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,661-

ISSN 2316-9664

v. 7, dez. 2016

Edição ERMAC

Editoras

Profa. Dra. Cristiane Alexandra Lázaro

Profa. Dra. Tatiana Miguel Rodrigues de Souza

Comitê editorial

Profa. Dra. Adriana Cristina Cherri Nicola

Prof. Dr. Alexys Bruno Alfonso


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Prof. Dr. Ivete Maria Baraldi

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Comitê científico

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Contato e suporte técnico



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Editoração:

Ivone Barbieri (Unesp/FC – Bauru)

Suporte Técnico:

Thiago Alexandre Domingues de Souza

FICHA CATALOGRÁFICA

510

C919

C.Q.D. – Revista Eletrônica de Matemática [re-

curso eletrônico] / Faculdade de Ciências, De-

partamento de Matemática. – Vol. 8, (dez.

2016) Edição Iniciação Científica – Bauru :

Departamento de Matemática, 2012-

Semestral

ISSN 2316-9664

Disponível em:

http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/mate

matica/revista-cqd/

1. Matemática - Periódicos. I. Faculdade

de Ciências, Departamento de Matemática.

Sumário

Convergência de matrizes estocásticas regulares Fabiano Borges da Silva; Isabela Silva Rota 4-14

Modelagem e solução de problemas de corte e empacotamento por meio da programação linear Glaucia Maria Bressan; Eduardo Oliveira Belinelli 15-28

Os primórdios do cálculo infinitesimal Pedro Lima Ramos 29-39

ISSN 2316-9664Volume 8, dez. 2016

Edicao IniciacaoCientıfica

Fabiano Borges da SilvaFaculdade de Ciencias,UNESP, Bauru/[email protected]

Isabela Silva RotaFaculdade de Engenharia,UNESP, Bauru/[email protected] Cientıfica FAPESPProcesso n. 2015/21044-1

Convergencia de matrizes estocasticas regularesConvergence of regular stochastic matrices

ResumoSeja T uma matriz estocastica associada a uma Cadeia de Markovfinita, isto e, as entradas da matriz representam as probabilidadesde transicao entre os estados do processo. O presente artigo mos-tra que se T e regular, entao T n converge para M, quando n tendeao infinito, onde M e uma matriz em que todas as colunas saoiguais ao unico vetor de probabilidade w que satisfaz a equacaoTw = w. Alem disso, dado um vetor de probabilidade v qual-quer, temos que T nv converge para o vetor w. Geralmente, esteresultado e conhecido como uma consequencia do Teorema dePerron-Frobenius para operadores positivos. Porem, neste traba-lho apresentamos uma demonstracao utilizando conceitos basicosde matrizes e sequencias de numeros reais.Palavras-chave: Matrizes estocasticas. Cadeias de Markov.Convergencia. Probabilidade de transicao.

AbstractLet T be a stochastic matrix associated with a finite MarkovChain, i.e. the matrix wich entries represent the probabilities tran-sition for the states of the process. This article shows that if T isregular, then T n converges to M when n tends to infinity, whereM is the matrix which all columns are the same as unique proba-bility vector w satisfying the equation Tw = w. In addition, givenany probability vector v, we have T nv converges to the vector w.Generally, this result is known as a result of the Perron-Frobeniustheorem for positive operators. However, in this paper we presenta demonstration using basic concepts of matrices and sequencesof real numbers.Keywords: Stochastic matrices. Markov Chains. Convergence.Transition probability.

1 IntroducaoO interesse em convergencia de matrizes estocasticas, aparece entre outros, no contexto de

Cadeias de Markov finita, o qual e um caso especial de processo estocastico. Mais precisamente,considere um espaco de estados com um numero finito de elementos E = e1, ...,er. Um pro-cesso estocastico discreto (Xn)n∈N, definido em um espaco de probabilidade (Ω,F ,P), e umaCadeia de Markov se a probabilidade condicional satisfizer

P(Xn+1 = xn+1|Xn = xn...,X0 = x0) = P(Xn+1 = xn+1|Xn = xn), (1)

para todo n≥ 1 e para toda sequencia x0,x1, ...,xn+1 de elementos do espaco de estados E. Essacondicao (1) significa, em linguagem natural, que o futuro do processo, uma vez conhecido oestado presente, e independente do passado. Esta definicao tambem pode ser estendida para umconjunto enumeravel E.

As probabilidades condicionais

P(Xn+1 = ei|Xn = e j)

sao chamadas probabilidades de transicao. E se para cada i, j

P(Xn+1 = ei|Xn = e j) = P(X1 = ei|X0 = e j),

para todo natural n, a Cadeia de Markov e dita homogenea e as probabilidades de transicao saodenotadas por pi j.

Intuitivamente, pensando em um modelo de uma partıcula que salta em tempos discretos entreos estados, atribui-se a cada estado e j uma probabilidade da partıcula, estando em e j, de saltarpara o ei. E no caso homogeneo, essa probabilidade nao se altera com o tempo.

Um processo de Markov esta completamente definido a partir do momento em que se espe-cifica as probabilidades de transicao e a distribuicao inicial dos estados (ver por exemplo [2, 3]).Ao processo associa-se uma matriz de probabilidades de transicao T , chamada em geral pormatriz estocastica ou simplesmente de transicao, em que as entradas da matriz sao dadas pelasprobabilidades de transicao pi j. Ou seja,

T = [pi j]r×r,

onde pi j ≥ 0 e a soma das entradas de cada coluna e igual a 1.As entradas da matriz T n correspondem a probabilidade de, saindo do estado e j, chegar-se ao

estado ei depois de n passos, como pode ser visto, entre outros, em [2, 3]. Desta maneira, dadauma distribuicao inicial, representada matricialmente pelo vetor de probabilidade

v =

v1...

vr

,a distribuicao do processo no tempo n≥ 1 e dada por

T n · v.

5

SILVA, F. B.; ROTA, I. S. Convergência de matrizes estocásticas regulares. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 8, p. 4-14, dez.

2016. Edição Iniciação Científica.

DOI: 10.21167/cqdvol8201623169664fbsisr0414 - Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/

Uma questao interessante nas aplicacoes modeladas por Cadeias de Markov, e saber o queacontece com o vetor T n(v) quando n tende ao infinito. Mostraremos que, se T e regular, istoe, em alguma potencia N ≥ 1, todas as entradas de (T N) sao elementos nao-nulos, entao T n

aproxima-se de uma matriz M quando n tende ao infinito, onde a matriz estocastica M e talque todas as suas colunas sao iguais w, sendo w o unico vetor que satisfaz Tw = w. O objetivoprincipal deste artigo e demonstrar este resultado (Teorema 5), que e enunciado em [1], livrobastante utilizado em cursos de Algebra Linear, mas que nao apresenta uma demonstracao pornao ser um dos objetivos do livro, conforme menciona os autores do mesmo.

Na literatura, a demonstracao do Teorema 5 aparece, em geral, como consequencia do Teo-rema de Perron-Frobenius, onde resultados de teoria espectral sao utilizados para sua demonstracao.Neste artigo, nao seguimos essa direcao. Fizemos uma demonstracao baseada em tecnicas apre-sentadas por [3], porem com algumas modificacoes necessarias, uma vez que trabalhamos nestetexto com a matriz estocastica agindo a esquerda (T · v) (como em [1]), enquanto que em [3] aacao e a direita (v ·T ). Tambem serviu de apoio para este trabalho algumas ideias apresentadas nademonstracao para o caso particular de matrizes estocasticas 2×2 apresentada em [4]. Por fim,e importante ressaltar que a demonstracao do Teorema 5, apresentada neste artigo, mesmo sendogeral para matrizes r× r, utiliza resultados basicos de matrizes e convergencia de sequenciasde numeros reais, tornando um texto bastante acessıvel para leitores iniciantes em estudos deCadeias de Markov Finitas ou Algebra Linear.

2 Matrizes estocasticas regularesNesta secao daremos definicao de matrizes regulares e um resultado sobre matrizes estocasticas

que serao utilizados no Teorema 5.

Definicao 1 Dizemos que uma matriz estocastica T e regular se existe natural n tal que T n temtodas as entradas nao nulas.

Por exemplo, vamos verificar se a matriz

A =

0 1 0,20,3 0 0,30,7 0 0,5

, (2)

e uma matriz estocastica regular. Fazendo A2, obtemos:

A2 =

0,44 0 0,400,21 0,30 0,210,35 0,70 0,39

,logo, em um primeiro momento nao podemos afirmar que a matriz A e regular. Continuando oprocesso, temos que

A3 =

0,280 0,440 0,2880,237 0,210 0,2370,483 0,350 0,475

,e, portanto, A e uma matriz estocastica regular.

6




Contudo, nem toda matriz estocastica e regular. Tomando por exemplo,

B =

[0 11 0

],

temos que e estocastica, mas nao e regular, pois T 2n = I e T 2n+1 = T , para todo n = 0,1,2, ... .

Notemos que no nosso exemplo acima, para a matriz estocastica A obtivemos matrizes A2 eA3 tambem estocasticas. E isto nao e um caso particular para a matriz A. Em geral, se T e umamatriz estocastica, entao T n tambem e estocastica, para todo n≥ 1. Isso pode ser verificado coma seguinte proposicao.

Proposicao 2 Produto de matrizes estocasticas e estocastica.

Demonstracao. Basta mostrar que se A = (ai j)r×r e B = (bi j)r×r sao matrizes estocasticas, entaoa matriz AB tambem e estocastica.

Cada entrada i j da matriz AB e dada por

(AB)i j =r

∑k=1

aikbk j.

E somando os elementos da j-esima coluna, temos que:

r

∑i=1

(AB)i j =r

∑i=1

(r

∑k=1

aikbk j)

=r

∑k=1

(r

∑i=1

aik︸︷︷︸1

)bk j

=r

∑k=1

bk j

= 1.

2

3 Convergencia para matrizes estocasticas regularesNesta secao mostraremos que matrizes estocasticas regulares convergem. Para isso, faremos

dois lemas que serao uteis na demonstracao desta convergencia.

Lema 3 Seja T uma matriz r× r tal que todas as entradas sao iguais a ε = 1r . Temos entao que

T n = T , para todo n≥ 1.

7




Demonstracao.Considere B a matriz com todas as entradas iguais a 1, desta forma temos que Tr×r = εBNote que B2 = rB. Logo,

B3 = B.B2 = B(rB)= rB2

= r.rB= r2B.

E fazendo isso sucessivamente, concluımos que

Bn = rn−1B.

Portanto, para qualquer n≥ 1, temos que:

T n = εn.rn−1B

=1rn .r

n−1B

=1r

B

= εB= T.

2

Para simplificar, denotaremos de agora em diante por max(x) a maxima componente do vetorx e min(x) a menor componente do vetor x. Por exemplo, sendo x = (3

7 ,17 ,

17 ,

27), temos que

max(x) = 37 e min(x) = 1

7 .

Lema 4 Seja T uma matriz estocastica r× r com todas as entradas nao-nulas e seja ε o menorvalor entre todas as entradas. Seja tambem x um vetor linha tal que M0 = max(x) e m0 = min(x).E seja M1 = max(xT ) e m1 = min(xT ). Entao,

M1−m1 ≤ (1−2ε)(M0−m0).

Demonstracao.Seja x′ o vetor linha obtido de x em que todas as entradas foram substituıdas por M0 com

excecao da unica entrada m0. Ao fazer x′T , observa-se que uma entrada α qualquer de T emultiplicada pela mınima componente m0 do vetor x′ e todas as outras entradas sao multiplicadaspor M0. Como as colunas de T somam 1, nos permite representar cada entrada da nova matrizx′T da forma

αm0 +(1−α)M0 = M0−α(M0−m0).

Para cada coluna de T temos um valor de α diferente, porem em todos os casos α ≥ ε , e sendoassim

M0−α(M0−m0)≤M0− ε(M0−m0).

8




Como max(xT )≤ max(x′T ), temos

M1 ≤M0− ε(M0−m0).

Seja agora x′ o vetor linha obtido de x em que todas as entradas foram substituıdas por m0com excecao da unica entrada M0.

Novamente, ao fazer x′T , observa-se que uma entrada α qualquer de T e multiplicada pelamaxima componente M0 do vetor x′ e todas as outras entradas sao multiplicadas por m0 e, por-tanto, cada entrada da nova matriz x′T e da forma

αM0 +(1−α)m0 = m0 +α(M0−m0).

Para o α de cada coluna, temos α ≥ ε , e assim

m0 +α(M0−m0)≥ m0 + ε(M0−m0).

E como min(xT )≥ min(x′T ), concluımos que

m1 ≥ m0 + ε(M0−m0),

ou ainda,−m1 ≤−m0− ε(M0−m0).

Logo,

M1−m1 ≤ M0−m0−2ε(M0−m0)

= (1−2ε)(M0−m0).

2

Teorema 5 Se T e uma matriz estocastica regular r× r entao:

(i) T n se aproxima de uma matriz M, no sentido de que cada entrada da matriz T n aproxima-seda entrada correspondente em M;

(ii) Todas as colunas de M sao iguais, sendo dadas por um vetor coluna

w =

w1...

wr

,com wi > 0, para i = 1, . . . ,r ;

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(iii) Para qualquer vetor de probabilidades inicial

v =

v1...

vr

,o vetor de probabilidades T nv converge para w, quando n→ ∞ ;

(iv) O vetor w e o unico que satisfaz Tw = w.

Demonstracao.Prova dos itens (i) e (ii). Dividiremos em duas partes:Parte A. Vamos supor inicialmente que T e uma matriz com entradas todas nao nulas e que

ε > 0 seja uma entrada da matriz, cujo valor e menor ou igual que as outras entradas. Particular-mente, para a coluna na qual ε pertence, que escrito como vetor linha [δ1,δ2, ...,ε, ...,δr−1] (comε podendo ocupar qualquer posicao e δi ≥ ε), temos que

0 < rε ≤ δ1 +δ2 + ...+ ε + ...δr−1 = 1.

Logo

0 < ε ≤ 1r.

O caso em que ε = 1r temos pelo pela Lema 3 que T n→ T , e neste caso, M = T . Vamos supor

daqui em diante que 0 < ε < 1r .

Tomemos o vetor e j = (0, ...,0,1,0, ...,0), ou seja, um vetor com o numero 1 na j-esimaposicao, e sejam Mn = max(e jT n) e mn = min(e jT n), para n = 0,1,2, ... . Vamos considerar aquiT 0 = I e, portanto, M0 = max(e jT 0) = max(e j) = 1 e m0 = min(e jT 0) = min(e j) = 0. ComoM1 = max(e jT ) e m1 = min(e jT ), pelo Lema 4 temos que

M1−m1 ≤ (1−2ε)(M0−m0).

Analogamente, podemos escrever M2 = max((e jT )T ) e m2 = min((e jT )T ), e aplicando no-vamente o Lema 4, chegamos a

M2−m2 ≤ (1−2ε)(M1−m1)

= (1−2ε)(1−2ε)(M0−m0),

ou seja,M2−m2 ≤ (1−2ε)2(M0−m0).

Para um n qualquer podemos escrever Mn = max((e jT n−1)T ) e mn = min((e jT n−1)T ), apli-car o procedimento anteriormente descrito sucessivas vezes e assim obter que

Mn−mn ≤ (1−2ε)n(M0−m0).

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Como 0 < ε < 1r , segue que 0 < (1− 2ε) < 1 e, portanto, (1− 2ε)n→ 0 quando n→ ∞. E

ainda, como M0−m0 = 1, segue na desigualdade acima que Mn e mn se aproximam para umlimite comum quando n→ ∞, digamos w j. E claro que mn ≤ w j ≤Mn. Note ainda que m1 > 0,pois m1 e por definicao a menor entrada da j-esima linha de T , a qual possui entradas nao nulas,e M1 < 1, pois se alguma linha de T tiver 1 numa das entradas, terıamos 0 nas demais entradasda coluna, o que nao e o caso. E sendo assim, temos que 0 < w j < 1.

Portanto, em resumo temos que e jT n tende a um vetor em que a maior e a menor componentese aproximam, ou seja, um vetor onde todas as componentes tendem a w j > 0. Logo, a j-esimalinha de M e dada por um vetor de entradas w j. Assim, as colunas de M sao iguais a um vetor

w =

w1...

wr

.Como T e uma matriz estocastica, segue pela Proposicao 2 que T n tambem e estocastica. E,

desta forma, a matriz limite M tambem e estocastica. De fato, em termos das entradas da j-esimacoluna de T n, obtemos uma sequencia em n, digamos γn

1 j...

γnr j

tal que γn

1 j + ...+ γnr j = 1, para todo n≥ 1. E tomando o limite na sequencia dada pela soma das

entradas da j-esima coluna temos que

1 = limn→∞

(γn1 j + ...+ γ

nr j)

= limn→∞

γn1 j + ...+ lim

n→∞γ

nr j

= w1 + ...+wr.

Ou seja, M tambem e uma matriz estocastica.Parte B. Vamos supor que T e regular e que alguma entrada de T seja zero. Nas mesmas

condicoes do Lema 4, porem para ε = 0, e usando as notacoes como na Parte A para Mn e mn,obtemos que

M0−m0 ≥M1−m1 ≥M2−m2 ≥ ... .

Agora, usando o fato que T e regular, temos que existe N tal que T N e uma matriz estocasticacujas entradas sao nao nulas. Denotando por ε ′ o menor valor das entradas de T N e tomando asmesmas ideias utilizadas na Parte A, temos que 0 < ε ′ ≤ 1

r . O caso em que ε ′ = 1r e resolvido

como no Lema 3. Vamos de agora em diante analisar o caso em que 0 < ε ′ < 1r .

Idem a Parte A, tambem usaremos o vetor e j = (0, ...0,1,0, ...0) com 1 na j-esima posicao.Temos assim que

MNk = max(e j(T N)k) = max((e jT Nk−1)T )

emNk = min(e j(T N)k) = min((e jT Nk−1)T )

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para k≥ 1. Quando k= 0, obtemos MN0 =max(e j(T N)0)=max(e j)=M0 e mN0 =min(e j(T N)0)=min(e j) = m0. Portanto, analogamente ao que fizemos na Parte A, obtemos que

MNk−mNk ≤ (1−2ε′)k(M0−m0),

para k≥ 0. Como 0 < ε ′ < 1r segue que (1−2ε ′)k→ 0 quando k→∞ e, portanto, a subsequencia

(MNk−mNk) da sequencia nao crescente (Mn−mn) tende a 0. Logo a sequencia (Mn−mn) tendea 0 tambem. E o restante da prova segue como na Parte A.

Prova do item (iii).Temos que T nv tende Mv quando n→ ∞. Alem disso, uma vez que v1 + · · ·+ vr = 1, segue

que

Mv =

w1 w1 · · · w1w2 w2 · · · w2...

... . . . ...wr wr · · · wr

v1v2...

vr

=

w1(v1 + · · ·+ vr)w2(v1 + · · ·+ vr)

...wr(v1 + · · ·+ vr)

=

w1w2...

wr

.Portanto,

T nv→ w.

Prova do item (iv).Temos que T nT →MT . Por outro lado, T n+1→M. Logo, pela unicidade do limite, MT =M.

Analogamente, T M = M. E assim temos: p11 · · · p1r... . . . ...

pr1 · · · prr

w1 · · · w1

... . . . ...wr · · · wr

=

w1 · · · w1... . . . ...

wr · · · wr

.E desta equacao matricial extraımos p11 · · · p1r

... . . . ...pr1 · · · prr

w1

...wr

=

w1...

wr

.Ou seja,

Tw = w.

Vamos agora mostrar a unicidade de w. Suponha que w seja outro vetor de probabilidadecom T w = w. Logo T nw = w, para todo n ≥ 1. E assim, T nw→ w. Mas por (iii) sabemos queT nw→ w. Logo, pela unicidade do limite, segue que w = w.

2

Este resultado acima, no contexto de Cadeias de Markov, diz que se a matriz de transicao T eregular, entao e possıvel fazer previsoes a longo prazo e elas nao dependem da distribuicao inicialv. O item (iv) nos fornece uma maneira facil de encontrar o vetor de probabilidades w, que doponto de vista dinamico, e um ponto fixo atrator para a aplicacao T .

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Apenas para ilustrar como este teorema e usado no contexto de Cadeias de Markov, dare-mos a seguir um exemplo omitindo alguns detalhes formais de processos estocasticos, que saoabordados, por exemplo, em [2, 3, 5].

Exemplo 1 Vamos supor que uma empreza XZ pertencente ao mercado de alimentos industria-lizados esta interessada em fazer um estudo das preferencias de seus consumidores. Para isso,notou que quando tres produtos A, B e C sao ofertados no mercado, inicialmente, 10% dos con-sumidores compram o produto A, 20% o produto B e 70% preferem o C. No entanto, passado umano, em 30% das vezes, o consumidor que sempre compra A, opta por comprar B e o restantedos consumidores compram C. Uma vez tendo comprado B, o cliente sempre volta a comprarA. E quando compra C, metade dos clientes permanecem comprando C e 20% deles voltam acomprar A. E este processo se repete a cada ano que passa.

A longo prazo, como estara a distribuicao de preferencia do consumidor?

Na questao acima, podemos tomar A,B,C como sendo os estados 1, 2 e 3, ou seja, E =1,2,3. Sendo assim, a matriz de probabilidades de transicao e dada pelas porcentagens de trocade preferencias entre os produtos A, B e C. Portanto, a matriz de transicao T para este exemploacima e a matriz dada em (2), a qual ja verificamos ser regular. E o vetor de probabilidades iniciale dado por:

v =

0,10,20,7

.A fim de descobrirmos qual sera o vetor de preferencias a longo prazo w, podemos usar o

item (iv) do Teorema 5, ou seja, resolver a equacao matricial 0 1 0,20,3 0 0,30,7 0 0,5

wAwBwC

=

wAwBwC

.Resolvendo o sistema obtemos que

w =

25783133578

=

0.32051280.2307690.4487179

.Isto quer dizer que a longo prazo, teremos aproximadamente 32,1% dos consumidores preferindoo produto A, 23,1% o B e 44,9% preferindo o produto C.

Agora, apenas para ilustrar a convergencia T n · v→ w no exemplo acima, explicitaremos aseguir alguns resultados para potencias da matriz T aplicadas ao vetor de probabilidade inicial v.Em termos da primeira potencia temos 0 1 0,2

0,3 0 0,30,7 0 0,5

0,10,20,7

=

0,340,240,42

.Para a potencia 2 por exemplo, obtemos o vetor de probabilidade

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0 1 0,20,3 0 0,30,7 0 0,5

2 0,10,20,7

=

0,3240,2280,448

.Significando que 32,4%, 22,8% e 44,8% dos consumidores preferem os produtos A, B e C, res-pectivamente, no segundo ano de vendas. E por exemplo, para as potencias 5 e 10, obtemosrespectivamente que: 0 1 0,2

0,3 0 0,30,7 0 0,5

5 0,10,20,7

=

0.3200640.2308440.449092

, 0 1 0,2

0,3 0 0,30,7 0 0,5

10 0,10,20,7

=

0,320514226240,230769049080,44871672468

.Alem disso, podemos tambem notar que as colunas da matriz T 10, 0 1 0,2

0,3 0 0,30,7 0 0,5

10

=

0,3205236024 0,3204770800 0,32052350000,2307678681 0,2307737730 0,23076786810,4487085295 0,4487491470 0,4487086319

,possui valores que se aproximam do vetor de probabilidade w como garante o Teorema 5.

Referencias[1] BOLDRINI, J. L. et al. Algebra linear. 3. ed. Sao Paulo: Harper e Row do Brasil, 1980.

[2] BRZEZNIAK, Z.; ZASTAWNIAK, T. Basic stochastic processes: a course through exer-cises. London: Springer, 1999.

[3] KEMENY, J. G.; SNELL, J. L. Finite Markov chains. New York: Springer-Verlag, 1960.

[4] MANOEL, M. R. Cadeias de Markov: uma abordagem voltada para o ensino medio.2016. 69 f. Dissertacao (Mestrado Profissional) - Instituto de Matematica, Estatıstica eComputacao Cientıfica, Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 2016.

[5] RUFFINO, P. R. C. Uma iniciacao aos sistemas dinamicos estocasticos. 2. ed. Rio deJaneiro: IMPA, 2009.

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Glaucia Maria BressanUniversidade TecnologicaFederal do Parana.Departamento de Matematica.Campus Cornelio Procopio, [email protected]

Eduardo Oliveira BelinelliUniversidade TecnologicaFederal do Parana.Departamento de Matematica.Campus Cornelio Procopio, [email protected]

Modelagem e solucao de problemas de corte eempacotamento por meio da programacao linearModeling and solution of cutting and packing problems using

linear programming

ResumoMuitas industrias que trabalham com processos de corte e empa-cotamento podem gerar sobras indesejaveis de materiais que mui-tas vezes nao podem ser reaproveitadas. O estudo de problemaspor meio da modelagem matematica e da Programacao Linearpermite estabelecer padroes de corte e de empacotamento que re-sultem na perda ou no custo mınimo. Neste contexto, este traba-lho tem o objetivo de estudar a modelagem matematica dos pro-blemas de corte e de empacotamento, por meio da ProgramacaoLinear, aplicados em duas fabricas distintas. O primeiro estudominimiza a perda de alimento durante o processo de empaco-tamento de amendoins de uma fabrica do municıpio de NovaFatima-PR, por meio da aplicacao do Problema de Empacota-mento. O segundo estudo minimiza a perda de materia-primadurante o processo de corte e acabamento de papeis, por meioda aplicacao do Problema do Corte, numa grafica do municıpiode Ibaitı-PR. Os resultados foram obtidos por meio da aplicacaodo Metodo Simplex com apoio computacional.Palavras-chave: Programacao Linear. Metodo Simplex. Pro-blema do Corte. Problema de Empacotamento.

AbstractMany industries that work with cutting and packing processes cangenerate undesirable waste materials that often cannot be reused.The study of problems using mathematical modeling and LinearProgramming allows us to establish cutting and packaging stan-dards that result in minimum loss or minimum cost. In this con-text, the goal of this paper is to study the mathematical modelingof cutting and packaging problems, using Linear Programmingand to apply its in two distinct companies. The first study mi-nimizes loss of product during the process of packaging of pea-nuts from a factory in the Nova Fatima-PR city, by applying thepackaging problem. The second study minimizes the loss of rawmaterial during the paper cutting process, by applying the cuttingproblem from a printing company located in Ibaitı-PR city. Theresults were obtained using the Simplex Method with computati-onal support.Keywords: Linear Programming. Simplex Method. Cutting Pro-blem. Packing Problem.

ISSN 2316-9664Volume 8, dez. 2016


1 IntroducaoA Pesquisa Operacional (PO) e uma poderosa ferramenta na criacao de metodos para a tomada dedecisoes, mediante a modelagem matematica de problemas reais, que busca encontrar solucoesotimas aplicadas a realidade [1]. Embora nao haja uma definicao formal, a Pesquisa Operacionalpode ser definida como uma ciencia que agrega metodos matematicos e estatısticos empregadospara auxiliar a tomada de decisoes. Esta ciencia e aplicada a problemas em que se faz necessarioespecificar, de forma quantitativa, a conducao e a coordenacao das operacoes ou atividades dentrode uma organizacao. Possui grande utilidade na solucao de problemas de otimizacao, na tomadade decisoes e no gerenciamento de sistemas, selecionando as melhores decisoes, dentre todas aspossıveis [1].

O desenvolvimento desta ciencia teve origem durante a Segunda Guerra mundial, mediantea necessidade de alocacao de recursos militares e de otimizacao de recursos escassos. Atual-mente, a Pesquisa Operacional e amplamente utilizada no ramo empresarial e em qualquer ramoindustrial em que se deseja minimizar os custos ou maximizar os lucros. Os principais modelosde Pesquisa Operacional sao denominados Programacao Matematica, uma das mais importantesvariedades dos modelos quantitativos que apresenta uma grande utilidade na solucao (exata) deproblemas de otimizacao. Na Programacao Matematica, as tecnicas de solucao se agrupam emalgumas subareas: Programacao Linear, Programacao Nao Linear e Programacao Inteira [2].

A importancia dos sistemas de apoio para a tomada de decisao vem crescendo significativa-mente com o advento das estacoes de trabalho, que oferecem grande capacidade de calculo, dearmazenamento e de recursos graficos, disponıveis anteriormente apenas em maquinas caras ede grande porte. Alem disso, a interpretacao de resultados obtidos e a consequente tomada dedecisao se mostram ainda mais relevantes que a manipulacao das ferramentas computacionais.

Diante deste cenario, o objetivo deste trabalho e aplicar metodos de Programacao Linear paramodelagem e solucao de problemas reais que podem ser formulados como Problemas de Corte ede Empacotamento [3]. Dois estudos de caso sao apresentados: No primeiro estudo, o objetivoe minimizar a perda de alimento (em gramas) durante o processo de empacotamento de amen-doins (problema de empacotamento). No segundo estudo, o objetivo e minimizar o desperdıciode materia-prima (em gramas) utilizado por uma grafica no processo de corte e acabamento depapeis (problema de corte). A principal contribuicao deste trabalho e oferecer um processo deotimizacao para as manufaturas em estudo o qual forneca uma diminuicao do desperdıcio demateria-prima durante os processos de corte e empacotamento realizados pelas fabricas.

De forma geral, a Programacao Linear (PL) estuda formas de resolver problemas de otimizacaoque podem ser expressos por variaveis contınuas que apresentam comportamento linear (equacoeslineares) [2]. A otimizacao linear e amplamente aceitavel no ramo industrial devido a sua habili-dade de modelar problemas reais e apresentar resultados que auxiliam na tomada de decisoes [1].Sua contextualizacao e amplamente encontrada na literatura. Nos trabalhos [4] e [5] sao estuda-dos a aplicacao da Programacao Linear na reducao de custos, planejamento, transporte e controlede producao. O Problema do Corte e Empacotamento e amplamente estudado na literatura. Em[6], por exemplo, os autores consideram o problema de corte de estoque guilhotina bidimensio-nal, decorrente da industria do corte de placas de madeira. Varias heurısticas sao apresentadas,considerando a otimizacao de duas funcoes objetivo: a minimizacao de perdas e a maximizacaoda produtividade do equipamento de corte, que pode ser obtido pelo corte de placas identicasem paralelo. Um problema unidimensional para a formulacao matematica de um Problema deCorte e formulado em [5] e esta modelagem e estendida para problemas com dimensoes mai-ores. Em [7], e feita uma revisao das abordagens propostas na literatura para os problemas de

BRESSAN, G. M.; BELINELLI, E. O. Modelagem e solução de problemas de corte e empacotamento por meio da programação linear. C.Q.D.– Revista

Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 8, p. 15-28, dez. 2016.

DOI: 10.21167/cqdvol8ic201623169664gmbeob1528 - Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/

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Edição Iniciação Científica.

empacotamento em faixas bi-dimensional.Poldi e Arenales (2009) abordam um caso em que existem varios comprimentos de estoque

disponıveis em quantidades limitadas. Alguns metodos heurısticos sao propostos a fim de obteruma solucao inteira e comparada com outras solucoes [8]. Os metodos heurısticos sao analisadosempiricamente por meio da solucao de um conjunto de instancias geradas aleatoriamente e umconjunto de instancias da literatura.

O problema de corte, quando escrito como um problema de programacao inteira, o grandenumero de variaveis envolvidas geralmente torna a resolucao infactıvel. Para superar esta difi-culdade, Gilmore e Gomory (1961) desenvolveram uma tecnica para a formulacao do problemacom programacao linear. A tecnica permite o calculo sempre com uma matriz que nao tenha maiscolunas do que linhas [9].

Na literatura, sao encontrados estudos de Problemas de Corte e Empacotamento, que fazemuma abordagem geral de aplicacoes de problemas de otimizacao linear em problemas reais. Em[10], por exemplo, e realizado uma abordagem da Formulacao Inteira para o Problema de Empa-cotamento em Faixa 2d com Restricoes de Balanceamento e Ordem. Nesse contexto, e estudadoum modelo de programacao linear inteira para o caso em que itens nao podem ser rotacionados,mas devem ser empacotados de forma ortogonal aos lados da faixa. Em [11], e realizado umaabordagem de Problemas de Corte e Empacotamento, que estuda a aplicacao de problemas decorte e empacotamento com restricoes praticas que representa cenarios reais na industria.

No trabalho de [12] sao discutidos modelos matematicos de problemas de empacotamento bi-dimensionais, algoritmos de aproximacao, metodos heurısticos e metaheurısticos e aproximacoesnumericas. Casos especiais onde itens sao empacotados em forma de linhas sao discutidos emdetalhes.

Dois modelos robustos de programacao linear inteira mista sao propostos em [13] para o pro-blema de empacotamento de tirar irregulares, com o objetivo de contornar as limitacoes dos mo-delos existentes quanto a complexidade dos algoritmos de manipulacao geometrica, necessariospara as restricoes de nao sobreposicao de pecas. Novas instancias baseadas no mundo real comgeometrias mais complexas sao propostas e utilizadas para verificar a robustez dos novos mode-los.

Este trabalho esta organizado da seguinte forma: a Secao 2 apresenta a formulacao geral deum Problema de Programacao Linear, bem como o algoritmo do Metodo Simplex. A Secao 3descreve os fundamentos e a formulacao do Problema de Corte e Empacotamento. Em seguida,a Secao 4 apresenta os estudos de casos e seus resultados numericos obtidos pela aplicacao doMetodo Simplex. Conclusoes e consideracoes finais sao apresentadas na Secao 5.

2 Problema de Programacao Linear (PPL)A abordagem de resolucao de um problema por meio da Programacao Linear (PPL) envolve aexecucao de alguns passos. Primeiramente, e necessario definir o problema, ou seja, o que sedeseja maximizar ou minimizar. Em seguida, o problema e formulado matematicamente comoum PPL. Depois disso, algum metodo de resolucao deve ser aplicado para solucionar o problemaem estudo. Por fim, deve-se validar a solucao, ou seja, verificar se o modelo proposto representao comportamento real da situacao [2].




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Na formulacao geral de um PPL, se existem n decisoes a serem tomadas, e associada umavariavel a cada um dos valores quantitativos do problema e esta variavel e chamada de variavelde decisao. Desta forma, as variaveis de decisoes sao representadas por xi com i = 1,2, ...,ne, ao aplicar um metodo de solucao o valor dessas variaveis sao determinados. O objetivoprincipal do problema e aquilo que se pretende maximizar (lucros, receitas, vendas) ou mini-mizar (custos, perdas, recursos). Uma funcao numerica das variaveis de decisao, chamada defuncao objetivo, e entao estruturada para representa-lo. Deve-se tambem analisar quais sao aslimitacoes impostas ao problema. Tais limitacoes devem ser expressas matematicamente pormeio de equacoes e/ou inequacoes lineares, chamadas de restricoes do problema. Inerente aosproblemas de Programacao Linear, esta a condicao de que todas as variaveis de decisao perten-cem ao primeiro quadrante, ou seja, sao maiores ou iguais a zero: x ≥ 0. Esta e chamada decondicao de nao- negatividade [2].

Assim, para a formulacao de um PPL, deve-se expressar a funcao objetivo (FO), o conjuntode restricoes e as condicoes de nao-negatividade, conforme as Equacoes (1) a (3).

min ou max c1x1 + c2x2 + c3x3 + ...+ cnxn (1)sujeito aa11x1 +a12x2 +a13x3 + ...+a1nxn [sinal] b1

a21x1 +a22x2 +a23x3 + ...+a2nxn [sinal] b2

a31x1 +a32x2 +a33x3 + ...+a3nxn [sinal] b3 (2)(...)

am1x1 +am2x2 +am3x3 + ...+amnxn [sinal] bm

x1,x2,x3, ...,xn > 0 (3)

Em que,i. x1,x2,x3, ...,xn sao as variaveis de decisao;ii. c1,c2,c3, ...,cn sao os coeficientes (numeros reais) da funcao objetivo;iii. b1,b2,b3, ...,bm sao as constantes (numeros reais) de cada uma das restricoes;iv. ai j sao os coeficientes (numeros reais) das restricoes;v. o sımbolo [sinal] indica que a restricao pode ser uma equacao ou uma inequacao.

A equacao (1) representa a funcao objetivo; as equacoes (2) representam o conjunto dasrestricoes e a equacao (3) representa a condicao de nao-negatividade.

2.1 O Metodo SimplexO Metodo Simplex e um algoritmo que se utiliza de uma ferramenta baseada na Algebra Linearpara determinar, por um metodo iterativo, a solucao que minimiza ou maximiza a funcao obje-tivo (1) de um Problema de Programacao Linear (PPL) [14]. Esta solucao e chamada de solucaootima. O Metodo Simplex foi o primeiro metodo efetivo desenvolvido para resolver um problemade Programacao Linear e sua aplicacao fundamenta- se no Teorema Fundamental da PL.

Teorema Fundamental da Programacao Linear: Se o Problema de Programacao Linearadmitir solucao otima, esta podera ser encontrada em pelo menos um ponto extremo de seuconjunto viavel.




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A demonstracao deste teorema pode ser vista em [15].

Em linhas gerais, o Metodo Simplex e um metodo numerico de auxılio a tomada de decisoesque, a partir de uma solucao inicial (pertencente a um vertice do sistema de equacoes que cons-tituem as restricoes do problema), busca novas solucoes viaveis (novos vertices) de valor igualou melhor que a solucao corrente, ate que a solucao otima seja encontrada, se esta existir. Maisdetalhes sobre o Metodo Simplex podem ser consultados em [2, 3, 14].

Considere o problema primal de otimizacao linear na forma padrao como a seguir [2]:

min f (x) = cT x

s.a: Ax = b

x≥ 0

onde A ∈ Rmxn e, sem perda de generalidade, assuma que posto (A) = mA solucao geral do sistema em Ax = b pode ser descrita considerando uma particao nas colu-

nas de A:A = (B,N)

tal que B ∈ Rmxn, formada por m colunas da matriz A, seja nao singular. Desta forma, a matrizB e constituıda pelas colunas basicas de A e a matriz N pelas colunas nao basicas. A particaoequivalente e feita no vetor das variaveis:

x = (xB,xN),

onde xB e chamado vetor de variaveis basicas e xN vetor de variaveis nao basicas. Assim,

Ax = b⇔ BxB +NxN = b⇔

xB = B−1b−B−1NxN .

Dada uma escolha qualquer para xN , tem-se xB bem determinado, de modo que o sistema estaverificado.

Definicao 1 A solucao particular x obtida por x0B = B−1b,x0

N = 0 e chamada solucao basica. Sex0

B = B−1b≥ 0, entao a solucao basica e primal factıvel.

Considere tambem a particao nos coeficientes do gradiente da funcao objetivo c:

cT = (cB,cN)T .

Definicao 2 O vetor y ∈ Rm, dado por

yT = cTBB−1

e definido como vetor das variaveis duais ou vetor multiplicador simplex. Se




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c j− yT a j ≥ 0,

para j = 1, . . . ,n entao y e uma solucao basica dual factıvel, e diz-se que a particao e dualfactıvel, onde a j representa a coluna j da matriz de restricoes A.

Definicao 3 Denomina-se estrategia simplex a seguinte perturbacao da solucao basica: escolhak ∈ N, onde N e o conjunto de ındices de variaveis nao basicas, tal que ck− yT ak < 0; facaxk = ε ≥ 0, x j = 0,∀ j ∈ N− k.

A estrategia simplex produz uma nova solucao dada porxB = x0

B + εdBxN = εek

e o valor da funcao objetivo dado por:

f (x) = f (x0)+(ck− yT ak)ε

onde dB =−B−1ak e ek = (0, . . . ,1, . . . ,0)T ∈ Rm−n com 1 na k-esima componente.A direcao d ∈ Rn, dada por d = (dB,dN)

T = (dB,ek)T , define uma perturbacao da solucao

basica e e chamada direcao simplex. Se a solucao basica for nao-degenerada, isto e, x0B > 0,

entao d e uma direcao factıvel. Note ainda que o produto escalar entre d e o gradiente da funcaoobjetivo e cT d = ck− yT ak < 0. Portanto d e uma direcao de descida.

Da estrategia simplex, pode-se determinar o maior valor de ε , impondo xB ≥ 0:

ε0 = min

−

x0Be

dBe

|dBe < 0, i = 1, . . . ,m

onde x0Be

e a e-esima componente de x0B, que sai da base.

Em suma, o Metodo Simplex basicamente vai experimentar uma sequencia de solucoes basicasviaveis, na busca do valor otimo para a funcao objetivo.

2.2 O Algoritmo Primal SimplexO algoritmo do Metodo Primal Simplex e descrito a seguir, para um problema de minimizacaoescrito na forma padrao.

fase IEncontre uma particao basica primal-factıvel: A = (B,N).

Faca PARE=FALSO, IT=0(Sera FALSO ate que a condicao de otimalidade seja verificada. IT indica o numero da iteracao.)

fase IIEnquanto NAO PARE faca:




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• Determine a solucao basica primal factıvel: xB = B−1b.• Teste de otimalidade:Determine a solucao basica dual: yT = cT

BB−1;Encontre xk com custo relativo: ck− yT ak < 0.Se ck− yT ak ≥ 0, ∀ k = 1, . . . ,n−m, entao a solucao na iteracao IT e otima.

PARE=VERDADE.

Senao:• Determine a direcao simplex: dB =−B−1ak, de mudanca nos valores das variaveis basicas

• Determine o passo: ε0 = min− x0

BedBe|dBe < 0, i = 1, . . . ,m

.

Se dB ≥ 0, o problema nao tem solucao otima finita.PARE=VERDADE.Senao:• Atualize a particao basica: aBl ↔ ak, IT ← IT +1.

Fim enquanto.

O Metodo Simplex, por se tratar de um processo iterativo, pode ser implementado em qual-quer linguagem de programacao para execucao de suas iteracoes.

3 Problema do Corte e EmpacotamentoNo processo de manufatura de algumas empresas, muitas vezes se faz necessario cortar pecasmaiores em itens menores de tamanhos variados para que seja possıvel atender toda a demanda[3]. Nesse processo de corte, sao geradas sobras de materiais que, muitas vezes, nao podemser reaproveitadas. Desta forma, o Problema do Corte consiste em escolher padroes de corte demateriais, como rolos de papel, chapas metalicas, etc., de modo a atender a demanda, utilizandoa menor quantidade de material ou resultando na menor perda possıvel [16]. O Problema doCorte pode ser considerado unidimensional em que, por exemplo, barras metalicas, barras deaco e bobinas de papel sao cortados apenas em uma dimensao, ou bidimensional em que placasde madeira, tecido e chapas de aco sao cortadas em duas dimensoes, ou tridimensional, em queblocos de espumas, por exemplo, para a producao de colchoes, travesseiros e empacotamento deprodutos sao cortados em tres dimensoes [3].

Analogamente, podemos definir o Problema de Empacotamento. No processo de manufaturade algumas empresas, o Problema de Empacotamento pode ser definido como o caso em queitens (pecas menores) devem ser alocados em objetos (pecas maiores), de tamanhos variados,para atender as solicitacoes de clientes, de modo que a perda de itens seja minimizada [3]. Ana-logamente, o Problema de Empacotamento consiste na escolha de padroes de empacotamentos demodo que seja atendida a demanda, resultando na menor perda de material possıvel [4]. Este tipode problema pode ser formulado por meio da Programacao Linear [3] e e amplamente estudadona literatura.




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Em um problema unidimensional, deseja-se cortar barras disponıveis de um tamanho pa-dronizado L para a producao de m tipos de itens, com tamanhos l1, l2, ...lm, em quantidadesvariadas b1,b2, ...,bm, respectivamente [3]; isto e, deve ser produzida a quantidade bi da pecade comprimento li. Varios padroes de corte distintos podem ser determinados. Um vetor a =(a1,a2, ...,am)

T representa um padrao de corte unidimensional se, e somente se, o sistema (4) esatisfeito.

l1a1 + l2a2 + ...+ lmam ≤ L (4)

a1 ≥ 0,a2 ≥ 0, ...,am ≥ 0e inteiros

Suponha que existam n padroes de corte, ou seja, n solucoes possıveis para o sistema. Umavez definidos os padroes, o problema consiste em determinar quantas barras devem ser cortadasde acordo com cada padrao, de modo que a demanda de cada item seja atendida, utilizando-se omenor numero possıvel de barras [3]. Define-se a variavel x j como o numero de barras cortadasconforme o padrao de corte j. O problema de corte pode entao ser formulado como nas equacoes(5).

Minx1 + x2 + ...+ xn (funcao objetivo)

sujeito a

a11x1 +a12x2 + ...+a1nxn = b1

a21x1 +a22x2 + ...+a2nxn = b2 (5)...

am1x1 +am2x2 + ...+amnxn = bm

Como as variaveis deste modelo representam o numero de barras a serem cortadas, devem sernecessariamente inteiras. Na pratica, esta condicao dificulta a resolucao do modelo. Desta forma,suponha que a demanda bi seja dada em uma unidade de peso. Desta forma, de acordo com [3],pode ser feita uma mudanca de variavel, em que y j denota a quantidade (peso) cortada conformeo padrao de corte j, obtendo-se um modelo equivalente conforme as equacoes (6) e (7).

Miny1 + y2 + y3 + ...+ yn (funcao objetivo) (6)

sujeito a

(l1/L)a11y1 +(l1/L)a12y2 + ...+(l1/L)a1nyn = b1

(l2/L)a21y1 +(l2/L)a22y2 + ...+(l2/L)a2nyn = b2 (7)...

(lm/L)am1y1 +(lm/L)am2y2 + ...+(lm/L)amnyn = bm

onde y j ≥ 0 significa a quantidade (em uma unidade de peso) de material que deve ser cortadano padrao j.




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4 Estudo de CasosEsta secao apresenta a formulacao matematica de dois problemas reais por meio da ProgramacaoLinear, que minimizem a quantidade de perda de materiais utilizados durante o processo demanufatura de algumas industrias. O objetivo do primeiro estudo e formular um problema deProgramacao Linear que minimize a perda do produto durante o processo de empacotamento deamendoins de uma fabrica do municıpio de Nova Fatima-PR. No segundo estudo, o objetivo eminimizar o desperdıcio de material (em gramas) utilizado por uma grafica de papel do municıpiode Ibaitı-PR, durante o processo de corte e acabamento de papeis. Os estudos sao fundamentadosno Problema de Corte e Empacotamento conforme descritos na Secao 3.

4.1 Aplicacao da Programacao Linear em uma Fabrica de Empacotamen-tos de Amendoim

O objetivo deste estudo e formular um Problema de Programacao Linear (PPL) que minimizea perda do alimento (amendoim) durante o processo de empacotamento de amendoins de umafabrica do municıpio de Nova Fatima-PR, por meio da aplicacao do Problema de Empacota-mento.

Para este proposto problema de empacotamento de amendoins, a solucao otima e obtida pelaaplicacao do Metodo Simplex [7] com apoio computacional. A fabrica em estudo empacotaamendoins em dois diferentes tipos de embalagens: A (60 g) e B (140 g), sendo que a fabricadispoe de 1000 embalagens tipo A e 1000 embalagens tipo B. Para empacotar os amendoins nes-sas embalagens, sao adquiridos 60.000g de amendoins, comprados a granel. Os padroes de em-pacotamento sao pre-estabelecidos de acordo com os equipamentos e mao-de-obra disponıveis.O problema consiste em decidir quantas vezes cada padrao de empacotamento deve ser execu-tado (variaveis de decisao) de forma que a perda de produto (amendoim) seja a mınima possıvel(funcao objetivo) e a demanda seja atendida. A demanda consiste nos pedidos de 3 locais paraonde os produtos, apos o processo de empacotamento nas embalagens A e B, serao distribuıdos.Um dos locais solicita 12kg de amendoins empacotados e os demais solicitam, respectivamente,18kg e 30kg. A Tabela 1 apresenta essas demandas (tipos de pedidos) e os possıveis padroes deempacotamento de amendoins, juntamente com a perda de amendoim em cada padrao definido.As unidades foram convertidas para gramas. As variaveis de decisao xi; i = 1, ...,9 representamos padroes de empacotamento pre-estabelecidos de acordo com o equipamento e mao-de-obra dafabrica.

Tabela 1: Possıveis padroes de empacotamento.

Tipos de pedidos 1000 embalagens tipo A 1000 embalagens tipo Bx1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9

1. 12000g 1 2 2 0 2 5 3 1 12. 18000g 1 0 2 0 3 1 4 0 53. 30000g 1 1 0 2 2 2 1 4 1

PERDA (g) 0 6000 0 0 2000 2000 2000 8000 8000




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A formulacao matematica do problema de minimizacao das perdas de produto e descritoconforme as equacoes (8), como um problema de programacao linear. O objetivo e minimizar asperdas de alimento no processo de empacotamento e satisfazer a demanda dos tipos de pedidos.Alguns limitantes foram incluıdos devido ao arranjo de padroes que devem ser executados napratica em virtude dos equipamentos e mao-de-obra disponıveis. O sinal≥ nas restricoes garanteque as demandas dos pedidos serao atendidas.

min 6000x2 +2000x5 +2000x6 +2000x7 +8000x8 +8000x9

Sujeito a :

x1 +2x2 +2x3 +2x5 +5x6 +3x7 + x8 + x9 ≥ 12000

x1 +2x3 +3x5 + x6 +4x7 +5x9 ≥ 18000

x1 + x2 +2x4 +2x5 +2x6 + x7 +4x8 + x9 ≥ 30000 (8)

x5 > 1000,x6 > 1000,x7 > 1000,x8 > 0

x3 > 1000,x4 > 1000,x1 > 1000,x9 > 1000,x4 > 1000

A solucao otima e obtida pela aplicacao do Metodo Simplex, com 12 iteracoes, com apoiodo software LINDO (www.lindo.com). A solucao aponta o desperdıcio mınimo de 14.000kg deproduto e as variaveis de decisao sao o numero de execucoes de cada padrao de empacotamento:x5 = x6 = x7 = x9 = 1000,x1 = 4000,x3 = 1000,x4 = 10000,x2 = x8 = 0. Esta solucao foi com-parada com a execucao tradicional dos padroes, conforme e feita atualmente, ou seja, para quea demanda seja satisfeita, todos os padroes devem ser executados, no total, pelo menos 10000vezes. Desta forma, cada padrao e executado, em media, 1.111 vezes. Desta forma, a perda totalsera de 31.108kg. Conclui-se entao, que o modelo proposto neste trabalho reduz o desperdıcioem 17.108kg, ou seja, quase 55%.

Portanto, a aplicacao do Problema de Empacotamento e eficaz para minimizar a perda naquantidade de amendoins, uma vez que reduz o desperdıcio, satisfazendo a demanda.

4.2 Aplicacao da Programacao Linear em uma GraficaO objetivo deste estudo e formular um Problema de Programacao Linear (PPL) que minimizea perda do produto durante o corte e acabamento de papeis de uma grafica do municıpio deIbaitı-PR, por meio da aplicacao do Problema do Corte.

O Problema do Corte proposto neste trabalho pode ser definido como o caso em que umagrafica de papel utiliza folhas de resmas de um tamanho padrao L, para corta-la em unidadesmenores de tamanhos e quantidades variadas para atender uma demanda. A grafica em estudo,corta 5 tipos de papeis das folhas de resma compradas pela grafica em pacotes de 500 folhas.

Os 5 tipos de papeis cortados pela grafica sao apresentados na Tabela 2 juntamente com otamanho de cada corte feito na folha de resma e a demanda.

No entanto, durante esse processo de corte feito pela grafica, sao geradas sobras de papeisque muitas vezes nao podem ser cortadas novamente para atender outra demanda. Desta forma,definimos um Problema de Programacao Linear que minimize o desperdıcio de papeis geradosdurante o processo de corte.

A formulacao matematica deste problema pode ser feita em um problema bidimensional [3]em que deseja- se cortar folhas de resmas de um tamanho padronizado L×W , para a producao




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Tabela 2: Dados para um Problema de Corte

Tipos de papel Tamanho do Corte DemandaComum 1 26cm por 18cm 5mil

Copiativo 1 21cm por 14,5cm 40 blocosCopiativo 2 22cm por 15cm 5 blocosAdesivo 1 21,5cm por 20cm 6 milAdesivo 2 20cm por 19cm 24 mil

em quantidades variadas b1,b2, ...,bm. Ou seja, deve ser produzida a quantidade bi da peca detamanho li×wi para que seja atendida a demanda [4]. Para este estudo a solucao otima e obtidapor meio da aplicacao do Metodo Simplex com apoio computacional.

O tamanho padrao L×W e o tamanho de uma folha de resma utilizado pela grafica (66cm×96cm). Todas as variaveis e parametros do problema foram convertidos para gramas. Isto e,multiplica-se o tamanho de uma folha de resma (largura x altura) pelo peso (250g) e pelas 500folhas de resma. Ou seja, 96× 66× 250× 500 = 79,2Kg. Como um pacote de resma tem 500folhas podemos obter o peso (em gramas) de uma folha. Divide-se o peso da resma pela quan-tidade de folhas: 79,2/500 = 158g. Cada folha de resma possui 158g. O mesmo procedimentoe aplicado para encontrar o peso de cada quantidade de papel cortada pela grafica. Dessa forma,multiplica-se o tamanho de cada papel cortado pelo peso e pela quantidade de folhas de resma.Com isso, encontramos o valor em quilos de cada papel. Em seguida, divide-se pela demanda,encontrando o peso de gramas de cada unidade cortada. A Tabela 3 apresenta o valor de cadademanda em gramas.

Tabela 3: Dados para um Problema de Corte

Tipos de papel Demanda Peso/DemandaComum 1 5000 790000g

Copiativo 1 4000 632000gCopiativo 2 4000 632000gAdesivo 1 6000 948000gAdesivo 2 24000 3792000g

O problema consiste em decidir quantas vezes cada padrao de corte deve ser executado deforma que a demanda seja atendida e a perda do produto seja minimizada.

A Tabela 4 apresenta os possıveis e pre-estabelecidos padroes de corte de papeis juntamentecom a perda (em gramas) de cada padrao definido. As variaveis de decisao y j; j = 1, ...10 re-presentam os padroes estabelecidos de acordo com a materia-prima disponıvel e a demanda dagrafica.

A formulacao matematica do problema que minimiza a perda de papeis e descrita conformeas equacoes (8) como um Problema de Programacao Linear. O objetivo e minimizar o desperdıciode papeis utilizados durante o processo de corte feita pela grafica. O sinal de ≥ nas restricoesgarante que as demandas dos tipos de papel serao atendidas.




25

de m tipos de itens (unidades menores de papeis) com tamanhos l1×w1, l2×w2, ..., lm×wm

Tabela 4: Possıveis Padroes de Corte

Demanda Padroes de Cortea1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10

1. 790000g 4 2 0 4 0 5 3 3 4 42. 632000g 2 2 5 2 3 0 1 0 1 33. 632000g 3 2 4 1 2 0 3 2 0 24. 948000g 4 3 1 3 4 4 2 4 2 1

5. 3792000g 2 1 0 2 2 1 3 1 5 4PERDA (g) 0,002 0,006 0,075 0,035 0,056 0,045 0,041 0,053 0,035 0,026

min 0,002y1 +0,006y2 +0,075y3 +0,035y4 +0,056y5 + ...

...+0,045y6 +0,041y7 +0,053y8 +0,035y9 +0,026y10

Sujeito a :

4y1 +2y2 +4y4 +5y6 +3y7 +3y8 +4y9 +4y10 ≥ 790000

2y1 +2y2 +5y3 +2y4 +3y5 + y7 + y9 +3y10 ≥ 632000

3y1 +2y2 +4y3 + y4 +2y5 +3y7 +2y8 +2y10 ≥ 632000 (9)

4y1 +3y2 + y3 +3y4 +4y5 +4y6 +2y7 +4y8 +2y9 + y10 ≥ 948000

2y1 + y2 +2y4 +2y5 + y6 +3y7 + y8 +5y9 +4y10 ≥ 3792000

y1 < 900000,y2 < 800000,y3 > 500,y4 > 900,y5 > 600,y6 > 800,y7 > 800,y9 > 900,y10 >10000

A solucao otima e obtida pela aplicacao do Metodo Simplex, com 16 iteracoes, com apoiodo software LINDO (www.lindo.com). A solucao aponta o desperdıcio mınimo de 14.526,90gde papel e as variaveis de decisao sao o numero de execucoes de cada padrao de corte. Ouseja, y1 = 900000,y2 = 800000,y3 = 500,y4 = 900,y5 = 600,y6 = 800,y7 = 800,y8 = 700,y9 =900,y10 = 296275. Esta solucao foi comparada com a execucao tradicional dos padroes de cortefeitos pela grafica. Desta forma, a perda total de papel em situacoes praticas da grafica, parasatisfazer esta demanda, e de 24.648,00g. Portanto, o modelo proposto neste trabalho reduz odesperdıcio em 41,07%. Desta forma, pode ser concluıdo que a aplicacao do Problema do Cortee eficaz para minimizar a perda da quantidade de papeis, uma vez que reduz o desperdıcio esatisfaz a demanda.




26


5 ConclusaoEste trabalho teve por objetivo apresentar a modelagem dos Problemas de Corte e Empacota-mento em situacoes reais e aplicar o metodo Simplex para obter a solucao para estes problemasde otimizacao linear, em que deseja-se minimizar o custo de empacotamento de produtos e odesperdıcio de material no processo de corte, procedimentos estes utilizados por industrias depequeno porte durante o processo de manufatura de seus produtos e servicos.

Esta abordagem e feita em industrias que utilizam processos de corte e empacotamento deseus produtos sem a aplicacao de um metodo de otimizacao, gerando custos e perdas indesejaveisde materiais que, muitas vezes, nao podem ser utilizados novamente para atender a uma outrademanda.

Desta forma, por meio dos resultados obtidos neste trabalho, verifica-se que a aplicacao dosmetodos de otimizacao dos Problemas de Corte e Empacotamento foi eficaz para a reducao docusto e do desperdıcio de materiais. Estes resultados corroboram com outros resultados encon-trados na literatura a respeito da efetividade na minimizacao de funcoes por meio da aplicacaodo Metodo Simplex.

Minimizando o custo no processo de empacotamento, bem como minimizando o desperdıciode papel no processo de corte, os resultados obtidos neste trabalho contribuem para a reducaodo descarte de dejetos e para o impacto ambiental, apresentando assim uma contribuicao positivapara o meio ambiente.

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,




28


ISSN 2316-9664Volume 8, dez, 2016


Pedro Lima RamosUniversidade do [email protected]

Os primordios do calculo infinitesimalThe dawn of calculus

ResumoO Calculo Infinitesimal principiou a surgir por volta do seculoXV II, como resultado do trabalho de varios matematicos, comopor exemplo Fermat (1601− 1665 d.C.), Barrow (1630− 1677d.C.), Newton (1643− 1727 d.C.), Leibniz (1646− 1716 d.C.).Nesta fase incipiente, nem todos os procedimentos e justificacoeseram claros e incontroversos. Por exemplo, recorria-se frequente-mente as ideias de quantidade infinitamente pequena e de razaoultima, sendo que, todavia, nao existiam ainda definicoes for-mais de limite. Tais conceitos eram sobretudo tratados de formaintuitiva. No presente artigo, apresentam-se tres exemplos ma-tematicos muito concretos relativos a esta fase, dois de Newton eum de Leibniz.Palavras-chave: Historia da Matematica. Calculo Infinitesimal.Newton. Leibniz.

AbstractThe Calculus has begin to arise in the 17th century, as aresult of the work of several mathematicians, for instance,Fermat(AD1601 − AD1665), Barrow (AD1630 − AD1677),Newton (AD1643−AD1727), Leibniz (AD1646−AD1716). Atthis initial stage not all procedures were clear and indubitable. Asa matter of fact the ideas of infinitely small quantities and ulti-mate ratio were often used. However, at the time, there was not aformalization of the notion of limit. Such a concept was handledintuitively. At the present paper three mathematical examples arepresented, two from Newton and one from Leibniz.Keywords: History of Mathematics. Calculus. Newton. Leibniz.

1 IntroducaoDe acordo com uma visao tradicional, a invencao do Calculo e atribuıda a Isaac Newton

(1643− 1727 d.C.) e a Gottfried von Leibniz (1646− 1716 d.C.). Estes dois matematicos, apa-rentemente de forma independente, conceberam algoritmos que foram universalmente usados eque, em parte, sao atualmente aplicados. Para alem disso, contribuıram para o desenvolvimentoda logica dos conceitos de derivada e de integral. Neste sentido, estes dois homens tiveram umpapel preponderante na criacao deste ramo da matematica. Nao foram todavia os unicos, por umlado, e, por outro, grande parte das nocoes por ambos criadas foram so rigorosamente elaboradasdois seculos mais tarde. Newton e Leibniz devem muito aos seus imediatos predecessores nodesenvolvimento da nova analise. Com efeito, todos os estudos anteriormente ja feitos nesta areapor Barrow (1630− 1677 d.C.), Fermat (1601− 1665 d.C.), entre outros, bem como todos osdesenvolvimentos na area da Geometria ate entao concebidos, ajudaram ao desenvolvimento doCalculo Fluxionario de Newton e do Calculo Diferencial de Leibniz.

Poder-se-a afirmar que Newton teve uma abordagem de cariz um tanto fısica, no sentido deque encarava as curvas como sendo trajetorias de pontos materiais. Todavia, as justificacoes queapresentava nao eram absolutamente claras e incontroversas, sobretudo quando eliminava termosenvolvendo potencias de o , com o um instante que considerava infinitesimal. Inclusivamente,numa fase inicial, Newton considerava qualquer tentativa de questionar a instantaneidade domovimento e a taxa de variacao instantanea como algo ligado a metafısica, evitando desta formadefinicoes formais. Numa fase posterior tentou uma abordagem um pouco menos intuitiva.

Gottfried Wilhelm von Leibniz, para alem de matematico, foi um eminente filosofo e logi-cista. Ficou essencialmente conhecido pelo trabalho que realizou no nascimento do Calculo epela monodologia na Filosofia (cf. [6]). Em 1672, conheceu Huygens (1629− 1695 d.C.) emParis, que o instou a empreender um estudo profundo em matematica. Na sua visita a Londres,em 1673, conheceu um grande numero de matematicos, aprendendo muito sobre series infinitas,comprando uma copia de Geometrical Lectures de Isaac Barrow, e podera ter conhecido o Deanalysi de Newton. Posteriormente, em Paris, no mesmo ano, estudou os trabalhos matematicosde Cavalieri (1598− 1647 d.C.), Torricelli (1608− 1647 d.C.), Roberval (1602− 1675 d.C.),Sluze (1622−1685 d.C.), Hudde (1628−1704 d.C.), entre outros.

Um dos primeiros frutos do seu estudo em problemas de quadraturas foi o Teorema daTransmutacao, com o qual consegue exprimir a area de uma circunferencia unitaria a custa deuma serie. Teve igualmente um papel preponderante ao nıvel da notacao. A notacao utilizadahoje no Calculo e em grande parte a sua. Tal como Newton, Leibniz mostrou-se incomodadocom as bases logicas dos seus procedimentos. Argumentou todavia que as magnitudes infinite-simais eram ficcoes uteis para abreviar as opreracoes e que apenas as razoes entre infinitesimoseram significativas. Ou seja, preconizou que as quantidades infinitesimais podiam ser canceladas,ao passo que divisoes entre quantidades infinitesimais nao o deveriam ser.

A fragilidade das bases logicas deste novo calculo foi consideravelmente criticada. Entre taiscriticas tiveram especial eco as consideracoes do filosofo George Berkeley (1685− 1753 d.C.)que alertou para a contradicao do uso de incrementos que, posteriormente, para se atingir umresultado, deixam aparentemente de o ser quando sao igualados a zero. Estas criticas instaramoutros matematicos a progressivamente formalizarem e aprimorarem todos estes conceitos, o quegradualmente conduziu ao Calculo Infinitesimal como hoje o conhecemos.

No presente artigo, apresentam-se tres exemplos muito concretos de calculos empreendidospor Newton e Leibniz, sempre que possıvel com as notacoes por eles apresentadas.

30

RAMOS, P. L. Os primórdios do cálculo infinitesimal. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 8, p. 29-39, dez. 2016. Edição Iniciação Científica.

DOI: 10.21167/cqdvol8ic201623169664plr2939 - Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/

2 Newton - Determinacao da razao entre as fluxoes y e x dedois fluentes y e x relacionados por uma equacao da formaf (x,y) = 0

Considere-se um ponto material A, descrevendo uma trajetoria definida pela relacao y = xn,n ∈ N, com velocidade qualquer, constante ou nao.

Suponha-se que a curva da Figura 1 e o grafico desta relacao. A medida que a curva eassim percorrida, existem quantidades que vao variando com o tempo. Estas quantidades sao porNewton denominadas de fluentes. Por exemplo: o valor das abcissas x e das ordenadas y relativasas posicoes ocupadas pelo ponto material, a area z da regiao do espaco compreendida entre acurva, o eixo dos xx e a reta perpendicular a este ultimo contendo A. As velocidades com que osfluentes variam com o tempo sao as fluxoes. Existem, entao, as fluxoes dos fluentes, para cadainstante t. Por exemplo, a fluxao do fluente x e x; a fluxao do fluente z e z. Note-se que x e yvariam entre os numeros Reais.

x

xn A

~vx;A

Figura 1: Ponto material A descrevendo uma trajetoria definida pela relacao y = xn, n ∈ N, com~vx;A = ∆x

o~i+ ∆y

o~j,~i = (1,0), ~j = (0,1), o uma quantidade de tempo infinitesimal

Seja o uma quantidade de tempo infinitesimal. Entao, x = ∆xo , pelo que ∆x = xo. Desta forma,

∆x sera o deslocamento em relacao ao eixo dos xx de A durante o instante infinitesimal o. E umdeslocamento que Newton representa por xo. Como o e infinitesimal, x aproxima o conceito develocidade instantanea em relacao ao eixo das abcissas do ponto material, no ponto da curva deabcissa x, que A percorre num instante t. Analogamente, y = ∆y

o e ∆y = yo.Ora, volvido o instante o, A esta no ponto da curva de coordenadas (x+ xo,y+ yo). Precisa-

mente por ser um ponto da curva, verifica-se que y+ yo− (x+ xo)n = 0. Neste ponto, Newtonfaz uso do teorema binomial, por ele deduzido durante o Inverno de 1664:

Teorema 1 Sejam a,x ∈ R e n ∈ N . Entao,

(a+ x)n = an +n1

an−1x+n(n−1)

1×2an−2x2 + . . .+ xn.

Dem. cf. [4]

31



Entao,

y+yo−(x+ xo)n=0⇔y+yo−(

xn +nxn−1xo+n(n−1)

2xn−2x2o2 + . . .+ xnon

)=0

⇔ y− xn + yo−nxn−1xo− n(n−1)2

xn−2x2o2− . . .− xnon = 0.

Dividindo por o e porque y− xn = 0, vem:

y−nxn−1x− n(n−1)2

xn−2x2o− . . .− xnon−1 = 0.

Neste ponto, Newton faz n(n−1)2 xn−2x2o = 0 , bem como todos os termos seguintes. Logo,

y−nxn−1x = 0⇔ yx= nxn−1.

Repare que yx coincide com o que hoje denominamos de derivada da funcao definida por y =

y(x) = xn. Poder-se-a tal justificar fazendo uma ligacao com a linguagem Leibnizeana atualmenteadotada. Note que y = dy

dt e x = dxdt , com dx, dy e dt as diferenciais de x, y e t, respetivamente.

Desta forma, yx =

dydt

dtdx =

dydx .

Newton justificou o controverso cancelamento dos termos nos quais figura o por o que de-nominou de metodo da primeira e da ultima razao, no qual parece investigar qual a “razao ultima”entre xn e x, ou seja, aparentemente parece perscrutar o que hoje se denotaria por limo→0

(x+xo)n−xn

xo .Nas suas palavras: “Ao mesmo tempo que x, fluindo, se transforma em x+ xo, xn transforma-seem (x+ xo)n, isto e,

xn +nxn−1xo+n(n−1)

2xn−2x2o2 + . . .+ xnon

e os incrementos

xo e nxn−1xo+n(n−1)

2xn−2x2o2 + . . .+ xnon

estao, um para o outro, como

1 para nxn−1 +n(n−1)

2xn−2xo+ . . .+ xn−1on−1.

Fazendo agora os incrementos desaparecer, vem que a ultima proporcao sera 1 para nxn−1;logo, a fluxao da quantidade x esta para a fluxao da quantidade xn como 1 : nxn−1.”

Repare que o raciocınio parece ser que, como (x+xo)n−xn

xo = nxn−1 + n(n−1)2 xn−2xo + . . .+

xn−1on−1, entao a ultima razao ocorre quando o deixa de ser aproximadamente igual a zero paraser exatamente igual a zero, do que resulta que a ultima proporcao sera de 1 para nxn−1.

32



3 Metodo para determinar a expressao analıtica de uma funcaode tal forma que a area entre o seu grafico e o eixo dos xxobedece a uma funcao em x

Pretende-se a expressao analıtica y = f (x) de uma funcao cujo grafico seja a curva para a quala area entre ela e o eixo dos xx seja z = 2

3x32 , para todo o x ≥ 0. Considere-se a Figura 2 com

o suposto grafico da curva desejada. Note-se que, na Figura 2, o representa um comprimentoinfinitesimal, nao um tempo infinitesimal, como anteriormente.

BA C

DE

F

G

z

xo

y v

Figura 2: Grafico de uma funcao y = f (x) tal que z = 23x

32

Para a abcissa x+o, a area correspondente sera z+ov . Entao,

(z+ov)2 =49(x+o)3⇔ z2 +2zov+o2v2 =

49(x3 +3x2o+3xo2 +o3) .

Como z2 = 49x3,

49

x3 +2zov+o2v2 =49(x3 +3x2o+3xo2 +o3) .

Simplificando e dividindo por o, vem:

2zv+ov2 =49(3x2 +3xo+o2) .

Uma vez mais se considera ov2 = 0 porque o≈ 0; 3xo = 0 porque o≈ 0; o2 = 0 porque o≈ 0.Logo, 2zv = 4

9

(3x2)⇔ 2zv = 4

3x2.De novo, Newton envereda por uma abordagem intuitiva. Por ov ser a area de uma porcao de

espaco infinitesimal, v≈ y, pelo que 2zv = 43x2⇔ y = 4

3x2 12z . Uma vez que z2 = 4

9x3,

y =43

x2 12z⇔ y =

43

x2 12

3

2x32⇔ y = x

12 .

33



No tratado do metodo, Newton constroi uma tabela na qual na coluna da esquerda figura aexpressao analıtica de funcoes e na da direita a area z sob os graficos das mesmas. Para tal, usa ometodo descrito. Eis um excerto dessa tabela:

y = f (x) zy = axn−1 z = a

nxn

y = axn−1

(b+cxn)2 z = ( anb)xn

b+cxn

y = axn−1√b+ cxn z = 2a3nc (b+ cxn)

32

y = ax2n−1√

b+cxn z = 2anc

(−2b3c + 1

3xn)√b+ cxn

Tabela 1: Curvas e respetivas areas entre as ditas e o eixo dos xx; a,b,c ∈ R,n ∈ N

4 Leibniz−Terminologia e serie aritemetica para o valor de π

Leibniz comeca por notar o seguinte: sejam A, B, C, D e E uma sequencia de numeros,independentemente da sua grandeza, e L, M, N, P a sequencia das diferencas, ou seja, L =B−A, M = C−B, N = D−C, P = E−D. Entao, E−A = L+M +N +P. Este resultado temparticular interesse quando aplicado a geometria. Considera entao Leibniz uma curva com inıciona origem O, definida num intervalo dividido num numero finito de sub-intervalos, definindoas ordenadas yi dos pontos xi na fronteira dos intervalos. Pelo dito anteriormente, a soma dasequencia δyi das diferencas dessas ordenadas e igual a yn− y0, a diferenca entre a ordenadafinal e a ordenada inicial. Adicionalmente, constroi a sequencia ∑yi, onde ∑yi = y0 + y1 +. . .+ yi; seguidamente constroi a sequencia das diferencas δ ∑yi e constata ser esta igual asequencia geral de ordenadas.

Tudo isto para situacoes finitas. Contudo, Leibniz extrapola estes dois resultados para situacoescom infinitas ordenadas. Comeca a encarar, assim, numa idealizacao puramente mental, a Figura3a) como sendo um polıgono com infinitos lados infinitamente pequenos. Um esboco possıvelde como seria este polıgono esta presente na Figura 3b). A curva e, ento, transformada numconjunto de segmentos de reta com diferentes inclinacoes. Quadrar a curva da Figura 3a) equi-valeria a determinar a area do polıgono da Figura 3b). Os pontos extremos de cada segmentode reta estao infinitamente proximos, ou, de outra forma, sao considerados “consecutivos”. Asdiferencas entre as ordenadas dos pontos extremos de cada segmento sao infinitamente pequenas.Leibniz representa essas diferencas por dy. Sao as diferenciais de y. Por outro lado, a soma dasinfinitas ordenadas e representada por

∫y.

34



Figura 3

yn

O

(a) Curva que se pretente quadrar

yn

O

(b) Polıgono idealizado

Leibniz introduz assim duas notacoes: d e∫

. A primeira vem da palavra latina differentia, asegunda do S de summa. Aplica a primeira a diferencas que considera infinitamente pequenas; asegunda, a somas com um numero infinito de termos.

Entao, a primeira regra transposta para o caso das infinitas ordenadas diz que∫

dy = yn. Asegunda da-nos o seguinte resultado: d

∫y = yn.

A area sob a curva seria a area do polıgono idealizado, isto e, o somatorio, com infinitostermos, das areas infinitesimais ydx, com dx a diferencial de x, ou seja,

∫ydx.

Considere-se agora a curva da Figura 4.

A B CxO

DF

GH

Ey

TI

dxdy

ds

τ

zh

Figura 4: Curva que se pretente quadrar

E, F sao dois pontos da curva infinitamente proximos; τ a tangente a curva em F .Leibniz denomina o triangulo ∆dxdyds de triangulum characteristicum, um triangulo rectangulo

de area que considera infinitamente pequena, cuja hipotenusa coincide com o ponto de contatoentre a curva e a tangente τ . Sublinhe-se novamente que, aqui, a area sob a curva e consideradacomo sendo a area de um polıgono.

Sejam, entao, T , I , h, z como na Figura 4.

35



Pelo Teorema de Tales (cf. [2], [3]), ∆dxdyds e semelhante a ∆T GE. Mas,

∠−→

ET ,−→EG= ∠

−→OI,−→OT= α e

∠−→

T E,−→T G= ∠

−→T I,−→TO= γ, pois:

1)−→

GT ,−→GE= ∠

−→IT ,−→IO= 1 reto;

2)−→

ET ,−→EG= ∠

−→OI,−→OT= α;

3) A soma dos angulos internos de um triangulo e dois retos.

Pelo que ∆T IO e semelhante a ∆T EG, logo, por transitividade, ∆T IO e semelhante a ∆dxdyds.Do que dx

h = dsz , isto e, zdx = AB AH = hds e hds = 2× area∆OFE. Com efeito, como a altura

do ∆OFE e h e a base e ds, entao a area de ∆OFE e igual a hds2 . Do que se segue que a area de

∆OFE e igual a zdx2 e que a area entre o segmento de reta [OD] e a curva OFED e igual a

∫ 12zdx.

Logo,∫

ydx = area∆OCD+ 12∫

zdx, isto e,∫ydx =

12

(OCCD+

∫zdx). (1)

A equacao (1) e conhecida por Teorema da Transmutacao. Permite quadrar curvas y(x) apartir da quadratura da curva de outra funcao z(x) que a cada x atribui o valor da ordenada doponto de intersecao T entre o eixo dos yy e a reta τ tangente a curva y(x) no ponto de coordenadas(x,y).

E particularmente util quando se conhece a quadratura de z(x) , isto e,∫

zdx , como, porexemplo, no caso de circunferencias, parabolas ou hiperboles.

Leibniz aplicou a construcao da Figura 4 a curva de equacao y =√

2x− x2, 0 ≤ x ≤ 1. Paratal, fez uso da regra de Descartes (1596−1650 d.C.) para o calculo de tangentes, tambem deno-minada de metodo do cırculo (cf. [7]). Este ultimo metodo permite tracar a tangente a uma curvay = f (x) num ponto generico F , como se encontra ilustrado na Figura 5.

O x

y

vC

r

y = f (x)

F

Figura 5: Regra de Descartes para determinar tangentes

36



Normalmente, uma circunferencia de centro C(v,0) e raio r =CF interseta a curva y = f (x)em dois pontos. Caso intersete num so ponto, entao a reta CF e a normal a curva no ponto F .Nestes casos, e assumindo que ( f (x))2 e polinomial, a equacao, com v e r fixos,

( f (x))2 +(v− x)2 = r2 (2)

tem a abcissa de F como uma solucao dupla. Impondo, entao, que (2) tem uma solucao duplax = s, vem

( f (x))2 +(v− x)2− r2 = (x− s)2k

∑i=0

cixi, ci ∈ R. (3)

Note que k e de tal forma que o grau do polinomio que figura no primeiro membro de (3)iguala o grau do polinomio no segundo membro.

Iguam-se as potencias de x; resolve-se em ordem a v em termos da raiz x = s; determina-se o declive da reta tangente desejada, ou seja, (v−x)

f (x) . A quantidade (v− x) e denominada desubnormal a y = f (x) no ponto F .

No caso concreto, muito facilmente se constata, por simples observacao da Figura 6, que,para qualquer ponto da curva y =

√2x− x2, 0≤ x≤ 1, se tem v = 1, pelo que

dydx

=(v− x)

f (x)=

1− x√2x− x2

.

O v

C

x A B

DEF

T

r

τ

z

h

IH G

1

dx dy

Figura 6: Aplicacao da construcao da Figura 4 a curva y =√

2x− x2, 0≤ x≤ 1

Pelo Teorema de Tales, facilmente se conclui que ∆T FH e ∆dxdyds sao semelhantes.

37



Desta forma,

HFT H

=dydx⇔ HF

T H=

1− x√2x− x2

⇔ y− z(x)x

=1− x√2x− x2

⇔√

2x− x2− z(x)x

=1− x√2x− x2

⇔ z(x) =√

x2− x

.

Pelo Teorema da Transmutacao,∫

ydx = 12

(1+

∫√ x2−xdx

).

Por outro lado, neste caso e notorio que∫

zdx = 1−∫

xdz, pelo que, novamente pelo Teoremada Transmutacao,

∫ydx = 1−

∫ z2

1+z2 dz. Baseando-se no trabalho de series de Mercator (1512−1594 d.C.), sabe que z2

1+z2 = z2 (1− z2 + z4− z6 + . . .). Finalmente,∫

ydx = 1−∫

z2dz+∫

z4dz−∫

z6dz+∫

z8dz− . . .

Ora, o valor que procurava era claramente π

4 , um quarto do valor da area de um circulounitario. Tambem ja se conhecia

∫z2dz,

∫z4dz,

∫z6dz, . . . (cf. [1], [5]) Pode entao, enfim, concluir

a sua famosa serie aritmetica para π:

π = 4(

1− 13+

15− 1

7+

19− 1

11+ . . .

).

5 ConclusaoHoje, o Calculo Infinitesimal e uma area da Matematica em que os conceitos se encontram

total e incontroversamente definidos e formalizados. Todavia, nem sempre foi assim. No inıcio, aintuicao detinha um papel importante nos algoritmos e na construca dos conceitos. So muito maistarde se formalizaram nocoes intuitivas importantes, como a nocao de limite, por exemplo. Aindaassim, os matematicos da epoca lograram atingir os mesmos resultados obtidos seculos depoiscom metodos rigorosos. E uma grande e admiravel prova de engenho e imaginacao conseguir,por exemplo, calcular derivadas e integrais sem limites, tais como os conhecemos hoje. Nesteprocesso incipiente Newton e Leibniz tiveram um papel muito relevante.

Referencias[1] BARON, Margaret. The origins of the infinitesimal calculus

Editions, 1969.

[2] BOYER, Carl. A history of mathemathics . John Wiley 1991.

38

. New York:. Dover Phoenix

and Sons,. New York:



[3] KATZ, Victor J. A history of mathematics. New York:1993.

[4] NEWTON, Isaac. The mathematical works of Isaac Newton.Corporation, 1964.

[5] PEREZ, Mariano Martınez. Del calculo a la teoria de conjuntos, 1630-1910:´ ´ . Madrid:

[6] ROSS, G. Macdonald. Leibniz ˜. S ˜ao Paulo:

[7] SUZUKI, Jeff.Mathematics Magazine, v. 78, n. 5, p. 339−353, Dec. 2005.

39

Harper Collins College Publishers,

New York:. Johnson Reprint

. Edicoes Loyola, 1984.

. The lost calculus (1637-1670): tangency and optmization without limits.

. Alianza Editorial, 1984.una intro-

duccion historica



capa 7 ed ermac ic.pub - microsoft publisher · prof. dr. diego sebastian ledesma(unic profa. dra....

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