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Capítulo 3

Capítulo 3

Magnetostatica

3.1 Introdução

Em 1784 Coulomb estudou não só a força entre cargas eléctricas mas também aforça entre ímanes. As suas experiências levaram-no a concluir que existe umacerta semelhança entre os fenómenos eléctricos e magnéticos: o fluido magnéticoparece ter, pela sua natureza ou pelas suas propriedades, uma analogia com o fluidoeléctrico. No início de 1820, ano mágico do magnetismo, Oersted leva mais longea intuição de Coulomb ao verificar que as bússolas são desviadas na presença deuma corrente eléctrica; um fio com uma corrente é uma espécie de íman. Estaconstatação pode ser considerada como o início da unificação dos fenómenoseléctricos e dos fenómenos magnéticos, ou seja, o início do electromagnetismo. Hojesabe-se que de facto os dois fenómenos são diferentes manifestações de uma mesmainteracção física e que tudo depende do referencial. No entanto, por simplicidade,na maior parte das aplicações continua a ser mais conveniente estudar os fenómenosmagnéticos enquanto tal.

Magnetismo

Foi também no ano de 1820, após as experiências de Oersted, que Ampère realizouexperiências que o levam a concluir que a força existente entre dois fios rectilíneosde comprimentos L1 e L2 percorridos por correntes eléctricas I1 e I2 e distanciadosde d é descrita por

F = Km

I1L1 I2L2

d2(3.1)

Ampère concluiu ainda que dentro dos ímanes devem haver muitos circuitos muitopequenos percorridos por correntes eléctricas.Definindo um elemento de corrente I ~dℓ como o produto da corrente eléctrica quepercorre um circuito por um elemento infinitesimal desse circuito, sabemos hoje quea força exercida por um elemento de corrente de um circuito 1 sobre um elementode corrente de um circuito 2, distanciado de r, é dada por

d2 ~F12 =µ0

4π

I2 ~dℓ2 × I1 ~dℓ1 × ~ur

r2(3.2)

Força magnética

F.Barão, L.F.Mendes Electromagnetismo e Óptica (MEEC-IST) 63

Capítulo 3

em que

µ0

4π= 10−7 N.A−2 (3.3)

sendo µ0 é a permitividade magnética do vácuo (e do ar!).

A força entre dois circuitos, da qual o resultado obtido por Ampère é umcaso particular, pode ser obtida somando a contribuição de todos os elementos decorrente de cada um dos circuitos,

~F12 =

∮

2

∮

1

d2 ~F12 (3.4)

Um facto curioso é o de em geral d2 ~F12 6= −d2 ~F21, parecendo à primeiravista que a terceira lei de Newton não se aplica à força magnética. No entanto, épreciso lembrar que elementos de corrente não existem sozinhos mas sim integradosem circuitos fechados. A terceira lei de Newton aplica-se à força magnética mas naforma ~F12 = −~F21.

Uma abordagem mais eficaz ao cálculo das forças magnéticas, e que se revelaria maistarde imprescindível para a descrição dos fenómenos electromagnéticos, foi propostaainda no mesmo ano de 1820 por Biot e por Savart. Estes, a partir dos resultadosde Ampère, propuseram a existência de um campo magnético, ~B, e de uma lei queé conhecida pelos seus nomes: lei de Biot-Savart. À semelhança da definição decampo eléctrico, o campo magnético é obtido como a força por unidade de elementode corrente sobre o qual é exercida, ou seja, isolando o efeito que o elemento decorrente gerador da força exerce sobre o espaço. Assim, um elemento de corrente docircuito 1 cria um campo magnético sobre um ponto P a uma distância r dado por

d ~B1 =µ0

4π

I1 ~dℓ1 × ~ur

r2(3.5)

O campo magnético criado por todo o circuito 1 no ponto P é obtido somando(integrando) a contribuição de todos os seus elementos de corrente:

~B1 =

∮

1

d ~B1 (3.6)

A força exercida por este campo magnético sobre um elemento de corrente do circuito2 é dada por

d~F12 = I2 ~dℓ2 × ~B1 (3.7)

E, finalmente, a força que o campo magnético do circuito 1 exerce sobre todo ocircuito 2 é dada por

~F12 =

∮

2

I2 ~dℓ2 × ~B1 (3.8)

Campo magnético - Lei deBiot-Savart


Capítulo 3

A lei de Ampère é uma consequência da lei de Biot-Savart e resulta do facto deo campo magnético criado por um elemento de corrente finito diminuir com 1/r,enquanto que o arco que corresponde a uma variação angular dθ aumenta com r.Desta forma, para caminhos caminhos fechados em torno de correntes, o produtodo campo pelo comprimento do caminho é independente da distância à que correnteque deu origem ao campo.A lei de Ampère relaciona o integral de linha do campo magnético num caminhofechado com a corrente eléctrica que atravessa qualquer superfície que tenha comofronteira esse caminho fechado. Em geral, e por conveniência de cálculo, considera-sea superfície plana que se "apoia"no caminho fechado:

∮

Γ

~B · ~dℓ = µ0

∫

~J · ~n dS (3.9)

Esta lei pode ser escrita na forma local, tendo em conta o teorema de Stokes, como:

~∇ × ~B = µ0~J (3.10)

Note que na aplicação da lei de Ampère, a escolha do sentido de circulação no cálculodo integral de linha do campo magnético define o sentido da normal à superfície planadelimitada pelo caminho fechado; uma circulação percorrida no sentido anti-horárioresulta, aplicando a regra da mão direita, numa normal a apontar para “cima”.A lei de Ampère é útil para determinar:

• o módulo do campo magnético para certas distribuições de corrente,utilizando-se para tal um caminho fechado conveniente;

• a densidade de corrente eléctrica se se conhecer a expressão que descreve ocampo magnético numa certa região do espaço

No cálculo do módulo do campo magnético, a aplicabilidade da lei de Ampéreencontra-se reduzida a quatro geometrias tipo de distribuição de corrente:

• simetria cilíndrica

• bobina infinita

• corrente em torno de um toróide

• plano infinito de corrente

Campo magnético - Lei deAmpère

Um dipolo magnético consiste num circuito fechado percorrido por uma correnteeléctrica, sendo o anel de corrente um bom exemplo. O campo magnético produzidopor um anel de corrente de raio a e corrente eléctrica I, em pontos existentes aolongo do seu eixo (assume-se o eixo dos zz coincidente com o eixo do anel), foiobjecto de resolução na aplicação resolvida ??, tendo-se obtido:

Bz =µ0

2I a2 1

(a2 + z2)3/2(3.11)

Definindo o momento dipolar magnético como,

~m = I ~A (3.12)

em que A é a área do dipolo, cuja direccção e sentido, são definidos respectivamentepela normal ao plano do anel de corrente e pelo sentido de circulação da corrente(recordar a regra da mão direita!), pode-se reescrever o campo magnético como:

Dipolo magnético


Capítulo 3

Bz =µ0

2π

m

(a2 + z2)3/2

(3.13)

Os planetas do sistema solar possuem campos magnéticos que variam de planetapara planeta mas em primeira aproximação, a configuração do campo magnéticocorresponde ao produzido por um dipolo magnético. O momento dipolar magnéticoda Terra é de m = 8 × 1022 A.m2. O campo magnético à superfície da Terra,calculado com o auxílio da expressão anterior, é da ordem de 0.1 µT .

A aplicação de um campo magnético ~B sobre um circuito eléctrico de comprimentoL e percorrido por uma corrente eléctrica I, tem como consequência a existência deuma força:

~F =

∫

L

d~ℓ× ~B (3.14)

Caso a corrente eléctrica esteja distribuída em volume e tendo em conta que

I d~ℓ = ~J dS dℓ = ~J dvol (3.15)

a força pode-se re-escrever como sendo:

~F =

∫

vol

( ~J × ~B) dvol (3.16)

Interacção do dipolo mag-nético com campo ~B

Para se compreender o funcionamento do motor de corrente contínua, importa es-tudar o comportamento de de uma espira quadrada de lado ℓ percorrida por umacorrente I e submetida a um campo B~ex. Os quatro lados da espira possuem forçasaplicadas. As forças existentes sobre os troços da espira perpendiculares ao papelcolocam a espira em rotação e as forças existente sobre os outros dois troços exer-cem forças deformadoras da espira e anulam-se globalmente. A força sobre cada umdos dois troços perpendiculares ao papel é F = IℓB. Sendo o momento dipolarmagnético da espira dado por ~m = iℓ2, pode-se calcular o momento da força sobrea espira como sendo:

~N =∑

~r × ~F = ℓ/2F sinα + ℓ/2F sinα = Iℓ2B sinα

= mB sinα = ~m × ~B (3.17)

Portanto, o momento da força aplicado à espira fá-la rodar de forma a alignar o seumomento dipolar magnético com o campo magnético externo.Em termos gerais, a aplicação de forças sobre um corpo pode ter como consequênciaum movimento de translação ou de rotação, no caso da existência de um momentoda força. Desta forma, o trabalho infinitesimal realizado é dado por:

dW = ~F · d~ℓ = ~F · ~vdt = ~F · (~ω × ~r)dt = (~r × ~F ) · ~ωdt= ~N · d~α (3.18)

A energia da espira no campo magnético corresponderá assim ao trabalho que umaforça exterior terá que realizar para a fazer rodar (contra o momento da força devidoao campo).

Energia potencial do dipolomagnético

F

F

α

α

mBα


Capítulo 3

Admitindo, por exemplo, que a espira esteja na posição de equilíbrio em que o seumomento dipolar magnético se encontra alinhado com o campo ~B (α = 0) e quea força exterior a pretende rodar de um ângulo θ no sentido anti-horário, o trabalhorealizado vem:

W =

∫ θ

0

(− ~N) · d~α =

∫ θ

0

(−N)(−dα) = mB

∫ θ

0

sinαdα

= −mB(cos θ − 1) (3.19)

Este trabalho, corresponde à energia potencial do dipolo magnético na presença deum campo magnético uniforme. Por razões de simplicidade, uma vez que o zero dopotencial ou da energia potencial é completamente arbitrário, a parte constante daexpressão (+mB) pode ser eliminada, ficando então a energia potencial do dipolocomo:

U = −~m · ~B (3.20)

De notar que a posição de energia mínima U = −mB se obtém quando θ = 0,isto é, quando o momento dipolar magnético se encontra alinhado com o campo ~B.

A presença de um meio material (que não o ar!) produz efeitos no campo magnético,tal como acontecia com o campo eléctrico. Do ponto de vista microscópico, a matériaé formada por átomos e estes são constituídos por um núcleo feito de protões eneutrões (carga total positiva) e electrões que numa visão clássica orbitam em tornodo núcleo. Ao movimento orbital de raio r dos electrões com velocidade angular ωe carga eléctrica e, corresponde uma corrente eléctrica:

I =dq

dt=

dq

ds

ds

dt=

e

2πrωr︸︷︷︸

v

=e

2πω (3.21)

e portanto um momento dipolar magnético, ~m = 12er2ω. Tendo em conta que

o momento angular associado ao electrão é L = ~r × ~p = mer2ω, vem para o

momento dipolar magnético:

~m =e

2me

~L (3.22)

Além do mais, existe o número quântico spin associado à partícula cuja traduçãoclássica pode ser vista como uma rotação da partícula em torno de si própria, a quecorresponde também um momento dipolar magnético. Donde, o momento dipolarmagnético atómico resultará da soma dos diferentes momentos dipolares magnéticosassociados ao átomo. Por exemplo, o emparelhamento dos electrões nos átomos comspins opostos ↑↓ resulta na soma de dois momentos dipolares magnéticos simétricos,cujo resultado é zero. Uma nota adicional ainda para o facto do momento angularser quantificado (mecânica quântica!), isto é, só pode assumir determinados valoresmúltiplos da unidade h

2π, onde h é a constante de Planck. O momento dipolar do

electrão de 1a ordem é 9, 274−24 Am2.Do ponto de vista magnético, os materiais dividem-se entre os que possuiem átomosou moléculas com momento dipolar magnético - paramagnéticos e ferromagnéti-cos - e aqueles que não possuem - diamagnéticos. Nos materiais ferromagnéticos,a interaccão entre átomos resulta na existência de um alinhamento colectivo dosdipolos magnéticos, em domínios magnéticos.

Campo magnéticona matéria


Capítulo 3

O comportamento de um material do ponto de vista magnético resulta do facto deeste ser formado por átomos e estes possuirem dipolos magnéticos. O momentodipolar dos átomos ou moléculas do material pode ser nulo ou não. Admitamos noentanto estar na presença de um material paramagnético ou ferromagnético ao qualé aplicado um campo magnético B0. Tal como vimos anteriormente, os momentosdipolar magnéticos da substância tendem-se a alinhar com a direcção do campomagnético. Olhando para o material como um contínuo de dipolos, em cada volumemicroscópico do material pode-se definir um momento magnético dipolar,

d~m = ~M dV ol (3.23)

onde M é o vector magnetização cujas unidades são A/m. Desta forma, a con-tribuição dos dipolos para o campo magnético total poderia ser obtida integrandoo campo magnético produzido por cada elemento dipolar d~m sobre todo o volumemagnetizado.Os elementos dipolares da substância podem ser vistos como anéis de corrente eléc-trica que caso a magnetização seja uniforme, se anulam no interior do material. Doponto de vista do campo magnético, o efeito magnetização pode ser calculado apartir destas correntes eléctricas equivalentes - correntes de magnetização - quese formam no material seja à sua superfície, seja no seu interior. A densidade decorrente de magnetização é dada por:à superfície do material,

−→J m =

−→M × −→n [A/m]

onde ~n é o vector unitário normal à superfície do material e que aponta para foradeste.no interior do material,

−→J m =

−→∇ × −→M [A/m2]

Magnetização

mJ

M


Capítulo 3

3.2 Exercícios Propostos

Exercício 3.1 : Uma espira circular de raio R situada noplano XY e centrada na origem é percorrida por umacorrente eléctrica estacionária de intensidade I. Deter-mine o campo magnético ~B num ponto do eixo zz, àdistância genérica z do plano da espira.

Exercício 3.2 : Uma forma de gerar um campo magné-tico relativamente uniforme numa dada zona do espaço éatravés de um sistema composto por duas espiras circu-lares de raio R, separadas por uma distância R tambéme percorridas por uma corrente I com igual sentido, talcomo se mostra na figura (bobinas de Helmholtz).

a) Verifique que o campo magnético criado por umaespira circular de raio R e percorrida por umacorrente I, num ponto do eixo que passa peloseu centro a uma distância z da espira, é dadopela expressão:

~B =µ0

2IR2

(z2 + R2

)−3/2~uz

b) Verifique que o campo magnético criado pelo sis-tema de duas espiras representado na figura édado por:

~B =µ0

2IR2

((z2 + R2

)−3/2+

((z − R)2 + R2

)−3/2)

~uz

c) Verifique que para z = R2

, se tem dBdz

= 0.

Nota: Derivando mais uma vez obter-se-ia,d2Bdz2 = 0, o que é indicador de que o campomagnético é aproximadamente constante (até àsegunda ordem) na região entre as espiras.

Exercício 3.3 : Determine, utilizando a lei de Biot-Savart, o campo magnético criado por um fio infinitopercorrido por uma corrente estacionária I, a uma dis-tância r do fio.

Exercício 3.4 : Uma espira quadrada de lado ℓ, colo-cada no plano xy é percorrida por uma corrente eléc-trica I. Determine o campo magnético existente no seucentro geométrico.Exercício 3.5 : Dois fios paralelos muito compridostransportam correntes de I = 10 A no mesmo sentido eencontram-se separados por uma distância de ℓ=1 mm.

I

I

Determine a força que actua em 2 metros de cadaum dos fios.

Exercício 3.6 : Um fio rectilíneo muito longo transportauma corrente I1 e na sua proximidade e à distância dé colocada uma espira rectangular, que é percorrida poruma corrente eléctrica I2. Determine:

a) a força que o fio rectilíneo exerce sobre a espira.

b) a força que a espira exerce sobre o fio.

c) o momento das forças que actuam os lados daespira em relação ao seu centro geométrico.

Exercício 3.7 : Um motor de corrente contínua é cons-tituído por um circuito quadrado de lado ℓ, percorridopor uma corrente I, na presença de um campo magné-tico uniforme, B. A normal ao circuito forma um ângulode 90◦ com a direcção do campo magnético.


Capítulo 3

a) Determine a força exercida em cada um dos ladosdo circuito.

b) Determine a resultante das forças que actuam nocircuito.

c) Determine o momento das forças ( ~N) que ac-tuam o circuito relativamente ao seu centro.

d) Define-se o momento do dipolo magnético como~m = IA~n, sendo A a área do circuito. Mos-tre que poderia escrever o momento das forçasaplicadas ao circuito como ~N = ~m × ~B.

Exercício 3.8 : Um corta-circuitos de correntes indus-triais é formado por dois fios muito longos de com-primento a, ligados por uma barra metálica de com-primento 2b << a, como se mostra na figura. Abarra contém a meio uma parta móvel de comprimentod << 2b, que está ligada a um ponto fixo através deuma mola. Para deslocar a parte móvel e interromper ocircuito é necessário exercer uma força ~F = −F~ux.

a) Determine a expressão do campo magnético, ~B,no ponto médio da parte móvel da barra, em fun-ção da intensidade de corrente que circula nocorta-circuitos, I. Despreze a contribuição dotroço inferior do circuito.

b) Admitindo que o campo calculado em a) é apro-ximadamente constante na parte móvel da barra,obtenha a expressão para o valor da intensidadede corrente acima do qual o circuito é interrom-pido.

c) Utilizando qualitativamente os resultados das alí-neas anteriores diga, justificando, qual a formageométrica que tomaria um circuito constituídopor um fio extremamente flexível, percorrido poruma corrente, na ausência de qualquer força ex-terior.

Exercício 3.9 : Um disco isolante de raio R, que estáuniformemente carregado com uma densidade de cargasuperficial σ, encontra-se a rodar com uma velocidadeangular ω. Determine o campo magnético no centro dodisco.

Exercício 3.10 : Numa fábrica de plásticos, devido àfricção do plástico nos rolos cilíndricos ao longo dosquais é arrastado, gerou-se no plástico uma carga su-perficial +σ. Sabendo que o plástico se desloca comuma velocidade v, determine o campo magnético juntoao plástico.

Exercício 3.11 : Determine, utilizando a lei de Ampère,o campo magnético criado por um fio infinito percorridopor uma corrente estacionária I, a uma distância r dofio.

Exercício 3.12 : Um solenóide bastante longo (compri-mento L >> R) possui uma densidade de espiras n e épercorrido por uma corrente estacionária I. Determineo campo magnético no interior do solenóide.

Exercício 3.13 : O tokamak, acrónimo russo para câ-mara magnética toroidal, é usado no confinamento doplasma quente ionizado na fusão nuclear. O enrola-mento eléctrico tem uma forma toroidal de raio médioR, possui N espiras e é percorrido por uma correnteeléctrica I.

I

R

a) Determine o campo magnético na circunferênciade raio R, que passa pelo centro das espiras.


Capítulo 3

b) Verifique que se utilizar a densidade de espiras,n, referida ao comprimento da circunferência deraio R, a expressão do campo não depende deR. Diga qual será o campo magnético criadopor uma bobina infinita.

Exercício 3.14 : Um cabo coaxial tem um condutorcentral de raio a separado por um material isolante deum tubo condutor concêntrico de raios interno e externob e c, respectivamente. Os dois condutores transpor-tam correntes eléctricas com sentidos opostos, unifor-memente distribuídas e paralelas aos respectivos eixos.A intensidade da corrente em cada um dos condutores éI. Determine o campo magnético nas seguintes regiões:

a) Interior do condutor central (r < a).

b) Espaço entre os dois condutores (a < r < b).

c) Interior do condutor exterior (b < r < c).

d) Exterior do cabo coaxial (r > c).

Exercício 3.15 : Um condutor cilíndrico muito com-prido, de raio a e preenchido por um material de perme-abilidade magnética µ0, é percorrido por uma correnteeléctrica estacionária não uniforme cuja densidade decorrente é descrita por ~J = J0r~uz.

a) Determine a intensidade de corrente que atra-vessa a secção transversal do condutor.

b) Desenhe as linhas de campo magnético e obtenhaa sua expressão para todo o espaço (r < a er > a). Faça um gráfico de B(r).

c) Sabendo que a corrente é mantida por uma fonteque aplica ao condutor uma diferença de poten-cial por unidade de comprimento V

′

, determinea condutividade do cilindro, σ.

d) Imagine que se abria um orifício cilíndrico de raiob no interior do condutor central, a uma distânciaR do centro do condutor, tal como indicado na

figura. Determine, explicando detalhadamente oseu raciocínio, o campo magnético B no centrodo orifício.

Exercício 3.16 : Um cilindro com um comprimentoℓ = 20 cm, muito estreito e feito de um material comuma susceptibilidade magnética χm = 2, constitui onúcleo de um enrolamento com 150 espiras que sãopercorridas por uma corrente I = 2 A. Determine:

a) a permeabilidade magnética µ do material.

b) a intensidade do campo magnético, ~H , a mag-netização produzida no material ~M e o campomagnético ~B, no interior do cilindro.

c) as correntes de magnetização no material.

Exercício 3.17 : Um material condutor cilíndrico muitocomprido de raio R e permeabilidade magnética µ, épercorrido por uma corrente eléctrica estacionária, uni-formemente distribuída, de intensidade I.

a) Determine o campo magnético, ~B, criado pelocondutor no seu exterior a uma distância r doseu eixo (não muito afastado do condutor).

b) Determine o campo magnético, ~B, criado pelocondutor no seu interior.

c) Determine a densidade de corrente de magneti-zação no condutor, ~JM .

Exercício 3.18 : Um condutor de cobre, de secção cir-cular, comprido e rectilíneo, de raio a, está cobertocom uma camada de ferro de raio exterior b (b =a+espessura). Este condutor compósito é percorridopor uma intensidade de corrente I. Sendo a permeabi-lidade magnética do cobre µ0 e a do ferro µ e sendoas suas condutividades eléctricas respectivamente σCu

e σFe, determine:


Capítulo 3

a) a densidade de corrente existente no Cobre (JCu)e no Ferro (JFe).

b) a intensidade do campo magnético, ~H e o campomagnético ~B, em todas as regiões do espaço, emfunção de JCu e JFe.

Exercício 3.19 : Utilize as condições fronteira do campomagnético na ausência de correntes para verificar que osmateriais ferromagnéticos se comçportam como condu-tores das linhas de campo.Sugestão: utilize a aproximação µ >> µ0.

Exercício 3.20 : Nas cabeças de gravação magnéticasos campos são criados por correntes pequenas e para seobterem campos intensos, utilizam-se entreferros (aber-turas em núcleos de materiais ferromagnéticos). Umcaso simples de um entreferro está representado na fi-gura abaixo, em que um núcleo de material ferromag-nético com a forma de um anel cilíndrico de raio médioR = 1 cm, possui um enrolamento de N = 20 espi-ras, percorridas por uma corrente de I = 1 mA. Nessenúcleo foi aberto um espaço de largura d = 10 µm.

I

N R

d

a) Utilizando as equações que descrevem o campomagnético, verifique que na fronteira de separa-ção entre o ar e o ferro, se verifica a conduiçãoB⊥ ar = B⊥ Fe.

b) Calcule o campo magnético no entreferro, Bar,na linha de campo média (r = R), assumindoque o material ferromagnético apresenta para es-tas condições uma permeabilidade magnéticaµ =105 µ0.

Exercício 3.21 : Um cilindro de espessura a = 1 mm eraio R = 1 cm encontra-se magnetizado uniformementeao longo do eixo zz, sendo a sua magnetização M =105 A.m−1.

a) Calcule as correntes equivalentes de magnetiza-ção no cilindro, ~Jm. Esboce as correntes no ci-lindro.

b) Fazendo as aproximações que considerar conve-nientes, calcule o campo magnético ~B no eixodo cilindro, para z = 0.

c) Esboce as linhas de campo magnético no interiordo disco e no espaço à sua volta.


Capítulo 3

3.3 Resoluções

Exercício 3.8

a) Para calcular o campo magnético no ponto pretendido pode utilizar-se a lei de Biot-Savart; começando porver a direcção do campo criado por cada um dos lados do circuito, verifica-se que a própria barra não criacampo e que cada um dos lados de comprimento a, cria um campo segundo ~uz. Como os dois condutorescriadores do campo estão simetricamente colocados em relação ao ponto, pode-se simplesmente calcular ocampo de um dois lados e multiplicar por 2.

~B =

∫µ0

4π

Id~ℓ × ~ur

r2=⇒ B =

∫ a

0

µ0

4π

I‖d~x × ~ur‖r2

=

∫ a

0

µ0

4πIsen(dx, ur)

r2dx

=

∫ a

0

µ0

4π

I

x2 + b2b

√x2 + b2

dx =µ0

4πIb

∫ a

0

1

(x2 + b2)3/2dx

~B = 2 × µ0

4πIb

a

b2√x2 + b2

~uz

=µ0

2πI

a

b√x2 + b2

~uz

Nota: lima→∞ B(a) = µ0

2πIb~uz

b) Já se conhece o campo magnético existente na parte móvel pelo que agora há somente que calcular a forçaque esse campo exerce sobre a corrente eléctrica que percorre a parte móvel,

~F =

∫

Id~ℓ × ~B = IB

∫ d

0

dℓ(−~ux) = −IBd~ux = −µ0

2πI2 ad

b√x2 + b2

~ux

A corrente a partir da qual se interrompe o circuito é então,

I =

√

F2πb√a2 + b2

µ0ad

c) Verifica-se neste problema que o circuito cria sobre uma parte de si próprio uma força para fora. Se tivermosentão um circuito flexível, sem outras forças aplicads, e todos os seus pontos forem puxados para fora, estetomará uma forma circular.

Exercício 3.17

a) Como se trata de um problema de geometria cilíndrica com um condutor muito comprido (L >> R),vamos aplicar a lei de Ampère utilizando como caminho de integração uma linha de campo, ou seja, umacircunferência de raio r > R genérica (L >> r também). Neste caso a corrente que atravessa a superfíciedefinida pelo caminho fechado é toda a corrente I.

∮

~H · d~ℓ =

∫

~J · ~ndS = I =⇒ H2πr = I =⇒ H =I

2πr~uθ =⇒ ~B =

µ0

2π

I

r~uθ

b) Neste aplicaremos a lei de Ampère como anteriormente mas a corrente que atravessa a superfície definida pelocaminho fechado é apenas a fracção de I que corresponde à fracção de área do condutor que nos interessa.

∮

~H · d~ℓ =

∫

~J · ~ndS = Iπr2

πR2=⇒ H2πr = I

r2

R2=⇒ H =

Ir

2πR2~uθ =⇒ ~B =

µ0

2π

Ir

R2~uθ

c)

~B = µ0( ~H + ~M) ⇐⇒ ~M =~B

µ0

− ~H =

(µ

µ0

− 1

)

~H

~M =

(µ

µ0

− 1

)Ir

2πR2~uθ


Capítulo 3

~JM = ~∇× ~M =

(1

r

∂Mz

∂θ− ∂Mθ

∂z

)

~ur +

(∂Mr

∂z− ∂Mz

∂r

)

~uθ +1

r

(∂(rMθ)

∂r− ∂Mr

∂θ

)

~uz

=∂Mθ

∂z~ur +

1

r

∂(rMθ)

∂r~uz =

1

r

∂(rMθ)

∂r~uz

=1

r

∂

∂r

(

r

(µ

µ0

− 1

)Ir

2πR2

)

~uz =

(µ

µ0

− 1

)I

2πR2

1

r

∂r2

∂r~uz =

(µ

µ0

− 1

)I

πR2~uz

=

(µ

µ0

− 1

)

~J

A densidade de corrente de magnetização no interior do material existe ao longo do condutor, como a própriacorrente que o percorre. Vamos agora calcular a densidade de corrente que existe na sua superfície, e que éuma corrente por unidade comprimento, existente no perímetro da secção do condutor.

~J′

M = ~M(R) × ~next =

(µ

µ0

− 1

)IR

2πR2~uθ × ~ur

=

(µ

µ0

− 1

)I

2πR~−uz

Será ainda interessante verificar que a soma da corrente de magnetização no interior do condutor com acorrente de magnetização na sua superfície é nula. Isto conduz-nos ao resultado óbvio de que o campomagnético no exterior do condutor é independente das suas propriedades magnéticas.

Exercício 3.18

a) ~JCu = σcCu~E ; ~JFe = σcFe

~EO campo eléctrico é igual nos dois materiais pois a diferença de potencial entre os extremos do cabo é amesma, “vendo” pelo lado do Ferro ou pelo Cobre.

I = JCuπa2 + JFeπ(b

2 − a2) = σcCuEπa2 + σcFeEπ(b2 − a2)

=⇒ E =I

π (σcCua2 + σcFe(b

2 − a2))

~JCu =σcCuI


2 − a2))(−~uz)

~JFe =σcFeI


2 − a2))(−~uz)

b) Como se trata de um problema de geometria cilíndrica com um condutor em que L >> R, vamos aplicar alei de Ampère utilizando como caminho de integração uma linha de campo, ou seja, uma circunferêcia de raior genérico. Como temos dois materiais diferentes aplicaremos a lei de Ampère generalizada,

r < a∮

~H1 · d~ℓ =

∫

~J · ~ndS ⇐⇒ H12πr = JCuπr2 ⇐⇒ ~H1 =

1

2JCur(−~uθ)

a < r < b

∮

~H2 · d~ℓ =

∫

~J · ~ndS ⇐⇒ H22πr = JCuπa2 + JFeπ(r

2 − a2)

=⇒ ~H2 =1

2r

(JCua

2 + JFe(r2 − a2)

)(−~uθ)

r > b∮

~H3 · d~ℓ =

∫

~J · ~ndS ⇐⇒ H32πr = I ⇐⇒ ~H3 =I

2πr(−~uθ)

Como, ~B = µ ~H, vem:

r < a ~B1 = µ0~H1

a < r < b ~B2 = µ ~H2

r > b ~B3 = µ0~H3


Capítulo 3

Exercício 3.20

a) Se aplicarmos a equação fundamental∮

~B · ~ndS = 0 a uma superfície cilíndrica, em que uma das tampasestá do lado do ar e a outra do lado do ferro, e fizermos a altura do cilindro tender para zero, verificamos quea diferença entre o fluxo através de cada uma das tampas é zero. Mas o produto interno do campo com anormal a cada tampa é precisamente a componente do campo perpendicular à superfície de separação entreo ar e o ferro.

b) Na linha de campo média,∮

~H · d~ℓ = I ⇐⇒∫

Fe

HFedℓ+

∫

ar

Hardℓ = NI

De notar que se B é igual nos dois materias, H não é; na linha de campo B, só existe B ≡ B⊥ à superfíciede separação.

HFe(2πR − d) + Hard = NI ⇐⇒ BFe

µ(2πR− d) +

Bar

µ0

d = NI

=⇒ B =NI

2πR−dµ

+ dµ0

=µNI

2πR+ d(

µµ0

− 1) =

105µ0 20 10−3

2π10−2 + 200π10−6(105 − 1)

=2 × 103µ0

2π10−2 + 20π= 4 × 10−5 T = 40 µT


Capítulo 3

3.4 Soluções

3.1 ~B = µ02

I R2

(R2+z2)3/2 ~uz

3.3 ~B = µ02π

Ir~uθ

3.4 ~B = 2√

2µ0π

IL~uz

3.5 F = 4 10−2 N (atractiva)

3.6 a) ~F12 = −µ02π

I1I2b(

1d− 1

d+a

)

~ux

b) ~F21 = −~F12

c) ~M = 0

3.7 a) ~F = 0, nos lados paralelos a ~B~F = ±IBℓ~n, nos dois outros lados

b)∑

i~Fi = 0

c) N = Iℓ2B

3.9 B = µ02

σωR

3.10 B = µ02σV , paralelo à superfície do plástico e per-

pendicular à sua velocidade.

3.11 ~B = µ02π

Ir~uθ

3.12 ~B = µ0nI~uz

3.13 a) ~B = µ02π

NIR

~uθ

b) ~B = µ0nI~uθ

3.14 a) ~B = µ02π

Ira2 ~uθ

b) ~B = µ02π

Ir~uθ

c) ~B = µ02π

Ir

(

1 − r2−b2

c2−b2

)

~uθ

d) B = 0

3.15 a) I = J02π3

a3

b) r < a, ~B = µ03J0r2~uθ

r > a, ~B = µ03

J0ra3~uθ

c) σ(r) = J0

V′ r

d) Idêntico ao calculado em b) para r = R. Pode-se chegar a esta conclusão utilizando o princípioda sobreposição e verificando que um condutor deraio b teria B = 0 no seu centro.

3.16 a) µ = 3, 8 µH.m−1; µr = 3

b) H = 1500 A.m−1

M = 3000 A.m−1

B = 5, 7 mT

c) JM = 3000 A.m−1

3.21 a) ~JM = 105~uθ A.m−1

c) ~B = 6, 3~uz mT


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