códigos de grupo para o canal gaussiano · códigos de grupo para o canal gaussiano por otacílio...

Universidade Federal da ParaíbaCentro de Ciências Exatas e da Natureza

Programa de Pós-Graduação em MatemáticaCurso de Mestrado em Matemática

Códigos de Grupo para o CanalGaussiano

por

Otacílio Batista de Almeida Filho

sob orientação do

Prof. Dr. Antônio de Andrade e Silva

Dissertação apresentada ao Corpo Do-

cente do Programa de Pós-Graduação

emMatemática - CCEN - UFPB, como

requisito parcial para obtenção do tí-

tulo de Mestre em Matemática.

Outubro/1997

João Pessoa - Pb

Códigos de Grupo para o CanalGaussiano

por

Otacílio Batista de Almeida Filho

Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Programa de Pós-Graduação em Mate-

mática - CCEN - UFPB, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em

Matemática.

Área de Concentração: Álgebra

Aprovada por:

Prof. Dr. Antônio de Andrade e Silva

Prof. Dr. João Bosco Nogueira

Prof. Dr. João Bosco Batista Lacerda

Universidade Federal da ParaíbaCentro de Ciências Exatas e da Natureza

Programa de Pós-Graduação em MatemáticaCurso de Mestrado em Matemática

Outubro/1997

ii

Agradecimentos- A Deus, o Grande Arquiteto do Universo, pois sem sua presença Onipotente, Oni-

sciente e Onividente em cada um de nós, nada seria possível.

- Ao meu orientador e amigo Prof. Dr. Antônio de Andrade e Silva pela orientação

eficaz neste trabalho, pela compreensão, pelo incentivo e pela valiosa colaboração

para concretização deste meu sonho.

- Aos professores do Departamento de Matemática da UFPB Campus I.

- À UEPB e à CAPES pelo suporte financeiro para realização do curso de mestrado.

- Ao Ex-Reitor da UEPB Prof. Itan Pereira e ao Magnifico Reitor, da mesma insti-

tuição, Prof. Sebastião Guimarães Vieira, pela colaboração.

- Aos colegas do Departamento de Matemática da UEPB pelo incentivo e por as-

sumirem minhas atividades acadêmicas durante meu afastamento.

- Aos colegas do Curso de Mestrado e em especial a Osmar e João “in memoriam”.

- A todos os Irmãos Fraternos e aos Irmãos em Cristo, pelo constante incentivo.

- À minha mãe Edith, ao meu pai Otacilio, a minha sogra Alzira, ao meu sogro Pedro

“in memoriam”, por tudo que eles fizeram em meu favor, a minha cunhada Sônia,

pela acolhida em João Pessoa e aos demais familiares.

- À minha esposa Helena e meus filhos Márcio e Marcus pelo apoio, pelo constante in-

centivo, pela compreensão do motivo de tê-los privado da minha presença por vários

momentos importantes de suas vidas e por me esperarem sempre, carinhosamente,

de braços abertos.

iii

Dedicatória

À minha esposa

Helena e

aos meus filhos

Márcio e Marcus.

iv

Sumário

1 Introdução vi

1.1 Histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

1.2 Descrição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

2 Grupos e Códigos 1

2.1 Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2.2 Códigos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Representação de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Código de Grupo para o Canal Gaussiano 15

3.1 Códigos de Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Existência de Códigos de Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Conjuntos de Sinais Casados 22

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.2 Conjunto de Sinais Casados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5 Grupos Geradores de Códigos Geometricamente Uniformes 36

5.1 Grupos Geradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.2 Matriz de Configuração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.3 Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Referências Bibliográficas 53

v

Capítulo 1

Introdução

1.1 Histórico

O modelo do sistema de comunicações, introduzido por Shannon [15], chamado de

Canal Gaussiano, é aquele em que a cada T segundos uma dasM mensagens, igualmente

prováveis, é apresentada ao transmissor para transmissão. O transmissor contém um

código de bloco com M palavras-código. Cada palavra-código é uma seqüência de n ≈2WT números reais, a qual pode ser considerada como um ponto ou um vetor

xi = (xi1, xi2, . . . , xin), i = 1, 2, . . . ,M,

no espaço Euclidiano Rn, chamado espaço de sinais. Quando a mensagem xi é apresentada

para transmissão, impulsos de amplitudes

xi1, xi2, . . . , xin

são sucessivamente sinalizados a uma taxa de 2W amostras por segundos como entradas

para um filtro passa-baixa ideal de faixa W . À saída do filtro, um sinal de faixa limitado,

é transmitido. A forma de onda recebida, consistindo da saída do filtro mais um ruído

Gaussiano branco com densidade espectral (unilateral) de potência N0, é sincronicamente

amostrado na taxa de Nyquist para produzir a cada T segundos um vetor recebido

zi = (zi1, zi2, . . . , zin) ∈ Rn,

isto é, quando xi é transmitido, o sinal recebido é representado por um vetor zi = xi+y,

onde y é um vetor ruído, cujas componentes são variáveis aleatórias Gaussianas indepen-

dentes de média zero e variança σ2 = N0. Um conjunto de sinais é qualquer suboconjunto

vi

finito e discreto de Rn. Os elementos de um conjunto de sinais serão chamados de palavras-

còdigo.

Definição 1.1 Um [M,n]-código de bloco de mesma energia para o canal Gaussiano é

uma coleção

C = {x1, . . . ,xM}

de vetores distintos de Rn todos com o mesmo comprimento, gerando Rn como um espaço

vetorial e n ≤M .

O comprimento do vetor xi serve para definir um importante parâmetro P , chamado

a potência média do código que se expressa através da equação

nP = N (xi) ,

onde N (xi) é a norma quadrática usual de xi. Seus extremos estão sobre uma esfera de

raio√nP

centrada na origem de Rn.

Associada com cada palavra-código xi ∈ C está uma região Vi do espaço de sinais Rn

chamada região de máxima verossimilhança ou região de Voronoi e é definida por

Vi = {x ∈ Rn : N (x− xi) ≤ N (x− xj) , j 6= i} ,

isto é, Vi é o conjunto de todos os pontos em Rn mais próximo de xi do que qualquer

outra palavra-código. Estas regiões são cones convexos de lados planos com vértices na

origem 0. O interior das regiões de Vi e Vj são disjuntas para i 6= j. Além disso,

MSi=1

Vi = Rn.

A capacidade de um código esférico C para comunicação sobre o canal Gaussiano

é bem conhecida (cf. [20]). Se as palavras de um código são apresentadas igualmente

prováveis e independentes para a transmissão sobre o canal, a taxa de comunicação é

R =α

nlogM

unidades naturais por segundo, onde α (medido em quantidades por segundo) é a taxa

na qual as componentes do vetor são transmitidas. O receptor, o qual minimiza a prob-

abilidade de erro médio (cf. [20]), funciona afirmando que a palavra-código xi ∈ C

vii

foi transmitida quando o vetor recebido zi ∈ Vi, i = 1, . . . ,M, (se o vetor recebido zi

encontra-se na fronteira de algum Vi, sua probabilidade de erro médio é zero). Quando

xi foi transmitida a probabilidade de erro médio do receptor ótimo é:

Pi =1

(2πσ2)n/2

Z· · ·Z

Ui

exp¡−N (y− xi) /σ2¢ dy1 · · · dyM ,

onde Ui = Rn − Vi. A probabilidade de erro médio é:

Pe =1

M

MXi=1

Pi.

No estudo das propriedades geométricas do código de bloco de mesma energia é con-

veniente lidar somente com palavras-código de comprimento unitário, isto é,

P =1

n.

Neste caso, para computar Pe associada com o uso do código, devemos escalar todas as

palavras-códigos por um fator√nP .

Assim, salvo menção explicita em contrário, todas as palavras-código de um código de

bloco de mesma energia são de comprimento unitário.

Códigos de grupo para o canal Gaussiano foi generalizado por Forney em [7] para

uma constelação de sinais qualquer. Em [11] mostrou que códigos de grupo para o canal

Gaussiano, a menos de translações, são conjuntos de “sinais casados” com grupos. Em

[1] Elia e Biglieri apresentaram um algoritmo construtivo para exibir realmente o grupo

casado com uma “constelação uniforme.”

1.2 Descrição

No presente trabalho investigaremos a classe de código de bloco de mesma energia que

são códigos de grupo. Uma das vantagens de tal classe é que todas as palavras-códigos de

um código de grupo são completamente equivalentes em qualquer aspecto, exceto quanto

a sua localização absoluta no espaço. Neste trabalho não serão tratados alguns aspectos

da teoria de códigos de grupos tais como aspectos probabilísticos, o problema do vetor

inicial e algoritmo de decodificação, nos deteremos apenas ao estudo da construção de

códigos de grupos para o Canal Gaussiano.

viii

A abordagem que faremos nos quatros capítulos restantes, ficará disposta da forma

seguinte:

No Capítulo 2, faremos uma pequena revisão sobre Teoria de Grupos dando ênfaze à

Teoria de Representações, revisaremos alguns tópicos sobre Módulos e, finalizando, uma

abordagem retrospectiva sobre Códigos de Grupos. Nesta abordagem apresentaremos

algumas definições e resultados que serão úteis para o desenvolvimento deste trabalho.

No capítulo 3, definimos uma classe de códigos de “grupos,” e faremos um estudo

detalhado de sua propriedade, considerando o problema de construção de códigos de

grupos e a otimização na resolução das dificuldades de alguns problemas. Definiremos

equivalência para códigos de grupo e veremos que todo código de grupo é equivalente

a uma soma direta de códigos de grupos gerados por representações irredutíveis de um

grupo finito associado com o código. Não trataremos, o problema do vetor inicial, isto é,

o problema de maximização da distância mínima entre as palavras-códigos tendo em vista

que, além de ser um problema ainda em aberto, pode ser formulado como um problema

de programação linear e portanto pode ser resolvido numericamente usando métodos

computacionais.

No Capítulo 4, trataremos dos conjuntos de sinais casados a grupos fazendo a sua

caracterização, mostrando alguns resultados relevantes e provando que os únicos conjunto

de sinais que casam-se a grupos cíclicos ZM são os códigos de grupos.

No Capítulo 5, trataremos dos grupos geradores de conjunto de sinais esféricos, ap-

resentado a definição de grupos geradores e a definição de matriz de configuração de

um conjunto de sinal esférico geometricamente uniforme e, finalmente, apresentaremos

um algoritmo que nos permite determinar os grupos geradores de um conjunto de sinais

esféricos.

ix

Capítulo 2

Grupos e Códigos

2.1 Grupos

Nesta seção apresentamos definições e resultados básicos sobre a teoria de grupos,

necessárias para o entendimento deste trabalho. Para maiores detalhes, (cf. [9]).

Um grupo é um conjunto não vazio G munido de uma operação binária, G × G −→G, (g, h) 7−→ g ∗ h, tal que as seguintes propriedades valem:

1. g ∗ (h ∗ k) = (g ∗ h) ∗ k, para quaisquer g, h, k ∈ G.

2. Existe e ∈ G tal que g ∗ e = e ∗ g = g, para todo g ∈ G.

3. Para todo g ∈ G, existe h ∈ G tal que g ∗ h = h ∗ g = e.

O elemento em (2.) é único e é chamado de elemento identidade de G, enquanto o

elemento h em (3.) é único e é chamado de elemento inverso de g. Denotamos o elemento

inverso de g por g−1. Se em um grupo G a propriedade:

4. g ∗ k = k ∗ g, para quaisquer g, k ∈ G é verificada, dizemos que G é um grupo

comutativo.

Um subconjunto H de um grupo G é um subgrupo de G, denotado por H ≤ G, se

1. e ∈ H.

2. Para quaisquer h, k ∈ H tem-se h−1 ∗ k ∈ H.

1

Para simplificar, denotamos por gh o produto g ∗ h dos elemenos g e h pertencentes aum grupo qualquer.

Sejam G e K dois grupos quaisquer. O conjunto

G×K = {(g, k) : g ∈ G, k ∈ K}

com a operação (g, k) (g0, k0) = (gg0, kk0), para todo g, g0 ∈ G e k, k0 ∈ K, é um grupo

chamado produto direto externo de G por K. Note que esta definição pode ser estendida

de maneira natural a um produto qualquer de grupos. Um homomorfismo de um grupo

G em um grupo K é um mapeamento que preserva as operações de grupos. Denotamos

por

Hom(G,K) = {ϕ : G −→ K : ϕ è um homomorfismo}.

Um isomorfismo é um homomorfismo que também é uma bijeção. Dizemos que dois grupos

G e K são isomorfos, G ' K, se existe um isomorfismo de G em K. Intuitivamente, dois

grupos isomorfos são iguais, a menos de rótulos. Denotaremos por

Iso (G,K) = {ϕ : G −→ K : ϕ è um homomorfismo} .

QuandoG = K não é difícil verificar que Iso (G,G) é chamado de grupo dos automorfismos

de G e denotamos por Aut (G). Neste caso, Aut (G) é um subgrupo do grupo simétrico

de G, que denotamos por

SG = {ϕ : G −→ G : ϕ è uma bijeão}

Uma partição de um conjunto X é um conjunto

P (X) = {Y : Y ⊂ X,Y 6= ∅}

tal que as seguintes propriedades valem:

1. Y1 ∩ Y2 = ∅,∀Y1, Y2 ∈ P (X) , Y1 6= Y2.

2. X = ∪Y ∈P (X)

Y .

Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Dado g ∈ G, o conjunto

gH , {gh;h ∈ H}

2

é chamado a classe lateral à esquerda de H em G determinada por g. Da mesma forma,

podemos definir a classe lateral à direita Hg de H em G. O conjunto de todas as classes

laterais à esquerda de H em G formam uma partição de G por H, que denotamos por

G/H.

Dados g,K ∈ G, dizemos que g é congruente a k módulo H se g−1k ∈ H, que

denotamos por g ≡ k (modH). Não é difícil mostrar que g ≡ k (modH) é uma relação

de equivalência e que a classe de equivalência determinada por g é igual a classe lateral à

esquerda gH, o elemento g é chamado um representante da classe de equivalência.

O número de elementos de um conjunto G é chamado de cardinalidade de G e o

denotamos por |G|. O expoente de um grupo G é o menor inteiro positivo m tal que

gm = e, para todo g ∈ G.

No caso em que G é um grupo, a cardinalidade é chamada de ordem. O número de

classes laterais (à esquerda ou à direita) de H em G é chamado o índice de H em G,

denotado por [G : H]. Note que G/H é um grupo com a operação gHkH = gkH, para

todos g, k ∈ G se,e somente se, H é um subgrupo normal de G ( H é um subgrupo normal

de G, isto é, H C G, se ghg−1 ∈ H, para todo h ∈ H e g ∈ G ). Neste caso, G/H é

chamado o grupo quociente de G por H. Note que, se G é um grupo de ordem finita,

então um subconjunto não vazio H de G é um subgrupo se, e somente se, H é fechado

com relação à operação de G.

Seja G um grupo e H um subgrupo de G. Um subconjunto [G/H] de G tal que as

propriedades 1. e 2. abaixo valem, é chamada um sistema de classes laterais à esquerda

de H em G.

1. Se x, y ∈ [G/H] e x 6= y, então x−1y /∈ H.

2. Dado g ∈ G, existe x ∈ [G/H] tal que x−1g ∈ H.

Das propriedades 1. e 2. acima temos que, todo elemento g ∈ G pode ser escrito de

modo único na forma g = hx, onde x ∈ [G/H] e h ∈ H.

Sejam H C G e [G/H] um sistema de representantes da classe lateral à esquerda de

H em G. Como duas classes laterais à esquerda são iguais ou disjuntas, segue-se que

xH = gH, pois x ∈ gH. Note que, se h ∈ H, então o representante y da classe lateral

ghH é igual a x, pois gH = xH = ghH = yH.

3

Dados x e y ∈ [G/H], é claro que xy ∈ G e, assim, existem únicos z ∈ [G/H] eh ∈ H tal que xy = zh. É fácil ver que, h é univocamente determinado por x e y,

por isso denotamos por hx,y, para todos x, y ∈ [G/H]. Em particular, quando hx,y = e,

para quaisquer x, y ∈ [G/H], temos que [G/H] é um subgrupo de G. De fato, dados

x, y ∈ [G/H], temos que xy = zhx,y = z ∈ [G/H] é fechado com relação à operação de

G. Sejam x ∈ [G/H] e y ∈ [G/H] tal que x−1H = yH, isto é, xy ∈ H. Como e ∈ [G/H]temos que xy = ehx,y = e, logo x−1 ∈ [G/H].Como H C G temos que [G/H]H é um subgrupo de G. Por outro lado, todo ele-

mentode G é da forma xh, com x ∈ [G/H] e h ∈ [G/H]. Assim, G = [G/H]H. Como

elementos distintos de [G/H] pertencem a classes laterais distintas de H em G segue-

se que [G/H] ∩ H = {e}. Neste caso, dizemos que G é fatorial sobre H. Chamamos

G = [G/H]H a decomposição de classes laterais de G, pois

G =[

g∈[G/H]gH = [G/H]H.

Um grupo G é uma extensão de um grupo H 0 por um grupo K se existe um subgrupo

normal H de G tal que H ' H 0 e G/H ' K.

Teorema 2.1 Sejam G um grupo finito e H ≤ G. Então |H| divide |G|. ¥

Teorema 2.2 Seja G um grupo finito, |G| = pkm, onde (p,m) = 1 e k ≥ 1. Então,

1. ∀r,∈ 1 ≤ r ≤ k existe H subgrupo de G tal que |H| = pr;

2. Quaisquer dois subgrupos H e K de G de ordem igual a pksão conjugados em G;

3. O número np de subgrupos de G de ordem pk é np ≡ 1 (mod p) e np | m. ¥

Seja W um conjunto qualquer não vazio. Então uma medida de distância sobre W , é

um mapeamento

d :W ×W −→ R+ = {x ∈ R, x ≥ 0}

tal que as seguintes propriedades valem:

1. d (g, h) ≥ 0,

2. d (g, h) = 0 se, e somente se, g = h,

3. d (g, h) = d (g, h).

4

Por intermédio de d, podemos definir uma medida de distância aditiva sobreWm como

a soma das distâncias das componentes, isto é, dados g, h ∈Wm temos que

d (g, h) ,mXi=1

d (gi, hi) .

A definição de uma medida de distância não depende do conjunto W ser um grupo.

No entanto, se W = G é um grupo comutativo e d (g, h) = d (e, g−1h) para quaisquer

g, h ∈ G, então a medida de distância d sobre G é chamada invariante por translação.

Note que se d é uma medida de distância invariante por translação, então a medida de

distância aditiva obtida a partir de d é invariante por translação. Uma condição necessária

para uma medida de distância ser invariante por translação sobre um grupo G é que o

perfil de distância de todo elemento g ∈ G, isto é,

D (g) = {d (g, h)}h∈G

com suas multiplicidades, não dependa de g.

2.2 Códigos

Nesta seção apresentaremos algumas definições e resultados sobre a Teoria de Codifi-

cação que são necessárias para o entendimento do problema a ser estudado. Uma referência

excelente sobre códigos é MacWilliams e Sloane [13].

Um anel é um conjunto não vazio A munido com duas operações binárias adição

(x, y) 7−→ x+ y e multiplicação (x, y) 7−→ xy tal que as seguintes propriedades valem:

1. A é um grupo comutativo com relação à operação adição.

2. x(yz) = (xy)z, para quaisquer x, y, z ∈ A.

3. x(y + z) = xy + xz, (x+ y)z = xz + yz, para todos x, y, z ∈ A.

Se em um anel A as propriedades:

4. Existe 1 ∈ A tal que x1 = 1x = x, para todo x ∈ A e

5. xy = yx, para quaisquer x, y ∈ A.

são verificadas, dizemos que A é um anel comutativo com unidade.

5

Um anel A cujos elementos não nulos formam um grupo com relação à multiplicação é

chamado um anel de divisão. Se, além disso, A é um anel comutativo, então A é chamado

um corpo.

Seja A um anel comutativo com unidade. Um módulo V sobre A é um grupo co-

mutativo aditivo equipado com um mapeamento A × V −→ V, (x, v) 7−→ xv, tal que as

seguintes propriedades valem:

1. x (yv) = (xy) v, para quaisquer x, y ∈ A e v ∈ V .

2. x (u+ v) = xu+ xv, para quaisquer x ∈ A e u, v ∈ V .

3. (x+ y) v = xv + yv, para quaisquer x, y ∈ A e v ∈ V .

4. 1v = v, para todo v ∈ V .

Note que , se A é um corpo, então um módulo sobre A é um espaço vetorial sobre A.

Um subconjunto de um módulo V sobre A é um submódulo de V se

1. Para quaisquer w,w0 ∈W tem-se w − w0 ∈W .

2. Para todo x ∈ A e w ∈W tem-se xw ∈W .

Seja X um subconjunto de um módulo V sobre A. Seja

A = {W :W è submòdulo de V e X ⊂W} .

Então,

hXi =\W∈A

W

é o menor submódulo de V contendo X e será chamado de submódulo gerado por X.

Seja V um módulo sobre A. Se v ∈ V pode ser escrito como v =nPi=1

xivi, xi ∈ A e

vi ∈ V , então dizemos que v é uma combinação linear dos elementos v1, v2, ..., vn sobre A.

Neste caso,

hv1, v2, ..., vni =(

nXi=1

xivi : xi ∈ A

).

Quando existe um subconjunto finito X de um módulo V sobre A tal que V = hXi,dizemos que V é um módulo finitamente gerado.

6

Uma seqüência finita v1, v2, ..., vn de elementos de um módulo V sobre A é chamada

linearmente independente se para quaisquer x1, x2, ..., xn ∈ A,

nXi=1

xivi = 0 =⇒ x1 = x2 = ...xn = 0.

Caso contrário, dizemos que a seqüência é linearmente dependente. Um subconjunto X de

ummódulo V sobre A é chamado linearmente independente se qualquer subconjunto finito

de elementos de X é linearmente independente. Caso contrário X é chamado linearmente

dependente.

Um subconjunto B de um módulo V sobre A é chamado uma base se as seguintes

propriedades valem:

1. V = hBi

2. B é um conjunto linearmente independente.

Um módulo V sobre A é chamado um módulo livre se V possui uma base.

O espaço de seqüência FI é o conjunto de todas as seqüências c = (ci)i∈I, cujos elemen-

tos ci pertencem ao alfabeto F, onde o conjunto de índices I é um subconjunto não-vazio

do conjunto dos inteiros (I ⊆ Z). Quando I = {i : 1 ≤ i ≤ n}, denotamos FI por FnUm código de bloco C de comprimento n sobre o alfabeto F é qualquer subconjunto

não-vazio do conjunto Fn de todas as n-uplas c = (ci)ni=1. A dimensão do código C é o

número k = logF |C|. Note que k não é necessariamente inteiro. Um código de bloco C decomprimento n e dimensão k é chamado um [n, k]-código. A taxa do código é o número

R = knsímbolos por bloco. Observe que |C| é limitado, pois 1 ≤ |C| ≤ |F|n.

A distância de Hamming dH (c, c0) entre duas palavras c, c0 ∈ Fn é o número de com-

ponentes onde elas diferem:

dH (c, c0) = |{i ∈ I : ci 6= c0i}| .

Se |C| ≥ 2, então a mínima distância de Hamming de C é definida por,

dH (C) , min {dH (c, c0) ; c, c0 ∈ C, c 6= c0} .

Note que 1 ≤ dH (C) ≤ n. Quando C = {0} é conveniente definir dH (C) = ∞. Umcódigo de bloco C de comprimento n com dimensão k e mínima distância de Hamming

7

d = dH (C) é chamado um [n, k, d]-código. Um [n, k, d]-código tal que d = n − k + 1 é

chamado um código separável à máxima distância ou simplesmente [n, k, d]-MDS.

Quando F é um grupo, um código de comprimento n sobre F é de grupo se ele é um

subgrupo do grupo Fn. Quando F é um anel comutativo com unidade, um código de

comprimento n sobre F é linear se ele é um submódulo do módulo Fn. Em particular,

se F = Fq é o corpo de Galois com q = pt, onde p é um número primo, um código de

comprimento n sobre Fq é “quasilinear” se ele é um subespaço vetorial do espaço vetorial

Fnp e é linear se ele é um subespaço vetorial do espaço vetorial Fnp e, neste caso, a dimensão

do código é um número inteiro.

Seja C = [n, k, d] um código linear sobre Fq. Então dada uma base {c1, c2, ..., ck} deC a imersão C : Fk −→ Fn dada por,

C ((u1, u2, ..., uk)) =kXi=1

uici =

ÃkXi=1

uici1, ...,kXi=1

uicin

!,

onde ci = (ci1, ci1, ..., cin) , 1 ≤ i ≤ k, é um codificador para o código C (usamos a mesma

notação, tanto para o código quanto para o codificador). A k × n matriz M =(cij) que

descreve o mapeamento linear C é chamado uma matriz geradora do código. Assim, C

consiste de qk combinações lineares uM, onde u =(u1, u2, ..., uk) ∈ Fkq é chamada umaseqüência de informação ou mensagem.

O peso de Hamming ωH (c) de uma palavra-código não nula c ∈ C é o número de

componentes diferentes de zero, portanto

dH (c, c0) = ωH (c, c

0) .

Assim, para um código linear C sobre Fq

dH (c, c0) = dH (c− c0,0) = ωH (c, c

0) , ∀c, c0 ∈ C, c 6= c0.

SejaC = [n, k, d] um código linear sobre Fq. A “esfera de Hamming” de raio ρ = [(d−1)/2]e centro c ∈ C é o conjunto de todas as palavras r ∈ Fnq tal que ωH(r− c) ≤ ρ, isto é,

Eρ =©r ∈ Fnq : ωH(r− c) ≤ ρ

ªe, neste caso, o código C pode corrigir até ρ erros, onde [x] é o maior inteiro menor ou

igual a x.

Um algoritmo de decodificação pelo vizinho mais próximo para um código C é aquele

que decodifica a palavra-código de C mais próxima de r do que qualquer outra palavra

8

código de C, isto é, dada uma palavra r ∈ Fnq , existe c ∈ C tal que dH(c, r) ≤ dH(c, r),

para todo c ∈ C, com c 6= c.Dois códigos C1 e C2 com parâmetros [n, k1, d1] e [n, k2, d2] são comparáveis se:

1. eles têm a mesma taxa (R1, R2), ou

2. eles têm a mesma distância mínima (d1 = d2), ou

3. R1 > R2 e d1 > d2.

Um código C1 é melhor do que um código comparável C2 se os dois códigos satisfazem

1. e d1 > d2, ou satisfazem 2. e R1 > R2, ou satisfazem 3.

Um código C em Fnq é um código cíclico se c = (c1, c2, . . . , cn) ∈ C, então c =

(cn, c1, c2, . . . , cn−1) ∈ C. É conveniente representar a palavra-código c = (c1, c2, . . . , cn) ∈C pelo polinômio c(x) = c1 + c2x + · · · + cnx

n−1 no anel Rn(x) = Fq[x]/(xn − 1). Entãoxc(x) representa um deslocamento cíclico da palavra-código c e, assim, um código cíclico

linear é representado por um ideal em Rn(x). Portanto, C pode ser gerado por um único

polinômio g(x), chamado polinômio gerador do código.

2.3 Representação de Grupos

Nesta seção apresentaremos algumas definições e resultados clássicos sobre Teoria de

Representação necessários para o entendimento dos próximos capítulos. Uma excelente

referência para estudar representação de grupo é Lomont [12].

A norma quadrática ou peso Euclidiano N(x) = kxk2 de um vetor x ∈ Rn é a soma

dos quadrados de suas componenetes, isto é, N(x) = (x,x) = xxt, onde (x,x) é o produto

interno de x por x. A distância Euclidiana quadrática entre dois vetores x,y ∈ Rn é a

norma quadrática de sua diferença, isto é, d2(x,y) = N(x− y). Isto implica que Rn está

equipado com uma medida de distância aditiva, a qual é invariante por tranaslação.

Uma isometria ou um movimento rígido de Rn é um mapeamento ϕ : Rn −→ Rn que

preserva distância, isto é,

N (ϕ(x)− ϕ(y)) = N(x− y),

para todos x,y ∈ Rn. Não é difícil verificar que o conjunto de todas as isometrias de

Rn, denotado por Isom(Rn), é um subgrupo do grupo simétrico SRn. Uma translação por

9

um vetor x0 ∈ Rn é um mapeamento tx0 : Rn −→ Rn dado por tx0(x) = x + x0, para

todo x ∈ Rn. Uma translação é completamente determinada quando sabemos seu valor

na origem, isto é, tx0(0) = x0. É claro que tx0 ∈ Isom(Rn), para todo x0 ∈ Rn. O grupo

das translações de Rn, denotado por T (Rn), é subgrupo normal de Isom(Rn). Além disso,

T (Rn) é isomorfo ao grupo aditivo dos vetores de translações x0 ∈ Rn.

Uma transformação linear T : Rn −→ Rn é dita ortogonal se ela preserva o produto

interno, isto é,

(T (x), T (y)) = (x,y) ,

para todo x,y ∈ Rn. É claro que T ∈ Isom(Rn). O conjunto das transformações

ortogonais de Rn, denotado por O(Rn) são rotações em torno da origem e/ou reflexões

sobre o hiperplano passando pela origem (um hiperplano H em Rn é uma translação de

um subespaçoW de dimensão n− 1). Seja R a matriz que representa T na base canônicapara Rn. Então

nPk=1

rkirkj = δij, pois RRt = In. Logo, cada coluna deR tem comprimento

igual a 1 e são perpendiculares entre si, formando uma base ortonormal para Rn. Além

disso, se det(R) = 1 dizemos que TR é uma rotação própria; se det(R) = −1 e R2 = I

dizemos que TR é uma reflexão. Seja S um subconjunto qualquer de Rn. Então o conjunto

Γ(S) = {ϕ ∈ Isom(Rn) : ϕ(S) = S}

é um subgrupo de Isom(Rn), chamado de grupo das simetrias de S.

Teorema 2.3 Todo elemento de Isom(Rn) pode ser escrito como uma composição de uma

única transformação ortogonal com uma única translação, isto é, como uma transformação

afim

TR,x0 (x) = Rx+ x0,∀x ∈ Rn,

onde R é uma matriz ortogonal associada a T e x0 é um vetor arbitrário de Rn.

Sejam K o corpo R ou C e V um espaço vetorial sobre K de dimensão n, o conjunto

GL(V ) = {T : V −→ V : T è linear e não-singular}

é um grupo chamado de grupo linear geral.

SejaG um grupo finito. Uma representação de G sobre K com espaço de representação

V é um homomorfismo φ : G −→ GL(V ). O grau da representação φ é a dim(V ) e a

10

representação é fiel se ela é injetiva. Note que φ(e) = I e φ(g−1) = (φ(g))−1, para todo

g ∈ G.

Sejam Mn(K) = {A : A é uma matriz n × n sobre K} e GLn(K) = {A ∈ Mn(K) :

det(A) 6= 0}. Então fixada uma base para V pode-se definir um isomorfismo entre GL(V )e GLn(K) associando cada elemento de GL(V ) a sua matriz na base dada, em GLn(K).

Uma representação matricial de G sobre K de grau n é um homomorfismo φ : G −→GLn(K). Assim, se T : GLn(K) −→ GL(V ) é um isomorfismo, então Tφ : G −→ GL(V )

é uma representação de G. De modo análogo, a cada representação de G, φ : G −→GL(V ), podemos associar uma representação matricial T−1φ : G −→ GLn(K). Por causa

disso, não faremos distinção explícita entre representações e representações matriciais. A

representação matricial φ de G sobre K de grau n tal que φ(g) = I, para todo g ∈ G,

é chamada de representação trivial de G. Em particular, quando n = 1 dizemos que a

representação trivial de G é a representação unitária.

Sejam G um grupo e X um conjunto. Então G age em X se existe um mapeamento

σ : G×X −→ X, denotado por σ((g, x)) = gx, tal que

1. g(hx) = (gh)x, ∀g, h ∈ G, x ∈ X.

2. ex = x,∀x ∈ X.

o mapeamento σ é chamado de ação de G em X.

Para cada g ∈ G o mapeamento σg : X −→ X definido por σg(x) = gx é uma

permutação de X, isto é, σg é um elemento do grupo simétrico SX . O mapeamento

φ : G −→ SX definido por φ(g) = σg é um homomorfismo de grupos, isto é, uma

representação de G em SX . Reciprocamente, qualquer homomorfismo φ : G −→ SX

define uma ação, gx = φ(g)(x).

Sejam G um grupo agindo em um conjunto X e x ∈ X. Então o conjunto

O(x)M= {gx : g ∈ G}

é chamada a órbita de x em G.

Seja G um grupo agindo em um conjunto X. Então o cojunto dos elementos de G que

deixam x invariante, isto é,

E(x)M= {g ∈ G : gx = x}

é chamado o estabilizador de x ∈ X.

11

É fácil verificar que E(x) é um subgrupo de G e que |O(x)| = [G : E(x)] se |G| <∞. Quando existe somente uma órbita, isto é, quando O(x) = X, para algum x ∈ X

(consequentemente, para todo x ∈ X, pois duas órbitas são iguais ou disjuntas), dizemos

que a representação φ é transitiva. O conjunto

G0M= {g ∈ G : gx = x,∀x ∈ X}

é um subgrupo normal de G. Se G0 = {e}, então dizemos que G age efetivamente sobre

X.

Um Quadrado Latino de um conjunto G, com m elementos, é um arranjo m × m,

contendo exatamente um elemento de G em cada linha e coluna.

Se a ordem do grupo G é igual a m, então é conveniente rotular os elementos de G

com inteiros 0, . . . ,m − 1 para descrever a representação φ. Assim, os elementos de G

são listados como g0 = e, g1, . . . , gm−1 e para cada gi ∈ G, a permutação σgi (a matriz de

permutação (σgi)ij) pode ser descrita como uma permutação dos índices 0, 1, . . . ,m − 1como segue

σgi (j) = k ⇔ gigi = gk

(σgi)ij = 1 se gigi = gk

0 se gigi 6= gk

.

Uma maneira prática de se obter as permutações σgi, como permutações dos índices

0, 1, ...,m− 1 é construindo uma tabela de Cayley T para G. Então um quadrado latino

L de ordem |G| pode ser obtido como segue

Lij = k ⇔ Tij = gigi = gk.

Uma representação matricial φ de G sobre K de grau n é alternada se a matriz φ (g),

para todo g ∈ G, é diagonal com elementos ±1. Dizemos que duas representações φ1 e φ2de G são equivalentes se existe T ∈ GL(V ) tal que

Tφ1 (g) = φ2 (g)T, ∀g ∈ G.

Seja φ uma representação do grupo G com espaço de representação V . Dizemos que

um subespaço W de V é invariante sob φ se

φ (g) (W ) ⊆W, ∀g ∈ G.

Segue das propriedades de φ que φ|W é também uma representação de G com espaço

de representação W .

12

Teorema 2.4 (Maschke) Seja φ uma representação de G com espaço de representação

V . Seja W um subespaço de V invariante sob φ. Então existe um subespaço W c de V tal

que V =W ⊕W c e W c é invariante sob φ. ¥

Sejam φ uma representação do grupo G com espaço de representação V e W um

subespaço invariante sob φ, então existe uma base para V tal que a matriz da representação

pode sempre ser expressa na forma:

φ (g) =

φ (g) 0

0 ρ (g)

e ambas σ = φ|W e ρ = φ|W c são também representações de G. Quando a representação

pode ser assim reduzida escreveremos

φ (g) = σ (g)⊕ ρ (g) ,∀g ∈ G

e chamaremos de soma direta de representação.

Seja φ uma representação do grupo G com espaço de representação V . Se V não tem

subespaço invariante próprio sob φ, então dizemos que φ é uma representação irredutível.

Caso contrário, dizemos que φ é uma representação redutível.

Todo grupo G admite a representação unitária. Denotaremos por On (C) (On (R)) o

conjunto das matrizes unitárias (ortogonais) sobre C (R).

Teorema 2.5 O grau de uma representação irredutível de um grupo qualquer G sobre K

divide a ordem de G. ¥

Teorema 2.6 Seja φ uma representação de G de grau r com |G| = m. Então r divide

m. ¥

Definição 2.1 Seja φ uma representação irredutível de G. Dizemos que:

1. φ é de primeira espécie se ela é equivalente a uma representação real.

2. φ é de segunda espécie se ela é equivalente a seu conjugado complexo φ mas não é

equivalente a uma representação real.

3. φ é de terceira espécie se ela não é equivalente a seu conjugado complexo φ.

13

Teorema 2.7 Seja φ uma representação irredutível de G tal que φ (g) = U−1φ (g)U,

para algum U ∈ On (C). Então:

1. φ é de primeira espécie se, e somente se, Ut = U.

2. φ é de segunda espécie se, e somente se, Ut = −U. ¥

Suponhamos que φ seja uma representação irredutível de segunda espécie, com grau,

n de G. Como φ é equivalente a seu conjugado complexo φ temos que existe U ∈ On (C)

tal que

φ (g) = U−1φ (g)U,∀g ∈ G.

Por hipótese, Ut = −U implica que det (U) = det (Ut) = det (−U) = (−1)n det (U).Logo, n é um número par. Assim, se a ordem de G é um número ímpar, então G não

pode ter representação irredutível de segunda espécie.

Teorema 2.8 Nenhuma representação irredutível de grau ímpar é equivalente ao seu con-

jugado complexo, exceto a representação unitária. ¥

Teorema 2.9 Nenhuma representação real de um grupo de ordem ímpar, diferente da

representação unitária é irredutível. ¥

Teorema 2.10 Uma representação φ é equivalente a uma representação real se, e so-

mente se, cada componente irredutível de segunda espécie ocorre um número par de vezes,

e as componentes irredutíveis de terceira espécie ocorre aos pares de conjugados complexo.

¥

Teorema 2.11 Seja G um grupo de ordem ímpar. Toda representação real de G que tem

grau ímpar é equivalente a uma contendo a representação unitária.

Demonstração. Se φ uma representação real de G sobre K de grau ímpar diferente da

representação unitária. Então, pelo 2.9, φ é redutível. Logo, pelo Teorema de Maschke,

φ é equivalente a uma representação φ0 que é a soma direta de representações irredutíveis

com grau ímpar. Assim, as representações componentes são de terceira espécie. Logo,

pelo 2.10, elas ocorrem aos pares como conjugada complexa na soma direta φ. Como, por

hipótese, a ordem de G é ímpar, temos que φ0 contém a representação unitária. ¥

14

Capítulo 3

Código de Grupo para o Canal

Gaussiano

3.1 Códigos de Grupo

Códigos de grupo para canal Gaussiano foram estudados por Slepian, que descreveu

suas primeiras propriedades notáveis. Nesta seção, definiremos códigos de grupo e estu-

daremos sua estrutura, apresentando resultados importantes e alguns exemplos.

Definição 3.1 Um [M,n]-código esférico é um subconjunto de vetores unitários C =

{xi}Mi=1 de Rn, para o qual existe um subgrupo G = {Oi}ti=1 de On (R) com

C = {Oxi : O ∈ G}

para algum xi ∈ C ou, equivalentemente, C é a órbita de xi sob o grupo G.

Definição 3.2 Um [M,n]-código de grupo é um código esférico C = {xi}Mi=1 de Rn tal

que hCi = Rn.

Exemplo 3.1 Seja C = {(1, 0) , (0, 1) , (−1, 0) , (0,−1)} um subconjunto de R2. Então Cé um [4, 2]-código de grupo, pois C é a órbita, por exemplo de x =(1, 0), sob o grupo

G =©RiT j : i = 0, 1, 2, 2 e j = 0, 1

ª,

onde

R =

0 −11 0

, T = −1 0

0 1

.15

Definição 3.3 Seja C um [M,n]-código de grupo em Rn. Os vizinhos mais próximos de

xi ∈ C constituem o conjunto

V (xi) = {xj ∈ C : N (xi − xj) = d} ,

onde d = min {N (xi − xj) : i = 1, 2, ...,M, i 6= j} .

Por exemplo, para o [4, 2]-código de grupo do Exemplo 3.1 temos que

V ((1, 0)) = {(0, 1) , (0,−1)} .

Teorema 3.1 Seja C um [M,n]-código de grupo em Rn. Então:

1. Todas as regiões de Voronoi de C são congruentes.

2. O perfil de distância D (x) é o mesmo para todo x ∈ G.

3. Todas as palavras-código têm a mesma probabilidade de erro.

4. O grupo G é isomorfo a um subgrupo transitivo do grupo das permutações SM .

Demonstração. 1. Seja C = {xi}Mi=1 um código de grupo em Rn. Sejam xi,xj ∈ C com

i 6= j. Então, por hipótese, existe O ∈ G tal que Oxi = x. Dado x ∈ Vi, temos que

N(Ox−Oxj) = N(Ox−Oxi) = N(x− xi) ≤ N (x− xk)= N(Ox−Oxk) = N(Ox− xl), j 6= l,

onde xl = Oxk ∈ C, para todo xk ∈ C. Logo, Ox ∈ V. Portanto, Vj = O (Vi), onde

O ∈ G.2. Suponhamos i = 1 e j = 2. Sejam

D (x1) = {N (x1 − xi) : i = 2, 3, ...,M}

e

D (x2) = {N (x2 − xj) : j = 1, 3, ...,M} .

Basta mostrar que D (x1) = D (x2). Como C é um código de grupo, existe O ∈ G, tal

que Ox1 = x2. Logo,

N (x1 − xi) = N (Ox1 −Oxi) = N(x2 − xj),

16

xj = Oxi ∈ G.

3. Segue direto de 1.

4. Dados xi,xj ∈ C. Então existe O ∈ G tal que Oxi = xj, isto é, O corresponde a

uma permutação σ ∈ SM tal que σ (i) = j. Logo, G é isomorfo a um subgrupo transitivo

de SM , pois C = {Ox : O ∈ G} para algum x ∈ C. ¥

Teorema 3.2 Sejam C um [M,n]-código de grupo em Rn e G um grupo com |G| = t.

Então:

1. M ≤ t ≤M !;

2. Se t > M , então M | t.

Demonstração. 1. Pelo item 4. do Teorema 3.1, temos que t ≤M !. Seja

H = E (x) ,

o estabilizador de x ∈ G, onde C = {Ox : O ∈ G}. Como

|C| =¯G

H

¯temos, pelo Teorema de Lagrange, que

|G| = |H| |C| .

Portanto, t ≥M e M | t se t > M . ¥

Teorema 3.3 Se C = {Ox : O ∈ G} para algum x ∈ C e H C G com Ox = x, para

todo O ∈ H, então H = {I}.

Demonstração. Como H é um subgrupo normal de G temos que

HOi = OiH,∀Oi ∈ G.

Se Oix = xi, então, dado O ∈ H temos

Oxi = OOix = OiO0x = Oix = xi,∀O0 ∈ H,xi ∈ C.

Desde que C gera Rn temos, para todo y ∈ Rn, que

y =MXi=1

αixi, αi ∈ R.

17

Assim,

Oy =MXi=1

αixi = y⇒ O = I.

Portanto, H = {I}. ¥

Corolário 3.1 Se G é um grupo abeliano, |G| = t, e C = {Ox : O ∈ G}, para algumx ∈ C, é um [M,n]-código de grupo, então M = t.

Demonstração. Todos os subgrupos de G são normais, assim

H = {O ∈ G : Ox = x} = {I} e t = |G| = |H| |C| .

Pelo Teorema 3.3, H = {I}. Portanto, t = |C| =M . ¥

Lema 3.1 Seja C = {Ox : O ∈ G} um [M,n]-código de grupo com M primo. Então

C = {Ox : O ∈ H}, onde H é um subgrupo cíclico de G de ordem M .

Demonstração. Pelo Teorema 3.2, |G| é um múltiplo do número primo M , assim G

contém um subgrupo cíclico H de ordemM , digamos H = hOi com O 6= I. Assim, existex1 ∈ C tal que Ox1 6= x1. Logo,

x1,Ox1, . . . ,OM−1x1

são todos distintos em C, pois se Orx1 = Osx1 com 0 ≤ r < s < M , então Os−rx1 = x1.

Como 0 ≤ r < s < M , temos que s− r = 0. ¥

Códigos esféricos existem em grandes quantidades. De fato, seja G = {Oi}ti=1 umsubgrupo qualquer de On (R). Dado um x ∈ Rn, o conjunto C = {Oix}ti=1 é um código

esférico. Como I ∈ G temos que x ∈ C. Entretanto, este código pode não ter t vetores

distintos e pode não gerar Rn, além disso, este código depende de x o qual é chamado de

vetor inicial. Se |C| < t, então Oix = Ojx, i 6= j ou O−1j Oix = x. Logo, o subgrupo

H = {O ∈ G : Ox = x}

de G tem r = |H| > 1. Portanto,|C| = t

r,

isto é, C possui trvetores distintos.

18

Teorema 3.4 Seja φ uma representação irredutível de G sobre R de grau n com |G| = t.

Então C = {φ (g)x : g ∈ G} é um [M,n]-código de grupo com M ≤ t.

Demonstração. Supomhamos, por absurdo, que Rn 6= hCi. Então W = hCi é umsubespaço próprio de Rn invariante sob φ. Assim, pelo Teorema de Maschke, existe um

W c subespaço de Rn tal que Rn = W ⊕ W c. Portanto, φ é redutível, o que é uma

contradição. ¥

3.2 Existência de Códigos de Grupo

Códigos de grupo não existem para todosM e n. Nesta seção apresentaremos condições

necessárias e suficientes sobre M e n para a existência de um [M,n]-código de grupo.

Definição 3.4 Dois [M,n]-códigos esféricos C1 e C2 são equivalentes se existe O ∈On (R) tal que yi ∈ C2 e xi ∈ C.

Definição 3.5 Um [M,n]-código de grupo cujos vetores têm extremidades sobre um hiper-

plano de Rn é chamado um código de grupo planar.

Exemplo 3.2 Seja

C = {(1, 1, 0) , (1, 0, 1) , (1,−1, 0) , (1, 0,−1)}

em R3. Então C é um código de grupo planar.

É claro que códigos de grupos planares são ineficientes, pois se transladarmos o hiper-

plano de modo que ele passe através da origem de Rn, então obtemos um código de grupo

de dimensão n − 1. Qualquer representação contendo a representação unitária gera umcódigo de grupo que se identificará a um código de grupo planar, pois o mesmo é iden-

tificado a um código de grupo onde cada palavra-código tem uma mesma componente

comum.

Teorema 3.5 Não existe [M,n]-códigos de grupo não planar com M um primo ímpar e

n ímpar.

19

Demonatração. Seja C um [M,n]-código de grupo com M primo ímpar. Então, pelo

Lema 3.1,

C = {Ox : O ∈ H} ,

onde H é um grupo cíclico de ordem M . Como M e n são ímpares temos, pelo Teorema

3.4, que tal grupo é equivalente a um contendo a representação unitária, isto é , C é

um código de grupo planar. Portanto, não existe código de grupo não planar com os

parâmetros dados. ¥

Teorema 3.6 Seja C = {Ox : O ∈ G} um [M,n]-código de grupo não planar com n

ímpar. Então |G| é par.

Demonstração. Suponhamos, por absurdo, que |G| seja ímpar. Então, pelo Teorema3.5, C é um código de grupo planar, o que é uma contradição. ¥

Corolário 3.2 Seja C = {Ox : O ∈ G} um [M,n]-código de grupo não planar com M e

n ímpares. Então |G| 6=M .

Demonstração. Como n é ímpar temos, pelo Teorema 3.6, que |G| é par. Portanto,M 6= |G|. ¥

Teorema 3.7 Seja G um grupo satisfazendo as seguintes condições:

1. |G| é par;

2. G tem uma representação fiel φ de grau ímpar, a qual é irredutível de primeira

espécie;

3. Se H um 2-subgrupo de Sylow de G então φ|H contém a representação unitária de

H.

Então C = {φ (g)x : g ∈ G} é um [M,n]-códigos de grupo não planar com M ímpar

e n igual ao grau de φ.

Demonstração.Pelo item 3., existe x ∈ Rn tal que φ (g)x = x, para todo g ∈ H. Sejam

C = {φ (g)x : g ∈ G} eK o estabilizador de x. ComoH ⊆ K temos que |C| é ímpar, pois|G| = |C| |K|. Como φ é irredutível temos, pelo Teorema 3.6, que C é um [M,n]-código

de grupo não planar. Assim, pelo Teorema 3.5, |C| não pode ser primo. Portanto, C é

um [M,n]-código de grupo com M ímpar e composto e n ímpar. ¥

20

Teorema 3.8 Seja C um [M,n]-código de grupo não planar com M e n ímpares. Então

existe um grupo G com as seguintes propriedades:

1. |G| é par;

2. G tem uma representação fiel φ de grau ímpar. Quando escrita como a soma direta

de representações irredutíveis, não contém a representação identidade, mas contém

uma representação irredutível de grau ímpar de primeira espécie;

3. Se H é um 2-subgrupo de Sylow de G, então φ|H contém a representação unitária

de H.

Demonstração. Seja

C = {Ox : O ∈ G}

um [M,n]-código de grupo não planar, onde G é um subgrupo deOn (R) e x ∈ Rn. Vamos

definir φ : G→ On (R) por φ (O) = O. É claro que φ é uma representação de G. Agora

vamos mostrar que G e φ são, o grupo e a representação, respectivamente.

1. Pelo Teorema 3.6, temos que |G| é par.2. Pelo Teorema de Maschke, temos que

φ = φ1 ⊕ φ2 ⊕ · · ·⊕ φm,

onde cada φi é uma representação irredutível de G. Como C é um código de grupo não

planar temos que φi é diferente da representação unitária, para todo i = 1, ...,m. Sendo

o grau de φ ímpar, existe alguma φi com grau ímpar. Portanto, todas as representações

irredutíveis de G são de grau par, exceto aquelas que são irredutíveis complexas. Assim

φ satisfaz 2.

3. Sejam H um 2-subgrupo de Sylow de G e K o estabilizador de x. Então |G| =|C| |K|. Como |C| é ímpar e |G| é par temos que 2 | |K|. Logo, H ⊆ K e x é um autovetor

associado ao autovalor 1, para todo elemento de

{φ (O) : O ∈ K} .

Pelo Teorema de Maschke, φ|H contém a representação unitária de H. ¥

21

Capítulo 4

Conjuntos de Sinais Casados

4.1 Introdução

Conjunto de Sinais são sinais que formam a modulação propriamente dita. A princípio

considera-se uma modulação qualquer, porém será mostrado posteriormente que apenas

modulações bem específicas casam-se a grupos. Aqui será assumido que o número de

sinais do conjunto (modulação) será finito. Os grupos a que se refere o título são grupos

de símbolos que formarão as palavras-código usadas para rotular um sinal da modulação.

Sem ainda entrar no mérito da definição formal, apresentada a seguir, diz-se que um

código está casado a uma modulação quando a medida de distância entre duas palavras-

código reflete exatamente a distância entre os sinais correspondentes na modulação. Em

outras palavras, quanto mais distantes estão duas palavras-código, mais difícil será de se

confundir as mesmas pela ação do ruído atuante no canal. Quando ocorre este casamento,

diz-se que a distância entre palavras-código está apropriada ao ruído.

Se a distância entre palavras-código apropriada a uma determinada forma de ruído

é a distância de Hamming, então demonstra-se que os melhores códigos são os códigos

lineares. Até ocorrem códigos não-lineares de melhor desempenho, porém, a diferença

é muito pequena em relação aos melhores códigos lineares. Com base nessa informação

Massey conjecturou que se usado um código com distância apropriada ao ruído, distância

qualquer, não há necessidade de ser a de Hamming, então os melhores códigos serão os

códigos lineares. A estrutura algébrica geral que carrega a idéia de linearidade no sentido

de que a operação entre dois elementos produz um outro no mesmo conjunto é a estrutura

de grupo.

22

Códigos lineares facilitam a implementação prática, fato importante para os projetistas

de codificadores. Não obstante, a linearidade é também fundamental sob o ponto de vista

teórico, por dispor de ampla gama de ferramental matemático que pode ser aplicado aos

códigos.

Seja C um código linear sobre ZM de comprimento N . Definimos,

φ : C → R2N , φ ((c1, . . . , cN)) =NXj=1

AjBj ,

onde

Aj =

·rj cos

µ2πcjM

¶, rj sin

µ2πcjM

¶,

¸Bj =

b2j−1b2j

e {b1,b2, . . . ,b2N} é uma base ortonormal fixa de R2N . Note que rj é apenas um

parâmetro de energia que só depende de j e não da palavra-código. Em geral, tomamos

rj = 1, para todo j = 1, . . . , N . O mapeamento φ é chamado de mapeamento canônico.

4.2 Conjunto de Sinais Casados

Definição 4.1 Seja S um conjunto de sinais em Rn. Então S é casado com um grupo

finito G se existe um mapeamento sobrejetivo µ : G→ S tal que

d (µ (g) , µ (g0)) = d¡µ¡g−1g0

¢, u (e)

¢,∀g, g0 ∈ G,

onde d é a métrica Euclidiana.

Um mapeamento satisfazendo esta condição será chamado de mapeamento casado. Se,

além disso, µ é injetora, então µ−1 será chamado de rotulamento casado.

Exemplo 4.1 Seja

S =

((1, 0) ,

Ã√2

2,

√2

2

!, (0, 1) ,

Ã−√2

2,

√2

2

!, (−1, 0) ,

Ã−√2

2,−√2

2

!, (0,−1) ,

Ã√2

2,−√2

2

!)

um comjunto de sinais em R2. Então S é casado com Z8, pois

µ : Z8 → S, µ¡k¢= exp

µkπ

4i

¶é um rotulamento casado.

23

Note que num mapeamento casado, cada elemento do grupo está associado a um único

sinal de S, mas o contrário não é verdade. Cada sinal de S poderá está associado a mais

de um elemento em G.

Seja µ : G→ S um mapeamento casado. Dados g, g0 ∈ G, definimos g ∼ g0 ⇔ µ (g) =

µ (g0). Não é difícil verificar que ∼ é uma relação de equivalência em G.

Lema 4.1 Seja H = {g ∈ G;µ (g) = µ (e)}. Então H é um subgrupo de G e

µ (g) = µ (g0)⇔ gH = g0H, ∀g, g0 ∈ G.

Demonstração. É claro que e ∈ H. Dados h, h0 ∈ H. Então µ (h) = µ (h0) e µ (e), logo

µ (h) = µ (h0). Assim, d (µ (h) , µ (h0)) = 0⇔ d (µ (h−1h0) , µ (e)) = 0⇔ µ (h−1h0) = µ (e).

Portanto, h−1h, isto é, H é um subgrupo de G.

A segunda afirmação é clara. ¥

Segue do Lema 4.1, que eµ : G/H → S cada por eµ (gH) = µ (g) é um mapeamento

bijetivo. Se H é normal em G, então o conjunto G/H é um grupo e verifica-se que S está

casado com G/H. Neste caso, no qual se incluem os grupos comutativos e os p-grupos de

Sylow, não faz sentido se considerar grupos com mais elementos que o conjunto de sinais

S.

Se H não é um subgrupo normal, as classes laterais não formam um grupo. Mesmo

assim evita-se o uso de grupos G com muitos elementos, o que pode ser expresso como

segue:

Definição 4.2 Sejam µ : G→ S um mapeamento casado e H = {g ∈ G : µ (g) = µ (e)}.Dizemos que µ é efetivo se \

g∈Gg−1Hg = {e} .

Se um tal mapeamento existe, então S é efetivamente casado com G.

Teorema 4.1 Sejam µ : G→ S um mapeamento casado e

H = {g ∈ G : µ (g) = µ (e)} .

Então S é efetivamente casado com GL, onde L é o maior subgrupo normal de G contido

em H.

24

Demonstração. Seja

L =\g∈G

g−1Hg.

Então, é claro que L é um subgrupo de G. Dados a ∈ L e b ∈ G, temos

b−1ab = b−1g−1hgb = (gb)−1 hgb ∈ L,

pois gb ∈ G e h∈ H. Logo, L é um subgrupo normal de G. Agora, seja N um subgrupo

normal de G contido em H. Então

N = g−1Ng ⊆ g−1Hg,∀g ∈ G,

isto é, N ⊆ L. Portanto, L é o maior subgrupo normal de G contido em H.

Finalmente, pelo Teorema da Correspondência, GLé um grupo simples. Portanto, o

mapeamento eµ : GL→ S definido por eµ (gL) = µ (g), para todo g ∈ G, é efetivo. ¥

Teorema 4.2 Se S é um conjunto de sinais de Rn casado com G e ϕ ∈ Isom (Rn), então

ϕ (S) é também casado com G.

Demonstração. Seja µ : G→ S um mapeamento casado. Então eµ : G→ ϕ (S) definido

por eµ (g) = ϕ (µ (g)) ,∀g ∈ G,

é um mapeamento casado, pois

d (eµ (g) , eµ (g0)) = d (ϕ (µ (g)) , ϕ (µ (g0))) = d (µ (g) , µ (g0)) =

d¡µ¡g−1g0

¢, µ (e)

¢= d

¡ϕ¡µ¡g−1g0

¢¢, ϕ (µ (e))

¢= d

¡eµ ¡g−1g0¢ , eµ (e)¢ .Logo, ϕ (S) é casado com G. ¥

Note que, sendo toda translação uma isometria, temos: se S é casado com G, então

S + x é casado com G, onde x ∈ Rn. A translação preferida S0de S é aquela que coloca

a origem como centróide dos sinais:

x0i = xi −1

M

MXj=1

xj, i = 1, ...,M ⇒MXj=1

x0i = 0.

Além disso, é a que dá mínima potência média dentre todas as translações.

x0i = xi + x, P =1

M

MXj=1

N(x0j).

25

Sejam µ um mapeamento qualquer de um grupo G em um conjunto de sinais em Rn

e N ∈ N. Estende-se µ para um mapeamento eµ : GN −→ RnN de maneira natural, isto é,

µ ((g1, . . . , gN)) = (µ (g1) , . . . µ (gN)) .

Teorema 4.3 Sejam µ : G → S um mapeamento casado e C um código linear de com-

primento N sobre G. Então µ (C) é casado com C.

Demonstração. Seja eµ : C → µ (C) definido por

eµ ((c1, . . . , cN)) = (µ (c1) , . . . , µ (cN)) ,∀ (c1, . . . , cN) ∈ C.

Então eµ é um mapeamento casado, pois dados

c = (c1, . . . , cN) , c0 = (c01, c

02, . . . , c

0N) ∈ C

temos que

d (eµ (c) , eµ (c0)) = NXi=1

d (µ (ci) , µ (c0i)) =

NXi=1

d¡µ¡c−1i c0i

¢, µ (e)

¢= d

¡eµ ¡c−1i c0¢, eµ (e)¢ .

Assim, µ (C) é casado com C. ¥

Note que o Teorema acima nos mostra que o perfil de distância é independente da

palavra-código.

Teorema 4.4 Seja S um subconjunto finito de Rn tal queP

x∈S x = 0. Então:

1. Se Rn = hSi, então todo ϕ ∈ Γ (S) pode ser estendido de modo único a um elemento

de O (Rn). Em particular,

Γ0 (S) = {eϕ ∈ O (Rn) : eϕ|S = ϕ}

é isomorfo a Γ (S).

2. Se Rn 6= hSi, então todo ϕ ∈ Γ (S) pode ser estendido a um elemento de O (Rn).

Demonstração. 1. Suponhamos que Rn = hSi. Seja ϕ ∈ Γ (S). Então ϕ (S) = S. Logo,Xx∈S

N (ϕ (x)) =Xx∈S

N (x) .

26

Assim,

0 =Xx∈S

(N (ϕ (x)− ϕ (y))−N (x− y))

=Xx∈S

(N (ϕ (x)) +N (ϕ (y))− 2 (ϕ (x) , ϕ (y))−N (x)−N (y) + 2 (x, y))

=Xx∈S

(N (ϕ (x)) +N (y))− 2ÃXx∈S

(ϕ (x) , ϕ (y))

!+ 2

ÃXx∈S

(x,y)

!= |S| (N (ϕ (y))−N (y)) ,

isto é, N (ϕ (y)) = N (y), para todo y ∈ S. Como

(x,y) = −12(N (x− y)−N (x)−N (y))

temos que (ϕ (x) ,ϕ (y)) = (x,y), para todos x,y ∈ S.

Seja {v1, ...,vn} uma base ortonormal para Rn. Definimos eϕ : Rn → Rn por

eϕ (x) = nXi=1

αiϕ (vi) , αi ∈ R,∀i = 1, ..., n.

É claro que eϕ é uma transformação linear que preserva produto interno. Portanto, eϕ ∈O (Rn).

Agora basta mostrar que eϕ (x) = ϕ (x) ,∀x ∈ S.

Como eϕ ∈ O (Rn) temos que{eϕ (v1) , . . . , eϕ (vn)} é uma base ortonormal para Rn e, dado

y ∈ Rn existem αi ∈ R, i = 1, . . . , n, tais que

y =nXi=1

αieϕ (vi) .Logo,

(y, eϕ (vi)) = αi,∀i = 1, . . . , n,

isto é, todo y ∈ Rn é completamente determinado por (y,eϕ (vi)). Assim,(eϕ (x) , eϕ (vi)) = (x,vi) = (ϕ (x) , ϕ (vi)) = (ϕ (x) , eϕ (vi)) ,∀i = 1, . . . , n,x ∈ S.

Portanto, eϕ (x) = ϕ (x), para todo x ∈ S.Finalmente, é fácil verificar que o mapeamento β : Γ0 (S)→ Γ (S) definido por β (eϕ) =

ϕ é um isomorfismo de grupos. ¥

27

Observação 4.1 Por causa do isomorfismo entre Γ (S) e Γ0 (S) podemos definir o grupo

de simetria de S como o grupo de isometrias de Rn que deixa S invariante como conjunto.

Lema 4.2 Se σ ∈ Isom (Rn), então

Γ (σ (S)) =©σϕσ−1 : ϕ ∈ Γ (S)

ª.

Em particular, Γ (σ (S)) isomorfo a Γ (S).

Demonstração. Seja α ∈ Γ (σ (S)). Então

α (σ (S)) = σ (S)⇒ σ−1 (σ (S)) = S.

Logo, σ−1ασ ∈ Γ (S), isto é, α = σϕσ−1, para algum ϕ ∈ Γ (S). Portanto,

Γ (σ (S)) ⊆ ©σϕσ−1 : ϕ ∈ Γ (S)ª.

De modo análogo, mostra-se que©σϕσ−1 : ϕ ∈ Γ (S)

ª ⊆ Γ (σ (S)) .

¥Como σ pode ser escolhida como uma translação que centra S na origem, o Lema 4.2,

mostra que todo subconjunto finito de Rn tem um grupo de simetria que é isomorfo a um

grupo finito de transformações ortogonais.

Lema 4.3 Sejam S um subconjunto de Rn,

H = {ϕ ∈ Γ (S) : ϕ (x) = x}

e ϕ, ϕ0 ∈ Γ (S). Então ϕ (x) = ϕ0 (x), para todo x ∈ S se, e somente se, ϕH = ϕ0H.

Demonstração. ϕ (x) = ϕ0 (x), para todo x ∈ S se, e somente se, ϕ−1ϕ0 (x) = x, para

todo x ∈ S, que é equivalente a ϕ−1ϕ0 ∈ H, ou ainda, ϕ0H = ϕH. ¥

Teorema 4.5 Sejam C um código esférico em Rn e

∆C = {x− x0 : x,x0 ∈ C} .

EntãoP

x∈C x = 0 se, e somente se, dimC = dim∆C. Além disso, sePx∈C

x 6= 0.

Então a única translação de C satisfazendoP

x0∈C0 x0 = 0 é também um código esférico e

dimC 0 = dimC − 1.

28

Demonstração. Seja C um código esférico em Rn. Então como ∆C ⊆ hCi temos que

dim∆C ≤ dimC.

Como, por hipóteseP

x∈C x = 0, temos que

|C|x0 =Xx∈C

x0 =Xx∈C

x0 −Xx∈C

x =Xx∈C

(x0 − x) ,∀x0 ∈ C.

Logo, C ⊆ h∆Ci e dimC ≤ dim∆C. Portanto,

dimC ≤ dim∆C.

Reciprocamente, seja G = {Oi}Mi=1 um subgrupo de On (R) tal que

C = {Ox : O ∈ G}

para algum x ∈ C. Como C é a órbita de x sob G temos que os elementos O1x, . . . ,OMx

são todos distintos. Assim, basta mostrar queXO∈G

Ox = 0.

Seja {v1 − v01, . . . ,vr − v0r} uma base de h∆Ci. Como, por hipótese, dimC = dim∆C

temos que

x =rX

i=1

αi (vi − v0i) , αi ∈ R.

Logo, XO∈G

Ox =XO∈G

O

ÃrX

i=1

αi (vi − v0i)!=XO∈G

rXi=1

αiO (vi − v0i) = 0,

pois

{O1vi, ...,OMvi} = {O1v0i, . . . ,OMv

0i} ,∀i = 1, . . . , r.

Agora, seja C = {x1, . . . ,xM} um código tal que

x =MXi=1

xi 6= 0.

Então

Ox = O

ÃMXi=1

xi

!=

MXi=1

Oxi = x, ∀O ∈ G.

Seja C 0 = {x01, . . . ,x0M}, onde

x0i = xi −x

M,∀i = 1, . . . ,M.

29

EntãoMXi=1

x0i = 0.

Como

{Ox01 : O ∈ G} =nO³x1 − x

M

´: O ∈ G

o=nOx1 − x

M: O ∈ G

o= C 0,

pois

C = {Ox1 : O ∈ G} ,

temos que C 0 é a órbita de x01 sob G, isto é, C 0 é um código esférico.

Finalmente, como ∆C 0 = ∆C ⊂ hCi temos que

dimC 0 = dim∆C < dimC.

Logo, dimC = dimC 0 + 1, pois C = C 0 + xM. ¥

Isto mostra, em particular, que códigos esféricos não estando centrado na origem,

significa não somente uma perda de energia mas também perda de uma dimensão.

Teorema 4.6 Seja S um conjunto de sinais em Rn. Então S é casado com G se, e

somente se, existe um homomorfismo de G sobre um subgrupo transitivo de Γ (S).

Demonstração. Seja µ : G → S um mapeamento casado. Então, fixado h ∈ G,

definimos

σh : S → S

por σh (µ (g)) = µ (hg). σh está bem definida e injetiva, para todo h ∈ G, pois para todos

g, g0 ∈ G,

µ (g) = µ (g0)⇔ 0 = d (µ (g) , µ (g0)) = d¡µ (hg)−1 hg0, µ (e)

¢= d (µ (hg) , µ (hg0))

⇔ µ (hg) = µ (hg0) .

Dado y ∈ S existe, por hipótese, g ∈ G tal que y = µ (g). Como x = µ (h−1g) ∈ S, para

todo g ∈ G, temos que y = σh (x), isto é, σh é sobrejetiva. Agora, se x = µ (g) ,x0 =

µ (g0) ∈ S, para todos g, g0 ∈ G, então

d (x,x0) = d (µ (g) , µ (g0)) = d¡µ¡(hg)−1 hg0

¢, µ (e)

¢= d (µ (hg) , µ (hg0)) = d (σh (x) , σh (x

0)) .

30

Logo, σh ∈ Γ (S), para todo h ∈ G. Portanto, Θ = {σh : h ∈ G} é um subgrupo de Γ (S).O mapeamento

ρ : G→ Θ, ρ (h) = σh

é claramente um homomorfismo de grupos sobrejetivo. Assim, resta mostrar que Θ é um

grupo transitivo. Sejam x = µ (e) ∈ S e x0 ∈ S. Então existe h ∈ G tal que x0 = µ (h).

Logo, σh (x) = µ (h) = x0. Portanto,

S = {σh (x) : σh∈ Θ} .

Reciprocamente, seja Θ um subgrupo transitivo de Γ (S) imagem homomórfica de G.

Então

µ : Θ→ S, µ (σ) = µ (x) ,∀σ ∈ Θ,x ∈ S

é um mapeamento casado. De fato, como Θ é um subgrupo transitivo temos que µ é

sobrejetiva. Dados σ, σ0 ∈ Θ,

d (µ (σ) , µ (σ0)) = d (σ (x) , σ0 (x)) = d¡x, σ−1σ0 (x)

¢= d

¡µ (I) , µ

¡σ−1σ0

¢¢.

Portanto, S é casado com G. ¥

Corolário 4.1 Um conjunto de sinais em Rn é casado com um grupo se, e somente se,

ele é uma translação de um código esférico em Rn.

Demonstração. Seja S um conjunto de sinais em Rn casado com um grupo G. Então G

é a imagem homomórfica a um subgrupo transitivo de Γ (S). Pelo Lema 4.2, G é isomorfo

a um grupo finito de transformações ortogonais. Então S é uma translação de um código

esférico. Reciprocamente, se um conjunto de sinais S em Rn é uma translação de um

código esférico, então seu grupo de simetria Γ (S) é transitivo e, pelo Teorema 4.6, S é

casado com G. ¥

Corolário 4.2 Se um conjunto de sinais S em Rn é casado efetivamente com um grupo

G, então G é isomorfo a um subgrupo transitivo de Γ (S). ¥

Note que, se G é um subgrupo transitivo de Γ (S), então S é claramente casado com

G, mas o casamento pode não ser efetivo.

31

Exemplo 4.2 Seja

S = {(1, 1) , (−1, 1) , (−1,−1) , (1,−1)} .

Então é fácil verificar que o conjunto de sinais S é casado com o grupo diedral

D4 '©RiEj : i = 0, 1, 2, 3 e j = 0, 1

ª,

onde

R =

0 −11 0

,E = −1 0

0 1

.Note que D4 é transitivo em S mas o casamento não é efetivo. De fato; sejam x = (1, 0) ∈R2 e S = {Ox : O ∈ D4}. Então

µ : D4 → S, µ (O) = Ox

é um mapeamento casado. Sendo

H = {O ∈ D4 : µ (O) = µ (I)} = 1 0

0 1

, 1 0

0 −1

temos que H 6= {I}. Portanto,

K =\O∈D4

OHO−1 6= {I}

e µ não é efetivo.

Conjuntos de sinais casados a grupos são essencialmente equivalentes a códigos es-

féricos. E, portanto, códigos lineares sobre grupos têm não somente o mesmo perfil de

distância para qualquer palavra-código mas também probabilidade de erro, independente

da palavra-código, quando se usa decodificação por máxima verossimilhança.

Teorema 4.7 Seja G = {Ti}ti=1 um subgrupo abeliano de O (Rn). Então existe uma base

ortonormal β para Rn tal que a matriz Ai = [Ti]β tem a forma pseudo-diagonal

Ai = [R1, . . . ,Rr,±1, . . . ,±1] ,

onde

Rj =

cos θij − sin θijsin θij cos θij

com, j = 1, . . . , r. ¥

32

Usaremos a notação [A,B, . . .] para representar a matriz pseudo-diagonal cujos ele-

mentos “diagonal” são as matrizes A,B, . . .. Para uma demonstração, (cf.[8]).

Cada elemento de G = {Ti}ti=1 é completamente determinado pelo seu vetor rotação

θi =¡θi1, θi2, . . . , θir, θi(r+1), . . . , θin

¢,

onde n = N−r. As r primeiras componentes de θi são os ângulos de rotação bidimension-ais e as componentes restantes são 0 ou π. O vetor rotação do produto de duas matrizes

é a soma (mod 2π) de seus vetores rotação. Assim, o conjunto θ = {θi}ti=1 é um grupo

abeliano sob a adição componente a componente (mod 2π), que é isomorfo a G. A matriz

identidade I tem o vetor rotação θ0 = 0, que é o elemento identidade em θ. Então o

elemento θi ∈ θ tem a forma

θi = mi1θi1 + · · ·+mikθik (mod 2π) ,

onde 0 ≤ mij ≤ dij − 1 e M = dik é o expoente de θ. Sendo

Mθi ≡ 0 (mod 2π) , 1 ≤ i ≤ t,

temos que

θij =mij

M2π, 1 ≤ i ≤ t e 1 ≤ j ≤ k.

Portanto, o mapeamento

(θi1, . . . , θin) 7−→µM

2πθi1, . . . ,

M

2πθin

¶é um isomorfismo de θ sobre um subgrupo (código) C de ZnM . Seja τ o isomorfismo de C

sobre G = {Ti}ti=1.

Teorema 4.8 Seja S um conjunto de sinais em Rn casado com um grupo comutativo.

Então existe um inteiro positivo M , uma base ortonormal

{b1,b2, . . . ,bn}

de Rn e um código linear C sobre ZM tal que S = φ (C) + x, onde φ é um mapeamento

canônico.

Demonstração. Sejam x ∈ Rn e S = {Tx : T ∈ G}, onde G = {Ti}ti=1 é um subgrupo

abeliano de O (Rn). Então, por rotações nos primeiros r pares de coordenadas, podemos

obter uma nova base ortonormal β0 com relação à qual a representação de x tem a forma

x = (x1, 0, x2, 0, . . . , xr, 0, xr+1, xr+2, . . . , xn)

33

e o Teorema 4.7 ainda vale. Portanto,

φ : C → R2n

definido por φ (c) = τ (c)x é o mapeamento canônico com S = φ (C). ¥

Note que, pelo Teorema 4.8, códigos lineares sobre ZM , usados como sinaisM−PSK,são assencialmente os únicos conjuntos de sinais que se casam com grupos comutativos.

Teorema 4.9 Uma constelação de sinais S é casada com o grupo ZM se, e somente se,

S = φ (C) + x, onde φ é um mapeamento canônico, C um subgrupo cíclico de ZnM e

x ∈ Rn.

Demonstração. Se S é casada com o grupo Zm, então, pelo Teorema 4.8, S = φ (C)+x,

onde φ é um mapeamento canônico, C é um subgrupo cíclico de ZnM e x ∈Rn. Recipro-

camente, seja

C = hci = {ac : a ∈ ZM}

um subgrupo cíclico de ZnM . Então

ϕ : ZM → C

dado por ϕ (a) = ac, para todo a ∈ ZM é um homomorfismo de grupos sobrejetivo.

Portanto,

µ : ZM → S,

dado por µ = φϕ é ummapeamento casado, onde φ é o mapeamento canônico e S = φ (C).

¥

Exemplo 4.3 Seja

C = h(1, 3)i = {(0, 0) , (1, 3) , (2, 0) , (3, 3) , (4, 0) , (5, 3)}

um código cíclico sobre Z6. Seja

{b1 = (1, 0, 0, 0) ,b2 = (0, 1, 0, 0) ,b3 = (0, 0, 1, 0) ,b4 = (0, 0, 0, 1)}

a base (ortonormal) canônica de R4. Seja φ : C → R4 definida por

φ (c1, c2) =2X

j=1

AjBj,

34

onde

Aj =hcos³πcj3

´, sin

³πcj3

´ie Bj =

b2j−1b2j

.Logo,

φ ((0, 0)) = A1B1 +A2B2

=h1 0

i b1b2

+ h 1 0i b1

b2

= (1, 0, 1, 0) .De modo análogo, determinamos

φ ((1, 3)) =

Ã1

2,

√3

2,−1, 0

!,

φ ((2, 0)) =

Ã−12,

√3

2, 1, 0

!,

φ ((3, 3)) = (−1, 0,−1, 0) ,

φ ((4, 0)) =

Ã−12,−√3

2, 1, 0

!

φ ((5, 3)) =

Ã1

2,−√3

2,−1, 0

!.

Note que a quarta componente de cada palavra-código de C é nula, assim, podemos

desprezá-la. Portanto, S = φ (C) é um “anti-prisma” em R3.

35

Capítulo 5

Grupos Geradores de Códigos

Geometricamente Uniformes

5.1 Grupos Geradores

No capítulo anterior generalizamos para um grupo finito, a idéia de rotulamento

isométrico, definindo um mapeamento casado de um grupo sobre um conjunto de sinais

e mostramos que todo conjunto de sinais casado com um grupo é, a menos de translação,

uma constelação uniforme. Além dissso, caracterizamos todos os conjuntos de sinais casa-

dos com um grupo comutativo cíclico. Em todos estes casos, a motivação foi a introdução

de alguma “linearidade” no estudo de códigos do espaço Euclidiano via um grupo.

Definição 5.1 Um conjunto de sinais S em Rn é geometricamente uniforme se, dados

x1,x2 ∈ S, existir ϕ ∈ Isom (Rn) tal que

ϕ (x1) = x2 e ϕ (S) = S.

Sendo

Γ (S) = {ϕ ∈ Isom (Rn) : ϕ (S) = S} ,

então S é a órbita de qualquer ponto x0 ∈ S sob Γ (S), isto é,

S = {ϕ (x0) : ϕ ∈ Γ (S)} =[

ϕ∈Γ(S){ϕ (x0)} .

Em geral, o grupo de simetrias Γ (S) de um conjunto de sinais geometricamente uniforme

é mais do que o necessário para gerar S. Assim, um grupo gerador G(S) de S é um

36

subgrupo de Γ (S) tal que

|G(S)| = |S|

e gera S a partir de qualquer ponto x0 ∈ S ou, equivalentemente, a cardinalidade do

conjunto {x ∈ S : ϕ(x) = x} é igual a zero, para todo ϕ ∈ G (S) , ϕ 6= IS, onde IS, é o

elemento identidade de Γ (S). Note que o grupo gerador G (S) de um conjunto de sinais

geometricamente uniforme não é único e pode, inclusive, não existir.

Exemplo 5.1 Seja S = {(1, 1) , (−1, 1) , (−1,−1) , (1,−1)} um conjunto de sinais em R2.Então

G1(S) =

1 0

0 1

0 −11 0

−1 0

0 −1

0 1

−1 0

G2(S) =

1 0

0 1

−1 0

0 1

−1 0

0 −1

1 0

0 −1

são dois grupos geradores de S.

Se G(S) é o grupo gerador de um conjunto de sinais geometricamente uniforme S e

x0 ∈ S, então

S =[

ϕ∈G(S){ϕ (x0)}

e o mapeamento µ : G(S) → S definido por µ (ϕ) = ϕ (x0) é bijetivo. O mapeamento µ

induz uma estrutura de grupo em S, isto é, dados x1,x2 ∈ S, a operação

x1 ∗ x2 = µ(µ−1 (x1)µ−1 (x2))

define uma estrutura de grupo em S e, neste caso, (S, ∗) ' G(S). Quando um código

esférico S é geometricamente uniforme o denominaremos de constelação uniforme. As

constelações uniformes foram introduzidas por Slepian sob o nome de códigos de gru-

pos para o canal Gaussiano e generalizada por Forney para uma constelação de sinais

quaisquer.

No caso de constelações de sinais geometricamente uniformes, existe um rotulamento

isométrico entre um grupo e uma partição do conjunto de sinais induzido pela partição

do grupo gerador do conjunto de sinais. Mais precisamente, seja H um subgrupo normal

de G(S). Então,

S =[

φ∈ϕgH{φ (x0)} =

[ϕ∈H

©ϕg (ϕ (x0)) , ϕg ∈ G(S)

ª37

é a órbita de x0 sob a classe lateral ϕgH. Assim,

S =[

Sg.

Se S0 é a órbita de x0 sob H, então a partição S/S0 de S induzida por H é chamada uma

partição geometricamente uniforme.

Teorema 5.1 Seja S/S0 uma partição geometricamente uniforme. Então os subconjuntos

de S nesta partição são geometricamente uniformes, mutuamente congruentes e têm H

como um grupo gerador comum.

Demonstração. Seja Sg o subconjunto de S corespondendo a classe lateral ϕgH. Então

Sg =[ϕ∈H

©ϕg (ϕ (x0))

ª= ϕg

[ϕ∈H

{ϕ (x0)} = ϕg(S0).

Assim, Sg é congruente a S0. Como ϕgH = Hϕg, para todo ϕg ∈ G(S), temos que

Sg =[ρ∈H

©ρ¡ϕg (x0)

¢ª.

Logo, Sg é a órbita de Sg = ϕg(x0) sob H. Portanto, Sg é geometricamente uniforme e

tem grupo gerador H. ¥

Um grupo de rótulo G para uma partição geometricamente uniforme S/S0 é um grupo

isomorfo ao grupo quociente G(S)/G(S0). Um rotulamento isométrico da partição geo-

metricamente uniforme S/S0 é um mapeamento µ : G→ S/S0 definido por

µ(g) = ϕg(S0).

5.2 Matriz de Configuração

Sejam G um grupo de ordem r e V um espaço vetorial sobre K, de dimensão r, com

uma base

{vg : g ∈ G}.

Então

ϕ : G→ GL(V ), ϕ(g)υh = υgh,∀g, h ∈ G

é uma representação regular à esquerda de G com espaço de representação V . Sejam

G = {g1 = e, g2, . . . , gr} e A = (aij)

38

a representação matricial de ϕ(g), para todo g ∈ G. Então

aij = ϕ(gk)ij =

1, se gi = gkgj

0, e gi 6= gkgj..

Assim, temos uma representação matricial de G por matrizes de permutação.

Sejam H um subgrupo de G e

G

H= {gH : g ∈ G} .

Assim,

ϕ : G→ P

µG

H

¶, ϕ (a) (gH) = agH, ∀a, g ∈ G

é uma representação de permutação à esquerda de G induzida por H. Sejam Ag as

matrizes de permutação associadas com a representação ϕ induzida po H. De modo

análogo, podemos definir representação por permutação à direita de G.

Teorema 5.2 [10] Todo subgrupo H de G induz uma representação transitiva ϕ. Toda

representação transitiva de G pode ser obtida desta forma. Além disso, se H = {e}, entãoϕ é fiel e, nesse caso, ϕ é regular. ¥

Teorema 5.3 [10] As matrizes de representação regular à esquerda comutam com todas

as matrizes de representação regular à direita. ¥

Teorema 5.4 Seja H um subgrupo de G. Então a matriz da representação regular de G

pode ser escrita como uma matriz que possui em cada linha e coluna apenas uma matriz

diferente de zero associada com a representação regular de H.

Demonstração. Sejam φ qualquer representação regular de G,

H = {h1 = e, h2, . . . , hs} e [G/H] = {g1 = e, g2, . . . , gM}

um sistema de representantes de classes laterais à direita, ondeM = [G : H]. Ordenamos

os elementos de G como segue: Os elementos do subgrupo H vêm primeiramente, e são

seguidos por elementos de cada classe lateral de H, classe lateral após a classe lateral, de

modo que possamos escrever

Hg1 = {h1g1, . . . , hsg1}, . . . , HgM = {h1gM , . . . , hsgM}

39

A permutação gerada pela multiplicação à direito por a resulta em nova re-ordenação

Hg1a = {h1g1, . . . , hsg1}, . . . , HgMa = {h1gM , . . . , hsgM}.

Em outras palavras, para cada g ∈ G, temos que

ϕ : G→ PM , ϕ(a)(Hg) = Hga,∀a ∈ G

é uma representação regular à direita de G com

G

H= {Hg1, . . . , HgM} .

Logo,

ϕ (a)

µG

H

¶= {Hg1a, . . . ,HgMa} ,

onde as classes laterais à direita são re-ordenadas de acordo com os elementos de PM . Em

cada bloco que corresponde a uma classe lateral os elementos são re-ordenados novamente

de acordo com a permutação associada com a matriz da representação ϕ(hia), com hia ∈ H

dado pela equação

gia = hiagia, i = 1, 2, . . . ,M,

pois gia ∈ Hgia. Portanto, a matriz associada à representação φ é obtida da matriz de

permutação associado ao grupo PM substituindo as ocorrências de 1 pelas matrizes de

permutação associadas ϕ(hia), hia ∈ H, i = 1, . . . ,M , seus zeros com |H| × |H| matrizescujas entradas são todas zeros. ¥

Definição 5.2 Seja S = {xi}Mi=1 um código de bloco de mesma energia em Rn. A matriz

de configuração de S é dada por

C = (cij),

onde cij = (xi,xj), i, j = 1, 2, . . . ,M .

É claro que C é uma M ×M matriz simétrica real, semidefinida positiva, de posto n,

com cii = 1 e |cij| ≤ 1, i 6= j. As matrizes de configuração de códigos de bloco de mesma

energia são caracterizadas pelo seguinte lema:

Lema 5.1 Seja C uma M ×M matriz simétrica real, semidefinida positiva, de posto n,

com cii = 1 e |cij| ≤ 1, i 6= j. Então C é uma matriz de configuração de um código de

bloco de mesma energia.

40

Demonstração. Como, por hipótese, C é uma matriz simétrica real, semidefinida posi-

tiva, de posto n, então existe uma matriz ortogonal O tal que

OCO−1 = OCOt = D,

onde D é uma matriz diagonal com precisamente n elementos (autovalores) estritamente

positivos e o restante nulos. Suponhamos que

D =

Iλ 0

0 0

onde Iλ é a matriz diagonal de elementos λi > 0, i = 1, . . . , n. Consideremos C = {xi}Mi=1em Rn com

xi = (pλ1x1i, . . . ,

pλnxni),

onde O = (xij). Então

(xi,xj) =nX

k=1

λkxkixkj = cij,

pois C = O−1DO. Assim, este código tem C como uma matriz de configuração. Como,

por hipótese, C tem posto n temos que existem n vetores linearmente independente sobre

R, isto é, Rn = hCi. Portanto, C é um código de bloco de mesma energia. ¥

Seja

G = {g1 = e, g2, . . . , gr}.

Sejam

x ∈ Rn e S = {ϕ (gi)x : gi ∈ G}

uma [M,n]-constelação uniforme , onde ϕ é uma representação de G com espaço de

representação On (R). Sejam xi = ϕ (gi)x e

c : G→ R, c (gi) = (ϕ (gi)x, ϕ (g1)x) = (xi,x1) .

Então

c (gi) = c¡g−1i¢

e

ecij = c(gig−1j ) = (ϕ(gig

−1j )x, ϕ (g1)x)

= (ϕ(gi)ϕ(g−1j ))x, (ϕ (gi)ϕ

¡g−1i¢)x)

= (ϕ(g−1j )x, ϕ¡g−1i¢x) = (xi,xj) .

41

Logo, eC = (ecij) é uma r× r matriz cujas linhas são permutações da primeira. Se ec1j < 1,j = 2, . . . , r, então M = r. Se eC possui s elementos iguais a 1 na primeira linha, isto é,

1 = ec1j1 = · · · = ec1js , 1 = j1 < · · · < js,

então s divide r e eC tem M = rselementos distintos. Portanto, como a ordem de G é

maior do que ou igual a M temos que, se C é uma matriz de configuração de S, então

podemos estendê-la a uma r × r matriz de configuração eC com vetores

xi = ϕ (gi)x, gi ∈ G.

Assim, as matrizes C e eC podem ser relacionadas. De fato, seja

H = {g ∈ G : ϕ (g)x = x}

o estabilizador de x em G com |H| = s. Logo,

M =r

s,

pois |G| = |H| |S|. Além disso, se Js é a matriz de configuração de um conjunto de sinaisdegenerado

S0 = {x1 = x2 = · · · = xs} ,

isto é, Js denota todas as s× s matrizes com todas as entradas iguais a 1, então

eC = C⊗ Js,onde ⊗ denota o produto de Kronecker. Logo, eC é a matriz de configuração de um

conjunto de sinais S, gerado por G, na qual cada uma das M palavras-código distintas

tem multiplicidade s.

Teorema 5.5 A matriz de configuração estendida eC de uma constelação uniforme, pode

ser decomposta na forma eC = MXi=1

ciAi,

onde Ai, são r × r matrizes de permutações formando uma representação regular à es-

querda de G e ci = c (gi).

42

Demonstração. Como as linhas de eC são permutações da primeira linha temos queeC = rX

k=1

ckAk,

onde ck = c (gk). Sabemos que

ecij = c¡gig

−1j

¢= (xi,xj) , ∀gi, gj ∈ G.

Fazendo gk = gig−1j ou gi = gkgj, obtemos ecij = ck. Logo,

aij =

1, se gi = gkgj

0, se gi 6= gkgj..

Portanto, Ak = (aij) é uma r × r matriz de permutação, para todo k = 1, 2, ...,M . ¥

Corolário 5.1 Seja eC a matriz de configuração estendida de uma constelação uniforme.Então

ψ (g) eC = eCψ (g) , ∀g ∈ G,

onde ψ é uma representação regular à direita de G.

Demonstração. Temos, pelo Teorema 5.5, que

eC = MXi=1

ciAi.

Logo,

ψ (g) eC = ψ (g)

ÃMXi=1

ciAi

!=

MXi=1

ciψ (g)Ai

=MXi=1

ciAiψ (g) =

ÃMXi=1

ciAi

!ψ (g) = eCψ (g)

para todo g ∈ G. ¥

Teorema 5.6 Seja C a matriz de configuração de uma constelação uniforme. Então

Cϕ (g) = ϕ (g)C,∀g ∈ G,

onde ϕ é uma representação de G induzida por H.

43

Demonstração. Como eC = (C⊗ Js) temos, pelo Corolário 5.1, queϕ (g) (C⊗ Js) = (C⊗ Js)ϕ (g) , ∀g ∈ G.

Seja ρ uma representação regular à direita deH. Então a matriz associada à representação

ϕ pode, pelo Teorema 5.4, ser escrita na forma de bloco. Logo,

(ρ (g)C)⊗ Js = ϕ (g) (C⊗ Js) = (C⊗ Js)ϕ (g) = J⊗ (Cρ (g)) ,

pois

ρ (h)Js = Jsρ (h) = Js, ∀h ∈ H.

Portanto, Cρ (g) = ρ (g)C,∀g ∈ G. ¥

Sejam ϕ uma representação por permutação de G, {Ai}ri=1 o conjunto de matrizes depermutação associado a ϕ e

F = {c : G→ R : c é uma função}.

O conjunto de matrizes

A =(

MXi=1

ciAi, ci ∈ F

)é claramente uma álgebra. O conjunto de matrizes que comutam com todos os elementos

de A forma uma nova álgebra, chamada a álgebra centralizada de A, isto é,

Z (A) = {A ∈ A : AB = AB, ∀B ∈ A} .

Teorema 5.7 Sejam Ag as matrizes de permutação associadas com a representação à

direita ϕ de G induzida por H e

AH = h{Ag : g ∈ G}i .

Então:

1. A dimensão de Z (AH) não excede M .

2. Se H = {e}, então a dimensão de Z (A) é igual a |G|

3. Se H = Z (G), então a dimensão de Z (AH) é igual a M .

44

Demonstração. 1. Seja

ϕ : G→ PM , ϕ (g) = σg,

onde σg (Ha) = Hag e [G : H] =M . Claramente ϕ é uma representação por permutação

transitiva, pois dados a, b ∈ G temos que

Hb = Haa−1b = Hag = σg (Ha) ,

onde g = a−1b ∈ G, isto é, O (Ha) = G/H. Como o estabilizador E (H) = H, temos que

H é o único elemento de G/H fixado por ϕ, assim, por [19, Theorem 28.4, p. 80], temos

que dimensão de Z (AH) não excede M , pois |O (Ha)| =M .

2. Como H = {e} temos, pelo item 1. e o Teorema 5.3, que a dimensão de Z (A) nãoexcede |G|. Por outro lado, como as matrizes de permutação associadas a ϕ têm soma

igual a J|G|, segue que elas são linearmente independentes. Portanto, a dimensão de Z (A)é igual a |G|.3. Como H = Z (G) temos que E (Ha) = H,∀a ∈ G. Portanto, por [19, Theorem

28.4, p. 80], a dimensão de Z (AH) é igual a M . ¥

Teorema 5.8 Sejam {Ai}Mi=1 e {Bi}Mi=1 matrizes de permutação tais que as seguintescondições são satisfeitas:

1. Se JM = (uij) com uij = 1, ∀i, j = 1, . . . ,M , entãoMXi=1

Ai =MXi=1

Bi = Js.

2. AiBj = BjAi, ∀i, j = 1, . . . ,M .

3. Existe uma matriz de permutação U tal que

UAiU−1 = Bi, i = 1, 2, . . . ,M.

Então {Ai}Mi=1 e {Bi}Mi=1 são matrizes de permutação à esquerda e à direita de ummesmo grupo G.

Demonstração. Sejam

K = h{Ai : i = 1, . . . ,M}i e W = h{Bi : i = 1, . . . ,M}i

45

dois subgrupos de PM . Pelo item 2., K e W são subgrupos de Z (AK) e Z (AW ), respec-

tivamente. Logo, as dimensões de Z (AK) e Z (AW ) não excedemM . Pelo item 1., temos

que {Ai}Mi=1 são linearmente independentes. Logo, as dimensões de Z (AK) e Z (AW ) são

iguais a M . Além disso, K e W são subgrupos transitivos de PM . Pelo item 3., K e

W são subgrupos conjugados. Assim, K e W formam uma representação regular fiel de

um mesmo grupo G. Pelo Teorema 5.3, temos que estas representações são regulares à

esquerda e à direita de G. ¥

Seja L um quadrado latino canônico cuja primeira linha e primeira coluna é 1, ...,M .

Sejam L1 e L2 quadrados latinos, com todos os elementos da diagonal principal iguais a

1, obtidos por permutação das linhas e colunas de L, respectivamente. Assim, existe uma

matriz de permutação U tal que

L1 = UL e L2 = LU.

Com estes quadrados latinos podemos associar dois conjuntos de matrizes de permutações

{Ai}ri=1 e {Bi}ri=1

de acordo com as regras:

(Ai)jk =

1, se (L1)jk = i

0, caso contrário., (Bi)jk =

1, se (L2)jk = i

0, caso contrário..

Teorema 5.9 Sejam {Ai}Mi=1 e {Bi}Mi=1 matrizes de permutação obtidas de L. Se

AiBj = BjAi,∀i, j = 1, c,M,

então L dá origem à tabela de multiplicação de um grupo G. Além disso, {Ai}Mi=1 e{Bi}Mi=1 são representações regulares à esquerda e à direita, respectivamente, do grupo G.

Demonstração. É claro que {Ai}Mi=1 e {Bi}Mi=1 satisfaz todas as condições do Teorema5.8. Assim, L dá origem à tabela de multplicação de um grupo G. Além disso, {Ai}Mi=1 e{Bi}Mi=1 são representações regulares à esquerda e à direita, respectivamente do grupo G.¥

Pelo Teorema 5.8 temos que

L =MXi=1

iAi

46

onde Ai, i = 1, 2, . . . ,M , são matrizes de permutação tais que

MXi=1

iAi = Js.

Consequentemente, At1L e LA

t1 são quadrados latinos com elementos das diagonais prin-

cipais todos iguais a 1.

Corolário 5.2 Se At1Ai = AiA

t1, ∀i = 1, . . . ,M , então L dá origem à tabela de multi-

plicação de um grupo G = {gi}Mi=1, do qual {At1Ai}Mi=1 e {AiA

t1}Mi=1 são representações à

esquerda e à direita, respectivamente. ¥

Teorema 5.10 Seja C = (cij) a matriz de configuração de um código de bloco de mesma

energia S em Rn com os c1j todos distintos. Então C é a matriz de configuração de uma

constelação uniforme se, e somente se, as seguintes condições são satisfeitas:

1. Suas linhas são permutações da primeira;

2. M = 2s, para algum s;

3. Na decomposição

C =MXi=1

ciAi,

ondeAi são matrizes de permutação comA2i = I e AiAj = AjAi, ∀i, j = 1, 2, . . . ,M .

Além disso, n ≥ s e o grupo gerador do [M,n]-código esférico é comutativo com s

geradores.

Demonstração. Suponhamos que C seja a matriz de configuração de uma constelação

uniforme. Então, como C é uma matriz de configuração e os elementos da primeira linha

são todos distintos, temos que

C =MXi=1

ciAi,

onde as matrizes Ai são simétricas e os ci, i = 1, 2, . . . ,M , são todos distintos. Além

disso, A2i = I, pois Ai são matrizes de permutação.

Agora, pelo Teorema 5.6, C comuta com todas as matrizes associadas à representação

por permutação à direita deG, induzida pelo estabilizadorH do vetor inicial. ComoH não

é normal nem contém subgrupos normais não-triviais de G, temos que a representação por

permutação à direita de G é fiel. Assim, Ai ∈ Z (AH), i = 1, . . . ,M . Logo, a dimensão de

47

Z (AH) é igual a M e {A1, . . . ,AM} é uma base de Z (AH). Portanto, cada Z ∈ Z (AH)

pode ser escrito na forma

Z =MXi=1

αiAi, αi ∈ R.

Como AiAj ∈ Z (AH), ∀i, j = 1, 2, . . . ,M temos que

AiAj =MXk=1

βkAk, βk ∈ R.

Note que são matrizes de permutação, assim, AiAj = Al, para algum l = 1, 2, . . . ,M .

Portanto,

G =D{Ai}Mi=1 : AiAj = Al e A2

i = IE

é um grupo comutativo G de ordem M = 2s com s geradores e n ≥ s, pois as matrizes

Ai são ortogonais. A recíproca é imediata. ¥

Teorema 5.11 Seja C a matriz de configuração de um código de bloco de mesma energia

S em Rn. Então S é constelação uniforme se, e somente se:

1. As linhas de C são permutações da primeira;

2. Existe uma matriz Js de ordem s, 1 ≤ s ≤ (M − 1)!, com todas as entradas iguais

a 1, tal que a matriz eC= C⊗ Jscomuta com todas as matrizes associadas a uma representação regular à direita de

um grupo G com |G| =Ms.

Demonstração. Suponhamos que S seja uma constelação uniforme. Então, pelo Teo-

rema 5.10 e o Corolário 5.1, as linhas de C são permutações da primeira e eC comuta comtodas as matrizes associadas a uma representação regular à direita de um grupo G com

|G| =Ms, onde 1 ≤ s ≤ (M − 1)!, pois M ≤ |G| ≤M !.

Reciprocamente, como C é uma matriz simétrica temos que C pode ser escrita de

modo único na forma

C =tX

i=1

ciBi,

onde as matrizes Bi são simétricas, com entradas 0 ou 1, e os ci, i = 1, 2, . . . , t, são todos

distintos. Fazendo eBi = Bi ⊗ Js, i = 1, 2, . . . , t

48

obtemos eC= C⊗ Js = tXi=1

cieBi.

Como, por hipótese, eC comuta com cadamatriz de uma representação regular de um grupoG temos que eC ∈ Z (A). Uma base para Z (A) é formada pelas matrizes associadas àrepresentação regular à esquerda de G. Assim,

eBi =

tiXj=1

Aji,

onde o conjunto das matrizes

{Aji : j = 1, 2, . . . , ti e i = 1, 2, . . . , t}

forma a representação regular por permutação à esquerda de G. Portanto,

eC =Xg∈G

cgAg.

e S é uma constelação uniforme. ¥

Corolário 5.3 Seja C a matriz de configuração de uma [M,n]-constelação uniforme S

em Rn. Se C é circulante, então G (S) é um grupo cíclico de ordem M .

Demonstração. Basta verificar que

C =M−1Xi=0

ciBi,

onde

B =

0 0 0 · · · 0 1

1 0 0 · · · 0 0

0 1 0 · · · 0 0

0 0 1 · · · 0 0.......... . .

......

0 0 0 · · · 1 0

.

Logo, C comuta com tadas as matrizes de permutação cíclica Bi que forma uma repre-

senatação regular de um grupo cíclico de ordem M . Portanto, pelo Corolário 5.3, G (S)

é um grupo cíclico de ordem M . ¥

49

5.3 Algoritmo

Nesta seção apresentaremos um algoritmo construtivo para determinar o grupo ger-

ador de uma constelação uniforme, cuja matriz de configuração satisfaz a condição 1. do

Teorema 5.11.

Algoritmo:

1. Seja s = 1

2. Calcule eC = C⊗ Js.3. Decomponha eC= qX

j=1

cjAj.

4. Se, é possível escrever, cada Aj, j = 1, 2, . . . , q, como

Aj =

tjXi=1

Aij,

onde Aij são matrizes de permutação. Caso contrário, vá para 12.

5. Para cada conjunto

N = {Aij : i = 1, 2, . . . , tj e j = 1, 2, . . . , q}

de

N =

qXj=1

tj

matrizes de permutação, escreva

L =

qXj=1

tjXi=1

aijAij

onde aij ∈ PN e 1, 2, . . . , N a primeira linha de L. Como existe

λ =

qYj=1

tj

conjuntos distintos N , temos λ quadrados latinos L distintos.

6. Escolha um dos quadrados latinos L e permute suas linhas para transformá-lo no

quadrado canônico L0.

50

7. Permute as colunas de L0 para obter a matriz

L00 =NXk=1

kOk

tem todos os elementos da diagonal principal iguais a 1. (O1 é a matriz identidade).

8. Teste se os dois conjuntos de matrizes

{Aij : i = 1, 2, . . . , tj e j = 1, 2, . . . , q} e {Ok}Nk=1 ,

comutam aos pares. Se eles comutam, então passe para 13. De outro modo, vá para

9.

9. Vá para 6. e considere um outro quadrado latino L até que todos os quadrados

latinos distintos, obtidos em 5., tenha sido considerados. Então vá para 10.

10. Seja s = s+ 1.

11. Se s > (M − 1)!, então vá para 12. Caso contrário, volte para 2.

12. A matriz C não é a matriz de configuração de uma constelação uniforme. Fim.

13. A matriz C é a matriz de configuração de uma constelação uniforme cujo grupo

gerador é uma representação regular do grupo G cujas matrizes de representação

regular à esquerda são {Ok}Nk=1. Fim.

Exemplo 5.2 Seja C a matriz simétrica real

C =

1 a b c

a 1 c b

b c 1 a

c b a 1

onde a, b e c são escolhidos de modo que C seja definida positiva e |a| ≤ 1, |b| ≤ 1, |c| ≤ 1.Pelo Lema 5.1 a matriz C é a matriz de configuração de [4, n]-código de bloco de mesma

energia S em Rn com 2 ≤ n ≤ 4.

1. Seja s = 1.

2. Vamos calcular

C = C⊗ Js = C.

51

3. É fácil verificar que

C = A1 + aA2 + bA3 + cA4

onde

A1 =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

,A2 =

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

,

A3 =

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

,A4 =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

.

4. As matrizes Ai, i = 1, 2, 3, 4 são matrizes de permutação.

5. Como só existe um conjunto N = {A1,A2,A3,A4} temos que

L = A1 + 2A2 + 3A3 + 4A4 =

1 2 3 4

2 1 4 3

3 4 1 2

4 3 2 1

.

6. Como L já é o quadrado latino canônico, basta tomar L0 = L.

7. Basta tomar L00 = L0, assim, Ai = Oi, i = 1, 2, 3, 4.

8. É fácil verificar que AiAj = AjAi, i, j = 1, 2, 3, 4. Portanto, C é a matriz de

configuração de uma constelação uniforme S em Rn com 2 ≤ n ≤ 4. Como A2i =

A2i = I, e AiAj = AjAi, i, j = 1, 2, 3, 4 temos que

G = {A1,A2,A3,A4}

é um grupo comutativo isomorfo a Z2 × Z2, isto é, o grupo gerador da constelaçãouniforme S em Rn com 2 ≤ n ≤ 4 é isomorfo a Z2 × Z2.

52

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