I. Introdução à Geometria II. Ângulo

III. Paralelismo

Capítulo 1

Páginas: 145 à 156

LIVRO 1

MATEMÁTICA

Região Poligonal Convexa

É uma região poligonal que não apresenta reentrâncias no corpo da mesma.

Região Poligonal Não - Convexa

Propriedade:Todo segmento de reta cujas extremi-

dades estão contidas nesta região,

estará totalmente contido na região

poligonal.

É uma região poligonal que possui reentrâncias no corpo da mesma.

Propriedade:Nem todos os segmentos de reta que

possuem extremidades contidas nessa

região estarão totalmente contidos na

região poligonal.

Região Octogonal Convexa Região Octogonal Não - Convexa

I. Introdução ao Estudo da Geometria Plana

Exemplo Exemplo

AB

C

D

C

B

A

D

É uma região do plano determinada por duas semi-retas ou dois segmentos de reta orientados a partir de um ponto comum, denominado vértice.

A

B

ˆAVBV

ângulo convexo

ângulo não convexo

II. Ângulos

Medidas de Ângulos

Uma volta completa numa circunferência

360°

2ππππ radianos

400 grados

R

R

⋅⋅⋅⋅1 radiano

Um radiano equivale a aproximadamente 57,3°

A representação de um ângulo é feita por três pontos, indicando seus lados e o vértice. Também são utilizadas letras dos alfabetos grego e português.

Definição de 1 Radiano:

Classificação dos Ângulos em relação as suas medidas

Raso

Obtuso

Reto

Agudo

Nulo

CaracterísticaÂngulo

ângulo cuja medida é 0°.

ângulo cuja medida é maior que 0° e menor que 90°.

ângulo cuja medida é 90°.

ângulo cuja medida é maior que 90° e menor que 180°.

ângulo cuja medida é 180°.

Nulo Agudo Reto Obtuso Raso

Subdivisões do Grau

60’’1’

60’1°°°°

Todo ângulo pode ser escrito, se necessário, utilizando graus e minutosou graus, minutos e segundos:

30° = 29°60’

30° = 29°59’60’’

Exemplo:

Exercícios Extras

Efetue as operações com ângulos:

a) 34°39' + 110°42'

b) 11°27'10'' + 60°53'14''

c) 82°41'39'' + 24°42'50''

d) 57°33'52'' - 41°11'12''

e) 91°12'10'' - 40°29'34''

f) 1°13' x 7

g) 13°70'35'' x 5

h) 72°30' : 3

i) 39°20'8'' : 4

Ângulos Adjacentes

Complementares

O

x

y

x + y = 90°

O complemento de um ângulo de medida x é:

(90°- x)

Suplementares

O

xy

x + y = 180°

O suplemento de um ângulo de medida x é:

(180°- x)

Replementares

xy

x + y = 360°

O

O replemento de um ângulo de medida x é:

(360°- x)

�

V ααααββββ

α e β são ângulos opostos pelovértice (OPV)

x

α °+ x =180 → ° αx =180 -

β °+ x =180 → ° βx =180 -

° α ° βentão : 180 - =180 -

portanto : α β=

Teorema demonstração:

“se dois ângulos são opostos pelo vértice, então as suas

medidas são iguais”

α β- = -

[17 . P151] (UECE-CE)O ângulo igual a 5/4 do seu suplemento mede:a) 100°b) 144°c) 36°d) 80°

e) 72°

resolução

∴ ⋅ o5x = (180 - x)

4

A medida de um ângulo desconhecido érepresentada por:

x

O suplemento desse ângulo x é:

(180°- x)

o4x = 900 -5xo9x = 900

ox =100

Exercícios

[19 . p151] (UFU-MG) Dois ângulos adjacentes são comple-mentares. Então o ângulo formado pelas bissetrizes desses ângulos mede:a) 20°

b) 30°c) 35°d) 40°e) 45°

resolução

O

x

y

x + y = 90°

�⋅

x/2

y/2

O ângulo α formado pelas bissetrizes é:

αx y

= +2 2

αααα

αx + y

=2

→ αo9 0

=2

α o= 4 5

[23 . P151] (MACKENZIE-SP)O complemento e o suplemento de um ângulo de 37°20’07” medem, respecti-vamente,a) 149°39’53” e 52°39’53”. b) 52°39’53” e 142°39’53”.c) 53°20’07” e 143°20’07”. d) 143°20’07” e 53°20’07”.e) 142°39’53” e 53°20’07”.

O complemento é o valor do ângulo que “falta” para 90°:

resolução

37°20'07"

90°

37°20'07"

89°59’60’’

52°39'53"

O suplemento é o valor do ângulo que “falta” para 180°:

37°20'07"

180°

37°20'07"

179°59’60’’

142°39'53"

[EXTRA] (CFT-SC) Na figura abaixo, a semi-reta OP ébissetriz do ângulo AÔB. Os valores de x e y são:

a) x = 13°e y = 49°.b) x = 15°e y = 35°.c) x = 12°e y = 48°.d) x = 17°e y = 42°.e) x = 10°e y = 50°.

Se OP é bissetriz do ângulo AOB:

o ox +30 = y -10

resolução

o o10 +30 = y - xoy - x = 40

Os ângulos 2y, y - 10° e x + 30° juntos, formam um ângulo raso:

o o o2y + y -10 + x +30 =180o o3y + x =180 - 20o3y + x =160

o

o

y - x = 40

3y + x =160⇒ o4y = 200

oy = 50

ox =10

[EXTRA] (CFT-CE)O ângulo cujo suplemento excede de 6°o quádruplo do seu complemento, é:a) 58°b) 60°c) 62°d) 64°e) 68°

O suplemento de um ângulo x é:

O complemento de um ângulo x é:

(180°- x)

(90°- x)

∴ o o o (180 - x) = 6 + 4(90 - x)

O quádruplo do seu complemento é:

4.(90°- x)

o o o180 - x = 6 +360 - 4xo3x =186

ox = 62

resolução

[EXTRA] (PUC-PR)Dois ângulos complementares A e B, sendo A < B, têm medidas na razão de 13 para 17. Consequentemente, a razão da medida do suplemento do ângulo A para o suplemento do ângulo B vale:a) 43/47 b) 17/13 c) 13/17 d) 119/48 e) 47/43

°A +B = 90

A 13=

B 17

→ °B = 90 - A

→°

A 13=

90 - A 17

°17A =13(90 - A)

°17A =1170 -13A

°30A =1170

°A = 39

°B = 51

° °B = 90 -39

# O suplemento do ângulo A é:

# O suplemento do ângulo B é:

141R =

12947

R =43

resolução

A razão R entre seus suplementos é:

180°- 39°= 141°

180°- 51°= 129°

s

r // s

β + δβ + δβ + δβ + δ = 180º

α α α α e ββββ : opostos pelo vértice

γ γ γ γ e ββββ : alternos internos

α α α α e γγγγ : correspondentes

ββββ e δδδδ : colaterais internos

t

αααα

γγγγ

[são congruentes]

ββββ

δδδδ

≅ ≅α β γα β γα β γα β γ

[são suplementares]

"Z" DO ZORRO

III. Paralelismo

a + c = b + d

Teorema demonstração:

s

r // s

a

d

b

c

ab-a

dc-d

b - a = c - d

b + d = a + c

“a soma dos ângulos com curvatura para um lado é igual à

soma dos ângulos com curvatura para o outro lado”

r

s // r

A

A + B = 180°

B

A + 3A = 180°

A = 45°

Então:

B - A = 3.45°- 45°

B - A = 90°

[35. p154] (CESGRANRIO-RJ)As retas r e s da figura são paralelas cortadas pela transversal t. Se o ângulo B é o triplo de A, então B - A vale:

a) 90°b) 85°c) 80°d) 75°e) 60°

→ 4A = 180°

B = 3A

resolução

t

B - A = 135°- 45°

Exercícios

[36. p154] (FECAPE - MOD ENEM) Duas ruas paralelas do Condomínio Rio Encantado são cortadas transversalmen-te por outra rua que forma com as primeiras ângulos colaterais internos de tal modo que um excede o outro em 30°. O maior desses ângulos mede:a) 105°. b) 110°. c) 120°. d) 125°. e) 150°.

s

r // s

x

x + 30°

x + x + 30°= 180°

2x = 150°

x = 75°

resolução

x + 30°75°+ 30°

105°

[44. p155] (FUVEST - MOD ENEM) Na figura, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede 45° e o ângulo 2 mede 55°. A medida, em graus, do ângulo 3 é:

a) 50°b) 55°c) 60°d) 80°e) 100°

Observa-se que o ângulo 3 é a soma dos ângulos 1 e 2, então:

ˆ o o= 45 +553 ˆ o=100345°

45°

55°

55°

resolução

3̂

resolução[47. p155] (FGV-SP) Considere as retas r, s, t e u, todas num mesmo plano, com r//u. O valor em graus de (2x + 3y) é:

a) 64°b) 500°c) 520°d) 660°e) 580°

60°

60°

20°

med(x) = med(y)

180°

y + 60°+ 20°= 180°

y = 100°

portanto:

2x + 3y = 2.100°+ 3.100°

= 500°

60°

resolução[50. p156] (UNICAMP-SP) Para calcular a circunferência terrestre, osábio Eratóstenes valeu-se da distância conhecida de 800 km entre as locali-dades de Alexandria e Siena no Egito (A e S, respectivamente), situadas no mes-mo meridiano terrestre. Ele sabia que, quando em Siena os raios solares caíam verticalmente, em Alexandria eles faziam um ângulo de 7,2° com a vertical. Calcule, com esses dados, a circunfe-rência terrestre, isto é, o comprimento de uma volta completa em torno da Terra.

Os raios solares sãoconsiderados paralelos

7,2°

7,2°→ 800 km

360°→ x

x = 40000 km

[ EXTRA] (OBM) Três quadrados são colados pelos seus vértices entre si e a dois bastões verticais, como mostra a figura.

A medida do ângulo x é:a) 39°b) 41°c) 43°d) 44°e) 46°

30°60°126°

60° 66°66°24°

75°24° 51°

51°39° x + 75°+ 126°+ 30°= 3.90°

x + 231°= 270° x = 39°

resolução