cartografia aplicada versão 2014_2

Curso de Georreferenciamento de Imveis Rurais Cartografia Geral Aplicada

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SUMRIO 1. Introduo ................................................................................................................................ 5

1.1 Definies ........................................................................................................................ 5 1.2 Generalidades sobre Cartas. ............................................................................................ 5 1.3 Caractersticas das Cartas ................................................................................................ 8 1.4 Classificao .................................................................................................................... 8

1.4.1 Quanto finalidade (ABNT*) ..................................................................................... 8 1.4.2 Classificao segundo a Diretoria do Servio Geogrfico do Exrcito (DSG) ........... 9

2. Processo Cartogrfico ........................................................................................................... 10 2.1 Aquisio de Mapas ...................................................................................................... 10

3. Superfcies de referncia usadas em cartografia. .................................................................. 14 3.1 Superfcie de referncia geoidal .................................................................................... 14 3.2 Superfcie de referncia esfrica ................................................................................... 15 3.3 Superfcie de referncia elipsoidal ................................................................................ 15 3.4 O relacionamento entre as superfcies fsica, geoidal e elipsoidal. ............................... 16

4. Sistemas de Referncia .......................................................................................................... 17 4.1 Sistemas de Coordenadas Geogrficas e Geodsicas .................................................... 17 4.2 Latitudes Geocntrica e Reduzida. ................................................................................ 18 4.3 Sistemas de Coordenadas Cartesianas Tridimensionais. ............................................... 19 4.4 Transformao de Coordenadas Cartesianas em Geogrficas. ..................................... 20 4.5 Transformao de Coordenadas Geogrficas em Cartesianas ...................................... 21

5. Datum. ................................................................................................................................... 21 5.1 Datum Horizontal .......................................................................................................... 21 5.2 Mudana de Datum. ...................................................................................................... 24

5.2.1 Transformao de Coordenadas Geodsicas para Cartesianas Tridimensionais ...... 24 5.2.2 Transformao de Cartesianas Tridimensionais para Coordenadas Geodsicas ...... 25

5.3 Datum vertical. .............................................................................................................. 26 6. Projees Cartogrficas ......................................................................................................... 26

6.1 Introduo ...................................................................................................................... 26 6.2 Superfcies de projeo ................................................................................................. 27 6.3 Introduo ao conceito de distoro .............................................................................. 28

6.3.1 Escala principal. ........................................................................................................ 30 6.3.2 Escalas particulares ................................................................................................... 30 6.3.3 Fator de deformao ao longo dos meridianos (h). ................................................... 32 6.3.4 Fator de deformao ao longo dos paralelos (k). ...................................................... 33


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6.3.5 Elipse das distores ou Indicatriz de Tissot ............................................................ 34 6.3.6 Fator de deformao mximo (a) e mnimo (b) ........................................................ 36 6.3.7 Fator de deformao de rea (p). ............................................................................... 37 6.3.8 Fator de deformao angular mximo (). ............................................................... 37 6.3.9 Propriedades especiais das projees ........................................................................ 39

6.4 Projees Azimutais ...................................................................................................... 41 6.5 Projees cnicas .......................................................................................................... 41 6.6 Projees Cilindricas ..................................................................................................... 42

7. Anlise de uma projeo sob a tica da teoria das distores. .............................................. 46 8. Sistemas de Coordenadas Planas (quadriculado e reticulado) .............................................. 57 9. A Projeo Universal Transversa de Mercator (UTM) ......................................................... 58

9.1 As projees TM ........................................................................................................... 58 9.2 Transformao de coordenadas Geogrficas para TM .................................................. 59 9.3 Transformao de coordenadas TM para Geogrficas .................................................. 61 9.4 Modificao das coordenadas TM em UTM, RTM e LTM .......................................... 63 9.5 O Sistema UTM ( Universal Transversa de Mercator) ................................................. 64

10. Utilizao de Cartas Topogrficas .................................................................................... 65 10.1 Articulao das folhas ................................................................................................... 65 10.2 Extrao de informaes quantitativas das cartas topogrficas. ................................... 68

ndice de Figuras

Figura 1 Representao esquemtica da finalidade das cartas. .................................................... 5 Figura 2 Modelo de comunicao cartogrfica proposto por Kolacny . ...................................... 6 FIGURA 3 - Adquirindo mapas digitais pela Internet Passo 1 ..................................................... 11 Figura 4 - Adquirindo mapas digitais pela Internet Passo 2 ...................................................... 12 Figura 5 - Adquirindo mapas digitais pela Internet Passo 3 ...................................................... 13 Figura 6 - Adquirindo mapas digitais pela Internet Passo 4 ...................................................... 13 Figura 7 - Adquirindo mapas digitais pela Internet Passo 5 ...................................................... 14 Figura 8 Superfcie de referncia esfrica. ................................................................................. 15 Figura 9 Superfcie de referncia elipsoidal. .............................................................................. 15 Figura 10 Relacionamento entre as superfcies fsica (topogrfica), elipsoidal e geoidal. ........ 16 Figura 11 Sistema de coordenadas geogrficas. ......................................................................... 17 Figura 12 Sistema de coordenadas geodsicas. .......................................................................... 18


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Figura 13 Latitude geocntrica. .................................................................................................. 19 Figura 14 Latitude reduzida. ...................................................................................................... 19 Figura 15 Sistema cartesiano tridimensional. ............................................................................ 20 Figura 16 Estudo de sinal para a longitude. ............................................................................... 20 Figura 17 Representao grfica da definio de projeo cartogrfica. ................................... 26 Figura 18 Superfcies de projeo em funo da forma, aspecto e classe. ................................ 27 Figura 19 Representao cartogrfica descontnua. ................................................................... 28 Figura 20 Representao cartogrfica contnua. ........................................................................ 29 Figura 21 Quadriltero infinitesimal na superfcie de referncia (esfera) e na superfcie de projeo. ........................................................................................................................................ 31 Figura 22 Significados das deformaes na transformao da superfcie referncia de projeo para a de projeo. ......................................................................................................................... 31 Figura 23 Raio do paralelo em funo da latitude. .................................................................... 33 Figura 24 Indicatriz de Tissot (elipse das distores) ................................................................ 34 Figura 25 Quadriltero infinitesimal na superfcie de projeo. ................................................ 34 Figura 26 Pontos e Linhas de distoro Zero. ............................................................................ 38 Figura 27 Propriedades especiais das projees cartogrficas. .................................................. 39 Figura 28 Deformaes sofridas pela Projeo Sinusoidal ou Projeo de Sansom-Flamsteed. ....................................................................................................................................................... 40 Figura 29 Projeo Azimutal no aspecto normal. ...................................................................... 43 Figura 30 Projeo Cnica no aspecto normal. .......................................................................... 44 Figura 31 Projeo Cilndrica no aspecto normal. ..................................................................... 45 Figura 32 Projeo Cilndrica de Plate Carre. Atribuda a Anaximander (550 a.C.) ............... 51 Figura 33 Projeo Azimutal Estereogrfica. Atribuda a Hiparcus (160 - 125 a.C.) ............... 52 Figura 34 Projeo Azimutal Gnomnica. Atribuda a Thales (636 - 546 a.C.) ........................ 52 Figura 35 Projeo Azimutal Ortogrfica. Atribuda a Apolnio (240 a.C.) ............................. 53 Figura 36 Projeo Azimutal de Postel. Conhecida desde 1426. ............................................... 53 Figura 37 Projeo Azimutal de Lambert. Descrita em 1772. ................................................... 54 Figura 38 Projeo Cnica Conforme de Lambert. Descrita em 1772. ..................................... 54 Figura 39 Projeo Cnica Equivalente de Lambert. Descrita em 1772. .................................. 55 Figura 40 Projeo Cilndrica de Mercator. Utilizada por Mercator (1569). ............................. 55 Figura 41 Projeo Pseudo Cilndrica. Descrita em 1890. ......................................................... 56 Figura 42 Diferenas entre reticulado e quadriculado. .............................................................. 57 Figura 43 - Reticulado de um hemisfrio na projeo Transversa de Mercator. Observa-se que somente a zona central do mapa esta relativamente livre de exageros em termos de distoro. .. 58 Figura 44 Latitude aproximada 1. ............................................................................................. 61


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Figura 45 Articulao das folhas do mapeamento sistemtico brasileiro. ................................. 67 Figura 46 Mapa do Brasil com a articulao na escala 1 : 1 000 000. ....................................... 68 Figura 47 Exemplo de escala grfica. ........................................................................................ 69

ndice de Tabelas

Tabela 1 - Situao do mapeamento do territrio brasileiro (2003) ............................................. 10 Tabela 2 Estaes do SIRGAS 2000 .......................................................................................... 23 Tabela 3 Parmetro de transformao dos Datum brasileiros. ................................................... 25 Tabela 4 Tabela de deformao da Projeo Cilndrica de Mercator (aspecto normal) ............ 48 Tabela 5 Tabela de deformao da Projeo Conforme Azimutal Estereogrfica (aspecto normal) .......................................................................................................................................... 49 Tabela 6 Tabela de deformao da Projeo Afiltica Azimutal Gnomnica (aspecto normal) 49 Tabela 7 Tabela de deformao da Projeo Equidistante nos Meridianos Azimutal de Poste (aspecto normal) ............................................................................................................................ 50 Tabela 8 Tabela de deformao da Projeo Equivalente Azimutal de Lambert (aspecto normal) .......................................................................................................................................... 50 Tabela 9 Tabela de deformao da Projeo Cilndrica de Plate Carre - Eqidistante ao longo dos meridianos. .............................................................................................................................. 51 Tabela 10 Variaes mais usuais da projeo TM ................................................................... 63


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CARTOGRAFIA 1. Introduo

1.1 Definies Cartografia :

Arte de levantamento, construo e edio de cartas de qualquer natureza, e a cincia na qual repousa. ou

Produto do conhecimento obtido no estudo de mapas geogrficos, dos mtodos para sua produo e reproduo, e de seu uso. Nestas definies aparecem duas palavras que tem o mesmo significado: Carta e Mapa. A palavra carta vem do latim charta que significa papel e a palavra mapa vem de mappa que significa pano. Observa-se ento que a diferena vem da origem do material com que eram produzidos. No Brasil costuma-se diferenciar mapa de carta em funo ou da escala ou da fidedignidade das informaes. No tocante a escala costuma-se chamar de carta quando o documento confeccionado em escalas grandes ou mdias e de mapa quando a escala pequena. O problema desse enfoque estabelecer qual o limiar entre escala mdia e pequena. Com respeito confiabilidade das informaes, costuma-se chamar de carta os produtos elaborados com rigor geomtrico de modo a se poder tomar medidas confiveis sobre eles e de mapa, aqueles que funcionam apenas como ilustrao.

1.2 Generalidades sobre Cartas. Carta (mapa):

Representao visual, codificada, geralmente bidimensional, total ou parcial, da superfcie da Terra ou de outro objeto. A finalidade bsica de uma carta transmitir informaes especficas a respeito de uma rea cartografada para o usurio (Figura 1).

Figura 1 Representao esquemtica da finalidade das cartas.

INFORMAO MAPA USURIO


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Um mapa ou carta um produto de comunicao e, portanto, os conceitos de semiologia grfica esto presentes na sua construo. Define-se semiologia grfica ao estudo dos smbolos grficos, suas propriedades e suas relaes com os elementos da informao que eles revelam (Oliveira, 1980). Vrios autores tm apresentado suas idias e teorias sobre a comunicao cartogrfica. Um desses autores o cartgrafo Tcheco Salachtchev Kolcny, que destaca:

a confeco e utilizao de mapas deve ser encarada como um todo.

cartgrafos devem se preocupar com o uso tanto quanto com a sua construo.

Esse cartgrafo apresenta em 1969 um modelo de comunicao cartogrfico (Figura 2) onde os elementos envolvidos na construo de mapas esto descritos.

Figura 2 Modelo de comunicao cartogrfica proposto por Kolacny .

C O N T E D OD A M E N T E

D OC A R T G R A F O

LIN G U AG E M

CARTOGRFICA

T R A N S F O R M A E S IN T E L E C T U A IS

MAPA

C O N T E D OD A M E N T E

D OU S U R IO

LIN G U AG E M

C AR TO G R FIC A

E F E IT O D A I . C . C O M P R E E N D ID ACONC R ETIZ A O D A I . C .

REALIDA

DE

DO

CA

RTGRAFO REAL IDADE

DO

USURIO

R EA L I D A D E

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C.

3

45

12 3

4 5

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1 - Tarefa objeto; 1 - Necessidades, interesses e

2 - Conhecimento e experincia; objetivos.

3 - Habilidades e propriedades;

4 - Processos psicolgicos;

5 - Condies externas.


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Com respeito s informaes cartografadas, essas podem ser qualitativas ou quantitativas.

natureza Qualitativas: forma feies distribuio

posies geogrficas altitudes Quantitativas: distncias direes reas, volumes

As feies representadas podem ser :

da superfcie terrestre

naturais

visveis : mares, rios, lagos, montanhas, desertos, florestas

invisveis :

climas, correntes, campos (magntico, gravitacional, etc.)

artificiais cidades, estradas, ferrovias, canais, plantaes, aeroportos, barragens, portos

de outros objetos

esfera celeste : estrelas e planetas

Lua : crateras, mares...

corpos celestes Sol : manchas solares ...

Planetas : montanhas, formao de nuvens

rgos do corpo humano

prdios histricos ...


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1.3 Caractersticas das Cartas

Permitem a coleta das informaes em gabinete; Apresentam informaes no visveis no terreno: toponmia, fronteiras fisicamente

indefinidas; Codificam informaes atravs de smbolos; Exigem uma atualizao permanente certas feies variam em funo do tempo; Representam um modo de armazenamento de informaes conveniente ao manuseio; So necessrias visualizao e compreenso de fenmenos espaciais e de sua

distribuio e relacionamento; Constituem um dos elementos bsicos do planejamento das atividades scio-econmicas

das comunidades humanas.

1.4 Classificao 1.4.1 Quanto finalidade (ABNT*)

Geogrficas: Topogrficas Planimtricas

Cadastrais, plantas

Aeronuticas Navegao Nuticas

Especiais : geolgicas, geomorfolgicas, meteorolgicas, de solos, de vegetao, de uso da terra, geofsicas, globos.


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1.4.2 Classificao segundo a Diretoria do Servio Geogrfico do Exrcito (DSG)

quanto a preciso topogrficas - satisfazem as normas tcnicas em vigor; - obtidas por mtodos de levantamentos regulares.

preliminares - obtidas por mtodos de levantamento menos precisos que os regulares

quanto ao carter informativo

gerais : - com informaes genricas, de uso particularizado.

especiais: - com informaes especficas, destinadas em particular a uma nica classe de usurios.

temticas: - com uma ou mais assuntos especficos, servindo apenas para situar o tema.

Outros documentos cartogrficos

Cartas de compilao

- obtidas pela reduo de folhas em escalas maiores; - obtidas pela reunio e consolidao de diversos

documentos cartogrficos.

mosaicos

no-controlados : fotos montadas sem apoio em pontos de coordenadas conhecidas

Semi-controlados : fotos montadas com apoio em pontos de coordenadas conhecidas

Controlados : fotos retificadas montadas com apoio em pontos de coordenadas conhecidas

Fotocartas : mosaico (controlado ou no) com quadriculado, moldura, nomenclatura

Ortofoto imagem formada por vrias fotografias areas justapostas de uma regio onde a perspectiva central trocada por uma ortogonal

foto-ndice :

mapa ndice realizado atravs da montagem das fotografias areas individuais reduzidas em escala, numeras e colocadas nas suas posies relativas de modo a permitir saber quais as fotografias que abrangem determinada regio fotografada.

folha-modelo: Representam o aspecto de uma folha (nomenclatura, Quadriculado, legendas, etc)


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2. Processo Cartogrfico Entende-se por mapeamento a aplicao do processo cartogrfico sobre uma coleo de

dados ou informaes, com vistas obteno de uma representao grfica da realidade perceptvel, comunicada a partir da associao de smbolos e outros recursos grficos que caracterizam a linguagem cartogrfica.

O planejamento de qualquer atividade que de alguma forma se relaciona com o espao fsico que habitamos requer, inicialmente, o conhecimento deste espao. Neste contexto, passa a ser necessria alguma forma de visualizao da regio da superfcie fsica do planeta, onde desejamos desenvolver nossa atividade. Para alcanar este objetivo, lanamos mo do processo cartogrfico.

Pode-se dividir, no processo cartogrfico em trs fases distintas: a concepo, a produo e a interpretao ou utilizao. As trs fases admitem uma s origem, os levantamentos dos dados necessrios descrio de uma realidade a ser comunicada atravs da representao cartogrfica.

No caso do mapa compilado a documentao coletada ter vital importncia na atualizao da base cartogrfica compilada.

2.1 Aquisio de Mapas O Brasil, pas de dimenses continentais, tem o seu territrio recoberto pelo mapeamento

sistemtico brasileiro que adota a mesma articulao da Carta do Mundo ao Milionsimo, a qual divide a Terra em fusos de 6 de amplitude em longitude e em faixas 4 de amplitude em latitude Por outro lado, sabe-se que 90% da cartografia nacional foi produzida entre as dcadas de 60 e 80. A partir de ento, o governo brasileiro no investiu recursos nessa rea, provocando uma defasagem nas informaes contidas nos mapas. A Tabela 1 mostra o nmero de folhas do mapeamento sistemtico existente, em funo da escala. Esta tabela foi adaptada incluindo-se a rea de abrangncia das folhas em relao amplitude em latitude e longitude. Observa-se que grande parte do territrio nacional coberto por cartas na escala 1:100.000 e menores.

Tabela 1 - Situao do mapeamento do territrio brasileiro (2003)

Escalas rea Coberta (Latitude x longitude) Total de Folhas Porcentagem do

Mapeamento (%) 1:1.000.000 4 x 6 46 100,00

1:500.000 2 x 3 68 36,90

1:250.000 1 x 130 444 80,72

1:100.000 30 x 30 2.289 75,39

1:50.000 15 x 15 1.647 13,90

1:25.000 730 x 730 492 1,01

fonte: http://www.moderna.com.br/geografia/projensinogeo/geobrasil/0028 (adaptado)

Atualmente com o uso de imagens orbitais com resoluo mdia (2,5 m) o problema da atualizao cartogrfica est gradativamente sendo resolvido. No entanto, para muitos trabalhos, o acesso as cartas a soluo.


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Para se adquirir mapas em papel (formato analgico), basta visitar alguma loja do IBGE e adquirir uma cpia do mapa. Se a utilizao do documento for diretamente sobre o papel, o problema do usurio est resolvido. Porm, se o usurio desejar utilizar o mapa em ambiente computacional, ser necessrio digitaliz-lo. Isto pode ser feito utilizando-se scanners ou mesas digitalizadoras, que um processo geralmente lento e oneroso devido as etapas de vetorizao e edio. Para resolver este problema, atualmente o IBGE vem disponibilizando mapas em formato digital gratuitamente na Internet.

Para adquirir gratuitamente os mapas digitais disponibilizados pelo IBGE, o usurio deve acessar o site do IBGE atravs do seguinte endereo http://www.ibge.gov.br/home/, em seguida necessrio clicar em Geocincias/Cartografia (FIGURA 3)

FIGURA 3 - Adquirindo mapas digitais pela Internet Passo 1

Aps isso, o usurio deve acessar o link Produtos sob a opo Mapeamento Topogrfico, conforme se pode observar na Figura 4:


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Figura 4 - Adquirindo mapas digitais pela Internet Passo 2

O passo seguinte acessar o cone de download, na forma de um disquete, localizado logo a frente de Cartas Topogrficas Vetoriais do Mapeamento Sistemtico (Figura 5). Ao clicar sobre o disquete, aberta outra tela para que o usurio fornea seu e-mail (Figura 6), caso o usurio no esteja cadastrado no site do IBGE, este dever fazer seu cadastro, para ento conseguir acessar os mapas (Figura 7). Para preencher o cadastro o usurio dever possuir um endereo de e-mail e ento preencher pelo menos todos os campos assinalados com um asterisco vermelho. Depois de cumprida esta etapa, o usurio pode realizar a aquisio gratuita de qualquer mapa, nas escalas 1:25.000, at 1:250.000. Cada carta acessada pelo nome da regio mapeada e ento um arquivo compactado (ZIP) acessado para aquisio. Aps isso, o usurio deve descompactar o arquivo e ento utilizar os arquivos da carta em um programa de computao grfica, tal como ArcView, Spring, Microstation, Geomedia, Bentley View, etc.


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3. Superfcies de referncia usadas em cartografia. Para se mapear a superfcie da Terra, antes necessrio conhecer a sua forma e dimenses. Sabe-se que a Terra um corpo esfrico irregular e que no possui uma descrio geomtrica. Ento necessria a utilizao de modelos adequados para sua descrio de acordo com os objetivos pretendidos nos levantamentos e mapeamentos.

3.1 Superfcie de referncia geoidal O geide definido como uma superfcie equipotencial (potencial gravitacional constante) materializada pelo nvel mdio dos mares. A fora da gravidade que gera essa superfcie equipotencial resultante de uma interao entre massas. Sabe-se que existe uma relao direta entre a massa e a densidade de um corpo, e que existe uma grande variao na constituio densimtrica dos materiais que constituem a parte interna do globo terrestre. Deste modo, essa superfcie equipotencial no apresenta uma forma regular. H ainda que se considerar, a questo dos corpos celestes que interagem com o campo gravitacional, provocando variaes constantes nesta superfcie. Alguns autores definem como sendo a forma do geide a que corresponde a forma da Terra real. Contudo, como essa superfcie no tem uma definio geomtrica, este postulado no tem muito sentido, quando o objetivo, esta na busca de um modelo para o mapeamento. No obstante, esta superfcie extremamente importante no estabelecimento das altitudes.


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3.2 Superfcie de referncia esfrica Se a rea a ser mapeada for extensa mostrando continentes ou a superfcie total da Terra, adota-se o modelo esfrico para a superfcie da Terra (Figura 8).

Figura 8 Superfcie de referncia esfrica.

Esta modelo implica em: Levantamento : Geodsia Clculos: Trigonometria esfrica Uso: mapas de formato pequeno mostrando grandes pores da superfcie terrestre Escala : escalas pequenas no maiores que 1:5.000.000 Mapas: Utilizao de projees cartogrficas

3.3 Superfcie de referncia elipsoidal Se a rea a ser levantada e mapeada no for pequena e nem muito extensa, o modelo que melhor representa a superfcie da Terra o elipside de revoluo, que possui uma formulao matemtica razoavelmente simples (Figura 9). Neste modelamento leva-se em conta o achatamento dos plos. O elipside de revoluo definido pelos seus semi-eixos maior (a) e menor (b) ou pelo semi-eixo maior e o achatamento (f).

Figura 9 Superfcie de referncia elipsoidal.

Por exemplo : a = 6.378 km

b = 6.356 km

f = 1/298,25 onde : a

baf =

Monte Evereste

Fossa das Marianas

nvel mdiodos mares

Terra esfrica Modelo reduzido

9 Km

11 Km

6 cm

0,2 mm

6.378

km

aa

b


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Este modelo implica em: Levantamento : Geodsia Clculos: Geodsicos Medidas: Reduzidas ao elipside de revoluo Uso: cartas topogrficas (mapeamento sistemtico), nuticas, aeronuticas. Escala : mdias (1:1.000.000 a 1:5.000) Mapas: Utilizao de projees cartogrficas

Independentemente do modelo adotado, tanto o esfrico como o elipsidico possuem vrias propostas para os seus parmetros definidores (raio e semi-eixos maior e menor).

3.4 O relacionamento entre as superfcies fsica, geoidal e elipsoidal.

Embora se utilizem modelos geomtricos para descrever a superfcie fsica da Terra na tarefa de mapeamento, as medies so executadas na superfcie topogrfica, ou simplesmente fsica. importante ento, definir-se alguns elementos deste relacionamento (Figura 10).

Figura 10 Relacionamento entre as superfcies fsica (topogrfica), elipsoidal e geoidal.

Na figura aparecem as superfcies fsica (SF), elipsoidal (SE) e geoidal (SG). A separao entre as superfcies elipsoidal e geoidal recebe o nome de ondulao do geide e representado pela letra N. Um ponto P, na superfcie fsica, sendo projetado segundo a direo da vertical (linha de prumo) e da direo da normal (reta ortogonal a superfcie do elipside) geram os pontos P e P. Ao segmento 'PP corresponde a altitude ortomtrica (H), e ao segmento "PP corresponde a altitude geomtrica ou elipsoidal (h). O ngulo formado entre a vertical e a normal definido como desvio da vertical (i). Este ngulo da ordem do segundo de arco e deste modo possvel se fazer uma relao entre as superfcies sem incorrer em erro significativo.

NHh +=

S.F.

S.E.

S.G.

vn

Hh

iP

P

PN


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4. Sistemas de Referncia

A posio de um ponto na superfcie da Terra determinada a partir de um sistema de coordenadas ou de referncia. Estes sistemas esto associados a uma superfcie de referncia que se aproxima do formato da Terra. o caso, por exemplo, do elipside de revoluo. Existem dois tipos de sistemas de referenciamento. O sistema de coordenadas esfricas e o sistema de coordenadas cartesianas tridimensionais. No primeiro tipo se enquadram s coordenadas geogrficas e geodsicas.

4.1 Sistemas de Coordenadas Geogrficas e Geodsicas

O sistema de coordenadas geogrficas divide o mundo nos hemisfrios norte e sul, que utiliza o equador como plano de diviso, e em oriente e ocidente que adota o meridiano de Greenwich como fronteira (Figura 11). Neste sistema um ponto na superfcie terrestre fica determinado pela sua latitude e longitude. Figura 11 Sistema de coordenadas geogrficas.

Latitude () define-se latitude de um lugar como sendo o ngulo formado entre a vertical do lugar e o plano do equador, ou a distncia angular contada sobre o meridiano deste, desde o equador at ele. A latitude varia de 0 a 90 sendo considerada negativa no hemisfrio sul.

Longitude (L) define-se longitude de um lugar como sendo o ngulo diedro formado pelo plano meridiano de Greenwich e o plano meridiano do lugar, ou a distncia angular contada sobre o equador desde o meridiano origem (Greenwich) at o meridiano deste. A longitude varia de 0 a 180 sendo considerada negativa a oeste de Greenwich (hemisfrio ocidental).

Meridiano de

Greenwich

L

P

Equador

Meridiano de PParalelo de P

PN

PS

Vertical


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Pode-se estabelecer um sistema de coordenadas similar utilizando-se como modelo para a Terra o elipside de revoluo (Figura 12). Este sistema de coordenadas conhecido como Sistema de Coordenadas Geodsicas

Figura 12 Sistema de coordenadas geodsicas.

Latitude () define-se latitude geodsica de um lugar como sendo o ngulo formado entre a normal do lugar e o plano do equador. A latitude varia de 0 a 90 sendo considerada negativa no hemisfrio sul.

Longitude () define-se longitude de um lugar como sendo o ngulo diedro formado pelo plano meridiano de Greenwich e o plano meridiano do lugar, ou a distncia angular contada sobre o equador desde o meridiano origem (Greenwich) at o meridiano deste. A longitude varia de 0 a 180 sendo considerada negativa a oeste de Greenwich (hemisfrio ocidental).

Neste sistema pode-se associar a altitude geomtrica ou elipsoidal (distncia sobre a normal desde o elipside at o ponto na superfcie topogrfica). Nesta situao o ponto fica assim referenciado (, , h).

4.2 Latitudes Geocntrica e Reduzida.

Nos problemas prticos de Geodsia somente o conhecimento da latitude geodsica no suficiente, comum se necessitar determinar as latitudes geocntricas (Figura 13) e a reduzida (Figura 14).


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Define-se latitude geocntrica de um ponto P na superfcie do elipside ao ngulo que o raio vetor CP deste ponto, forma com a sua projeo no plano do equador. Figura 13 Latitude geocntrica.

A relao entre a latitude geodsica e a geocntrica estabelecida pela seguinte frmula:

tgetg = )1( 2

No caso da latitude reduzida, necessrio observar a ilustrao antes de se poder definir. Na Figura 13, aparece um dos crculos principais da elipse que contm P, o circulo cujo raio igual ao semi-eixo maior (a). Ento, a partir de P se constri uma reta paralela ao eixo de rotao. Esta reta cruza a circunferncia em P. Define-se como latitude reduzida, ao ngulo formado pelo raio vetor 'CP e sua projeo no plano do equador.

Figura 14 Latitude reduzida.

A relao entre a latitude geodsica e a reduzida estabelecida pela seguinte frmula:

tgetgu = )1( 2

4.3 Sistemas de Coordenadas Cartesianas Tridimensionais. Este sistema de coordenadas caracterizado por um conjunto de trs eixos (X, Y e Z), ortogonais entre si (Figura 15). A origem do sistema pode coincidir com o centro de massa da Terra, e neste caso, denominado de geocntrico. As caractersticas deste sistema so as seguintes:

o eixo X definido pela interseco do plano meridiano de Greenwich com o plano do equador, sendo orientado positivamente no sentido do centro para o exterior.

o eixo Y definido pela interseco do plano meridiano de longitude 90 Leste com o plano equatorial.

o eixo Z paralelo ao eixo de rotao da Terra e orientado positivamente na direo do Plo Norte.

P

PN

PS

Equador

Normal

o

c

P

PN

PS

Equador

o

uc

P


20

Figura 15 Sistema cartesiano tridimensional.

Obs: Este um sistema dextrgiro.

4.4 Transformao de Coordenadas Cartesianas em Geogrficas. No sistema de coordenadas geogrficas o modelo que utilizado para representar a Terra

o modelo esfrico. Assim, a transformao de coordenadas dada pelas seguintes equaes:

222 zyxR ++= ;

22 yxz

arctg+

= ;

x

yarctgL =

onde: R - Raio da esfera que representa a Terra real;

- Latitude geogrfica;

L - Longitude geogrfica.

A latitude um ngulo que varia de 0 a 90 e o sinal da equao indica se o ponto est no hemisfrio norte ou sul. Entretanto, a longitude um ngulo que tem uma variabilidade maior (0 a 180) e neste caso, deve-se proceder a um estudo de sinal indicado no quadro da Figura 16.

Figura 16 Estudo de sinal para a longitude.

x y longitude hemisfrio

+ + L Leste - + L + 180 + - L Oeste - -

L - 180

Meridiano de Greenwich

Equador

= 90 EPN Z

X Y

PS


21

4.5 Transformao de Coordenadas Geogrficas em Cartesianas A transformao das coordenadas geogrficas em cartesianas conseguida pela aplicao

das seguintes equaes:

sen

;sencos;coscos

=

=

=

RzLRyLRx

5. Datum.

Datum o conjunto de parmetros que definem o sistema geodsico/cartogrfico de um Pas. (Nazareno).

Por parmetros, se subentende a figura geomtrica adotada para representar a Terra, as especificaes relativas ao ponto origem, a orientao do sistema de coordenadas, e a posio da superfcie elipsoidal em relao fsica e a geoidal, entre outros parmetros.

5.1 Datum Horizontal

De 1950 at meados da dcada de 70, o Brasil adotava o Datum de Crrego Alegre. Este Datum utiliza como superfcie de referncia, o Elipside de Hayford (1924) que teve a sua origem (centro) deslocada do centro de massa da Terra, de modo a melhor ajust-lo superfcie topogrfica. Este procedimento tornou o sistema topocntrico. Por questes de simplificao adotou-se ondulao nula (N=0 distncia medida sobre a vertical do local entre o elipside e o geide). A seguir so listados os parmetros definidores deste sistema.

Ponto origem: Vrtice Crrego Alegre

Coordenadas: = -19 50 14,91 = -48 57 41,98

h = 683,81m

Superfcie de referncia: Elipside internacional de Hayford 1924. Parmetros: a = 6.378.388,000 m

b = 6.356.911,946 m

f = 1/297 Ondulao Geoidal: N = 0 Valor adotado


22

Posteriormente, por um breve perodo o Brasil conviveu com o Datum Astro-geodsico de Chu, que mudou o ponto origem do vrtice de Crrego Alegre para o vrtice de Chu. Este Datum foi um ensaio para a adoo do Datum SAD-69.

O Datum SAD-69 (South American Data) um sistema regional, que teve a sua recomendao indicada em 1969 na XI Reunio pan-americana de Consulta sobre Cartografia. Nem todos os pases do continente seguiram a recomendao e oficialmente somente em 1979, o Brasil o adotou.

Os dados que caracterizam este Datum esto discriminados a seguir.

Ponto origem: Vrtice Chu Coordenadas: = -19 45 41,6527 = -48 06 04,0639 H = 763,28 m altitude ortomtrica Superfcie de referncia: Elipside internacional de Referncia

1967. Parmetros: a = 6.378.160,000 m b = 6.356.774,719 m f = 1/298,25 Ondulao Geoidal: N = 0 determinada Azimute geodsico: Az = 2713004,05 (Chu-Uberaba)

Esta concepo de Datum, referenciando o sistema a um ponto origem, considerada uma soluo clssica. Modernamente, principalmente pela tecnologia GNSS, a idia passou a ser a adoo de uma rede de pontos de coordenadas conhecidas que do suporte ao mapeamento.

Sob esse novo enfoque desde 25/02/2005, atravs da resoluo IBGE n 1/2005 o presidente daquela instituio, resolveu alterar a caracterizao do referencial geodsico brasileiro, que passou a ser o SIRGAS 2000 (Sistema de Referncia Geocntrico para as Amricas) poca 2000,4.

O projeto SIRGAS foi criado na Conferncia Internacional para Definio de um Sistema Referencial Geocntrico para a Amrica do Sul, realizada em Assuno-Paraguai em 1993. Os primeiros resultados foram apresentados na reunio cientfica da International Association of Geodesy (IAG) no Rio de Janeiro em 1997, que se traduziram em uma das redes de referncia


23

continentais mais precisas do mundo. O SIRGAS proposto composto por 58 estaes distribudas pelo continente, com coordenadas determinadas por GPS e referidas a rede de referncia internacional mais precisa daquela poca (ITRF94 poca 1995.4). Destas 58 estaes, 11 esto no territrio brasileiro e 9 coincidem com estaes da Rede Brasileira de Monitoramento Contnuo do Sistema GPS (RBMC).

Atualmente a figura geomtrica adotada o elipside de revoluo geocntrico usado pelo Geodetic Reference System 1980 (GRS 80) cujos parmetros so os seguintes:

a = 6.378.137,0000000000 m

b = 6.356.752,3141403558 m

f = 1/298,257222101

Este sistema est materializado por 21 estaes geodsicas distribudas no territrio nacional, cujos valores esto na Tabela 2.

Tabela 2 Estaes do SIRGAS 2000

Estao

Coordenadas Geodsicas Coordenadas Cartesianas

Altitude

elipsoidal (m)

X (m) Y (m) Z(m)

BRAZ 15 56 50,9112 S 47 52 40,3283 W 1.106,020 4.115.014,085 -4.550.641,549 -1.741.444,019 BOMJ 13 15 20,0103 S 43 25 18,2468 W 419,401 4.510.195,835 -4.268.322,325 -1.453.035,300 CAC1 22 41 14,5337 S 44 59 08,8606 W 615,983 4.164.559,941 -4.162.495,407 -2.445.051,218 CANA 25 01 12,8597 S 47 55 29,8847 W 3,688 3.875.253,589 -4.292.587,088 -2.681.107,718 CORU 19 00 01,0131 S 57 37 46,6130 W 156,591 3.229.969,943 -5.095.437,766 -2.063.429,898 CRAT 07 14 16,8673 S 39 24 56,1798 W 436,051 4.888.826,036 -4.017.957,454 -798.309,017 CUIB 15 33 18,9468 S 56 04 11,5196 W 237,444 3.430.711,406 -5.099.641,565 -1.699.432,931 FOR1 03 43 34,3800 S 38 28 28,6040 W 48,419 4.982.893,151 -3.959.968,539 -411.742,293 FORT 03 52 38,8046 S 38 25 32,2051 W 19,451 4.985.386,605 -3.954.998,594 -428.426,440 IMBI 28 14 11,8080 S 48 39 21,8825 W 11,850 3.714.672,427 -4.221.791,488 -2.999.637,883 IMPZ 05 29 30,3584 S 47 29 50,0445 W 105,008 4.289.656,441 -4.680.884,944 -606.347,331 MANA 03 06 58,1415 S 60 03 21,7105 W 40,160 3.179.009,359 -5.518.662,100 -344.401,823 MCAE 22 22 10,3989 S 41 47 04,2080 W 0,056 4.400.142,600 -3.932.040,418 -2.412.305,322 PARA 25 26 54,1269 S 49 13 51,4373 W 925,765 3.763.751,652 -4.365.113,803 -2.724.404,694 POAL 30 04 26,5528 S 51 07 11,1532 W 76,745 3.467.519,402 -4.300.378,535 -3.177.517,730 PSAN 00 03 26,4338 S 51 10 50,3285 W -15,506 3.998.232,011 -4.969.359,526 -6.340,615 RECF 08 03 03,4697 S 34 57 05,4591 W 20,180 5.176588,653 -3.618.162,163 -887.363,920 RIOD 22 49 04,2399 S 43 18 22,5958 W 8,630 4.280.294,879 -4.034.431,225 -2.458.141,380 SALV 13 00 31,2116 S 38 30 44,4928 W 35,756 4.863.495,731 -3.870.312,351 -1.426.347,813 UEPP 22 07 11,6571 S 51 24 30,7223 W 430,950 3.687.624,315 -4.620.818,606 -2.386.880,343 VICO 20 45 41,4020 S 42 52 11,9622 W 665,955 4.373.283,313 -4.059.639,049 -2.246.959,728 SMAR 29 43 08,1260 S 53 42 59,7353 W 113,107 3.280.748,410 -4.468.909,741 -3.143.408,684 Fonte: Resoluo n 1 de fevereiro de 2005 (IBGE) adaptada.


24

Est includa nesta Tabela 2 a estao SMAR, pertencente a Rede Brasileira de Monitoramento Continuo do Sistema GPS (RBMC) e cujas coordenadas foram determinadas pelo IBGE posteriormente campanha GPS/SIRGAS 2000.

5.2 Mudana de Datum. Considerando que todo o sistema de mapeamento tem uma ligao ntima com o Datum adotado, a utilizao de um parmetro diverso ao estabelecido, implica numa inconsistncia de dados. Deve-se ento, tomar o cuidado de verificar em qual Datum est referenciado o mapeamento e fazer as adequaes necessrias compatibilizao. Com a difuso da utilizao da tecnologia GPS (Global Positioning System), este cuidado deve ser redobrado, uma vez que o sistema utiliza os parmetros do sistema WGS-84. O IBGE atravs da Resoluo n 23, de 21 de fevereiro de 1989, estabeleceu os critrios oficiais para transformaes de sistemas geodsicos (mudana de Datum). A Resoluo n 1/2005 complementa no que concerne mudana para o SIRGAS 2000. A resoluo recomenda que se utilize a transformao das coordenadas geodsicas em tridimensionais, aplique-se nestas os fatores de transformao e posteriormente se retorne ao sistema geodsico. At essa Resoluo aplicavam-se as frmulas simplificadas de Molodeski.

5.2.1 Transformao de Coordenadas Geodsicas para Cartesianas Tridimensionais

( ) ;sen)1(;sencos)(;coscos)(

112111

11111

11111

heNZhNYhNX

+=

+=

+=

onde : 1 = Latitude geodsica do ponto

1 = Longitude geodsica do ponto

N1 = raio de curvatura da seo 1 vertical (grande normal)

h1 = altitude geomtrica ou elipsoidal

Transformao de sistema Considerando que o Datum de Crrego Alegre, SAD 69, SIRGAS 2000 e WGS 84 so paralelos entre si, transformao neste caso, envolve apenas translao de eixos.

X2 = X1 + X12 Y2 = Y1 + Y12

Z2 = Z1 + Z12

onde: X, Y e Z so parmetros de transformao, definidos na resoluo e esto listados na Tabela 3.


25

5.2.2 Transformao de Cartesianas Tridimensionais para Coordenadas Geodsicas

22

22

22

2

2

22

32

22

22

22

32

222

2

cos

cos

sen'

NYXh

XY

arctg

uaeYXubeZ

arctg

+=

=

+

+=

onde:

utgtgu

u21

sen+

= ; utg

u21

1cos

+= ;

2

22

222

2

ba

YXZ

tgu +

=

Os parmetros de transformao encontram-se na Tabela 3 . Tabela 3 Parmetro de transformao dos Datum brasileiros.

Parmetros de Transformao

Crr. Alegre -

SAD 69

SAD 69 -

Crr. Alegre

SAD 69 -

SIRGAS 2000

SIRGAS 2000

SAD 69

SAD 69

WGS 84

WGS 84

SAD 69

X -138,70 m 138,70 m - 67,35 m 67,35 m - 66,87 m 0,43m 66,87 m 0,43m

Y 164,40 m - 164,40 m 3,88 m - 3,88 m 4,37 m 0,44m - 4,37 m 0,44m

Z 34,40 m -34,40 m -38,22 m 38,22 m -38,52 m 0,40m 38,52 m 0,40m

obs: Dados obtidos do Boletim de Servio N 1602 (suplemento) e nas resoluo N 23/89 e N 1/2005 IBGE.

Os parmetros que definem o elipside utilizado pelo sistema WGS 84 so os seguintes:

a = 6.378.137,000 m

WGS 84 b = 6.356.752,314 m

f = 1/298,257223563

Em decorrncia da evoluo tecnolgica, o WGS84 j passou por trs atualizaes: WGS84(G730); WGS84(G873) e WGS84(G1150). Desta forma, os parmetros de transformao da Tabela 3 entre SAD 69 e WGS84, devem ser usados para levantamentos GPS antes de 1994. Aps esta data os parmetros indicados so os da transformao entre SAD 69 e SIRGAS 2000 uma vez que os dois sistemas (WGS84 e SIRGAS 2000) so compatveis ao nvel do centmetro. No site do IBGE possvel ter acesso a dois programas de transformao de Datum, O TCGeo e o PROGRID. O TCGeo utiliza a formulao apresentada na resoluo n 23 de 21 de fevereiro1989 e os parmetros de transformao da resoluo n 1 de 25 de fevereiro de 2005.


26

Este programa faz a transformao e no leva em considerao a distoro da rede geodsica, originada pelo transporte de coordenadas feitas atravs da triangulao geodsica. O PROGRID um programa mais abrangente que utiliza um grid de referncia que procura modelar as distores da rede ao mesmo tempo em que proporciona a mudana de Datum. Nenhum desses programas melhora a qualidade do dado original quanto a preciso.

5.3 Datum vertical.

O referencial altimtrico brasileiro coincide com a superfcie equipotencial do campo da gravidade da terrestre que contm o nvel mdio do mar (Geide) definido pelas observaes maregrficas tomadas na baa de Imbituba, no litoral do estado de Santa Catarina de 1949 a 1957.

6. Projees Cartogrficas 6.1 Introduo

Define-se projeo cartogrfica como sendo qualquer arranjo sistemtico de meridianos e paralelos descrevendo a superfcie curva da esfera ou elipside em um plano. Em outras palavras a representao da superfcie fsica da Terra no plano do papel (Figura 17). Essa relao entre a superfcie fsica e a do papel se d atravs de funes matemticas de tal modo que cada projeo possui equaes nicas.

x = f1(,) = f3(,) ou

y = f2(,) = f4(,) Estas equaes tanto servem para definir a projeo como para constru-la.

Figura 17 Representao grfica da definio de projeo cartogrfica.

TERRA MAPA


27

6.2 Superfcies de projeo A Terra um corpo plstico que sofre deformaes percebidas pela mar terrestre. Sua forma aproximadamente esfrica, mas no tem uma forma geomtrica definida. Por essa razo, so utilizados modelos para represent-la (esfrico e elipsidico). A partir desse modelamento que se estabelecem as relaes matemticas, contudo, a correspondncia entre os pontos da superfcie e do mapa no exata. Em primeiro lugar existe um fator de escala que deve ser considerado e em segundo lugar impossvel transformar uma superfcie curva em uma plana sem provocar deformaes (estiramentos, descontinuidades). O que se procura fazer eleger alguma rea da superfcie e ento minimizar os efeitos da distoro nesta regio. dentro dessa lgica que foram imaginadas trs superfcies de projeo para tentar contornar o problema: a superfcie plana, a cnica e a cilndrica. Estas trs superfcies tambm servem como um dos parmetros classificatrios das projees, ou seja:

Projees azimutais plana Projees cnicas superfcie cnica Projees Cilndricas cilndrica

Qualquer uma destas superfcies pode estar na posio normal, transversa ou oblqua, dependendo da necessidade (Figura 18).

Figura 18 Superfcies de projeo em funo da forma, aspecto e classe.

N O R M A L T R A N S V E R S O OBLQUO

S U

P E

R F

C

I E

S

D E

P

R O

J E

O

C I

L N

D R

I C

AC

N

I C

AP

L A

N A

C L

A S

S E

S

D A

S

P

R O

J E

E S

C I

L N

D R

I C

AC

N

I C

AA

Z I

M U

T A

L

A S P E C T O D A S P R O J E E S


28

6.3 Introduo ao conceito de distoro A representao de um trecho ou totalidade da superfcie fsica da Terra remete a idia de escala. O conceito de escala indica quantas vezes um objeto foi reduzido ou ampliado para poder ser representado no papel. Contudo, este valor deve ser entendido como sendo um valor mdio porque diferentes pontos do mapa sofrem diferentes deformaes. Este fato causado pela transformao da superfcie curva da Terra para a superfcie plana do mapa e varia seu valor em funo da projeo cartogrfica que se est utilizando. Em cartografia pode-se pensar em representar a superfcie da Terra de duas maneiras:

a) Cortando a superfcie do globo ao longo de certos paralelos e meridianos. Este procedimento minimiza as distores, contudo apresenta o inconveniente de se representar o mesmo paralelo e meridiano duas vezes, alm de haver descontinuidade no mapa (Figura 19).

Figura 19 Representao cartogrfica descontnua.

Fonte : MALING, D.H. Coordinate Systems and Map Projections. Pergamon Press Inc. New York. 1992.


29

b) Estirando a superfcie em alguma direo. Na Figura 20, por exemplo, a Projeo Policnica Hassler 1820 (Eqidistante segundo os paralelos) existe um estiramento na direo dos meridianos. Observa-se que a deformao vai aumentando na medida em que se aproxima do limite do mapa; a distncia entre dois paralelos cresce a partir do centro; a separao entre dois meridianos quaisquer permanece praticamente constante; no h descontinuidade.

Figura 20 Representao cartogrfica contnua.

Em qualquer um dos casos tm-se vantagens e desvantagens e, dependendo da finalidade, aplica-se uma soluo ou outra. Em termos prticos pode-se, para o segundo caso, restringir-se a amplitude da rea a ser mapeado, caso da projeo UTM que est contida em fusos de 6 de amplitude. Este valor foi adotado porque alm desse limite a deformao passa a ter um valor significativo. Entende-se por significativo aquele valor que pode ser mensurado com um escalmetro num mapa, ou seja, qualquer deformao maior que o erro grfico (0,2 mm).

Fonte : MALING, D.H. Coordinate Systems and Map Projections. Pergamon Press Inc. New York. 1992.


30

6.3.1 Escala principal. Escala definida como a razo entre um comprimento no mapa e o seu valor real no terreno. Normalmente utiliza-se a relao:

1E

dD=

onde : d - distncia no mapa;

D - distncia real.

Todavia pode-se usar outra formulao mais adequada para cartografia. Essa nova equao tem relao direta com o conceito de esfera modelo ou globo gerador.

Define-se esfera modelo como o modelo reduzido da Terra Real. Essa entidade matemtica tem raio unitrio.

Ento a partir dessa conceituao pode-se definir escala principal de um mapa como a relao entre o raio da esfera modelo com o da Terra real.

TRR

E=

1

onde : R - raio da esfera modelo;

D - raio da Terra real.

Normalmente as escalas em cartografia so representadas na forma de frao onde o numerador unitrio, assim:

1 =

1

6.3.2 Escalas particulares Observando-se ainda o mapa da Figura 20, pode-se intuir que dependendo da direo tomada tm-se valores diferentes para a deformao. Este fato real implica no conceito de escalas particulares que definido como sendo uma taxa de variao da escala principal ao longo de uma direo infinitamente curta. Esta taxa de variao varia conforme a direo escolhida.

Supondo um quadriltero infinitesimal ABCD sobre a superfcie de referencia esfrica (esfera modelo) construdo a partir do ponto A de coordenadas e (Figura 21).

Esse quadriltero ao ser transportado para a superfcie de projeo sofre distores fazendo com que os pontos B, C, e D sejam deslocados, gerando o quadriltero ABCD. Esta situao pode ser visualizada na Figura 21.


31

Figura 21 Quadriltero infinitesimal na superfcie de referncia (esfera) e na superfcie de projeo.

Superfciede

Referncia

Superfciede

Projeods

A

B

C

D

P

R

S

Q

dx

dy

X

Y

A

B C

D

ds

+ d

+ d

Quadrilteroinfinitesimal

A

R

d

rpd

Estes deslocamentos tm significado geomtrico e podem ser representados simbolicamente por uma notao de derivadas parciais, que esto explicitados No quadro da Figura 22. Figura 22 Significados das deformaes na transformao da superfcie referncia de projeo para a de projeo.

Deslocamento Significado Smbolo

AP Incremento na direo de Y ocasionado por uma variao infinitesimal da latitude (d) d

y

PB Incremento na direo de X ocasionado por uma variao infinitesimal da latitude (d) d

x

AS Incremento na direo de X ocasionado por uma variao infinitesimal da longitude (d) d

x

SD Incremento na direo de Y ocasionado por uma variao infinitesimal da longitude (d) d

y


32

O incremento calculado por uma derivada parcial da funo que representa a transformao da superfcie de referncia (esfrica ou elipsidica) para a superfcie de projeo (plana, cnica ou cilndrica) em relao a latitude e longitude. Escala uma relao entre o comprimento real e o representado, assim as escalas particulares podem ser calculadas como sendo as relaes entre os comprimentos dos segmentos na esfera e os seus correspondentes no plano de projeo. Esta variao pode ser entendida como um fator de deformao que varia ao longo de toda superfcie de projeo. Ento se pode determinar o fator de deformao ao longo dos paralelos, ao longo dos meridianos, em uma direo qualquer, segundo um azimute e assim por diante.

6.3.3 Fator de deformao ao longo dos meridianos (h). O fator de deformao ao longo dos meridianos representado pela letra h. definido pela relao:

h = AB

BA '';

Analisando o quadriltero infinitesimal da Figura 21 tem-se que AB a hipotenusa de um tringulo retngulo, ou seja:

22'''''' BPPABA +=

substitudo os segmentos pelos seus significados (Tabela 3)

22

22

''

dxdyBA

+

= => 2

22

''

dxyBA

+

=

Chamando a quantidade

+ = vem =

AB o comprimento de um arco de meridiano de raio R e amplitude d, ou seja:

AB = R.d considerando uma esfera de raio unitrio AB = d Finalmente

h =

ddE

h = E ;


33

6.3.4 Fator de deformao ao longo dos paralelos (k). O fator de deformao ao longo dos paralelos representado pela letra k. definido pela relao:

k = AD

DA '';

Analisando novamente o quadriltero infinitesimal da Figura 21 tem-se que AD a hipotenusa de um tringulo retngulo, ou seja:

22'''''' DSSADA +=

substitudo os segmentos pelos seus significados (Tabela 3)

22

22

'' dydxDA

+

= => 222

'' dyxBA

+

=

Chamando a quantidade +

= vem =

AD o comprimento de um arco de paralelo de raio rp e amplitude d (Figura 23):

Figura 23 Raio do paralelo em funo da latitude.

R

rp

dA D

R

rp=cos R.

A

AD = R.cos.d considerando uma esfera de raio unitrio AD = cos.d Finalmente

k = d

dGcos

k = secG ;


34

6.3.5 Elipse das distores ou Indicatriz de Tissot Uma circunferncia na superfcie da esfera, infinitamente pequena, quando

transformada para o plano da projeo, ao sofrer deformao assume a forma elptica. Esta elipse recebe o nome de elipse das distores ou Indicatriz da Tissot e est representada na Figura 24. Figura 24 Indicatriz de Tissot (elipse das distores)

Teorema de Tissot: Sobre qualquer ponto de uma projeo existem duas direes perpendiculares entre si,

que ao serem transformadas, embora existindo deformao angular, permanecem perpendiculares entre si. As direes I e II so conhecidas como direes principais e sobre elas que ocorrem as deformaes mxima e mnima (a e b). Na esfera os paralelos se cruzam segundo um ngulo de 90, porm esse valor alterado pela distoro sendo representado por (Figura 25). Figura 25 Quadriltero infinitesimal na superfcie de projeo.

ds

A

B

C

D

P

R

S

Q

dx

dy

X

Y

a a

aa

ds ds

C Cy y

x x

I I I I

I I

A A

na projeona esfera

a

b

Mer

idia

no

Paralelo

kh


35

Do quadriltero infinitesimal transformado representado na Figura 25, vem:

+ + = 180 = 180

Extraindo o cosseno das duas igualdades:

cos = cos180 mas

cos180 = cos 180 cos )*+180 )*+ = cos

Aplicando a lei dos cossenos no tringulo plano ABC(Figura 25):

) = + , 2 , ./)

Isolando a funo cosseno:

012 3 = 4567896:678:6;67796:6:6;6 (Equao 1)

) =


36

Chamando de L = J +

K e lembrando que:

= +

* = +

) = + 2 L +

Os valores resultantes dos clculos para E, F e G so conhecidos como quantidades fundamentais de Gauss.

Das dedues anteriores = e , = =

Substituindo na equao 1.

cos = + 2 L +

2 = L

h = E; k = G sec

Finalmente:

./) = L S ./)

Onde o ngulo reto deformado.

6.3.6 Fator de deformao mximo (a) e mnimo (b)

As seguintes relaes podem ser deduzidas a partir do conceito de elipse das distores. h2 = a2.cos2+b2.sen2 k2 = a2.sen2+b2.cos2

associando as duas equaes: h2 + k2 = a2 + b2 (Equao 2)

Esta expresso representa o 1 Teorema de Apolnio, que mostra que a soma ao quadrado de dois dimetros conjugados na elipse uma constante.


37

O 2 Teorema de Apolnio mostra que a rea formada por dois semi-dimetros conjugados na elipse igual a rea do retngulo formado pelos semi-eixos da elipse, ou seja:

h.k.sen= a.b (Equao 3)

A h2 + k2 = a2 + b2 (Equao 2 e h.k.sen= a.b (Equao 3 permitem avaliar a evoluo das distores mxima e mnima para qualquer projeo a partir dos valores conhecidos h, k e . Multiplicando a h.k.sen= a.b (Equao 3 por 2 e somando e subtraindo da h2 + k2 = a

2 + b2 (Equao 2 resulta:

h2 + k2 2.h.k.sen = a2 + b2 2.a.b

finalmente

(a b)2 = h2 + k2 2.h.k.sen

A resoluo deste sistema de equaes permite determinar os valores dos fatores de deformao mximo e mnimo.

6.3.7 Fator de deformao de rea (p). Considerando que o quadriltero ABCD representado na Figura 25 muito pequeno, pode-se definir que o fator de deformao da rea :

)*+

Ento:

p = h.k.sen ou p = a.b

6.3.8 Fator de deformao angular mximo (). A equao que permite o clculo do fator de deformao angular mximo a seguinte:

baba

+

=

2sen


38

Dependendo da funo de projeo que se utilize, tm-se valores diferentes para as deformaes, que so do tipo linear, angular e de rea. Em resumo, as escalas particulares ou fatores de deformao assumem valores mximos e mnimos e podem ocorrer:

ao longo dos meridianos = h

ao longo dos paralelos = k

ao longo das direes principais (mxima) = a

ao longo das direes principais (mnima) = b

de rea = p

Angular mxima =

No obstante os mapas possurem deformao, existem certos pontos ou linhas onde essas deformaes no ocorrem ou o fator de deformao igual a 1. Esses locais so conhecidos como pontos ou linhas de distoro zero (pdz ou ldz ). A Figura 26 mostra essas situaes.

Figura 26 Pontos e Linhas de distoro Zero.

ldz pdz

ldz ldz


39

6.3.9 Propriedades especiais das projees

Apesar da escala principal s ser preservada ao logo de certos pontos ou linhas (pdz ou ldz) e as escalas particulares variarem tanto em posio como em direo num mapa, possvel criar certas combinaes especiais de escalas particulares que podem ser mantidas em toda a extenso de um sistema de projeo, com exceo aos pontos singulares. Pontos singulares so aqueles onde o Teorema de Tissot no se aplica. Por exemplo, em algumas projees os plos aparecem como sendo linhas ao invs de pontos.

Estas propriedades classificam as projees em conformes, equivalentes, eqidistantes e afilticas. O quadro da Figura 27 resume as caractersticas de cada uma das propriedades.

Figura 27 Propriedades especiais das projees cartogrficas.

Propriedade Escala particular Efeito Aplicao

Conformidade a =b no h deformao angular; a forma dos objetos mantida.

Mapas onde a medida de ngulos importante. Ex.: Cartas Topogrficas, Cartas de Navegao e Cartas Militares.

Equivalncia a.b = 1 os ngulos so deformados, porm no h deformao de rea.

Mapas onde a medida das reas importante. Ex.: Mapas de uso da terra, vegetao, populacionais.

Eqidistncia h = 1 no h deformao

segundo os meridianos. Mapas onde a conformidade ou a equivalncia no sejam primordiais. Atlas, mapas de planejamento estratgico.

k = 1 no h deformao segundo os paralelos.

Afilticas no apresentam nenhuma propriedade

As projees equidistantes apresentam uma caracterstica importante, elas deformam menos os ngulos que as equivalentes e menos as reas que as conformes, sendo ento til quando as outras duas propriedades no so necessrias.

A Figura 28 mostra as deformaes sofridas pela Projeo Sinusoidal ou Projeo de Sansom-Flamsteed. Esta projeo classificada como equivalente pertence s pseudo-cilndricas. Observa-se que ao longo do equador e do meridiano de Greenwich as Indicatrizes de Tissot so circunferncias de mesmo tamanho, o que indica que as deformaes: mxima e mnima; ao longo dos meridianos e ao longo dos paralelos, so iguais. Por ser uma projeo equivalente a deformao mxima igual ao inverso da mnima, ou seja: T = 1 UV

Deste modo percebe-se que o meridiano de Greenwich e o equador so linhas de distoro zero. Fora delas observa-se um estiramento na medida em que se aproxima do Polo Norte.


40

Figura 28 Deformaes sofridas pela Projeo Sinusoidal ou Projeo de Sansom-Flamsteed.

Fonte : MALING, D.H. Coordinate Systems and Map Projections. Pergamon Press Inc. New York. 1992


41

6.4 Projees Azimutais As projees azimutais so aquelas que utilizam o plano como superfcie de projeo. Como j mostrado na Figura 18, dependendo da posio que o plano ocupa, ela pode ser classificada quanto ao aspecto como normal, oblqua ou transversa, alm de poder ser tangente ou secante ao modelo de referncia. As frmulas gerais para as projees azimutais, no caso normal e tangente, so as seguintes.

r = f(); x = r.sen = ; y = r.cos

onde : r - raio do paralelo no plano de projeo - co-latitude do paralelo ( = 90 - ) - Longitude. - ngulo correspondente a longitude no plano de projeo.

As escalas particulares ao longo dos paralelos e meridianos so definidas por :

ddr

ddrh ==

e cossenrrk ==

A Figura 29 mostra os elementos envolvidos numa projeo azimutal normal.

6.5 Projees cnicas As projees cnicas so aquelas que utilizam o cone como superfcie de projeo. Como j mostrado na Figura 18, dependendo da posio que o cone ocupa, ela pode ser classificada quanto ao aspecto como normal, oblqua ou transversa, alm de poder ser tangente ou secante ao modelo de referncia. As frmulas gerais para as projees cnicas, no caso normal e tangente, so as seguintes.

r = f(); x = r.sen = ; y = C r.cos

onde : r - raio do paralelo no plano de projeo - co-latitude do paralelo ( = 90 - ) - Longitude. - fator de reduo ou constante do cone C - corresponde ao raio do paralelo-padro no plano de projeo - ngulo correspondente a longitude no plano de projeo.


42


ddr

ddrh ==

e

cossen

rrk ==

A Figura 30 mostra os elementos envolvidos numa projeo cnica normal.

6.6 Projees Cilindricas

As projees cilindricas so aquelas que utilizam o cilindro como superfcie de projeo. Como j mostrado na Figura 18, dependendo da posio que o cilindro ocupa, ela pode ser classificada quanto ao aspecto como normal, oblqua ou transversa, alm de poder ser tangente ou secante ao modelo de referncia. As frmulas gerais para as projees cilindricas, no caso normal e tangente, so as seguintes.

x = y = f()


ddyh =

e sec=k

Existem ainda a classes das projees pseudo-cnicas, pseudo-cilndricas e policnicas.

A Figura 31 mostra os elementos envolvidos numa projeo cilndrica normal.


43

Figura 29 Projeo Azimutal no aspecto normal.

R

P

P`

PN r

PS

Lei de projeo : r = f( ) = F ( ) =

rcosk =

h -= rr=

=r

senSuperfcie de projeo

P`

r

(Esfera modelo - R=1)Superfcie de referncia

Projees AzimutaisSuperfcie de projeo


44

Figura 30 Projeo Cnica no aspecto normal.

P`PN

V

Lei de projeo : r = f( ) = F ( ) = = constante do cone

rcosk =h -=

r

P`

r

V

Superfcie de projeo

P

R

0

Projees Cnicas

Superfcie de projeo


PS

r

(Cone - tangente)Paralelo-padro (L.d.z.)

C


45

Figura 31 Projeo Cilndrica no aspecto normal.

PN

PS

P P`

R

Projees CilindricasSuperfcie de projeo


(Cilindro - tangente)Equador

Paralelo-padro (L.d.z.)

Equador

Mer

idia

no

de G

reen

wic

h

180

E

180

W

Superfcie de projeo

0

90 S

90 N

Lei de projeo :

y = f( ) = F ( ) x =

cosk =h =y

cos0


46

7. Anlise de uma projeo sob a tica da teoria das distores. Todas as projees cartogrficas, indistintamente, provocam deformaes nas feies

cartografadas no processo de transferncia da superfcie fsica para a de projeo. Deste modo, ao se adotar uma ou outra formulao, deve-se levar em considerao qual das caractersticas que se quer preservar, ou seja, que propriedade interessa.

As projees so classificadas quanto s propriedades em conformes, eqidistantes, equivalentes e afilticas. Dependendo da formulao (lei da projeo) mesmo a propriedade sendo igual, no se tem o mesmo resultado. necessrio se fazer um estudo sob a luz da teoria das distores antes de se optar por esta ou aquela projeo.

A Projeo Cilndrica Conforme de Mercator uma das mais conhecidas e como forma de exemplificao ser aplicada a teoria das distores nela. Ronan (1983) apud Maling(1993) em sua obra The Cambribge Ilustrated History of the Worlds Science, afirma que esta projeo foi utilizada por Chien Lo-Chih num primitivo mapa de estrelas (Tunhuang 940). Na Europa, a sua utilizao datada de 1511 por Etzlaud e 1569 por Mercator. A navegao passou a adot-la a partir de 1.599.

A formulao desta projeo (lei de projeo) a seguinte:

x =

y =

+

24ln pitg

a) Clculo das derivadas parciais

;0=x

;1=x

;0=y

;

24cos

242

121

242cos

1

24(

24cos

21

242sec

24

1

+

+

=

+

+

+

=

+

+

=

pipipipi

pipi

pi sensentg

y

( ) ( ) ;)cos(11

21

224 pipi=

+=

+=

sensen

y );sec(

=

y


47

b) Clculo das quantidades fundamentais de Gauss

( ) ( )

( ) ( ) ;101)()(;00)sec(10

);(2sec2)sec(20)()(

2222

22

=+=+=

=+=+=

=+=+=

yx

yyxx

yx

G

F

E

c) Clculo das escalas particulares c.1) Fator de deformao ao longo dos meridianos

Eh = h = sec()

c.2) Fator de deformao ao longo dos paralelos

)sec(= Gk k = sec()

c.3) Fator de deformao mximo (a) e mnimo (b)

0)cos(0

)cos()'cos( === khkhF

=> = 90

( ) ( ) khbakhkhkhkhkhba ====+=+= 222222 2)'sen(2

c.4) Fator de deformao de rea

p = a.b p=sec2()

c.5) Deformao angular mxima.

00sen como ;2

sen ===+

= b a

baba


48

d) Tabela de deformaes Tabela 4 Tabela de deformao da Projeo Cilndrica de Mercator (aspecto normal)

h k a b p

0 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00

15 1,04 1,04 1,04 1,04 1,07 0,00

30 1,15 1,15 1,15 1,15 1,33 0,00

45 1,41 1,41 1,41 1,41 2,00 0,00

60 2,00 2,00 2,00 2,00 4,00 0,00

75 3,86 3,86 3,86 3,86 14,93 0,00

90 No definida

Observa-se na Tabela 4 que as deformaes crescem na direo dos Plos, tendendo para o infinito. Isso acontece porque esta projeo no definida para latitude de 90. A deformao angular mxima igual a Zero, o que era de se esperar, uma vez que a projeo conforme e os ngulos, neste caso, so preservados. Nota-se ainda, que uma rea localizada na latitude de 75, sofre uma ampliao na rea da ordem de 14,93 vezes.

Se por projeto for estabelecida uma tolerncia de 4% em termos de deformao linear, s a regio compreendida entre os meridianos de 15 N e 15 S ter a sua rea mapeada por esta projeo.


49

Na tabelas de Tabela 1 a Tabela 8, so apresentados os fatores de deformao de algumas projees azimutais.

Tabela 5 Tabela de deformao da Projeo Conforme Azimutal Estereogrfica (aspecto normal)

h k a b p

0 2,00 2,00 2,00 2,00 4,00 0,0

15 1,59 1,59 1,59 1,59 2,52 0,0

30 1,33 1,33 1,33 1,33 1,78 0,0

45 1,17 1,17 1,17 1,17 1,37 0,0

60 1,07 1,07 1,07 1,07 1,15 0,0

75 1,02 1,02 1,02 1,02 1,03 0,0

90 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,0

Tabela 6 Tabela de deformao da Projeo Afiltica Azimutal Gnomnica (aspecto normal)

h k a b p

0 No definida

15 14,93 3,86 14,93 3,86 57,68 72,1

30 4,00 2,00 4,00 2,00 8,00 38,9

45 2,00 1,41 2,00 1,41 2,83 19,8

60 1,33 1,15 1,33 1,15 1,54 8,2

75 1,07 1,04 1,07 1,04 1,11 2.0

90 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,0


50

Tabela 7 Tabela de deformao da Projeo Equidistante nos Meridianos Azimutal de Poste (aspecto normal)

h k a b p

0 1,00 1,57 1,57 1,00 1,57 25,7

15 1,00 1,36 1,36 1,00 1,36 17,3

30 1,00 1,21 1,21 1,00 1,21 10,9

45 1,00 1,11 1,11 1,00 1,11 6,0

60 1,00 1,05 1,05 1,00 1,05 2,8

75 1,00 1,01 1,01 1,00 1,01 0,7

90 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,0

Tabela 8 Tabela de deformao da Projeo Equivalente Azimutal de Lambert (aspecto normal)

h k a b p

0 0,71 1,41 1,41 0,71 1,00 38,9

15 0,79 1,26 1,26 0,79 1,00 26,3

30 0,87 1,15 1,15 0,87 1,00 16,4

45 0,92 1,08 1,08 0,92 1,00 9,2

60 0,97 1,04 1,04 0,97 1,00 4,0

75 0,99 1,01 1,01 0,99 1,00 1,1

90 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,0

A partir destas tabelas possvel se fazer o estudo de que projeo mais adequada para o projeto cartogrfico que se pretende. Este tipo de anlise deve ser aplicado sempre que se pretende utilizar uma projeo diferente das tradicionais.


51

Para efeito de ilustrao, criou-se na Projeo Cilndrica de Carre, onde na Tabela 9 esto as escalas particulares, uma feio humana (rosto) para obteno das coordenadas geogrficas dos seus traos definidores (Figura 32). A partir destas, gerou-se em diversas projees o reticulado e o rosto, para demonstrar as diferenas que os contornos de uma rea cartografada, podem sofrer (Figura 33 a Figura 41).

Tabela 9 Tabela de deformao da Projeo Cilndrica de Plate Carre - Eqidistante ao longo dos meridianos.

h k a b p

0 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,0

15 1,00 1,04 1,04 1,00 1,04 2,0

30 1,00 1,15 1,15 1,00 1,15 8,2

45 1,00 1,41 1,41 1,00 1,41 19,8

60 1,00 2,00 2,00 1,00 2,00 38,9

75 1,00 3,86 3,86 1,00 3,86 72,1

90 1,00 1,00

Figura 32 Projeo Cilndrica de Plate Carre. Atribuda a Anaximander (550 a.C.)


52

Figura 33 Projeo Azimutal Estereogrfica. Atribuda a Hiparcus (160 - 125 a.C.)

Figura 34 Projeo Azimutal Gnomnica. Atribuda a Thales (636 - 546 a.C.)


53

Figura 35 Projeo Azimutal Ortogrfica. Atribuda a Apolnio (240 a.C.)

Figura 36 Projeo Azimutal de Postel. Conhecida desde 1426.


54

Figura 37 Projeo Azimutal de Lambert. Descrita em 1772.

Figura 38 Projeo Cnica Conforme de Lambert. Descrita em 1772.


55

Figura 39 Projeo Cnica Equivalente de Lambert. Descrita em 1772.

Figura 40 Projeo Cilndrica de Mercator. Utilizada por Mercator (1569).


56

Figura 41 Projeo Pseudo Cilndrica. Descrita em 1890.


57

8. Sistemas de Coordenadas Planas (quadriculado e reticulado)

Nos mapas as diversas feies representadas podem ser referenciadas a dois tipos de coordenadas planas: o quadriculado e o reticulado (Figura 1Figura 42).

Figura 42 Diferenas entre reticulado e quadriculado.

43 W44 W45 W46 W47 W29 S

30 S

31 S

1

2

3y4

y5

y3

y2

y1

600 km500 km

500 km

400 km

400 km

300 km

300 km

200 km

200 km

100 km

100 kmx6x5x4x3x2x1

Quadriculado

Reticulado

Define-se como quadriculado ao conjunto de duas famlias de retas paralelas aos eixos coordenados. Uma famlia aproximadamente na direo leste (y constante) e outra famlia perpendicular a primeira e na direo norte (x constante).

Define-se como reticulado ao conjunto de duas famlias de linhas transformadas de paralelos e meridianos. Uma famlia na direo leste-oeste ( constante paralelos) e a outra na direo norte-sul ( constante meridianos).

No quadriculado as linhas so paralelas e eqidistantes entre si, o que no ocorre com o reticulado.


58

9. A Projeo Universal Transversa de Mercator (UTM) 9.1 As projees TM

A projeo de Mercador uma projeo conforme, cilndrica tangente a esfera modelo no equador, que nesta situao representado em verdadeira grandeza. A projeo Transversa de Mercator tambm conhecida como projeo Conforme de Lambert-Gauss uma variante da primeira onde a tangncia se d num meridiano qualquer. Segundo Brunetti (1993), Gauss, planejando o levantamento do territrio de Hannover, estabeleceu um sistema de projeo conforme utilizando como modelo para a Terra, o elipside de revoluo. Esta projeo denominada Gauss Hannoversche Projeksion, possu o cilindro tangente ao meridiano central, sendo a sua seo, elptica. Krger, a partir dos estudos de Gauss, estabeleceu a projeo em sistemas parciais, composto por fusos com 3 de amplitude. Posteriormente, Tardi, concebeu um sistema semelhante, s que secante ao elipside e com fusos de 6 em amplitude.

A partir do estudo destes geodesistas chegou-se ao UTM, que segundo Brunetti (1993), a denominao inglesa da Projeo de Gauss, com 60 fusos de 6 de amplitude e secante ao elipside de revoluo. Na Figura 43 se observa o aspecto geral do reticulado da projeo. Figura 43 - Reticulado de um hemisfrio na projeo Transversa de Mercator. Observa-se que somente a zona

central do mapa esta relativamente livre de exageros em termos de distoro.

Fonte : BLACHUT, T.J. et. al. Urban Surveying and Mapping. Springer-Verlag New York Inc. New York. 1979.


59

9.2 Transformao de coordenadas Geogrficas para TM As expresses gerais que transformam as coordenadas geogrficas em TM so, segundo BLACHUT (1979) dadas por: x = B + a2l 2 + a4l 4 + a6l 6 + ... (Equao 4)

y = a1l +a3l 3 + a5l 5 + ... (Equao 5)

onde : B - arco de meridiano entre o equador e o ponto de latitude ; l = 0 - longitude do ponto 0 - longitude do meridiano central a1, a2, a3, a4, a5 coeficientes.

O valor de B calculado por um desenvolvimento em srie:

B = A0c A1csencos(1 + A2sen2 + A4sen4 + A6sen6 + A8sen8 )

A e e e e e0 2 2 2 2 2134 1

1516 1

3536 1

6364 1

99100=

' ' ' ' ' ;

A e e e e e1 2 2 2 2 234 1

2516 1

7760 1

837704 1

21231860=

' ' ' '

.

.

' ;

A e e e e2 2 2 2 258 1

139144 1

10871112 1

513 427521760=

' '

.

.

'

.

.

' ;

A e e e4 4 2 23572 1

12564 1

221069150 000=

' '

.

.

' ;

A e e6 6 2105256 1

1179400=

'

.

' ;

A e8 8231640= ' .

onde : ba

c2

=

( raio polar de curvatura );

2

222'

bba

e

=

( segunda excentricidade );

a e b (semi-eixo maior e menor respectivamente).


60

e os coeficientes so calculados por :

21

22

1 'cos

1

+

= eca ;

sen1212 aa = ;

( ) 421613 coscos21 ++= aa ; ( ) 6442221214 cos'4cos'9cos61 eeaa +++= ; ( )[ ]K+++= 62422112015 cos'72cos'5824cos201 eeaa ;

( )M

K ;cos120cos601 42236016 ++= aa

A expresso que calcula o fator de deformao da projeo ou fator de escala, dada por :

k = 1 + a8l 2 + a10l 4 + (Equao 6)

onde : ( ) 222218 cos'1cos ea += ;

( )[ ]M

L+++= 4222224110 cos'42cos'2894cos eea.

e a convergncia meridiana plana, que o ngulo formado entre o norte verdadeiro e o de quadrcula calculado pela expresso:

= a7 l + a9 l 3 + a11l 5 ... (Equao 7)

onde : sen7 =a ; ( ) 44222319 cos'2cos'31cossen eea ++= ;

[ ]M

L++= 2215111 cos31cossena


61

9.3 Transformao de coordenadas TM para Geogrficas As expresses gerais que transformam as coordenadas TM em geogrficas so, segundo BLACHUT (1979) dadas por:

= 1 + b2 y 2 + b4 y 4 + b6 y 6 + ... (Equao 8) = 0 + b1y + b3y 3 + b5y 5 + ... (Equao 9) onde: 0 - longitude do meridiano central; 1 - latitude correspondente ao comprimento do arco de meridiano B (latitude aproximada -Figura 1Figura 44); b1, b2, b3, b4, b5 e b6 coeficientes.

21

22

1

11 '

cos

1

+

=

ecb ;

( )1221121212 cos'1cossen ebb += ; ( )1421231613 cos'cos2 ebb += ;

( )[ ]1641421222211214 cos'4cos'10cos'923 eeebbb ++= ; ( )[ ]L+++= 162122125112015 cos'2cos'81cos2024 eebb ;

( )M

L ;cos1645 1424

13601

6 ++= bbb

Figura 44 Latitude aproximada 1.

P

X 1 =F(X)

N=X

E=Y

M.C.


62

O clculo de 1 iterativo e dado por :

( ) ( ) ( ) 1 10

1i ii

+ = +X BA c

quando |X - B(n) | 0 se para a iterao.

na primeira iterao 10

=

XA c

O clculo do fator de deformao em coordenadas planas (de projeo) feito pela equao :

L+++= 4102

81 ybybk (Equao 10)

onde : ( )212222121218 cos'1 ecRb +== ;

( )L++= 1224124110 cos'41 eRb . e a convergncia meridiana plana () em coordenadas planas (de projeo) obtido pela equao :

= b7y + b9y3 + b11y5 + ... (Equao 11)

( )( )

51

12

111

31

164

142

19

1

17

15...cos3sen

3cos'2cos'1sen

sen

Pb

Peeb

Pb

+=

=

=

P1 = N1cos 1 = ( )c

e

cos

' cos

1

2 21

121+


63

9.4 Modificao das coordenadas TM em UTM, RTM e LTM

Para se obter as variaes da projeo TM em UTM (Universal Transverso de Mercator), LTM (Local Transverso de Mercator) e RTM (Regional Transverso de Mercator), basta multiplicar as expresses da x = B + a2l 2 + a4l 4 + a6l 6 + ... (Equao 4 e y = a1l +a3l 3 + a5l 5 + ... (Equao 5 por uma constante K0 adequada, alm das constantes de translao em

relao aos eixos x (N) e y (E).

Desta forma podem-se escrever novas expresses com o seguinte aspecto:

N = N + k0x

E = E + k0y

k = k0(1 + a8l 2 + a10l 4 + ...)

onde k0, N e E assumem valores diferentes conforme a modificao que se pretende, como pode ser constatado na Tabela 10.

Tabela 10 Variaes mais usuais da projeo TM

Projeo UTM LTM RTM

k0 0,999600 0,999995 0,999995

N - hn hs

0 10.000.000

0 5.000.000

0 5.000.000

E 500.000 200.000 400.000

Fuso 6 1 2

Meridiano Central

mltiplos de 6 contados a partir do antemeridiano de Greenwich no sentido oeste para leste

a cada 30 nas longitudes de grau impar

obs.: hn - hemisfrio norte (Dados extrados de BRUNETTI (1993) ) hs - hemisfrio sul


64

9.5 O Sistema UTM ( Universal Transversa de Mercator)

As cartas do mapeamento sistemtico brasileiro, que abrangem as escalas de 1:1.000.000 a 1:25.000, adotam como projeo cartogrfica a UTM.

Esta projeo, desenvolvida por Gauss-Tardi, adota como modelo geomtrico para a Terr

cartografia aplicada versão 2014_2

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