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Desenho I

Carlos Antonio Vieira

2007

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Sumário

Introdução ________________________________________________________________ 4 Capítulo 01– Construções geométricas fundamentais.

1.1 - De um ponto A traçar a perpendicular a uma reta r. ____________________________ 6 1.2 - Traçar a perpendicular à semi-reta AO, no ponto O, sem prolongá-la ______________ 6 1.3 - De um ponto dado A traçar a reta s, paralela à uma reta dada r.___________________ 7 1.4 - Traçar paralelas através de perpendiculares.__________________________________ 7 1.5 - Traçar a mediatriz de um segmento AB._____________________________________ 7 1.6 - Construir um ângulo igual a um ângulo dado. ________________________________ 8 1.7 - Traçar a bissetriz de um ângulo. ___________________________________________ 8 1.8 - Dividir um segmento AB em n partes iguais. _________________________________ 8 1.9 - Traçar a bissetriz do ângulo formado pelas retas r e s, sem usar o vértice _________ 9 1.10 - Construir ângulos de 15o, 30o, 45o, 60o

, 75o

e ângulos quaisquer.________________ 9

1.11 - Traçar o círculo inscrito a um triângulo dado. _______________________________ 10 1.12 - Traçar o círculo circunscrito à um triângulo dado . ___________________________ 10 1.13 - Dados três pontos não colineares traçar uma circunferência. ____________________ 10 1.14a - De um ponto dado na circunferência, traçar a tangente a ela. ___________________ 11 1.14b - De um ponto dado fora da circunferência, traçar as tangentes a ela ______________ 11 1.15 - Dadas duas circunferências de raios R1 e R2 e centros O1 e O2 traçar suas tangentes externas comuns. ______________________________________________ 11 1.16 - Dadas duas circunferências de raios R1 e R2 e centros O1 e O2 traçar suas tangentes internas comuns. ______________________________________________ 12 1.17 - Concordar uma reta dada num ponto A com um arco que deve passar por um ponto B dado. ________________________________________________________ 12 1.18 - Concordar duas retas r e s com um arco de raio dado R. _______________________ 13 1.19 - Concordar um arco de circunferência de raio R dado, com um seguimento de reta AB e uma circunferência dada de raio r ________________________________ 13 1.20 - Concordar duas semi-retas paralelas, em A e B, através de dois arcos. ____________ 14 1.21 - Concordar duas semi retas com o mesmo sentido, com distância entre extremidades superior a distância entre ambas. __________________________________________ 14 1.22 - Concordar duas circunferências de raios R1 e R2 externas uma à outra, por meio de um arco de circunferência de raio R._____________________________________ 15 1.23 - Concordar duas circunferências de raios R1 e R2 internas uma à outra, por meio de um arco de circunferência de raio R. ____________________________________ 15 1.24 - Divisão de circunferência em 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 10 partes iguais.__________________ 16 1.25 - Regra de Bion para divisão de circunferência. _______________________________ 17 1.26 - Dadas as retas paralelas r, s e o vértice A, traçar uma hexágono regular.___________ 18 1.27 - Processo de Delaistre para construção de polígonos de 5 a 12 lados ______________ 18 1.28 - Exercícios. ___________________________________________________________ 19 Capítulo 02 - Ovais, evolvente, cíclicas, cônicas e hélice. 2.1 - Traçado de ovais _______________________________________________________ 21 2.2 – Traçado de arcos_______________________________________________________ 24 2.3 - Traçado de evolvente ___________________________________________________ 26 2.4 - Curvas cíclicas_________________________________________________________ 26 2.5 - Cônicas_______________________________________________________________ 28 2.6 - Hélice ________________________________________________________________ 30

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Capítulo 03 - Projeções 3.1 - Projeções axonométricas ortogonais ________________________________________ 31 3.2 - Projeções axonométricas oblíquas ou cavaleiras ______________________________ 33 3.3 - Perspectivas cônicas ____________________________________________________ 34 3.4 – Perspectivas isométricas de círculos. _______________________________________ 36 3.5 - Exercícios – Perspectivas ________________________________________________ 37 3.6 - Projeções ortogonais ___________________________________________________ 38 3.7 - Exemplos das projeções ortogonais ________________________________________ 43 3.8 - Exercícios 3.2 - Desenhe as vistas em 1º diedro. ______________________________ 46 3.9 - Exercícios 3.3 – Completar as vistas, identificar o diedro e esboçar as perspectivas. __ 50 3.10 - Vistas auxiliares ______________________________________________________ 53 3.11 – Projeções de sólidos geométricos elementares inclinados ______________________ 53 3.12 – Seções, casos fundamentais _____________________________________________ 54 3.13 – Rebatimento e projeções em V.G. ________________________________________ 55 3.14 - Exercícios 3.4 – Completar vistas _________________________________________ 56 3.15 – Exercícios 3.5 – Rebatimento em V.G. _____________________________________ 57 Capítulo 04 - Planificações 4.1 – Desenvolvimento da superfície de uma pirâmide reta de base quadrada. __________ 57 4.2 - Desenvolvimento da superfície de um prisma reto de base hexagonal _____________ 58 4.3 - Desenvolvimento da superfície de um tronco pirâmide reta de base hexagonal ______ 58 4.4 - Desenvolvimento da superfície de um oblíquo de cilindro reto __________________ 59 4.5 - Desenvolvimento das superfícies de uma junção de cilindros ___________________ 59 4.6 - Exercícios – Planificação. _______________________________________________ 60 5 - Bibliografia __________________________________________________________ 60

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Introdução

Caros alunos, muitos de vocês podem até não ter a nítida e definitiva noção do que é ser um profissional em engenharia, por esse motivo tento descrever o perfil desse profissional exigido pelo competitivo mercado de trabalho. O engenheiro deve estar preparado para viver em um ambiente de mudanças sociais, tecnológicas e econômicas cada vez mais rápidas e para atender todas as exigências do futuro, os profissionais das engenharias devem ser:

• exatos, trabalham com margem de erros tendendo a zero; • lógicos, analisar cada parcela individual dos problemas antes de uma conclusão final

sobre o problema; • analítico, possuir a capacidade do pensamento estruturado, dominar a abstração e a

criação para solução de problemas tecnológicos mesmo quando não dispor informações completas;

• autodidata, buscar o conhecimento e as informações necessárias por si só, aprender a aprender;

• excelentes calculistas, dominar a matemática, a estatística e possuir uma ampla base científica;

• empreendedor, construir seu próprio futuro, descobrir suas potencialidades na busca das oportunidades, conviver com o risco e enfrentar desafios;

• humanista, conviver harmoniosamente em grupo, ser comunicativo, ético e apresentar uma ampla visão do impacto social e ambiental de suas atitudes.

Uma das disciplinas que lhes introduzirá nesse perfil desejado é o Desenho I, cujos objetivos são:

• desenvolver habilidades para o pensamento e abstração espacial; • conhecer as técnicas do Desenho Geométrico e Descritivo necessárias para a futura

leitura e interpretação do Desenho II, Desenho Técnico; • utilizar-se dos conhecimentos adquiridos para solução de problemas com um grau de

complexidade cada vez maior; • desenvolver uma postura de eficiência, precisão, qualidade e senso de normalização; • relacionar a representação espacial do Desenho com as demais disciplinas do curso.

Na segunda série do curso será visto o Desenho II, desenho técnico, objetivando o conhecimento do sistema de normalização necessário:

• na apresentação técnica do desenho como linguagem universal das engenharias; • nos processos de fabricação e de controle da qualidade de produtos e serviços; • nos procedimento de utilização e manutenção de máquinas e de equipamentos.

Nos últimos anos, o ensino de Desenho tornou-se um grande desafio, pois foi vendida a idéia de que se aprendesse uma linguagem de desenho assistida por computador, já seria suficiente para o desenvolvimento das funções de um engenheiro. Esqueceu-se nesse episódio que o computador só executa uma atividade mediante o comando do seu operador, o engenheiro, sem a visão espacial, e se as competências acima citadas não forem bem desenvolvidas, não será um bom computador que nos fará um bom profissional em engenharia.

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O contato com o desenho assistido por computador é indispensável e necessário no contexto atual, logo na segunda série do curso será visto em Técnicas Computacionais o Desenho assistido por computador. A carência do conhecimento em leitura e interpretação do Desenho Técnico gera dependências no profissional em engenharia muito perigosas, inviabilizando inclusive a potencialidade de criação. O desafio é enorme, no entanto, o professor propiciará um ambiente que permita a você, aluno, a atingir todos os objetivos de maneira efetiva e eficiente. Deve-se lembrar que somos todos responsáveis pelo nosso sucesso, todo processo resume-se a um conjunto de vontades e necessidades de todos nós, alunos, professores e Universidade. O Material necessário para o desenvolvimento do curso será:

• um compasso; • uma régua; • uma lapiseira para desenho.

Apenas para ilustrar os componentes de um compasso é mostrado na Figura I, Compasso de precisão com parafuso de regulagem.

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Figura I – Compasso de Precisão com parafuso de regulagem.

Ponta seca Grafite

Parafuso de regulagem

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Capítulo 01 - Construções geométricas fundamentais 1.1 - Traçar uma perpendicular a uma reta r que passe pelo ponto dado A. a) O ponto pertence à reta, Figura 1.1.a. • ponta seca do compasso em A e um raio qualquer marca-se os pontos B e C; • ponta seca em B e um raio qualquer traçar os arcos acima e abaixo da reta r; • ponta seca em C e com o mesmo raio anterior, obtém-se os pontos D, E e a perpendicular.

Figura 1.1.a - Perpendicular

b) O ponto é exterior à reta r, a construção é análoga a anterior, Figura 1.1.b.

Figura 1.1.b – Perpendicular

1.2 - Traçar a perpendicular à semi-reta OA, no ponto O sem prolongá-la para a esquerda. • ponta seca em O traça-se um raio qualquer OB; • marcam-se BC = CD = OB; • com ponta seca em D e um raio qualquer, traçar um arco e com ponta seca em C e o mesmo

raio determina-se o ponto E, Figura 1.2.

Figura 1.2 – Perpendicular à semi-reta

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1.3 - Traçar uma reta paralela à reta dada r passando pelo ponto A. • ponta seca em A e um raio qualquer AB traçar um arco; • ponta seca em B e mesmo raio anterior traçar o arco AC; • toma-se a medida CA, com ponta seca em B obtém-se o ponto D e a paralela. Figura 1.3.

Figura 1.3 – Paralela

1.4 - Traçar paralelas através de perpendiculares. • traçar em A uma reta perpendicular a r e marca-se sobre essa a medida d obtendo-se B; • com a ponta seca em A e uma medida qualquer determina-se o ponto C; • com a mesma abertura do compasso e ponta seca em B traçar um arco; • toma-se a medida AB e transferindo a ponta seca para C encontra-se D e a paralela. Figura 1.4.

Figura 1.4 – Paralela

1.5 - Traçar a mediatriz de um segmento AB. É o equivalente a dividir o segmento AB em duas partes iguais, Figura1 5. • ponta seca em A e um raio qualquer, traçar um arco de um lado e outro de AB: • ponta seca em B e mesmo raio anterior obtém C e D; • CD é mediatriz de AB, pois C e D distam-se igualmente de A e B.

Figura 1.5 - Mediatriz

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1.6 - Construir um ângulo congruente a um outro ângulo dado α , Figura 1.6. • com a ponta seca em O e um raio qualquer OA traçar o arco AB no ângulo dado α; • trace um lado do ângulo β e sobre ele CD com raio igual a OA; • tome a abertura AB e transfira para o novo ângulo β com a ponta seca em D encontre E; • unindo-se C a E tem-se ângulo DCE congruente AOB, ou seja, com a mesma abertura.

Figura 1.6 – Ângulos congruentes

1.7 - Traçar a bissetriz de um ângulo, Figura 1.7. É o quivalente a dividir o ângulo em duas partes iguais. • com a ponta seca em O e raio qualquer OA traçar um arco AB. • com a ponta seca em A e depois em B com mesmo raio, trace os arco e encontre o ponto C,

OC é a bissetriz do ângulo.

Figura 1.7 - Bissetriz

1.8 - Dividir um segmento AB em n partes iguais, por exemplo, n = 6, Figura 1.8. • traçar por A e B retas paralelas, AC paralela a BD, através do procedimento visto em 1.6 • marca-se o número n desejado de partes iguais e quaisquer sobre o segmento AC a partir de A e em BD a partir de B; • unindo-se os pontos A-6, 1-5, 2-4, 3-3, 4-2, 5-1, e 6-B obtêm-se a divisão do segmento AB

nas respectivas interseções das paralelas com o mesmo.

Figura 1.8 - Divisão de seguimento de reta.

α β

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1.9 - Traçar a bissetriz do ângulo formado pelas retas ‘r’ e ‘s’, sem usar o vértice desse ângulo. • traçar uma reta qualquer MN, Figura 1.9; • trace as bissetrizes dos ângulos formados por MN com ‘r’ e ‘s’; • essas bissetrizes cruzam-se em A e B, que pertencem à bissetriz pedida do ângulo formado

por r e s.

Figura 1.9 – Bissetriz sem o vértice

1.10 - Construir ângulos de 15º , 30º , 60º , 75º e ângulos quaisquer.

Dividir um ângulo em três partes iguais, Figura 1.10. Construir um ângulo reto, ou seja, traçar a perpendicular conforme o procedimento 1.2. • com raio qualquer OA, traçar um arco AB; • ponta seca em A e raio OA, obtém-se o ponto D; • ponta seca em B e mesmo raio AO, determina-se o ponto C, arco AD = 60°, logo arco BD = 30°; • traçando a bissetriz de BD, conforme procedimento 1.7, tem-se o ângulo de 15o, o qual somado-se com 60o, encontra-se o ângulo de 75o .

Figura 1.10 – Ângulos de 30º

Utilizando-se da trigonometria e da construção de triângulos semelhantes, pode-se desenhar um ângulo qualquer. A Equação 1 mostra a relação trigonométrica da tangente.

tang.α = cateto oposto / cateto adjacente. (1)

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1.11 - Traçar o círculo inscrito a um triângulo dado, círculo que tangencie a todos os lados, Figura 1.11. • traçam-se as bissetrizes dos ângulos A, B e C do triângulo, pois a interseção destas bissetrizes é o centro do círculo procurado, ou seja o incentro o triângulo; • ponta seca no ponto O, determinado pela interseção das bissetrizes, traçar uma perpendicular

a um dos lados, procedimento 1.1 b, para se obter um ponto T de tangência do círculo com um dos lados.

Figura 1.11- Círculo inscrito

1.12 - Traçar o círculo circunscrito a um triângulo dado, Figura 1.12. • traçam-se as mediatrizes dos lados do triângulo, procedimento 1.5, pois a interseção destas

determina o ponto O, centro do círculo procurado, ou seja o circuncentro do triângulo.

Figura 1.12 – Círculo circunscrito

Nota: No ponto de interseção das medianas (segmento de um vértice ao ponto médio do lado oposto) do triângulo tem-se o baricentro.

1.13 - Dados três pontos não colineares traçar uma circunferência, Figura 1.13. Sejam A, B e C os pontos dados. • traçar a mediatriz do segmento AB e do segmento BC; • no ponto de interseção das duas mediatrizes tem-se o centro da circunferência pedida.

Figura 1.13 – Circunferência

T

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1.14a. - De um ponto dado na circunferência, traçar a tangente à ela. • traçar a perpendicular ao raio no ponto dado A, procedimento 1.1a. Essa perpendicular será a tangente t pedida, Figura 1.14.a.

Figura 1.14.a – Tangente

1.14b. - De um ponto dado A, que não pertence a circunferência traçar as tangentes. • une-se o ponto dado A ao centro O da circunferência dada, Figura 1.14.b; • traçar a mediatriz de AO encontrando-se o ponto médio M; • ponta seca no ponto médio M e com raio MO obtém-se os pontos B e C na circunferência; • AB e AC serão tangentes por serem perpendiculares aos raios OB e OC.

Figura 1.14.b – Tangentes

1.15 - Dadas duas circunferências de raios R1, R2 e distância entre centros O1O2, traçar suas tangentes exteriores comuns, Figura 1.15. • ponta seca no centro O1 e raio r = R1–R2 traça-se uma circunferência auxiliar; • utilizando-se da circunferência auxiliar e do ponto O2 traça-se as tangentes, conforme o procedimento 1.14b, obtendo-se os pontos A e B; • une-se O1 a A encontrando-se C e O1 a B para encontrar D; • com a ponta seca em O2 e abertura até A, transfere-se esta medida com a ponta seca em D encontrando-se o ponto F, com a mesma abertura, ponta seca em C encontra-se E.

Figura 1.15 – Tangentes

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1.16 - Dadas duas circunferências de raios R1, R2 e distância entre centros O1 e O2 traçar suas tangentes interiores comuns, Figura 1.16. • a construção é análoga ao item anterior 1.15, lembrando apenas que a circunferência auxiliar tem o valor de r = R1 + R2.

Figura 1.16 – Tangentes

1.17 - Concordar uma reta r num ponto dado A com um arco que passe por um ponto B dado. • traçar por A a perpendicular a reta r; • trace a mediatriz de AB, a interseção dessa com a perpendicular determina o centro O do arco de concordância, Figura 1.17

Figura 1.17 – Concordância de uma reta e um arco

Nota: Regras de concordância: Diz-se que um arco e uma reta estão em concordância num ponto, quando a reta é tangente ao arco nesse ponto. Nesse caso, o centro do arco está na perpendicular à reta tirada desse ponto. O conjunto reta-arco deve formar uma só linha, Figura 1.17.

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1.18 - Concordar duas retas ‘s’ e ‘r’ com um arco de raio dado R, Figura 1.18. • traçar AA’ perpendicular à reta ‘s’ e BB’ perpendicular à reta r sendo AA’ = BB’ = R; • por A’ traça-se uma paralela a ‘s’ e por B’ a paralela a ‘r’ e obtém-se o centro O do arco

de concordância. • no ponto O traçar as perpendiculares em relação às retas s e r onde se têm os pontos de concordâncias do arco com as duas retas.

Figura 1.18 – Concordância de duas retas e um arco.

1.19 - Concordar um arco de circunferência de raio R dado, com uma reta r e uma circunferência dada de raio R1, Figura 1.19. • traçar uma reta s paralela à reta r; • ponta seca em O e raio (R1 + R) cruze a reta s encontrando-se o ponto C; • em C traçar uma perpendicular a reta r encontrando-se o ponto D; • une-se C a O para encontrar o ponto de tangência E; • ponta seca em C raio R traçar o arco de concordância do ponto D até E.

Figura 1.19 – Concordância circunferência-arco-reta

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1.20 - Concordar duas semi-retas paralelas, nas suas origens A e B, com sentido contrário através de dois arcos, Figura 1.20. • traçar por A e B as perpendiculares às semi-retas; • toma-se um ponto qualquer C em AB, quando não forem necessários raios de mesmos

valores; • traçar as mediatrizes de AC e CB até encontrar as perpendiculares em O e O' que são os

centros dos arcos pedidos.

Figura 1. 20 – Concordância entre retas e arcos

1.21 - Concordar duas semi-retas paralelas, nas suas origens A e B sendo que as duas semi-retas têm o mesmo sentido e b deve ser maior que d, Figura 1.21. • traçar AM perpendicular a ‘r’, marcando a medida MA = d; • por M traçar a reta s paralela a reta r e marcar MB = b; • traçar em B uma perpendicular a reta s; • sobre as perpendiculares a r e s marque o valor do raio de concordância R1 encontrando-se os

pontos O e O’; • traçar a mediatriz de OO’ até encontrar o prolongamento de AM em O”; • com centro em O' e raio R1 traçar o arco BC e com centro em O” e raio O”A o arcoAC.

Figura 1.21 – Concordâncias de retas e arcos

M

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1.22 - Concordar duas circunferências de raios dados R1 e R2 externas uma a outra, por meio de um arco de circunferência de raio dado R, Figura 1.22. • com centro em O1 e raio (R1 + R) descreve-se um arco acima e outro abaixo dos centros; • com centro em O2 e raio (R2+ R) traçar dois outros arcos que interceptam os arcos

anteriormente traçados determinando-se os centros O3 e O4; • une-se O1 a O3 , O2 a O3, O1 O4 e O2 a O4 determinando-se os pontos de concordâncias entre

as circunferências e os arcos dados pelos pontos 1-2 e 3-4; • ponta seca em O3, abertura R traça-se o arco de 1 a 2 e ponta seca em O4 com o mesmo raio R

o arco de 3 a 4.

Figura 1.22 – Concordância externa de circunferências e arcos

1.23 - Concordar duas circunferências de raios dados R1 e R2 internas a um arco de circunferência de raio dado R, Figura 1.23. • com centro em O1 e raio (R -R1) descreve-se um arco acima e outro abaixo dos centros; • com centro em O2 e raio (R – R2) traçar outros dois arcos de circunferência que interceptam

os arcos anteriores em O3 e O4 respectivamente; • une-se O1 a O4 , O2 a O4 , O1 a O3 e O2 a O3 encontrando-se os pontos de tangências 1-2-3-4; • ponta seca em O3 e abertura R traça-se o arco 1 a 2, análogo para o O4 o arco 3 a 4.

Figura - 1.23 Concordância interna de circunferências e arcos

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1.24 - Divisão de circunferência em partes iguais. Definições: chama-se polígono a parte do plano compreendida entre segmentos consecutivos, cuja extremidade do último coincida com a origem do primeiro. Um polígono diz-se convexo quando não é cortado pelo prolongamento de qualquer de seus lados, côncavo no caso contrário; regular quando todos os lados e todos os ângulos são iguais, irregular no caso contrário. 1.24.1 - Dividir uma circunferência em três partes iguais e construir o triângulo eqüilátero. • com a ponta seca em A e com raio R da circunferência traça-se o arco D-O-B; • unindo-se os pontos D , B e C obtém-se o triângulo eqüilátero. Repedindo-se o procedimento no ponto C obtêm-se seis divisões da circunferência.

Figura 1.24.1 – Triângulo eqüilátero.

1.24.2 - Dividir uma circunferência em quatro partes iguais e construir o quadrado. • trace o eixo vertical AB; • traçar a perpendicular CD; • determina-se as bissetrizes dos quadrantes AD e AC encontrando-se os pontos 1-2-3-4. Nota: o quadrado em uma outra posição pode ser obtido unindo os pontos A-C-B-D-A e unindo-se A-1-D-2-B-3-C-4-A obtém-se o octógono.

Figura 1.24.2 - Quadrado

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1.24.3 - Dividir uma circunferência em cinco partes iguais e construir o pentágono. • centro em D e raio R, igual ao da circunferência dada, descreve-se o arco F-O-E; • ligar E a F para encontrar o ponto M; • centro em M e raio M-A, traça-se o arco A-N; • centro em A e raio A-N, traça-se o arco cujo valor é o lado do pentágono. Nota: a) o comprimento ON é o valor do lado do decágono. b) o comprimento ME é o valor do lado do heptágono.

Figura 1.24.3 – Pentágono

1.25 - Regra de Bion para divisão de circunferência, Figura 1.25. • divide-se o diâmetro AB em n partes iguais que se deseja dividir a circunferência, por exemplo n=11; • ponta seca em A e raio AB, depois com a ponta seca B e o mesmo raio, obtêm-se os pontos C e D; • unindo-se o ponto C as divisões pares 2, 4, 6, 8 e 10 até cortar a circunferência, onde se têm

as divisões desejadas; • unindo o ponto D aos mesmos pontos pares até cortar a circunferência, completa-se as

divisões.

Figura 1.25 – Regra de Bion

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1.26 - Dadas as retas paralelas r, s e o vértice A, traçar uma hexágono regular. • do vértice A traça-se uma perpendicular a reta r encontrando-se na reta s vértice B; • do vértice A traça-se uma reta a 30º em relação a perpendicular AB até s determinando-se C; • o seguimento BC é o lado do hexágono procurado; • com abertura do compasso BC, encontra-se o vértice D, posteriormente E e F.

Figura 1.26 – Hexágono

1.27 - Processo aproximado de Delaistre para construção de polígonos de 5 a 12 lados. • tomando-se o seguimento AB como o lado da cada polígono a ser desenhado; • ponta seca em A e abertura até B traça-se os arcos para encontrar C, D; • por CD trace a perpendicular ao lado AB; • com ponta seca em C e abertura até A, traça-se a circunferência do hexágono e determina-se o ponto E, centro da circunferência do decágono, 12 lados; • divide-se CE em seis (6) partes iguais e faz-se CF igual a uma destas partes; • toma-se a partir de F até E os respectivos centros das circunferências a serem divididas em 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12 parte iguais.

Figura 1.27 - Processo aproximado de Delaistre

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1.28 –Exercícios - Desenhe usando todo o desenho geométrico fundamental as figuras dadas em escala 1:1.

Figura 1.28.1 Figura 1.28.2

Figura 1.28.3 Figura 1.28.4

Figura 1.28.5 Figura 1.28.6

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Figura 1.28.7 Figura 1.28.8

Figura 1.28.9 Figura 1.28.10

Figura 1.28.11

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Capítulo 02 - Ovais, arcos, espira evolvente, cíclicas, cônicas e hélice. 2.1-Traçado das ovais Oval é uma curva fechada, constituída pela concordância de arcos de circunferências. As ovais classificam-se, como: • regular ou falsa elipse, apresenta dois eixos de simetria; • irregular ou oval propriamente dita possui um só eixo; • quanto à forma, pode ser oval regular arredondada ou alongada.

2.1.1 - Traçar uma oval regular dados os dois eixos, Figura 2.1 • traçar o eixo maior AB perpendicular ao eixo menor CD; • une-se AD encontrando-se DE igual a AO menos OD; • traçar a mediatriz de AE encontrando-se o centro 1 sobre o eixo maior e o centro 2 sobre o eixo menor, ou em seu prolongamento; • ponta seca em O abertura até o centro 1, transfere-se a abertura encontrando o centro 3; • ponta seca em O abertura até o centro 2, transfere-se a abertura encontrando o centro 4; • ponta seca em 1 traçar o arco HAF, em 3 o IBG, em 2 o FDG e em 4 o HCI.

Figura 2.1- Oval regular dado os dois eixos.

2.1.2 - Traçar uma oval regular arredondada, dado o eixo menor AB, Figura 2.2 • traçar a mediatriz de AB para determinar a posição do eixo maior; • toma-se O1 = O2 = OA/2; • une-se A1 encontrando C, A2 o D, B1 o F e B2 o E; • ponta seca em A abertura até o B traça-se o arco CBD, ponta seca em B e mesma abertura o arco FAE, centro 1 o arco CF e em 2 o DE.

Figura 2.2 - Oval regular arredondada dado o eixo menor.

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2.1.3 - Traçar uma oval regular arredondada, dado o eixo maior AB, Figura 2.3. • divide-se o eixo maior dado em três partes iguais determinando O1 e O2; • trace os triângulos eqüiláteros O1O2O3 e O1O2O4; • ponta seca em O1 traça-se o arco CAF, em O2 o arco DBE, ponta seca em O3 e abertura até F o arco FE e em O4 o arco CD.

Figura 2.3 – Oval regular arredondada dado o eixo maior.

2.1.4 - Traçar uma oval regular alongada, dado o eixo menor AB, Figura 2.4. • traçar a mediatriz de AB; • faz-se OO1 = OB = AO = OO2; • com a ponta seca em A e raio AB trace o arco EBF e em B o arco GAH; • ponta seca em O1 trace arco GF e em O2 arco EH.

Figura 2.4 – Oval regular alongada dado o eixo menor.

2.1.5 - Traçar uma oval regular alongada, dado o eixo maior AB, Figura 2.5. • traçar a mediatriz de AB; • divide-se OA e OB ao meio; • trace os triângulos eqüiláteros O1O2O3 O1O2O4; • com ponta seca em O1 trace o arco EAD e em O2 o arco FBC; • ponta seca em O3, trace o arco DC e em O4 arco EF.

Figura 2.5 – Oval regular alongada dado o eixo maior.

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2.1.6 - Traçar uma oval irregular de quatro centros, dado AB, Figura 2.6. • traçar a mediatriz de AB; • centro em O e raio OA, obtém-se o ponto C; • une-se AC e BC; • ponta seca em A e abertura AB trace o arco até encontrar o ponto D e com a ponta seca em B encontra-se E; • com ponta seca em C e abertura CE trace o arco ED.

Figura 2.6 – Oval irregular de quatro centros.

2.1.7 - Traçar uma oval irregular de seis centros, dado o diâmetro AB do semicírculo, Figura 2.7. • traça-se a mediatriz de AB encontrando-se o ponto E no eixo maior; • faz-se a mediatriz de OB obtendo-se o ponto M; • ponta seca em A e abertura até M encontra-se C, AC = AM, com a mesma abertura e ponta

seca em B determina-se D, BD = AM; • une-se C a E e D a E encontrando-se respectivamente os pontos F e G; • obtém-se J com EJ = OM; • ponta seca em C abertura até B trace o arco para encontrar o ponto I, com mesma abertura e ponta seca em D determina-se H; • com ponta seca em F e abertura até I trace o arco para encontrar L e com a mesma abertura e

a ponta seca em G trace o arco para encontrar o ponto K; • ponta seca em J e abertura até K trace o arco KL.

Figura 2.7 – Oval irregular de seis centros.

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2.2 - Traçado de arcos. 2.2.1 - Construir o arco ogival sabendo-se o valor do vão AB, visto na Figura 2.8. • traçar o seguimento AB do vão e as perpendiculares a esse em A e B; • ponta seca em A e abertura até B trace um arco e com mesma abertura ponta seca em B encontrando-se o ponto C.

Figura 2.8 - Arco ogival.

2.2.2 - Construir um arco ogival sabendo-se os valores do vão AB e da flecha OC, visto na Figura 2.11. • traçar o seguimento AB do vão e as perpendiculares a esse em A e B; • encontra-se a mediatriz de AB marcando-se a medida da flecha OC; • faz-se as mediatrizes de AC e BC encontrando respectivamente os pontos E e D; • ponta seca no ponto E abertura até A trace o arco AC e com mesmo raio, ponta seca em D o arco BC.

Figura 2.9 – Arco ogival dado a flecha.

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2.2.3 - Construir o arco ogival de ferradura sabendo-se o valor do vão AB, mostrada na Figura 2.10. • traçar o seguimento AB do vão e as perpendiculares a esse em A e B; • trace a mediatriz do seguimento AB encontrando-se o ponto O; • ponta seca em O e raio AO encontra-se o ponto C; • prolonga-se AC e BC; • ponta seca em C e raio CA trace os arcos a partir de A encontrando D e a partir de B

encontrando o E; • ponta seca em A abertura até E trace o arco encontrando F, com a mesma abertura, ponta seca em B, trace o arco DF.

Figura 2.10 – Arco ogival de ferradura.

2.2.4 - Construir uma ogival gótica sabendo-se o valor do vão AB, mostrada na Figura 2.11. • traçar o seguimento AB do vão e as perpendiculares a esse em A e B; • trace a mediatriz do seguimento AB encontrando-se o ponto O; • ponta seca em O e raio AO encontra-se o ponto C; • prolonga-se AC e BC; • ponta seca em C e raio CA trace os arcos a partir de A encontrando D e a partir de B encontrando o E; • encontram-se os pontos F e G, fazendo AE = EG = BD = DF; • ponta seca em F e raio FD traçe um arco e com ponta seca em G e mesmo raio trace outro arco encontrando H.

Figura 2.11- Arco ogival gótico.

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2.3 - Espiral Evolvente do círculo. Evolvente do círculo é a curva descrita por um ponto A fixo numa reta que rola sem deslizar em torno de uma circunferência, mantendo-se sempre tangente a ela. Essa curva é importante no estudo das engrenagens com perfis de dentes evolventes. 2.2.1 Traçado da espiral evolvente de um círculo de raio dado R, Figura 2.12. • divide-se a circunferência em número n de partes iguais; • traçam-se as tangentes nos pontos das divisões; • com a ponta seca na posição 1 e abertura até o ponto P, marca-se P1 na tangente 1. • na tangente 2 marcam-se duas divisões de raio P1 e assim sucessivamente.

Figura 2.12 – Evolvente. 2.4 - Curvas cíclicas. 2.4.1 – Ciclóide. É a curva descrita por um ponto de uma circunferência que rola sobre uma reta sem escorregamento, conhecendo-se o raio do círculo gerador pode-se traçar uma ciclóide, Figura 2.13.

Figura 2.13 – Ciclóide.

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2.4.2 –Epiciclóide. É a curva descrita por um ponto de uma circunferência que rola sobre outra exteriormente, sem escorregamento, Figura 2.14.

Figura 2.14 – Epiciclóide.

2.4.3 – Hipociclóide É a curva descrita por um ponto de uma circunferência que rola sobre outra, interiormente, sem escorregamento, Figura 2.15.

Figura 2.15 - Hipociclóide

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2.5 – Cônicas As curvas cônicas têm suas origens nas seções feitas em um cone, mostradas na Figura 16. • um plano qualquer da seção tem-se a elipse; • um plano paralelo a uma geratriz tem-se a parábola; • um plano paralelo ao eixo do cone tem-se a hipérbole.

(a) (b) (c) Figura 16 – Seções em um cone: (a) Elípse; (b) Parábola; (c) Hipérbole 2.5.1 Elípse. É uma curva plana fechada cuja soma das distâncias de qualquer um de seus pontos aos focos F1 e F2 é constante e igual ao eixo maior AB, Figura 17 . Figura 17 – Elipse.

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Pode-se traçar uma elipse usando a seqüência executada na Figura 2.18: • traçar o eixo maior AB e encontre sua mediatriz determinando o ponto O; • com centro no ponto O descrevem-se duas circunferências de diâmetro AB e CD; • divide-se uma das circunferências em um número qualquer de partes iguais e transfira as

divisões para a outra circunferência; • nas divisões da circunferência AB trace perpendiculares em relação ao eixo maior e na

circunferência de eixo CD trace as perpendiculares em relação ao eixo menor, na interseção dessas perpendiculares encontram-se os pontos da elipse.

• toma-se abertura do compasso igual a medida AO , com a ponta seca em C ou D encontra-se os focos F e F’ sobre o eixo maior.

Figura 2.18 – Elipse.

2.5.2 - Parábola. É uma curva plana aberta, cujos ramos se prolongam ao infinito, também é o lugar geométrico dos pontos do plano que têm igual distância de um ponto fixo chamado foco, F, e de uma reta chamada diretriz, D, mostrada na Figura 2.19. O ponto de interseção da parábola com o eixo X chama-se vértice, V.

Figura 2.19 - Parábola.

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2.5.3 - Hipérbole É o lugar geométrico dos pontos do plano cujas distâncias de dois pontos fixos chamados focos têm uma diferença constante e igual a Vo V1, Figura 2.20. É formada por dois ramos simétricos em relação a dois eixos perpendiculares entre si; destes eixos, o cortado pelos ramos da hipérbole chama-se eixo transversal e o outro, eixo não transversal. Os ramos da hipérbole são tangentes, no infinito, a duas retas chamadas assíntotas. Se as assíntotas são perpendiculares entre si, a hipérbole é eqüilátera.

Figura 2.20 – Hipérbole. 2.6 -Hélice É a curva formada sobre a superfície cilíndrica por um lado de um ângulo que gira em torno do cilindro, enquanto o outro lado gira sobre o círculo da base, Figura 2.21 Traçado da hélice sobre um cilindro, conhecidos o passo e o diâmetro.

Figura 2.21 – Traçado de uma hélice.

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Capítulo 03 – Projeções. Introdução. O problema fundamental que se apresenta ao desenhista é o de representar um objeto tridimensional em um plano com somente duas dimensões e que normalmente é uma folha de papel ou a tela de um computador. Os métodos de representação de um objeto num plano são fundamentalmente três:

a) projeção axonométrica, perspectivas: projeção axonométrica ortogonal (perspectiva isométrica, dimétrica e trimétrica); projeção axonométrica oblíqua ou cavaleira;

b) perspectiva cônica (perspectivas exatas); c) projeções ortogonais (representadas pelas vistas no desenho técnico). 3.1 -Projeção axonométrica ortogonal. Supõe-se que uma superfície do objeto, seja colocada não ortogonalmente a um plano P posterior a ele. Imagine-se que o objeto seja iluminado por uma fonte luminosa colocada à distância infinita e perpendicular ao plano P e formando com o objeto um ângulo diferente de 90o, obtém-se desta forma a projeção axonométrica ortogonal. As projeções axonométricas são representações de figuras espaciais, sólidos, num plano, nestas condições, a figura não se reproduz em verdadeira grandeza, Figura 3.1.

Figura 3.1 – Representação de uma projeção axonométrica ortogonal

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3.1.1 - Projeção axomométrica isométrica , perspectiva isométrica. Os três ângulos α, β e γ são iguais entre si e portanto de 120° cada um conforme mostra a Figura 3.2a. 3.1.2 – Projeção Axonometria dimétrica, dois ângulos são iguais entre si e o terceiro é diferente; consequentemente, duas arestas não sofrem reduções, ao passo que a terceira sofre.

Entre as várias combinações que se possam ter, as normas prevêem o uso dos seguintes ângulos:131,5°; 131,5° e 97°, com estes valores, a aresta segundo o eixo X sofre uma redução de

50 % , os ângulos são mostrados na Figura 3.2b.

(a) (b)

Figura 3.2 – Os eixos de uma perspectiva: (a) Isométrica e (b) Dimétrica.

A Figura 3.3 ilustra os três tipos de perspectivas axonométricas ortogonais, incluindo outra possibilidade de ângulos para as perspectivas dimétricas.

(a) (b) (c) Figura 3.3 – Projeções axonométricas ortogonais: (a) isométrica; (b) dimétrica e (c) trimétrica.

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3.2 - Projeção axonométrica oblíqua ou cavaleira. Se o objeto mantém-se paralelo ao plano P e se coloca a fonte luminosa de modo que os raios incidam na figura e portanto no plano P com um ângulo diferente de 90°, tem-se projeção axonométrica oblíqua também chamada projeção axonométrica cavaleira. Neste caso a figura plana se reproduz também em verdadeira grandeza; todavia, considerando um sólido, a terceira dimensão deste (profundidade) aparece no plano com comprimento modificado e formando um certo ângulo com a horizontal, na Figura 3.4 tem-se uma representação dessa projeção.

Figura 3.4 – Representação de uma projeção axonométrica oblíqua

3.2.1 -Projeção axonométrica oblíqua ou cavaleira, ocorre quando o objeto tem a superfície que se observa paralela ao plano de projeção, como na projeção ortogonal, mas os raios incidentes são oblíquos em relação ao plano de projeção.

(a) (b) (d)

Figura 3.5 – Perspectiva cavaleira; (a) 30º; (b) 45º e (c) 60º.

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3.3 - Perspectiva cônica. Se os raios luminosos provêm não do infinito, mas de uma fonte O a uma distância finita, centro óptico, o contorno do objeto F, que se obtém num plano P, muda de dimensões conforme a posição da fonte O. Este perfil toma o nome de perspectiva cônica ou central, Figura 3.6.

Figura 3.6 – Representação da projeção cônica

As perspectivas cônicas podem ser representas conforme ilustra a Figura 3.7, com um ponto de fuga, dois e três.

Figura 3.7 – Representação das perspectivas cônicas com um, dois e três pontos de fuga vistas de cima.

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A perspectiva exata pode ser desenhada usando o Processo Prático, ilustrado na Figura 3.8.

Figura 3.8 - Ilustração do método prático O MÉTODO 1. Desenha-se a planta em uma escala conveniente e com uma aresta sobre a reta PQ, (Plano

de Quadro)

2. Determina-se a distância d, localiza-se PV, tal que o ângulo A-PV-B seja menor que 60o .

3. Traça-se PV- F2 paralelo a O2-A e PV-F'2 paralelo O2-B.

4. Traça-se a LH ( Linha do Horizonte) e a LT (Linha de Terra), a uma distância h ( altura do

observador).

5. Projeta-se F2 sobre a LH e encontra-se f1 , repete-se o processo para F'2.

6. Determina-se a altura O1C1 do objeto.

7. Traça-se f1O1 , f1C1, f'1O1 e f'1C1.

8. Projeta-se A-PV e encontra-se a1 , análogo para b1.

9. Projeta-se a1 sobre f1C1 e f1O1, repete-se para b1.

10. Determina-se desta forma a perspectiva exata do objeto, pelo processo prático.

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3.4 – A perspectiva isométrica de círculos. Método de construção da axonométrica isométrica de um círculo:

• traçam-se as diagonais maiores e menores de cada face. Elas se cruzam no centro da face, Figura 3.11.a;

• pelo centro das faces traçam-se paralelas aos eixos, as linhas médias; • com centro do compasso na extremidade da diagonal menor de uma das faces, abre-se até

a extremidade mais distante de uma linha média da mesma face, linhas traço-ponto mostram esses raios, Figura 3.9.b;

• traça-se um arco até a extremidade da outra linha média. Assim, são traçados todos os arcos maiores da figura ;

• obtêm-se os centros dos arcos menores pelas interseções das diagonais maiores com os raios traçados pelas extremidades dos arcos maiores, Figura 3.9.c;

• com centro do compasso nesses pontos e abertura até a extremidade mais próxima dos arcos maiores, traçam-se os arcos menores.

Figura 3.9 - Representação da perspectiva isométrica de um círculo

A Figura 3.10 mostra o método acima descrito de forma detalhada.

Figura 3.10 – Representação detalhada do desenho de círculos em perspectiva isométrica.

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3.5 – Exercícios 3.1 – Desenhar as perspectivas isométricas dadas.

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

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3.6 - Projeção ortogonal. Supõe-se que o objeto, por exemplo a figura plana F, seja colocada paralelamente a um plano P posterior a ela. Imagine-se que a figura seja iluminada por uma fonte luminosa colocada a uma distância infinita e perpendicular ao plano de projeção, conseqüentemente, os raios que provêm da fonte são paralelos entre si e ao mesmo tempo perpendiculares à figura F e ao plano P, eles reproduzirão, no plano P, uma imagem com o mesmo contorno e a mesma grandeza de F, chamada projeção ortogonal da figura F no plano P; (ortogonal = perpendicular). Portanto, na projeção ortogonal a figura plana considerada se reproduz em verdadeira grandeza, a Figura 3.11 representa a projeção ortogonal.

Figura 3.11 – Representação da projeção ortogonal.

3.6.1 – Método Mongeano de Projeções, o ponto. Para fixar a posição de um ponto no espaço, Gaspard Monge criou o Método da dupla projeção cílindrico-ortogonal ou Método Mongeano. Para passar da figura do espaço para o plano, efetua-se o rebatimento do P.H. sobre o P.V., até que ambos se coincidam, após uma rotação de 90o, em torno da linha de terra, Figura 3.12.

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Figura 3.12- Representação do rebatimento de um ponto nos quatro diedros. 3.6.2 -Método Mongeano de Projeções e rebatimento de um objeto nos 4 diedros, Figura 3.13.

Figura 13 – As projeções e o rebatimento nos quatro diedros. Observando-se na Figura 3.14, o rebatimento das projeções no 2o

e 4o

diedros se sobrepõem,

o que inviabiliza este tipo de rebatimento para o desenho técnico. Pode-se concluir que o desenho técnico terá seu rebatimento feito no 1o

e 3o

diedros.

O método de projeções ortogonais na norma Americana é feito no 3o diedro, enquanto que o sistema de projeções no Sistema Internacional e incluindo a ABNT, Associação Brasileira de Normas Técnicas adotam-se as projeções em 1o

diedro.

As projeções no desenho técnico são muitas vezes chamadas de vistas e é de fundamental importância reconhecer em qual diedro foi feito o rebatimento. 3.6.3 - Sistema de projeções em primeiro diedro. A Figura 3.14 mostra o sistema de projeções e rebatimento, em primeiro diedro.

(a) (b) (c)

Figura 3.14 - Representação de projeções e rebatimento em primeiro diedro: (a) projeção vertical, vista principal; (b) projeção horizontal, vista superior ou planta, (c) projeção no plano de perfil, vista lateral esquerda.

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A Figura 3.15, mostra o objeto em primeiro diedro, a representação do rebatimento e as vistas.

Figura 3.15 – Rebatimento em primeiro diedro: (a) objeto no 1º diedro; (b) visualização do rebatimento; (c) as projeções ortogonais em 1º diedro.

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3.6.4 - Sistema de Projeções em terceiro diedro. A Figura 3.16, mostra o objeto em terceiro diedro, a representação do rebatimento e as vistas.

Figura 3.16 – Rebatimento em terceiro diedro: (a) objeto no 3º diedro; (b) visualização do rebatimento; (c) as projeções ortogonais em 3º diedro.

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Escolhe-se a posição de observação que melhor caracterize o objeto com vista principal, a Figura 3.17 mostra alguns exemplos.

Figura 3.17 – Exemplos da escolha da vista principal.

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3.6.5 – A Figura 3.18 representa o rebatimento em 1o e 3o diedros das seis projeções ortogonais.

(a) (b)

Figura 3.18 – Rebatimento(a) em primeiro; (b) terceiro diedros. 3.7 - Exemplos das projeções ortogonais

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45

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3.8 -Exercícios 3.2 - Dadas as perspectivas, faça em 1o diedro as três vistas que representam

cada peça.

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48

49

50

3.9 – Exercícios 3.3 - Dada às vistas, complete-as, identifique os diedros e esboce as perspectivas.

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53

3.10 -Vistas auxiliares São vistas obtidas sobre planos auxiliares de projeção, inclinados em relação aos planos principais de projeções. Empregam-se para representar, com exatidão, detalhes do objeto, inclinados em relação às faces principais.

(a) (b)

Figura 3.19 – Projeções de vistas auxiliares: (a) em 1º diedro; (b) em 3º diedro. 3.11 – Projeções dos sólidos geométricos elementares inclinados em relação aos planos de projeções. Nas Figuras 3.20, 3.21 e 3.22 são mostrados exemplos.

Figura 3.20- Projeção de um prisma Figura 3.21 – Projeção de um cilindro. de base octogonal.

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Figura 3.22 – Projeção de uma pirâmide de base octogonal

3.12 – Seções, casos fundamentais. A Figura 3.23 mostra uma seção elíptica, a Figura 3.24 uma seção parabólica e a Figura 3.25 uma seção hiperbólica.

Figura 3.23 – Seção elíptica.

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Figura 3.24 – Seção parabólica Figura 3.25 – Seção hiperbólica. As seções quando não são rebatidas ortogonalmente em relação aos seus planos não se encontram em verdadeira grandeza, deve ser então feito o rebatimento ortogonalmente a seção para se ter a verdadeira grandeza. 3.13 – Rebatimento de seção, representada na Figura 3.26.

Figura 3.26 – Rebatimento das seções de um prisma de base hexagonal.

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3.14 - Exercícios 3.4 – Dadas as vistas principais completas, determine as vistas superiores e as laterais.

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3.15 - Exercícios 3.5 – Determine as verdadeiras grandezas das seções MN nas pirâmides dadas:

(a) (b) Capítulo 04 - Planificação de sólidos geométricos. A planificação de um sólido significa cortar-lhe a superfície segundo uma ou mais linhas escolhidas oportunamente, imaginando-o como se fosse uma folha de espessura infinitesimal, e distendê-la sobre um plano. 4.1 – Desenvolvimento da superfície de uma pirâmide reta de base quadrada.

Figura 4.1. Pirâmide de base quadrada

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4.2 - Desenvolvimento da superfície de um prisma reto de base hexagonal.

Figura 4.2 – Prisma de base hexagonal. 4. 3 Desenvolvimento da superfície de um tronco pirâmide reta de base hexagonal

Figura 4. 4 - Desenvolvimento da superfície de um tronco pirâmide reta de base hexagonal

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4.4 - Desenvolvimento da superfície de um oblíquo de cilindro reto

Figura 4.5 – Cilindro reto

4.5 - Desenvolvimento das superfícies de uma junção de cilindros

Figura 4.6 – Juntas cilíndricas

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4.6 –Exercícios 4.1 - Planifique os elementos dados:

5 - Bibligrafia:

A.R. Giongo, Curso de Desenho Geométrico, Nobel , São Paulo, 1975

G. Manfé, Manual de Desenho Técnico Mecânico, Renovada Livros Culturais Ltda.

S.F.Silva, A Linguagem do Desenho Técnico,Livros Técnicos e Científicos, Rio de Janeiro.

F. Provenza, Desenhista de Máquinas, Pro-Tec, São Paulo, 1978

A.J. Rodrigues, Geometria Descritiva, vol.1, Agir, Rio de Janeiro, 1951.

A. Machado, Geometria Descritiva, Atual Editora, São Paulo, 1986;

Jr, A.R. Príncipe, Geometria Descritiva, Vol I e II, Livraria Nobel, São Paulo, 1983;