cel099 – eletrÔnica analÓgica - ufjf.br€“-000-revisão-c... · na qual se define a derivada...
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2
Revisão de
Cálculo Vetorial
Conteúdo • Equação
3
Operadores Diferenciais
4
(x, y, z) , ,x y z x y z
1 1( , , z) , ,
z z
1 1(r, , ) , ,
r r r sen
x y z
ρ z
a a a
a a a
1 1
r r r sen
ra a a
Operador gradiente (símbolo: nabla) sobre um campo escalar 𝜓 retorna um campo vetorial:
2 2 22
2 2 2
2 22
2 2 2
22 2
2 2 2 2 2
(x, y, z)x y z
1 1( , , z)
z
1 1 1(r, , ) r sen
r rr r sen r sen
Operador Laplaciano (símbolo: nabla-dois) sobre um campo escalar 𝜓 retorna um campo escalar:
Retangular Polar Esférico
Retangular Polar Esférico
Operadores Diferenciais
5
yx z
z
2
r
2
AA A
x y z
( A ) A A1 1
z
A(A sen )(r A )1 1 1
r r sen r senr
A
A
A
Operador divergente (símbolo: nabla-ponto) sobre um campo vetorial A retorna um campo escalar:
y yz x z xy z
z zz
rr
A AA A A A
y z z x x y
A A ( A ) AA A1 1
z z
(A sen ) (rA )A A1 1 1
r sen r sen r
1
xA a a a
A a a a
A a a
r(rA ) A
r r
a
Operador rotacional (símbolo: nabla-xis) sobre um campo vetorial A retorna um campo vetorial:
Retangular Polar Esférico
Retangular Polar Esférico
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Operadores Diferenciais Significado gráfico em R2
z (x, y)
(x, y) A
contornos do campo escalar
campo vetorial
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
6
z
0 A
divergente neste ponto (“sink”)
Operadores Diferenciais Significado gráfico em R2
7
z
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
2
4
6
8
10
12
14
16
18
z (x, y)
(x, y) B
contornos do campo escalar
campo vetorial
0 B
divergente neste ponto (“source”)
Operadores Diferenciais Significado gráfico em R2
8
-2-1.5
-1
-0.50
0.51
1.52
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
z (x, y)
(x, y) B
mesmo campo escalar
campo gradiente associado
divergência e laplaciano (escalares)
2 0 B
Operadores Diferenciais Significado gráfico em R2
9 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
y
A (x, y)
A (x, y)
x
y
A a
a
k ,
k 0
zA a
campo vetorial
rotacional neste ponto
Operadores Diferenciais Significado gráfico em R2
10 -1
-0.8-0.6
-0.4-0.2
00.2
0.40.6
0.81
-1
-0.5
0
0.5
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
10
20
30
40
50
60
x
y
A (x, y)
A (x, y)
x
y
A a
a
k ,
k 0
zA a
campo vetorial
rotacional neste ponto (vetor)
Operadores Diferenciais Significado gráfico em R3
11
0 A 0 Ana origem na origem
12
( )
( )
( )
A B A B
A B A B
Propriedades distributivas:
( )
Gradiente do produto de campos escalares:
( )
( ) ( ) ( )
A A A
A A A
Divergente e rotacional do produto de um campo escalar e um campo vetorial:
Gradiente de um produto escalar:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
A B A B B A
A B B A
Notação de Feynman:
A
B
A i
i
B i
i
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )x
( ) ( )x
A B B A B A
A B A B A B
AA B B
BA B A
Divergente e rotacional de um produto vetorial:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
A B A B A B
A B A B B A B A A B
na qual se define a derivada direcional na direção de A vezes seu módulo:
A ( ) A A
Identidades de Cálculo Vetorial Supondo dois campos escalares (𝜓 e 𝜙) e dois campos vetoriais (A e B):
13
( ) 0
O rotacional do gradiente de qualquer campo escalar sempre resulta no vetor
nulo:
( ) 0 A
O divergente do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero:
Identidades de Cálculo Vetorial Supondo um campo escalar 𝜓 e um campo vetorial A:
Identidades com derivadas segundas:
2 ( )
O Laplaciano de um campo escalar pode também ser definido como o divergente
do gradiente:
2( ) ( ) A A Α
O rotacional do rotacional de um campo vetorial segue a identidade:
na qual o Laplaciano vetorial é definido, em coordenadas retangulares, como:
2 2 2 2
x y zA A A x y zΑ a a a
14
Teoremas de Cálculo Vetorial
Supondo um campo vetorial A tridimensional, que atravessa uma superfície curva contínua fechada de fronteira S (2D) que engloba um volume V (3D), e um campo vetorial n de módulo unitário, normal à superfície de S e apontando para fora em todos os pontos
S V
dS dV A n A
Teorema da Divergência
O fluxo do campo A através da superfície fechada S é igual ao somatório de todas as fontes que divergem/convergem do/para o interior de S.
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Teoremas de Cálculo Vetorial
Supondo um campo vetorial A tridimensional, que atravessa uma superfície contínua curva S (2D), que possui uma fronteira curva (1D) C orientada no sentido positivo (anti-horário com relação ao campo normal n de S)
C Sd ( )d A r A S
Teorema de Stokes
O valor integral do campo A sobre a fronteira C da superfície S é igual ao fluxo do rotacional do mesmo campo A através de S
S