59

Capítulo III

Fundamentos de Tensores

3.1 INTRODUÇÃO

Considere-se o problema de uma onda eletromagnética polarizada arbitrariamente e que

se propaga no ar, conforme mostrado na Fig. 3.1, incidindo na interface com um meio dielétrico

e sem perdas, porém, com anisotropia dielelétrica. Ênfase especial é dada ao caso de materiais

cristalinos com anisotropia dielétrica uniaxial como, por exemplo, o niobato de lítio LiNbO3.

Figura 3.1- Transição de uma frente de onda de um meio isotrópico para um meio anisotrópico.

Com certeza, a onda no meio anisotrópico ainda deve satisfazer as equações de Maxwell.

Contudo, a informação sobre o meio dielétrico agora é fornecida pela seguinte relação

constitutiva [1]:

ed : (3.1)

onde a notação ( : ) corresponde a operação de multiplicação entre o tensor permissividade

dielétrica, e o vetor campo elétrico e

. Portanto, no caso anisotrópico, a permissividade

dielétrica "" não é mais um simples escalar, como no caso isotrópico, e sim, um tensor de

segunda ordem. Resultados teóricos e experimentais informam sobre a possibilidade de ocorrer o

60

fenômeno da dupla refração óptica na interface, cujos raios exibem polarizações lineares

diferentes. Com isso, dispositivos como prismas polarizadores e lâminas de onda podem ser

implementados.

As repercussões da natureza tensorial da permissividade sobre as equações de Maxwell

precisam ser investigadas. O tópico sobre álgebra tensorial constitui uma ferramenta essencial

para o desenvolvimento dos capítulos que envolvem o efeito eletro-óptico e o efeito acústico-

óptico em sólidos. Entretanto, como a maioria dos materiais eletro-ópticos e acústico-ópticos são

empregados na forma de cristal, antes de mais nada será necessária uma breve introdução à

cristalografia.

3.2 NOÇÕES GERAIS DE CRISTAIS

Um cristal é constituído por um arranjo (array) tridimensional periódico de átomos no

espaço [2]. O bloco básico constitutivo do cristal é denominado de célula unitária, e apresenta

dimensões da ordem de 10 Å para materiais inorgânicos. Assim, cada cristal de tamanho

macroscópico (~ 1 cm3) pode ser considerado infinito em extensão, na escala de dimensões da

célula unitária.

Na natureza, existem somente sete formas diferentes de células unitárias, as quais

definem um conjunto de sistemas cristalográficos. Na Fig. 3.2 ilustram-se estas células unitárias,

cujas arestas têm dimensões a, b e c. O ângulo entre a e b é , entre b e c é e entre a e c é Os

sistemas associados às células unitárias são denominados:

i) cúbico: a = b = c, 900 P, I, F

ii) tetragonal: a = b c, 900 P,I

iii) ortorrômbico: a b c, 900 P, C, I, F

iv) monoclínico: a b c, 900 = P, C

v) triclínico: a b c, P

vi) trigonal: a = b = c, 900 00 P (também chamado romboédrico)

vii) hexagonal: a = b c, 900, P.

Além disso, as células podem receber designações: P = Primitive cell, I= Body centered, F= Face

centered, C= Partially centered, conforme indicado acima, totalizando 14 possibilidades.

61

a

a a

Cúbico P Cúbico I Cúbico F

(a)

a

c

a

Tetragonal P Tetragonal I

(b)

c

a b

Ortorrômbico P Ortorrômbico C Ortorrômbico I Ortorrômbico F (c)

c

ba

Monoclínico P Monoclínico C

(d)

c

ba

a

aa

a

c

a

Triclínico Trigonal Hexagonal (e) (f) (g) Figura 3.2 – Tipos de células cristalinas unitárias. a) Cúbico. b) Tetragonal. c) Ortorrômbico.

d) Monoclínico. e) Triclínico. f) Trigonal. g) Hexagonal.

62

Quando células unitárias de um determinado tipo são empilhadas para preencher o

espaço, as posições atômicas formam uma matriz de pontos da rede ou, simplesmente, rede. As

arestas dessas células definem um sistema de coordenadas, com vetores de base cba ˆeˆ,ˆ , não

necessariamente ortogonais. Se a origem desse sistema for tomado em um ponto da rede, o raio

vetor para qualquer outro ponto dessa rede será:

cbkahr

(3.2)

onde h, k e são inteiros. Uma direção particular pode ser especificada por um conjunto de

inteiros [h k ] que define r

. Assim, por exemplo, [0 1 0] aponta na direção do versor b ,

enquanto [ 1 0 0] aponta na direção do versor a . Num sistema cúbico, todas as três direções

são equivalente, e assim, fala-se do conjunto de direções 1 0 0.

Os planos podem ser especificados pelas direções dos vetores a eles perpendiculares. Na

Fig. 3.3 a) e b) ilustram-se os planos (1 0 0) e (1 1 0), respectivamente.

(a)

(b)

Figura 3.3 – Planos cristalinos. a) Plano (1 0 0). b) Plano (1 1 0).

3.3 OPERAÇÕES DE SIMETRIA DOS GRUPOS DE PONTOS

A fim de reduzir o número de componentes tensoriais que descrevem as propriedades

físicas de uma rede, torna-se necessário conhecer quais as operações de simetria que deixam a

rede invariante. Estas operações também devem deixar qualquer descrição matemática da rede

invariante. É possível referir todas as operações de simetria a um ponto conveniente numa célula

pelo qual todos os elementos de simetria passam. Fala-se, assim, de propriedades de simetria de

ponto da rede. A seguir apresentam-se essas propriedades.

63

3.3.1 Identidade: E

Equivale a uma rotação de 00 ou 3600 em torno de qualquer eixo. É um elemento comum

a todas as redes.

3.3.2 Rotação com multiplicidade n: Cn

Corresponde a uma rotação de np /)2( rad em torno de um dado eixo, onde p e n são

inteiros. Somente n = 2, 3, 4 e 6 são consistentes com redes infinitas. Assim, por exemplo, as

redes cúbicas admitem 2 (p = 1 e 2) rotações C3 (n = 3), ou seja 2C3, de 2/3 (ou 1200) e 4/3

(ou 2400), em torno do eixo [1 1 1], conforme esquematizado na Fig.3.4. São similares, rotações

em torno de [ 1 1 1], [1 1 1] e [ 1 1 1]. Portanto, os cristais cúbicos admitem 8C3 operações.

[1 1 1]

(a)

[1 1 1]

(b)

[1 1 1]

(c)

Figura 3.4 – Rotações C3 em redes cúbicas: (a) Original (b) 2/3. (c) 4/3.

Um cristal cúbico também admite uma (p = 1) operação C2 (n = 2), ou seja, rotação de

rad em torno de [1 1 0], como mostrado na Fig. 3.5. O mesmo é válido para as demais cinco

direções equivalentes. Assim, admite-se 6C2 operações.

[1 1 0]

(a)

[1 1 0]

(b)

Figura 3.5 – Rotações C2 em redes cúbicas. (a) Original (b) .

Rotações de rad em torno das direções 1 0 0 levam em conta 3C2 operações, enquanto

que rotações de /2 e 3/2 em torno desses eixos, constituem 6C4 operações.

64

3.3.3 Centro de Inversão: I

A inversão é realizada transformando cada ponto com raio r

na posição r

em relação

ao centro de simetria I, conforme esquematizado na Fig.3.6.

I

5

5'

1

1'

2

2'

3

3'

4

4'

6

6'

7

7'

Figura 3.6 – Centro de inversão em redes cúbicas.

3.3.4 Reflexão especular:

A reflexão especular é idêntica à reflexão num espelho real, na qual a rede transformada

corresponde à imagem espelhada, como esquematizado na Fig. 3.7. Um espelho normal a um

eixo de simetria é denotado por h, enquanto um espelho que contém o eixo de simetria é v.

1

1'

2

2'

3

3'

4

4'

5

5'

6

6'

7

7'

espelho

Figura 3.7 – Reflexão especular em redes cúbicas.

Assim, por exemplo, em cristais cúbicos os planos (1 0 0), (0 1 0) e (0 0 1), denotados por

planos {1 0 0}, levam em conta 3 operações. Aos planos denotados por {1 1 0} estão

associadas 6 operações.

65

3.3.5 Inversão de rotação: Sn

Neste caso, tem-se uma rotação Cn seguida por uma inversão I através de um ponto sobre

o eixo de rotação. Cristais cúbicos admitem 6S4 operações em torno das direções 1 0 0.

Com isso, existem 48 operações de simetria associadas aos cristais cúbicos: E, 8C3, 3C2,

6C2, 6C4, I, 8S3, 3, 6 e 6S4. Na tabela da Fig. 3.8, são apresentadas as operações admitidas

para todos os 32 grupos de pontos existentes.

Figura 3.8 – Operações de simetrias em grupos de pontos.

Para maiores detalhes sobre cristalografia, recomenda-se a leitura dos livros de Kaminow

[2] ou Wood [3].

66

3.4 CRESCIMENTO, CORTE E POLIMENTO DE CRISTAIS

Uma técnica consagrada de crescer monocristais de LiNbO3, LiTaO3 e Bi12GeO20, por

exemplo, é a técnica de Czochralski, cujo aparato experimental está esquematizado na Fig. 3.9.

Utiliza-se um cadinho de platina que é aquecido indutivamente por um sistema gerador de rádio-

frequência. No cadinho é colocada uma composição congruente de Li2CO3 e NbO5, a qual

constitui uma efusão denominada melt. Uma semente de LiNbO3 orientada ao longo da direção

[0 0 1] proporciona uma maior estabilidade de crescimento. Após a semente de cristal ser

baixada no melt, é puxada lentamente do cadinho, em movimento vertical e no mesmo tempo

que sofre rotação. O material policristalino fundido derrete a ponta da semente e, à medida que é

puxada e resfriada, um monocristal é formado.

Figura 3.9 – Técnica de Czochralski para crescimento de cristais.

Na Fig.3.10 apresentam-se imagens de cristais crescidos pela técnica de Czochralski: em

a) tem-se LiTaO3, e, em b), Be12GeO20. No estado primitivo, a estrutura apresenta domínios

ferroelétricos orientados ao acaso, o que restringe as características ópticas, elétricas, acústicas,

etc. Torna-se necessário polarizar o cristal, a fim de orientar coerentemente seus dipolos

ferroelétricos. Isto pode ser realizado através da aplicação de um campo elétrico intenso ao

cristal, ainda durante o processo de crescimento.

Antes de executar qualquer corte ou polimento no cristal, torna-se necessário estabelecer

a orientação precisa dos eixos cristalinos a, b e c. Para isto, emprega-se a técnica de von Laue, na

qual um feixe de raios-X incide sobre o cristal, que espalha esta radiação (difração de raios-X),

antes de atingir uma tela fluorescente posicionada atrás do cristal. A imagem fotográfica assim

67

produzida é denominada de projeção estereográfica, e sua interpretação permite estabelecer

corretamente os eixos cristalinos [3], [4].

(a)

(b)

Figura 3.10 – Exemplos de cristais. a) LiTaO3. b) Be12GeO20.

Figura 3.11 – Serra periférica usada para cortar cristais.

Os cristais usados em eletro-óptica devem ser cortados na forma de paralelepípedos ou

de lâminas delgadas. Cristais são sólidos muito frágeis e quebradiços, e assim, muito cuidado

deve ser tomado no seu corte, para evitar a formação de defeitos. Existem vários tipos de serras,

cada qual mais adequada para um determinado tipo de cristal. Na Fig. 3.11, ilustra-se uma serra

periférica, cuja espessura de lâmina é da ordem de décimos de milímetro. Serras anulares podem

ser constituídas por lâminas ainda mais finas (0,05 mm). Quando existe a preocupação de

68

defeitos gerados por tensões mecânicas residuais, pode-se ainda utilizar serras de fitas, nas quais

o corte é realizado por um fio metálico fino e abrasivo.

A última etapa de preparação do cristal refere-se ao polimento das faces. O grau de

polimento necessário em cristais eletro-ópticos volumétricos deve ser da ordem de /10. O

polimento de cristais para fins de aplicação em dispositivos SAW ou óptica integrada deve ser

ainda mais rigoroso. Na Fig. 3.12 ilustra-se uma plataforma de polimento da face de cristais

volumétricos. Durante a operação, vários tipos de pós abrasivos (carborundum, óxido de cério,

etc.) com granulações adequadas podem ser necessários. A amostra cristalina deve ser presa a

um jig de polimento cujo tamanho e peso são controlados.

Figura 3.12 – Mesa para polimento de face de cristais.

3.5 FUNDAMENTOS DA ÁLGEBRA DE TENSORES

Neste curso, os eixos principais dos cristais, também chamados de eixos cristalinos,

serão denotados por (X, Y, Z) ou (X1 , X2 , X3 ), os quais correspondem à (a, b, c) usados em

cristalografia. Os eixos geométricos (ou eixos de laboratório) serão denotados por (x, y, z) ou

(x1, x2, x3), a menos que se diga o contrário.

Grandezas como

e ,

h ,

d e

b são vetores e, portanto, necessitam de um sistema de

coordenadas para descrevê-las matematicamente. De forma similar, a permissividade “ ” de um

cristal é um tensor de segunda ordem, e também deve ser expresso com relação a um sistema de

coordenadas, o qual nem sempre é o sistema cristalino (pode ser o sistema de eixos do

laboratório). Ao passar de um determinado sistema de coordenadas (cristalino) para outro

69

(geométrico), torna-se necessário estabelecer uma lei de transformação que descreva essa

mudança.

Neste texto serão consideradas apenas aquelas transformações oriundas de rotação de

sistemas de coordenadas. Este tipo de transformação ocorre com frequência em estudos de

sólidos cristalinos, orientados arbitrariamente em relação ao sistema de coordenadas

geométricas. Casos envolvendo translações de eixos como ocorrem, por exemplo, em sistemas

líquidos, não serão tratados aqui.

3.5.1 Rotação de eixos coordenados

Para iniciar, considere-se o caso de um vetor bidimensional A, conforme ilustrado na

Fig.3.13, originalmente referido ao sistema (x1, x2), com componentes (Ax1,Ax2):

Figura 3.13- Rotação do sistema de coordenadas (x1, x2) para (x1’, x2’).

A transformação do sistema (x1, x2), denominado de sistema antigo, para o sistema

(x'1, x'2), denominado de sistema novo, é descrita através de uma matriz de transformação:

2

1

2221

1211

2

1

cos

cos

X

X

X

X

A

A

sen

sen

aa

aa

A

A

(3.3)

Novo Antigo

A demonstração de (3.3) pode ser encontrada em livros de Cálculo ou Álgebra Linear.

Considere-se, agora, o caso tridimensional, ilustrado na Fig. 3.14, onde o vetor D

,

referido originalmente ao sistema de coordenadas (x1, x2, x3), deve ser representado no sistema

girado (x'1, x'2, x'3). Na figura, aij corresponde a cossenos diretores entre eixos do sistema novo

em relação a eixos do sistema antigo. Assim, por exemplo, a11 corresponde ao cosseno diretor do

eixo x'1 em relação a x1; a12 é o cosseno diretor de x'1 em relação a x2, e assim sucessivamente.

70

Figura 3.14- Rotação do sistema do coordenadas (x1,x2,x3) para (x'1, x'2, x'3) .

Seja jia o cosseno diretor do eixo novo ix com relação ao eixo antigo jx . Denotam-se

as componentes do vetor

D no sistema novo e antigo, respectivamente, por:

'3

2

1

D

D

D

e

3

2

1

D

D

D

(3.4)

Dessa forma, a lei de transformação do sistema antigo para o novo é dada por:

3

2

1

D

D

D

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

3

2

1

D

D

D

(3.5)

onde aij são cossenos diretores. Observe-se que (3.3) constitui um caso particular de (3.5).

Em notação matricial, utilizando-se o símbolo de somatório, pode-se rescreve (3.5) na forma:

3,2,1,3

1

iDaDj

jjii (3.6)

A fim de tornar a notação mais compacta, costuma-se empregar uma representação

denominada de notação de Einstein, ou, notação de índices repetidos. Nesta representação, a

presença de um índice repetido denota somatório com relação ao referido índice. Assim, (3.6)

torna-se

71

(3.7)

onde o índice "j" aparece repetido, indicando somatório em j. Demonstra-se, facilmente, que a

operação inversa é executada conforme

(3.8)

uma lei de transformação inversa, do sistema novo para o antigo ([aji] é a transposta de [aij]).

Portanto, quando se escreve uma equação que envolve grandezas de natureza vetorial ou

tensorial, deve-se ter o cuidado de representar todas as grandezas com relação ao mesmo sistema

de coordenadas. Por exemplo,

),,(:),,(),,( 321321321 XXXEXXXXXXD

, (3.9 a)

ou então

),,(:),,(),,( 321321321 XXXEXXXXXXD

(3.9 b)

sendo que ( : ) denota o produto entre um tensor e um vetor.

A operação (3.7) também é válida para qualquer vetor: H,E

, etc. Para o caso do vetor

posição ),,( 321 xxxr

, aplica-se

jiji xax (3.10)

Para uma sequência de rotações abc, a matriz de transformação líquida, d (não confundir

com o vetor deslocamento elétrico), obedece à regra da cadeia (j, k dummy suffix ou índices

mudos):

kjkiji abcd (3.11)

a qual estabelece que índices adjacentes de elementos sucessivos são idênticos (são os índices

repetidos j e k), enquanto que os índices não repetidos aparecem no elemento produto, o qual

envolve índices livres (free suffix i e ).

72

Obs: Pode-se usar qualquer letra ainda não utilizada, em qualquer fator no lado direito:

pmpimi abcd (letras j e k mudadas para m e p, respectivamente). No lado direito, pode-se

mudar ,i somente se simultaneamente com o lado esquerdo: ksjkrjrs abcd ( ,i trocados por

r,s nos dois lados).

Obs: Utilização no caso de rotações sucessivas do vetor deslocamento elétrico: DdD ii .

3.5.2 Tensores de segunda ordem

Considere-se a relação constitutiva

ED : , onde

D e

E são grandezas que

possuem componentes ( 21 , DD , 3D ) e ( 321 ,, EEE ), respectivamente, com relação a um sistema

321 x,x,x . No caso geral de meio anisotrópico, esta relação pode ser decomposta em [1]:

3332321313

3232221212

3132121111

EEED

EEED

EEED

(3.12)

(não confundir ij, propriedade física, com aij, cosseno diretor da matriz de rotação), ou então

3

2

1

D

D

D

=

333231

232221

131211

3

2

1

E

E

E

(3.13)

onde observa-se que a permissividade dielétrica absoluta "" é representada através de uma

matriz 33, com nove componentes 11, Por inspeção de (3.12) ou (3.13) chega-se as

seguintes conclusões:

a) No caso geral, não existe paralelismo entre

D e

E , como havia no caso isotrópico.

b) A grandeza " " estabelece a relação entre dois vetores e requer a utilização de dois índices

para sua especificação. Esta grandeza não tem natureza escalar e nem tampouco vetorial.

c) A grandeza “ ” constitui um tensor de segunda ordem.

Um fato de fundamental importância nesta análise, é que um “fenômeno físico independe

do sistema de coordenadas utilizado para representá-lo” [2]. Desta forma, “a lei constitutiva

73

(3.13) também independe do sistema de coordenadas”. Porém, “todas as grandezas devem ser

referidas ao mesmo sistema” :

(3.14a)

(3.14b)

Nos próximos parágrafos serão realizados esforços para estabelecer qual a relação entre

kl e ji , ou seja, qual a lei de transformação entre estas grandezas. Em primeiro lugar,

substituindo-se (3.14 a) em (3.7), obtém-se

)( jjiikiikk EaDaD (3.15)

Por outro lado, aplicando-se (3.8) para o caso do campo elétrico:

(3.16) e substituindo o resultado em (3.15), obtém-se

)( ljljiikk EaaD (3.17)

Comparando com (3.17) com (3.14b) obtém-se

jljiiklk aa (3.18)

a qual constitui a lei de transformação da permissividade do sistema antigo (x1,x2,x3) para o

sistema novo (x'1,x'2,x'3) (algo do tipo TRR , sendo R uma matriz de rotação). Na

realidade, “qualquer grandeza que obedece a esta lei de transformação é considerado um tensor

de segunda ordem”, ou, equivalentemente, esta é uma definição de tensor.

Constituem outros exemplos de tensores de segunda ordem: a permeabilidade magnética

de ferritas, a condutividade elétrica, o coeficiente de expansão térmica, etc. [4].

Um fato importante que deve ser observado é que a matriz resultante de rotação, embora

seja não diagonal, ainda é simétrica. Desta forma, se escreve

ij = ji, (3.19)

74

para i, j=1,2,3. Este resultado é valido para sistemas sem perdas e pode ser demonstrado a partir

do princípio de conservação da energia [1], [2]. É possível demonstrar também que, “no sistema

de coordenadas principal de um cristal, um tensor de segunda ordem é sempre diagonal”. No

caso da permissividade, sejam X1, X2, X3 os eixos do sistema de coordenadas principal. Então,

33

22

11

00

00

00

(3.20)

Obs: Todo tensor de segunda ordem é uma matriz, porém, nem toda matriz é um tensor de

segunda ordem [apenas as que obedecem a (3.18)].

_____________________________________________________________________________

Exemplo 3.3. Determinar a permissividade referida a um sistema de eixos coordenados obtidos

à partir da rotação de graus em torno do eixo X3 do sistema de coordenadas principal,

conforme esquematizado na Fig. 3.15.

Figura 3.15- Rotação do sistema (X1, X2, X3) em torno somente de X3.

Solução: A matriz de rotação entre os sistemas é dada por:

100

0cossen

0sencos

jia

Utilizando-se a relação de transformação do tensor (3.18):

jljiiklk aa

calcula-se inicialmente a componente )1(:11 lk

75

jjjjjj

jjii

aaaaaa

aa

133112211111

1111

= 1323122212211213131212111111 aaaaaaaa

13331232113113 aaaa

pois 12=21=13=31=23=32 = 0, e a13=0. Prosseguindo, com )2,1(:12 lk , obtém-se

jjjjjj

jjii

aaaaaa

aa

231322212111

2112

}{

}{}{

23332232213113

2323222221211223132212211111

aaaa

aaaaaaaa

coscos 2211 sensen

cos2211 sen

pois a23 =0. De forma similar, determinam-se as demais componentes:

032312313

1221

222

21122 cos sen

3333

Em síntese, a nova permissividade é descrita por:

33

222

2112211

22112

222

11

00

0coscos

0coscos

sensen

sensen

onde percebe-se que não é mais diagonal (embora permaneça simétrica). _____________________________________________________________________________

De fato, a matriz de permissividade só é diagonal quando referida ao sistema de eixos

cristalinos. Em casos simples, envolvendo a rotação em torno de apenas um dos eixos principais,

torna-se fácil reconhecer o tipo de rotação, bastando inspecionar a nova matriz ´. Na matriz do

exemplo anterior, os elementos fora da diagonal correspondem a índices 1 e 2, indicando que a

rotação ocorreu em torno de z, uma vez que não há elementos com índices mistos de valor 3.

Para rotação em torno do eixo x1 ter-se-ia a forma geral:

222

21111 cos sen

76

3323

2322

11'

0

0

00

(3.21)

e, para rotação em torno do eixo x2:

3313

22

1311'

0

00

0

(3.22)

3.5.3 Tensores de ordem superior

Conforme visto em seções anteriores, um tensor de segunda ordem ( ij ) acopla dois

vetores ( iD e jE ), conforme (3.14 a), enquanto sofre transformação direta de coordenadas

conforme (3.18). Estas equações estão repetidas abaixo, em (3.23a) e (3.23b), respectivamente:

jiji ED (3.23 a)

jijikjjiikk aaaa (3.23 b)

Por outro lado, um tensor de terceira ordem ( mnT ou kjir ) acopla um produto de dois

vetores ( mB e nC ) com outro vetor ( A ), ou ainda, um tensor de segunda ordem com um vetor

[2]. Por exemplo,

nmmn CBTA (3.24 a)

kkjiji Er (3.24 b)

Em particular, a equação (3.24 b) corresponde a representação do efeito eletro-óptico linear, o

qual estabelece o valor da variação da permissividade dielétrica ( ji ) induzida por um campo

elétrico externo ( kE ) aplicado a certos tipos de cristais. A grandeza rijk é o tensor eletro-óptico

[1].

Um outro exemplo de tensor de terceira ordem refere-se ao efeito piezo-elétrico, que

estabelece a variação na tensão mecânica Tij [N/m2], causada pela aplicação de um campo

elétrico Ek:

kkjiji EeT (3.25)

onde eijk é o tensor piezo-elétrico [4].

77

Um tensor de quarta ordem ( mnopT ou lkjip ) acopla um produto de três vetores ( nB , oC

e pD ) com outro vetor ( mA ), ou dois tensores de segunda ordem ( ji e lkS ) entre si, ou um

tensor de segunda ordem ( mnF ) com o produto de dois vetores ( oA e pB ):

ponmnopm DCBTA (3.26 a)

lklkjiji Sp (3.26 b)

pomnopmn BATF (3.26 c)

O caso em (3.26 b) corresponde ao tensor acústico–óptico (ou elásto-óptico, pijkl), que

estabelece a variação de permissividade (ij) gerada pela presença de uma deformação

mecânica (Skl). Um outro exemplo, corresponde à lei de Hooke para sólidos, que estabelece a

relação entre tensão (Tij) e deformação (Skl) mecânicas:

lklkjiji ScT (3.27)

onde cijkl é o tensor de rigidez do material.

Os tensores de terceira e quarta ordens sofrem transformações diretas dadas por [2]:

mnknjmiijk TaaaT (3.28 a)

mnoppkojnimijk TaaaaT (3.28 b)

Inclusive, (3.28a) e (3.28b) constituem as definições para os tensores de terceira e quarta ordens.

Por outro lado, as transformações inversas dos tensores de segunda, terceira e quarta

ordens são dadas por:

kjkiij TaaT (3.29 a)

mnnkmjiijk TaaaT (3.29 b)

mnoppoknjmiijk TaaaaT (3.29 c)

as quais podem ser demonstradas sem grandes dificuldades.

Objetivando-se facilitar a memorização dessas relações, apresenta-se a seguinte regra

prática: “as componentes de um tensor de ordem “n” se transformam como os produtos de

ordem “n” das coordenadas de um ponto”. Por exemplo, aplicando-se (3.14) no caso de um

tensor de terceira ordem:

78

)()()()( nmknjminknmjmikji xxxaaaxaxaxaxxx (3.30)

a qual resulta similar a (3.28 a): mnknjmiijk TaaaT .

3.6 REDUÇÃO DO NÚMERO DE ELEMENTOS INDEPENDENTES DO TENSOR

Conforme citado anteriormente, pode-se demonstrar que o tensor permissividade

dielétrica é simétrico relativamente ao sistema de eixos principais do cristal, ou seja, que ij =ji .

Assim, o número de elementos independentes de sua matriz reduz-se de nove para seis.

Reduções adicionais podem ser obtidas aplicando-se as relações de simetrias de ponto para

cristais, estudas na seção 3.3.

O tensor dielétrico de um cristal é simplesmente uma representação matemática de uma

propriedade física. Assim, “se um cristal é invariante diante de um grupo de operações de

simetria, então, qualquer tensor que represente uma propriedade física do cristal deve ser

invariante diante dessas operações”.

______________________________________________________________

Exemplo 3.2: Seja a matriz associada ao tensor das constantes dielétricas ij, referida ao sistema

de eixos principais do cristal (e portanto, ij é diagonal):

ij =

3

2

1

00

00

00

Se x3 for um eixo de multiplicidade 4 de um cristal [C4, de acordo com p(), p=1,...,4], então,

a rotação do tensor dielétrico por /2, ou 3/2 rad em relação ao conjunto 1 0 0 deve

deixá-lo invariante. Assim,

][][ 4 EC ijij ij = ij (3.31)

onde os termos dos lados esquerdo ( ][ 4Cij ) e direito ( ][Eij ) de (3.31) referem-se ao tensor

após ( ij = ][ 4Cij ) e antes ( ij = ][Eij ) da rotação, respectivamente. Deve ser lembrado que C4

está associada a uma operação de rotação (e, consequentemente, a uma matriz de rotação, como

79

visto no item 3.5.1) e que [E] é a operação identidade. Assim, uma rotação de /2 rad em torno

de [0 0 1], ou seja, do eixo x3, como esquematizado na Fig. 3.16, resulta em:

x3

x2x1

x'3

x'2

x'1

/2

Figura 3.16 – Rotação de /2 rad em torno do eixo x3.

222112211 xxxx

111221122 ))(( xxxx

333333333 xxxx

0)( 2112211221 xxxxxx

012212112 xxxx

De forma análoga, mostra-se que 0ij para os demais casos onde i j. Assim, observa-se que

211411 ][ C . Porém, de (3.31), tem-se que 111411 ][][ EC . Portanto, a simetria exige

que 1 = 2 para todos os cristais com simetria C4 ao longo de x3.

___________________________________________________________

Pode-se demonstrar que o resultado do exemplo anterior também se aplica para o eixo S4.

Assim, a constante dielétrica de um sistema tetragonal, o qual é caracterizado por eixos ora C4

ora S4, é descrita por apenas duas componentes distintas e 3. Demonstra-se que este

mesmo resultado é obtido nos sistemas trigonal e hexagonal, que possuem eixos com

multiplicidade 3 (C3 ou S3) e/ou 6 (C6 e/ou S6). Os sistemas cristalinos tetragonal, trigonal e

hexagonal são denominados de cristais uniaxiais.

Nenhuma simplificação pode ser feita nos sistemas ortorrômbico, monoclínico e

triclínico, os quais exigem três componentes independentes e 3. Tais cristais são

denominados de biaxiais.

Nos sistemas cúbicos, os quatro eixos de multiplicidade três (C3) estão ao longo das

direções 1 1 1, o que reduz o número de componentes independentes para apenas um: =

3 = Neste caso, tem-se um meio isotrópico.

80

______________________________________________________________________

Exemplo 3.3: Considere-se um cristal cúbico, que admite a rotação C3 em torno de [1 1 1], como

esquematizada na Fig.3.17. Mostrar que este cristal é isotrópico.

120o

x3

x2x1

x'3

x'2

x'1

[1 1 1]

Figura 3.17 – Rotação de 1200 em torno do eixo [1 1 1].

22211311 ][ C

33322322 ][ C

11133333 ][ C

Porém, a simetria exige que

11111311 ][][ EC

22222322 ][][ EC

33333333 ][][ EC

e portanto, impõe que = 3 (isotrópico). _________________________________________________________________________________________________________

3.7 CÁLCULO DA PROPRIEDADE FÍSICA AO LONGO DE UMA DADA DIREÇÃO

Nas seções precedentes foi estudado como representar a permissividade no sistema de

eixos transformados. Nesse novo sistema, a matriz não é mais diagonal, possuindo forma geral

conforme (3.13), com 9 elementos, dos quais, no máximo 6 são diferentes entre si. Desta forma,

se o campo elétrico possuir apenas a componente na direção x1, isto é, se for dado por (E1, 0, 0),

tem-se que

311321121111 ˆˆˆ xExExED

(3.32)

o qual é um vetor com componentes nas três direções do sistema de coordenadas rodado, (x1, x2,

x3).

81

Por definição, a “permissividade elétrica efetiva (eff) ao longo de uma dada direção xi (i

= 1,2,3), segundo a qual o campo elétrico

E é aplicado, é igual a razão entre a projeção do

vetor deslocamento elétrico

D ao longo dessa direção (D//) e a intensidade do campo

E ” [4]:

E

D

E

xD i

xeffi

//ˆ

(3.33)

onde //D é a projeção de

D ao longo de

E // 1x , conforme esquematizado na Fig. 3.18.

Figura 3.18- Projeção do vetor deslocamento elétrico

D ao longo de

E .

Então, no caso de (3.32), a permissividade ao longo da direção x1 é dada por 11

( 11 /)ˆ(1

ExDxeff

=11). Nas direções x2 e x3 são 22 ( 22 /)ˆ(

2

ExDxeff

) e 33

( 333/)ˆ( ExD

xeff

), respectivamente.

Entretanto, é interessante estabelecer uma expressão capaz de fornecer a permissividade

não só longo da direção de um dos eixos coordenados, mas também, quando o campo elétrico

está orientado arbitrariamente em relação ao sistema de eixos.

O campo elétrico tem sua direção especificada por seus cossenos diretores 1 , 2 , 3

com relação aos eixos 1x , 2x e 3x , respectivamente, conforme ilustrado na Fig. 3.19, ou seja:

||

E

E = ( 1 , 2 , 3 ) ii EE

(3.34)

sendo ),,(),,( 321321 EEEEEE

, tal que: 123

22

21 .

82

Figura 3.19- Direção do vetor campo elétrico

E especificado por seus cossenos diretores.

Por outro lado, com o auxílio da Fig. 3.18 obtém-se que:

cos||||

EDED = ||//

ED (3.35)

Substituindo-se (3.14 a) em (3.35), vem

||)( //

EDEEEDED ijijii (3.36)

Utilizando a representação através dos cossenos diretores (3.34), ou seja, ii EE

, a

expressão (3.36) torna-se:

||||)||( //

EDEE ijij (3.37)

a partir da qual obtém-se

effjiij

E

D

||

// (3.38)

onde eff é denominada de permissividade efetiva na direção de E

orientado arbitrariamente.

83

_____________________________________________________________________________

Exemplo 3.4. Determinar a permissividade efetiva ao longo de uma direção arbitrária sobre o

plano XY da Fig. 3.20, sendo que X, Y e Z são eixos do sistema de coordenadas principal.

Figura 3.20- Vetor campo elétrico no sistema de coordenadas principais.

Solução: A matriz de permissividade em relação ao sistema principal é diagonal, dada por

33

22

11

00

00

00

,

e os cossenos diretores de

E no plano XY são:

cos1

sen)90cos( 02

03

Desta forma, (3.38) conduz a

jiijeff = 2222

2111 (só existem e , e, e )

222

211 sencos eff

informando que num meio anisotrópico a propriedade depende da direção em que é medida. Por

exemplo, para 1111 )ˆ(0 effxEE

(paralelo ao eixo x),

e 22220 )ˆ(90 effxEE

(paralelo ao eixo y),

as permissividades medidas na direção do respectivo campo, conforme haviam sido previstas.

_____________________________________________________________________________

84

3.8 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE UM TENSOR SIMÉTRICO DE SEGUNDA

ORDEM

Nesta seção será investigada a seguinte relação genérica:

1jiij xxS (3.39)

onde, jiij SS é uma grandeza tensorial de segunda ordem. A equação (3.39) está expressa com

referência ao sistema de coordenadas 1x , 2x e 3x , ilustrado na Fig.3.21. Será mostrado que “esta

igualdade só é satisfeita se Sij for um tensor de segunda ordem” e, a seguir, investigado o seu

significado geométrico.

Figura 3.21- Rotação do sistema de coordenadas (x1, x2, x3).

Com relação a um novo sistema de coordenadas 1x , 2x e 3x , a relação (3.39) deve se

tornar

1 nmnm xxS (3.40)

pois m e n são free suffix (ou seja, não são índices repetidos, pois não aparecem em ambos os

lados da igualdade). O resultado em (3.40) é justificado bastando lembrar que a operação

indicada em (3.39) resulta num escalar (a unidade), e que isto não pode depender do sistema de

coordenadas usado. Dessa forma, uma relação similar a (3.39) precisa ser obtida no novo sistema

coordenado.

Como já foi deduzido anteriormente, aplicam-se as seguintes relações:

85

e (3.41 a)

e (3.41 b)

Então, realizando-se as substituições de (3.41 a-b) em (3.39), ou seja, em 1jiij xxS , obtém-

se:

1 njnmimij xaxaS

1 nmjnijim xxaSa (3.42)

Porém, comparando-se (3.42) com (3.40), ou seja, com 1 nmnm xxS deduz-se que

S’mn é tal que

mnnjjimi SaSa (3.43)

índices repetidos free suffix

a qual satisfaz a relação de transformação (3.18). Portanto, ijS deve constituir um tensor de

segunda ordem. Então, “(3.39) constitui uma definição alternativa para o tensor de segunda

ordem”.

A seguir, será investigado qual o significado geométrico da representação (3.39).

Expandindo-se a expressão 1jiji xxS para j =1, 2 e 3, obtém-se

11 xxS ii 22 xxS ii 133 xxS ii (3.44)

e, para i =1, 2 e 3

2111 xS 1221 xxS 1331 xxS 2121 xxS 2

222 xS (3.45)

2332 xxS 3131 xxS 3223 xxS 12333 xS

Como ijji SS , (3.45) torna-se

2

111 xS 21212 xxS 31312 xxS 2222 xS 32232 xxS 12

333 xS (3.46)

ou equivalentemente, 2

111 xS 2222 xS 2

333 xS 21212 xxS 31312 xxS 12 3223 xxS (3.47)

86

a qual corresponde a representação geométrica de uma quádrica (elipsóide, hiperbolóide ou

parabolóide). Contudo, no caso dos tensores de interesse em cristais, os coeficientes iiS , para

3,2,1i , são puramente reais e positivos, e assim, a quádrica (3.47) sempre resulta num

elipsóide [4].

Com base no fato que os coeficientes da quádrica se comportam, à luz da transformação

de coordenadas, como um tensor de segunda ordem, pode-se concluir que “a representação

geométrica de um tensor de segunda ordem simétrico [Sij em (3.39), com ijji SS ] é dada por

uma quádrica”.

_____________________________________________________________________

Exemplo 3.5. Considere-se que, em relação ao sistema 1x , 2x e 3x , se tenha 0)( jiS ji , e,

0iiS e real, para .3,2,1, ji Investigar o lugar geométrico do tensor Sij de (3.39).

Solução: Neste caso, (3.39) torna-se

1jiji xxS 2111 xS 2

222 xS 12333 xS

2

11

1

1 S

x

2

22

2

1 S

x1

1

2

33

3

S

x

que corresponde a um elipsóide, conforme desenhado na Fig. 3.22, onde 1x , 2x e 3x são eixos

principais.

Figura 3.22- Lugar geométrico de Sij no sistema (x1,x2,x3) – elipsoide oblato.

_____________________________________________________________________________

Generalizando, pode-se mostrar que a análise anterior aplica-se a qualquer tensor de

segunda ordem simétrico, com coeficientes reais e positivos. Por exemplo, a permissividade

87

elétrica, a qual é um tensor de segunda ordem, pode ser representada geometricamente pela

quádrica:

1jiji xx (3.48)

Nos próximos parágrafos, investiga-se o significado do comprimento de um raio vetor

r , com

origem no centro do sistema de coordenadas e com extremidade sobre a superfície do elipsóide,

conforme ilustrado na Fig. 3.23.

Figura 3.23- Representação do vetor posição no elipsóide.

As coordenadas do vetor

r , associado a um dado ponto da superfície do elipsoide, podem ser escritas em termos de cossenos diretores como

ii rx para i = 1,2,3 (3.49)

sendo r a magnitude de

r . Como o índice "i" é um índice livre (free suffix), é indiferente

escrever

jj rx para j = 1,2,3 (3.50)

onde i e j são cossenos diretores e 3,2,1, ji .

Porém, a partir de (3.48), (3.49) e (3.50), obtém-se

1jiji xx 1)()( jiji rr

12 jijir (3.51)

88

Por outro lado, de (3.38) sabe-se que

effjiji (3.52)

correspondente ao valor da permissividade na direção especificada por 1 , 2 e 3 . Portanto,

(3.51) torna-se

12 effr (3.53)

ou então,

2

1

reff (3.54)

Desta forma, a partir do valor de r numa direção de interesse

r , pode-se determinar eff nesta

direção, utilizando-se do elipsóide da Fig. 3.23.

No entanto, a relação estabelecida entre ambos, isto é, effr /1 , não é direta ou

tampouco linear. Por isso, nos próximos capítulos, será mais interessante introduzir o conceito de

índice de refração efetivo, neff, com o qual se constituirá um novo elipsoide, tal que se estabeleça

uma relação direta entre neff e o raio vetor; algo do tipo effnr , sendo neff o índice de refração

efetivo do meio.

3.9 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] Yariv, A. & Yeh, P., Optical Waves in Crystals, New York, John Wiley & Sons, 1984.

[2] Kaminow, I.P., An Introduction to Electrooptic Devices, Academic Press, Inc., 1974.

[3] Wood, A.E., Crystals and Light – An Introduction to optical Crystallography, second

edition, Dover Publications, Inc., New York, 1977.

[4] Nye, J.F., Physical Properties of Crystals – Their Representation by Tensors and Matrices,

Oxford Press, 1957.