capítulo 14 fluidos professor: alessandre sampaio movimento, conservação e variação 1

Capítulo 14FluidosProfessor: Alessandre SampaioMovimento, Conservação e Variação

1

14.1 – O QUE É UM FLUIDO

2

Fluidos compreendem líquidos e gases. Os líquidos escoam sob a ação da gravidade até preencherem as regiões mais baixas possíveis dos recipientes que os contém. Os gases se expandem até ocuparem todo o volume do recipiente, qualquer que seja a sua forma.

Obs.: Na Mecânica dos Fluidos estudamos o movimento do conjunto de partículas e não o de cada partícula, como na Mecânica Newtoniana.

14.2 – MASSA ESPECÍFICA

3

Define-se massa específica ρ de um material como a relação entre a sua massa e o seu volume. De maneira formal, analisamos apenas uma pequena porção do material de massa Δm e volume ΔV e definimos a sua densidade como:

m = Variação de massaV = Variação de volumeρ = Massa específica

mV

Obs.: Se este material tiver uma distribuição uniforme de massa, chamamos sua massa específica de densidade e ela será a mesma em todas as suas partes. Nesse caso teremos ρ = m/V

14.2 – MASSA ESPECÍFICA

4

14.3 – PRESSÃO

5

A pressão mede a relação entre a força aplicada a uma superfície e o tamanho da superfície considerada. Pressão de uma força F sobre uma área A é a relação entre o módulo de F e o valor da área A.

Obs.: O ar, assim como toda substância próxima à Terra, é atraído por ela, ou seja, o ar tem peso. Consequentemente, a camada atmosférica que envolve a Terra exerce pressão sobre os corpos nela imersos. Essa pressão é denominada pressão atmosférica.

dFp

dA

dF = variação infinitesimal de forçadA = variação infinitesimal de áreap = pressãoA unidade no SI de pressão é o Pa:

1 Pa = 1 N/m2

1 atm = 1,01 × 105 Pa = 760 torr = 14,7 lb/in2

Fp

A P/ forças uniformes.

14.3 – PRESSÃO

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14.3 – PRESSÃO

7

1 – Encontre o aumento de pressão de um fluido em uma seringa quando uma enfermeira aplica uma força de 42 N ao êmbolo da seringa que tem raio de 1,1 cm.

Solução:

Pela definição de pressão temos:

Exemplo 1:

Dados:F = 42 Nr = 1,1 cm = 0,011 m

2.F F

pA r

Substituindo:

22

42110.487,7

.(0,011)p N m

p ≈ 1,08 atm

14.4 – VARIAÇÃO DE PRESSÃO COM A PROFUNDIDADE EM FLUIDO EM REPOUSO

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Consideremos o recipiente com água da figura e uma porção imaginária deste líquido em repouso a uma profundidade h. Fazemos o diagrama do corpo livre de mensuramos as forças externas que atuam nessa porção:

P0 e P = PressãoA = Áreaρ = Massa específicah = Profundidadeg = Gravidade

0P P gh

A pressão a uma profundidade h abaixo da superfície de um líquido aberto para atmosfera é maior que a pressão atmosferica por um montante ρgh.


9

Podemos perceber que não temos componente x na somatória das forças, ou seja, a pressão não varia horizontalmente, variando somente na vertical (com a profundidade).

Portanto, os pontos A, B, C e D, que estão a mesma profundidade, estão sujeitos a mesma pressão.

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2 – Um mergulhador novato, praticando em uma piscina, inspira ar suficiente do tanque para expandir totalmente os pulmões antes de abandonar o tanque a uma profundidade L e nadar para superfície. Ele ignora as instruções e não exala o ar durante a subida. Ao chegar à superfície, a diferença entre a pressão externa a que esta submetido e a pressão do ar em seus pulmões é 9,3 kPa. De que profundidade partiu o mergulhador? Que risco possivelmente fatal está correndo?

Exemplo 2:

Solução:

Dados:Δp = p - p0 = 9,3 kPa = 9300 Paρagua = 998 kg/m3 g = 9,8 m/s2

Sabemos que para um fluido estático:

0P P gh

0P P gLp gL

pL

g


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Exemplo 2:Solução:

Substituindo:

pL

g

9300

0,95998 9,8

m

Trata-se de uma profundidade muito pequena, mesmo assim a diferença de pressão é de 9,3 kPa (aproximadamente 9% da pressão atmosférica). Essa pressão é suficiente para romper os pulmões do mergulhador e forçar a passagem de ar dos pulmões para corrente sanguínea, que transporta o ar para o coração, matando o mergulhador. Se ele seguir as instruções e exalar o ar gradualmente enquanto sobe, permitirá que a pressão nos pulmões se torne igual a pressão externa, eliminando o perigo.


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3 – O tubo em forma de U da figura contém dois líquidos em equilíbrio estático: no lado direito existe água de ρa = 998 kg/m3, e no lado esquerdo existe óleo de massa específica desconhecida ρx. Os valores das distâncias indicadas na figura são l = 135 mm e d = 12,3 mm. Qual a massa específica do óleo?

Exemplo 3:

Solução:

Dados:ρagua = 998 kg/m3 g = 9,8 m/s2

l = 135 mmd = 12,3 mm

Sabemos que para fluidos em equilíbrio estático as pressões em pontos de mesmo nível na vertical, tem mesmo valor, portanto na interface tanto para a água quanto para o óleo a pressão é mesma.


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Solução:

Dados:ρagua = 998 kg/m3 g = 9,8 m/s2

l = 135 mmd = 12,3 mm

Desta forma, definiremos expressões para pressão no lado direito e no lado esquerdo:Lado direito (água):

int 0 .ap p g Lado esquerdo (óleo):

int 0 .( )xp p g d Igualando as duas expressões e isolando ρx:

0 0. .( )a xp g p g d

x a d

3 135

(998 )135 12,3

mmkg m

mm mm

3915x kg m


14.5 – PRINCÍPIO DE PASCAL

14

Compreendendo como funciona a variação de pressão em um fluido estático. Blaise Pascal (1623 – 1662) enunciou o principio que leva seu nome:

extP P

“Uma variação de pressão aplicada em um fluido incompressível contido em um recipiente é transmitida integralmente a todas as partes do fluido e às paredes do recipiente.”


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Uma aplicação importante do principio de Pascal é o macaco hidráulico, onde relacionamos a aplicação de uma força externa de entrada F1 e uma força de saída F2, como mostra a figura.

Da definição de pressão:

1

1

Fp

A

Pelo princípio de Pascal as variações de pressão em um fluido estático são as mesmas

22 1

1

.A

F FA

1 2

1 2

F Fp

A A

Essa equação mostra que a força F2 é maior que F1 se a A2 for maior que A1. Serão iguais se A1 for igual a A2.


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Outro detalhe importante é o fato dos volumes deslocados de líquido pelos êmbolos serem os mesmos, assim:

1 1 2 2. .V A d A d

Portanto, se A2 > A1, o êmbolo de saída percorre uma distância menor que o êmbolo de entrada.

12 1

2

.A

d dA

Com o macaco hidráulico, uma certa força aplicada ao longo de uma dada distância pode ser transformada em uma força maior aplicada ao longo de uma distância menor.

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4 – Um elevador de carro é usado comprimindo o ar gerando uma força em um pequeno pistão com área de seção circular de raio 5 cm. Esta pressão é transmitida por um líquido para um outro pistão de com um raio de 15 cm. Que força o ar comprimido tem que ter para elevar um carro de 13.300 N? Qual a pressão produzida por esse ar?

Exemplo 4:

Solução:

Dados:r1 = 5 cm = 5 × 10-2 m r2 = 15 cm = 15 × 10-2 m

Pelo princípio de Pascal, a pressão transmitida pelo ar comprimido é repassada para todo líquido, temos:


A pressão do ar comprimido:

14.6 – PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES

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“Todo corpo total ou parcialmente imerso em um fluido, recebe deste um empuxo vertical dirigido para cima, de módulo igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo..”

.E ffF P m g

FE = empuxoρf= densidade do líquido.g = gravidade.Vf = volume de fluido deslocado.mf =massa de fluido deslocado.

. .E ffF V g

Obs: O volume submerso do corpo é igual ao volume de líquido deslocado (Vcs = Vf).


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( ) . .

. . . ( ) .

. ( ) .

y E f

y f c f c

f c

F F P V g mg m a

F V g V g V g m a

V g m a

Caso 1 – Objeto totalmente submerso: Quando um corpo está totalmente submerso em fluido de densidade ρf, o empuxo é dado por: . Tendo o objeto uma massa m e peso Pc, fazendo o diagrama do corpo livre:

( )f c

c

ga

y

x(a) Se ρf > ρc , FE > P e a aceleração terá o sentido positivo do eixo y (a > 0) “o corpo sobe”.(b) Se ρf < ρc , FE < P e a aceleração terá o sentido negativo do eixo y (a < 0) “ o corpo desce”.


20

. .E ffF P P m g m g

( ) . . . 0

. . . .

y E ff

E

ff c

fc

f

F F P V g m g

F PV g V g

VV

Caso 2 – Objeto Flutuando: Quando um corpo flutua em um fluido, o módulo FE da força de empuxo que age sobre o corpo é igual ao módulo da força gravitacional a que o corpo está submetido (FE = Pf = Pc)

Um corpo que flutua desloca um peso de fluido igual ao seu próprio peso.

y

x

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5 – Uma iceberg flutuando no mar é extremamente perigoso devido grande parte do gelo estar abaixo da superfície do mar. Sabendo que a densidade do mar é de 1030 kg/m3 e do iceberg de 917 kg/m3, Qual a fração de gelo que está abaixo do nível da água?

Exemplo 5:


Solução:

Dados:ρmar = 1030 kg/m3 ρgelo = 917 kg/m3

Este problema corresponde ao caso 2 de flutuação, ou seja, o peso do iceberg é igual a força de empuxo para cima, valendo a relação demonstrada entre volumes e densidades.

fc

f

VV

Onde essa razão corresponde a fração percentual de quanto o objeto está submerso. Logo:

9170,89 89%

1030c

f

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5 – Eureka!!!. Arquimedes supostamente foi solicitado a determinar se uma coroa para o rei consistiu em ouro puro. Diz a lenda que ele resolveu este problema com a análise do peso da primeira coroa no ar e, em seguida, em água, como mostrado na Figura. Suponha que a escala de leitura seja de 7,84 N no ar e de 6,86 N em água. O que deve ter dito Arquimedes ao rei?

Exemplo 5:


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Exemplo 5:Solução: Dados:

Par = 7,84 N Pagua = 6,86 N

Quando a coroa é suspensa no ar, a escala lê o peso real T1 = Fg (desprezando o empuxo do ar). Quando se está imersa em água, a força de empuxo FE reduz a escala de leitura a um peso aparente de T2 = Fg - FE. Assim, a força de empuxo exercida sobre a coroa é a diferença entre o seu peso no ar e seu peso em água:

2 7,84 6,86 0,98E gF F T N

Devido a força de empuxo ser igual em magnitude ao peso da água deslocada, temos que a , onde que Va é o volume da água deslocada e ρa é a sua densidade. Além disso, o volume da coroa Vc é igual ao volume da água deslocada porque a coroa está completamente submersa. Assim:

4 30,98 0,981 10

. 9,8.1000C aa

V V mg


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Exemplo 5:Solução: Dados:

Par = 7,84 N Pagua = 6,86 N

Assim a densidade da coroa:

Pela tabela, podemos ver que a densidade do ouro (gold) é 19,3 x 103 kg/m3. Assim, Arquimedes deveria ter dito ao rei que ele tinha sido enganado. Tanto a coroa era oca, como não foi feita de ouro puro.


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14.7 – FLUIDOS IDEAIS EM MOVIMENTO

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Fluidos ideais compreendem líquidos e gases de escoamento estacionário, incompressíveis, irrotacionais e não viscosos. Restringiremos nossos estudos de movimento apenas a fluidos ideais.

Para analisar de forma mais precisa o movimento de um fluido, introduzimos o conceito de linhas de correntes. Uma linha de corrente é a trajetória de um elemento de volume do fluido. Em um escoamento podemos isolar tubos de corrente, cujos limites são definidos por linhas de corrente. Tal tubo funciona como um cano, porque nenhuma partícula escapa através de suas paredes - pois justamente essas paredes definem as linhas de corrente.

14.7 – EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE

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A equação da continuidade propões uma expressão que relaciona a velocidade de escoamento de um fluido v com a área da seção reta A. Para isso consideraremos um tubo de seção reta variável com o escoamento para direita como mostra a figura.


31

Como estamos analisando um fluido incompressível (de densidade uniforme) o volume ΔV injetado a esquerda em um intervalo de tempo Δt será o mesmo projetado a direita, sendo:

1 1 2 2. .V A x A x

Pela definição elementar de velocidade:

.x

v x v tt

Substituindo:

1 1 2 2. . . .V A v t A v t

1 1 2 2. .A v A v

Desta forma entendemos que a velocidade de escoamento aumenta a medida que diminuímos a área da seção reta para o escoamento.

A = área da seçãov = velocidadeR = vazão (m3/s)

.R A v

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7 – A figura abaixo ilustra um jato de água que sai de uma torneira e fica mais “estreito” a medida que cai. A área da seção reta A0 é 1,2 cm2 e a de A é de 0,35 cm2. A distância vertical h entre os dois níveis é de 45 mm. Qual a vazão da água?

Exemplo 7:

Solução:

Dados:A0 = 1,2 cm2 A = 0,35 cm2

h = 45 mm = 0,045 m

Pela equação da continuidade, temos:

0 0. .A v A vComo cada elemento de água está em queda livre sob a ação da gravidade g:

2 20 2. .v v g h

Combinando as duas equações e explicitando v0:

220 0 0 0

0

. .2

A v A vv v gh

A A


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Exemplo 7:Solução: Dados:A0 = 1,2 cm2 A = 0,35 cm2

h = 45 mm = 0,045 m

Assim, a vazão:

220 0 0 0

0

. .2

A v A vv v gh

A A

2 2

0 2 2 2 20

0

2 2 9,8 0,045 0,351,2 0,35

0,286 28,6

ghAv

A A

v m s cm s

30 0. 1,2 28,6 34R A v cm s


14.8 – EQUAÇÃO DE BERNOULLI

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A equação de Bernoulli relaciona a variação de pressão, a variação de altura e a variação de velocidade em um fluido incompressível num escoamento estacionário. Ela é obtida como uma consequência da conservação da energia.

Considerando que uma força F1 que realiza um trabalho W1 na seção reta A1 desloca no tempo t um volume V. Temos:

11 1 1 1 1 1 1 1

1

. . .F

p F p A W p A xA

Como temos uma diferença de nível na seção 2 ( Δy) o fluido vai se opor ao deslocamento Δx2, realizando um trabalho negativo. Assim:

2 2 2 2. .W p A x Substituindo o produto pelo volume:

.A x V 1 1.W p V 2 2.W p V


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É fácil notar que não estamos trabalhando somente com forças conservativas, temos a força externa F1 e a força de oposição F2 do fluido, sabemos que nesses casos temos:

1 2

diss

diss

W E K UW W W

Considerando as definições das variações de K e de U, temos:

Dividindo todos os termos por V (sabendo que ρ = m/V) e rearranjando a expressão:

1 2

2 21 2 2 1 2 1

1 1. .

2 2

p V p V K U

p V p V m v m v mgy mgy

2 2

2 12 11 2

1 1. .

2 2m v m v

mgy mgyp V p VV V V


36

Separando os termos de índice 1 e 2:

2 21 2 2 1 2 1

1 1. .

2 2p p v v gy gy

2 21 1 1 2 2 2

1 1. .

2 2p v gy p v gy

21. constante

2p v gy

Equação de Bernoulli


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Tubo de Venturi: O tubo de Venturi é usado para medir a velocidade do fluxo de um fluido incompressível, quando conhecemos a diferença de pressão P1 – P2.

Aplicações:

Queremos determinar a velocidade no ponto 2, usando a equação da continuidade e a equação de Bernoulli, temos:

2 21 1 1 2 2 2

1 1. .

2 2p v gy p v gy

Como y1 = y2:

2 2 21 1 2 2 1 2

1

2

2 221 2 2 2

1

1 1. . .

2 2

1 1. .

2 2

Ap v p v v v

A

Ap v p v

A

1 2

2 1 2 21 2

2( )( )

P Pv A

A A


38

Lei de Torricelli: A lei de Torricelli visa determinar a velocidade com um fluido sai na horizontal da lateral de um recipiente em relação a uma profundidade h.

Aplicações:

Como A2 >> A1, consideramos que no ponto 2 o fluido está em repouso. Aplicando a equação de Bernoulli para os pontos 1 e 2, sendo y2 – y1 = h:

2 21 1 1 2 2 2

1 1. .

2 2p v gy p v gy

20 1 1 2

1.

2p v gy p gy

01

2( )2

P Pv gh

Isolando v1:

39

8 – Um cano horizontal de calibre variável, cuja seção reta muda de A1 = 1,2 × 10-3 m2 para A2 = A1/2 e conduz um fluxo de etanol de massa específica de ρ = 791 kg/m3. A diferença de pressão entre a parte larga e a parte estreita do cano é 4120 Pa. Qual é a vazão de etanol?

Exemplo 8:

Solução:

Dados:A1 = 1,2 × 10-3m2 A2 = A1/2ρ = 791 kg/m3

h = 45 mm = 0,045 mp1 – p2 = 4120 Pa

Pela equação da continuidade, temos:

1 1 2 2

1 21 2 1

. .2

R A v A vR R R

v vA A A

Substituindo na equação de Bernoulli:


2 21 1 1 2 2 2

1 1. .

2 2p v gy p v gy

1 21

2( )3

P PR A

40

Exemplo 8:Solução:

Dados:A1 = 1,2 × 10-3m2 A2 = A1/2ρ = 791 kg/m3

h = 45 mm = 0,045 mp1 – p2 = 4120 Pa

Substituindo os valores:


3 3 32 41201,2 10 2,4 10

3 791R m s

41

9 – No velho oeste, um bandido atira em uma caixa d’água sem tampa, abrindo um furo a uma distância h da superfície da água. Qual é a velocidade v da água ao sair da caixa d’água?

Exemplo 9:

Solução:

Como P = P0, temos:


Da equação de Bernoulli podemos chegar na lei de Torricelli:

02( )2

P Pv gh

2 02 2v gh gh

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