Carmen P. C. PradoCarmen P. C. Prado Universidade de São Paulo Universidade de São Paulo Departamento de Física GeralDepartamento de Física Geral

Apoio: FAPESP e CNPq Apoio: FAPESP e CNPq

Outubro de 2004Outubro de 2004

Twentieth-centuryTwentieth-century theoretical physics came out of the relativistic revolution and the quantum mechanical revolution. It was all about simplicity and continuity. Its principal tool was calculus. Its final expression was field theory.

Twenty-first-centuryTwenty-first-century theoretical physics is coming out of the chaos revolution. It will be about complexity and its principal tool will be the computer. Its final expression remains to be found. Thermodynamics, as a vital part of theoretical physics, will partake in the transformation.

Michael Baranger

O século XXI está começando com grandes transformações. O século XXI está começando com grandes transformações. Para o cidadão comum, estas transformações dizem respeito Para o cidadão comum, estas transformações dizem respeito às formas de comunicação, uma nova revolução tecnológica às formas de comunicação, uma nova revolução tecnológica que já deixou suas marcas indiscutíveis na globalização de que já deixou suas marcas indiscutíveis na globalização de

economia e nas relações de trabalho, e que pode vir a ocupar, economia e nas relações de trabalho, e que pode vir a ocupar, na história, papel semelhante ao da revolução industrial.na história, papel semelhante ao da revolução industrial.

Para nós, os cientistas, uma das mudanças claras está no foco de Para nós, os cientistas, uma das mudanças claras está no foco de pesquisa, com uma crescente interdisciplinaridade. pesquisa, com uma crescente interdisciplinaridade.

Que papel a física - uma antiga e bem defina área da Que papel a física - uma antiga e bem defina área da ciência - tem a jogar nesse cenário?ciência - tem a jogar nesse cenário?

Sistemas Complexos: Sistemas Complexos:

O estudo da “complexidade” se iniciou algumas décadas atrás, com a teoria do caos - um conceito matemático. O conceito de sistema complexo ainda não está completamente delineado.

(a) Muitos graus de liberdade. Caos é possível com poucos graus de liberdade, complexidade não!

(b) Interdependência (não homogeneidade); Estrutura que varre muitas escalas.

(c) Capaz de comportamento “emergente”Capaz de comportamento “emergente” : um comportamento observado numa certa escala é dito emergente se não pode ser trivialmente inferido das

regras de interação (locais). O comportamento emergente é um fenômeno novo nessa escala.

(e) Auto-organização: um comportamento emergente tem a capacidade de alterar o sistema gerando novos comportamentos emergentes.

Por que Físicos?Por que Físicos?

Do earthquakes Exhibit Self-organized Criticality?Do earthquakes Exhibit Self-organized Criticality? Xiaosong et al, PRL 92 (2004)

Multiscaling Comparative Analysis of time-series and a discussion on “Earthquake Conversations” on Multiscaling Comparative Analysis of time-series and a discussion on “Earthquake Conversations” on CaliforniaCalifornia, Scafetta et al, PRL 92, (2004);

Long term clustering, scaling and universality in the temporal occurrence of earthquakesLong term clustering, scaling and universality in the temporal occurrence of earthquakes, A. Corral, PRL 92, (2004);

Fragment-Asperity Interaction model for earthquakesFragment-Asperity Interaction model for earthquakes, Sotolongo et al, PRL 92, (2004);

Ergodic dynamics in a natural threshold systemErgodic dynamics in a natural threshold system, Kapiris et al, PRL 91,(2003)

Is Earthquake triggering Driven by small Earthquakes?Is Earthquake triggering Driven by small Earthquakes? A. Helmstetter, PRL (2003)

Power-law time distribution of large earthquakesPower-law time distribution of large earthquakes, PRL 90 (2003);

Dynamics of epicenters in the Olami-Feder-Christensen ModelDynamics of epicenters in the Olami-Feder-Christensen Model, Peixoto et al, PRE (2004)

A teoria do Caos, a Mecânica Estatística e outros métodos típicos dos Físicos podem levar a descoberta de relações, correlações e leis que passariam desapercebidas pelas

técnicas de análise tradicionais.

Há algo que só os físicos podem perceber, fazer, calcular ou propor!Há algo que só os físicos podem perceber, fazer, calcular ou propor!

Exemplo:

Dinâmica de Terremotos: É possível alguma previsão?

• Terremotos, o modelo OFC & SOC

• O modelo EFF e o conceito de quase-crítico

• Redes livre de escala, dinâmica de epicentros e...

Estatística usual ...

Lei de Gutemberg-Richter P(s) ~ s-b

Lei de Omori para “aftershocks” P( t ) ~ t -a

Os expoentes são os mesmos em qualquer parte da Terra. Os expoentes são os mesmos em qualquer parte da Terra.

Mais recentemente,

Distribuição fractal de epicentros: P( r ) ~ r d

Novamente, o expoente é universal. Novamente, o expoente é universal.

Durante muito tempo geofísicos examinaram as séries temporais com Durante muito tempo geofísicos examinaram as séries temporais com técnicas usuais, e abordagens tradicionais de modelagem.técnicas usuais, e abordagens tradicionais de modelagem.

• A visão corrente mais difundida é a de que coexistem 2 processos A visão corrente mais difundida é a de que coexistem 2 processos separados, um para os grandes terremotos (mainshocks), que seguiriam separados, um para os grandes terremotos (mainshocks), que seguiriam uma distribuição de Poisson (?) e outra para o mecanismo independente uma distribuição de Poisson (?) e outra para o mecanismo independente responsável pelos “aftershocks”.responsável pelos “aftershocks”.

• A teoria de fenômenos críticos, capaz de explicar diversas “leis de A teoria de fenômenos críticos, capaz de explicar diversas “leis de potência” - e a idéia de universalidade levaram e continuam levando potência” - e a idéia de universalidade levaram e continuam levando diversos físicos a se interessarem pelo assunto.diversos físicos a se interessarem pelo assunto.

Conceito de criticalidade auto-organizada (SOC): Conceito de criticalidade auto-organizada (SOC): Modelo Olami-Feder-Christensen (OFC)Modelo Olami-Feder-Christensen (OFC)

Criticalidade auto-organizada (SOC)Criticalidade auto-organizada (SOC)

““Equilíbrio pontuado”Equilíbrio pontuado”

Sistemas extensos e fora do equilíbrioSistemas extensos e fora do equilíbrio, , que, sob uma lenta perturbação externalenta perturbação externa, em vez

de evoluírem de uma forma contínua e lenta,

permanecem estáticospermanecem estáticos (em equilíbrio) por longos períodos, que são pontuados por

eventos muito rápidoseventos muito rápidos, que levam o sistema a outro estado de ‘equilíbrio’.

A estatística destes eventos rápidos, ou ‘avalanches’, exibem diversas leis de leis de

potênciapotência, indicando um estado crítico.

Bak, Tang, Wisenfeld, PRL 59,1987/ PRA 38, 1988

Sandpile model

A dinâmica de terremotos é talvez a melhor ‘realização experimental’ de um sistema com criticalidade auto-organizada...

Exibe diversas leis de potênciaExibe diversas leis de potência

lei de Gutemberg-Richterlei de Gutemberg-Richter (energy)

P(E) E -b

lei de Omorilei de Omori (aftershocks and foreshocks)

n(t) ~ t -

distribuição fractal de epicentrosdistribuição fractal de epicentros

N(r) ~ r d

Duas escalas temporais bem Duas escalas temporais bem distintas:distintas:

lenta:lenta: movimento das placas tectônicas (years)

Rápida:Rápida: terremotos (segundos)

Desde o início, vários autores perceberam essa relação: Desde o início, vários autores perceberam essa relação: (Bak and Tang, J. Geophys. Res. B (1989); Sornette and Sornette, Europhys. Lett. (1989); Ito and Matsuzaki, J. Geophys. Res. B (1990) )

Já nos anos 20 os cientistas sabiam que a maioria dos terremotos ocorriam em regiões estreitas e bem definidas da crosta terrestre, que correspondem as regiões onde as placas tectônicas se encontram.

Fixed plate

Moving plate

k

V

i - 1 i i + 1 friction

Há uma antiga tentativa de modelagem, com um modelo proposto porHá uma antiga tentativa de modelagem, com um modelo proposto por Burridge-KnopoffBurridge-Knopoff em 1967.em 1967.

Discretização no espaço e no tempo: em t, apenas o bloco i se moveDiscretização no espaço e no tempo: em t, apenas o bloco i se move

i i - 1 i

)( 01 iiei xxkF

) 2 (1 1i i id e

mx x x k F F F

I + 1

iidi xxkF 10

x = v tComo é pequeno , fazendo aproximação linear...

)( ip xvtF

) ( ) 2 (1 1i i i i ix vt x x x k F

iiii xxkFFF '' 2

O bloco i fica parado até que essa força exceda o limite da força O bloco i fica parado até que essa força exceda o limite da força de atrito estático.de atrito estático.

Quando isso ocorre,Quando isso ocorre, o bloco i desliza,o bloco i desliza, indo parar na posição x’indo parar na posição x’ii.. ..

A nova força no bloco i é então:A nova força no bloco i é então:

0 ) ( ) 2 (' '

1 1'

i i i i ix vt x x x k F

kFxx ii 2

'

O movimento do bloco i afeta as forças que agem nos blocos i -1 e i+1:O movimento do bloco i afeta as forças que agem nos blocos i -1 e i+1:

iiii xxkFF 11 FkkFF ii

211

‘Tamanho’ do terremoto = número de deslocamentos corridos (um bloco pode deslizar mais de uma vez...)

• rede quadrada, (i,j)• variável Fi,j para cada sítio (tensão, força...)

(i,j)

(i-1,j)

(i+1,j)

(i,j-1) (i,j+1)

Fij

perturbação:perturbação: ),(),( jiFjiF

Relaxação:Relaxação: 0),( jiF

),()1,1()1,1( jiFjiFjiF

Se F i, j em qualquer um dos 4 primeiros vizinhos exceder F th , o processo de relaxação continua,

até F < Fth novamente para qualquer sítio da rede.

kk

4 41

a 0

Este modelo simples reproduz, de forma surpreendente, a maioria Este modelo simples reproduz, de forma surpreendente, a maioria das características dos terremotos reais. Por exemplo, a lei de das características dos terremotos reais. Por exemplo, a lei de

Gutemberg-Richter a lei de Omori, distribuição fractal de Gutemberg-Richter a lei de Omori, distribuição fractal de epicentros.epicentros.

SOC mesmo no regime não-conservativo

Mas só no caso conservativo.

P( s ) ~ s -b

N( t ) ~ t -

Hergarten, H. J. Neugebauer, PRL 88, 2002

N( r) ~ r -d

O comportamento preciso desse modelo, no regime não conservativo O comportamento preciso desse modelo, no regime não conservativo tem sido controverso, tanto do ponto de vista teórico como numérico.tem sido controverso, tanto do ponto de vista teórico como numérico.

• A natureza do seu comportamento crítico não é clara. É um dos A natureza do seu comportamento crítico não é clara. É um dos modelos de SOC mais estudados.modelos de SOC mais estudados.

Porque é relevante definir se o modelo é ou não crítico?

Previsões !!!Previsões !!!

Existe uma conexão entre SOC e processos ramificados Existe uma conexão entre SOC e processos ramificados Um processo ramificado é caracterizado pela taxa de ramificação .

k

kpk = número médio de sítios instáveis criados por um sítio instável que relaxa.

Pk = probabilidade de um sítio instável, ao relaxar, gerar outro sítio instável.

Num processo ramificado típico, é fixo e definido a priori. O processo é crítico se = 1.

Em modelos com criticalidade auto-organizada, (t,(t,))isto é, evolui no tempo e depende de , e deve ser calculado!

Se conhecemos a distribuição de energias no estado estacionário p(E), podemos calcular Se conhecemos a distribuição de energias no estado estacionário p(E), podemos calcular ..

dEEp

dEEpEP

k

c

c

E

E

)(

)()(

p(E+) = distribuição de energia dos sítios instáveis

P+(E+) = probabilidade de um sítio estável se tornar instável ao receber uma energia E+

Em modelos com criticalidade auto-organizada, (t,(t,))isto é, evolui no tempo e depende de , e deve ser calculado!

1

cons Crítico para > 0

1

Crítico para = 0.25

cons

1

Crítico para > c

c cons

No estado estacionário, ().

O modelo EFF (Extremal Feder-Feder model)O modelo EFF (Extremal Feder-Feder model)O. Kinuchi, C.P.C. Prado PRE 59 (99)

OFCOFC EFFEFF

• Globalmente perturbadoGlobalmente perturbado

Fij Fij + , Fij Fth

• Dinâmica de extremosDinâmica de extremos

Fij* = max {Fij} é que relaxa

• Relaxação Relaxação

Fij 0

Fnn Fnn + Fij

• Relaxação Relaxação

Fij 0

Frn Frn +

+ 1

+ 22

Para esse modelo é possível calcular analiticamente pPara esse modelo é possível calcular analiticamente p(E) e portanto (E) e portanto

[ 0, ] Eth= 1[ , + 2 ]

+

p n =

nn

n

dEEp)1(

)1(

)(Processo pode ser pensado como uma transferência dos sítios entre os intervalos In.

Pt( E ) 0 apenas se E está num dos intervalos I n [(n -1) , (n -1) + n ]

n = 1, ... n max

A cada passo no tempoA cada passo no tempo (atualização do sítio crítico e de de k ‘vizinhos aleatórios’)

• 1 sítio do último intervalo é transferido para o intervalo I1;

• 1 sítio é removido desse intervalo com probabilidade k p1;

• O ‘fluxo’ médio de sítios no intervalo In (n > 1), devido a atualização

de k vizinhos:

• Probabilidade k pn-1 de que um vizinho aleatório escolhido esteja em In-1 probabilidade k pn de um sítio ter saído de In.

p1(t+1) = p1(t) + 1/N [1 k p1(t)]

pn(t+1) = pn(t) + 1/N [k pn-1 k pn(t)]

e ... pe ... pnn(t+1) = p(t+1) = pnn(t) = p(t) = p**n n = 1/ k = 1/ k

número picos = k = nnúmero picos = k = nmaxmax

Exemplo:Exemplo: conservativo, = 1 / k• Todo o sítio que se torna instável pertence ao último pico, último pico, que começa ( n -1 ) . Sítios pertencentes aos outros picos não contribuem para ;

• Todo sítio sorteado como vizinho tem E aumentado em, pelo menos, E( t +1 ) 1

Número médio de ‘filhos’ de um sítio Número médio de ‘filhos’ de um sítio que relaxaque relaxa 1

1*

kkpk k

Crítico !Crítico !

( n -1 ) 1

+ 2

11

11

kkkkc

Caso geral, < 1 / k

• Todo o sítio que se torna instável pertence ao último pico,, mas nem todos os sítios mas nem todos os sítios agora podem se tornar criticos !agora podem se tornar criticos !;

• Os sítios E 1 - sempre se tornam críticos;

• Os sítios 1 - - E 1- podem contribuir dependendo do valor 2

• Os sítios E 1 - - nunca se tornam críticos.

Necessariamente sub-crítico ...

1

’’’E

SempreTalvez

nunca

2/)1()1( 1)1(

k

k

k

kkCks

11)1(

1

kkkkC

11 s

,11

k

com ruído (2 0)

sem ruído (2 = 0)

Fij 0 + 1

Frn Frn + + 22

Almost criticalO. Kinouchi, C.P.C. Prado, PRE 59 (1999)

c

Almost critical

J. X. de Carvalho, C. P. C. Prado, Phys. Rev. Lett. 84 , 006, (2000).

Com ruído (2 0): (b) = 0,0625, (c) = 0,05

Sem ruído (2 = 0): (d) = 0,25, (e) = 0,20

011

1

01

2

1

2

kkkkC

k

Fij 0 + 1

Frn Frn + + 22

Exemplo 2Exemplo 2 - Dinâmica de epicentros e redes livre de escala - Dinâmica de epicentros e redes livre de escala

Olhamos para a distribuição espaço-temporal ....

Uma nova lei de escala!

Distribuição fractal(só espacial)

Uma nova ‘ferramenta’ para Uma nova ‘ferramenta’ para desvendar correlações...desvendar correlações...

Redes complexasRedes complexasRedes ou estruturas complexas descrevem uma grande variedade de sistemas na natureza.

Tem sido estudadas/utilizadas em física há muito tempo. Tradicionalmente o estudo de redes mais ‘complexas’ (não regulares) foi domínio da matemática, com estudo dos chamados grafos aleatóriosgrafos aleatórios, na década de 50 do século passado (Ardös, Rényi).

A Natureza tem redes mais complicadas!A Natureza tem redes mais complicadas!

A maioria das redes reais está longe de ser aleatória, apresentando princípios organizacionais comuns a muitos sistemas diferentes. grafo aleatório: grafo aleatório:

N vértices, conectados por arestas com probabilidade p

• Conceito mundo pequeno Conceito mundo pequeno (distância média entre 2 vértices)(distância média entre 2 vértices)Apesar de ter um número muito grande de vértices ou nós, a maioria das redes complexas tem um caminho relativamente curto ligando dois nós quaisquer.

• Propriedade comum Propriedade comum em redes complexas em redes complexas reais ( L pequeno ) ;reais ( L pequeno ) ;

• Redes aleatórias são ‘mundo pequeno’;

• Redes regulares não.

• Redes aleatórias, C pequeno, ~ p; • Redes ‘mundo pequeno & reais’, C ordens de grandeza maior.

Mod

elo

Wat

ts &

Sto

gatz

Índice de ‘clusterização’Índice de ‘clusterização’Formação de ‘cliques’: probabilidade de dois vértices vizinhos com outro vizinho em comum; (amigo do meu amigo ser meu amigo ...)

• Distribuição de grausDistribuição de graus ( grau = arestas conectadas a um vértice)

p(k) = probabilidade de um vértice qualquer ter grau k• regular ou ‘small world’: p( k ) = constantep( k ) = constante

Modelo Barabási-Albert• rede em crescimento

• conexão preferencial ( ki ) = ki / j kj

Redes livre de escalasRedes livre de escalas

!)(

kk

ekpk

k

Grafo aleatório

aleatória p( k ) = Poisson

kkp )(

Rede complexa(www)

Complexa: Complexa: p( k ) = lei de potênciap( k ) = lei de potência

tipo de rede N < k > C C a lea t l l a lea t

Atores de cinema ~ 225.000 61 0,79 0,0003 3,65 3,00 2,3

Sinônimos ~ 22.000 13,48 0,70 0,0006 4,5 3,84 2,8

Silverwood Park food web 154 4,75 0,15 0,0001 3,4 3,23 1,13

Internet domain ~ 6.000 4,11 0,30 0,001 3,76 6,18 2,2

co-autores (SPIRES) ~ 57.000 173 0,73 0,003 4,0 2,12 2,3

Exemplos do mundo realExemplos do mundo real

• Área é dividida em pequenas células células cúbicascúbicas

• A cada uma delas é associado um vérticevértice, quando um terremoto se inicia nela (epicentro)

• Os dados da atividade sismológica são mapeados numa rede complexamapeados numa rede complexa, em crescimento.

Essa rede tem comportamento complexo, do Essa rede tem comportamento complexo, do tipo Barabási-Albert !tipo Barabási-Albert !

E o que tudo isso tem a ver com E o que tudo isso tem a ver com teremotos ?teremotos ?

connectivity K

S. Abe, N. Suzuki, Europhys. Lett. 65, 581 (2004)De

gree

dist

ribut

ion

Estudamos o modelo OFC, para ver se podia prever mais essa característicaEstudamos o modelo OFC, para ver se podia prever mais essa característica

L = 200, transients of 10 7, statistics of 10 5 ; Tiago P. Peixoto, C. P. C. Prado, 2004, PRE 69, 025101(R) (2004)

0.240

0.249

‘‘scaling’ claroscaling’ claro(Curvas foram deslocadas para

cima, caso contrário coicidiriam)

O exponente , que caracteriza a lei de potências para diferentes valores de

Não há mais uma regra de conexão preferencialNão há mais uma regra de conexão preferencial. . A distribuição de conectividades observada é uma assinatura A distribuição de conectividades observada é uma assinatura

da dinâmica.da dinâmica.

ConservativoConservativo

Distribuição espacial da conectividadeDistribuição espacial da conectividade

O que se observa não é um efeito de borda!

não conservativo

(b) é uma ampliação de (a);(b) é uma ampliação de (a); As 20 colunas/linhas mais próximas da borda foram removidas e a escala modificada para evidenciar os detalhes

conservativo

Em (a) usamos a mesma escala da figura (a) usamos a mesma escala da figura anterioranterior; Em (b) alteramos a escala para mostrar os detalhes

Muito mais homogêneo!

Estrutura da rede Estrutura da rede

Não conservativoNão conservativo: índice de clusterização C ~ 0.15

Tamanho da célula = 5; L=200, = 0.14 = 0.14

Conservativo: Conservativo: não há clusterização, C ~ 0.0

Tamanho da célula = 5; L=200, = 0.25 = 0.25

Distribuição de distâncias entre 2 epicentros consecutivosDistribuição de distâncias entre 2 epicentros consecutivos

Rede 200 X 200, = 0.25 e = 0.14

2-D2-D

Rede 50 X 50 X 50, = 1/6 = 0.1666.., = 0.160 e = 0.12

T. P. Peixoto, C. P. C. Prado, Physica A 342 (2004),

3-D3-D

O tamanho da célula não afeta p( k ) ...O tamanho da célula não afeta p( k ) ...

L = 200,

1 X 1

L = 400,

2 X 2

L = 300

L = 200

Efeito de tamanho finito

Ainda precisamos de uma rede em Ainda precisamos de uma rede em crescimentocrescimento

(como no modelo proposto por Barabasi-Albert)

ConclusõesConclusões• Muitas questões em aberto ... Muitas questões em aberto ... E novas abordagens , mais informação.E novas abordagens , mais informação.

• Outras grandezas relacionads com o estudo grafos ...Outras grandezas relacionads com o estudo grafos ...

• Earthquake conversationsEarthquake conversations ... Sci Am (03): correlação com a alteração na distribuição de tensão

• SOC ou SOC ou nãonão ? ? Nova formas de scaling, que integram todas as escalas ...

• Busca de correlações na distribuição espaço-temporal: novas abordagensBusca de correlações na distribuição espaço-temporal: novas abordagens

• Estatística dos tempos de esperaEstatística dos tempos de espera: : se é lei de potência não é SOC...

• Processos estocásticosProcessos estocásticos: : a s(t) é associada uma variável estocástica (t) = 1 ou 0 (tem ou não terremoto); o “caminhante aleatório” anda 1 passo p/ frente cada vez que um terremoto ocorre; p(x, t), entropia S(t), difusão,

• Exponente de Hurst (ou outros indicadores) X tExponente de Hurst (ou outros indicadores) X t .... ....