1-9 TC028 – Resistência dos Materiais I

Capitulo 11

ESTADO PLANO DE TENSÕES E ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES

11.1 Introdução

Como já foi visto, o estudo de tensões e deformações em um ponto, no interior de um corpo, é triplo. Mas, dependendo da geometria do corpo e do modo como é carregado, costuma-se fazer certas simplificações, resultando então, o estado plano de tensões e estado plano de deformações.

11.2 Estado Plano de Tensões

Se uma chapa delgada é carregada mediante forças aplicadas em seu contorno, paralelas ao seu plano médio e distribuídas uniformemente em sua espessura, as tensões

zyzx e , ττσ z são nulas em ambas as faces da chapa e pode-se supor, em princípio, que também o são em seu interior. O estado de tensões no interior da chapa será, então, definido por:

xy e , τσσ yx e é denominado ESTADO PLANO DE TENSÕES.

As deformações especificas no ponto considerado, são

G

E

E

E

xyxy

yxz

xyy

yxx

τγ

σσνε

νσσε

νσσε

=

+−=

−=

−=

)(1

)(1

z

y

x

y

2-9 TC028 – Resistência dos Materiais I

Pode-se supor, ainda, que as tensões xy e , τσσ yx são independentes da coordenada z, ou seja, não variam através da espessura da placa, sendo em conseqüência, função de x e y somente.

11.3 Estado Plano de Deformações

Se um corpo prismático é carregado mediante forças perpendiculares a seu eixo longitudinal, que não variam nessa direção e estão em equilíbrio, pode-se supor que todas as seções transversais do corpo, estão em iguais condições. Em princípio, pode-se imaginar que as seções extremas se encontram entre planos rígidos fixos, de forma que qualquer deslocamento na direção axial não é possível. Deste modo, as deformações na direção axial são nulas, resultando apenas as deformações:

xy e , γεε yx que definem o ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES

As tensões, no ponto considerado, podem ser definidas, considerando-se:

)(

0)([1

yxz

yxzz Eσσνσ

σσνσε

+=∴

=+−=

Através das outras expressões da Lei de Hooke, obtém-se:

xyxyxy

yxz

yxy

yxx

EG

E

E

E

γν

γτ

εενν

νσ

ενεννν

σ

ενεννν

σ

)1(2.

)()21)(1(

.

])1(.[)21)(1(

].)1[()21)(1(

+==

+−+

=

−+−+

=

+−−+

=

A tensão zσ pode ser definida em função de xσ e yσ , portanto, o problema de estado plano de deformações e o de estado plano de tensões se reduz ao cálculo de

xyy e , τσσ x , funções somente de x e y.

z x

y y

3-9 TC028 – Resistência dos Materiais I

11.4 Tensões em um plano genérico que passa pelo ponto

Seja um ponto B do corpo e suponha-se que as componentes de tensão xyy e , τσσ x sejam conhecidas.

A partir das componentes de tensões em relação a dois planos ortogonais x e y, pode-se obter as tensões σ e τ no plano genérico CD.

Pelo teorema de Cauchy: yxxy ττ =

Condições de equilíbrio, sendo a espessura da chapa igual a e:

ατασασσ

αατασασσ

ααταατασασσ

τταα

ατασατασσ

ατασατασσ

2cos

cos..2cos

cos..cos...cos.

cos

cos...cos.

0cos.........cos.....0

22

22

22

sensen

sensen

sensensen

senCDBC

CDBD

CDBCsen

CDBCsen

CDBD

CDBD

eBCseneBCseneBDeBDeCDF

xyyx

xyyx

xyxyyx

xyyx

yxyxyx

yxyxyx

n

++=

++=

+++=

===

+++=

=−−−−

=∑

D

B C

D

COB ≡

yσ

xσ xyτyxτ

τσ

α

α

pn

x

y

plano y

plan

o x

4-9 TC028 – Resistência dos Materiais I

ατασσ

τ

ααταασστ

αταασατααστ

ατασαταστ

ατασαταστ

2cos22

)(

)(cos2

cos2)(

cos.coscos

..cos..cos....

0...cos...cos........

0

22

22

xyxy

xyxy

xyyxyx

yxyxyx

yxyxyx

CD

sen

sensen

sensensen

senCDBC

CDBC

CDBDsen

CDBD

seneBCeBCeBDseneBDeCD

F

+−

=

−+−=

−++−=

−++−=

=+−−+

=∑

Portanto, temos:

ατα

σστ

ατασασσ

2cos22

2cos 22

xyxy

xyyx

sen

sensen

+−

=

++=

11.5 Tensões sobre dois planos ortogonais

ατασασσ

πατπασπασσ

ατασασσ

πα

πα

α

2.cos..

)2(.)2

(.)2

(cos.

2.cos.

22

)2

(

22

)2

(

22

sensen

sensen

sensen

xyyx

xyyx

xyyx

−+=

+++++=

++=

+

+

Somando, membro a membro (3) + (4), temos:

=+=++

yx σσσσ πα

α )2

(constante

“A soma das tensões normais sobre dois planos ortogonais, é constante.”

Conseqüência: se xσ é máximo, yσ é mínimo e vice-versa.

(3)

(2)

(1)

(4)

(5)

α

α

2πα +

plano y

plan

o x

5-9 TC028 – Resistência dos Materiais I

11.6 Planos de Máxima e Mínima Tensão Normal

xy

xy

xyxy

xyyx

tg

sen

sensendd

σστ

α

ατασσ

αταασαασασ

−−=∴

=+−∴

=++−=

22

02cos22)(

02cos.2cos..2.cos.2

1

Portanto, se um dos planos for 1α o outro será 21πα +

Ainda, de (6), temos:

0

02cos22

)(

02cos22)(

=∴

=+−

=+−

τ

ατασσ

ατασσ

xyxy

xyxy

sen

sen

Daí, teremos 1α , que será o ângulo que devemos girar os planos x e y, para termos os planos de máximas e mínimas tensões normais (principais), onde as tensões tangenciais são nulas. Estes planos são chamados de planos principais isostáticos.

11.7 Plano de Máxima e Mínima Tensão Tangencial

0222cos2.2

=−−

= ατασσ

ατ sen

dd

xyxy

xy

xytgτσσ

α.2

2 2

−=∴ Se um for 2α , o outro será

22πα +

Temos então 2α , que é o ângulo que deveremos girar os planos x e y, para termos os planos de máximas e mínimas tensões tangenciais. Para esses planos, as tensões normais são a média de xσ e yσ :

2

yx σσσ

+=

(6)

(7)

(8)

(9)

6-9 TC028 – Resistência dos Materiais I

11.8 Relação entre os ângulos dos Planos de maxminσ e

maxminτ

12

.2

2.2 21 −=−

−

−=

xy

xy

xy

xytgtgτσσ

σστ

αα

Da trigonometria sabe-se que, se 12.2 21 −=αα tgtg , então temos 2

22 21παα =− ,

ou seja, 421παα =−

11.9 TENSÕES PRINCIPAIS

Temos a equação (1) ατασασσ 2cos 22 sensen xyyx ++=

Da trigonometria: αα 2cos21

21cos2 += e αα 2cos

21

212 −=sen

Substituindo em (1) ατασσ

ασσ

σ 22cos22

2cos22

senxyyyxx +−++=

ατα

σσσσσ 22cos

22senxy

yxyx +−

++

=

para 1αα =

(10)

2α

1α

4π

4π

21πα +22

πα +

D

B C

minmax σplanos

minmax τplanos

plan

o x

plano y

7-9 TC028 – Resistência dos Materiais I

( ) 222

12

11

4

2

21

2

21

22xyyx

xy

yx

xy

yx

xy

tg

tgsenτσσ

τ

σστ

σστ

α

αα

+−±=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+±

−=

+±=

( ) 2221

2142

1

121

12xyyx

yx

yx

xytg

coτσσ

σσ

σστα

α+−±

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+±

=+±

=

Substituindo os valores acima em (10), temos:

( ) ( ) 2222,minmax

4

2

4.

22xyyx

xyxy

xyyx

yxyxyxIII

τσσ

ττ

τσσ

σσσσσσσσ

+−±+

+−±

−−+

+==

2xy

2yx

yxIII, 4τ)σ(σ

21

2σσσ ++±

+=

11.10 Tensões Tangenciais Máximas e Mínimas

Vimos que a equação (2) é:

22 2cos22

ατασσ

τ xyxy sen +

−=

Mas, xy

xytgσσ

τα

−−=

22 2 . Fazendo 22αsen e 22cos α , em função de 22αtg , temos:

2xy

2yxIII,

minmax 4τ)σ(σ

21ττ +−±==

Nos planos de minmax de e ττ , as tensões normais são: 2

yx σσσ

+=

11.11 Círculo de MOHR

Vimos que as equações (1) e (2) são dadas por:

(11)

(2)

(12)

8-9 TC028 – Resistência dos Materiais I

ατασσ

τ

ατασασσ

2cos22

2cos 22

xyxy

xyyx

sen

sensen

+−

=

++=

Da trigonometria, temos:

αα 2cos21

21cos2 += e αα 2cos

21

212 −=sen

Logo, ατασσσσ

σ 22cos22

senxyyxyx +

−+

+= Ver (10)

ατα

σστ 2cos2

2 xyyx sen +

−−=

Ou ainda, ( ) αταατσσα

σσσσσ 2.2cos2.2cos

22222

22

sensen xyxyyxyxyx +−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

( ) αταατσσα

σστ 2cos.2cos2.2

2222

22

xyxyyxyx sensen +−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

Somando membro a membro, as duas equações acima, resulta:

22

22

22 xyyxyx τ

σστ

σσσ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

A equação de um círculo, é:

22

02

0 )()x-(x Ryy =−+

Em que 0x e 0y são as coordenadas do centro do círculo. Se o centro do círculo situa-se sobre o eixo x, resulta y0 = 0 e temos: 222

0 Ry)x(x =+− Comparando a equação (14) acima, com a equação (13), pode-se concluir que:

2x0

yx σσ += e

2xy

2yx 4τ)σ(σ

21R +−=

(1)

(2)

(13)

(14)

9-9 TC028 – Resistência dos Materiais I

E o círculo, a que chamamos de CIRCULO DE MOHR, será:

xσ

yσ

xyτyxτ

1α 1σ

min τ

1 plano ao paralelo α

σ

τ

maxσ

max τ 1τ

2 ) ( y x σσ +

1 σ

p 1

Polo P

A1

O

R

1 planoα

1 τ1 σ

1τ

1σ

ponto pelo passa que, Plano no 1α

minσ

Tensão