CEMAF – SME Rio Claro – PEB I

PARRA, Cecília; SAIZ, Irma (org). Didática da Matemática:

Reflexões Psicopedagógicas. Porto Alegre: Editora Artmed, 2001.

Prof. M.Sc. Fabricio Eduardo Ferreira

fabricio@fafica.br

Prefácio

A obra constitui uma coletânea de artigos relacionados à Didática da Matemática que

“estuda o processo de transmissão e aquisição de diferentes conteúdos desta ciência” (p. 4).

Luis A. Santaló

Espanha, Matemático

1. Matemático para

não-matemáticos

Grecia Galvez

Chile, Psicóloga

2. A didática

da matemática

Roland Charnay

França, Professor de Matemática

3. Aprendendo (com) a

resolução de problemas

Guy Brousseau

França, Doutor em Ciências

4. Os diferentes

papéis do professor

Apresentação da obra

Irma Saiz

Argentina,

Licenciada em Matemática

6. Dividir com dificuldade

ou a dificuldade de dividir

Délia Lerner e Patricia Sadovsky

Argentina e Argentina,

Licenciada em Ciências da

Educação e Professora de

Matemática

5. O sistema de numeração:

um problema didático

Cecília Parra

Argentina, Licenciada em

Ciências da Educação

7. Cálculo mental na

escola primária

Grecia Galvez

Chile, Psicóloga

8. A geometria, a

psicogênese das noções

espaciais e o ensino de

geometria na escola

primária

1. Matemático para não-matemáticos. SANTALÓ, Luis A.

A missão dos educadores é preparar as novas gerações para o mundo que terão que viver;

(...) como o mundo atual é rapidamente mutável, também a escola deve estar em

contínuo estado de alerta para adaptar seu ensino, seja em conteúdos como em

metodologia (p. 11);

(...) o problema reside em decidir “como” educar esse homem informático;

(...) a vida tem-se tornado mais difícil, e a escola deve evoluir para preparar indivíduos com

capacidade para atuar neste mundo complexo (p. 13);

(...) [da mesma forma que na época de Platão] hoje pensamos em educar o pensamento e

também fornecer regras para a ação, e opina-se que a matemática que necessita todos os

cidadãos deve ser uma mistura bem equilibrada de matemática pura e aplicada (p. 14).

“Aos professores de matemática compete selecionar entre toda matemática existente, a clássica

e a moderna, aquela que possa ser útil aos alunos em diferentes níveis na educação”. (p. 15)

“(...) o sentido da matemática deve ser um constante equilíbrio entre a

matemática formativa e a informativa (...) É preciso formar, porém ao mesmo tempo,

informar das coisas úteis”. (p. 15)

SANTALÓ, Luis A. “A escolha da matemática para aqueles que vão ser matemáticos profissionais é relativamente fácil

(...) O problema reside na seleção da matemática para a educação

daqueles que não tem interesse particular por ela”. (p. 15)

O quê ensinar da matemática no mundo atual?

SANTALÓ, Luis A.

Como ensinar da matemática no mundo atual?

“É preciso decidir a respeito dos conteúdos e também sobre a metodologia mais conveniente” (p. 16)

“Como regra geral, pode-se recomendar que sempre é preferível saber pouco e bem, que

muito e mal. É mais recomendável fazer cabeças ‘bem feitas’ do que cabeças ‘bem cheias’”

(p. 16)

“No que diz respeito à didática, seja no nível que for, o ensino da Matemática deve estimular a

criatividade, mostrando que a Matemática é como um edifício em construção” (p. 19)

Sugestões de temas para uma nova matemática escolar

Probabilidade

e Estatística Computação

Raciocínio lógico

e dedutivo

Teoria de

conjuntos

Cálculo

infinitesimalTeoria dos Grafos Geometria Fractal Teoria do Caos

2. A didática da matemática. GÁLVEZ, Grecia

O trabalho inicia-se mostrando o trabalho dos Institutos de Investigação acerca do Ensino

da Matemática (IREM) na França no início dos anos 60 (formação de professores,

produção de material, práticas em sala de aula);

(...) A partir da reflexão das atividades realizadas no IREM, o pesquisador Guy Brousseau

propõe o estudo das condições nas quais são constituídos os conhecimentos;

o controle destas condições permitiria reproduzir e otimizar os processos de aquisição

escolar de conhecimentos (p. 27);

(...) Parte-se do pressuposto de que o conhecimento dos fenômenos relativos ao ensino da

matemática não seja resultado da simples fusão de conhecimentos (...) como a matemática,

psicologia e pedagogia, mas algo que exige pesquisas específicas (p. 27).

Classificação de Brousseau das análises das situações didáticas

• Gera uma interação entre os alunos e o meio físico. Os alunos devem tomar as decisões quefaltam para organizar sua atividade de resolução do problema formulado.

Situações de ação

• O objetivo é a comunicação de informações entre alunos. Para isto, devem modificar alinguagem que utilizam habitualmente, precisando-a e adequando-a às informações quedevem comunicar.

Situações de formulação

• Nas quais tenta-se convencer a um ou vários interlocutores da validade das afirmaçõesque são feitas. Neste caso, os alunos devem elaborar provas para demonstrá-las.

Situações de validação

• São destinadas a estabelecer convenções sociais. Nestas situações busca-se que o conjuntode alunos de uma aula assuma o significado socialmente estabelecido de um saber que foielaborado por eles mesmos, em situações de ação, de formulação e de validação.

Situações de institucionalização

“A análise de uma situação didática passa por sua comparação com outras situações didáticas”. (p. 30)

“A finalidade da didática da matemática é o conhecimento dos fenômenos e processos

relativos ao ensino da matemática para controlá-los e, através deste controle,

otimizar a aprendizagem dos alunos”. (p. 31)

GÁLVEZ, Grecia“Até agora, tem predominado uma concepção segundo a qual basta decompor um saber,

em sua modalidade cultural, em pequenos pedacinhos isolados, e então organizar sua

ingestão por parte dos alunos, em períodos breves e bem delimitados,

segundo sequências determinadas sobre a base da análise do próprio saber”. (p. 31)

Alguns pontos importantes do artigo

GÁLVEZ, Grecia

Mais alguns pontos importantes

“Esta maneira de organizar o ensino não atribui importância ao contexto específico em que os

conhecimentos são adquiridos, nem à sua significação e valor funcional, durante sua aquisição” (p. 31)

“Brousseau coloca que é preciso criar situações didáticas que façam funcionar o saber,

a partir de saberes definidos culturalmente nos programas escolares’” (p. 32)

“Em síntese, trata-se de colocar os alunos diante de uma situação que evolua de forma tal, que o

conhecimento que se quer que aprendam seja o único meio eficaz para controlar tal situação” (p. 33)

3. Aprendendo (com) a resolução de problemas. CHARNAY, Roland

A matemática têm se construído como resposta a perguntas traduzidas em outros tantos

problemas (p. 36);

(...) a atividade de resolução de problemas tem estado no próprio coração da elaboração da

ciência matemática. “Fazer matemática é resolver problemas!” (p. 37);

(...) Um dos objetivos essenciais (e ao mesmo tempo uma das dificuldades principais)

do ensino da matemática é precisamente que o que se ensine esteja carregado de

significado, tenha sentido para o aluno (p. 37);

(...) A questão essencial do ensino da matemática é então: como fazer para que os conhecimentos ensinados

tenham sentido para o aluno? [grifo do autor] (p. 38).

Construindo o sentido ...(...) a construção da significação de um conhecimento deve ser considerada em dois níveis:

um nível “externo”

• Qual é o campo deutilização desteconhecimento e quaissão os limites destecampo?

um nível “interno”

• Como e por quefunciona tal ferramenta?(por exemplo, comofunciona um algoritmo epor que conduz aoresultado procurado?

O aluno deve ser capaz não só de repetir ou refazer, mas também de ressignificar em situações novas,

de adaptar, de transferir seus conhecimentos para resolver novos problemas (p. 38).

Estratégias de aprendizagemPara descrever alguns modelos de aprendizagem o autor apoia-se na ideia de “contrato didático”:

“conjunto de comportamentos (específicos) do professor que são esperados do aluno, e conjunto de comportamentos

do aluno que são esperados pelo professor, que regulam o funcionamento da aula” (BROUSSEAU)

(...) uma situação de ensino pode ser observada através das relações que se movimentam entre

três pólos: professor, aluno, saber.

P

A S

Os três modelos de referência são:

Modelo normativo

(centrado no conteúdo)

Modelo incitativo

(centrado no aluno)

Modelo aproximativo

(centrado na construção do

saber pelo aluno)

P

A S

P

A S

P

A S

As diferenças entre os modelosNotemos que nenhum professor utiliza exclusivamente um dos modelos (p. 40);

(...) Três elementos da atividade pedagógica mostram-se privilegiados para diferenciar estes três

modelos e refletir acerca de suas colocações em prática:

• Que interpretação faz deles, como intervém, para fazer o quê, o que pedirá então a seus alunos?

O comportamento do professor diante dos erros de seus alunos

• Para que serve a avaliação, em que momentos intervém no processo de aprendizagem, sob que formas?

As práticas de utilização da avaliação

• O que é para ele um problema, quando utiliza problemas, em que momentos da aprendizagem, com que finalidade?

O papel e o lugar que o professor dá à atividade de resolução de problemas

A resolução de problemas e os modelos apresentadosAs posições a respeito da resolução de problemas em relação aos modelos apresentados são:

Modelo normativo

• O problema como critério de aprendizagem.

• Exemplo: o aluno pergunta-se se já não resolveu um do mesmo tipo.

Modelo incitativo

• O problema como motor da aprendizagem.

• Exemplo: as situações “naturais” são com frequência demasiado complexas parapermitir ao aluno construir por si mesmo as ferramentas.

Modelo aproximativo

• O problema como recurso de aprendizagem.

• Exemplo: é principalmente através da resolução de uma série de problemas escolhidospelo professor que o aluno constrói seu saber.

Opções a favor de uma seleçãoTais opções baseiam-se na pergunta “como os alunos aprendem?”.

CHARNAY, Roland

Os conhecimentos não se

empilham, não se acumulam.

A ação exerce um

papel na aprendizagem.

Só existe aprendizagem quando

o aluno percebe que existe um

problema para resolver ...

As produções do aluno são uma

informação sobre seu estágio de

conhecimento.

Os conceitos matemáticos

não estão isolados.

A interação social é um

elemento importante da

aprendizagem.

Que problemas e que ação pedagógica escolher?Inicialmente, uma explicitação: o termo “problema”, que tem sido utilizado, não se reduz à

situação proposta (enunciado-problema). Define-se melhor como uma tríade:

Situação

AlunoMeio

Só há problema se o aluno

percebe uma dificuldade (...) Há então,

a ideia de obstáculo a ser superado.

Uma determinada situação,

que “provoca problema”

para um determinado

aluno pode ser resolvida

imediatamente por outro

(e então não será percebida

por este último como

sendo um problema).

O meio é um

elemento do

problema,

particularmente as

condições didáticas

da resolução

(organização da aula,

intercâmbios,

expectativas explícitas

ou implícitas do

professor).

4. Os diferentes papéis do professor. BROUSSEAU, Guy

Os principais conceitos da Teoria das Situações Didáticas elaborada por Brousseau são:

a DESDIDATIFICAÇÃO (situações adidáticas) e a INSTITUCIONALIZAÇÃO.

(...) O professor realiza primeiro o trabalho inverso ao do cientista (...) procura situações que

dêem sentido aos conhecimentos que devem ser ensinados (p. 48);

(...) Podem ser vistas aqui as duas partes, bastante contraditórias, do papel do professor:

fazer viver o conhecimento, fazê-lo ser produzido por parte dos alunos como resposta razoável (...)

e, ainda, transformar essa “resposta razoável” em um “fato cognitivo extraordinário” (p. 49);

(...) Considerar a aprendizagem como uma modificação do conhecimento que o aluno deve

produzir por si mesmo e que o professor só deve provocar (p. 49).

Devolução do problema e “desdidatificação”

Conceito de desdidatificação

(...) O trabalho do professor consiste, então, em propor ao aluno uma situação de aprendizagem para

que elabore seus conhecimentos como resposta pessoal a uma pergunta, e os faça funcionar ou os

modifique como resposta às exigências do meio e não a um desejo do professor (p. 49).

Definição de devolução do problema

Denominamos “devolução” a atividade por intermédio da qual

o professor tenta alcançar os objetivos da desdidatificação (p. 49).

As etapas da devolução de uma situação adidática1ª Etapa

Abordagem puramente lúdica

• Os alunos nãocompreendem quealguns dos resultados dasituação são indesejáveis

2ª Etapa

Devolução de uma preferência

• Os alunoscompreendem bem qualé o efeito desejado,porém atribuem osresultados à fatalidadeou azar.

3ª Etapa

Devolução de uma responsabilidade e de uma causalidade

• Para aceitar a suaresponsabilidade no queestá acontecendo, oaluno deve considerar oque faz como umaescolha entre diversaspossibilidades.

4ª Etapa

Devolução da antecipação

• O aluno se encarregadas antecipações

5ª Etapa

Devolução da situação adidática

• As decisões competemao aluno

A institucionalização (1)

Conceito de institucionalização

A consideração “oficial” do objeto do ensino por parte do aluno, e da aprendizagem do aluno por parte

do professor, é um fenômeno social muito importante e uma fase essencial do processo didático:

este duplo reconhecimento constitui o objeto da INSTITUCIONALIZAÇÃO [grifo do autor] (p. 56).

a) Os conhecimentos

(...) O papel do professor também consiste em institucionalizar! (p. 56);

(...) Naturalmente, tudo pode ser reduzido à institucionalização. As situações de ensino tradicionais são

situações de institucionalização, porém sem que o professor se ocupe da criação do sentido: se diz o que se

deseja que o aluno saiba, explica-se a ele e verifica-se o que aprendeu (p. 56).

A institucionalização (2)b) O sentido

(...) O sentido também deve ser um pouco institucionalizado (p. 57);

(...) O mais difícil do papel do professor é dar um sentido aos conhecimentos e, sobretudo, reconhecê-lo

(p. 57).

c) Epistemologia

(...) Outro papel do professor é assumir uma epistemologia; por exemplo, os pedagogos preconizam a

busca de situações que permitam colocar as crianças em contato com problemas reais (p. 59);

(...) Ao mesmo tempo que ensina um saber, o professor recomenda como usá-lo (p. 59).

A institucionalização (3)d) O lugar do aluno

(...) O lugar do aluno na relação didática tem sido reivindicado – como o lugar da realidade –

através de diferentes abordagens – psicanalítica, psicológica, pedagógica, etc. (p. 64);

(...) A didática ingênua só permite propor ao aluno exercícios lógicos (matemáticos)

a respeito de componente escolhido (p. 65);

(...) O raciocínio do aluno é um ponto cego na didática “ingênua” , porque seu tratamento exige uma

modificação do contrato didático (p. 66).

e) A memória e o tempo

(...) O que o aluno tem em sua memória parece ser o objetivo final da atividade de ensino (p. 67);

(...) Transformar as lembranças em conhecimentos mobilizáveis é uma operação didática e cognitiva,

e não somente um ato individual de memorização.

Conclusão

BROUSSEAU, Guy

“O professor é uma espécie de ator. Atua segundo um texto escrito

em outro contexto e segundo determinada tradição” (p. 71)

“Um professor que simplesmente recita, não pode comunicar o essencial,

e se quisermos fazê-lo apresentar uma situação sem margem para recriá-la,

o ensino fracassaria.” (p. 71)

5. O sistema de numeração: um problema didático.

LERNER, Délia e SADOVSKY, Patricia

Questão principal do artigo

Como é que as crianças se apropriam do conhecimento do sistema de numeração? (p. 75)

Principais hipóteses levantadas pelas autoras

• (...) Acreditávamos que as crianças construíam desde cedo critérios para

comparar números;

• pensávamos que (...) alguma relação elas deveriam estabelecer entre a

posição dos algarismos;

• acreditávamos que as crianças detectavam regularidades ao interagir

com a escrita fragmentada da sequência numérica (p. 76).

LERNER,

Délia

SADOVSKY,

Patrícia

Resultados importantes

Este é maior, você não está

vendo que tem mais números?

O primeiro algarismo

é quem manda!

Alina afirma que 23 é maior que 5 pois

o primeiro têm dois algarismos,

enquanto que o segundo só tem um algarismo

(quantidade de algarismos e magnitude do número).

Lucila afirma que 21 é maior que 12 pois

o primeiro começa com dois,

enquanto que o segundo começa com um

(posição dos algarismos como critério de comparação).

É maior o número que contém

o algarismo mais alto,

independente do lugar em que

este esteja posicionado.

Yael afirma que 25 é maior que 31 pois o

primeiro tem 2 e 5 que são maiores que 3 e 1.

Alguns números importantes: o papel dos “nós”“A apropriação da escrita convencional dos números não segue a ordem da série numérica:

as crianças manipulam em primeiro lugar a escrita dos “nós”

– quer dizer, das dezenas, das centenas, unidades de mil ..., exatas –

e só depois elaboram a escrita dos números que se posicionam nos intervalos entre estes nós (p. 87)”.

O papel da numeração falada

“As crianças elaboram conceitualizações a respeito da escrita dos números, baseando-se nas informações

que extraem da numeração falada e em seu conhecimento da escrita convencional dos “nós” (p. 92)”.

Por favor, escreva no seu caderno

(utilizando algarismos) o número

setecentos e vinte e cinco.

700 25

Setecentos Vinte e Cinco

A justificativa verificada pelas autorasA hipótese segundo a qual a escrita numérica é o resultado de uma correspondência com a numeração falada,

conduz as crianças a resolver notações não-convencionais. Por que isto ocorre?

Porque a diferença da numeração escrita da numeração falada está em que esta última NÃO É POSICIONAL.

Assim, se a organização da numeração falada fosse posicional, a denominação oral correspondente a 4705,

por exemplo, seria “quatro, sete, zero, cinco”, no entanto, a denominação realmente utilizada para este

número explicita, além dos quatro algarismos quatro, sete e cinco, as potências de dez correspondentes a tais

algarismos (quatro mil setecentos e cinco) (p. 94).

Do conflito à notação convencional

As escritas produzidas pelas crianças para os números que se posicionam entre dois “nós” determinados

terão mais algarismos que os números que representam os mesmos “nós”:

elas escreveram convencionalmente, por exemplo, 2000 e 3000, porém dois mil setecentos e oitenta e dois

será representado como 200070082 (ou eventualmente 2000782) (p. 98).

Relações entre o que as crianças sabem e a organização posicional do sistema de numeração

Segundo afirmam as crianças, um número é maior que que outro “porque tem mais algarismos” ou

“porque o primeiro é quem manda” (...) Então, o que tem o sistema posicional que os outros não têm?

Justamente, a posicionalidade. Ela é a responsável pela relação quantidade de algarismos – valor do

número; dela depende também a validade do “o primeiro é quem manda” (p. 109).

Questionamento do enfoque usualmente adotado para ensinar o sistema de numeração

A modalidade que o ensino da notação numérica em geral assume pode caracterizar-se assim:

Sis

tem

a d

e N

um

eraç

ão Estabelecem-se metas definidas por série: na 1ª série trabalha-se com números menores que 100,

na 2ª série com números menores que 1000 e assim sucessivamente.

Uma vez ensinados os dígitos, se introduz a dezena como conjunto resultante do agrupamento de dez unidades, e só depois apresenta-se formalmente para as crianças a escrita do número 10.

A explicação do valor posicional de cada algarismo em termos de “unidades”, “dezenas”, etc.,

para os números de determinado intervalo da série considera-se requisito prévio para as operações.

Tenta-se “concretizar” a numeração escrita materializando o agrupamento em dezenas ou centenas.

Mostrando a vida numérica da aulaAs ideias que desde o princípio orientaram o trabalho didático das autoras são:

• Trabalhar com a numeração escrita e só com ela;

• Abordá-la em toda sua complexidade;

• Assumir que o sistema de numeração – enquanto objeto de ensino – passará por sucessivas definições e

redefinições antes de chegar a sua última versão (p. 116).

São quatro atividades básicas que constituem eixos ao redor dos quais organizam-se as situações

didáticas que as autoras propõe: operar, ordenar, produzir e interpretar (p. 118).

As autoras propõe por construir duas grandes categorias: a primeira abrange todas as situações didáticas

que de alguma maneira se vinculam à relação de ordem e a segunda abrange aquelas situações que estão

centradas nas operações aritméticas (p. 118/119).

Situações didáticas vinculadas à relação

de ordem

Produzir ou interpretar números (a ordem

como recurso)Buscar regularidades

Comparar números

Situações centradas nas operações matemáticas

Resolvendo operações e confrontando procedimentos

Reflexão acerca das operações para

descobrir “leis” do sistema de numeração

A sugestão das autoras

6. Dividir com dificuldade ou a dificuldade de dividir. SAIZ, Irma

Neste artigo a autora tenta mostrar algumas das dificuldades que enfrentam (e não

resolvem) muitas crianças de escolas primárias em relação ao assunto da divisão (p. 157);

(...) os resultados dos cálculos com as três primeiras operações (adição, subtração e

multiplicação) geralmente coincidem, não acontecendo o mesmo nos resultados

correspondentes à divisão (p. 157).

O capítulo apresenta três considerações muito significativas:

A respeito do

significado da divisão

Análise da

resolução de problemas

Uma análise

dos algoritmos utilizados

Algumas das perguntas que podem ser formuladas são, por exemplo:

• Qual é o sentido da divisão, ou seja, que significado atribuem os alunos a este conhecimento?

• Como reconhecem que um problema é de divisão, ou melhor, como concluem que formulando e resolvendo uma

divisão se resolve o problema, ainda que se trata de problemas em princípio tão diferentes?

• O que têm em comum estes problemas? Como funciona a divisão? Como se relaciona com as demais operações?

• Que outras propriedades a caracterizam e às vezes a distinguem das outras operações? (p. 161)

A respeito do significado da divisão

“Em geral, o ensino das operações matemáticas está baseado na comunicação de um

procedimento de cálculo associado posteriormente a um pequeno universo de problemas

que, supõe-se, “darão conta” do significado do conceito (p. 162)”.

SAIZ, Irma

“Porém, isolados de seu contexto, os algoritmos se convertem em respostas adquiridas para

perguntas futuras a respeito das quais não se sabe muito. Os algoritmos são aprendidos

sabendo-se que vão servir para resolver problemas, porém se desconhece de que problemas se

trata (p. 162)”.

A análise das respostas aos problemas propostos levam a autora a fazer as seguintes afirmações:

Análise dos problemas

Os alunos não atribuem significado ao algoritmosque aplicam, portanto não podem interpretar o que obtiveram nas diferentes

etapas do cálculo.

O algoritmo ensinado aparece como um puro

trabalho sobre os números, independente dos dados da

situação enunciada.

Eles mostram uma relação superficial com o

conhecimento. Colocam distância entre si e a

situação formulada.

As crianças carecem de recursos para reconhecer se sua solução é errada ou não.

Tudo isso é provocado por um ensino de resolução de

problemas reduzido a “adivinhar” qual é a

operação adequada e aplicar o algoritmo correspondente.

A resolução dos problemas (...) depende do significadoque o aluno atribui à situação

que lhe é proposta.

Neste item se fará referência às dificuldades na execução do algoritmo, encontradas nos problemas ou

nas “contas” apresentadas. As principais dificuldades encontradas foram:

Em relação ao algoritmo

Redução a um algarismo

Frequentemente, uma divisão de dois ou três algarismos é

resolvida erroneamente, utilizando um

algoritmo “inventado” que a

reduz a uma divisão de um

algarismo

Análise do resto

(...) a exigência de que os restos

sucessivos sejam menores que o

divisor não parece estar presente.

Dificuldades com o zero

Um exemplo onde as crianças

“riscam” o 0 de 104 e dividem por

14.

O algoritmo nos livros escolares

O algoritmo tradicional da

divisão passou a constituir-se na

atualidade em um exemplo de

transmissão oral. É muito difícil

encontrar nos livros os diferentes passos

do algoritmo.

Conclusão

SAIZ, Irma

“A atribuição de um significado a cada uma das

etapas do cálculo, em termos da situação de

referência, lhes permitirá resolver os problemas com

controle suficiente para determinar sua validade

(p. 183)”.

“As dificuldades dos alunos com os algoritmos,

frequentemente constatadas, deveriam obrigar os

professores a “enfrentá-las” na aula, analisá-las e

corrigí-las (p. 183)”.

“Não se pode deixar de lado com um

simples ‘Você deve exercitar mais as

divisões’ ou ‘prestar mais atenção’ ...

(p. 183)”.

7. Cálculo mental na escola primária. PARRA, Cecília

“Cálculo mental” é uma expressão que pode ter muitos significados, dividindo opiniões,

provocando dúvidas ou expectativas (p. 186);

• Com frequência, fazemos a oposição cálculo escrito e cálculo mental. Neste sentido, queremos

esclarecer que a concepção de cálculo mental que vamos desenvolver não exclui a utilização de

lápis e papel (p. 188);

• O primeiro costuma ser chamado de cálculo automático ou mecânico, e se refere à utilização de um

algoritmo ou de um material (ábaco, régua de cálculo, calculadora, etc.);

• O segundo é chamado cálculo pensado ou refletido. É em relação a este significado que vamos

considerar o cálculo mental;

• Para muitas pessoas, cálculo mental está associado a cálculo rápido (p. 189).

As principais hipóteses didáticas levantadas pela autora são:

1) As aprendizagens no terreno do cálculo mental influem na capacidade de resolver problemas

(não se pretende supervalorizar o cálculo mental);

2) O cálculo mental aumenta o conhecimento no campo numérico

(os alunos devem raciocinar sobre o cálculo efetuado);

3) O trabalho de cálculo mental habilita para uma maneira de construção do conhecimento que,

a nosso entender, favorece uma melhor relação do aluno com a matemática

(os alunos devem articular aquilo que sabem com o que devem aprender);

4) O trabalho de cálculo pensado deve ser acompanhado de um aumento progressivo do cálculo

automático (o cálculo mental deve propiciar a compreensão de algoritmos avançados).

Por que ensinar cálculo mental na escola primária?

As metas que a autora deseja que os alunos vislumbrem durante o processo são:

a) Memorização de cálculos simples;

b) Resolução de cálculos utilizando outros mais simples.

Os procedimentos mentais de resolução

Um exemplo de atividades de reflexão sobre os cálculos: fáceis e difíceis

Um dos primeiros requisitos é que os alunos comecem a tomar consciência dos

procedimentos que utilizam:

Que critérios usaram os alunos para classificar os cálculos (em fáceis e difíceis)?;

O que é fácil para alguns é difícil para outros;

As descobertas não são generalizadas de imediato;

A categoria dos fáceis mostra que os alunos reconhecem os pontos de apoio.

8. A geometria, a psicogênese das noções espaciais e

o ensino da geometria na escola primária. GÁLVEZ, Grecia

A autora inicia o capítulo fazendo um breve histórico das origens da geometria, fazendo um

retrospecto desde a Geometria Euclidiana (axiomática) e a evolução que a mesma sofreu.

Em seguida a autora fundamenta-se nos trabalhos de Piaget para explicar como a criança

constrói as noções de espaço e forma.

GÁLVEZ, Grecia

“Nos alunos jovens a ação sobre os objetos torna-se totalmente indispensável para a

compreensão, não só das relações aritméticas, mas também das geométricas” (p. 244)

A reflexão sobre o ensino da geometria na escola primária levou-nos a delimitar uma série de

problemas, que nos limitaremos a enunciar:

1. Promover a passagem da geometria de observação para a geometria dedutiva;

2. Compatibilizar o caráter variável, aproximado, dos resultados empíricos,

com o caráter único, exato, dos resultados conseguidos através do cálculo;

3. Garantir a compreensão dos procedimentos algoritimizados que os alunos devem aprender;

4. Coordenar a conceitualização dinâmica dos objetos geométricos com sua conceitualização

estática;

5. Organizar a passagem da linguagem natural, para referir-se às relações espaciais, até a

linguagem matemática sem rupturas;

6. Relacionar as aquisições no âmbito das relações espaciais com as relações numéricas.

O ensino da geometria na escola primária

Fundamentada em Brousseau, a autora afirma que:

Conclusão

GÁLVEZ, Grecia

“O ensino da geometria, em nossas

escolas primárias, se reduz a fazer com

que nossos estudantes memorizem os

nomes das figuras, os mapas

geométricos e as fórmulas que servem

para calcular áreas e volumes” (p. 250)

“Brousseau afirma que esta

aprendizagem da geometria puramente

cultural, baseada na obtenção dos nomes

e propriedades geométricos, constitui

um verdadeiro escândalo (...)” (p. 250)