⋅ a33 – a11 ⋅ a23 ⋅ a32 – a12 ⋅ a21 ⋅ a33 + a12 ⋅ a23 ⋅ a31 + a13
⋅ a21 ⋅ a32 – a13 ⋅ a22 ⋅ a31
det A = a11 ⋅ a22 ⋅ a33 + a12 ⋅ a23 ⋅ a31 + a13 ⋅ a12 ⋅ a32 - a13 ⋅ a22 ⋅ a31 – a21
⋅ a12 ⋅ a33 – a32 ⋅ a23 ⋅ a11
Regra de Sarrus
O determinante de uma matriz quadrada de 3ª ordem pode também ser
obtido através de uma regra prática denominada regra de Sarrus.
Consideramos a matriz:

1º passo: Escrevemos a matriz e repetimos a 1ª e 2ª colunas à direita da 3ª:
3231333231
2221232221
1211131211
aaaaa
aaaaa
aaaaa
2º passo: Efetuamos a adição algébrica dos produtos dos elementos indicados
pelas setas conforme o esquema:
3231333231
2221232221
1211131211
aaaaa
aaaaa
aaaaa
Conservar os sinais dos produtos
det A = a11 ⋅ a22 ⋅ a33 + a12 ⋅ a23 ⋅ a31 + a13 ⋅ a12 ⋅ a32 - a13 ⋅ a22 ⋅ a31 – a11
⋅ a23 ⋅ a32 – a12 ⋅ a21 ⋅ a33
401
254
321 −
01401
54254
21321
Conservar
de Sarrus.
-(-3.5.1) +(1.5.4)
-(-1.2.0) +(-3.4.0)
Determinante de uma Matriz Quadrada
Para calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem n > 3,
aplicaremos também o teorema de Laplace.

13
131
304
123
)1()(
34
245
304
123
)1()(
11
245
131
123
)1()(
25
245
131
304
)1()(
acof
acof
acof
acof
Fazendo a soma dos produtos dos elementos da 1ª coluna pelos
respectivos cofatores, obtemos o determinante da matriz A:
det A= )(0)()2()(0)(1 41312111 acofacofacofacof ⋅+⋅−+⋅+⋅
det A = )13(034)2(110)25(1 ⋅+⋅−+⋅+−⋅
det A = 93−
1532
000
2410
121
x
x
Resolvendo:
Vamos escolher a 3ª coluna, pois tem maior número de zeros, então:
247
132
210
11
−
Propriedades do Determinante
1ª propriedade: O determinante de uma matriz é igual a zero quando:
(I) A matriz possui duas linhas iguais ou duas colunas iguais.
Exemplos:
ccpois == −−
(II) A matriz possui os elementos de uma linha ou coluna iguais a zero.
Exemplos:
b)
2
0
103
104
, pois c2 é uma coluna de zeros.
(III) A matriz possui os elementos de duas linhas proporcionais ou os elementos
de duas colunas proporcionais.
⋅==− →
→
Veja que cada elemento da 3ª linha é o dobro do elemento
correspondente na 1ª linha.
ccpois ⋅== −−−
Veja que cada elemento da 3ª coluna é o triplo do elemento
correspondente na 1ª coluna.
(IV) A matriz possui uma linha (ou coluna) que é igual a uma combinação linear
das demais linhas (ou colunas).
Combinação linear: um número x é uma combinação linear dos números
a1, a2, a3,..., an. Se x = k1 ⋅ a1 + k2 ⋅ a2 + k3 ⋅ a3 ++... + kn ⋅ an, sendo k1, k2, k3,..., kn
números reais não nulos.
+=← ← ←
=
Veja que a 3ª linha é a combinação linear da 1ª e da 2ª linha, pois
somando ordenadamente os elementos da 1ª linha e da 2ª linha obtemos a 3ª linha,
ou seja:
213
↓↓↓ += LLL
Logo, o determinante da matriz A é nulo; det A = 0.
b) B =
036
327
412
Veja que a 1ª coluna é combinação linear da 2ª coluna e da 3ª coluna,
pois c1 = 2c2 + c3.
Logo , det B = 0
2ª propriedade : Considerando uma matriz quadrada A e a sua
transposta, At, temos que elas têm determinantes iguais:
det At = det A.
172
652
341
163
754
163
754
221
Portanto, det A = det At = - 21.
3ª propriedade : Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou
coluna de uma matriz por um número real m, o determinante da matriz fica
multiplicado pelo número m.
e det A = 21.
Multiplicando a 1ª linha da matriz A pelo número 2, obtemos:
A’ =
, sendo det A’ = 42.
Veja que o determinante da matriz A é igual a 21 e o determinante da
matriz A’ ficou multiplicado por 2, passando a ser 42.
4ª propriedade Se trocarmos entre si a posição de duas linhas ou de
duas colunas de uma matriz, o determinante troca de sinal.
Exemplo:
linhas e obtemos:
, sendo detA’ = — 30.
5ª propriedade : Se adicionamos uma matriz aos elementos de uma fila
(linha ou coluna) uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas
paralelas, o determinante da matriz obtida não se altera (teorema de Jacobi).
e detA = 24.
Vamos adicionar aos elementos da 1ª linha da matriz A, a seguinte
combinação linear:
2L2 – 2L3
2. (2 –1. 0) – 3. (1 5 – 3) = (4 –2 0) – (3 15 – 9) = (7 13 – 9), ou seja: L1 + (2L2 – 3L3).
A’ =
Logo, detA’ = detA= 24
6ª propriedade : Dadas duas matrizes quadradas, A e B, de mesma
ordem, temos que o determinante do produto é igual ao produto dos determinantes:
det (A . B) = det A . det B
Exemplo:
A =

A . B =
det (A . B) = det A . det B
25 = 25
7ª propriedade : Numa matriz A, em que os elementos de um mesmo lado
da diagonal principal são todos nulos, o determinante é o produto dos elementos da
diagonal principal det A = a11 ⋅ a22 ⋅ a33 ⋅ ... ⋅ ann
B =
Exemplo:
1) O determinante abaixo é nulo. Justificar, citando a propriedade aplicada.
7554
13763
15622
3011
=
−
−−
, pois a 4ª coluna é combinação linear da 1ª e 3ª
colunas, ou seja, c4 = 3c1 + c3 (1ª propriedade IV)
Complemento
Considerando uma matriz quadrada A de ordem n, podemos escrever:
det (k ⋅ A) = kn ⋅ det A, sendo K ∈ IR.
Exemplo:
Sabe-se que M é uma matriz quadrada de ordem 4 e que det(M) = 2.
Calcule det (2M).
det (2M) = 24 ⋅ 2 = 32
Matriz Vander monde
Considere os números a1, a2, a3,... an, para n ≥ 2, é a matriz:
V =
Essa matriz chama-se matriz Vander monde. Observe que:
• as colunas dessa matriz são formadas por potências de mesma base, com
expoente inteiro que varia de 0 até n –1.
• os elementos de cada coluna formam uma progressão geométrica cujo 1º
elemento é 1.
• as razões dessas progressões geométricas são os números a1, a2, a3,... an,
chamados de elementos característicos da matriz.
Determinante da Matriz de Vander monde
O determinante da matriz de Vandermonde é o produto de todas as
diferenças entre dois elementos característicos, de forma que o minuendo tenha
índice maior que o subtraendo:
det V (a1, a2, a3,... an) = (a2 – a1) (a3 – a2)... (an – an-1)
Exemplo:

25169
543
111
Resolvendo:
Podemos escrever a matriz com os elementos em forma de potência
verificando que é uma matriz de Vandermonde.

543
111
V é det A = V(3, 4, 5) = (4 – 3) (5 – 3) (5 – 4) = 2.
Regra de Chio
Consideremos uma matriz de ordem n, n ≥ 3 que tenha pelo menos um
elemento igual a 1. A regra de Chio possibilita obter outra matriz de ordem n – 1. O
determinante da nova matriz é igual ao da matriz considerada. O processo é
repetido até recair numa matriz de ordem 2.
Exemplo:

A =
− 332
125
431
2º passo: eliminamos a linha e a coluna correspondentes ao elemento
1=ija
− 332
125
431
3º passo: de cada elemento restante na matriz, subtraímos o produto dos
elementos eliminados que se situam na linha e na coluna do elemento considerado.
A’ =
detA’ = - 106
4º passo: calculamos o determinante da matriz reduzida A’ e o
multiplicamos por (-1)1+1, ou seja:
detA = (-1)1+1 ⋅ detA’
Exemplo:
4032
1340
1213
0121
Resolvendo :
Inicialmente, vamos escolher um elemento aij = 1 e encontrar a matriz
reduzida de 3ª ordem:
− = +AA
Em seguida, escolhermos aij = 1 da nova matriz e repetimos a regra:
184 2229
Propriedade de Linearidade da Função Determinante
Para uma matriz A, n x n, podemos considerar det A uma função dos n
vetores colunas de A. Vamos mostrar que se todas as colunas, menos uma, forem
mantidas fixas, então det A é uma função linear nessa única variável (vetorial).
Suponha que a j-ésima coluna de A possa variar e escreva: A = [a1... aj-1
x aj+1... an]
T (x) = T(x) = det [a1... aj-1 x aj+1... an]
Então, T (cx) = cT (x) para todo escalar c e todo x no Rn
T (u + v) = T (u) + T (v) para todo u, v no Rn
Resolvendo:
Realize substituição de linhas de modo a criar zeros na primeira coluna e,
depois, crie uma linha de zeros.
0
0000
1540
2310
2131
2310
1540
2310
2131
86103
1540
2152
2131
Determinante
Determinante de uma matriz quadrada n x n: é um número associado à
matriz segundo determinada regra.
Determinante de uma matriz quadrada de 1ª ordem: A = [a11]1x1 ⇒det
11aA = .
A =
Cofator
Cofator de um elemento aij de uma matriz quadrada: cof (aij) = (-1)i+j ⋅ Dij
Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz quadrada de ordem n(n ≥ 2) é obtido pela
soma dos produtos dos elementos de qualquer linha ou coluna pelos respectivos
cofatores.
Regra de Sarrus
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
det A = a11 ⋅ a22 ⋅ a33 + a12 ⋅ a23 ⋅ a31 + a13 ⋅ a12 ⋅ a32 - a13 ⋅ a22 ⋅ a31 – a11 ⋅ a23 ⋅ a32
– a12 ⋅ a21 ⋅ a33
Propriedades do determinante
1- O determinante de uma matriz é igual a zero quando:
I a matriz possui duas linhas iguais ou duas colunas iguais;
II a matriz possui os elementos de uma linha ou coluna iguais a zero;
III a matriz possui os elementos de duas linhas proporcionais ou os elementos
de duas colunas.
Proporcionais
IV a matriz possui uma linha (ou uma coluna) que seja igual a uma combinação
linear das demais linhas (ou colunas).
2- Dada uma matriz quadrada A e sua transposta, At temos At = det A.
3- Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha (ou coluna) de uma matriz
por um número real m, o determinante da matriz fica multiplicado por m.
4- Se trocarmos entre si a posição de duas linhas (ou colunas) de uma matriz, a
determinante troca de sinal.
5- Se numa matriz adicionamos aos elementos de uma fila (linha ou coluna 0
uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas, o
determinante da matriz obtida não se altera (teorema de Jacobi).
6- Dadas duas matrizes quadradas, A e B, de mesma ordem, temos: det (A . B)
= det A . det B.
7- Numa matriz A, em que os elementos que se situam de um mesmo lado da
diagonal principal são todos nulos, o determinante é o produto dos elementos
da diagonal principal.
Complemento
A = [aij] nxn, k∈R ⇒det (k ⋅ A) = kn ⋅ det A
Matriz de Vandermonde
nnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
det V = (a1, a2, a3,... an) = (a2 – a3) (a3 – a1)... (an – an-1)
Regra de Chio
1- Considerar um elemento aij = 1
2- Eliminar a linha e a coluna correspondente a esse elemento.
3- De cada elemento restante da matriz, subtrair o produto dos elementos
eliminados que se situam na sua linha e na sua coluna, obtendo assim a
matriz A.
Propriedade da Linearidade da Função Determinante
Definida uma transformação T do Rn em R por:
T (x) = T(x) = det [a1... aj-1 x aj+1... an]
Então T (cx) = cT (x) para todo escalar c e todo x no Rn
T (u + v) = T (u) + T (v) para todo u, v no Rn
2- Na matriz A =

.
5- Usar determinantes para decidir se v1, v2, e v3 são linearmente independente,
onde:
v1 =
.
“A Matemática é a chave de ouro que abre todas as C iências”
Durruy
UNIDADE III
Sistemas de Equações Lineares
Equação Linear
Para melhor desenvolver o estudo sobre sistemas lineares é necessário
rever alguns conceitos sobre equação linear.
Consideramos como equação linear toda equação do tipo:
, onde
: são as incógnitas
Termo independente.
Quando o termo independente é nulo, ou seja, quando c=0, a equação
linear é homogênea.
b) x+y = 5
Notação Matricial
A informação essencial de um sistema linear pode ser representada da
forma compactada através de um reticulado retangular chamado matriz. Dado o
sistema:
= 0
= 8
= - 9
colunas, a matriz é chamada de matriz dos coeficientes (ou
matriz associada) do sistema (3). 9954
8820
0121
segunda linha contém um zero) porque a segunda equação
pode ser escrita como: 0. 9954
8820
0121
−− −
−
Uma matriz completa de um sistema consiste na matriz dos coeficientes
com uma coluna adicional que contém as constantes do lado direito das equações.
O tipo de equação informa quantas linhas e quantas colunas ela tem. A
matriz completa tem 3 linhas e 4 colunas e é chamada de matriz 3 x 4. Se m e n são
inteiros positivos uma matriz m x n é um retículo retangular de números com m
linhas e n colunas.
Sistema Linear
Chama-se sistema linear a n incógnitas um conjunto de duas ou mais
equações lineares com n incógnitas.
Exemplos :
a)
=− =+ 1
732
yx
yx
Sistema linear de duas equações e duas incógnitas, onde x e y são as
incógnitas e 7 e 1 são os termos independentes.
b)
1242
332
743
zyx
zyx
zyx
Sistema linear de três equações e três incógnitas, onde x, y e z são as
incógnitas e -7, 3 e 12 são os termos independentes.
Genericamente, um sistema linear de m equações com n incógnitas,
também indicadas por sistema linear m x n (lê-se: “m por n”), é representado por um
conjunto de equações lineares do tipo:
Solução de um Sistema Linear
Uma solução de um sistema linear é um conjunto de valores que satisfaz
ao mesmo tempo todas as equações do sistema linear.
Exemplo:
Para o sistema , os valores que satisfazem as duas
equações são x =2 e y=1. Logo, a solução do sistema é o par ordenado (2,1).
Sistema Linear Homogêneo
os coeficientes independentes nulos.
Exemplo:
Todo sistema linear homogêneo admite a solução nula (0, 0,..., 0),
chamada de solução trivial. Um sistema linear homogêneo pode ter outras soluções
além da trivial.
Exemplo:
Dado o sistema , verificar se é solução cada um dos pares:
Resolvendo:
a)
b)
Regra de Cramer
Você já conhece algumas formas de obter o conjunto verdade de um
sistema. Agora, aprenderá dois métodos bastante práticos: a regra de Cramer e o
escalonamento, que facilitam a resolução de sistemas.
Inicialmente, vamos considerar o sistema
é a matriz incompleta do sistema.
São os termos independentes do sistema.
D= é o determinante da matriz incompleta do sistema.
Dx= é o determinante da matriz obtida através da troca dos
coeficientes de x pelos termos independentes, na matriz incompleta.
Dy= é o determinante da matriz obtida através da troca dos
coeficientes de y pelos termos independentes, na matriz incompleta.
Analogamente, podemos escrever a matriz incompleta de qualquer
sistema linear n x n, assim como o seu determinante D e também os determinantes
Di obtidos através da troca dos coeficientes de uma i-ésima incógnita pelos termos
independentes no determinante da matriz incompleta.
A regra de Cramer pode ser aplicada para resolver um sistema n x n,
onde D 0. A solução é dada pelas razões:
Exemplos:
Cálculo do determinante D:
Dx = = -10 Dy = 11
14114
12312
21121
− = –4 –3 –4 –1 +2 4 –2=10
Dy=
114
352
101
Dz=
114
512
021
Logo:
X=
Classificação de um Sistema Linear
Quanto ao número de soluções, um sistema pode ser possível e
determinado, possível e indeterminado ou impossível .
O sistema possível e determinado (SPD) tem uma única solução.
Quando um sistema linear n x n é possível e determinado, o determinante
D da matriz incompleta é diferente de zero. Reciprocamente, quando o determinante
D da matriz incompleta é zero, o sistema é possível e determinado.
O sistema possível e indeterminado (SPI) tem infinitas soluções.
Quando um sistema linear n x n é indeterminado, o determinante D da
matriz incompleta é igual a zero.
O sistema impossível (SI) não tem nenhuma solução.
Quando um sistema linear n x n é impossível, o determinante D da matriz
incompleta é igual a zero.
Exemplos:
43 − =11
b) O sistema
D=
= 0
Distinguiremos os casos SPI e SI, analisando se há ou não incompatibilidade
das equações do sistema.
Resolvendo
Para que o sistema seja SPD é necessário D 0
D= =a - 2
O sistema será SPD para a-2 0 ou a 2
Se a = 2, então o sistema fica
A segunda equação é equivalente a 2(x+y) = 3 ou a x+y=
Como não existem dois números cuja soma seja simultaneamente 1 e ,
as equações são incompatíveis. Logo, o sistema é impossível.
Escalonamento de Sistemas
Já vimos que, para resolver um sistema de duas equações e duas
incógnitas, a regra de Cramer é muito prática. Mas quando o sistema é formado por
três ou mais equações, é conveniente procurar um processo menos trabalhoso. Por
esse motivo, vamos descrever o sistema em forma de escada, ou seja, por
escalonamento.
Um sistema está escalonado quando de equação para equação, no
sentido de cima para baixo, houver aumento dos coeficientes nulos situados antes
dos coeficientes não nulos.
Para escalonar um sistema, podemos utilizar as seguintes etapas:
1) Colocar como 1ª equação aquela que tenha 1 como coeficiente da 1ª
incógnita. Caso não haja nenhuma equação assim, dividir membro a membro
aquela que está como 1ª equação pelo coeficiente da 1ª incógnita.
2) Nas demais equações, obter zero como coeficiente da 1ª incógnita (caso já
não seja), somando cada uma delas com o produto da 1ª equação pelo
oposto do coeficiente dessa incógnita.
3) Repetir os itens 1 e 2, substituindo neles 1ª por 2ª, depois 2ª por 3ª etc.
Exemplo:
1. Classificar o sistema e encontrar a solução usando o processo de
escalonamento:
Resolvendo:
Inicialmente vamos escalonar o sistema:
1ª etapa: invertemos a ordem da 1ª e da 2ª equações para obter 1 como
coeficiente da 1ª incógnita.

Para obter zero como coeficiente da (1ª) incógnita da 3ª equação,
multiplicamos a 1ª equação por (-1) e adicionamos o resultado à 3ª equação.
( ) ( ) ( )ª3ª1.1−
3ª etapa: para obter zero como coeficiente da 2ª incógnita da 3ª equação,
dividimos a 2ª equação por (–1); depois, multiplicamos o resultado por (+2) e
adicionamos o novo resultado à 3ª equação.
( ) ( ) ( ) ( )ª31ª2.2 +−+
Com o sistema escalonado, poderíamos obter o valor das incógnitas.
Porém, observamos que a 3ª equação, 0 = –1, demonstra uma impossibilidade.
Logo, o sistema é considerado impossível (SI).
Solução de Sistemas Lineares
Quando aplicado à matriz completa de um sistema linear, o algoritmo de
escalonamento leva diretamente a uma descrição explícita do conjunto solução para
o sistema.
Por exemplo, a matriz completa de um sistema linear tenha sido
transformada para a forma escalonada reduzida equivalente:
Sabemos que existem três variáveis porque a matriz completa tem quatro
colunas. O sistema de equações associado é:
0=0
As variáveis e , correspondentes às colunas pivô da matriz, são
chamadas de variáveis independentes ou básicas. A outra variável é chamada
variável livre.
Sempre que um sistema for possível, o conjunto solução pode ser
descrito explicitamente resolvendo o sistema de equações reduzidas escrevendo as
variáveis básicas em função das variáveis livres. Essa operação se torna possível
porque a forma escalonada reduzida posiciona cada variável dependente em uma
equação. Podemos resolver a primeira equação para obter e a segunda para
obter .
Podemos escolher qualquer valor para . Por exemplo = 0, a solução
é (1, 4,0). Quando 13 =x , a solução é ( )1,3,6 . Toda escolha de determina uma
solução (diferente) do sistema determinada por uma escolha de .
Exemplo :
Determinar a solução geral do sistema linear cuja matriz completa foi
reduzida para:
710000
318200
425261
Existem 5 variáveis, já que a matriz completa tem 6 colunas. O sistema
associado, agora é:
= 0
As colunas pivô da matriz são 1,3 e 5, de modo que as variáveis
dependentes são . As variáveis constantes , são necessariamente

=
+=
−−=
Propriedades importantes de sistemas lineares podem ser descritos
através do conceito e notação de vetores. Esta secção faz a ligação entre eq. de
vetores e sistemas de equações. O termo vetor aparece numa grande variedade de
contextos matemáticos e físicos, que discutiremos no capítulo Espaços Vetoriais.
Aqui usaremos o termo vetor para designar uma lista ordenada de números. Isso
nos possibilita obter importantes aplicações da forma mais rápida possível.
Vetores no R²
Uma matriz com apenas uma coluna é chamada de vetor coluna ou,
simplesmente, um vetor.
u = v = w =
Onde e são números reais. O conjunto de todos os vetores com
duas componentes é denotado por R² (lê-se “erre dois”). O R representa os números
reais que aparecem nos componentes dos vetores, e o expoente 2 indica que cada
vetor contém duas componentes.
Dois vetores do R² são iguais se, somente se, suas componentes
correspondentes são iguais. Assim, não são iguais. Dizemos que os
vetores do R² são pares ordenados de números reais.
Dados dois vetores u e v do R², sua soma é o vetor u+v obtido somando
as componentes correspondentes de u e v.
Por exemplo:
Dado um vetor v e um número real c, o múltiplo escalar de v por c é o
vetor cv obtido multiplicando cada componente de v por c. Por exemplo:
Se v = e c = 5, então cv = 5
O número c em cv é chamado escalar.
Descrição Geométrica do R 2
Considere um sistema de coordenadas
cartesianas no plano. Como cada ponto do plano fica
determinado por um par ordenado de números,
podemos identificar um ponto geométrico (a, b) com o
vetor coluna . De modo que podemos considerar o
R² como sendo o conjunto de todos os pontos do plano.
Fig. 1 (vetores como pontos).
A visualização de um vetor como o é
auxiliada pela inclusão de uma flecha (um segmento
orientado) da origem (0,0) até o ponto (3, -2) como na
figura 2. Nesse caso, os pontos sobre a flecha não tem
qualquer significado especial.
A soma de dois vetores tem uma interpretação geométrica muito útil. A
regra que se segue pode ser verificada por Geometria Analítica.
u + v
A regra do paralelogramo para a soma.
Se u e v do R² forem representados como pontos no plano, então u+v
corresponde ao quarto vértice do paralelogramo, cujos outros vértices são u, o e v.
Combinações Lineares
Dados os vetores do e dados os escalares o
vetor y definido por y= +... é chamado de uma combinação linear de
com pesos . Os pesos de uma combinação linear podem ser
quaisquer números reais, incluindo o zero. Exemplo de algumas combinações
lineares dos vetores. São:
Ficha Resumo
Sistemas lineares
Chama-se sistema linear a n incógnitas um conjunto de duas ou mais
equações lineares com n incógnitas.
Solução de um sistema linear
Uma solução de um sistema linear é um conjunto de valores que
satisfazem ao mesmo tempo todas as equações do sistema linear.
Sistema linear homogêneo
É todo sistema linear em que os coeficientes independentes são todos
nulos. Ele sempre admite pelo menos a solução trivial (0, 0,..., 0).
Regra de Cramer
É aplicável na resolução de um sistema n x n, onde D 0, sendo que a
solução é dada pelas razões:
Classificação de um sistema linear
Quanto ao número de soluções, o sistema pode ser:
• Sistema possível e determinado SPD uma única solução: D 0
• Sistema possível e indeterminado SPI infinitas soluções: D 0
• Sistema impossível SI nenhuma solução: D = 0
Escalonamento de sistemas
Um sistema está escalonado quando de equação para equação, no
sentido de cima para baixo, houver aumento dos coeficientes nulos situados antes
dos coeficientes não nulos.
Descrição geométrica
Cada ponto no plano cartesiano fica determinado por um par ordenado de
números (a, b) com o vetor coluna podemos considerar o R² como o conjunto de
todos os pontos no plano.
Combinações lineares
Os pesos de uma combinação linear podem ser quaisquer números reais,
incluindo o zero.
2) Resolver o sistema usando a regra de Cramer:
3) Discutir o seguinte sistema:
4) Determinar a solução geral do sistema linear matriz.
5) Sejam Determine se b pode ser gerada (ou
escrito) como uma combinação linear de , ou seja, determine se
existem pesos , tais que: Se a equação vetorial tiver
solução, encontre-a.
“A Matemática não mente. Mente quem faz mal uso del a.”
Albert Einstein
UNIDADE IV
Espaço Vetorial
A beleza e a força da álgebra linear serão apreciadas de forma mais clara
quando virmos o como apenas um dentre uma variedade de espaços vetoriais
que surgem naturalmente em problemas aplicados. Veremos que um estudo dos
espaços vetoriais não é muito diferente do estudo do próprio , pois podemos usar
nossa experiência geométrica com e para visualizar muitos conceitos gerais.
Espaço Vetorial
Definição
Um espaço vetorial é um conjunto não vazio V de objetos, chamados
vetores sobre os quais estão definidas duas operações, chamadas soma e
multiplicação por escalar (número real), sujeitas aos dez axiomas (ou regras)
listados a seguir. Os axiomas precisam valer para todos os vetores u, v e w em v e
para todos os escalares c e d.
1. A soma de u e v, denotada por u +v, está em V.
2. u+v = v+u
3. (u+v) + w = u + (v+w)
4. Existe um vetor nulo, 0, em V tal que v + 0 = v.
5. Para cada v em V, existe um vetor – v em V tal que v + (-v) = 0.
6. O múltiplo escalar de v por c, denotado por cv, está em V.
7. c (v + w) = cv + cw
8. (c+d) v = CV + dv
9. c(dv) = (cd)v
10. 1 v = v
Usando apenas esses axiomas, pode-se mostrar que o vetor nulo, no
Axioma 4, é único e que o vetor –v, chamado negativo de v, no axioma 5, é único
para todo v em V.
Para cada v em V e cada escalar c,
Ov = 0 (1)
co= 0 (2)
-v= (-1)v (3)
Exemplo:
Os espaços , com n 1, são os primeiros exemplos de espaços
vetoriais. A intuição geométrica desenvolvida para o nos ajudará a compreender
e visualizar muitos conceitos ao longo do capítulo.
Exemplo :
orientados) no espaço tridimensional, onde duas flechas são
tidas como iguais se elas têm o mesmo comprimento e
aponta na mesma direção. Defina a soma pela regra do
paralelogramo e, para cada v em V, defina cv como sendo a
flecha cujo comprimento é c/vezes o comprimento de v, com
a mesma direção que v se c 0 e, caso contrário, com
direção oposta a de v. Mostre que V é um espaço vetorial.
Esse espaço é um modelo frequente para várias forças em
problemas físicos.
Solução A definição de V é geométrica, usando os conceitos de
comprimento e direção. Não foi usando nenhum sistema de coordenadas xyz. Uma
flecha de comprimento zero é um único ponto e representa o vetor nulo. O negativo
de v é (-1)v. Assim, os Axiomas 1, 4, 5,6, e 10 se tornam evidentes. Os demais são
verificados geometricamente. Por exemplo, veja as Figs. 2 e 3.
Exemplo:
Seja V o conjunto de todas as funções reais definidas num conjunto D.
(Geralmente, D é o conjunto dos números reais ou um intervalo da reta.) As funções
são somadas da forma usual: f+g é a função cujo valor em t, do domínio D é f (t) +
g(t). De forma análoga, para um escalar c e uma f em V, o múltiplo escalar cf é a
função cujo valor em t é cf(t). Por exemplo, se D = R, f(t) = 1 + sen 2t e g(t) = 2+ 0,5t,
então
(f + g)(t) = 3 + sen2t + 0,5t e (2g) (t) = 4 + t.
Duas funções em v são iguais se e somente se seus valores são iguais
para todo t em D. Portanto, o vetor nulo em V é a função identicamente zero, f(t) = 0
para todo t, e o negativo de f é (-1)f. Os Axiomas 1 e 6 são obviamente verdadeiros,
e os demais axiomas seguem das propriedades dos números reais, de modo que v é
um espaço vetorial.
espaço vetorial V, um objeto único, como apenas
um “ponto” ou vetor do espaço vetorial. A soma de
dois vetores f e g (funções em v, ou elementos de
qualquer espaço vetorial) podem ser visualizadas
como na Fig. 5, pois isso pode ajudá-lo a
transportar para o contexto de um espaço vetorial
geral a intuição geométrica desenvolvida com o
espaço vetorial Rn.
Subespaços
Definição
Um subespaço de um espaço vetorial V é um subconjunto H de V que
satisfaz três propriedades:
a. o vetor nulo de V está em H²
b. H é fechado com respeito à soma de vetores. Isto é, para cada u e v em H, a
soma u + v está em H.
c. H é fechado com respeito a multiplicação por escalar. Isto é, para cada v em
H e cada escalar c, o vetor cv está em H.
As propriedades (a), (b) e (c) garantem que um subespaço H de V é ele
próprio um espaço vetorial, com respeito às operações de espaço vetorial já definida
em V.
Portanto, todo subespaço é um espaço vetorial. Ao contrário, todo espaço
vetorial é um subespaço (dele mesmo e, possivelmente, de outros subespaços
maiores). O termo subespaço é usado quando pelo menos dois espaços vetoriais
estão em consideração, um dentro do outro, a frase subespaço de V identifica V
como o subespaço maior.
Exemplo:
O conjunto que consiste apenas no vetor nulo de um espaço vetorial V é
um subespaço de V, chamado subespaço trivial e denotado por {0}.
Exemplo:
O espaço vetorial não é um subespaço do , porque o não é nem
mesmo um subconjunto do . (Os vetores do têm todos três componentes,
enquanto os vetores do têm apenas duas) O conjunto:
H =
“parece” e “age” como o , apesar de
logicamente ser diferente do . Veja a fig 7.
Mostre que H é um subespaço do .
Solução
O vetor nulo está em H, e H é fechado com relação à soma de vetores e á
multiplicação por escalar porque essas operações em vetores de H sempre
produzem vetores cujas terceiras componentes são iguais à zero (e, assim,
pertencem a H). Portanto, H é um subespaço do .
Um Subespaço Gerado por um Conjunto
O termo combinação linear se refere a qualquer soma de múltiplos
escalares de vetores, e Span denota o conjunto de todos os vetores que
podem ser escritos como combinação linear de .
TEOREMA 1
Se estão num espaço vetorial V, então Span é um
subespaço de V.
Chamamos Span de subespaço gerado por . Dado
qualquer subespaço H de V. um conjunto gerado para H é um conjunto ,
em H, tal que H = Span .
Exemplo:
Seja H o conjunto de todos os vetores da forma (a-3b, b-a, a, b) onde a e
b são escalares arbitrários. Isto é, seja H = . Mostre
que H é um subespaço do .
Solução
Escreva os vetores de H como vetores colunas. Então, um vetor arbitrário
de H tem a forma:
Esse cálculo mostra que H=Span ,
onde são os vetores indicados acima. Assim,
pelo Teorema 1, H é um subespaço de .
Transformadas Lineares
Considere o seguinte sistema homogêneo de equações:
(1)
-5

− −−
(2)
Lembre que o conjunto de todos os x que satisfazem (1) é chamado de
conjunto solução do sistema (1). Com frequência, é útil relacionar esse conjunto
V1 V2
diretamente com a matriz A e a equação Ax=0. Chamamos o conjunto dos x que
satisfazem Ax=0, de espaço nulo da matriz A.
Definição
O espaço nulo de uma matriz A, m x n, denotado por NulA, é o conjunto
de todas as soluções da equação homogênea Ax=0. Em notação de conjuntos,
NulA=
Uma descrição mais dinâmica de NulA
é dada pelo conjunto de todos os x do que são
transformados no vetor nulo de pela
transformada linear xAx. Veja a Fig.1.
Exemplo:
Seja A como em (2) e seja u = . Determine se u pertence ao espaço
nulo de A.
Au =
Assim, u pertence à NulA.
O termo espaço em espaço nulo é apropriado porque o espaço nulo de
uma matriz é um espaço vetorial.
TEOREMA 2
O espaço nulo de uma matriz A, m x n, é um subespaço do .
.
Exemplo:
Seja H o conjunto de todos os vetores do cujas coordenadas a, b, c, d
.
Reagrupando as equações que descrevem os elementos de H, vemos
que H é o conjunto de todas as soluções do seguinte sistema linear homogêneo de
equações:
– a – b + c = 0
Pelo Teorema 2, H é um subespaço do .
É importante que as equações lineares que define o conjunto H sejam
homogêneas. Caso contrário, o conjunto das soluções definitivamente não será um
subespaço (porque o vetor nulo não é solução de um sistema não homogêneo).
Mais ainda, em alguns casos, o conjunto das soluções poderia ser vazio.
Uma Descrição Explicita de NulA
Não existe nenhuma relação óbvia entre os vetores de NulA e os
elementos de A. Dizemos que NulA é definido implicitamente, porque ele é definido
por uma condição que precisa ser verificada. Não é dada nenhuma listagem ou
descrição explícita dos elementos de NulA. No entanto, quando resolvemos a
equação Ax=0, obtemos uma descrição explícita de NulA.
Exemplo:

−− −− −−
= 48541
13222
71163
A
Resolvendo :
O primeiro passo é determinar uma solução geral de Ax = 0 em função
das variáveis livres. Escalonamos a matriz completa até a forma escalonada
reduzida obtendo:
x3 + 2x4 – 2x5 = 0
0 = 0
A solução geral é x1 = 2x2 + x4 – 3x5, x3 = - 2x4 + 2x5, com x2, x4 e x5 livres.
Em seguida, decompomos o vetor que descreve a solução geral numa combinação
=
Toda combinação linear de u, v e w é um elemento de NulA. Assim,
é um conjunto gerador para NulA.
O Espaço nas Colunas de Uma Matriz
Outro subespaço importante associado a uma matriz é seu espaço das
colunas. Diferentemente do espaço nulo, o espaço das colunas é definido
explicitamente via combinações lineares.
Definição
O espaço das colunas de uma matriz A, m x n, denotado por ColA, é o
conjunto de todas as combinações lineares das colunas de A. Se A= ,
então:
ColA = Span
Como Span é um subespaço, pelo Teorema 1, o próximo
.
TEOREMA 3
O espaço das colunas de uma matriz A, m x n, é um subespaço do .
Observe que um vetor típico de ColA pode ser escrito na forma Ax para
algum x porque a notação Ax representa uma combinação linear das colunas de A.
Isto é,
ColA –
A notação Ax para os vetores em ColA também mostra que ColA é a
imagem da transformada linear xAx.
Exemplo: Determinar uma matriz A tal que W = ColA.

− + −

−

− =

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