carlos arriagaeconomia bancária e financeira1 unidade 3 introdução à teoria do portefólio 1...

Carlos ArriagaCarlos Arriaga Economia bancária e Financeira Economia bancária e Financeira 11

Unidade 3 Unidade 3 Introdução à teoria do portefólioIntrodução à teoria do portefólio

1 Modelo de Markowitz 1 Modelo de Markowitz

Fronteira eficiente Fronteira eficiente

2. Determinação da Fronteira eficiente 2. Determinação da Fronteira eficiente

CCarlos Arriaga 2009/10arlos Arriaga 2009/10


Unidade teórica 3 Unidade teórica 3

. Relação entre o risco e a rentabildade esperada. Relação entre o risco e a rentabildade esperada

. O que é a fronteira eficiente num conjunto de . O que é a fronteira eficiente num conjunto de portefólios?portefólios?

. Como modelizar a eficiência ?. Como modelizar a eficiência ?

. Quais as hipóteses do modelo de . Quais as hipóteses do modelo de Markowitz?Markowitz?

. Como determinar a fronteira de eficiência?. Como determinar a fronteira de eficiência?

. A relação entre os retornos esperados de um activo . A relação entre os retornos esperados de um activo e o retorno de mercado (Beta do activo e o modelo e o retorno de mercado (Beta do activo e o modelo de Sharpe) de Sharpe)

. .


Rentabilidades e distribuição Rentabilidades e distribuição de probabilidadesde probabilidades

Rentabilidade de uma acção num Rentabilidade de uma acção num determinado período é definido pelo determinado período é definido pelo dividendo (distribuição de lucros) e dividendo (distribuição de lucros) e pela variação do preço da acção:pela variação do preço da acção:

R = (div + P1 – P0) / PoR = (div + P1 – P0) / Po R é uma variável aleatória R~ N (r,G)R é uma variável aleatória R~ N (r,G)


MATEMÁTICA DA FRONTEIRA DE UM PORTEFÓLIO: o MATEMÁTICA DA FRONTEIRA DE UM PORTEFÓLIO: o MODELO DE MARKOWITZ (1959)MODELO DE MARKOWITZ (1959)

HIPÓTESES DO MODELO DE MARKOWITZ:HIPÓTESES DO MODELO DE MARKOWITZ:

- HIPÓTESES RELATIVAS AOS ACTIVOS FINANCEIROSHIPÓTESES RELATIVAS AOS ACTIVOS FINANCEIROS

H1: Todo o investimento é uma decisão tomada em situação de H1: Todo o investimento é uma decisão tomada em situação de risco. O retorno de um activo financeiro para um período risco. O retorno de um activo financeiro para um período futuro é consequentemente uma variável aleatória com futuro é consequentemente uma variável aleatória com distribuição normal.distribuição normal.

H2 : os retornos de diferentes activos financeiros não se H2 : os retornos de diferentes activos financeiros não se movimentam de uma forma independente de uns e de outros. movimentam de uma forma independente de uns e de outros.


Hipóteses relativas ao Hipóteses relativas ao comportamento dos investidorescomportamento dos investidores

H3: O comportamento de todos os investidores é H3: O comportamento de todos os investidores é caracterizado por um grau mais ou menos caracterizado por um grau mais ou menos pronunciado de aversão ao risco (medido pelo pronunciado de aversão ao risco (medido pelo desvio padrão e pela distribuição dos retornos)desvio padrão e pela distribuição dos retornos)

H4: Os investidores tomam decisões racionais: H4: Os investidores tomam decisões racionais: Mesmo que a sua função de utilidade seja Mesmo que a sua função de utilidade seja subjectiva eles operam segundo escolhas subjectiva eles operam segundo escolhas transitivas.transitivas.

H5: Todos os investidores têm um mesmo H5: Todos os investidores têm um mesmo horizonte de decisão, que comporta um só horizonte de decisão, que comporta um só período.período.


ESTRUTURAÇÃO DO MODELO DE MARKOWITZESTRUTURAÇÃO DO MODELO DE MARKOWITZ

Os acontecimentos dos quais contribuem para Os acontecimentos dos quais contribuem para as decisões tomadas não se encontram as decisões tomadas não se encontram explicitados no modelo. A distribuição de explicitados no modelo. A distribuição de probabilidades relativamente aos rendimentos probabilidades relativamente aos rendimentos de cada activo financeiro é efectuado de cada activo financeiro é efectuado condicionalmente ao estado da economia em condicionalmente ao estado da economia em geral e à situação do mercado financeiro em geral e à situação do mercado financeiro em particular.particular.

Uma decisão consiste em alocar um Uma decisão consiste em alocar um determinado orçamento aos diferentes activos determinado orçamento aos diferentes activos financeirosfinanceiros


FRONTEIRA EFICIENTEFRONTEIRA EFICIENTE

1º Fase: Repartir as soluções possíveis 1º Fase: Repartir as soluções possíveis em dois sub-conjuntos, correspondendo em dois sub-conjuntos, correspondendo um deles ao das soluções dominantes um deles ao das soluções dominantes (eficientes) e um outro ao das soluções (eficientes) e um outro ao das soluções dominadas (ineficientes)dominadas (ineficientes)

2ºA fase: Dentro das soluções 2ºA fase: Dentro das soluções eficientes, fazer corresponder aquela eficientes, fazer corresponder aquela que maximiza a função de utilidade do que maximiza a função de utilidade do investidor. investidor.


PRIMEIRA FASEPRIMEIRA FASE Em razão do principio de racionalidade, um Em razão do principio de racionalidade, um

investidor que pretende situar-se a um nível de investidor que pretende situar-se a um nível de risco risco optará por um portfólio de maior valor optará por um portfólio de maior valor esperado do rendimento E(r2).esperado do rendimento E(r2).

Em razão do princípio de racionalidade e de Em razão do princípio de racionalidade e de aversão ao risco, um investidor que pretende aversão ao risco, um investidor que pretende situar-se a um nível de rendimento esperadosituar-se a um nível de rendimento esperado optará pelo portfólio de menor risco. optará pelo portfólio de menor risco.

Pode-se estabelecer a hipótese de que todos os Pode-se estabelecer a hipótese de que todos os investidores, com base em características investidores, com base em características objectivas, localizarão de maneira semelhante a objectivas, localizarão de maneira semelhante a fronteira eficiente , que é independente das fronteira eficiente , que é independente das preferências individuais dos investidores.preferências individuais dos investidores.


Segunda Fase Segunda Fase

Temos de ter em conta as funções de Temos de ter em conta as funções de utilidade de cada investidor (curvas de utilidade de cada investidor (curvas de indiferença)indiferença)

A fronteira de eficiência (dado objectivo)A fronteira de eficiência (dado objectivo)

Cada investidor escolherá o portfólio Cada investidor escolherá o portfólio correspondente ao ponto onde a fronteira correspondente ao ponto onde a fronteira de eficiência é tangente a uma das suas de eficiência é tangente a uma das suas curvas de indiferença. curvas de indiferença.


Fronteira eficienteFronteira eficiente

E(p)E(p)

σσ (p)(p)


Diversificação eficienteDiversificação eficiente O conceito de eficiência permite estabelecer a seguinte O conceito de eficiência permite estabelecer a seguinte

proposição : para todo o investidor, o portfólio de utilidade proposição : para todo o investidor, o portfólio de utilidade máxima que ele vai escolher tendo em conta o princípio de máxima que ele vai escolher tendo em conta o princípio de racionalidade, deverá ser um portfólio optimamente racionalidade, deverá ser um portfólio optimamente diversificado.diversificado.

Diversificando vai permitir reduzir o risco e aumentar Diversificando vai permitir reduzir o risco e aumentar simultâneamente o rendimento esperado do portfólio.simultâneamente o rendimento esperado do portfólio.

O grau de diversificação possível de obter é função das O grau de diversificação possível de obter é função das covariancias dos activos financeiros que constituem o porfólio.covariancias dos activos financeiros que constituem o porfólio.

Estudos empíricos têm mostrado que uma diversificação com Estudos empíricos têm mostrado que uma diversificação com 20 activos financeiros apresentam um resultado bastante 20 activos financeiros apresentam um resultado bastante satisfatório no que respeita ao binómio risco versus custos de satisfatório no que respeita ao binómio risco versus custos de transacção.O aumento de activos no portfólio pouco mais irá transacção.O aumento de activos no portfólio pouco mais irá atenuar o risco.atenuar o risco.


Diversificação – exemplo com Diversificação – exemplo com dois activos financeirosdois activos financeiros

Activo A E (RActivo A E (RAA) = 5% ) = 5% σσ (R (RAA) = 20%) = 20%

Activo B E (RActivo B E (RBB) = 15% ) = 15% σσ (R (RBB) = 40%) = 40%

Que proporções de A e de B?Que proporções de A e de B?

Três situações:Três situações: ρρ AB = 1AB = 1

ρρ AB = - 1AB = - 1

-1<-1<ρρ AB<1AB<1


Diversificação – exemplo com Diversificação – exemplo com dois activos financeirosdois activos financeiros

E( R)E( R)

15%15%

10% B10% B

CC

5% A5% A

10% 20% 40%10% 20% 40% σσ( R)( R)


DiversificaçãoDiversificação


Medida de risco de um Medida de risco de um activoactivo

A co-variância de um activo é a média A co-variância de um activo é a média ponderada das co-variâncias do activo ponderada das co-variâncias do activo com todos os activos do portefóliocom todos os activos do portefólio

σσip = ip = ΣΣ xj xj σσijij A variância do portefólio é igual à A variância do portefólio é igual à

média ponderada das co-variâncias média ponderada das co-variâncias dos activos com o portefólio.dos activos com o portefólio.

Σ σ Σ σ 2p = p = ΣΣ xj xj σσiPiP


Teoremas dos portefólios Teoremas dos portefólios eficienteseficientes

Proposição 1Proposição 1 Considerado c uma constante e R-c o Considerado c uma constante e R-c o

vectorvector R-c = [E (r1) –cR-c = [E (r1) –c E (r2)- cE (r2)- c E(rn) – c]E(rn) – c] O vector Z resolve as equações R-c = SzO vector Z resolve as equações R-c = Sz Z = SZ = S-1-1[R-c][R-c] X = {x1, x2….xn}X = {x1, x2….xn}


Teoremas dos portfefólios Teoremas dos portfefólios eficienteseficientes

Proposição 1Proposição 1 Xi = zi / Xi = zi / ΣΣZjZj Todos os portfolios de envelope (na Todos os portfolios de envelope (na

fronteira) são desta formafronteira) são desta forma cc xi porfolio de tangência dado cxi porfolio de tangência dado c


Teoremas dos portefólios Teoremas dos portefólios eficienteseficientes

Proposição 2Proposição 2 Se dois portfolios se encontram na Se dois portfolios se encontram na

fronteira eficiente (portfolios de fronteira eficiente (portfolios de envelope) e dada uma constante a o envelope) e dada uma constante a o portfolio resultante portfolio resultante

ax + (1-a)y ax + (1-a)y Também se encontra na fronteira de Também se encontra na fronteira de

eficiênciaeficiência


Teoremas dos portfolios Teoremas dos portfolios eficienteseficientes

Proposição 3Proposição 3 Se um portfolio s encontra na fronteira de eficiencia Se um portfolio s encontra na fronteira de eficiencia

(portfolio y) então existirá sempre um outro (portfolio y) então existirá sempre um outro linearmente relacionado com este que se encontra linearmente relacionado com este que se encontra igualmente na fronteira de eficiênciaigualmente na fronteira de eficiência

E (rx) = c + E (rx) = c + ββ x x [E(ry) – c][E(ry) – c] ββ x x = Cov (x,y) / = Cov (x,y) / σσ22

yy

c será o valor esperado de um portfolio z cuja c será o valor esperado de um portfolio z cuja covariancia com y é 0covariancia com y é 0

c = E(rz)c = E(rz) Cov (y,z) = 0Cov (y,z) = 0


Portefólio eficiente e não eficientePortefólio eficiente e não eficiente E(Rp)E(Rp)

portfolio eficienteportfolio eficiente E(rm)E(rm)

x y porfolios possiveis e não eficientesx y porfolios possiveis e não eficientes

σσ (p) (p)


Cálculo da fronteira Cálculo da fronteira eficienteeficiente

Suponha que um portfolio e Suponha que um portfolio e constituido pela porporção a do constituido pela porporção a do portfolio x e (1-a) do portfolio yportfolio x e (1-a) do portfolio y

E R(p) = a E(Rx) + (1-a)E(Ry)E R(p) = a E(Rx) + (1-a)E(Ry) σσpp= √ a= √ a22 σσ22

xx + (1-a) + (1-a) σσ22yy +2a(1-a) +2a(1-a)

cov(x,y)cov(x,y)


Fronteira eficiente - Fronteira eficiente - construçãoconstrução

Data /table : Considerar ocalculo para Data /table : Considerar ocalculo para um portfolio wum portfolio w

Proporção de X 0.3Proporção de X 0.3 Retorno : 8.66%Retorno : 8.66% σσ do portfolio :43,5% do portfolio :43,5%

SigmaSigma ReturnReturn

=Formula=Formula =Formula=Formula

-0.3-0.3 0.72740.7274 0.10140.1014

00 0.5780.578 0.09400.0940

0.40.4 0.38740.3874 0.08410.0841

0.30.3 0.43350.4335 0.08660.0866

0.50.5 0.34290.3429 0.08170.0817

11 0.19170.1917 0.06930.0693

1.51.5 0.30240.3024 0.0570.057

1.61.6 0.34450.3445 0.05450.0545


CML Capital market LineCML Capital market Line

R-rf = SzR-rf = Sz

Mi = Zi / Mi = Zi / ∑Zi∑Zi E R(p) = a rf + (1-a)E(RM) Capital E R(p) = a rf + (1-a)E(RM) Capital

market linemarket line σσpp= √ a= √ a22 σσ22

rfrf + (1-a) + (1-a) σσ22MM +2a(1-a) +2a(1-a)

cov(rf,M)=cov(rf,M)= = (1-a) = (1-a) σσMM


Capital market lineCapital market line E(Rp)E(Rp)

Portfolio de mercadoPortfolio de mercado E(rm)E(rm)

x y porfolios possiveis e não eficientesx y porfolios possiveis e não eficientes

rfrf

σσ (p) (p)


Modelo simplificado de SharpeModelo simplificado de Sharpe

Problemas do Modelo de Markowitz: Grande Problemas do Modelo de Markowitz: Grande dimensão da matriz de co-variâncias (cálculo dimensão da matriz de co-variâncias (cálculo computacional complicado em 1959)computacional complicado em 1959)

Conhecimento da matriz das co-varânciasConhecimento da matriz das co-varâncias Hipótese de Sharpe (1963): Os rendimentos Hipótese de Sharpe (1963): Os rendimentos

dos diversos activos encontram-se ligados dos diversos activos encontram-se ligados entre eles por uma relação a um factor entre eles por uma relação a um factor comum subjacente:comum subjacente:

ŘŘii = = ααii + + ββii Ĩ + ũĨ + ũii

Ĩ = Ĩ = ααnn+1+ v+1+ vn+1n+1


Avaliação de activos financeiros: Modelos Avaliação de activos financeiros: Modelos C.A.P.M. e A.P.T.C.A.P.M. e A.P.T.

Capital market theory (derivado do modelo de Sharpe)Capital market theory (derivado do modelo de Sharpe)

SEcurity market line: Determinação do valor de um SEcurity market line: Determinação do valor de um activo, tendo em conta o activo sem risco e o portfólio activo, tendo em conta o activo sem risco e o portfólio de mercado.de mercado.

CAPM : Capital Asset Pricing Market: Modelo de CAPM : Capital Asset Pricing Market: Modelo de avaliação dos activos financeiros tendo em conta a avaliação dos activos financeiros tendo em conta a relação entre o modelo de mercado e a security market relação entre o modelo de mercado e a security market line.line.

APT: Arbitrage Pricing theory : Os rendimentos dos APT: Arbitrage Pricing theory : Os rendimentos dos activos financeiros são função lineares de mais do que activos financeiros são função lineares de mais do que um factor um factor


Hipóteses de base dos modelos de mercado Hipóteses de base dos modelos de mercado financeirofinanceiro

1. Todos os investidores individuais têm um 1. Todos os investidores individuais têm um comportamento racional e tomam decisões que se comportamento racional e tomam decisões que se situam na fronteira eficiente segundo o modelo de situam na fronteira eficiente segundo o modelo de Markowitz.Markowitz.

2. Pode-se emprestar ou pedir emprestado à taxa sem 2. Pode-se emprestar ou pedir emprestado à taxa sem risco sem qualquer restrição.risco sem qualquer restrição.

3. Homogeneous expectations: todos os investidores 3. Homogeneous expectations: todos os investidores detem a mesma distribuição de probabilidade sobre o detem a mesma distribuição de probabilidade sobre o rendimento de cada títulorendimento de cada título

4. Todos os investidores têm o mesmo horizonte 4. Todos os investidores têm o mesmo horizonte económicoeconómico


Hipóteses de base dos modelos de mercado Hipóteses de base dos modelos de mercado financeirofinanceiro

5. Todos os investimentos são perfeitamente 5. Todos os investimentos são perfeitamente divisíveis e perfeitamente líquidos.divisíveis e perfeitamente líquidos.

6. Não existem custos de transacção.6. Não existem custos de transacção.

7. O mercado financeiro não se encontra 7. O mercado financeiro não se encontra segmentado, isto é, um sistema de preços é segmentado, isto é, um sistema de preços é válido para todas as transacções financeiras.válido para todas as transacções financeiras.

8. Os investidores antecipam de maneira 8. Os investidores antecipam de maneira homogénea as flutuações da taxa de juro.homogénea as flutuações da taxa de juro.


Condições de estimação do modelo de mercadoCondições de estimação do modelo de mercado

O índice de mercado deverá responder às O índice de mercado deverá responder às condições seguintes:condições seguintes:

1. Ser exaustivo , isto é, deverá ser calculado 1. Ser exaustivo , isto é, deverá ser calculado a partir de todos os activos financeiros com a partir de todos os activos financeiros com risco existente no mercado (vinte são risco existente no mercado (vinte são representativos)representativos)

2. Ser um indice de rendimento e não apenas 2. Ser um indice de rendimento e não apenas um índice de preços. Deverá ter em conta os um índice de preços. Deverá ter em conta os rendimentos líquidos distribuídos (dividendos rendimentos líquidos distribuídos (dividendos e juros).e juros).

3. Ser um índice ponderado e não uma média 3. Ser um índice ponderado e não uma média aritmética simples.aritmética simples.


SML com activo sem riscoSML com activo sem risco

E (rx) = rf + E (rx) = rf + ββx [E(rm)-rf]x [E(rm)-rf]

ΒΒx = Cov (x, M) / x = Cov (x, M) / σσ22MM


Security Market Line Security Market Line E(Rp)E(Rp)

E(rm)E(rm)

yy

rfrf

Zero Beta PortfolioZero Beta Portfolio 1 1 ββ (p) (p)


CONCLUSÃOCONCLUSÃO

Num portefólio eficiente procura-se a Num portefólio eficiente procura-se a rentabilidade máxima para um dado risco ou rentabilidade máxima para um dado risco ou o risco mínimo para um valor esperado dado.o risco mínimo para um valor esperado dado.

Estatísticamente o risco compreende a matriz Estatísticamente o risco compreende a matriz das variâncias e das co-variâncias dos das variâncias e das co-variâncias dos retornos esperados de um portefólioretornos esperados de um portefólio

Há uma relação entre o retorno esperado de Há uma relação entre o retorno esperado de um activo, o retorno esperado de mercado e o um activo, o retorno esperado de mercado e o activo sem risco. O beta mede essa relação.activo sem risco. O beta mede essa relação.

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