Caractersticas Geomtricas das Figuras Planas

CARACTERSTICAS GEOMTRICAS DAS FIGURAS PLANAS.

Produto de Inrcia de uma Figura Plana, em relao a Eixos de Referncias:

INCORPORAR PBrush

Definio:(Murat, S.D.)

Seja uma figura plana qualquer(fig.1), posicionada em relao a um par de eixos de referncia. Define-se:

dIxy = x.y.da

Aplicando-se as definies acima para todos os da, e somando-os temos:

Ixy = (((A) x.y.da

Pela anlise dimensional dessas definies, teremos como unidades para o PRODUTO DE INRCIA : m4, cm4, pol4, etc.

Ser adotada a unidade de m4 (metro a quarta).

Exerccio Aplicativo para Cculo de Produto de Inrcia:

Aplicar as definies acima para o Retngulo, posicionado em relao aos eixos, nas seguintes situaes:

Situao 1:

INCORPORAR PBrush Situao 2:

INCORPORAR PBrush Clculo:

da = dx.dy

dIxy = x.y.da Ixy = (((A)x.y.da

Integrando a equao, fica:

Ixy = ((A)x.dx. ((A)y.dy

Ixy = (x2/2)0(B. (y2/2)0(H

Logo: Ixy = (B2. H2)/4Clculo:

Consideraes:

O Produto de Inrcia calculado simultaneamente em relao ao par de eixos de referncia.

De acordo com a distribuio da rea da figura plana ao redor dos eixos de referncia, o Produto de Inrcia poder resultar em um nmero positivo, negativo ou nulo.

O Teorema de Steiner tambm vlido para o Produto de Inrcia.

Se, pelo menos um eixo de referncia for eixo de simetria, o Produto de Inrcia resultar nulo.

O resultado do Produto de Inrcia de uma figura composta, em relao a um par de eixos, igual soma dos Produtos de Inrcia das Figuras Planas, componentes da figura composta, em relao ao mesmo par de eixos.

Nomenclatura utilizada: (A.B.N.T.)

Baricentro ou centro de gravidade = G.

Eixos de referncia = X e Y.

Eixos baricntricos = XG e YG.

Produtos de Inrcia = Ixy e Ixgyg.

Pontos do baricentro = xg e yg.

rea da Figura Plana = A

Teorema de Steiner Aplicado ao Produto de Inrcia:

(Murat, S.D.)

Admitindo a figura plana (fig.1) posicionada em relao a um par de eixos de referncia (X e Y), pode-se definir seu Produto de Inrcia, de coordenadas (x ; y), como sendo que, obedece simultaneamente a duas condies:

Ixy = Ixgyg+A.(x.y)

Ixgyg = Ixy -A.(x.y)

Da definio acima, pode-se concluir, qualquer que seja a figura plana:

Ixy = Ixgyg+A.(xg.yg)

Se a figura plana for composta por diversas figuras bsicas, o resultado do Produto de Inrcia ser a soma algbrica dos Produtos de Inrcia das figuras componentes:

Ixy = Ixy1 + Ixy2 + Ixy3 +...........+ Ixyn

Referncia de Sinais para Produtos de Inrcia:

(Murat, S.D.)

1 e 3 quadrantes(Ixy > 0

2 e 4 quadrantes(Ixy < 0

Veja no desenho esquemtico abaixo, notar a posio dos pontos (x ; y) em relao a origem do sistema de eixos.

Y

- xx

y y

0X

-y -y

-xx

PRODUTOS DE INRCIA DE ALGUMAS FIGURAS BSICAS

FigurasreasProduto de InrciaRetngulo

INCORPORAR PBrush A = B.HIxgyg = zero

Ixy = B2.H2/4Tringulo Retngulo

INCORPORAR PBrush A = (B.H)/2Ixgyg = - B2.H2/72

Ixy = B2.H2/24Quarto de Crculo

INCORPORAR PBrush A = ((.R2)/4Ixgyg = - 0,0165.R4

Ixy = R4/8Semi Crculo

INCORPORAR PBrush A = ((.R2)/2Ixgyg = zero

Ixy = zeroCrculo

INCORPORAR PBrush A = (.R2Ixgyg = zero

Ixy = zero(Miranda, 2000)

Exerccios e Exemplos:

Determinar, os momentos de inrcia em relao aos Eixos Baricntricos, bem como, os Produtos de Inrcia em relao aos Eixos Baricntricos, das seguintes figuras:

Exemplo 19:

Resposta: G = ( -4,12 cm ; 1,35 cm)

Ixg = 8,41 cm4 e Iyg = 14,68 cm4

Ixgyg = -3,35 x 10-8 m4Exerccio 19:

Resposta: G = ( 2,5566 cm ; 6,6886 cm)

Ixg = 327,97 cm4 e Iyg = 97,71 cm4

Ixgyg = 103,09 x 10-8 m4

Unisanta - Mecnica Geral - Prof. Damin - Aula n._____ - Data ___/____/______

PGINA

PGINA 57

Pgina n

3x10-2m 3x10-2m

Y

X

6 cm

3 cm

3 cm

Y

Y