capa limite

5/28/2018 Capa Limite

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rea de Mecnica de Fluidos. CAPA LMITE 1

rea de Mecnica de Fluidos

CAPA LMITE

1. INTRODUCCIN

2. MTODOS INTEGRALES EN LA TEORA DE LA CAPA LMITE

3. LAS ECUACIONES DE LA CAPA LMITE

4. CAPA LMITE SOBRE UNA PLACA PLANA

5. CAPA LMITE CON GRADIENTE DE PRESIN

6. FUERZAS SOBRE OBJETOS SUMERGIDOS

7. BIBLIOGRAFA

8. PROBLEMAS RESUELTOS

Curso 2004-2005


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1. INTRODUCCIN


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2. MTODOS INTEGRALES EN LA TEORA DE LA CAPA LMITE

=)x(

0

dy)uU(ubD


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3. LAS ECUACIONES DE LA CAPA LMITE

Ecuaciones de la capa lmite bidimensional:

Hiptesis de Prandtl: si el n de Reynolds es muy grande, la capa lmite esmuy delgada y se verifica:

yx,uv


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4. CAPA LMITE SOBRE UNA PLACA PLANA


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Transicin de capa lmite laminar a capa lmite turbulenta:-Gradiente de presin de la corriente exterior

-Nivel de turbulencia de la corriente exterior

-Rugosidad superficial

-Curvatura de la superficie

-Succin e inyeccin de fluido

-Calentamiento o enfriamiento de la superficie

Placa plana sin turbulencia en la corriente exterior: transicin para 3 105< Rex< 2 106


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5. CAPA LMITE CON GRADIENTE DE PRESIN


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6. FUERZAS SOBRE OBJETOS SUMERGIDOS


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ARRASTRE


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5102Re250,Re

7.191198.0

u

dfStrouhalden


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SUSTENTACIN


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7. BIBLIOGRAFA

Blevins, R.D. Applied Fluid Mechanics Handbook, Krieger Publishing Company, 1992.

Fox, R.W.; McDonald, A.T.Introduccin a la mecnica de fluidos, McGraw-Hill1, 1995.Gerhart, P.; Gross, R.; Hochstein, J. Fundamentos de Mecnica de Fluidos, Addison-Wesley Iberoamericana, 1995.

Massey, B.S.Mecnica de los fluidos, C.E.C.S.A., 1979.

Shames, I.H., Mecnica de Fluidos, McGraw-Hill, 1972.

Schlichting, H., Teora de la capa lmite, Urmo, 1972.

Streeter, V.L.; Wylie, E.D., Mecnica de los Fluidos, Mc. Graw-Hill, 1987.

White, F.M.Mecnica de fluidos, McGraw-Hill, 2003.

White F.M. Viscous Fluid Flow, McGraw-Hill, 1991.


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8. PROBLEMAS RESUELTOS

1)Calclese la velocidad terminal de cada de un paracaidista (antes de abrir el paracadas) si cae en las siguientesposiciones:

a) En posicin vertical (de pie). CDA = 0.11 m2

b) En posicin horizontal. CDA = 0.84 m2

c) Acurrucado. CDA = 0.24 m2

DATOS: Masa del paracaidista, m = 80 kg; densidad del aire, = 1.2kg/m3.

RESOLUCIN

Cuando se alcanza la velocidad terminal, se igualan el peso del paracaidista y la fuerza de arrastre sobre elparacaidista:

ArrastrePeso = Av

2

1Cgm 2D =

Despejando la velocidad:AC

gm2v

D=

Sustituyendo valores en cada caso:

a) En posicin vertical: v = 109 m/sb) En posicin horizontal: v = 39.5 m/sc) Acurrucado: v = 73.8 m/s

2)Una esfera de dimetro d = 12 cm y masa m = 3 kg cae verticalmente en el interior de un fluido cuya viscosidadcinemtica es = 310-5m2/s y cuya densidad es = 1200 kg/m3.

Determnese la velocidad terminal de cada utilizando el diagrama adjunto (CD= CD(Re) para esferas).


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RESOLUCIN

La velocidad terminal de cada se alcanza cuando se igualan el peso de la esfera y la suma del empuje ms lafuerza de arrastre sobre la misma. En ese momento la aceleracin ser nula. En el equilibrio:

PED =+

EPD =

g2

d

3

4E;gmP

3

==

22

D 2

dv

2

1CD

=

Igualando: gd6gmd8vC322D =

76.2d

8

gd6

gmvC

2

3

2D =

=

Pero como CD= CD(Re), tendremos que iterar con el diagrama:

- Suponemos v = 2 m/s:

dvRe = = 8000 CD = 0,4 CDv2 = 1.6: no se verifica

- Suponemos v = 3 m/s: Re= 12000 CD = 0,41 CDv2 = 4.14: no se verifica- Suponemos v = 2.62 m/s: Re= 10480 CD = 0,4 CDv

2 = 2.74: correcto

D+E

V

P


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3)Un tanque de sedimentacin para suministro de agua a un municipio tiene 3 m de profundidad, existiendo un flujohorizontal continuo de 30 cm/s. Si se desea que sedimenten todas las partculas (supuestas esfricas) de dimetrosuperior a 1 mm antes de que el agua salga del tanque: cul debe ser la longitud mnima, L, del tanque?

DATOS: Densidad del agua, = 1000 kg/m3; densidad de las partculas, P= 2600 kg/m

3; viscosidad

cinemtica del agua, = 1.2110-6

m2

/s; sese el diagrama del problema anterior del CD= CD(Re) para esferas.

V

D+E

P

30 cm/s

L?

3 m

RESOLUCIN

La velocidad terminal de cada se alcanza cuando se igualan el peso de la esfera y la suma del empuje ms lafuerza de arrastre sobre la misma. Realizando el balance de fuerzas cuan do se ha alcanzado dicha velocidad:

PED =+

EPD =

gVE;gVP AP ==

Av2

1CD 2AD =

Siendo: 32 d6

V;d4

A

=

=

Igualando: gV)(Av2

1C AP

2AD =

0209.0A

gV)(2vC

A

AP2D =

=



=dv

Re = 826 CD = 0.46 CDv2 = 0.46: no se verifica

- Suponemos v = 0.5 m/s: Re= 413 CD = 0.6 CDv2 = 0.15: no se verifica

- Suponemos v = 0.15 m/s: Re= 124 CD = 0.9 CDv2 = 0.0203: correcto

D+E

V

P


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La partcula tarda en caer hasta el fondo: seg2015.0

3

v

ht === . En esos 20 segundos, la partcula

recorre en direccin horizontal: m6203.0L == .

Si se desease que sedimenten todas las partculas (supuestas esfricas) de dimetro superior a 0.1 mm, seobtendra: 00209.0vC 2D =

- Sup. v = 0.05 m/s:

=dv

Re = 4.1 CD = 8.5 CDv2 = 0.021: no se verifica

- Sup. v = 0.005 m/s:Re= 0.4 CD = 60 CDv2 = 0.0015: no se verifica

- Sup. v = 0.008 m/s:Re= 0.66 CD = 40 CDv2 = 0.00256: correcto

La partcula tarda en caer hasta el fondo: seg375008.0

3

v

ht === . En esos 20 segundos, la partcula

recorre en direccin horizontal: m5.1123753.0L == .

4)Una corriente de aire de 60 m/s incide sobre una esfera lisa cuyo dimetro es 0.15 m.a) Determnese la fuerza de arrastre sobre la misma.b) Cul sera el arrastre si, en vez de una esfera, se coloca un disco del mismo dimetro perpendicularmente a

la corriente?

DATOS: Viscosidad cinemtica del aire, A = 1.510-5 m2/s; densidad del aire, = 1.2 kg/m

3; sese eldiagrama de un problema anterior del CD= CD(Re) para esferas y discos.

RESOLUCIN

a) La fuerza de arrastre se obtiene con la expresin: Av2

1CD 2AD = . En este caso,Aes el rea frontal:

2d4

A

= , y CD depende del nmero de Reynolds:

=dv

Re , que en este caso vale: 55

106105.1

15.060Re ==

;

entrando en el grfico, se obtiene un coeficiente de arrastre CD= 0.2, por lo que:

N63.715.04

602.12

12.0D 22 =

=

b) En el caso del disco, lo nico que vara es el valor del CDpues el nmero de Reynolds y el rea frontal sonlos mismos que en el apartado anterior; entrando en el grfico en la curva correspondiente a discos, se un coeficiente dearrastre CD= 1.17, por lo que:

N66.4415.04

602.12

117.1D 22 =

=


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5)Una gota de agua de 1 mm de dimetro cae en el aire, y una burbuja de aire, tambin de 1 mm de dimetro, se elevaen agua.

Determnese la velocidad terminal en ambos casos, suponiendo esfrica la forma de ambas.

DATOS: Viscosidad cinemtica del aire, A= 1.510-5

m2

/s; densidad del aire, = 1.2kg/m3

; viscosidad cinemtica delagua, W= 1.2110-6m2/s; densidad del agua, W= 1000kg/m

3; sese el diagrama de un problema anterior del CD= CD(Re) para esferas y discos.

RESOLUCIN

a) Gota de agua: La velocidad terminal de cada se alcanza cuando se igualan el peso de la gota y la suma delempuje mas la fuerza de arrastre sobre la misma. En ese momento la aceleracin ser nula. En el equilibrio:

PED =+ ; EPD =

gd6E;gd6P3A3W ==

22

AD 2

dv

2

1CD

=

Igualando y despejando: 87.10g1d3

4vC

A

W2D =

=



= dvRe = 266.66 CD = 0,65 CDv2 = 10.4: no se verifica,

- Suponemos v = 4.1 m/s: Re= 273.33 CD = 0.66 CDv2 = 11.09: no se verifica,

- Suponemos v = 4.05 m/s: Re= 270 CD = 0.66 CDv2 = 10.82: correcto.

b) Burbuja de aire: En este caso el movimiento es hacia arriba. La velocidad terminal de ascenso se alcanzacuando se igualan el empuje y la suma del peso de la burbuja y el arrastre sobre la misma. En ese momento laaceleracin ser nula. En el equilibrio:

EPD =+ ; PED =

gd6

E;gd6

P 3W3

A==

22

WD 2

dv

2

1CD

=

Igualando y despejando: 013.0g1d3

4vC

W

A2D =

=


- Suponemos v = 0.01 m/s: Re= 8.26 CD = 5 CDv2 = 5 10-4: no se verifica- Suponemos v = 0.1 m/s: Re= 82.6 CD = 1.2 CDv

2 = 0.12: no se verifica- Suponemos v = 0.11 m/s: Re= 90.9 CD = 1.1 CDv

2 = 0.0133: correcto

D+E

V

P

E

P+D

V


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6)Un coche de masa mC= 2000 kg, coeficiente de arrastre CDC= 0.3, y rea frontal AC= 1 m2despliega para frenarun paracadas cuya rea frontal es un crculo de 2 m de dimetro y cuyo coeficiente de arrastre es CDP= 1.2. Si lavelocidad inicial del vehculo es de 100 m/s, despreciando la resistencia a la rodadura, suponiendo que los valores de losCDno varan y que no se utiliza otro mecanismo de frenado, calclese la distancia recorrida y su velocidad despus de1, 10 100 y 1000 s de desplegar el paracadas.

DATOS: Densidad del aire, = 1.2kg/m3.

RESOLUCIN

Para resolver el problema, se aplica la 2 ley de Newton en la direccin del movimiento:

( )PDPCDC2

PCC ACACv2

1DD

dt

vdm +==

( )

C

PDPCDC2

m2

ACAC

Ksiendo;vKdt

vd +

==

Integrando:dt

dx

tvK1

vv

O

O =+

=

Integrando de nuevo: )tvK1ln(K

1x O+=

Sustituyendo valores:( )

00122.0m2

ACACK

C

PDPCDC =+

=

Tabulando los resultados:

t (s) 1 10 100 1000v (m/s) 89 45 7.6 0.81x (m) 94 653 2113 3941


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7)Una corriente de aire de velocidad uniforme UVincide sobre la parte no sumergida de un iceberg, que flota en unazona en la que no existe ninguna corriente marina.

a) Si la forma del iceberg puede ser aproximada por un cilindro de dimetro D y altura L, y si la relacin entrela parte sumergida y la no sumergida es la indicada en la figura, determnese una expresin para la velocidad U Ide

avance del iceberg, en funcin de las diferentes variables que intervienen en el problema, suponiendo conocido elcoeficiente de arrastre (definido a partir del rea frontal).

b) Si se puede despreciar la dependencia del coeficiente de arrastre con el nmero de Reynolds, obtngase elvalor numrico de la velocidad UIde avance (en km/da), con los valores numricos suministrados.

DATOS: Densidad del agua marina, W= 1025 kg/m3, densidad del aire, A= 1.22 kg/m

3; altura del iceberg, L = 100 m;dimetro del iceberg, d = 800 m; velocidad del viento, UV= 15 m/s.

RESOLUCIN

a) Al incidir el viento sobre el iceberg, ejerce una fuerza sobre l, debido a la cual, el iceberg se pone enmovimiento, apareciendo una fuerza de resistencia al avance en el agua. El iceberg se acelerar hasta que se alcance unavelocidad constante; en ese momento, la resistencia ejercida por el agua se iguala al arrastre producido por el aire:

U - UV I

UI

DA

DW

0dt

vdmDD WA ==

d8

L)UU(

2

1Cd

8

L7U

2

1C 2IVADA

2IWDW =

ADA

WDW2I

ADA

WDW2IIV

2V C

C7

llamamos;UC

C7

UUU2U

=

=+

0UUU2U)1( 2VIV2I =+


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( )negativasolucinlaodescartand)1

U

)1(2

U2U2U VVVI

+=

=

b) Si CDCD(Re) entonces CDW= CDAy 58817 ==A

W :

km/da67.16m/s193.015881

15

)1

UU VI ==

+=

+=

8)Una esfera de dimetro dE de un material cuya densidad es se introduce en agua, , con una velocidad deentrada, vE. Calclese la profundidad H hasta la que descender suponiendo que el coeficiente de arrastre, CDEse puedeconsiderar constante durante el descenso.

VE

H

DATOS: Aplicacin numrica: dE= 5 cm; = 500 kg/m3, vE= 10 m/s = 1000 kg/m

3; CDE= 0.47.

RESOLUCIN

Una vez inmersa la esfera, se ve sometida a la accin del peso (hacia abajo) y delempuje y del arrastre (hacia arriba):

Aplicando equilibrio de fuerzas, teniendo en cuenta que la velocidad no semantiene constante:

dt

vdmEDP E=

Vm;gVE;gVP EEAE ===

Av2

1CD 2ADE =

Siendo:3E

2E d6

V;d4

A

=

=

Sustituyendo:dt

vdVAv

2

1CgV)( E

2ADEAE = .

D+E

V

P


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Reordenando:dx

vdv

dt

dx

dx

vdv

V

A

2

1Cg)1(

dt

vd 2

E

ADE

E

A ==

=

Integrando, con los siguientes lmites de integracin: en x: de 0 a Hen v: de vEa 0

se obtiene:

g1vV

A

2

1C

g1

lnC

1

A

VH

E

A2E

E

ADE

E

A

DEA

E

+

=

Aplicacin numrica: H = 0.176 m.


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