Momento de inércia e

produto de inércia

Disciplina: Mecânica dos Sólidos 1

Universidade de Brasília

Faculdade de Tecnologia

Departamento de Eng. Civil e Ambiental

Prof. Sylvia R. C. Brant Pereira de Jesus

Eng. Civil, MSc.

sylvia@unb.br

Momentos de inércia

Objetivos da unidade:

Determinar o momento de inércia de áreas simples

e compostas

Determinar o raio de giração de uma área

Definir o produto de inércia de uma área

Determinar o momento de inércia de uma área em

relação a eixos inclinados utilizando relações

matemáticas e círculo de Mohr

Momento de inércia

Tensão na viga varia linearmente com sua

distância de um eixo que passa pelo centroide

C da área da seção transversal da viga

Sabe-se que:

dF dA kzdA

FF A

A

kz

Momento de inércia

dF dA kzdA

2dM dFz kz dA

2M k z dA

Momento de inércia da

área em relação ao eixo y

Cálculo do momento da

força em relação ao eixo y

Momento de inércia

Significado físico:

◦ Resistência dos corpos à

alteração de sua velocidade

angular por ação dos

momentos das forças

aplicadas

◦ Resistência ao giro que uma

área oferece quando

solicitada

◦ Inércia de rotação de um

corpo

Momento de inércia

2

yI x dA 2

xI y dA

2

o x yJ r dA I I Momento de inércia:

segundo momento

de área

r

2 2 2r x y

Momento de inércia

Os eixos passam pelo centroide dessas figuras...

E se não passassem?

Teorema dos eixos paralelos

Com base nesse teorema,

calcula-se o momento de

inércia em torno de um

eixo qualquer por meio

do momento de inércia

em torno de um eixo

paralelo que passe pelo

centroide mais o produto

da área pelo quadrado da

distância perpendicular

entre os dois eixos.

Teorema dos eixos paralelos

2

'x yI y d dA

2 2' 2 'x y yI y dA d y dA d dA 2

'x x yI I Ad

Essa integral é o momento de 1ª ordem em relação a

x’. Como x’ passa pelo centroide, o valor desse

momento de 1ª ordem é igual a zero.

Teorema dos eixos paralelos

2

'x x yI I Ad

2

'y y xI I Ad

2

o CJ J Ad

Composição

de áreas é

possível!

Teorema dos eixos paralelos

E se não se sabe o momento de inércia em

relação ao centroide?

2 2

2 1 2 1I I A d d

2

2 2cxI I Ad

2

1 1cxI I Ad

2

1 1cxI I Ad

2 2

2 1 1 2I I Ad Ad

Solução de exercícios

Raio de giração

Distância ao eixo que todo a massa do

corpo poderia ser concentrada sem variar

o momento de inércia

y

y

Ir

A

x

x

Ir

A

o

o

Jr

A

2

xdI y dA 2

x xI k A

Produto de inércia

xyI xydA

Produto de inércia

Eixo de simetria

◦ O produto de um lado da figura cancela o do

outro lado

Simetria: valores iguais, sinais opostos

O produto de

inércia de uma área

é zero em relação a

quaisquer eixos

caso pelo menos um

deles seja um eixo

de simetria da área.

-x x

Produto de inércia

Produto de inércia

Produto de inércia

Teorema dos eixos paralelos

' 'xy x yI x d y d dA

' ' ' 'xy y x x yI x y dA d x dA d y dA d d dA

' 'xy x y x yI I Ad d

0 0

Solução de exercícios

Momentos de inércia em

relação a eixos inclinados

cos sinu x y

cos sinv y x

22 cos sinudI v dA y x dA

22 cos sinvdI u dA x y dA

cos sin cos sinuvdI uvdA x y y x dA

Momentos de inércia em

relação a eixos inclinados

2 2cos sin 2 sin cosu x y xyI I I I

2 2sin cos 2 sin cosv x y xyI I I I

2 2sin cos sin cos cos sinuv x y xyI I I I

sin 2 2sin cos 2 2cos2 cos sin

Momentos de inércia em

relação a eixos inclinados

cos 2 sin 22 2

x y x y

u xy

I I I II I

cos 2 sin 22 2

x y x y

v xy

I I I II I

sin 2 cos 22

x y

uv xy

I II I

Momentos de inércia em

relação a eixos inclinados

Atenção!

O u v x yJ I I I I

cos 2 sin 22 2

x y x y

u xy

I I I II I

cos 2 sin 22 2

x y x y

v xy

I I I II I

Momentos de inércia principais

cos 2 sin 22 2

x y x y

u xy

I I I II I

0udI

d 2 sin 2 2 cos 2 0

2

x y

xy

I II

tan 2

2

xy

p

x y

I

I I

Momentos de inércia principais

tan 2

2

xy

p

x y

I

I I

2

2

2 2

x y x y

máx xy

mín

I I I II I

Círculo de Mohr para

momentos de inércia

Manipulando as expressões...

cos 2 sin 22 2

x y x y

u xy

I I I II I

sin 2 cos 2

2

x y

uv xy

I II I

2 2

cos 2 sin 22 2

x y x y

u xy

I I I II I

2

2sin 2 cos 2

2

x y

uv xy

I II I

Círculo de Mohr para

momentos de inércia

2 2 2

2cos 2 sin 2 sin 2 cos 2

2 2 2

x y x y x y

u uv xy xy

I I I I I II I I I

2 222

2 22

cos 2 2 cos 2 sin 2 sin 22 2 2

sin 2 2 sin 2 cos 2 cos 22 2

x y x y x y

u uv xy xy

x y x y

xy xy

I I I I I II I I I

I I I II I

2 2

22

2 2

x y x y

u uv xy

I I I II I I

2 2 2x a y b R

2 2

22

2 2

x y x y

u uv xy

I I I II I I

Círculo de Mohr para

momentos de inércia

Solução de exercícios