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Resistência dos Materiais IIUniversidade Federal de Pelotas

Centro de Engenharias

Universidade Federal de Pelotas


Capítulo 2Torção


Centro de EngenhariasResistência dos Materiais II



Torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo longitudinal.Se o ângulo de rotação for pequeno, o comprimento e o raio do eixo permanecerão inalterados.

2.1 – Revisão





Ip: momento polar de inércia da área da seção.

max e

p p

Tr T

I I

ρ: distância radial da linha central do eixo

T: torque interno resultante que age na seção

τ: tensão de cisalhamento (máxima na superfície externa)





Ângulo de torção:

p

TL

I G

G : módulo de elasticidade ao cisalhamentoL: comprimento do eixoϕ: ângulo de torção (rad)





Se a carga de torção ou a seção transversal da barra ou o material muda ao longo do comprimento, o ângulo de rotação é encontrado como a soma de rotações de cada segmento. i i

i pi i

T L

I G

Convenção de sinais





Dadas as dimensões da barra e do torque aplicado (solicitação), gostaríamos de encontrar as reações de torque em A e B. A partir de uma análise de corpo livre da barra,

estaticamente

indeterminado (1)A BT T T

EQUAÇÃO DE COMPATIBILIDADE:

Dividindo o eixo em dois componentes que devem ter deslocamentos rotacionais compatíveis,

0

(2)

A AC B CBAB AC CB

p p

ACB A

CB

T L T L

I G I G

LT T

L

2.2 – Eixos Estaticamente Indeterminados





Teremos um sistema:

A B

ACB A

CB

T T T

LT T

L

CBA

ACB

LT T

Ll

LT T

Ll





1)O eixo maciço de aço mostrado abaixo tem diâmetro de 20mm. Se for submetido aos dois torques, determine as reações nos apoios fixos A e B.

Respostas: TA=-345Nm e TB=645Nm

Exercício de fixação





2)Determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo. Ip é constante. Resposta: 16,3MPa






3) O eixo de aço é composto por dois segmentos: AC, com diâmetro de 0,5in e CB, com diâmetro de 1in. Se estiver preso em suas extremidades A e B e for submetido a um torque de 500lb.ft, determine a tensão de cisalhamento máxima no eixo. Gaço=10,8(10

3)ksi. Resposta: τmax=29,3ksi






O eixo mostrado na figura é composto por um tubo de aço unido a um núcleo de latão. Se um torque de T=250Nm for aplicado em sua extremidade, como se distribuem as tensões de cisalhamento ao longo da linha radial de sua área de seção transversal?

GAÇO=80GPa

GLAT=36GPa

2.3- Estruturas heterogêneas quanto aos materiais





250 (1)Aço LATT T Nm

A reação na parede é representada pelas quantidades desconhecidas de torque às quais resistem o aço e o latão. O equilíbrio exige:

Compatibilidade:

Exige-se que o ângulo de torção na extremidade A sejam o mesmo para o aço e para o latão, visto que eles estão unidos.

Aplicando a relação carga-deslocamento, temos:

AÇO LAT

/ pTL I G AÇO LAT

pAÇO AÇO pLAT LAT

T L T L

I G I G

4 3 24 4 3 2 /2 10 36 10 //2 20 10 80 10 /

AÇO LATT T

mm N mmmm mm N mm





33,33 (2)AÇO LATT T

Resolvendo o sistema:

Pela fórmula da torção:

Observe a descontinuidade da tensão de cisalhamento na interface latão-aço. Isso era de se esperar, já que os materiais têm módulos de rigidez diferentes.

242,72

7,28

AÇO

LAT

T Nm

T Nm

3

4

7,28 10 104,63

/2 10LAT máx

Nmm mmMPa

mm

3

4 4

242,72 10 2020,6

/2 20 10AÇO máx

Nmm mmMPa

mm mm

3

4 4

242,72 10 1010,3

/2 20 10AÇO mín

Nmm mmMPa

mm mm

max

p

Tr

I





4)O eixo é feito de um tubo de aço com núcleo de latão. Se estiver preso a um dos apoio rígido, determine o ângulo de torção que ocorre em sua extremidade. GAÇO=75GPa e GLAT=37GPa

Respostas:


0,00617rad





5)Uma barra de aço sólida de diâmetro 1,2in está circundada por um tubo dediâmetro externo igual a 1,8in e diâmetro interno igual a 1,4in. Tanto a barracomo o tubo estão fixados rigidamente na extremidade A e unidos de formabem segura na extremidade B. A barra composta, que tem 20in decomprimento, é torcida por um torque T=4400lb.in agindo na placa daextremidade. Determine as tensões de cisalhamento máximas na barra e notubo e o ângulo de torção em graus da placa, assumindo que o módulo deelasticidade do aço é G=11,6x106psi. Respostas:


0,507

3,08 4,62barra tuboksi ksi





2.4 – Eixos maciços não circulares





A tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de torção para eixos com seção transversal não circular são:

Análise completa da teoria éapresentada em livros comoMathematical Theory ofElasticity, I. S. Sokolnikoff, 2ª Ed,109-134.





A tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de torção para eixos com seção transversal retangular são:

a/b c1 c2

1,0 0,208 0,1406

1,2 0,219 0,1661

1,5 0,231 0,1958

2,0 0,246 0,229

2,5 0,258 0,249

3,0 0,267 0,263

4,0 0,282 0,281

5,0 0,291 0,291

10,0 0,312 0,312

max 21

32

T

c ab

TL

c ab G

a→maior ladob→menor lado

a

b





O eixo de alumínio 6061-T6 tem área de seção transversal na forma de umtriângulo equilátero. Determine o maior torque T que pode ser aplicado àextremidade do eixo se a tensão de cisalhamento admissível for τadm = 56 MPae o ângulo de torção na extremidade estiver restrito a Φadm = 0,02 rad.Gal = 26 GPa.

Exemplo 1-





O torque interno resultante em qualquer seção transversal ao longo da linha central do eixo também é T.

adm 3 2 3 3

3

adm 44 4 3al

2

20 20; 56 179200 Nmm=179,2Nm

40

46 1,2 1046; 0,02rad 24120 24,12

40 26 1024,12 Nm

T N TT

a mm mm

T mmTLT Nmm Nm

Na G mmmmT

Por comparação, o torque é limitado devido ao ângulo de torção.





6)O eixo é feito de latão vermelho C83400 e tem seção transversal elíptica. Se for submetido ao carregamento de torção mostrado, determine a tensão de cisalhamento máxima no interior das regiões AC e BC.

Respostas:


BC ACmáx máx0,955 1,592MPa MPa





7)Determinar o maior torque T que pode ser aplicado a cada uma das duas barras de alumínio mostradas, e o correspondente ângulo de torção em B, sabendo-se que G=26GPa e .

Respostas:


) 2,25 =0,816°

) 1,77 =0,901°

a T kNm

b T kNm

adm 50MPa





A tensão de cisalhamento média para tubos com paredes finas é

Para o ângulo de torção,

mtA

T

2méd

τméd = tensão de cisalhamento médiaT = torque interno resultante na seção transversalt = espessura do tuboAm = área média contida no contorno da linha central

tds

GA

TL

m

24

2.5 – Tubos de parede fina com seções transversais fechadas





Um tubo quadrado de alumínio tem as mesmas dimensões. Determine a tensão de cisalhamento média no tubo no ponto A se ele for submetido a um torque de 85 Nm. Calcule também o ângulo de torção devido a esse carregamento.Considere Gal = 26 GPa.

Exemplo 2-





O torque interno no ponto A é T = 85 Nm.

3

méd 2

méd

85 10

2 2 10 2.500

1,7

m

NmmT

tA mm mm

MPa

Para tensão de cisalhamento média:

22 mm 500.250 mAA área sombreada é .

ds

ds

t

ds

GA

TL

m

14

32

33

2mm 10196,0

101026500.24

105,11085

4

Para ângulo de torção,

A integral representa o comprimento em torno da linha central do contorno do tubo. Assim,

4

3

0,196 10 4 50

3,92 10 rad





8)O tubo da figura é construído em bronze e tem a seção transversal na forma e dimensões indicadas. Se está sujeito aos dois torques como mostrado, determine o valor da tensão tangencial nos pontos A e B, e o ângulo de torção do extremo C em relação ao suporte fixo E. Considerar G=38GPa. Respostas:


A B1,75 , 2,92 e =0,00626rad MPa MPa





9)Um torque de 1,2kNm é aplicado a uma barra vazada de alumínio, que tem a seção mostrada na figura. Determinar a tensão de cisalhamento da barra. Respostas:


44,4MPa





10)O tubo é feito de plástico, tem 5mm de espessura e as dimensõesmédias são mostradas na figura. Determine a tensão de cisalhamentomédia nos pontos A e B se o tubo for submetido a um torque de T=500Nm.Respostas:


9,6MPa

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