cap7 lista exercicios_gabarito7

1o-) Um balão de destilação aberto a atmosfera contem uma mistura binária com massatotal [m0] e composição conhecida em t=0. Exatamente em t=0+ a solução passa a destilar,com a composição da fase vapor em equilíbrio com a composição da fase líquida, expressapela relação de equilíbrio termodinâmico : y1 =f[x1], sendo “1” o componente mais volátil.Deseja-se saber a composição da mistura líquida no balão no instante em que contiver umamassa total conhecida [mfinal <m0] .

m(t)

D(t)y (t)

1

x (t)1

dx

d

f x x1 1 1( ) ( ) ( )

sujeita à condição inicial: x1(0)=x1,0.

onde:

m

m mfinal

0

01

Procedendo a integração de =0 a =1, o resultado buscado é o valor de x1 em =1.Considere o problema para a destilação de uma mistura binária de n-octano e n-heptanoconduzida à pressão atmosférica. Sabendo-se que no início da batelada o balão contém 25moles de n-octano e 75 moles de n-heptano[m0=100 moles], que no tempo final o balãocontém 10 moles da mistura [mfinal =10 moles] e que à pressão atmosférica a relação deequilíbrio entre a composição molar do n-heptano na fase líquida e na fase vapor é dadapor:

y f xx

x1 11

1

2 16

1 116

.

..

TOL 109

α100

100 10 yeq x( )

2.16 x

1 1.16 x D t x( ) y yeq x

0

D0

y x0

α t

D

x

0.75

x 0.75( )

n 200

X Rkadapt x 0 1 n D( ) Xn 1 0.375218 i 0 n

0 0.2 0.4 0.6 0.80.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Xi 1

yeq Xi 1

Xi 0

1

20-) Considere o balão de destilação do primeiro exercício com um condensador na saída dovapor, em acordo com a figura abaixo:

m(t)

y (t)

x (t)

D(t)

(1+R)D(t)

R.D(t)

Mx (t)c

Condensador: M=cte.

x (t)cx (t)c

onde as composições indicadas referem-se ao n-heptano. Os balanços molares ( em formaadimensional) do sistema são dados por:

)(x)(y)R1(

d

)(dxc

c

e

)(x)(y)R1(x)(x

d

)(dx cc

para : 10 , em 0 x(0)=0.75 e xc(0)=0.85 ;

Onde: 9

10

mm

m

final0

0

; R = 0.3 ; 1.0m

M

0 e y

x

x

2 16

1 116

.

.

TOL 109

α10

9 R .3 λ .1 y x( )

2.16 x

1 1.16 x

D τ x( ) y2.16 x

0

1 1.16 x0

Δ 1 R( ) y x1

D0

x1

x0

Δ

α τ

D1

Δ

λ α

D

x0

.75 x1

y x0 xT 0.75 0.866( )

D 0 x( )T 0.105 0( )

X Rkadapt x 0 1 200 D( ) i 0 200

0 0.2 0.4 0.6 0.80.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Xi 1

y Xi 1 Xi 2

Xi 0

X200 1 0.397

y X200 1 0.587

X200 2 0.664

2

3o-) Considere o modelo cinético da reação reversível: A B

k

k

1

2

conduzida em batelada em

um reator de mistura, iniciando-se com o componente A puro. A variação da concentraçãode A com o tempo é descrito (em forma adimensional) pela EDO:

dx

d

k

kx x

1 11

20

com .

Com : k1/k2=1000 obtenha x1() aplicando o método de Euler explícito com intervalo deintegração constante. Repita o procedimento com o método de Euler implícito.

tfinal 102

h 104

Ntfinal

h N 100 λ 1001 xexato t( ) exp λ t( )

(a) Método de Euler Explícito p exp λ h( )

F x( ) 1 λ h( ) x

t0

0 x0

1 k 1 N tk

k h xk

F xk 1 y

01 y

kp y

k 1k 0 N

0 4 103 8 10

30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

xk

yk

tk

0 4 103 8 10

30

5 103

0.01

0.015

0.02

yk xk

tk(b) Método de Euler Implícito F x( )

x

1 λ h( ) k 1 N x

kF x

k 1 k 0 N

0 4 103 8 10

30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

xk

yk

tk

0 4 103 8 10

30.02

0.015

0.01

5 103

0

yk xk

tk

4o-) Considere o modelo cinético de reação: A B C

k

k

k

1

2

3conduzida em batelada em um

reator de mistura, iniciando-se com o componente A puro.A variação da concentração de A e de B com o tempo é descrito pelo sistema de EDO’s:

dx

d

k

kx x1 1

21 1 0

1 1

+ x com 2 e

dx

d

k

kx

kx2 1

21

22 0

0

- 1+

kx com 3

2

Com : k1/k2=1000 e k3/k2 = 2 obtenha x1() e x2() aplicando o método de Euler explícitocom intervalo de integração constante. Repita o procedimento com o método de Eulerimplícito.

3

TOL 109

K1 103

K3 2

A1 K1( )

K1

1

1 K3( )

λ eigenvals A( ) λT 1.002 10

3 1.999

D t x( ) D A x

D

x1

0

tfinal 2 N 104

X Rkadapt x 0 tfinal N D k 0 N

0 0.01 0.02

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Xk 1

Xk 2

Xk 0

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Xk 2

Xk 0I identity 2( )

Eulerexplicito x h tfinal M I h A

X x

N ceiltfinal

h

t0

0

ti

i h

x M x

X i x

i 1 Nfor

X XT

X augment t X( )

X

tfinal 2 h10

3

2 x

1

0

X Eulerexplicito x h tfinal N length X 0 N 4001

k 0 N

0 4 103 8 10

30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Xk 1

Xk 2

Xk 0

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Xk 2

Xk 0

4

Eulerimplicito x h tfinal M I h A( )1

X x

N ceiltfinal

h

t0

0

ti

i h

x M x

X i x

i 1 Nfor

X XT

X augment t X( )

X

tfinal 2 h10

3

2 x

1

0

X Eulerexplicito x h tfinal N length X 0 N 4001 k 0 N

0 4 103 8 10

30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Xk 1

Xk 2

Xk 0

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Xk 2

Xk 0

5o-) Um reator tubular conduz adiabaticamente uma reação em fase gasosa exotérmica eirreversível, as equações que descrevem as variações de concentração de reagente e datemperatura ao longo do reator são [em forma adimensional]:

Balanço do Reagente:dy x

dxDa y x

x

( )( ) exp

( )

1

1 y(0) = 1

Balanço de Energia: d x

dxDa y x

x

( )( ) exp

( )( )

1

10 1

a eliminação do termo não linear nas equações acima, a integração da equação resultante ea utilização das condições de alimentação permitem chegar a:

( ) ( )

( )

( )

( )x y x

x

y x

y x

1 1 1

1 1

1 1, assim o perfil de concentração pode ser

descrito apenas por uma EDO:

dy x

dxDa y x

y x

y x

( )( ) exp

( )

( )

1

1 1 y(0) = 1

As variáveis e parâmetros adimensionais do problema são:

x

z

L

L

v T Tz a a

; y =

C

C ; =

T

T ; Da =

k ; =

E

R e =

C

calim alim

0

gas

alim - H

P

lim lim

Utili

zando os dados: L=2 m; R =0.1 m [raio do rator]; Calim=0.03kmol/m3 ; Talim=700K [-H]=104 kJ/kmol; cP = 1 kJ/(kg.K) ; E = 100kJ/kmol ; = 1.2 kg/m3, vz = 3 m/s e k0= 5 s-1,obtenha a variação de y e com x.

5

TOL 109

Rgas 8.314510joule

mol K L 2 m R .1 m Cfeed .03 10

3

mol

m3

Tfeed 700 K ΔH 104 J

mol cp 10

3 J

kg K E 100

J

mol ρ 1.2

kg

m3

k0 51

s vz 3

m

s

Dak0 L

vz γ

E

Rgas Tfeed β

ΔH Cfeed

ρ cp Tfeed Da 3.333 γ 0.017 β 0.357

θ y( ) 1 β 1 y( ) R y( ) Da y exp γ 11

θ y( )

D t y( ) D0

R y0

D

u

01

Y Rkadapt u 0 1 100 D( )k 0 100 z

kY

k 0 ck

Yk 1 Θ

kθ c

k

0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

ck

zk

0 0.5 1 1.51

1.1

1.2

1.3

Θk

zk

taxa y Θ( ) Da y exp γ 11

Θ

Eulerexplicito N( ) h1

N

r0 0 0

r0 1 1

r0 2 1

j 0

ri 0 r

j 0 h

ri 1 r

j 1 h taxa rj 1 r

j 2

ri 2 θ r

i 1

j j 1

i 1 Nfor

r

N 100 Y Eulerexplicito N( )

k 0 N zk

Yk 0 c

kY

k 1 Θk

Yk 2

0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

ck

zk

0 0.5 1 1.51

1.1

1.2

1.3

Θk

zk

6

6o-) Em um sistema fechado com três componentes o seguinte esquema cinético ocorre:

1

2

32

k

k

k

A B

B C A C

B B C

Sendo desta forma a variação temporal da concentração dos três componentes descrita pelo sistema de

EDO’s:

11 1 2 2 3 1

221 1 2 2 3 3 2 2

233 2 3

0 1

0 0

0 0

dyk y k y y y

dtdy

k y k y y k y ydt

dyk y y

dt

Sendo: y1=CA/CA,0 ; y2=CB/CA,0 e y3=CC/CA,0 .Calcule a variação de y1 , y2 e y3 com t utilizando os seguintes valores das constantes cinéticas:k1 =.08 s-1 ; k2=2.00104 s-1 e k3 =6.00 107 s-1 [ Note que para todo t tem-se: y1+y2+y3=1]

TOL 109

k1 .08 k2 2 104

k3 6 107

D t y( ) r0 k1 y0

r1 k2 y1

y2

r2 k3 y1 2

D0

r1 r0

D1

r0 r1 r2

D2

r2

D

y

1

0

0

D 0 y( )

0.08

0.08

0

tfinal 2 N 100 Y Rkadapt y 0 tfinal N D

k 0 N tk

Yk 0 y1k

Yk 1 y2k

Yk 2 y3k

Yk 3 soma

ky1k

y2k y3k

0 0.5 1 1.5 20.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

y1k

tk

0 0.5 1 1.5 20

1 105

2 105

3 105

4 105

y2k

tk

7

0 0.5 1 1.5 20

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

y3k

tk

0 0.5 1 1.5 20.99

1

1.01

somak

tk

tfinal 200 N 104

Y Rkadapt y 0 tfinal N D

k 0 N tk

Yk 0 y1k

Yk 1 y2k

Yk 2 y3k

Yk 3 soma

ky1k

y2k y3k

0 50 100 150 2000.4

0.6

0.8

1

y1k

tk

0 50 100 150 2000

1 105

2 105

3 105

4 105

y2k

tk

0 50 100 150 2000

0.2

0.4

0.6

y3k

tk

0 50 100 150 2000.99

1

1.01

somak

tk

d t y( ) y3 1 y0

y1

r0 k1 y0

r1 k2 y1

y3

r2 k3 y1 2

D0

r1 r0

D1

r0 r1 r2

D

y1

0

d 0 y( )0.08

0.08

tfinal 2N 100 Y Rkadapt y 0 tfinal N d

8

k 0 N tk

Yk 0 y1k

Yk 1 y2k

Yk 2 y3k

1 y1k y2k

0 0.5 1 1.5 20.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

y1k

tk

0 0.5 1 1.5 20

1 105

2 105

3 105

4 105

y2k

tk

0 0.5 1 1.5 20

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

y3k

tk

tfinal 200N 10

4 Y Rkadapt y 0 tfinal N d

k 0 N tk

Yk 0 y1k

Yk 1 y2k

Yk 2 y3k

1 y1k y2k

0 50 100 150 2000.4

0.6

0.8

1

y1k

tk

0 50 100 150 2000

1 105

2 105

3 105

4 105

y2k

tk

0 50 100 150 2000

0.2

0.4

0.6

y3k

tkResolução do Problema considerando que y2 está em estado quase estacionário

TOL 109

9

k1 .08 k2 2 104

k3 6 107

y2_eq y1 y3

k22

y32

4 k1 k3 y1 k2 y3

2 k3

d t y( ) y2 y2_eq y0

y1

r0 k1 y0

r1 k2 y1

y2

r2 k3 y2 2

D0

r1 r0

D1

r2

D

y1

0

d 0 y( )0.08

0.08


k 0 N tk

Yk 0 y1k

Yk 1 y3k

Yk 2 y2k

y2_eq y1ky3k

0 0.5 1 1.5 20.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

y1k

tk

0 0.5 1 1.5 22 10

5

2.5 105

3 105

3.5 105

4 105

y2k

tk

0 0.5 1 1.5 20

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

y3k

tk


k 0 N tk

Yk 0 y1k

Yk 1 y3k

Yk 2 y2k

y2_eq y1ky3k

0 50 100 150 2000.4

0.6

0.8

1

y1k

tk

0 50 100 150 2000

1 105

2 105

3 105

4 105

y2k

tk

0 50 100 150 2000

0.2

0.4

0.6

y3k

tk

tfinal 5 104

N 100 Y Rkadapt y 0 tfinal N d

k 0 N tk

Yk 0 y1k

Yk 1 y3k

Yk 2 y2k

y2_eq y1ky3k

10

0 2 104 4 10

40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y1k

tk

0 2 104 4 10

40

1 105

2 105

3 105

4 105

y2k

tk

0 2 104 4 10

40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y3k

tk

11

COQ 862- Métodos Numéricos em Modelagem e Simulação de Processos Prof. Evaristo

3o Período de 2008

1

O PROBLEMA DO PÊNDULO SIMPLES

Primeira Forma das Equações:

Orientação do eixo vertical para cima.

No diagrama acima se tem: - L x +L ; -L y 0 e 0 , assim:

L

ysen

L

xcos

, resultando em :

L

yTsenTT

L

xTcosTT

y

x,

aplicando a Segunda Lei de Newton na duas direções:

mgL

tytTmgtT

dt

tydm

L

txtTtT

dt

txdm

y2

2

x2

2

além destas, o pêndulo está submetido à restrição algébrica: 222 Ltytx

Reformulando as equações em termos das variáveis adimensionais:

L

gt e

gm

T ;

L

x ;

L

x

tyx , resulta :

1

1d

dd

d

22

2

2

2

2

tytx

tytt

ty

txtt

tx


3o Período de 2008

2

Adotando nestas equações: tt , resulta:

1

1d

dd

d

22

2

2

2

2

tytx

tytt

ty

txtt

tx

Segunda Forma das Equações:

Orientação do eixo vertical para baixo.

No diagrama acima se tem: - L x +L ; 0 y +L e 0 , assim:

L

ysen

L

xcos

, resultando em :

L

yTsenTT

L

xTcosTT

y

x,

aplicando a Segunda Lei de Newton na duas direções:

mgL

tytTmgtT

dt

tydm

L

txtTtT

dt

txdm

y2

2

x2

2

além destas, o pêndulo está submetido à restrição algébrica: 222 Ltytx

Reformulando as equações em termos das variáveis adimensionais:


3o Período de 2008

3

L

gt e

gm

T ;

L

x ;

L

x

tyx , resulta :

1

1d

dd

d

22

2

2

2

2

tytx

tytt

ty

txtt

tx

Adotando nestas equações: tt , resulta:

1

1d

dd

d

22

2

2

2

2

tytx

tytt

ty

txtt

tx

Simplificando a notação (considerando todas as variáveis adimensionais!) surgem as quatro

formas alternativas de expressar as equações do pêndulo simples:

Equações do Pêndulo Referências:

1

1tytx

1tytλdt

tyd

txtλdt

txd

22

2

2

2

2

no domínio:

0

0y1

1x1

(1): páginas 151 e 154

(2): página 484

(3): página 12

2

1tytx

1tytλdt

tyd

txtλdt

txd

22

2

2

2

2

no domínio:

0

0y1

1x1

(1): páginas 5 e 142

(4): página 10


3o Período de 2008

4

3

1tytx

tytλ1dt

tyd

txtλdt

txd

22

2

2

2

2

no domínio:

0

1y0

1x1

(5): página 1.

4

1tytx

tytλ1dt

tyd

txtλdt

txd

22

2

2

2

2

no domínio:

0

1y0

1x1

(1): Brenan, K.E. , Campbell, S.L. & Petzold, L.R. : Numerical Solution of Initial-Value

Problems in Differential-Algebraic Equations , Elsevier Science Pubblishing Co., Inc. .

1989.

(2) Hairer E. & Wanner G. :Solving Ordinary Differential Equations II . Stiff and

Differential-Algebraic Problems, Springer Series Computational Mathematics, Vol 14,

1991

(3) Ascher, U.M. & Petzold L.R. : Computer Methods for Ordinary Differential Equations

and Differential-Algebric Equations SIAM, Society for Industrial ans Applied

Mathematcis, 1998.

(4) Ferreira da Costa Jr. , E . : Resolução Automática de Equações Algébrico-Diferenciais

de Índice Superior, Tese de Doutorado, PEQ/COPPE/UFRJ, 2003.

(5) Queipo, C. : Problema do Pêndulo, Trabalho para disciplina COQ-862, 200

Resolução do Problema em Forma Explícita

Primeira Forma das Equações: [com as duas definições de t ]

Em vista de:

ysen

xcos [ x e y já na forma adimensional!], tem-se:

tsenty

tcostx

para 0(t), e


3o Período de 2008

5

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

y

x

dt

tdtsen

dt

tdtcos

dt

tyd

dt

tdtcos

dt

tdtsen

dt

txd

dt

tdtcostv

dt

tdydt

tdtsentv

dt

tdx

mas em vista de:

1tsentλ1tytλdt

tyd

tcostλtxtλdt

txd

2

2

2

2

, resultando finalmente no

sistema de equações:

tcos1dt

tdttsen

dt

tdtcos

tsen0dt

tdttcos

dt

tdtsen

2

2

2

2

2

2

efetuando os produtos indicados e somando as equações resultantes, chega-se a:

tcosdt

td2

2

para 0(t)

adotando na equação acima: 2

t2

- para t2

tt2

t

2

2

2

2

dt

td

dt

td e tsentcos

, logo:

tsendt

td2

2

para -/2(t)/2 [ Ref. (3): Eq. 1.2 –pág.5],

onde : tcosty e tsentx

Alternativamente, adotando na equação:

2

3t

2 para

2-ttt

2t

, logo

2

2

2

2

dt

td

dt

td e tsentcos

, logo:

tsendt

td2

2

para

2

3t

2

, onde : tcosty e tsentx


3o Período de 2008

6

Segunda Forma das Equações: [com as duas definições de t ]

Em vista de:

ysen

xcos [ x e y já na forma adimensional!], tem-se:

tsenty

tcostx para

0(t), e

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

y

x

dt

tdtsen

dt

tdtcos

dt

tyd

dt

tdtcos

dt

tdtsen

dt

txd

dt

tdtcostv

dt

tdydt

tdtsentv

dt

tdx

mas em vista de:

tsentλ11tytλdt

tyd

tcostλtxtλdt

txd

2

2

2

2

, resultando finalmente no

sistema de equações:

1dt

tdttsen

dt

tdtcos

0dt

tdttcos

dt

tdtsen

2

2

2

2

2

2

sistema análogo ao obtido na Primeira Forma, desta forma apresentará a mesma solução!

Dando origem assim a:

tcosdt

td2

2

para 0(t) onde:

tsenty

tcostx

Com: 2

t2

- para t2

tt2

t

, tem-se:

tsendt

td2

2

para -/2(t)/2 , onde : tcosty e tsentx

Alternativamente, adotando na equação:

2

3t

2 para

2-ttt

2t

, logo:

tsendt

td2

2

para

2

3t

2

[ Ref. (1): Eq. 6.2.5–pág.151],

onde : tcosty e tsentx

COQ 862 MÉTODOS NUMÉRICOS Christian Queipo

PROBLEMA DO PÊNDULO 24/06/2003

Formulação do Problema do Pêndulo (adimensionado)

Equações Diferenciais Ordinárias

dxu

d

dyv

d

duF x

d

1dv

F yd

Restrições Algébricas.

2 2 1 0x y

Sistema Diferencial Estendido

Diferenciando a restrição algébrica uma vez:

0dx dy

x yd d ou 0x u y v

mais uma vez:



Obtém-se o Sistema Diferencial Estendido:

dxu

d

dyv

d

duF x

d

1dv

F yd

3dF

vd

onde as variáveis devem atender as seguintes restrições algébricas:

2 2 1 0x y

0x u y v

2 2 0u v y F

Das 5 variáveis, apenas 2 podem ser fixadas arbitrariamente: as 3 restantes ficam determinadas pelas restrições algébricas. Entretanto, não é qualquer a combinação de variáveis que pode ser escolhida.



Solução do Problema

O pacote DASSL resolve sistema de índice 1, que não é o caso do problema do pêndulo. Porém, existem outros pacotes (PSIDE, por exemplo), que podem integrar sistemas de índice superior (até 3 no caso do PSIDE). Para isto, deve-se conhecer o índice de cada variável; no caso do pêndulo, , , ,x y u v são de índice 1, entanto F é de índice 3.

Condições Iniciais:

0 1x (da primeira restrição: 0 0y , e da segunda 0 0u )

0 0v (da terceira restrição: 0F )

Os resultados (obtidos com o PSIDE) se mostram abaixo; a resolução seguindo ambos enfoques (diferencial estendido, e EAD) conduz a resultados praticamente idênticos.

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2dz/

d

x vs. dx/dt

y vs. dy/dt



-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 1 2 3 4 5 6 7

x y dx/dt dy/dt F



Rotina do Sistema Diferencial Estendido

PROGRAM TEST IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) EXTERNAL GEVAL,MEVAL,JEVAL PARAMETER (NEQN=5,JNUM=.TRUE.,NLJ=NEQN,NUJ=NEQN,& MNUM=.TRUE.,NLM=NEQN,NUM=NEQN,& LRWORK=20+27*NEQN+6*NEQN**2,LIWORK=20+4*NEQN) DIMENSION Y(NEQN),DY(NEQN),RWORK(LRWORK),IWORK(LIWORK),& IND(NEQN),G(NEQN) !Inicialização Y(1)=1.D0 Y(2)=0.D0 Y(3)=0.D0 Y(4)=0.D0 Y(5)=0.D0 DY(1)=Y(3) DY(2)=Y(4) DY(3)=-Y(5)*Y(1) DY(4)=-Y(5)*Y(2)+1.D0 !Parâmetros do PSIDE ATOL=1.D-8 RTOL=1.D-6 NSTP=100 T=0.D0 DT=1.D-1 IND=1 OPEN(1,FILE="TESTE.DAT",STATUS='UNKNOWN') 10 FORMAT(<1+2*NEQN>F12.8) WRITE(1,10) T,Y,DY DO N=1,NSTP TEND=T+DT WRITE(*,*) 'INICIATING STEP...',N CALL PSIDE(NEQN,Y,DY,GEVAL,JNUM,NLJ,NUJ,& JEVAL,MNUM,NLM,NUM,MEVAL,T,TEND,RTOL,ATOL,IND,& LRWORK,RWORK,LIWORK,IWORK,RPAR,IPAR,IDID) IF (IDID.LE.-1) THEN WRITE(*,*) 'ERROR, IDID...',IDID EXIT ENDIF WRITE(1,10) T,Y,DY T=TEND ENDDO CLOSE(1) STOP END PROGRAM



Rotina do Sistema Diferencial Estendido (cont.)

SUBROUTINE GEVAL(NEQN,T,Z,DZ,G,IERR,RPAR,IPAR) IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) DIMENSION Z(NEQN),DZ(NEQN),G(NEQN) X=Z(1) Y=Z(2) U=Z(3) V=Z(4) F=Z(5) DX=DZ(1) DY=DZ(2) DU=DZ(3) DV=DZ(4) DF=DZ(5) !Sistema EAD G(1)=DX-U G(2)=DY-V G(3)=DU+F*X G(4)=DV+F*Y-1.D0 G(5)=DF-3.D0*V RETURN END SUBROUTINE JEVAL(LDJ,NEQN,NLJ,NUJ,T,Y,DY,DGDY,RPAR,IPAR) RETURN END SUBROUTINE MEVAL(LDM,NEQN,NLM,NUM,T,Y,DY,DGDDY,RPAR,IPAR) RETURN END



Rotina do Sistema Algébrico - Diferencial

PROGRAM TEST IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) EXTERNAL GEVAL,MEVAL,JEVAL PARAMETER (NEQN=5,JNUM=.TRUE.,NLJ=NEQN,NUJ=NEQN,& MNUM=.TRUE.,NLM=NEQN,NUM=NEQN,& LRWORK=20+27*NEQN+6*NEQN**2,LIWORK=20+4*NEQN) DIMENSION Y(NEQN),DY(NEQN),RWORK(LRWORK),IWORK(LIWORK),& IND(NEQN),G(NEQN) !Inicialização Y(1)=1.D0 Y(2)=0.D0 Y(3)=0.D0 Y(4)=0.D0 Y(5)=0.D0 DY(1)=Y(3) DY(2)=Y(4) DY(3)=-Y(5)*Y(1) DY(4)=-Y(5)*Y(2)+1.D0 !Parâmetros do PSIDE ATOL=1.D-8 RTOL=1.D-6 NSTP=100 T=0.D0 DT=1.D-1 !Habilita vetor dos índices IWORK(2)=1 !X,Y,U,V são de índice 1 IND(1:4)=1 !F é de índice 3 IND(5)=3 OPEN(1,FILE="TESTE.DAT",STATUS='UNKNOWN') 10 FORMAT(<1+2*NEQN>F12.8) WRITE(1,10) T,Y,DY DO N=1,NSTP TEND=T+DT WRITE(*,*) 'INICIATING STEP...',N CALL PSIDE(NEQN,Y,DY,GEVAL,JNUM,NLJ,NUJ,& JEVAL,MNUM,NLM,NUM,MEVAL,T,TEND,RTOL,ATOL,IND,& LRWORK,RWORK,LIWORK,IWORK,RPAR,IPAR,IDID) IF (IDID.LE.-1) THEN WRITE(*,*) 'ERROR, IDID...',IDID EXIT ENDIF WRITE(1,10) T,Y,DY T=TEND ENDDO CLOSE(1) STOP END PROGRAM



Rotina do Sistema Algébrico – Diferencial (cont.)

SUBROUTINE GEVAL(NEQN,T,Z,DZ,G,IERR,RPAR,IPAR) IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) DIMENSION Z(NEQN),DZ(NEQN),G(NEQN) X=Z(1) Y=Z(2) U=Z(3) V=Z(4) F=Z(5) DX=DZ(1) DY=DZ(2) DU=DZ(3) DV=DZ(4) !Sistema EAD G(1)=DX-U G(2)=DY-V G(3)=DU+F*X G(4)=DV+F*Y-1.D0 G(5)=X**2.D0+Y**2.D0-1.D0 RETURN END SUBROUTINE JEVAL(LDJ,NEQN,NLJ,NUJ,T,Y,DY,DGDY,RPAR,IPAR) RETURN END SUBROUTINE MEVAL(LDM,NEQN,NLM,NUM,T,Y,DY,DGDDY,RPAR,IPAR) RETURN END

cap7 lista exercicios_gabarito7

Engineering