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CARACTERIZAÇÃO DE PROCESSOS

E SINTONIA DE CONTROLADORES

M EPOR MÉTODOS EMPÍRICOS

Profa. Cristiane Paim

Semestre 2014-2

Caracterização de ProcessosCaracterização de Processos

Considere a configuração série de um sistema de controle:

Dado um conjunto de especificações de desempenho, énecessário projetar-se o controlador C(s) de modo a atendê-las.

Para sintonizar o controlador é necessário o conhecimentodo modelo matemático que representa o processo.

Caracterização de Processos

• Se o modelo matemático que representa o processo éconhecido, podemos utilizar métodos analíticos, baseados noLugar das Raízes e/ou Resposta em Frequência, para determinaros parâmetros do Controlador.

• Caso não exista um modelo matemático conhecido para o• Caso não exista um modelo matemático conhecido para oprocesso, podemos utilizar métodos de identificação de sistemas,relativamente sofisticados, para obter modelos precisos paraestes.

• Caso não seja possível fazer uma identificação precisa doprocesso, seja pelas características do mesmo ou por questõesfinanceiras, é possível obter-se modelos mais simples uma vezque a maioria dos processos industriais têm um comportamentoque pode ser aproximado por sistemas de 1ª ou 2ª ordem comatraso.

Caracterização de ProcessosCaracterização de Processos1ª Ordem

2ª Ordem - sobre ou criticamente amortecido

( )1+

=−

Ts

CesG

Ls

−Ce Ls

2ª Ordem – subamortecido

( )( )( )11 21 ++

=−

sTsT

CesG

Ls

( )12

2

++

=

−

nn

Ls

ss

CesG

ωξ

ω


Modelos de 1ª ordem com atraso podem ser obtidos apartir da resposta ao degrau considerando o sistema em malhaaberta (ensaio de malha aberta).

Neste caso, a resposta y(t) é a chamada curva de reação eterá uma forma de “S”.

Caracterização de ProcessosCaracterização de ProcessosEsta curva pode ser aproximada por um modelo de 1ª ordem

com atraso:

( )1+

=−

Ts

CesG

Ls

M

O parâmetro C é obtido diretamente da curva, valor deregime permanente. Os demais parâmetros, L e T, podem serdeterminados através de diversos métodos.

Caracterização de ProcessosCaracterização de ProcessosMétodo 1: Traça-se uma reta tangente à curva de reação, no

ponto de maior inclinação.

L: é o ponto onde a reta intercepta o eixo do tempo

L T

intercepta o eixo do tempo

T: é o intervalo entre L e o ponto em que a reta tangente intercepta o valor de regime permanente

Caracterização de ProcessosCaracterização de ProcessosMétodo 2: Traça-se uma reta tangente à curva de reação, no

ponto de maior inclinação. Obtêm-se L da intersecção destareta com o eixo do tempo.

(L+T) é o instante em que a saída vale 63,2% do valor saída vale 63,2% do valor de regime permanente.

( ) CTLy 632,0=+

Caracterização de ProcessosCaracterização de ProcessosMétodo 3: os parâmetros L e T são obtidos considerando a

região que apresenta maior taxa de variação.

( )( ) 1

2

3283,03

632,0

tTLCTLy

tTLCTLy

=+→=+

=+→=+

( )

TtL

ttT

−=

−=

2

122

3

L 2T/3T/3


Exemplo: aplicação dos métodos

1

Resposta ao Degrau

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

y(t)


Método 1

0.8

1

Resposta ao Degrau

6,016,1T

1C

1L

=−=

=

=

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

t

y(t)

( )1s6,0

esG

s

1 +=

−


Método 2

4,0T4,1TL

1C

1L

=⇒=+

=

=

0.8

1

Resposta ao Degrau

( )1s4,0

esG

s

2 +=

−

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

t

y(t)


Método 3

( )1,1TtL

3,0tt5,1T

4,1t

2,1t

12

2

1

=−=

=−=

=

=

0.8

1

Resposta ao Degrau

1,1TtL 2 =−=

( )1s3,0

esG

s1,1

3 +=

−

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

t

y(t)


0.8

1

Resposta ao Degrau

G

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

t

y(t)

G

G1

G2

G3

Sintonia de ControladoresSintonia de Controladores

A sintonia de controladores pode ser feita utilizando métodos analíticos ou empíricos.

� Métodos Analíticos� A sintonia é feita a partir de ferramentas de análise tais como Lugar das � A sintonia é feita a partir de ferramentas de análise tais como Lugar das Raízes e Resposta em Frequência.

� O modelo do sistema normalmente é exato e obtido por análise fenomenológica.

� Métodos Empíricos� A sintonia é feita através de valores tabelados para os parâmetros do

controlador.

� Os parâmetros de sintonia foram definidos através de testes práticos utilizando modelos aproximados do sistema.

Métodos EmpíricosMétodos Empíricos

Com base nos modelos de 1ª e 2ª ordem com atraso, diversos métodos empíricos de sintonia foram propostos:

� Métodos da Curva de Reação (Malha Aberta)� 1º Método de Ziegler-Nichols (1942)

� Método de Cohen-Coon (1953)� Método de Cohen-Coon (1953)

� Método CHR (Chien, Hhornes e Reswick) (1952)

� Métodos baseados na minimização de integrais de erro (1967)

� Método do IMC (Internal Model Control) (1986)

� Métodos de Sintonia com Oscilação Constante (Malha Fechada)� 2º Método de Ziegler-Nichols (Ganho Crítico)

� Ziegler-Nichols Modificado

� Parâmetros de Tyreus-Luyben

� Relé Realimentado


Métodos de Ziegler-Nichols

� São métodos empíricos definidos de modo a obter uma taxa de decaimento de ¼ (relação entre a amplitude da 1ª e 2ª de decaimento de ¼ (relação entre a amplitude da 1ª e 2ª oscilação da resposta).

� São os métodos empíricos mais antigos, desenvolvidos em 1942.

Sintonia de ControladoresSintonia de Controladores1º Método de Ziegler-Nichols: malha aberta

Obtém-se experimentalmente a resposta ao degrau unitário para osistema em malha aberta. A saída y(t) terá a forma da curva em “s”

mostrada anteriormente.

O modelo do controlador PID é dado por:PID é dado por:

( )

++= sT

sTKsC D

I

P

11

(PID série ideal )

T

CR =

Sintonia de ControladoresSintonia de ControladoresOs parâmetros de sintonia do controlador serão dados por:

Controlador KP TI TD

P 1/RL - -

PI 0,9/RL L/0,3 -

PID 1,2/RL 2L L/2

Aplicando os parâmetros da tabela:

T

CR =

Aplicando os parâmetros da tabela:

Portanto, o controlador tem um zero duplo em -1/L e um pólo na origem.

( )s

Ls

Rs

L

LsRLsC

216,0

22

11

2,1)(

+=

++=

( )

++= sT

sTKsC D

I

P

11

Sintonia de ControladoresSintonia de ControladoresMétodo CHR

Semelhante ao 1º Método de Ziegler-Nichols.

Os parâmetros de sintonia são definidos para garantir uma resposta sem sobressinal ou com sobressinal em torno de 20%.20%.

Mp = 0% Mp = 20%

Controlador KP TI TD KP TI TD

P 0,30/RL - - 0,70/RL - -

PI 0,35/RL 1,2T - 0,60/RL T -

PID 0,60/RL T 0,50L 0,95/RL 1,4T 0,47L

Sintonia de ControladoresSintonia de ControladoresMétodo de Cohen-Coon

Semelhante ao 1º Método de Ziegler-Nichols. Os parâmetros de sintonia são alterados para:


com

P - -

PI -

PID

+3

1R

NL

P

+12

9,0R

NL

P

+4

33,1R

NL

P

++R

RL

209

330

++R

RL

813

632

+ R

L211

4

T

LR

T

CN ==

Sintonia de ControladoresSintonia de Controladores2º Método de Ziegler-Nichols: malha fechada

O ensaio é realizado em malha fechada, considerando umcontrolador proporcional (ganho K).

Aplica-se como referência um degrau unitário e aumenta-seo ganho K até atingir o limite da estabilidade, no qual aresposta apresenta oscilações não amortecidas.

A saída terá a forma


Obtém-se então o período crítico Tu, para o ganho crítico Kuassociado.

A estrutura do controlador PID é a mesma do métodoanterior (configuração ideal).

Sintonia de ControladoresSintonia de ControladoresOs parâmetros de sintonia do controlador serão dados por:


P 0,50Ku - -

PI 0,45Ku Tu/1,2 -

PID 0,60Ku 0,5Tu 0,125Tu

Aplicando os parâmetros da tabela:Aplicando os parâmetros da tabela:

Neste caso, o zero duplo do controlador é definido por -4/Tu.

( )s

TsTKsT

sTKsC U

UUU

U

U

24

075,0125,02

16,0)(+

=

++=


Parâmetros de Tyreus-Luyben

Semelhante ao método de Ziegler-Nichols em malhafechada. Os valores de Ku e Tu são obtidos da mesma forma.Entretanto, os parâmetros de sintonia são modificados para:


PI 0,31Ku 2,2Tu -

PID 0,45Ku 2,2Tu 0,158Tu

Sintonia de ControladoresSintonia de ControladoresZiegler-Nichols Modificado

O ganho Ku é ajustado de modo que se obtenha umdecaimento de ¼ do 1º para o 2º pico da resposta ao degrau.

Sintonia de ControladoresSintonia de ControladoresO ganho e o período de oscilação são chamados de K¼ (ganhode amplitude de ¼) e T¼ (período de amplitude de ¼).

A partir deste valores são determinados os parâmetros Ku e Tuda tabela de Ziegler-Nichols:

Ku = 2 K¼Ku = 2 K¼

Tu = T¼


P 0,50Ku - -

PI 0,45Ku Tu/1,2 -

PID 0,60Ku 0,5Tu 0,125Tu


Os métodos empíricos de sintonia de servem como ponto de partida para o ajuste de parâmetros.

Exemplo: Ensaios em malha aberta

Sintonia de ControladoresSintonia de ControladoresProcesso 1

Solução � utilizar o 1º método de Ziegler-Nichols, CHR ou Cohen-Coon


Solução � utilizar métodos de malha fechada.


Solução � utilizar método de malha fechada.


Exemplo 1: Sintonia com métodos de malha aberta

Do gráfico:1

1.2Step Response

Do gráfico:

L=0,5

C=1

T=0,6-0,5=0,1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (seconds)

Amplitude

11,0)(

5,0

+≅

−

s

esG

s


Exemplo 1: Sintonia com métodos de malha aberta

PI KP TI

CHR (0%) (0,35/RL) = 0,07 1,2T = 0,12

CHR(20%) (0,60/RL) = 0,12 T = 0,10

+=

+=

+=

+=

s

s

ssC

s

s

ssC

CHR

CHR

1012,0

10,0

1112,0)(

33,807,0

12,0

1107,0)(

20

0


0.8

1

1.2

1.4

CHR - 0%

CHR 20%

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6


Exemplo 2: Sintonia com métodos de malha fechada.Determinação de ganho Crítico.

0.8

1

1.2

1.4K=1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

Resposta ao degrau malha fechada

0.8

1

1.2

1.4

1.6K=2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8


1

1.2

1.4

1.6

1.8K=3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8


1

1.2

1.4

1.6

1.8

2K=4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

Resposta ao degrau malha fechada – Limite da estabilidade

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

4=UK

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.2

0.4

0.6


Tu

7,3=⇒ UT


Exemplo 3: Projetar um controlador, usando as regras desintonia de Ziegler-Nichols, de modo que o sobressinal seja nomáximo 25% para uma entrada em degrau unitário.

DADOSDADOS

• O ensaio de malha aberta indicou a presença de umintegrador.

• A resposta para o ensaio de malha fechada é dada a seguir,considerando um ganho crítico Ku=30.

5,2

30

=

=

Tu

Ku

Tu


Da tabela de parâmetros de sintonia tem-se:

O controlador PI é, então, dado por:

5,2

30

=

=

Tu

Ku


PI 0,45Ku Tu/1,2 -

PI 13,5 2,083 -

O controlador PI é, então, dado por:

+=

s

ssC

48,05,13)(

( ) ( )

+=⇒

+=

ssC

sTKsC

I

P083,2

115,13

11

Resposta ao degrau para o controlador PI projetado

Step Response

1.4

1.6

1.8

2

Time (seconds)

Amplitude

0 10 20 30 40 50 600

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

System: T

Settling time (seconds): 42.5


Seja agora um controlador PID.

Da tabela de parâmetros de sintonia tem-se:


PID 0,60Ku 0,5Tu 0,125Tu

PID 18 1,25 0,31255,2

30

=

=

Tu

Ku

O controlador PID é, então, dado por:

ou

( )s

TsTKsC UUU

24

075,0)(+

=

( )s

ssC

26,1

625,5)(+

=

( )

++= sT

sTKsC D

I

P

11

Controlador Ideal

Resposta ao degrau para o controlador projetado

Step Response

1.2

1.4

1.6

1.8

System: T

Peak amplitude: 1.71

Overshoot (%): 71.3

At time (seconds): 1.69

Time (seconds)

Amplitude

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

System: T



Refinamento do Projeto

O sobressinal elevado é decorrente da presença do zeroduplo introduzido pelo controlador. Para reduzir o sobressinalos zeros serão deslocados em direção à origem.

Escolhendo z=1, reajusta-se os demais parâmetros:Escolhendo z=1, reajusta-se os demais parâmetros:

O novo controlador PID fica:

5,0125,025,018

414

=====

=⇒=

UIUDP

U

U

TTTTK

TT

( ) ( )s

s

s

TsTKsC UUU

22194

075,0)(+

=+

=

Resposta ao degrau para o controlador projetado com refinamento

Step Response

1

1.2

1.4

System: T


Overshoot (%): 37.9


System: T


Time (seconds)

Amplitude

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

Resposta ao degrau:PID projetado x PID refinado

Step Response

1.2

1.4

1.6

1.8

PID projetado

PID refinado

Time (seconds)

Amplitude

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Escolhendo agora z=0,75, teremos

67,067,218

33,575,04

===

=⇒=

IDp

U

U

TTK

TT

O novo controlador PID fica:

( ) ( )s

s

s

TsTKsC UUU

2275,0124

075,0)(+

=+

=

Resposta ao degrau para o controlador projetado com o 2º refinamento

Step Response

1

1.2

1.4System: T3


Overshoot (%): 23.7


System: T3


Time (seconds)

Amplitude

0 1 2 3 4 5 6 70

0.2

0.4

0.6

0.8

Sintonia Baseada em Integrais de ErroSintonia Baseada em Integrais de Erro

Uma alternativa para a sintonia de controladores é utilizaríndices de desempenho baseados em integrais de erro.

Estes índices são obtidos através da ponderação do sinal deerro, seja devido a uma perturbação, seja devido a umamudança de referência.mudança de referência.

Os parâmetros do controlador são sintonizados de modo aminimizar um índice de desempenho.


IAE - Integral do Erro Absoluto

Adequado quando os erros são pequenos. Pondera mais

∫∞

=0

)( dtteIAE

Adequado quando os erros são pequenos. Pondera maisfortemente os erros maiores. Muito usado para fins de estudo.

ISE - Integral do Quadrado do Erro

Apresenta convergência lenta para erros grandes.

∫∞

=0

2 )( dtteISE


ITAE - Integral do Erro Absoluto com Ponderação de Tempo

Um erro inicial grande é ponderado com peso baixo enquantoerros que ocorrem mais tarde são bastante ponderados.

∫∞

=0

)( dttetITAE

erros que ocorrem mais tarde são bastante ponderados.

ITSE - Integral do Quadrado do Erro com Ponderação de Tempo

∫∞

=0

2 )( dttteITSE

Observação: as integrais anteriores foram definidas considerandoque o erro é nulo em regime permanente. Caso isto não ocorra,dever-se trocar, no cálculo destas, e(t) por y(t)-y(∝).


O ITAE fornece a melhor seletividade dentre os índices de desempenho.

Ex1: Seja o sistema de controle com realimentação unitária.

A função de transferência de malha fechada é dada por:

( )12

12 ++

=ss

sTζ


Os índices de desempenho ISE, ITSE e ITAE calculados para diversos valores de ζ, considerando uma entrada em degrau unitário, são mostrados na figura a seguir.

As curvas mostram a seletividade do Índice de Desempenho ITAE emcomparação com ISE e ITSE.


O valor mínimo da relaçãode amortecimento com baseno índice ITAE é de 0,7, quepara um sistema de segundaordem resulta em umaresposta rápida ao degrauresposta rápida ao degraucom um sobressinal máximode 4,6%.

Para o índices ISE e ITSE o amortecimento mínimo fica entre 0,5 e 0,6, o que representa uma resposta ao degrau com um sobressinal máximo entre 9,5% e 16%.


Em particular, o ITAE é bastante utilizado para alocação depolos de malha fechada.

Neste caso, os coeficientes que minimizarão este critério dedesempenho para uma entrada em degrau foramdeterminados para a função de transferência de malha fechadadeterminados para a função de transferência de malha fechadagenérica da seguinte forma:

Observe que esta função de transferência possui erro nuloem regime permanente para uma entrada em degrau.

( )01

2

2

2

2

1

1

0

bsbsbsbsbs

bsT

n

n

n

n

n ++++++= −

−−

− L


Os coeficientes ótimos de T(s) baseados no critério ITAE para uma entrada em degrau unitário são:

As respostas usando coeficientes ótimos para uma entrada em degrau são dadas a seguir para os critérios ISE, IAE e ITAE. As respostas são fornecidas para o tempo normalizado, .tnω


Ex: Controle de duas câmeras

A função de transferência de malha fechada é dada por:

Deseja-se que a resposta seja relativamente rápida, com tempo de acomodação inferior a 1 segundo.

( )2

0

2

0

2

0

3

2

0

2 ωωζωω

ma

ma

KKsss

KKsT

+++=


Da tabela de coeficientes ótimos

Comparando o polinômio acima com:

Tem-se:32

0

22

00 15,275,12 nmann KK ωωωωωζω ===

( ) 2

0

2

0

2

0

3 2 ωωζω maKKssss +++=∆


Para n=3, da figura abaixo, obtém-se um tempo de acomodação de aproximadamente 8 segundos (tempo normalizado).


Portanto, estima-se que

Para obter-se uma resposta rápida, com tempo de acomodação menor do que 1 segundo, escolhe-se uma frequência de 10 rad/s, ou seja,

8=sntω

8,010 =→= sn tω

Assim, os coeficientes ITAE podem ser calculados.

=

=

=

⇒

=

=

=

65,4

597,0

67,14

15,2

75,12 0

32

0

22

0

0

manma

n

n

KKKK

ζω

ωωωωωζω


A função de transferência de malha fechada será

ou

( )2

0

2

0

2

0

3

2

0

2 ωωζωω

ma

ma

KKsss

KKsT

+++=

ou

( )10002155,17

100023 +++

=sss

sT


Step Response

1

1.2

1.4

System: G

Settling Time (sec): 0.754

Time (sec)

Amplitude

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.2

0.4

0.6

0.8


Para uma entrada em rampa, os coeficientes ótimos que minimizam o critério ITAE foram determinados considerando a função de transferência de malha fechada da seguinte forma

( )01

2

2

2

2

1

1

01

bsbsbsbsbs

bsbsT

n

n

n

n

n +++++++

= −−

−− L

Os coeficientes ótimos de T(s) baseados no critério ITAE são:


Para uma entrada em parábola, os coeficientes ótimos que minimizam o critério ITAE foram determinados considerando a função de transferência de malha fechada da seguinte forma

( )01

2

2

2

2

1

1

01

2

2

bsbsbsbsbs

bsbsbsT

n

n

n

n

n ++++++++

= −−

−− L 01221 bsbsbsbsbs nn ++++++ −− L

Neste caso, os coeficientes ótimos de T(s) são


As integrais de erro podem ser utilizadas tanto como medidade desempenho do sinal de controle como também para definirparâmetros de sintonia de controladores.

No segundo caso, deve-se lembrar que:

• As sintonias para os problemas de regulação e seguimentode referência são diferentes.

• As sintonias para os diferentes tipos de entrada (degrau,rampa, etc. ) também serão diferentes.


A seguir serão apresentadas outras tabelas de parâmetrosde sintonia considerando integrais de erro.

Os parâmetros foram definidos considerando o seguintemodelo de 1ª ordem com atraso:

( )=−Ce Ls

Os valores de C, L e T foram determinados a partir daresposta ao degrau para o sistema em malha aberta (1ºmétodo).

Caso Regulador (rejeição de perturbação) – Lopes et al (1967)Caso Servo (seguimento de referência) – Rovira (1981)

( )1+

=−

Ts

CesG

Ls

Caso ReguladorCaso Regulador

Caso ServoCaso Servo


Exemplo: Projetar um controlador PI, considerando as tabelasde sintonia baseadas em critérios de erro, para o processo cujaresposta do ensaio de malha aberta, é dada no gráfico abaixo:

Sintonia Baseada em Índices de DesempenhoSintonia Baseada em Índices de Desempenho

Do gráfico:

Considerando o problema de regulação:

12

10)(

10

2

1

+=

=

=

=−

s

esG

C

T

Ls

Considerando o problema de regulação:


Critério KP TI

ISE 0,245 2,44

IAE 0,195 2,02

ITAE 0,169 1,85

Substituindo os dados tem-se:

Resposta a um degrau unitário de perturbação:Resposta a um degrau unitário de perturbação:

Resposta ao Degrau

2

3

4

5Resposta ao Degrau

ISE

IAE

ITAEISE

IAE

ITAE

0 5 10 15 20 25 30-1

0

1

-2

-1

0

1Sinal de Erro

ISE

IAE

ITAE

Sinal de Erro

Erro =0 ISE IAE ITAE

tempo 54,53 35,29 28,44

0 5 10 15 20 25 30-5

-4

-3

ISE

IAE

ITAE


Considerando agora o problema seguimento de referência:


Critério KP TI

IAE 0,14 2,33

ITAE 0,11 2,11

Substituindo os dados tem-se:

Resposta ao Degrau:

0.8

1

1.2

1.4Resposta ao Degrau

IAE

ITAE

Critério Sobressinal Tempo de Tempo de

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

Critério Sobressinal Tempo de Resposta

Tempo de Acomodação

IAE 13% 2,65 7,41

ITAE 5% 2,18 5,45

0.4

0.6

0.8

1

1.2Sinal de erro

IAE

ITAE

0 5 10 15 20 25-0.2

0

0.2

Erro =0 IAE ITAE

tempo 20,58 17,45

caracterizaÇÃode rocessos esintoniade … · caracterização de processos • se o modelo...

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