capítulo x – parte i momentos de inércia · o momento polar de inércia em relação ao eixo z...
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Profa. Salete Souza de OliveiraHome: http://www.professores.uff.br/salete
Bibliografia Principal
R. C. HIBBELER – Estática – Mecânica para Engenharia
Capítulo X – Parte IMomentos de Inércia
Universidade Federal Fluminense - UFFEscola de Engenharia de Volta Redonda – EEIMVR
Departamento de Ciências Exatas
Momentos de Inércia de Áreas
IntroduçãoCentróide – Considera-se o primeiro momento da área em relação a um eixo
Momento de Inércia – Integral do Segundo Momento de Inércia
� xdA
� dAx2
�=�==
==�=
dAzMdAkzdFzdM
kzdAdAdFz22 κ
σκσ
Momentos de Inércia
��
��
=�=
=�=
Ay
Ay
Ax
Ax
dAxIdAxdI
dAyIdAydI
22
22
Momento Polar de Inércia
yxA
o IIdArJ +== �2
Teorema dos Eixos Paralelos para Uma Área
( ) ���� ++=�+=A
yA
yA
xA
yx dAddAyddAyIdAdyI 2'2'2' 2
A primeira integral representa o momento de inércia da área em relação ao eixo que passa pelo centróide.
'
_
xI
A segunda integral é zero, uma vez que x’passa através do centróide C da área, isto é,
0,0'_
=== �� ydAydAy
2_
' yxx AdII += 2_
' xyy AdII +=2
_
AdJJ co +=
Raio de Giração de Uma Área
AJ
kA
Ik
AI
k oo
yy
xx ===
Momentos de Inércia de uma Área por IntegraçãoCaso de contornos de áreas planas expressos por funções matemáticas
Exercícios1- Determine o momento de inércia para a área retangular mostrada na Figura em relação (a) ao eixo x’ que passa pelo centróide, (b) ao eixo xb que passa pela base do retângulo e (c) ao pólo ou eixo z’perpendicular ao plano x’-y’ e que passa pelo centróide C.
3- Determine o momento de inércia em relação ao eixo x da área circular mostrada na Figura.
Resolver os exercícios do Hibbeller 10.2,10.9,10.24
Momentos de Inércia de Áreas Compostas
Uma área composta é constituída por uma série de outras áreas ou formas geométricas mais simples, como semicírculos, retângulos e triângulos. Desde que o momento de inércia de cada uma dessas partes seja conhecido, ou possa ser determinado em relação a um eixo comum.
Exercício – Calcule o momento de inércia da área composta mostrada na Figura em relação ao eixo x
2- Determine os momentos de Inércia da área da seção reta da viga mostrada na Figura. Em relação aos eixos x e y que passam pelo seu centróide.
Resolver os exercícios 10.45, 10.49 e 10.51 do Hibbeller
Produto de Inércia de Uma Área �=A
xy xydAI
Se o elemento de área escolhido tem uma dimensão infinitesimal em duas direções, como mostra a figura, uma integração dupla deve ser efetuada para calcular a integral acima. Na maioria dos casos, é mais simples escolher um elemento de área com uma dimensão infinitesimalou largura em apenas uma direção; nesses casos énecessária apenas uma simples integração.
Teorema dos Eixos ParalelosConsidere a área sombreada mostrada na Figura, onde x’ e y’representam um par de eixos passando pelo centróide da área, enquanto x, y representam o par de eixos paralelos correspondente. Como o produto de inércia de dA em relação aos eixos x,y édIxy=(x’+dx) (y’+dy)dA, então para toda área
( )( ) dAydddAxddAyddAyxdAdydxIA
yxA
yA
xAA
yxxy ����� +++=++= '''''''
yxxyxy dAdII +=_
Momento de Inércia de uma área em relação a eixos inclinados
θθθθ
xsenyv
ysenxu
−=+=
coscos
Os momentos e o produto de inércia em relação aos eixos u e vsão
( )( )( )( )dAxsenyysenxuvdAdI
dAysenxdAudI
dAxsenydAvdI
uv
v
u
θθθθθθ
θθ
−+==+==
−==
coscos
cos
cos22
22
Expandindo cada expressão e integrando, levando em conta que
��� === xydAIdAxIdAyI xyyx ,, 22
( )
2 2
2 2
2 2
cos 2 cos
s cos 2 cos
cos cos cos
u x y xy
v x y xy
uv x y xy
I I I sen I sen
I I en I I sen
I I sen I sen I sen
θ θ θ θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ
= + −
= + +
= − + −
cos 2 22 2
cos 2 22 2
2 cos 22
x y x yu xy
x y x yv xy
x yuv xy
I I I II I sen
I I I II I sen
I II sen I
θ θ
θ θ
θ θ
+ −= + −
+ −= − +
−= +
O momento Polar de Inércia em relação ao eixo z que passa pelo ponto O é independente da orientação dos eixos u,v, isto é
o u v x yJ I I I I= + = +
Momentos Principais de Inércia
O Ângulo �= �p define a orientação dos eixos principais para a área.
( )
2 2 2 cos 2 02
22
x yuxy
xyp
x y
I IdIsen I
d
Itg
I I
θ θθ
θ
−� �= − − =� �
� �
−=
−
Raízes
2
21
2
21
22
cos 22 2
x yp xy xy
x y x yp xy
I Isen I I
I I I II
θ
θ
−� �= − +� �
� �
− −� � � �= +� � � �� � � �
2
22
2
22
22
cos 22 2
x yp xy xy
x y x yp xy
I Isen I I
I I I II
θ
θ
−� �= +� �
� �
− −� � � �= − +� � � �
� � � �
2
maxmin 2 2
x y x yxy
I I I II I
+ −� �= ± +� �
� �
Exercício –Determine os momentos principais de inércia da área da seção transversal da viga mostrada na Figura em relação a um dos eixos que passa pelo centróide.
Círculo de Mohr para Momentos de Inércia
( )
2 2
2 2
2 2 2
2
2
2 2
2
x y x yu uv xy
u uv
x yxy
I I I II I I
I a I R
I IR I
+ −� � � �− + = +� � � �
� � � �
− + =
−� �= +� �
� �
Ex- Utilizando o círculo de Mohr determine os momentos principais de inércia para a área da seção transversal da viga na Figura em relação a um eixo que passa pelo centróide.