Enquanto voc l esta frase

uma certa regio do crebro

ativada. Quando aprecia

o perfume de uma rosa

ou segura um lpis outras

regies se tornam ativas.

Uma das melhores formas

de descobrir quais so as

regies ativadas detectar o

campo magntico produzido

pela ativao. O aparelho

mostrado na fotografia pode

detectar o campo magntico

produzido pelo crebro de

uma pessoa, o que permite

estabelecer uma correlao

entre as regies ativas do

crebro e o que a pessoa

est fazendo no momento.

Entretanto, o crebro

no contm substncias

magnticas.

Nesse caso, por que a ativao do crebro produz um campo magntico?

A resposta est neste captulo.

Campos Magnticos Produzidos por

Correntes

233

29

Jurgen Scriba/Photo Researchers

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Captulo 29 | Campos Magnticos Produzidos por Correntes234

Uma observao bsica da fsica a de que as partculas carregadas em movimento produzem campos magnticos. Isso significa que uma corrente eltrica tambm pro-duz um campo magntico. Esse aspecto do eletromagnetismo, que o estudo combi-nado dos efeitos eltricos e magnticos, foi uma surpresa para os cientistas na poca em que foi descoberto. Surpresa ou no, ele se tornou extremamente importante para a vida cotidiana, j que constitui a base para um nmero imenso de dispositivos eletromagnticos. Assim, por exemplo, os campos magnticos produzidos por cor-rentes eltricas esto presentes em todos os aparelhos que gravam e lem informa-es em forma magntica, como os discos rgidos dos computadores. Esses campos tambm esto presentes em trens levitados magneticamente e outras mquinas usa-das para levantar grandes pesos.

Nosso primeiro passo neste captulo ser determinar o campo magntico produ-zido pela corrente em um pequeno elemento de um fio percorrido por corrente. Em seguida, vamos calcular o campo magntico total produzido por fios de diferentes formas.

29-2 | Clculo do Campo Magntico Produzido por uma Corrente

A Fig. 29-1 mostra um fio de forma arbitrria percorrido por uma corrente i. Esta-mos interessados em calcular o campo magntico em um ponto prximo P. Para isso, dividimos mentalmente o fio em elementos infinitesimais ds e definimos para cada elemento um vetor comprimento cujo mdulo ds e cuja direo a di-reo da corrente no elemento ds. Podemos definir um elemento de corrente como i e calcular o campo d produzido no ponto P por um elemento de corrente tpico. Os experimentos mostram que os campos magnticos, como os campos el-tricos, podem ser somados para determinar o campo total. Assim, podemos calcular o campo total no ponto P somando, por integrao, as contribuies d de todos os elementos de corrente. Entretanto, esse processo um pouco mais complicado do que no caso do campo eltrico por causa de uma diferena: enquanto o elemento de carga dq que produz o campo eltrico uma grandeza escalar, o elemento de cor-rente i responsvel pelo campo magntico o produto de uma grandeza escalar por uma grandeza vetorial e, portanto, uma grandeza vetorial.

O mdulo do campo d produzido no ponto P por um elemento de corrente i dado por

onde u o ngulo entre as direes de e r, o vetor que liga ds a P, e m0 uma constante, conhecida como permeabilidade do vcuo, cujo valor, por definio, dado por

A direo de d , que para dentro do papel na Fig. 29-1, a do produto vetorial 3 r. Podemos, portanto, escrever a Eq. 29-1, em forma vetorial, como

Esta equao vetorial e sua forma escalar, Eq. 29-1, so conhecidas como lei de Biot-Savart. A lei, que se baseia em observaes experimentais, do tipo inverso do qua-

29-1 O QUE FSICA?

FIG. 29-1 Um elemento de corrente i produz um elemento de campo magntico d no ponto P. O 3 verde (que representa a extremidade tra-seira de uma seta) no ponto P indica que o sentido do campo d para dentro do papel.

d B (para dentro do

papel)

Corrente i

P

Q ds

ids

r r

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29-2 | Clculo do Campo Magntico Produzido por uma Corrente 235

drado. Vamos usar essa lei para calcular o campo magntico total produzido em um ponto por fi os de vrias geometrias.

Campo Magntico Produzido pela Correnteem um Fio Retilneo Longo

Daqui a pouco vamos usar a lei de Biot-Savart para mostrar que o mdulo do campo magntico a uma distncia perpendicular R de um fi o retilneo longo (infi nito) per-corrido por uma corrente i dado por

O mdulo do campo B na Eq. 29-4 depende apenas da corrente e da distncia perpendicular R entre o ponto e o fi o. Vamos mostrar que as linhas de campo de formam circunferncias concntricas em torno do fi o, como se pode ver no diagrama da Fig. 29-2 e no padro formado por limalha de ferro na Fig. 29-3. O aumento do espaamento das linhas com o aumento da distncia na Fig. 29-2 re ete o fato de que o mdulo de , de acordo com a Eq. 29-4, inversamente proporcional a R. Os comprimentos dos dois vetores que aparecem na fi gura tambm mostram essa di-minuio de B com a distncia.

Existe uma regra da mo direita para determinar a orientao do campo mag-ntico produzido por um elemento de corrente:

Regra da mo direita: Envolva o elemento de corrente com a mo direita, com o pole-gar estendido apontando no sentido da corrente. Os outros dedos mostram a orientao das linhas de campo magntico produzidas pelo elemento.

O resultado da aplicao da regra da mo direita corrente no fi o retilneo da Fig. 29-2 mostrado, em uma vista lateral, na Fig. 29-4a. Para determinar a direo do campo magntico produzido por essa corrente em um ponto do espao en-volva mentalmente o fi o com a mo direita, com o polegar apontando no sentido da corrente. Faa com que a ponta do dedo indicador coincida com o ponto; a orienta-o do dedo indicador a orientao do campo magntico nesse ponto. Na vista em seo reta da Fig. 29-2, em qualquer ponto tangente a uma linha de campo mag-ntico; na vista lateral da Fig. 29-4, perpendicular reta que liga o ponto ao fi o.

Fio com corrente paradentro do papel

B

B

FIG. 29-2 As linhas de campo magntico produzi-das por uma corrente em um fi o retilneo longo so crculos concntricos em torno do fi o. Na fi gura, o sentido da corrente para dentro do papel, como indica o smbolo 3.

FIG. 29-3 A limalha de ferro que tinha sido espalhada em um pedao de cartolina forma crculos concntricos quando uma corrente atravessa o fi o central. O alinhamento, que coincide com as linhas de campo magn-tico, causado pelo campo magntico produzido pela corrente. (Cortesia do Education Development Center)

B

B

(a)

i

(b)

i

FIG. 29-4 A regra da mo direita mostra a direo do campo magn-tico produzido pela corrente em um fi o. (a) Vista lateral do resultado da aplicao da regra da mo direita corrente no fi o retilneo da Fig. 29-2. O campo magntico em qualquer ponto esquerda do fi o perpendi-cular reta tracejada e aponta para dentro do papel, no sentido das pon-tas dos dedos, como indica o smbolo 3. (b) Quando o sentido da corrente invertido o campo em qualquer ponto esquerda do fi o continua a ser perpendicular reta tracejada, mas passa a apontar para fora do pa-pel, como indica o smbolo .

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Captulo 29 | Campos Magnticos Produzidos por Correntes236

Demonstrao da Equao 29-4

A Fig. 29-5, que semelhante Fig. 29-1 exceto pelo fato de que agora o fio retil-neo e de comprimento infinito, ilustra bem o processo. Queremos calcular o campo

no ponto P, a uma distncia perpendicular R do fio. O mdulo do campo elemen-tar produzido no ponto P por um elemento de corrente i situado a uma distncia r do ponto P dado pela Eq. 29-1:

A orientao de d na Fig. 29-5 a do vetor 3 r, ou seja, para dentro do papel.Observe que d no ponto P tem a mesma orientao para todos os elementos

de corrente nos quais o fio pode ser dividido. Assim, podemos calcular o mdulo do campo magntico produzido no ponto P pelos elementos de corrente na metade su-perior de um fio infinitamente longo integrando dB na Eq. 29-1 de 0 a `.

Considere agora um elemento de corrente na metade inferior do fio que esteja uma distncia to grande abaixo de P quanto est acima de P. De acordo com a Eq. 29-3, o campo magntico produzido no ponto P por este elemento de corrente tem o mesmo mdulo e a mesma orientao que o campo magntico produzido pelo elemento i da Fig. 29-5. Assim, o campo magntico produzido pela metade infe-rior do fio igual ao campo magntico produzido pela metade superior. Para deter-minar o mdulo do campo magntico total no ponto P basta, portanto, multiplicar por 2 o resultado da integrao, o que nos d

As variveis u, s e r nesta equao no so independentes; como se pode ver na Fig. 29-5, esto relacionadas atravs das equaes

Fazendo essas substituies e usando a integral 19 do Apndice E, obtemos:

que a equao que queramos demonstrar. Observe que o campo magntico no ponto P produzido pela metade inferior ou pela metade superior do fio infinito da Fig. 29-5 metade desse valor, ou seja,

Campo Magntico Produzido por uma Corrente em um Fio em Forma de Arco de Circunferncia

Para determinar o campo magntico produzido em um ponto por uma corrente em um fio curvo usamos mais uma vez a Eq. 29-1 para calcular o mdulo do campo pro-duzido por um elemento de corrente e integramos o resultado para obter o campo total produzido por todos os elementos de corrente. Essa integrao pode ser difcil, dependendo da forma do fio; relativamente simples, porm, quando o fio tem a forma de um arco de circunferncia e o ponto o centro de curvatura.

FIG. 29-5 Clculo do campo magn-tico produzido por uma corrente i em um fio retilneo longo. O campo produzido no ponto P pelo elemento de corrente i aponta para dentro do papel, como indica o smbolo 3.

FIG. 29-6 (a) Um fio em forma de arco de circunferncia com centro no ponto C e percorrido por uma cor-rente i. (b) Para qualquer elemento de comprimento ao longo do arco o ngulo entre as direes e r 90. (c) Determinao da direo do campo magntico produzido pela corrente no ponto C usando a regra da mo direita; o campo aponta para fora do papel, no sentido das pontas dos dedos, como indica o smbolo .

i

Q

d B

P R

s r

ds

r

r

B

C FR

i C ds

(a) (b)

C

i

(c)

r

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29-2 | Clculo do Campo Magntico Produzido por uma Corrente 237

A Fig. 29-6a mostra um fio em forma de arco de circunferncia de ngulo cen-tral f, raio R e centro C, percorrido por uma corrente i. No ponto C cada elemento de corrente i do fio produz um campo magntico de mdulo dB dado pela Eq. 29-1. Alm disso, como mostra a Fig. 29-6b, qualquer que seja a posio do elemento no fio o ngulo u entre os vetores e r 90 e r 5 R. Fazendo u 5 90 e r 5 R na Eq. 29-1, obtemos:

Este o mdulo do campo produzido no ponto C por um dos elementos de corrente.

A aplicao da regra da mo direita a um ponto qualquer do fio (como na Fig. 29-6c) mostra que todos os elementos de campo d tm a mesma orientao no ponto C: para fora do papel. Podemos usar a identidade ds 5 R df para converter a varivel de integrao de ds para df e obter, a partir da Eq. 29-8,

Integrando, obtemos:

Observe que essa equao vlida apenas para o campo no centro de curvatura do fio. Ao substituir as variveis da Eq. 29-9 por valores numricos preciso no esquecer que o valor de f deve ser expresso em radianos. Assim, por exemplo, para calcular o mdulo do campo magntico no centro de uma circunferncia completa de fio f deve ser substitudo por 2p na Eq. 29-9, o que nos d

Campo Magntico Produzido pela Atividade Cerebral

Os cientistas tm grande interesse em compreender como o crebro funciona. Um dos novos mtodos para estudar o funcionamento do crebro a magnetencefalo-grafia (MEG), que consiste em monitorar os campos magnticos produzidos pelo crebro enquanto o paciente realiza uma tarefa, como ler uma palavra, por exemplo. A tarefa ativa uma regio do crebro, como a que processa a leitura, fazendo com que pulsos eltricos sejam enviados ao longo de circuitos nervosos. Como acontece com qualquer corrente, esses pulsos produzem campos magnticos.

Os campos magnticos detectados pela MEG so provavelmente produzidos por pulsos nas paredes das fissuras (sulcos) existentes na superfcie do crebro (Fig. 29-7). Vamos usar a Eq. 29-1 para estimar a intensidade desse campo em um ponto P situado a uma distncia r 5 2 cm do pulso. Suponha que a trajetria do pulso seja tangente superfcie do crebro, caso em que o ngulo u da Eq. 29-1 90. Em um pulso tpico a corrente i 5 10 mA, e a distncia percorrida da ordem de 1 mm. Vamos tomar essa distncia como sendo o elemento de comprimento ds na Eq. 29-1. Nesse caso, temos:

Trata-se de um campo extremamente pequeno, mais de um milho de vezes mais fraco que o campo magntico terrestre. Assim, para detectar os campos magnticos produzidos pelo crebro no podemos simplesmente colocar uma bssola perto do

FIG. 29-7 Um pulso na parede de uma fissura na superfcie do crebro produz um campo magntico no ponto P situado a uma distncia r.

P r

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Captulo 29 | Campos Magnticos Produzidos por Correntes238

crebro e esperar que a atividade cerebral produza um movimento da agulha. Na verdade, os campos magnticos do crebro s podem ser detectados com o auxlio de um instrumento muito sensvel, conhecido com SQUID (superconducting quan-tum interference device), capaz de medir campos menores que 1 pT, e mesmo assim preciso tomar cuidado para eliminar outras fontes de campos magnticos variveis nas vizinhanas.

O fio da Fig. 29-8a percorrido por uma corrente i e tem a forma de um arco de circunferncia de raio R e ngulo central p/2 rad, ladeado por dois trechos retilneos cujos prolongamentos se interceptam no centro C do arco. De-termine o campo magntico no ponto C.

Podemos determinar o campo magntico no ponto C aplicando ao fio a lei de Biot-Savart (Eq. 29-3). A aplicao da Eq. 29-3 pode ser simplificada calculando separadamente para as trs partes do fio, a saber: (1) o tre-cho retilneo da esquerda; (2) o trecho retilneo da direita; (3) o arco de circunferncia.

Trechos retilneos: Para qualquer elemento de corrente da parte 1, o ngulo u entre e r zero (Fig. 29-8b) e, portanto, de acordo com a Eq. 29-1,

Assim, a contribuio de toda a parte 1 para o campo mag-ntico no ponto C

O mesmo acontece na parte 2, em que o ngulo u entre e r 180 para qualquer elemento de corrente. Assim,

Arco de circunferncia: O uso da lei de Biot-Savart para calcular o campo magntico no centro de um arco de cir-cunferncia leva Eq. 29-9 (B 5 m0if/4pR). No nosso caso o ngulo central f do arco p/2 rad. Assim, de acordo com a Eq. 29-9 o mdulo do campo magntico 3 no centro C do arco dado por

Para determinar a orientao de 3 aplicamos a regra da mo direita, como mostra a Fig. 29-4. Segure mental-mente o arco de circunferncia com a mo direita, como na Fig. 29-8c, com o polegar apontando no sentido da cor-rente. Os outros dedos indicam a orientao do campo

magntico nas vizinhanas do fio. Na regio em que se en-contra o ponto C (no interior do arco de circunferncia) os dedos apontam para dentro do papel. Assim, 3 tem essa orientao.

Campo total: Em geral, quando necessrio combinar dois ou mais campos magnticos para obter o campo mag-ntico total precisamos executar uma soma vetorial, e no simplesmente somar os mdulos. Neste caso, porm, ape-nas o arco de circunferncia produz um campo magntico diferente de zero no ponto C. Assim, podemos escrever o mdulo do campo total como

A orientao de a orientao de 3, ou seja, para den-tro do papel na Fig. 29-8.

i

1 2 3

C

R

(a)

C

(b)

ds

i i

(c)

B3 C

i

r

r

FIG. 29-8 (a) Fio formado por dois segmentos retilneos (1 e 2) e um arco de circunferncia (3) e percorrido por uma corrente i. (b) Para um elemento de corrente na seo 1, o ngulo entre ds e r zero. (c) Determinao da direo do campo magntico 3 produzido pelo arco de circunferncia no ponto C; o sentido do campo para dentro do papel.

IDIA-CHAVE

Exemplo 29-1 Aumente sua capacidade

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29-2 | Clculo do Campo Magntico Produzido por uma Corrente 239

Exemplo 29-2 Aumente sua capacidade

A Fig. 29-9a mostra dois fios paralelos longos percorridos por correntes i1 e i2 em sentidos opostos. Determine o m-dulo e a orientao do campo magntico total no ponto P para i1 5 15 A, i2 5 32 A e d 5 5,3 cm.

(1) O campo magntico total no ponto P a soma vetorial dos campos magnticos produzidos pelas correntes nos dois fios. (2) Podemos calcular o campo mag-ntico produzido por qualquer corrente aplicando a lei de Biot-Savart corrente. No caso de pontos prximos de um fio longo e retilneo, a lei leva Eq. 29-4.

Determinao dos vetores: Na Fig. 29-9a o ponto P est a uma distncia R das correntes i1 e i2. De acordo com a Eq. 29-4, essas correntes produzem no ponto P campos 1 e 2, cujos mdulos so dados por

Observe, no tringulo retngulo da Fig. 29-9a, que os ngu-los da base (entre os lados R e d) so 45. Isso nos permite escrever cos 45 5 R/d e substituir R por d cos 45. Nesse caso, os mdulos dos campos magnticos, B1 e B2, se tornam

Estamos interessados em combinar 1 e 2 para obter a soma dos dois vetores, que o campo total no ponto P. Para determinar a orientao de 1 e 2 aplicamos a regra da mo direita da Fig. 29-4 s duas correntes da Fig. 29-9a. No caso do fio 1, em que a corrente para fora do papel, seguramos mentalmente o fio com a mo direita, com o polegar apontando para fora do papel. Nesse caso os ou-tros dedos indicam que as linhas de campo tm o sentido anti-horrio. Em particular, na regio do ponto P apontam para cima e para a esquerda. Lembre-se de que o campo magntico em um ponto nas proximidades de um fio longo percorrido por corrente perpendicular ao fio e a uma reta perpendicular ao fio passando pelo ponto. Assim, o sentido de 1 para cima e para a esquerda, como mostra a Fig. 29-9b. (Observe no desenho que o vetor 1 perpendicular reta que liga o ponto P ao fio 1.)

Repetindo a anlise para a corrente no fio 2, descobri-mos que o sentido de 2 para cima e para a direita, como mostra a Fig. 29-9b. (Observe no desenho que o vetor 2 perpendicular reta que liga o ponto P ao fio 2.)

Soma dos vetores: Podemos agora somar vetorialmente 1 e 2 para determinar o campo magntico no ponto

P. Isso pode ser feito usando uma calculadora cientfica ou trabalhando com as componentes dos vetores. Entretanto, existe um terceiro mtodo: como 1 e 2 so mutuamente perpendiculares, formam os catetos de um tringulo retn-gulo cuja hipotenusa . De acordo com o teorema de Pi-tgoras, temos:

O ngulo f entre as direes de e 2 na Fig. 29-9b dado pela equao

que, para os valores conhecidos de B1 e B2, nos d

O ngulo entre a direo de e o eixo x na Fig. 29-9b portanto

(a)

P

d i2

R R

i1

B2

x

B1

P

d i2 i1

45 45

F

(b)

y B

FIG. 29-9 (a) Dois fios conduzem correntes i1 e i2 em sentidos opostos (para fora e para dentro do papel). Observe o ngulo reto no ponto P. (b) O campo total a soma vetorial dos cam-pos 1 e 2.

IDIA-CHAVE

TTICAS PARA A SOLUO DE PROBLEMAS

Ttica 1: Regras da Mo Direita Para ajudar o leitor a in-terpretar as regras da mo direita vistas at o momento (e que se-ro vistas mais adiante), apresentamos a seguir uma reviso des-sas regras.

Regra da Mo Direita para Produtos Vetoriais. Descrita na Seo 3-8, essa regra usada para determinar a orientao do ve-tor resultante de um produto vetorial. Aponte os dedos da mo direita do primeiro vetor para o segundo, passando pelo menor

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Captulo 29 | Campos Magnticos Produzidos por Correntes240

29-3 | Foras entre Duas Correntes Paralelas

Dois longos fi os paralelos, percorridos por correntes, exercem foras um sobre o ou-tro. A Fig. 29-10 mostra dois desses fi os, percorridos por correntes ia e ib e separados por uma distncia d. Vamos analisar as foras exercidas pelos fi os.

Vamos calcular primeiro a fora produzida pela corrente no fi o a sobre o fi o b da Fig. 29-10. A corrente produz um campo magntico a, e esse campo que produz a fora que estamos querendo calcular. Para determinar a fora, portanto, precisamos conhecer o mdulo e a orientao do campo a na posio do fi o b. De acordo com a Eq. 29-4, o mdulo de a em qualquer ponto do fi o b dado por

De acordo com a regra da mo direita, o sentido do campo a na posio do fi o b para baixo, como mostra a Fig. 29-10.

Agora que conhecemos o campo, podemos calcular a fora exercida sobre o fi o b. De acordo com a Eq. 28-26, a fora ba a que est submetido um segmento L do fi o b devido presena do campo magntico externo a dada por

onde o vetor comprimento do fi o. Na Fig. 29-10 os vetores e a so mutua-mente perpendiculares e, portanto, de acordo com a Eq. 29-11, podemos escrever

A direo de ba a direo do produto vetorial 3 a. Aplicando a regra da mo direita para produtos vetoriais a e a na Fig. 29-10 vemos que ba aponta na dire-o do fi o a, como mostra a fi gura.

A regra geral para determinar a fora exercida sobre um fi o percorrido por cor-rente a seguinte:

Para determinar a fora exercida sobre um fi o percorrido por corrente por outro fi o percorrido por corrente determine primeiro o campo produzido pelo segundo fi o na posi-o do primeiro; em seguida, determine a fora exercida pelo campo sobre o primeiro fi o.

Podemos usar esse mtodo para determinar a fora exercida sobre o fi o a pela corrente que circula no fi o b. O resultado que a fora aponta na direo do fi o b, o que signifi ca que dois fi os com correntes paralelas se atraem. No caso em que as cor-rentes tm sentidos opostos nos dois fi os o resultado mostra que as foras apontam para longe dos dois fi os, ou seja, os fi os se repelem. Assim,

Correntes paralelas se atraem e correntes antiparalelas se repelem.

ngulo entre os dois vetores; o polegar estendido mostra a dire-o do vetor resultante do produto vetorial. No Captulo 11 essa regra foi usada para determinar a orientao dos vetores torque e momento angular; no Captulo 28, para determinar a orientao da fora exercida por um campo magntico sobre um fi o percor-rido por corrente.

Regras da Mo Direita para o Magnetismo. Em muitas situ-aes ligadas ao magnetismo preciso relacionar um elemento circular a um elemento retilneo. Para isso, so usados os de-dos (encurvados) e o polegar (estendido) da mo direita. J vi-mos um exemplo na Seo 28-9, na qual relacionamos a corrente

em uma espira (elemento circular) ao vetor normal (elemento retilneo). Envolva a espira com os dedos da mo direita aponta-dos na direo da corrente o polegar estendido mostra a direo de . Esta tambm a direo do momento dipolar magntico da espira.

Nesta seo foi apresentada mais uma regra da mo direita relacionada ao magnetismo. Para determinar a orientao das linhas de campo magntico nas vizinhanas de um elemento de corrente envolva o elemento de corrente com a mo direita, com o polegar estendido apontando no sentido da corrente; os outros dedos mostram a orientao das linhas de campo.

FIG. 29-10 Dois fi os paralelos que conduzem correntes no mesmo sen-tido se atraem mutuamente. a o campo magntico no fi o b devido corrente no fi o a. ba a fora que age sobre o fi o b porque o fi o con-duz uma corrente ib na presena do campo a.

ia

ib

d a

b

L

Fba

Ba (devido a ia )

L

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29-4 | Lei de Ampre 241

A fora que age entre correntes em fi os paralelos usada para defi nir o ampre, uma das sete unidades bsicas do SI. A defi nio, adotada em 1946, a seguinte: O ampre a corrente constante que, quando mantida em dois condutores retilneos, paralelos, de comprimento infi nito e seo reta desprezvel, separados por 1 m de distncia no vcuo, produz em cada um uma fora de mdulo 2 3 1027 newtons por metro de comprimento dos fi os.

Canho Eletromagntico

Uma das aplicaes da fora dada pela Eq. 29-13 o canho eletromagntico. Nesse aparelho uma fora magntica acelera um projtil, fazendo-o adquirir uma alta ve-locidade em um curto perodo de tempo. A Fig. 29-11a mostra o princpio de fun-cionamento do canho eletromagntico. Uma corrente elevada estabelecida em um circuito formado por dois trilhos paralelos e um fusvel condutor (uma barra de cobre, por exemplo) colocado entre os trilhos. O projtil a ser lanado fi ca perto da extremidade mais distante do fusvel, encaixado frouxamente entre os trilhos. Quando a corrente aplicada o fusvel se funde e logo se vaporiza, criando um gs condutor entre os trilhos na regio onde se encontrava.

Aplicando a regra da mo direita da Fig. 29-4, vemos que as correntes nos tri-lhos da Fig. 29-11a produzem um campo magntico dirigido para baixo na regio entre os trilhos. Esse campo magntico exerce uma fora sobre o gs devido cor-rente i que existe no gs (Fig. 29-11b). De acordo com a Eq. 29-12 e a regra da mo direita para produtos vetoriais, a fora paralela aos trilhos e aponta para longe do fusvel. Assim, o gs arremessado contra o projtil, imprimindo-lhe uma acele-rao de at 5 3 106g e lanando-o com uma velocidade de 10 km/s, tudo isso em um intervalo de tempo menor que 1 ms. Talvez, no futuro, os canhes eletromagnticos venham a ser usados para lanar no espao materiais resultantes de operaes de minerao na Lua ou em asterides.

Projtil

Fusvel

Trilho

i

i

Gscondutor

(a)

(b)

i

i i B

F

FIG. 29-11 (a) Princpio de fun-cionamento de um canho eletro-magntico. Uma corrente elevada provoca a vaporizao de um fusvel condutor. (b) A corrente produz um campo magntico entre os trilhos, que exerce uma fora sobre o gs devido corrente i que existe no gs. O gs arremessado contra o proj-til, lanando-o ao espao.

29-4 | Lei de Ampre

possvel calcular o campo eltrico total associado a qualquer distribuio de car-gas escrevendo o campo eltrico elementar d produzido por um elemento de carga dq e somando as contribuies de todos os elementos de carga. No caso de uma dis-tribuio complicada de cargas o clculo pode exigir o uso de um computador. En-tretanto, como vimos, se a distribuio possui simetria planar, cilndrica ou esfrica podemos usar a lei de Gauss para determinar o campo eltrico total, o que facilita consideravelmente os clculos.

Do mesmo modo, possvel calcular o campo magntico total associado a qual-quer distribuio de correntes escrevendo o campo magntico elementar d (Eq. 29-3) produzido por um elemento de corrente i e somando as contribuies de todos os elementos de corrente. No caso de uma distribuio complicada de corren-tes o clculo pode exigir o uso de um computador. Entretanto, se a distribuio pos-sui algum tipo de simetria podemos usar a lei de Ampre para determinar o campo magntico total, o que facilita consideravelmente os clculos. Embora essa lei, que pode ser demonstrada a partir da lei de Biot-Savart, tenha recebido o nome do f-sico francs Andr-Marie Ampre (1775-1836), foi na realidade proposta pelo fsico ingls James Clerk Maxwell (1831-1879).

TESTE 1 A fi gura mostra trs fi os longos, paralelos, igualmente espaados, percorridos por correntes de mesmo valor absoluto, duas para fora do papel e uma para dentro do pa-pel. Coloque os fi os na ordem do mdulo da fora a que esto sujeitos devido corrente nos outros dois fi os, comeando pelo maior.

a b c

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Captulo 29 | Campos Magnticos Produzidos por Correntes242

De acordo com a lei de Ampre,

O crculo no sinal de integral indica que a integrao do produto escalar ? deve ser realizada para uma curva fechada, conhecida como amperiana. A corrente ienv a corrente total envolvida pela curva fechada.

Para compreender melhor o signifi cado do produto escalar ? e sua inte-gral vamos aplicar a lei de Ampre situao geral da Fig. 29-12. A fi gura mostra as sees retas de trs fi os longos, perpendiculares ao plano do papel, percorridos por correntes i1, i2 e i3. Uma amperiana arbitrria traada no plano do papel envolve duas das correntes, mas no a terceira. O sentido anti-horrio indicado na ampe-riana mostra o sentido arbitrariamente escolhido para realizar a integrao da Eq. 29-14.

Para aplicar a lei de Ampre dividimos mentalmente a amperiana em elementos de comprimento , que so tangentes curva e apontam no sentido de integrao. Suponha que no local do elemento que aparece na Fig. 29-12 o campo magn-tico total devido s correntes nos trs fi os seja . Como os fi os so perpendiculares ao plano do papel, sabemos que o campo magntico em devido a cada uma das correntes est no plano da Fig. 29-12; assim, o campo magntico total tambm est nesse plano. Entretanto, no conhecemos a orientao de no plano. Na Fig. 29-12

foi desenhado arbitrariamente fazendo um ngulo u com a direo de .O produto escalar ? do lado esquerdo da Fig. 29-14 igual a B cos u ds. As-

sim, a lei de Ampre pode ser escrita na forma

Assim podemos interpretar o produto escalar ? como o produto de um com-primento elementar ds da amperiana pela componente do campo B cos u tangente amperiana nesse ponto. Nesse caso, a integral pode ser interpretada como a soma desses produtos para toda a amperiana.

Para executar a integrao no precisamos conhecer o sentido de em todos os pontos da amperiana; em vez disso, atribumos arbitrariamente um sentido para

que coincida com o sentido de integrao, como na Fig. 29-12, e usamos a seguinte regra da mo direita para atribuir um sinal positivo ou negativo s correntes que contribuem para a corrente total envolvida pela amperiana, ienv:

Envolva a amperiana com a mo direita, com os dedos apontando no sentido da inte-grao. Uma corrente no sentido do polegar estendido recebe sinal positivo; uma corrente no sentido oposto recebe sinal negativo.

Finalmente, resolvemos a Eq. 29-15 para obter o mdulo de . Se B positivo, isso signifi ca que o sentido escolhido para est correto; se B negativo, ignoramos o sinal e tomamos com o sentido oposto.

Na Fig. 29-13 aplicamos a regra da mo direita da lei de Ampre situao da Fig. 29-12. Tomando o sentido de integrao como o sentido anti-horrio, a corrente total envolvida pela amperiana

(A corrente i3 est do lado de fora da amperiana.) Assim, de acordo com a Eq. 29-15, temos:

O leitor pode estar se perguntando como possvel excluir a corrente i3 do lado direito da Eq. 29-16, j que ela contribui para o mdulo B do campo magntico do

FIG. 29-12 Aplicao da lei de Ampre a uma amperiana arbitrria que envolve dois fi os retilneos lon-gos, mas no um terceiro. Observe o sentido das correntes.

i3

i1

i2 Sentido deintegrao

ds Q

Amperiana

B

+i1

i2 Sentido deintegrao

FIG. 29-13 Uso da regra da mo di-reita da lei de Ampre para determi-nar os sinais das correntes envolvidas por uma amperiana. A situao a da Fig. 29-12.

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29-4 | Lei de Ampre 243

lado esquerdo da equao. A resposta que as contribuies da corrente i3 para o campo magntico se cancelam quando a integrao da Eq. 29-16 realizada para uma curva fechada. O mesmo, porm, no acontece no caso das correntes envolvi-das pela curva.

No caso da Fig. 29-12 no podemos usar a Eq. 29-16 para obter o mdulo B do campo magntico, porque no dispomos de informaes suficientes para simplificar e resolver a integral. Entretanto, conhecemos o resultado da integrao: m0(i1 2 i2), o valor obtido a partir das correntes envolvidas pela amperiana.

Vamos agora aplicar a lei de Ampre a duas situaes nas quais a simetria per-mite simplificar e resolver a integral e, assim, calcular o campo magntico.

Campo Magntico nas Vizinhanas de um Fio Longo Retilneo Percorrido por Corrente

A Fig. 29-14 mostra um fio longo retilneo percorrido por uma corrente i dirigida para fora do plano do papel. De acordo com a Eq. 29-4, o campo magntico pro-duzido pela corrente tem o mesmo mdulo em todos os pontos situados a uma dis-tncia r do fio, ou seja, possui simetria cilndrica em relao ao fio. Podemos tirar vantagem dessa simetria para simplificar a integral que aparece na lei de Ampre (Eqs. 29-14 e 29-15); para isso, envolvemos o fio em um amperiana circular concn-trica de raio r, como na Fig. 29-14. O campo magntico tem o mesmo mdulo B em todos os pontos da amperiana. Como vamos realizar a integrao no sentido anti-horrio, tem o sentido indicado na Fig. 29-14.

Podemos simplificar a expresso B cos u da Eq. 29-15 observando que tanto como so tangentes amperiana em todos os pontos. Assim, e so paralelos ou antiparalelos em todos os pontos da amperiana; vamos adotar arbitrariamente a primeira hiptese. Nesse caso, em todos os pontos o ngulo u entre e 0, cos u 5 cos 0 5 1; a integral da Eq. 29-15 se torna

Observe que r ds a soma de todos os segmentos de reta ds da amperiana, o que nos d simplesmente a circunferncia 2pr da curva.

De acordo com a regra da mo direita, o sinal da corrente da Fig. 29-14 posi-tivo; assim, o lado direito da lei de Ampre se torna 1m0i, e temos:

Com uma pequena mudana de notao esta a Eq. 29-4, que obtivemos na Se-o 29-2 (por um mtodo muito mais trabalhoso) usando a lei de Biot-Savart. Alm disso, como o mdulo B do campo positivo, sabemos que o sentido correto de o que aparece na Fig. 29-14.

Campo Magntico no Interior de um Fio Longo Retilneo Percorrido por Corrente

A Fig. 29-15 mostra a seo reta de um fio longo retilneo de raio R percorrido por uma corrente uniforme i dirigida para fora do papel. Como a distribuio de cor-rente ao longo da seo reta do fio uniforme, o campo magntico produzido pela corrente tem simetria cilndrica. Assim, para determinar o campo magntico em pontos situados no interior do fio podemos novamente usar uma amperiana de raio r, como mostra a Fig. 29-15, onde agora r , R. Como mais uma vez tangente curva, o lado esquerdo da lei de Ampre nos d

i

( = 0) Q

r

Amperiana

Superfciedofio

B

ds

FIG. 29-14 Uso da lei de Ampre para determinar o campo magntico produzido por uma corrente i do lado de fora de um fio retilneo longo de seo reta circular. A amperiana uma circunferncia concntrica com um raio maior que o raio do fio.

R

Amperiana

r

Superfciedo fio

i

ds

B

FIG. 29-15 Uso da lei de Ampre para determinar o campo magntico produzido por uma corrente i no interior de um fio retilneo longo de seo reta circular. A corrente est distribuda uniformemente ao longo da seo reta do fio e aponta para fora do papel. A amperiana uma circunferncia concntrica com um raio menor que o raio do fio.

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Captulo 29 | Campos Magnticos Produzidos por Correntes244

Para calcular o lado direito da lei de Ampre observamos que, como a distribuio de corrente uniforme, a corrente ienv envolvida pela amperiana proporcional rea envolvida pela curva, ou seja,

Usando a regra da mo direita, vemos que o sinal de ienv positivo e, portanto, de acordo com a lei de Ampre,

Assim, no interior do fi o o mdulo B do campo eltrico proporcional a r; o valor zero no centro do fi o e mximo na superfcie, onde r 5 R. Observe que as Eqs. 29-17 e 29-20 fornecem o mesmo valor para B no ponto r 5 R, ou seja, as expresses para o campo magntico do lado de fora e do lado de dentro do fi o fornecem o mesmo valor para pontos situados na superfcie do fi o.

Exemplo 29-3

TESTE 2 A fi gura mostra trs correntes de mesmo valor absoluto i (duas paralelas e uma antiparalela) e quatro am-perianas. Coloque as amperianas em ordem de acordo com o valor absoluto de r ? , comeando pelo maior.

c d

b

a

i i

i

A Fig. 29-16a mostra a seo reta de um cilindro longo con-dutor oco de raio interno a 5 2,0 cm e raio externo b 5 4,0 cm. O cilindro conduz uma corrente para fora do plano do papel, e o mdulo da densidade de corrente na seo reta dado por J 5 cr2, com c 5 3,0 3 106 A/m4 e r em metros. Qual o campo magntico em um ponto situado a 3,0 cm de distncia do eixo central do cilindro?

O ponto no qual queremos determinar o campo est na parte slida do cilindro, entre o raio in-terno e o raio externo. Observamos que a corrente tem simetria cilndrica ( igual em todos os pontos situados mesma distncia do eixo central). A simetria permite usar a lei de Ampre para determinar o campo no ponto. Para comear, traamos uma amperiana como a que aparece na Fig. 29-16b. A curva concntrica com o cilindro e tem um raio r 5 3,0 cm, porque estamos interessados em determi-nar o campo a essa distncia do eixo central do cilindro.

O passo seguinte calcular a corrente ienv que envol-vida pela amperiana. Entretanto, no podemos usar uma simples proporo, como fi zemos para chegar Eq. 29-19, j que dessa vez a distribuio de corrente no uniforme. Em vez disso, utilizando o mesmo mtodo do Exemplo 26-

Amperianar

a b

(a)

(b)

FIG. 29-16 (a) Seo reta de um cilindro longo condutor oco de raio interno a e raio externo b. (b) Uma amperiana de raio r usada para calcular o campo magntico em pontos situados a uma distncia r do eixo central.

2b, devemos integrar o mdulo da densidade de corrente entre o raio interno a do cilindro e o raio r da amperiana.

IDIAS-CHAVE

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29-5 | Solenides e Torides 245

29-5 | Solenides e Torides

Campo Magntico de um Solenide

Vamos agora voltar a ateno para outra situao na qual a lei de Ampre pode ser til. Trata-se do campo magntico produzido pela corrente em uma bobina helicoi-dal formada por espiras circulares muito prximas. Uma bobina desse tipo recebe o nome de solenide (Fig. 29-17). Vamos supor que o comprimento do solenide muito maior que o dimetro.

A Fig. 29-18 mostra um trecho de um solenide esticado. O campo magntico do solenide a soma vetorial dos campos produzidos pelas espiras. No caso de pon-tos muito prximos de uma espira o fio se comporta magneticamente quase como um fio retilneo, e as linhas de so quase crculos concntricos. Como mostra a Fig. 29-18, o campo tende a se cancelar entre espiras vizinhas. A figura tambm mostra que em pontos no interior do solenide e razoavelmente afastados do fio aproxima-damente paralelo ao eixo central. No caso-limite de um solenide ideal, que infinita-mente longo e formado por espiras muito juntas (espiras cerradas) de um fio de seo reta quadrada, o campo no interior do solenide uniforme e paralelo ao eixo central.

Em pontos acima do solenide, como o ponto P da Fig. 29-18, o campo magntico criado pelas partes superiores das espiras do solenide (representadas pelo smbolo () aponta para a esquerda (como nas proximidades do ponto P), e tende a cancelar o campo criado em P pelas partes inferiores dessas espiras (representadas pelo sm-bolo ^), que aponta para direita (e no est desenhado na figura). No caso-limite de um solenide ideal o campo magntico do lado de fora do solenide zero. Tomar o campo externo como sendo zero uma excelente aproximao de um solenide real se o comprimento do solenide for muito maior que o dimetro e se forem conside-rados apenas pontos como P, que no esto prximos das extremidades do solenide. A orientao do campo magntico no interior do solenide dada pela regra da mo direita: segure o solenide com a mo direita, com os dedos apontando no sentido da corrente; o polegar estendido mostra a orientao do campo magntico.

A Fig. 29-19 mostra as linhas de em um solenide real. O espaamento das linhas na regio central mostra que o campo no interior do solenide intenso e uniforme em toda a regio, enquanto o campo externo muito mais fraco.

Clculos: Escrevemos a integral na forma

O sentido a integrao indicado na Fig. 29-16b foi esco-lhido arbitrariamente como sendo o sentido horrio. Apli-cando amperiana a regra da mo direita descobrimos que precisamos somar a corrente ienv como sendo negativa, j que o sentido da corrente para fora do plano do papel, mas o polegar aponta para dentro do papel.

Em seguida, calculamos o lado esquerdo da lei de Am-pre exatamente como fizemos na Fig. 29-15 e obtemos no-vamente a Eq. 29-18. Assim, a lei de Ampre,

nos d

Explicitando B e substituindo os valores conhecidos, temos:

Assim, o campo magntico em um ponto situado a 3,0 cm do eixo central tem mdulo

e forma linhas de campo magntico com o sentido contr-rio ao da nossa direo de integrao, ou seja, com o sen-tido anti-horrio na Fig. 29-16b.

i

i

FIG. 29-17 Um solenide percor-rido por uma corrente i.

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Captulo 29 | Campos Magnticos Produzidos por Correntes246

Vamos agora aplicar a lei de Ampre,

ao solenide ideal da Fig. 29-20, onde uniforme do lado de dentro do solenide e zero do lado de fora, usando a amperiana retangular abcda. Escrevemos r ? como a soma de quatro integrais, uma para segmento da amperiana:

A primeira integral do lado direito da Eq. 29-22 Bh, onde B o mdulo do campo uniforme no interior do solenide e h o comprimento (arbitrrio) do seg-mento ab. A segunda e a quarta integrais so zero porque, para os elementos ds des-ses segmentos, perpendicular a ds ou zero e, portanto, o produto escalar ? zero. A terceira integral, que envolve um segmento do lado de fora do solenide, tambm zero porque B 5 0 em todos os pontos do lado de fora do solenide. As-sim, o valor de r ? para toda a amperiana Bh.

A corrente total ienv envolvida pela amperiana retangular da Fig. 29-20 no igual corrente i nas espiras do solenide porque as espiras passam mais de uma vez pela amperiana. Seja n o nmero de espiras por unidade de comprimento do so-lenide; nesse caso, a amperiana envolve nh espiras e, portanto,

De acordo com a lei de Ampre, temos:

Embora a Eq. 29-23 tenha sido demonstrada para um solenide ideal, constitui uma boa aproximao para solenides reais se for aplicada apenas a pontos inter-nos bem afastados das extremidades do solenide. A Eq. 29-23 est de acordo com as observaes experimentais de que o mdulo B do campo magntico no interior de um solenide no depende do dimetro nem do comprimento do solenide e

FIG. 29-18 Trecho de um solenide esticado visto de perfil. So mostradas as partes traseiras de cinco espiras e as linhas de campo magntico associadas. As linhas de campo magntico so circulares nas proximidades das espiras. Perto do eixo do solenide as linhas de campo se combinam para produzir um campo magntico paralelo ao eixo. As linhas de campo com pequeno espaamento indicam que o campo mag-ntico nessa regio intenso. Do lado de fora do solenide as linhas de campo so mais espaadas e o campo muito mais fraco.

FIG. 29-19 Linhas de campo magntico em um solenide real. O campo intenso e uniforme em pontos do interior do solenide, como P1, e muito mais fraco em pontos do lado de fora do solenide, como P2.

P P2

P1

a b

d c h

i

B

FIG. 29-20 Aplicao da lei de Ampre a um solenide ideal percor-rido por uma corrente i. A amperiana o retngulo abcda.

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29-6 | Uma Bobina Percorrida por Corrente como um Dipolo Magntico 247

uniforme ao longo da seo reta do solenide. Um solenide constitui, portanto, uma forma prtica de criar um campo magntico uniforme de valor conhecido para realizar experimentos, assim como um capacitor de placas paralelas constitui uma forma prtica de criar um campo eltrico uniforme de valor conhecido.

Campo Magntico de um Toride

A Fig. 29-21a mostra um toride, que pode ser descrito como um solenide ciln-drico que foi encurvado at as extremidades se tocarem, formando assim um anel. Qual o valor do campo magntico no interior de um toride? Podemos respon-der a essa pergunta usando a lei de Ampre e a simetria do toride.

Por simetria, as linhas de formam circunferncias concntricas no interior do toride, como mostra a Fig. 29-21b. Vamos escolher como amperiana uma circunfe-rncia concntrica de raio r e percorr-la no sentido horrio. De acordo com a lei de Ampre, temos:

onde i a corrente nas espiras do toride (e positiva para as espiras envolvidas pela amperiana) e N o nmero total de espiras. Assim, temos:

Isso mostra que, ao contrrio do que acontece no caso do solenide, B no cons-tante ao longo da seo reta do toride.

fcil mostrar, com o auxlio da lei de Ampre, que B 5 0 para pontos do lado de fora de um toride (como se o toride fosse fabricado a partir de um solenide ideal). O sentido do campo magntico no interior de um toride pode ser determi-nado atravs da regra da mo direita: segure o toride com a mo direita, com os dedos apontando no sentido da corrente; o polegar estendido mostra o sentido do campo magntico.

FIG. 29-21 (a) Um toride percor-rido por uma corrente i. (b) Seo reta horizontal do toride. O campo magntico no interior do toride pode ser calculado aplicando a lei de Ampre a uma amperiana como a mostrada na figura.

Amperiana

r

i

(b)

i

(a)

B

Exemplo 29-4

Clculo: Como B no depende do dimetro das espiras, o valor de n para cinco camadas de espiras simplesmente cinco vezes maior que o valor para uma camada. Assim, de acordo com a Eq. 29-23, temos:

Um solenide tem um comprimento L 5 1,23 m, um di-metro interno d 5 3,55 cm e conduz uma corrente i 5 5,57 A. formado por cinco camadas de espiras cerradas, cada uma com 850 espiras. Qual o valor de B no centro do solenide?

O mdulo B do campo magntico no eixo central do solenide est relacionado corrente i do so-lenide e ao nmero n de espiras por unidade de compri-mento atravs da Eq. 29-23 (B 5 m0in).

IDIA-CHAVE

29-6 | Uma Bobina Percorrida por Corrente como um Dipolo Magntico

At o momento examinamos os campos magnticos produzidos por correntes em um fio retilneo, em um solenide e em um toride. Vamos agora discutir o campo magntico produzido por uma corrente em uma bobina. Como vimos na Seo 28-10, uma bobina se comporta como um dipolo magntico no sentido de que, na

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Captulo 29 | Campos Magnticos Produzidos por Correntes248

presena de um campo magntico , experimenta um torque dado por

onde , o momento dipolar magntico da bobina, tem um mdulo dado por NiA, onde N o nmero de espiras, i a corrente e A a rea das espiras. (Ateno: No con-funda o momento magntico dipolar com a permeabilidade magntica do vcuo m0.)

Como vimos, o sentido de dado pela regra da mo direita: segure a bobina com a mo direita, com os dedos apontando no sentido da corrente; o polegar esten-dido mostra o sentido do momento dipolar magntico.

Campo Magntico de uma Bobina

Vamos agora examinar outro aspecto de uma bobina percorrida por corrente como um dipolo magntico: qual o campo magntico produzido pela bobina em um ponto do espao? A simetria no sufi ciente para que seja possvel usar a lei de Ampre; assim, temos que recorrer lei de Biot-Savart. Para simplifi car o problema vamos considerar uma bobina com uma nica espira circular e calcular o campo apenas em pontos situados sobre o eixo central, que tomaremos como sendo o eixo z. Vamos demonstrar que o mdulo do campo magntico nesses pontos dado por

onde R o raio da espira e z a distncia entre o ponto considerado e o centro da es-pira. O sentido do campo magntico o mesmo do momento magntico da bobina.

No caso de pontos muito distantes da bobina, z @ R e a Eq. 29-26 se reduz a

Lembrando que pR2 a rea A da bobina e generalizando o resultado para uma bo-bina de N espiras, podemos escrever essa equao na forma

Alm disso, como e so paralelos, podemos escrever a equao em forma veto-rial usando a identidade m 5 NiA:

Assim, podemos encarar uma bobina percorrida por corrente como um dipolo magntico sob dois aspectos: (1) a bobina experimenta um torque na presena de um campo magntico externo; (2) a bobina produz um campo magntico que dado, para pontos distantes sobre o eixo z, pela Eq. 29-27. A Fig. 29-22 mostra o campo magntico produzido por uma bobina percorrida por corrente; um lado da bobina se comporta como um plo norte (para onde aponta o momento magntico ) e o outro lado como um plo sul, como sugere o desenho de um m em forma de barra.

N

S

i

i

B

M

FIG. 29-22 Uma espira percorrida por corrente produz um campo mag-ntico semelhante ao de um m em forma de barra, com um plo norte e um plo sul. O momento dipolar magntico da espira, cujo sentido dado pela regra da mo direita, aponta do plo sul para o plo norte, ou seja, na mesma direo que o campo no interior da espira.

TESTE 3 A fi gura mostra quatro pares de espiras circulares de raio r ou 2r, com o centro em eixos verticais (perpendiculares ao plano das espiras) e percorridas por correntes de mesmo valor abso-luto, nos sentidos indicados. Coloque os pares na ordem do mdulo do campo magntico em um ponto sobre o eixo central a meio cami-nho entre os anis, comeando pelo maior.

(a) (b) (c) (d)

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29-6 | Uma Bobina Percorrida por Corrente como um Dipolo Magntico 249

Demonstrao da Equao 29-26

A Fig. 29-23 mostra uma vista de perfil de uma espira circular de raio R percorrida por uma corrente i. Considere um ponto P sobre o eixo central, situado a uma dis-tncia z do plano da espira. Vamos aplicar a lei de Biot-Savart a um elemento de comprimento ds situado na extremidade esquerda da espira. O vetor comprimento

associado a esse elemento aponta perpendicularmente para fora do plano do pa-pel. O ngulo u entre e r na Fig. 29-23 90; o plano formado pelos dois vetores perpendicular ao plano do papel e contm tanto r como . De acordo com a lei de Biot-Savart (e a regra da mo direita), o elemento de campo d produzido no ponto P pela corrente no elemento ds perpendicular a este plano e, portanto, paralelo ao plano do papel e perpendicular a r, como mostra a Fig. 29-23.

Vamos decompor d em duas componentes: dB||, paralela ao eixo da espira, e dB, perpendicular ao eixo. Por simetria, a soma vetorial das componentes perpen-diculares dB produzidas por todos os elementos ds da espira zero. Isso deixa ape-nas as componentes paralelas dB|| e, portanto,

Para o elemento da Fig. 29-23 a lei de Biot-Savart (Eq. 29-1) nos diz que o campo magntico a uma distncia r dado por

Temos tambm

Combinando as duas relaes, obtemos

A Fig. 29-23 mostra que existe uma relao entre r e a. Ambos podem ser expressos em termos da varivel z, a distncia entre o ponto P e o centro da espira. As relaes so as seguintes:

Substituindo as Eqs. 29-29 e 29-30 na Eq. 29-28, obtemos

Observe que i, R e z tm o mesmo valor para todos os elementos ds da espira; assim, quando integramos essa equao descobrimos que

ou, como e ds simplesmente a circunferncia 2pR da espira,

Esta a Eq. 29-26, a relao que queramos demonstrar.

A

z

P A

>dB

dB dB

R

ds

r

r

FIG. 29-23 Vista de perfil de uma espira circular de raio R. O plano da espira perpendicular ao papel, e apenas a metade mais distante da es-pira aparece na figura. A lei de Biot-Savart pode ser usada para calcular o campo magntico em um ponto P do eixo central da espira.

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Captulo 29 | Campos Magnticos Produzidos por Correntes250

REVISO E RESUMO

PERGUnTAS

Lei de Biot-Savart O campo magntico criado por um con-dutor percorrido por corrente pode ser calculado com o auxlio da lei de Biot-Savart. De acordo com esta lei, a contribuio d para o campo em um ponto P produzido por um elemento de cor-rente i situado a uma distncia r do ponto dada por

onde r o vetor unitrio que liga o elemento de corrente ao ponto P. A constante m0, conhecida como permeabilidade do v-cuo, tem o valor de 4p 3 1027 T ? m/A < 1,26 3 1026 T ? m/A.

Campo Magntico Produzido pela Corrente em um Fio Retilneo Longo No caso de um fio retilneo longo per-corrido por uma corrente i, a lei de Biot-Savart nos d, para o m-dulo do campo magntico a uma distncia perpendicular R do fio,

Campo Magntico de um Arco de Circunferncia O mdulo do campo magntico no centro de um arco de circunfe-rncia de raio R e ngulo central f (em radianos) percorrido por uma corrente i dado por

Fora entre Correntes Paralelas Fios paralelos percor-ridos por correntes no mesmo sentido se atraem e fios paralelos percorridos por correntes em sentidos opostos se repelem. O m-dulo da fora que age sobre um segmento de comprimento L de um dos fios dado por

onde d a distncia entre os fios e ia e ib so as correntes nos fios.

Lei de Ampre De acordo com a lei de Ampre,

A integral de linha que aparece nesta equao deve ser calcu-lada para uma curva fechada conhecida como amperiana. A cor-rente i a corrente total envolvida pela amperiana. No caso de algumas distribuies de corrente, a Eq. 29-14 mais fcil de usar que a Eq. 29-3 para calcular o campo magntico produzido por correntes.

Campos de um Solenide e de um Toride No interior de um solenide longo percorrido por uma corrente i, em pontos distantes das extremidades, o mdulo B do campo magntico dado por

onde n o nmero de espiras por unidade de comprimento. Em um ponto no interior de um toride o mdulo B do campo mag-ntico dado por

onde r a distncia entre o ponto e o centro do toride.

Campo de um Dipolo Magntico O campo magntico produzido por uma bobina percorrida por corrente, que se com-porta como um dipolo magntico, em um ponto P situado a uma distncia z ao longo do eixo central da bobina, paralelo ao eixo central e dado por

onde o momento dipolar da bobina. Esta equao vlida ape-nas para valores de z muito maiores que as dimenses da bobina.

1 A Fig. 29-24 mostra quatro arranjos nos quais fios paralelos longos conduzem correntes iguais para dentro ou para fora do papel nos vrtices de quadrados iguais. Coloque os arranjos na ordem do mdulo do campo magntico no centro do quadrado, comeando pelo maior.

(a) (b) (c) (d)

FIG. 29-24 Pergunta 1.

2 A Fig. 29-25 mostra sees retas de dois fios retilneos longos; a corrente do fio da esquerda, i1, para fora do papel. Para que o campo magntico total produzido pelas duas correntes seja zero no ponto P, (a) o sentido da corrente i2 do fio da direita deve ser

para dentro ou para fora do papel? (b) O valor absoluto da cor-rente i2 deve ser maior, menor ou igual ao valor absoluto de i1?

P i1 i2 FIG. 29-25 Pergunta 2.

3 A Fig. 29-26 mostra trs circuitos formados por segmentos re-tilneos e arcos de circunferncia concntricos (semicircunfern-cias ou quartos de circunferncia de raio r, 2r ou 3r). A corrente a mesma nos trs circuitos. Coloque os circuitos na ordem do m-dulo do campo magntico no centro dos arcos (indicado na figura por um ponto), comeando pelo maior.

(a) (b) (c)

FIG. 29-26 Pergunta 3.

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Perguntas 251

4 A Fig. 29-27 representa um instantneo dos vetores veloci-dade de quatro eltrons nas vizinhanas de um fio percorrido por uma corrente i. As quatro velocidades tm o mesmo mdulo, e a velocidade 2 aponta para dentro do papel. Os eltrons 1 e 2 es-to mesma distncia do fio, e o mesmo acontece com os eltrons 3 e 4. Coloque os eltrons na ordem do mdulo do campo mag-ntico a que esto sujeitos devido corrente i, comeando pelo maior.

i

v3v4

v1v2

FIG. 29-27 Pergunta 4.

5 A Fig. 29-28 mostra trs circuitos formados por dois segmen-tos radiais e dois arcos de circunferncia concntricos, um de raio r e o outro de raio R . r. A corrente a mesma nos dois circuitos e o ngulo entre os dois segmentos radiais o mesmo. Coloque os circuitos na ordem do mdulo do campo magntico no centro dos arcos (indicado na figura por um ponto), comeando pelo maior.

(a) (b) (c)

FIG. 29-28 Pergunta 5.

6 A Fig. 29-29 mostra quatro arranjos nos quais fios longos, pa-ralelos e igualmente espaados conduzem correntes iguais para dentro e para fora do papel. Coloque os arranjos na ordem do mdulo da fora a que est submetido o fio central, comeando pelo maior.

(a)

(b)

(c)

(d)

FIG. 29-29 Pergunta 6.

7 A Fig. 29-30 mostra trs arranjos de trs fios retilneos longos conduzindo correntes iguais para dentro e para fora do papel. (a) Coloque os arranjos na ordem do mdulo da fora magntica a que est submetido o fio A, comeando pelo maior. (b) No ar-ranjo 3, o ngulo entre a fora a que est submetido o fio A e a linha tracejada igual, maior ou menor que 45?

D d

(1)

D d

D d

(2)

(3)

A A

A

FIG. 29-30 Pergunta 7.

8 A Fig. 29-31 mostra quatro correntes iguais i e cinco ampe-rianas (a, b, c, d, e) envolvendo essas correntes. Coloque as am-perianas na ordem do valor de r ? ao longo das curvas nas direes indicadas, comeando pelo maior valor positivo.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

i

i i i

FIG. 29-31 Pergunta 8.

9 A Fig. 29-32 mostra quatro amperianas circulares (a, b, c, d) concntricas com um fio cuja corrente dirigida para fora do pa-pel. A corrente uniforme ao longo da seo reta do fio (regio sombreada). Coloque as amperianas na ordem do valor absoluto de r ? ao longo da curva, comeando pelo maior.

a

b

c

d

FIG. 29-32 Pergunta 9.

10 A Fig. 29-33 mostra, em funo da distncia radial r, o mdulo B do campo magntico do lado de dentro e do lado de fora de quatro fios (a, b, c, d), cada um dos quais conduz uma corrente uniformemente distribuda ao longo da seo reta. Os trechos em que os grficos correspondentes a dois fios se super-pem esto indicados por duas letras. Coloque os fios na ordem (a) do raio, (b) do mdulo do campo magntico na superfcie e (c) da corrente, comeando pelo maior valor. (d) O mdulo da densidade de corrente do fio a maior, menor ou igual ao do fio c?

029haly.indd 251 8/27/08 8:16:06 AM

Captulo 29 | Campos Magnticos Produzidos por Correntes252

B

r

a, b

c, d b, d

a, c

a

b c

FIG. 29-33 Pergunta 10.

11 A Fig. 29-34 mostra quatro amperianas circulares (a, b, c, d) e, em seo reta, quadro condutores circulares longos (re-gies sombreadas), todos concntricos. Trs dos condutores so cilindros ocos; o condutor central um cilindro macio. As cor-

rentes nos condutores so, do raio menor para o raio maior, 4 A para fora do papel, 9 A para dentro do papel, 5 A para fora do papel e 3 A para dentro do papel. Coloque as amperianas na ordem do mdulo de r ? ao longo da curva, comeando pelo maior.

a

b

c

d

FIG. 29-34 Pergunta 11.

seo 29-2 Clculo do Campo Magntico Produzido por uma Corrente1 Em um certo local das Filipinas o campo magntico da Terra tem um mdulo de 39 mT, horizontal e aponta exatamente para o norte. Suponha que o campo total zero, 8,0 cm acima de um fi o longo, retilneo, horizontal que conduz uma corrente cons-tante. Determine (a) o mdulo da corrente; (b) a orientao da corrente.

2 Um condutor retilneo percorrido por uma corrente i 5 5,0 A se divide em dois arcos semicirculares, como mostra a Fig. 29-35. Qual o campo magntico no centro C da espira circular re-sultante?

i i

C

FIG. 29-35 Problema 2.

3 Um topgrafo est usando uma bssola magntica 6,1 m abaixo de uma linha de transmisso que conduz uma corrente constante de 100 A. (a) Qual o campo magntico produzido pela linha de transmisso na posio da bssola? (b) Este campo tem uma in uncia signifi cativa na leitura da bssola? A compo-nente horizontal do campo magntico da Terra no local 20 mT.

4 A Fig. 29-36a mostra um elemento de comprimento ds 5 1,00 mm em um fi o retilneo muito longo percorrido por uma cor-rente. A corrente no elemento cria um campo magntico elemen-tar d no espao em volta. A Fig. 29-36b mostra o mdulo dB do campo para pontos situados a 2,5 cm de distncia do elemento em funo do ngulo u entre o fi o e uma reta que liga o elemento ao ponto. A escala vertical defi nida por dBs 5 60,0 pT. Qual o mdulo do campo magntico produzido pelo fi o inteiro em um ponto situado a 2,5 cm de distncia do fi o?

PROBLEMAS

O nmero de pontos indica o grau de di culdade do problema Informaes adicionais disponveis em O Circo Voador da Fsica, de Jearl Walker, Rio de Janeiro: LTC, 2008.

Fiods

Q

(a)

(b)

dBs

0

dB (

pT)

P P/2 Q (rad)

FIG. 29-36 Problema 4.

5 Na Fig. 29-37 dois arcos de circunferncia tm raios a 5 13,5 cm e b 5 10,7 cm, subtendem um ngulo u 5 74,0, conduzem uma corrente i 5 0,411 A e tm o mesmo centro de curvatura P. Determine (a) o mdulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora do papel) do campo magntico no ponto P.

P

i i Q

a

b

FIG. 29-37 Problema 5.

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Problemas 253

6 Na Fig. 29-38 dois arcos de circunferncia tm raios R2 5 7,80 cm e R1 5 3,15 cm, subtendem um ngulo u 5 180, condu-zem uma corrente i 5 0,281 A e tm o mesmo centro de curvatura C. Determine (a) o mdulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora do papel) do campo magntico no ponto C.

C

R1

R2 i i

FIG. 29-38 Problema 6.

7 Dois fios retilneos longos so paralelos e esto separados por uma distncia de 8,0 cm. As correntes nos fios so iguais e o campo magntico em um ponto situado exatamente entre os dois fios tem um mdulo de 300 mT. (a) As correntes tm o mesmo sentido ou sentidos opostos? (b) Qual o valor das correntes?

8 Na Fig. 29-39, um fio formado por uma semicircunferncia de raio R 5 9,26 cm e dois segmentos retilneos (radiais) de com-primento L 5 13,1 cm cada um. A corrente no fio i 5 34,8 mA. Determine (a) o mdulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora do papel) do campo magntico no centro de curvatura C da semi-circunferncia.

i

C

i

L L

R

FIG. 29-39 Problema 8.

9 Na Fig. 29-40 dois fios retilneos longos so perpendiculares ao plano do papel e esto separados por uma distncia d1 5 0,75 cm. O fio 1 conduz uma corrente de 6,5 A para dentro do papel. Determine (a) o mdulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora do papel) da corrente no fio 2 para que o campo magntico seja zero no ponto P, situado a uma distncia d2 5 1,50 cm do fio 2.

P

d1

d2

Fio 1

Fio 2

FIG. 29-40 Problema 9.

10 Na Fig. 29-41 dois fios retilneos longos, separados por uma distncia d 5 16,0 cm, conduzem correntes i1 5 3,61 mA e i2 5 3,00i1 dirigidas para fora do papel. (a) Em que ponto do eixo x o campo magntico total zero? (b) Se as duas correntes so mul-tiplicadas por dois, o ponto em que o campo magntico zero se aproxima do fio 1, se aproxima do fio 2 ou permanece onde est?

y

x i1 i2

d FIG. 29-41 Problema 10.

11 Na Fig. 29-42 uma corrente i 5 10 A circula em um condutor longo formado por dois trechos retilneos e uma semicircunfern-cia de raio R 5 5,0 mm e centro no ponto a. O ponto b fica a meio caminho entre os trechos retilneos e to afastado da semicircunfe-rncia que os dois trechos retos podem ser considerados fios infini-tos. Determine (a) o mdulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora do papel) do campo magntico no ponto a. Determine tam-bm (c) o mdulo e (d) o sentido do campo magntico no ponto b.

i R

b a FIG. 29-42 Problema 11.

12 Na Fig. 29-43 o ponto P est a uma distncia R 5 2,00 cm de um fio retilneo muito longo que conduz uma corrente. O campo magntico no ponto P a soma das contribuies de elementos de corrente i ao longo de todo o fio. Determine a distncia s entre o ponto P e o elemento (a) que mais contribui para o campo

; (b) responsvel por com 10% da maior contribuio.

Fio

R

P

s

FIG. 29-43 Problema 12.

13 A Fig. 29-44 mostra um prton que se move com veloci-dade 5 (2200 m/s)j em direo a um fio retilneo longo que conduz uma corrente i 5 350 mA. No instante mostrado a distn-cia entre o prton e o fio d 5 2,89 cm. Em termos dos vetores unitrios, qual a fora magntica a que o prton est submetido?

x

y

d v

i

FIG. 29-44 Problema 13.

14 A Fig. 29-45a mostra, em seo reta, dois fios longos e pa-ralelos percorridos por correntes e separados por uma distncia L. A razo i1/i2 entre as correntes 4,00; as direes das correntes no so conhecidas. A Fig. 29-45b mostra a componente By do campo magntico em funo da posio sobre o eixo x direita do fio 2. A escala vertical definida por Bys 5 4,0 nT e a escala horizontal por xs 5 20,0 cm. (a) Para que valor de x . 0 a componente By m-xima? (b) Se i2 5 3 mA, qual este valor mximo de By? Determine o sentido (para dentro ou para fora do papel) (c) de i1; (d) de i2.

x

y

1 2

L

(a) (b)

0

Bys

0

Bys

xs By (

nT

)

x (cm)

FIG. 29-45 Problema 14.

029haly.indd 253 8/27/08 8:16:11 AM

Captulo 29 | Campos Magnticos Produzidos por Correntes254

15 A Fig. 29-46 mostra um fio que conduz uma corrente i 5 3,00 A. Dois trechos retilneos semi-infinitos, ambos tangentes mesma circunferncia, so ligados por um arco de circunferncia que possui um ngulo central u e coincide com parte da circunfe-rncia. O arco e os dois trechos retilneos esto no mesmo plano. Se B 5 0 no centro da circunferncia, qual o valor de u?

i

R

i

Q

Arco de ligao FIG. 29-46 Problema 15.

16 A Fig. 29-47 mostra, em seo reta, quatro fios finos pa-ralelos, retilneos e muito compridos, que conduzem correntes iguais nos sentidos indicados. Inicialmente os quatro fios esto a uma distncia d 5 15,0 cm da origem do sistema de coordenadas, onde criam um campo magntico total . (a) Para que valor de x o fio 1 deve ser deslocado sobre o eixo x para que o campo sofra uma rotao de 30 no sentido anti-horrio? (b) Com o fio 1 na nova posio, para que valor de x o fio 3 deve ser deslocado sobre o eixo x para que o campo volte orientao inicial?

x

y

4

3

2

1 d

d d d

FIG. 29-47 Problema 16.

17 Na Fig. 29-48, o ponto P1 est a uma distncia R 5 13,1 cm do ponto mdio de um fio retilneo de comprimento L 5 18,0 cm que conduz uma corrente i 5 58,2 mA. (Observe que o fio no longo.) Qual o mdulo do campo magntico no ponto P1?

L

i R

P 2

R

P 1

FIG. 29-48 Problemas 17 e 21.

18 A Eq. 29-4 fornece o mdulo B do campo magntico criado por um fio retilneo infinitamente longo percorrido por uma corrente em um ponto P situado a uma distncia R do fio. Suponha que o ponto P esteja na verdade a uma distncia R do ponto mdio de um fio de comprimento finito L percorrido por uma corrente. Nesse caso, o uso da Eq. 29-4 para calcular B en-volve um certo erro percentual. Qual deve ser a razo L/R para que o erro percentual seja 1,00%? Em outras palavras, para que valor de L/R a igualdade satisfeita?

( da Eq. 29 - 4) ( real)

( real)(100%) 1,00%

B B

B

25

19 Na Fig. 29-49 quatro fios retilneos longos so perpendicu-lares ao papel, e suas sees retas formam um quadrado de lado a 5 20 cm. As correntes so para fora do papel nos fios 1 e 4 e para dentro do papel nos fios 2 e 3, e todos os fios conduzem uma corrente de 20 A. Em termos dos vetores unitrios, qual o campo magntico no centro do quadrado?

a x

a

y

a a

4 3

1 2

FIG. 29-49 Problemas 19, 36 e 39.

20 Na Fig. 29-50 duas espiras circulares concntricas, que conduzem correntes no mesmo sentido, esto no mesmo plano. A espira 1 tem 1,50 cm de raio e conduz uma corrente de 4,00 mA. A espira 2 tem 2,50 cm de raio e conduz uma corrente de 6,00 mA. O campo magntico no centro comum das duas espiras medido enquanto se faz girar a espira 2 em torno de um dimetro. Qual deve ser o ngulo de rotao da espira 2 para que o mdulo do campo seja 100 nT?

2 1

FIG. 29-50 Problema 20.

21 Na Fig. 29-48 o ponto P2 est a uma distncia R 5 25,1 cm da extremidade mais prxima de um fio retilneo de com-primento L 5 13,6 cm que conduz uma corrente i 5 0,693 A. (Observe que o fio no longo.) Qual o mdulo do campo mag-ntico no ponto P2?

22 Na Fig. 29-51a o fio 1 formado por um arco de circunfe-rncia e dois segmentos radiais e conduz uma corrente i1 5 0,50 A no sentido indicado. O fio 2, mostrado em seo reta, longo, re-tilneo e perpendicular ao plano do papel. A distncia entre o fio 2 e o centro do arco igual ao raio R do arco, e o fio conduz uma corrente i2 que pode ser ajustada. As duas correntes criam um campo magntico total no centro do arco. A Fig. 29-51b mos-tra o quadrado do mdulo do campo, B2, em funo do quadrado da corrente, i2

2 . A escala vertical definida por Bs2 5 10,0 3

10210 T2. Qual o ngulo subtendido pelo arco?

Bs2

1 0 i 2

2 (A2) 2

B2

(10

10 T

2 )

R

i1

i2

(a) (b)

FIG. 29-51 Problema 22.

029haly.indd 254 8/27/08 8:16:14 AM

Problemas 255

23 A Fig. 29-52 mostra dois fios. O fio de baixo conduz uma corrente i1 5 0,40 A e inclui um arco de circunferncia com 5,0 cm de raio e centro no ponto P, que subtende um ngulo de 180. O fio de cima conduz uma corrente i2 5 2i1 e inclui um arco de circunferncia com 4,0 cm de raio e centro tambm no ponto P, que subtende um ngulo de 120. Determine (a) o mdulo e (b) a orientao do campo magntico para os sentidos das correntes indicados na figura. Determine tambm (c) o mdulo e (d) a dire-o de se o sentido da corrente i1 for invertido.

Q

P

i1

i2

FIG. 29-52 Problema 23.

24 Uma corrente estabelecida em uma espira constituda por uma semicircunferncia de 4,00 cm de raio, uma semicircun-ferncia concntrica de raio menor e dois segmentos retilneos radiais, todos no mesmo plano. A Fig. 29-53a mostra o arranjo, mas no est desenhada em escala. O mdulo do campo magn-tico produzido no centro de curvatura 47,25 mT. Quando a se-micircunferncia menor sofre uma rotao de 180 (Fig. 29-53b) o mdulo do campo magntico produzido no centro de curvatura diminui para 15,75 mT e o sentido do campo se inverte. Qual o raio da semicircunferncia menor?

(a) (b)

FIG. 29-53 Problema 24.

25 Na Fig. 29-54 dois fios longos retilneos (mostrados em se-o reta) conduzem correntes i1 5 30,0 mA e i2 5 40,0 mA dirigi-das para fora do papel. Os fios esto mesma distncia da origem, onde criam um campo magntico . Qual deve ser o novo valor de i1 para que sofra uma rotao de 20,0 no sentido horrio?

x

y

i1

i2

FIG. 29-54 Problema 25.

26 A Fig. 29-55a mostra dois fios. O fio 1 formado por um arco de circunferncia de raio R e dois segmentos radiais e con-duz uma corrente i1 5 2,0 A no sentido indicado. O fio 2 longo e retilneo, conduz uma corrente i2 que pode ser ajustada e est a uma distncia R/2 do centro do arco. O campo magntico pro-duzido pelas duas correntes medido no centro de curvatura do

arco. A Fig. 29-55b mostra a componente de na direo perpen-dicular ao plano do papel em funo da corrente i2. A escala hori-zontal definida por i2s 5 1,00 A. Determine o ngulo subtendido pelo arco.

R

i1

i2

R __ 2

(a) (b)

0 i2s

B

i2 (A)

FIG. 29-55 Problema 26.

27 Um fio longo est sobre o eixo x e conduz uma corrente de 30 A no sentido positivo do eixo x. Um segundo fio longo perpendicular ao plano xy, passa pelo ponto (0; 4,0 m; 0) e conduz uma corrente de 40 A no sentido positivo do eixo z. Determine o mdulo do campo magntico produzido pelos fios no ponto (0; 2,0 m; 0).

28 Na Fig. 29-56, parte de um fio longo isolado que conduz uma corrente i 5 5,78 mA encurvada para formar uma espira circular de raio R 5 1,89 cm. Em termos dos vetores unitrios, determine o campo magntico C no centro da espira (a) se a es-pira est no plano do papel; (b) se a espira est perpendicular ao plano do papel, depois de sofrer uma rotao de 90 no sentido anti-horrio, como mostra a figura.

P

C i i

i

y

x

FIG. 29-56 Problema 28.

29 A Fig. 29-57 mostra, em seo reta, dois fios retilneos muito longos, ambos percorridos por uma corrente de 4,00 A orientada para fora do papel. A distncia entre os fios d1 5 6,00 m e a distncia entre o ponto P, eqidistante dos dois fios, e o ponto mdio do segmento de reta que liga os dois fios d2 5 4,00 m. Determine o mdulo do campo magntico total produzido no ponto P pelos dois fios.

d2 d1 P

FIG. 29-57 Problema 29.

029haly.indd 255 8/27/08 8:16:16 AM

Captulo 29 | Campos Magnticos Produzidos por Correntes256

30 A espira percorrida por corrente da Fig. 29-58a cons-tituda por uma semicircunferncia com 10,0 cm de raio, uma se-micircunferncia menor com o mesmo centro e dois segmentos radiais, todos no mesmo plano. A semicircunferncia menor sofre uma rotao de um ngulo u para fora do plano (Fig. 29-58b). A Fig. 29-58c mostra o mdulo do campo magntico no centro de curvatura em funo do ngulo u. A escala vertical definida por Ba 5 10,0 mT e Bb 5 12,0 mT. Qual o raio do semicrculo me-nor?

y

x

z y

x

z

Bb

Ba 0 /4 P (rad) Q

/2 P

B (

T)

M

(a)

(b)

(c)

FIG. 29-58 Problema 30.

31 A Fig. 29-59 mostra uma seo reta de uma fita longa e fina de largura w 5 4,91 cm que est conduzindo uma corrente uniformemente distribuda i 5 4,61 mA para dentro do papel. Em termos dos vetores unitrios, qual o campo magntico em um ponto P no plano da fita situado a uma distncia d 5 2,16 cm de uma das bordas? (Sugesto: Imagine a fita como um conjunto de fios paralelos.)

P

y

x

d w

FIG. 29-59 Problema 31.

32 A Fig. 29-60 mostra, em seo reta, dois fios retilneos longos apoiados na superfcie de cilindro de plstico de 20,0 cm de raio, paralelamente ao eixo do cilindro. O fio 1 conduz uma corrente i1 5 60,0 mA para fora do papel e mantido fixo no lu-gar, do lado esquerdo do cilindro. O fio 2 conduz uma corrente i2 5 40,0 mA para fora do papel e pode ser deslocado em torno do cilindro. Qual deve ser o ngulo (positivo) u2 do fio 2 para que, na origem, o mdulo do campo magntico total seja 80,0 nT?

y

x

Fio 1

Fio 2

2 Q

FIG. 29-60 Problema 32.

33 Na Fig. 29-61 a 5 4,7 cm e i 5 13 A. Determine (a) o mdulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora do papel) do campo magntico no ponto P. (Observe que no se trata de fios longos.)

P

i

2a

a a

a

FIG. 29-61 Problema 33.

34 Dois fios longos retilneos percorridos por corrente es-to apoiados na superfcie de um cilindro longo de plstico de raio R 5 20,0 cm, paralelamente ao eixo do cilindro. A Fig. 29-62a mostra, em seo reta, o cilindro e o fio 1, mas no o fio 2. Com o fio 2 mantido fixo no lugar o fio 1 deslocado sobre o cilindro, do ngulo u1 5 0 at o ngulo u1 5 180, passando pelo primeiro e segundo quadrantes do sistema de coordenadas xy. O campo magntico no centro do cilindro medido em funo de u1. A Fig. 29-62b mostra a componente Bx de em funo de u1 (a es-cala vertical definida por Bxs 5 6,0 mT), e a Fig. 29-62c mostra a componente By (a escala vertical definida por Bys 5 4,0 mT). (a) Qual o ngulo u2 que define a posio do fio 2? Determine (b) o valor e (c) o sentido (para dentro ou para fora do papel) da corrente no fio 1. Determine tambm (d) o valor e (e) o sentido da corrente no fio 2.

Bys

0

Bys 0n0n 90n 180n 90n 180n

Q1

By (

T)

M

Bx

( T

) M

Bxs

Q1

y

x

Fio 1Q

(a)

(c) (b)

1

FIG. 29-62 Problema 34.

seo 29-3 Foras entre Duas Correntes Paralelas35 A Fig. 29-63 mostra o fio 1 em seo reta; o fio retilneo e longo, conduz uma corrente de 4,00 mA para fora do papel e

029haly.indd 256 8/27/08 8:16:17 AM

Problemas 257

est a uma distncia d1 5 2,40 cm de uma superfcie. O fio 2, que paralelo ao fio 1 e tambm longo, est sobre a superfcie a uma distncia horizontal d2 5 5,00 cm do fio 1 e conduz uma cor-rente de 6,80 mA para dentro do papel. Qual a componente x da fora magntica por unidade de comprimento que age sobre o fio 2?

y

x

d2

d1 1

2

FIG. 29-63 Problema 35.

36 Na Fig. 29-49 quatro fios retilneos longos so perpendicu-lares ao papel, e suas sees retas formam um quadrado de lado a 5 8,50 cm. Todos os fios conduzem correntes de 15,0 A para fora do papel. Em termos dos vetores unitrios, qual a fora magntica por metro de fio que age sobre o fio 1?

37 Na Fig. 29-64 cinco fios paralelos longos no plano xy esto separados por uma distncia d 5 50,0 cm. As correntes para den-tro do papel so i1 5 2,00 A, i3 5 0,250 A, i4 5 4,00 A e i5 5 2,00 A; a corrente para fora do papel i2 5 4,00 A. Qual o mdulo da fora por unidade de comprimento que age sobre o fio 3?

y

z

1 2 3 4 5

d d d d

FIG. 29-64 Problemas 37 e 38.

38 Na Fig. 29-64 cinco fios paralelos longos no plano xy esto separados por uma distncia d 5 8,00 cm, tm 10,0 m de compri-mento e conduzem correntes iguais de 3,00 A para fora do papel. Em termos dos vetores unitrios, determine a fora (a) sobre o fio 1; (b) sobre o fio 2; (c) sobre o fio 3; (d) sobre o fio 4; (e) sobre o fio 5.

39 Na Fig. 29-49 quatro fios retilneos longos so perpendicu-lares ao papel, e suas sees retas formam um quadrado de lado a 5 13,5 cm. Todos os fios conduzem correntes de 7,50 A, e as cor-rentes so para fora do papel nos fios 1 e 4 e para dentro do pa-pel nos fios 2 e 3. Em termos dos vetores unitrios, qual a fora magntica por metro de fio que age sobre o fio 4?

40 A Fig. 29-65a mostra, em seo reta, trs fios percorridos por corrente que so longos, retilneos e paralelos. Os fios 1 e 2 so mantidos fixos sobre o eixo x, separados por uma distncia d. O fio 1 conduz uma corrente de 0,750 A, mas o sentido da cor-rente desconhecido. O fio 3, com uma corrente de 0,250 para fora do papel, pode ser deslocado ao longo do eixo x, o que mo-difica a fora a que est sujeito o fio 2. A componente y dessa fora F2y e o valor por unidade de comprimento do fio 2 F2y/L2. A Fig. 29-65b mostra o valor de F2y/L2 em funo da coorde-nada x do fio 3. O grfico possui uma assntota F2y/L2 5 20,627 mN/m para x : `. A escala horizontal definida por xs 5 12,0 cm. Determine (a) o valor e (b) o sentido (para dentro ou para fora do papel) da corrente no fio 2.

y

x 1 2 3

d

x (cm)

xs 0

0,5

0

0,5

1,0

F 2y/

L2

( N

/m)

M

(a) (b)

FIG. 29-65 Problema 40.

41 Na Fig. 29-66 um fio retilneo longo conduz uma corrente i1 5 30,0 A e uma espira retangular conduz uma corrente i2 5 20,0 A. Suponha que a 5 1,00 cm, b 5 8,00 cm e L 5 30,0 cm. Em ter-mos dos vetores unitrios, qual a fora a que est submetida a espira?

L

b

i1

i2

a

y

x

FIG. 29-66 Problema 41.

seo 29-4 Lei de Ampre42 A Fig. 29-67 mostra duas curvas fechadas que envolvem duas espiras que conduzem correntes i1 5 5,0 A e i2 5 3,0 A. Determine o valor da integral r ? (a) para a curva 1; (b) para a curva 2.

i1 i2

1

2 FIG. 29-67 Problema 42.

43 Os oito fios da Fig. 29-68 conduzem correntes iguais de 2,0 A para dentro ou para fora do papel. Duas curvas esto indicadas para a integral de linha r ? . Determine o valor da integral (a) para a curva 1; (b) para a curva 2.

1 2

FIG. 29-68 Problema 43.

44 Oito fios so perpendiculares ao plano do papel nos pontos indicados na Fig. 29-69. O fio k (k 5 1, 2,, 8) conduz uma cor-rente ki, onde i 5 4,50 mA. Para os fios com k mpar, a corrente para fora do papel; para os fios com k par, a corrente para dentro do papel. Determine o valor de r ? ao longo da curva fechada mostrada na figura, no sentido indicado.

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Captulo 29 | Campos Magnticos Produzidos por Correntes258

1

2

3 4

5

6

7

8

FIG. 29-69 Problema 44.

45 A Fig. 29-70 mostra uma seo reta de um fio cilndrico longo de raio a 5 2,00 cm que conduz uma corrente uniforme de 170 A. Determine o mdulo do campo magntico produzido pela corrente a uma distncia do eixo do fio igual a (a) 0; (b) 1,00 cm; (c) 2,00 cm (superfcie do fio); (d) 4,00 cm.

a r

FIG. 29-70 Problema 45.

46 Em uma certa regio existe uma densidade de corrente uniforme de 15 A/m2 no sentido positivo do eixo z. Determine o valor de r ? quando a integral de linha calculada ao longo de trs segmentos de reta, de (4d, 0, 0) para (4d, 3d, 0), de (4d, 3d, 0) para (0, 0, 0) e de (0, 0, 0) para (4d, 0, 0), com d 5 20 cm.

47 A densidade de corrente no interior de um fio cilndrico longo de raio a 5 3,1 mm paralela ao eixo central, e seu mdulo varia linearmente com a distncia radial r de acordo com a equa-o J 5 J0r/a, onde J0 5 310 A/m2. Determine o mdulo do campo magntico (a) para r 5 0; (b) para r 5 a/2; (c) para r 5 a.

48 Na Fig. 29-71 um cano circular longo de raio externo R 5 2,6 cm conduz uma corrente (uniformemente distribuda) i 5 8,00 mA para dentro do papel, e seu eixo est a uma distncia de 3,00R de um fio paralelo ao cano. Determine (a) o valor e (b) o sentido (para dentro ou para fora do papel) da corrente no fio para que o campo magntico no ponto P tenha o mesmo mdulo que o campo magntico no eixo do cano e o sentido oposto.

R

R

R

Fio

Cano

P

FIG. 29-71 Problema 48.

seo 29-5 Solenides e Torides49 Um solenide de 200 espiras com 25 cm de comprimento e 10 cm de dimetro conduz uma corrente de 0,29 A. Calcule o m-dulo do campo magntico no interior do solenide.

50 Um solenide com 1,30 m de comprimento e 2,60 cm de dimetro conduz uma corrente de 18,0 A. O campo magntico no interior do solenide 23,0 mT. Determine o comprimento do fio de que feito o solenide.

51 Um toride de seo reta quadrada, com 5,00 cm de lado e um raio interno de 15,0 cm, tem 500 espiras e conduz uma corrente de 0,800 A. (Ele feito a partir de um solenide quadrado, em vez de redondo, como o da Fig. 29-17.) Determine o campo magntico no interior do toride (a) a uma distncia do centro igual ao raio interno; (b) a uma distncia do centro igual ao raio externo.

52 Um solenide com 95,0 cm de comprimento tem um raio de 2,00 cm e uma bobina com 1200 espiras; a corrente 3,60 A. Calcule o mdulo do campo magntico no interior do solenide.

53 Um solenide longo com 10,0 espiras/cm e um raio de 7,00 cm conduz uma corrente de 20,0 mA. Um condutor retilneo situado no eixo central do solenide conduz uma corrente de 6,00 A. (a) A que distncia do eixo do solenide a direo do campo magntico resultante faz um ngulo de 45 com a direo do eixo? (b) Qual o mdulo do campo magntico a essa distncia do eixo?

54 Um eltron introduzido em uma das extremidades de um solenide. Ao penetrar no campo magntico uniforme que existe no interior do solenide a velocidade do eltron 800 m/s e o vetor velocidade faz um ngulo de 30 com o eixo central do solenide. O solenide tem 8000 espiras e conduz uma corrente de 4,0 A. Quantas revolues o eltron descreve no interior do solenide antes de chegar outra extremidade? (Em um sole-nide real, no qual o campo no uniforme perto das extremi-dades, o nmero de revolues ligeiramente menor que o valor calculado neste problema.)

55 Um solenide longo tem 100 espiras/cm e conduz uma corrente i. Um eltron se move no interior do solenide em uma circunferncia de 2,30 cm de raio perpendicular ao eixo do sole-nide. A velocidade do eltron 0,0460c (c 5 velocidade da luz). Determine a corrente i no solenide.

seo 29-6 Uma Bobina Percorrida por Corrente como um Dipolo Magntico56 A Fig. 29-72a mostra um fio que conduz uma corrente i e forma uma bobina circular com apenas uma espira. Na Fig. 29-72b um fio de mesmo comprimento forma uma bobina circular com duas espiras de raio igual metade do raio da espira da Fig. 29-72a. (a) Se Ba e Bb so os mdulos dos campos magnticos nos centros das duas bobinas, qual o valor da razo Bb/Ba? (b) Qual o valor da razo mb/ma entre os momentos dipolares das duas bobinas?

(a) (b)

i i

FIG. 29-72 Problema 56.

57 Qual o mdulo do momento dipolar magntico do so-lenide descrito no Problema 49?

58 A Fig. 29-73 mostra um dispositivo conhecido como bo-bina de Helmholtz, formado por duas bobinas circulares coa-

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Problemas 259

xiais de raio R 5 25,0 cm, com 200 espiras, separadas por uma distncia s 5 R. As duas bobinas conduzem correntes iguais i 5 12,2 mA no mesmo sentido. Determine o mdulo do campo magntico no ponto P, situado sobre o eixo das bobinas, a meio caminho entre elas.

x

y

P

s

R

i i

FIG. 29-73 Problemas 58 e 86.

59 Um estudante fabrica um pequeno eletrom enrolando 300 espiras de fio em um cilindro de madeira com um dimetro d 5 5,0 cm. A bobina ligada a uma bateria que produz uma cor-rente de 4,0 A no fio. (a) Qual o mdulo do momento dipolar magntico do eletrom? (b) A que distncia axial z @ d o campo magntico do eletrom tem um mdulo de 5,0 mT (aproximada-mente um dcimo do campo magntico da Terra)?

60 Na Fig. 29-74 uma corrente i 5 56,2 mA circula em uma espira formada por dois segmentos radiais e duas semicircunfe-rncias de raios a 5 5,72 cm e b 5 9,36 cm com um centro comum P. Determine (a) o mdulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora da pgina) do campo magntico no ponto P e (c) o mdulo e (d) o sentido do momento magntico da espira.

b

a P

i

FIG. 29-74 Problema 60.

61 Na Fig. 29-75 um fio conduz uma corrente de 6,0 A ao longo do circuito fechado abcdefgha, que percorre 8 das 12 ares-tas de um cubo com 10 cm de aresta. (a) Considerando o circuito uma combinao de trs espiras quadradas (bcfgb, abgha e cdefc), determine o momento magntico total do circuito em termos dos vetores unitrios. (b) Determine o mdulo do campo magntico total no ponto de coordenadas (0; 5,0 m; 0).

x

z

y

e

d

a

b

h

c

g

f

FIG. 29-75 Problema 61.

62 Na Fig. 29-76a duas espiras circulares, com diferentes cor-rentes mas o mesmo raio de 4,0 cm, tm os centros sobre o eixo y. Esto separadas inicialmente por uma distncia L 5 3,0 cm, com a espira 2 posicionada na origem do eixo. As correntes nas duas espiras produzem um campo magntico na origem cuja compo-nente y By. Essa componente medida enquanto a espira 2 deslocada no sentido positivo do eixo y. A Fig. 29-76b mostra o valor de By em funo da coordenada y da espira 2. A curva tem uma assntota By 5 7,20 mT para y : `. A escala horizontal definida por ys 5 10,0 cm. Determine (a) a corrente i1 na espira 1; (b) a corrente i2 na espira 2.

2

1

y

0 L

(a) (b)

20

0

40

0 ys

By (

T)

M

y (cm)

FIG. 29-76 Problema 62.

63 Uma espira circular com 12 cm de raio conduz uma cor-rente de 15 A. Uma bobina plana com 0,82 cm de raio e 50 es-piras, conduzindo uma corrente de 1,3 A, concntrica com a espira. O plano da espira perpendicular ao plano da bobina. Suponha que o campo magntico da espira uniforme na re-gio em que se encontra a bobina. Determine (a) o mdulo do campo magntico prod