Capítulo 11

Trabalho e energia de deformação

• Trabalho infinitesimal:

• Trabalho ao longo da trajetória :

• Unidade (SI): Joule (J)=Nm

Trabalho de uma força

cossdFsdFW

2

1

2

1

y

y y

x

x x dyFdxFsdFWW

12

F

sd

x

y

Trabalho de aplicação de força sobre corpos de material linear elástico

 

 

• Os deslocamentos na direção da força são proporcionais a ela:

2222

2212

2121

1111

ukF

ukF

ukF

ukF

F2F1

u2u1

x

y

  Trabalho de aplicação de força sobre corpos de material linear elástico

• Trabalho de aplicação das forças:

11210 110 11 2

12111

uFuduukduFWuu

22220 220 22 2

12122

uFuduukduFWuu

Trabalho de uma força já aplicada

 

 

• Trabalho de uma força já aplicada:

F2F1

u2u1

x

y

11010 1*

1

11

uFduuFduFWuu

22020 2*

2

22

uFduuFduFWuu

Trabalho interno de deformação sobre um elemento infinitesimal em estado uniaxial de

tensão

• Trabalho de aplicação:

xx

u+duux

ydx

dy

dxdydz

dudydz

duudydzudydzdW

xx

x

xx

2121

)(21

21

Trabalho interno de deformação sobre um elemento infinitesimal em estado de

cisalhamento puro

• Trabalho de aplicação:

dydxdzdW yxyx21

xy

yxdy

x

ydx

dy

xy

Trabalho interno de deformação sobre um elemento infinitesimal em estado plano de

tensão

• Trabalho de aplicação

xx

u+duux

ydx

dy

v

v+dv

y

y

yx

xy

dVdVdVdW xyxyyyxx 21

21

21

Relação trabalho externo – energia de deformação

•  Hipóteses de aplicação da força:– aplicação quase – estática

dos esforços, ou seja, a variação de energia cinética desprezível;

– processo adiabático ;– não há variação de energia

térmica. 

• Da 1ª Lei da termodinâmica:

– U é a energia de deformação.– We é o trabalho dos esforços

externos

UWe

Relação trabalho externo – trabalho interno – energia de deformação

• Relação entre os trabalhos externo e interno:

• Relação entre trabalho interno e energia de deformação:

ie WW

iWU

Densidade de energia sobre elemento infinitesimal em estado uniaxial de tensão

• Densidade de energia

• Da lei de Hooke

xx

u+duux

ydx

dy

xxdVdU

u 21

EE

u xx

22

22

Densidade de energia de deformação sobre elemento infinitesimal em estado de

cisalhamento puro

• Densidade de energia

• Da lei de Hooke

xyxyyxyxdVdU

u 21

21

xy

yxdy

x

ydx

dy

xy

G

Gu xyxy

22

22

Densidade de energia de deformação sobre elemento infinitesimal em estado plano de

tensão

• Densidade de energia:

• Da lei de Hooke;

xx

u+duux

ydx

dy

v

v+dv

y

y

yx

xy

xyxyyyxxdVdU

u 21

21

21

GEEEdVdU

u xyyxyx

222

222

Energia de deformação em uma barra axialmente carregada

ALE

dVE

dVuUVV 22

22

P P

L

E, A

Energia de deformação em uma viga sob flexão pura

Lz

L

A

zL

Az

z

V

x

V

dxEIM

U

dxdAyEIM

dAdxyIM

E

dVE

udVU

0

2

0

22

2

0

2

2

2

2)(

21

21

Mz Mz

A

x

y

Mz Mz

L

E, I

Energia de deformação em uma eixo sob torção pura

L

p

L

Ap

L

Ap

V

xy

V

dxGIT

U

dxdAGIT

dAdxIT

G

dVG

udVU

0

2

0

22

2

0

2

2

2

2)(

21

2

L

T

T

x

Trabalho virtual

• Trabalho virtual:

• é o trabalho realizado por uma força já aplicada para um deslocamento compatível qualquer

2

1

2

1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

* ˆˆy

y

x

x

u

u yy

u

u xx udFudFsdFWW

12

F

*sd

u*

v*

Trabalho virtual sobre um elemento infinitesimal

• Trabalho virtual interno:

xx

ûx +dûxûx

x

ydx

dy

ûy

ûy+dûy

y

y

yx

xy

dVdVdVWd xyxyyyxx ˆˆˆˆ

Trabalho virtual sobre um sólido

• Trabalho externo:

• Trabalho interno:

F2

F3

F1

û1 û2

û3

332211 ˆˆˆˆ uFuFuFW

V xyxyV yyV xx

V

dVdVdV

WdW

ˆˆˆ

ˆˆ **

Trabalho virtual sobre um sólido

• Equivalência entre We e Wi

V xyxyV yyV xx dVdVdV

uFuFuF

ˆˆˆ

ˆˆˆ 332211

Trabalho virtual sobre um sólido elástico linear

• Trabalho externo:

• Trabalho interno:

333322221111ˆ vFuFvFuFvFuFW yxyxyx

F2

F3

F1

1 2

3

V xyxy

V yyx

V xyx

V

dVG

dVE

dVE

WdW

ˆ

ˆ)(1

ˆ)(1

ˆˆ

2

2

**

Trabalho virtual sobre um sólido elástico linear

• Equivalência entre We e Wi

333322221111

2

2

ˆˆ)(1

ˆ)(1

vFuFvFuFuFuF

dVGdVE

dVE

yxyxyx

V xyxyV yyx

V xyx

Energia de deformação de um sólido elástico linear

• Energia de deformação para uma deformação qualquer compatível

F2

F3

F1

1 2

3

333322221111

2222 2

)2()1(2

),(

vFuFvFuFvFuF

dVG

dVE

vuU

yxyxyx

V xyV yyxx

Energia de deformação de um sólido elástico linear

• Condição de equilíbrio:

– Chega-se a equação idêntica à obtida pelo trabalho virtual

333322221111

2

222

)(2

))(2)(()1(2

),(

vFuFvFuFvFuF

dVvuG

dVvvuuE

vuU

yxyxyx

V xy

V yyxx

0

UdvUdudU vu

333322221111

2

2

ˆˆ)(1

ˆ)(1

vFuFvFuFuFuF

dVGdVE

dVE

yxyxyx

V xyxyV yyx

V xyx

Método dos elementos finitos

• Representação aproximada

• Representação de e

n

iii

n

iii

yxvyxv

yxuyxu

1

1

),(),(

),(),(

n

iixiiyixy

n

iiyiy

n

iixix

vu

v

u

1

1

1

)(

Método dos elementos finitos

• Fazendo e obtém-se:

– K é matriz de rigidez é a matriz coluna dos

deslocamentos nodais

– F é a matriz coluna das forças nodais

)0,(ˆiui

FKδ

),0(ˆivi