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Captulo 3

Soluo de Problemas de Programao Linear:6ROXomR*UiFD$QDOtWLFDSHOR0pWRGR6LPSOH[HSRU&RPSXWDGRU

A Geometria existe por toda parte. preciso, porm, olhos para v-la,

inteligncia para compreend-lae alma para admir-la.

Malba Tahan em O Homem que Calculava

Ao nal deste captulo, voc ser capaz de:

i Conhecer e utilizar os mtodos de soluo de problemas de programao linear. i Determinar, de forma grca, o conjunto de solues factveis e a soluo tima de um problema

simples de programao linear.

i Determinar, pelo mtodo analtico, o conjunto de solues factveis e a soluo tima de um problema simples de programao linear.

i Entender a importncia do mtodo Simplex para resoluo de problemas de programao linear. i Identicar as origens do mtodo Simplex. i Compreender a lgica do mtodo Simplex. i Utilizar o conceito de variveis articiais para tratar problemas de programao linear com restries

de desigualdade do tipo t ou equaes de igualdade. i Compreender o mtodo das penalidades (Big M) e o mtodo das duas fases, e como os mesmos

utilizam o conceito de variveis articiais.

i Avaliar os diversos softwares existentes no mercado para soluo de problemas de programao linear.

i Resolver problemas de programao linear pelo Solver do Excel. i Identicar gracamente, pelo mtodo Simplex e por computador, os casos especiais que podem

ocorrer em um modelo de programao linear.

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ELSEVIERPesquisa Operacional para Cursos de Engenharia I Patrcia Belfiore e Luiz Paulo Fvero

3.1 Introduo

Neste captulo, apresentaremos diversas maneiras de resolver um problema de programao linear (PL): a) de forma grca; b) pelo mtodo analtico; c) pelo mtodo Simplex; d) por computador.

Um problema simples de programao linear com apenas duas variveis de deciso pode ser facilmente resolvido de forma grca ou pelo mtodo analtico. A soluo grca pode ser aplicada para resoluo de problemas com, no mximo, trs variveis de deciso, porm, com maior complexidade. Analogamente, a soluo analtica torna-se impraticvel para problemas com muitas variveis e equaes, j que calcula todas as possveis solues bsicas. Como alternativa a esses procedimentos, utiliza-se o algoritmo Simplex ou, diretamente, um software existente no mercado (GAMS, AMPL, AIMMS, softwares de planilhas eletrnicas como o Solver do Excel e Whats Best, entre outros) para resoluo de qualquer problema de programao linear. Neste captulo, resolveremos cada um dos problemas gerenciais modelados no captulo anterior (Exemplos 3.3 a 3.12) pelo Solver do Excel.

Alguns problemas de programao linear no apresentam uma nica soluo tima no degenerada, podendo cair em um dos quatro casos: a) mltiplas solues timas; b) funo objetivo z ilimitada; c) no existe soluo tima; d) soluo tima degenerada. Apresentaremos ao longo do captulo como identicar cada um desses casos especiais de forma grca, pelo mtodo Simplex e por computador.

3.2 Soluo Grfica de um Problema de Programao Linear

Um problema simples de programao linear que envolve duas variveis de deciso pode ser facilmente resolvido de forma grca. Segundo Hillier e Lieberman (2009), qualquer problema de PL que apresente duas variveis de deciso pode ser resolvido gracamente. Os problemas com at trs variveis de deciso tambm podem ser solucionados de forma grca, porm, com complexidade maior.

Na resoluo grca de um modelo de programao linear, primeiramente, determina-se o espao de solues viveis ou regio factvel em um eixo cartesiano. Uma soluo vivel ou factvel aquela que satisfaz todas as restries do modelo, inclusive as de no negatividade. Se determinada soluo viola pelo menos uma das restries do modelo, a mesma chamada soluo invivel ou infactvel.

O passo seguinte consiste em determinar a soluo tima do modelo, isto , a soluo factvel que apresente o melhor valor da funo objetivo. Para um problema de maximizao, determinado o conjunto de solues viveis, a soluo tima aquela que fornece o maior valor funo objetivo dentro desse conjunto. J para um problema de minimizao, a soluo tima aquela que minimiza a funo objetivo.

O conjunto de solues factveis de um problema de programao linear representado por K. Da surge o primeiro teorema:

Teorema 3.1

O conjunto K convexo.Denio: Um conjunto K convexo quando todos os segmentos de reta que unem dois pontos

quaisquer de K esto contidos em K. Um conjunto convexo fechado se ele compreende a sua fronteira.A representao grca de conjuntos convexos e no convexos, por meio de um exemplo ilustrativo,

est na Figura 3.1.

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Captulo 3 I Soluo de Problemas de Programao Linear: Soluo Grfica, Analtica, pelo Mtodo Simplex e por Computador

Figura 3.1 Exemplo de conjuntos convexos e no convexos.

A soluo grca para um problema de maximizao e minimizao de programao linear com uma nica soluo tima ser ilustrada por meio dos Exemplos 3.1 e 3.2, respectivamente. Tambm sero apresentados os casos especiais (mltiplas solues timas, funo objetivo ilimitada, soluo infactvel e soluo tima degenerada), por meio dos Exemplos 3.3, 3.4, 3.5 e 3.6.

3.2.1 Problema de Maximizao de Programao Linear com uma nica Soluo tima

A soluo grca de um problema de maximizao de PL com uma nica soluo tima ser ilustrada por meio do Exemplo 3.1.

Exemplo 3.1Considere o seguinte problema de maximizao de PL:

max z = 6x1 + 4x2 sujeito a:

2x1 + 3x2 d 18 5x1 + 4x2 d 40 x1 d 6 x2 d 8 x1, x2 t 0

Determinar o conjunto de solues factveis, alm da soluo tima do modelo.

Soluo

Regio factvel

Nos eixos cartesianos x1 e x2, determina-se o espao de solues factveis que represente as restries do modelo de maximizao estudado. Inicialmente, para cada restrio, traa-se a reta que represente a equao de igualdade (sem considerar o sinal do tipo t ou d) e, a partir da, determina-se a direo da reta que satisfaa a desigualdade. Assim, para a primeira restrio, a reta que representa a equao 2x1 + 3x2 = 18 pode ser traada a partir de dois pontos. Se x1 = 0, tem-se que x2 = 6. Analogamente, se x2 = 0, tem-se que x1 = 9. Para determinar o espao de solues ou a direo da reta que satisfaz a desigualdade 2x1 + 3x2 d 18, podemos considerar qualquer ponto fora da reta. Usualmente, utiliza-se o ponto de origem (x1, x2) = (0, 0), em funo de sua simplicidade. Verica-se que o ponto de origem satisfaz a primeira desigualdade, pois 0 + 0 d 18. Portanto, podemos identicar a direo da reta que apresenta solues factveis, conforme mostra a Figura 3.2.

Da mesma forma, para a segunda restrio, a reta que representa a equao de igualdade 5x1

+ 4x2 = 40 traada a partir de dois pontos. Se x1 = 0, tem-se que x2 = 10. Analogamente, se x2

= 0, tem-se que x1

= 8. Verica-se tambm que o ponto de origem satisfaz a desigualdade 5x1 + 4x2

d 40, pois 0 + 0 d 40, representando a direo da reta que contm solues factveis, de acordo com a Figura 3.2.

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Analogamente, pode-se determinar o espao de solues factveis para as demais restries x1 d 6, x2 d 8, x1 t 0 e x2 t 0.

As restries 5x1 + 4x2 d 40 e x2 d 8 so redundantes, isto , caso elas fossem excludas do modelo, o espao de solues factveis no seria afetado.

A regio factvel representada pelo polgono de quatro lados ABCD. Qualquer ponto na superfcie do polgono ou no seu interior representa a regio factvel. Por outro lado, qualquer ponto fora do polgono no satisfaz pelo menos uma das restries do modelo.

Figura 3.2 Regio factvel do Exemplo 3.1.

Soluo tima

O passo seguinte busca determinar a soluo tima do modelo que maximize a funo z = 6x1 + 4x2, dentro do espao de solues factveis determinado na Figura 3.2.

Como o espao de solues contm um nmero innito de pontos, necessrio um procedimento formal para identicar a soluo tima (Taha, 2007). Primeiramente, precisamos identicar a direo correta em que a funo cresce (funo de maximizao). Para isso, traaremos diferentes retas com base na equao da funo objetivo, atribuindo diferentes valores a z, por tentativa e erro. Identicada a direo em que a funo objetivo aumenta, possvel identicar a soluo tima do modelo, dentro do espao de solues factveis.

Primeiramente, atribuiu-se um valor de z = 24, seguido por z = 36, obtendo-se as equaes 6x1

+ 4x2 = 24 e 6x1 + 4x2 = 36, respectivamente. A partir dessas duas equaes, foi possvel identicar a direo, dentro do espao de solues factveis, que maximiza a funo objetivo, concluindo que o ponto C o timo. Como o vrtice C a interseo das retas 2x1 + 3x2 = 18 e x1 = 6, os valores de x1 e x2 podem ser calculados algebricamente a partir dessas duas equaes. Logo, tem-se que x1 = 6 e x2

= 2 com z = 6 6 + 4 2 = 44. O procedimento completo apresentado na Figura 3.3.

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Figura 3.3 Soluo tima do Exemplo 3.1.

Como todas as linhas so representadas pela equao z = 6x1 + 4x2, alterando apenas o valor de z, conclui-se, pela Figura 3.3, que as retas so paralelas.

Outro importante teorema arma que uma soluo tima de um problema de programao linear est sempre associada a um vrtice ou ponto extremo do espao de solues:

Teorema 3.2

Para problemas de programao linear com uma nica soluo tima, a funo objetivo atinge seu ponto mximo ou mnimo em um ponto extremo do conjunto convexo K.

3.2.2 Problema de Minimizao de Programao Linear com uma nica Soluo tima

Exemplo 3.2Considere o seguinte problema de minimizao:min z = 10x1 + 6x2 sujeito a:

4x1 + 3x2 t 24 2x1 + 5x2 t 20 x1 d 8 x2 d 6 x1, x2 t 0

Determinar o conjunto de solues factveis e a soluo tima do modelo.

Soluo

Regio factvel

O mesmo procedimento do Exemplo 3.1 utilizado para obter o espao de solues factveis do problema de minimizao.

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Primeiramente, determina-se a regio factvel a partir das restries do modelo de minimizao. Considerando a primeira 4x1 + 3x2 t 24 e a segunda 2x1 + 5x2 t 20 restries, verica-se que o ponto de origem (x1, x2) = (0, 0) no satisfaz nenhuma das desigualdades. Assim, a direo factvel das duas retas no contm esse ponto. Incluindo as restries x1 d 8 e x2 d 6, o espao de solues factveis tornou-se limitado, como mostra a Figura 3.4. Diferentemente do Exemplo 3.1, verica-se que, nesse caso, todas as restries so no redundantes, isto , so responsveis pela denio da regio de factibilidade do modelo. A regio factvel representada pelo polgono ABCD que est destacado na Figura 3.4.

Figura 3.4 Regio factvel do Exemplo 3.2.

Soluo tima

O mesmo procedimento do Exemplo 3.1 utilizado para encontrar a soluo tima do problema de minimizao.

Busca-se, assim, determinar a soluo tima do modelo que minimize a funo z = 10x1 + 6x2, dentro do espao de solues factveis determinado na Figura 3.4.

Para analisar a direo em que a funo objetivo decresce (funo de minimizao), diferentes valores de z foram atribudos, por tentativa e erro. Primeiramente, atribui-se um valor de z = 72, obtendo-se a equao 10x1 + 6x2 = 72, seguido por z = 60 em que 10x1 + 6x2 = 60. Dessa forma, foi possvel identicar a direo que minimiza a funo objetivo, concluindo que o ponto D representa a soluo tima do modelo (ver Figura 3.5).

As coordenadas x1 e x2 do ponto D podem ser calculadas algebricamente a partir das equaes 4x1 + 3x2 = 24 e 2x1 + 5x2 = 20, j que o ponto D a interseo dessas duas equaes. Assim, tem-se que x1 = 1,5 e x2 = 6 com z = 10 1,5 + 6 6 = 51.

Da mesma forma que no exemplo anterior, o problema de PL apresenta uma nica soluo tima que est associada a um vrtice timo do espao de solues (Teorema 3.2).

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Figura 3.5 Soluo tima do Exemplo 3.2.

3.2.3 Casos Especiais

As Sees 3.2.1 e 3.2.2 apresentaram a soluo grca de um problema de maximizao (Exemplo 3.1) e minimizao (Exemplo 3.2), respectivamente, com uma nica soluo tima no degenerada. O conceito grco de soluo degenerada ser apresentado na Seo 3.2.3.4. Porm, alguns problemas de programao linear no apresentam uma nica soluo tima no degenerada, podendo cair em um dos quatro casos:

Mltiplas solues timas Funo objetivo z ilimitada No existe soluo tima Soluo tima degeneradaEsta seo tem como objetivo identicar, de forma grca, cada um dos casos especiais listados que

podem ocorrer em um problema de programao linear. Estudaremos tambm como identic-los pelo mtodo Simplex (ver Seo 3.4.6) e por computador (casos 2 e 3 na Seo 3.5.3 e casos 1 e 4, na Seo 4.2.4 do prximo captulo).

3.2.3.1 Mltiplas Solues timas

Um problema de programao linear pode apresentar mais de uma soluo tima. Nesse caso, considerando um problema com duas variveis de deciso, diferentes valores de x1 e x2 alcanam o mesmo valor timo na funo objetivo. Esse caso ilustrado, gracamente, por meio do Exemplo 3.3.

De acordo com Taha (2007), quando a funo objetivo paralela a uma restrio ativa, tem-se um caso com mltiplas solues timas. A restrio ativa aquela responsvel pela determinao da soluo tima do modelo.

Exemplo 3.3Determinar o conjunto de solues factveis e as solues timas do modelo, para o seguinte problema de programao linear:

= +

+ +

1 2

1 2

1 2

1 2

max 8 4sujeito a: 4 2 16 6 , 0

z x x

x xx x

x x

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Soluo

O mesmo procedimento utilizado nos exemplos anteriores para encontrar a soluo tima foi aplicado neste caso.

A Figura 3.6 apresenta a regio factvel determinada a partir das restries do modelo analisado. Nota-se que o espao de solues factveis representado pelo polgono de quatro lados ABCD.

Para a determinao da soluo tima do modelo, atribuiu-se primeiramente um valor de z = 16, obtendo-se a reta apresentada na Figura 3.6. Como a funo objetivo de maximizao, quanto maiores os valores de x1 e x2, maior o valor da funo z, de modo que a direo em que a funo cresce pode ser facilmente identicada. Nota-se que as retas representadas pelas equaes z = 16 = 8x1 + 4x2 e 4x1

+ 2x2 = 16 so paralelas. Assim, verica-se um caso com mltiplas solues timas representadas

pelo segmento BC. Por exemplo, para o ponto B, x1 = 4, x2 = 0, o valor de z 8 4 + 4 0 = 32. O ponto C a interseo das retas 4x1 + 2x2 = 16 e x1 + x2 = 6. Calculando algebricamente, obtm-se x1

= 2 e x2 = 4 com z = 8 2 + 4 4 = 32. Qualquer outro ponto desse segmento uma soluo tima

alternativa e tambm apresenta z = 32.

Surge, assim, um novo teorema:

Teorema 3.3

Para problemas de programao linear com mais de uma soluo tima, a funo objetivo assume esse valor em pelo menos dois pontos extremos do conjunto convexo K e em todas as combinaes lineares convexas desses pontos extremos (todos os pontos do segmento da reta que unem esses dois extremos, ou seja, a aresta do polgono que contm esses extremos).

Figura 3.6 Regio factvel com mltiplas solues timas.

3.2.3.2 Funo Objetivo z Ilimitada

Nesse caso, no existe limite para o crescimento do valor de pelo menos uma varivel de deciso, resultando em uma regio factvel e uma funo objetivo z ilimitada. Para um problema de maximizao, o valor da funo objetivo cresce ilimitadamente, enquanto para um problema de minimizao, o valor decresce de forma ilimitada.

O Exemplo 3.4 ilustra um caso, de forma grca, que apresenta um conjunto ilimitado de solues, resultando em um valor ilimitado da funo objetivo.

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Exemplo 3.4Determinar o espao de solues factveis e a soluo tima do modelo para o seguinte problema de programao linear:


2x1 + 5x2 t 20 x1 d 8 x1, x2 t 0

Soluo

A partir das restries do Exemplo 3.4, obtm-se o espao de solues factveis, que neste caso ilimitado, pois no existe limite para o crescimento de x2, conforme mostra a Figura 3.7. Consequentemente, a funo objetivo z tambm pode crescer de forma ilimitada. O procedimento completo est ilustrado na Figura 3.7.

Figura 3.7 Conjunto ilimitado de solues viveis e funo de maximizao z ilimitada.

3.2.3.3 No Existe Soluo tima

Nesse caso, no possvel encontrar uma soluo factvel para o problema estudado, ou seja, no existe soluo tima. O conjunto de solues factveis vazio. O Exemplo 3.5 ilustra, em termos de soluo grca, um caso em que no existe soluo tima.

Exemplo 3.5Considere o seguinte problema de programao linear:

max z = x1 + x2 sujeito a:

5x1 + 4x2 t 40 2x1 + x2 d 6 x1, x2 t 0

Determinar a regio factvel e a soluo tima do modelo de programao linear.

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Soluo

A Figura 3.8 apresenta a soluo grca do Exemplo 3.5, considerando cada uma das restries do modelo, alm da funo objetivo com valor arbitrrio de z = 7.

A partir da Figura 3.8, pode-se identicar que nenhum ponto satisfaz todas as restries do problema. Isso signica que o espao de solues viveis no Exemplo 3.5 vazio, resultando em problema de PL infactvel que no tem soluo tima.

Figura 3.8 Conjunto vazio de solues factveis sem soluo tima.

3.2.3.4 Soluo tima Degenerada

Pode-se identicar, gracamente, um caso especial de soluo degenerada quando um dos vrtices da regio factvel obtido pela interseo de mais de duas retas distintas. Tem-se, portanto, um vrtice degenerado. Se a degenerao ocorrer na soluo tima, tem-se um caso conhecido como soluo tima degenerada.

O conceito de soluo degenerada e o problema da degenerao esto mais bem detalhados nas Sees 3.4.6.4 do presente captulo (identicao de uma soluo tima degenerada pelo mtodo Simplex) e 4.2.4.2 do prximo captulo (identicao de uma soluo tima degenerada pelo Relatrio de Sensibilidade do Solver do Excel).


min z = x1 + 5x2 sujeito a:

2x1 + 4x2 t 16 x1 + x2 d 6 x1 d 4 x1, x2 t 0

Determine a regio factvel e a soluo tima do modelo de programao linear.

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SoluoO espao de solues factveis do Exemplo 3.6 est ilustrado na Figura 3.9, representado pelo tringulo

ABC. Nota-se que a restrio x1 d 4 redundante. Como o vrtice B a interseo de trs retas, tem-se um vrtice degenerado.

A funo de minimizao consiste na equao z = x1 + 5x2 que busca o ponto mnimo que satisfaa todas as restries do modelo. Assim, a partir de um valor de z = 50, possvel identicar a direo da reta que minimiza a funo z, conforme mostra a Figura 3.9. Dessa forma, podemos notar que o ponto B consiste na soluo tima degenerada. Como o ponto B a interseo das retas 2x1 + 4x2 = 16 e x1 + x2

= 6, as coordenadas x1 e x2 podem ser calculadas algebricamente a partir dessas equaes. Logo, tem-se que x1

= 4 e x2 = 2 com z = 4 + 5 2 = 14.

Figura 3.9 Regio vivel com soluo tima degenerada.

3.3 Soluo Analtica de um Problema de Programao Linear em que m < n

Na Seo 3.2, foi apresentado o procedimento grco para soluo de problemas de PL. Esta seo apresenta o procedimento analtico para a soluo de um problema de programao linear.

Considere um sistema Ax = b de m equaes lineares e n variveis, em que m < n. Segundo Taha (2007), se m = n e as equaes so coerentes, o sistema tem uma nica soluo. Em casos em que m > n, pelo menos m n equaes devem ser redundantes. Porm, se m < n e as equaes tambm forem coerentes, o sistema ter um nmero innito de solues.

Para encontrar uma soluo para o sistema Ax = b, em que m < n, primeiramente escolhe-se um conjunto de variveis n m de x, chamadas variveis no bsicas (VNB), as quais so atribudas valores iguais a zero. As m variveis restantes do sistema, chamadas variveis bsicas (VB), so ento determinadas. Essa soluo chamada soluo bsica (SB). O conjunto de variveis bsicas chamado base.

Se a soluo bsica atende as restries de no negatividade, isto , as variveis bsicas so no negativas, a mesma chamada soluo bsica factvel (SBF).

Segundo Winston (2004), uma varivel bsica tambm pode ser denida como aquela que apresenta coeciente 1 em apenas uma equao e 0 nas demais. Todas as variveis restantes so no bsicas.

Para o clculo da soluo tima, basta calcular o valor da funo objetivo z de todas as possveis solues bsicas e escolher a melhor alternativa. O nmero mximo de solues bsicas a serem calculadas :

= =

!

!( )!nm

n nC

m m n m (3.1)

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Portanto, o mtodo analtico aplicado nesta seo analisa todas as possveis combinaes de n variveis escolhidas m a m, escolhendo a melhor delas. A resoluo por um sistema de equaes lineares vivel em casos em que m e n so pequenos. Porm, para valores elevados de m e n, o clculo torna-se impraticvel. Como alternativa, pode-se utilizar o mtodo Simplex que ser estudado na Seo 3.4.

Exemplo 3.7

Considere o seguinte sistema com trs variveis e duas equaes: x1 + 2x2 + 3x3 = 28 3x1 x3 = 4

Determinar todas as solues bsicas para esse sistema.

Soluo

Para um sistema com trs variveis e duas equaes, tem-se n m = 3 2 = 1 varivel no bsica e m = 2 variveis bsicas. O nmero total de solues bsicas possveis, neste exemplo, 3.

Soluo 1

VNB = {x1} e VB = {x2, x3} Atribui-se o valor zero varivel no bsica, isto , x1 = 0. Dessa forma, calculam-se algebricamente

os valores das variveis x2 e x3 da soluo bsica, a partir do sistema de equaes do enunciado. Logo, x2

= 20 e x3 = 4.Como x3 < 0, a soluo infactvel.

Soluo 2

VNB = {x2} e VB = {x1, x3} Se x2 = 0, a soluo bsica x1 = 4 e x3 = 8. Tem-se, portanto, uma soluo bsica factvel (SBF).

Soluo 3

VNB = {x3} e VB = {x1, x2} Se x3 = 0, a soluo bsica x1 = 1,33 e x2 = 13,33. Da mesma forma que no caso anterior, tem-se

aqui uma SBF.

Exemplo 3.8

Considere o seguinte problema de programao linear:max 3x1 + 2x2 sujeito a:

x1 + x2 d 6 5x1 + 2x2 d 20 x1, x2 t 0

Resolver o problema de forma analtica.

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Soluo

Para que o procedimento de soluo analtico possa ser aplicado, o problema deve estar na forma padro (ver Seo 2.3.1, do Captulo 2). Para que as restries de desigualdade possam ser reescritas na forma de igualdade, devem ser includas as variveis de folga x3 e x4. Assim, o problema original reescrito na forma padro passa a ser:

max 3x1 + 2x2 sujeito a:

x1 + x2 + x3 = 6 5x1 + 2x2 + x4 = 20 (3.2) x1, x2, x3, x4 t 0

O sistema tem m = 2 equaes e n = 4 variveis. Para que uma soluo bsica seja encontrada, sero atribudos valores iguais a zero a n m = 4 2 = 2 variveis no bsicas, de forma que os valores das m = 2 variveis bsicas restantes possam ser determinados pelo sistema de equaes (3.2). O total de solues bsicas nesse exemplo :

42

4 4! 6

2 2!(4 2)!C

= = =

Soluo A

VNB = {x1, x2} e VB = {x3, x4} Atribuiu-se, primeiramente, o valor zero s variveis no bsicas x1 e x2, de forma que os valores das

variveis bsicas x3 e x4 possam ser calculados algebricamente a partir do sistema de equaes (3.2). Logo, tem-se que:

Soluo no bsica: x1 = 0 e x2 = 0 Soluo bsica: x3 = 6 e x4 = 20 Funo objetivo: z = 0

O mesmo clculo ser efetuado para obteno de diferentes solues bsicas. A cada nova soluo, uma varivel do conjunto de variveis no bsicas entra no conjunto de variveis bsicas (base) e, consequentemente, uma sair da base.

Soluo B

Nesse caso, a varivel x1 entra na base no lugar da varivel x4 que passa a fazer parte do conjunto de variveis no bsicas.

VNB = {x2, x4} e VB = {x1, x3}


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Soluo C

Nesse caso, a varivel x4 entra na base no lugar da varivel x3.VNB = {x2, x3} e VB = {x1, x4}

Soluo no bsica: x2 = 0 e x3 = 0 Soluo bsica: x1 = 6 e x4 = 10

Como x4 < 0, a soluo infactvel.

Soluo D


Soluo no bsica: x3 = 0 e x4 = 0 Soluo bsica: x1 = 2,67 e x2 = 3,33 Funo objetivo: z = 14,7

Soluo E



Soluo F


Soluo no bsica: x1 = 0 e x4 = 0 Soluo bsica: x2 = 10 e x3 = 4

Como x3 < 0, a soluo infactvel.Logo, a soluo tima a D, com x1 = 2,67, x2 = 3,33, x3 = 0, x4 = 0 e z = 14,67.

A Figura 3.10 apresenta a soluo grca para cada uma das seis solues obtidas, a partir dos eixos cartesianos x1 e x2. As solues A, B, D e E correspondem a um ponto extremo da regio factvel. J as solues C e F, por serem infactveis, no pertencem ao conjunto de solues factveis. Da surge um novo teorema.

Teorema 3.4

Toda soluo bsica factvel de um problema de programao linear um ponto extremo do conjunto K convexo.

81


Figura 3.10 Representao grfica do Exemplo 3.8.

3.4 Mtodo Simplex

Como apresentado na Seo 3.2, a soluo grca pode ser aplicada para a resoluo de problemas de programao linear com duas ou, no mximo, trs variveis de deciso (maior complexidade). Da mesma forma, a soluo analtica apresentada na Seo 3.3 torna-se impraticvel para problemas com muitas variveis e equaes, pois calcula todas as possveis solues bsicas, para ento determinar a soluo tima. Como alternativa, o mtodo Simplex pode ser aplicado para a resoluo de qualquer problema de PL.

A origem do mtodo Simplex para resoluo de problemas de programao linear deu-se em 1947, com a disseminao da Pesquisa Operacional nos Estados Unidos depois da Segunda Guerra Mundial, por uma equipe liderada por George B. Dantzig.

Para Goldbarg e Luna (2005), o algoritmo Simplex o mtodo mais utilizado para a soluo de problemas de programao linear.

O mtodo Simplex um procedimento algbrico iterativo que parte de uma soluo bsica factvel inicial e busca, a cada iterao, uma nova soluo bsica factvel com melhor valor na funo objetivo, at que o valor timo seja atingido. Os detalhes do algoritmo sero discutidos na prxima seo.

Esta seo est dividida em trs partes. A lgica do mtodo Simplex apresentada na Seo 3.4.1. Na Seo 3.4.2, o mtodo Simplex descrito na forma analtica. A forma tabular do mtodo Simplex discutida na Seo 3.4.3.

3.4.1 A Lgica do Mtodo Simplex

O algoritmo Simplex um mtodo iterativo que parte de uma soluo bsica factvel inicial e busca, a cada iterao, uma nova soluo bsica factvel, chamada soluo bsica factvel adjacente, com melhor valor na funo objetivo, at que o valor timo seja atingido. O conceito de SBF adjacente est descrito a seguir.

A partir de uma soluo bsica atual, uma varivel no bsica entra na base no lugar de outra varivel bsica que passa a ser no bsica, gerando uma nova soluo chamada soluo bsica adjacente. Para um problema com m variveis bsicas e n m variveis no bsicas, duas solues bsicas so adjacentes se elas tiverem em comum m 1 variveis bsicas, podendo as mesmas apresentar valores numricos diferentes. Isso implica tambm que n m 1 variveis no bsicas sejam comuns.

82


Se a soluo bsica adjacente atende as restries de no negatividade, ela chamada soluo bsica factvel adjacente (SBF adjacente).

De acordo com o Teorema 3.4, toda soluo bsica factvel um ponto extremo (vrtice) da regio factvel. Dessa forma, dois vrtices so adjacentes se esto ligados por um segmento de reta chamado aresta, o que signica que eles compartilham n 1 restries.

A descrio geral do algoritmo Simplex apresentada na Figura 3.11. Analogamente ao procedimento analtico, para que o mtodo Simplex seja aplicado, o problema deve estar na forma padro (ver Seo 2.3.1, do Captulo 2).

Figura 3.11 Descrio geral do algoritmo Simplex.

Incio: O problema deve estar na forma padro.Passo 1: Encontrar uma SBF inicial para o problema de PL.SBF inicial = SBF atualPasso 2:s^&W>

Enquanto^&W>faa ^&SBF adjacente = SBF atual

Fim enquanto

O algoritmo tambm pode ser descrito por meio de um uxograma, conforme mostra a Figura 3.12.

Figura 3.12 Fluxograma da descrio geral do algoritmo Simplex.

Fonte: Lachtermarcher (2009).

3.4.2 Soluo Analtica do Mtodo Simplex para Problemas de Maximizao

Cada um dos passos do algoritmo geral descrito nas Figuras 3.11 e 3.12 est reescrito na Figura 3.13 de forma detalhada, baseado em Hillier e Lieberman (2005), para soluo analtica do mtodo Simplex de problemas de programao linear em que a funo objetivo z de maximizao (max z = c1

x1 + c2

x2 + .... + cn xn = 0).

83


Figura 3.13 Passos detalhados do algoritmo geral das Figuras 3.11 e 3.12 para a soluo de problemas de maximizao de PL pela forma analtica do mtodo Simplex.

Incio: O problema deve estar na forma padro.Passo 1:^&W>h^&WPasso 2:dhh^&^&z^&^&zz^& Iterao: Determinar uma SBF adjacente melhor.zWtrs passos devem ser tomados:

1. incremento em zz.

2.

3. Zmtodo de eliminao de Gauss-Jordan. z

No Exemplo 3.8, da Seo 3.3, para o clculo da soluo tima do modelo, foram calculadas todas as possveis solues bsicas e escolhida a melhor delas. O mesmo exerccio resolvido no Exemplo 3.9, porm pela soluo analtica do mtodo Simplex.

Exemplo 3.9Resolver o problema a seguir pela soluo analtica do mtodo Simplex.


x1 + x2 d 6 5x1 + 2x2 d 20 x1, x2 t 0

Soluo

Cada um dos passos do algoritmo ser detalhado a seguir, baseado em Hillier e Lieberman (2005).Incio: O problema deve estar na forma padro:

max z = 3x1 + 2x2 (0) sujeito a:

x1 + x2 + x3 = 6 (1) 5x1 + 2x2 + x4 = 20 (2) (3.3) x1, x2 x3, x4 t 0 (3)

Passo 1: Encontrar uma SBF inicial para o problema de PL. Uma soluo bsica inicial pode ser obtida atribuindo valores iguais a zero s variveis de deciso x1

e x2 (variveis no bsicas).

84


Note que os valores das variveis bsicas (x3, x4) podem ser obtidos imediatamente a partir do sistema de equaes (3.3), j que cada equao possui apenas uma varivel bsica com coeciente 1 e cada varivel bsica aparece em apenas uma equao. Alm disso, como a funo objetivo est escrita em funo de cada uma das variveis no bsicas, o teste de otimalidade pode ser facilmente aplicado no Passo 2. O resultado completo da soluo inicial :

VNB = {x1, x2} e VB = {x3, x4}

Soluo no bsica: x1 = 0 e x2 = 0 Soluo bsica factvel: x3 = 6 e x4 = 20 Soluo: {x1, x2, x3, x4} = {0, 0, 6, 20} Funo objetivo: z = 0

Essa soluo corresponde ao vrtice A da regio factvel ilustrada no Exemplo 3.8, da Seo 3.3, conforme apresentado na Figura 3.10.

Passo 2: Teste de otimalidade.Podemos armar que a SBF inicial obtida no Passo 1 no tima, j que os coecientes das variveis

no bsicas x1 e x2 na funo objetivo do sistema de equaes (3.3) so positivos. Se qualquer uma das variveis deixar de assumir o valor zero, passando a assumir um valor positivo, haver um incremento positivo no valor da funo objetivo z. Dessa forma, possvel obter uma SBF adjacente melhor.

Iterao 1: Determinar uma SBF adjacente melhor.Cada um dos trs passos a serem implementados nessa iterao est detalhado a seguir.

1. Varivel no bsica que entrar na base.De acordo com o sistema de equaes (3.3), pode-se vericar que a varivel x1 possui maior coeciente

positivo na funo objetivo comparada com a varivel x2, gerando assim maior incremento positivo em z, caso fossem consideradas as mesmas unidades de medida para x1 e x2. Logo, a varivel no bsica escolhida a entrar na base x1:

VNB = 1 2

,x x

2. Varivel bsica que sair da base.Para selecionar a varivel bsica que sair da base, devemos escolher aquela que limita o crescimento

da varivel no bsica escolhida no passo anterior a entrar na base (x1). Para isso, primeiramente, devemos atribuir o valor zero s variveis que permaneceram no bsicas (nesse caso apenas x2) em todas as equaes. A partir da, pode-se obter as equaes de cada uma das variveis bsicas em funo da varivel no bsica escolhida a entrar na base (x1). Como todas as variveis bsicas devem assumir valores no negativos, inserindo-se o sinal de desigualdade do tipo t 0 em cada uma das restries pode-se identicar a varivel bsica que limita o crescimento de x1.

Assim, atribuindo o valor zero varivel x2 nas equaes 1 e 2 do sistema de equaes (3.3), pode-se obter as equaes das variveis bsicas x3 e x4 em funo de x1:

x3 = 6 x1 x4 = 20 5x1 Como as variveis x3 e x4 devem assumir valores no negativos, logo:x3 = 6 x1 t 0 x1 d 6 x4 = 20 5 x1 t 0 x1 d 4

85


Podemos concluir que a varivel que limita o crescimento de x1 a varivel x4, j que o valor mximo que x1 pode atingir a partir de x4 menor comparado varivel x3 (4 < 6). Portanto, a varivel bsica escolhida para sair da base x4:

VB = 3 4,x x

3. Transformar o sistema de equaes utilizando o mtodo de eliminao de Gauss-Jordan e recalcular a soluo bsica.

Conforme mostrado nos dois passos anteriores, a varivel x1 entra na base no lugar da varivel x4, de forma a gerar uma soluo bsica adjacente melhor. Portanto, o conjunto de variveis no bsicas e o conjunto de variveis bsicas passa a ser:

VNB = {x2, x4} e VB = {x1, x3}

Busca-se, nessa etapa, recalcular os valores da nova soluo bsica factvel. Como x4 representa a nova varivel no bsica na soluo adjacente, juntamente com x2 que permaneceu no bsica, tem-se que x2 = 0 e x4 = 0. A partir da, os valores das variveis bsicas x1 e x3 da soluo adjacente devem ser recalculados, alm do valor da funo objetivo z.

Primeiramente, o sistema de equaes deve ser convertido, por meio de operaes elementares, para uma forma mais conveniente, utilizando-se o mtodo de eliminao de Gauss-Jordan, de modo que cada equao possua apenas uma varivel bsica (x1 ou x3) com coeciente igual a 1, cada varivel bsica aparea em apenas uma equao e de forma que a funo objetivo possa ser escrita em funo das variveis no bsicas x2 e x4.

Para isso, os coecientes da varivel x1 no sistema de equaes atual (3.3) devem ser transformados de 3, 1 e 5 (equao 0, 1 e 2, respectivamente) para 0, 0 e 1 (coecientes da varivel x4 no sistema de equaes atual). Duas operaes algbricas elementares a serem utilizadas, segundo Hillier e Lieberman (2005), so:

i Multiplicar (ou dividir) uma equao por uma constante diferente de zero. i Adicionar (ou subtrair) um mltiplo de uma equao antes (ou depois) de outra equao.

Primeiramente, converteremos o coeciente da varivel x1 na equao 2 do sistema de equaes (3.3) de 5 para 1. Para isso, basta dividir a equao 2 por 5, de forma que a nova equao (3.4) passa a ser escrita em funo de uma nica varivel bsica (x1) com coeciente 1:

+ + =1 2 42 1

45 5

x x x (3.4)

Outra transformao deve ser efetuada de modo a converter o coeciente da varivel x1 na equao 1 do sistema de equaes (3.3) de 1 para 0. Para isso, basta subtrair a equao (3.4) da equao 1 de (3.3), de forma que a nova equao (3.5) passa a ser escrita em funo de uma nica varivel bsica (x3) com coeciente 1:

+ =2 3 43 1

25 5

x x x (3.5)

86


Finalmente, deve-se converter o coeciente da varivel x1 na funo objetivo (equao 0 do sistema de equaes (3.3) de 3 para 0. Para isso, basta multiplicar a equao (3.4) por 3 e subtra-la da equao 0 de (3.3), de forma que a nova equao (3.6) passa a ser escrita em funo de x2 e x4:

= +2 44 3

125 5

z x x (3.6)

O sistema de equaes completo, obtido aps a aplicao do mtodo de eliminao de Gauss-Jordan, :

= +

+ =

+ + =

2 4

2 3 4

1 2 4

4 3(0) 12

5 53 1

(1) 25 5

2 1(2) 4

5 5

z x x

x x x

x x x

(3.7)

A partir do novo sistema de equaes (3.7), possvel obter imediatamente os novos valores de x1, x3 e z. O resultado completo da nova soluo :

VNB = {x2, x4} e VB = {x1, x3}

Soluo no bsica: x2 = 0 e x4 = 0 Soluo bsica factvel: x1 = 4 e x3 = 2 Soluo: {x1, x2, x3, x4} = {4, 0, 2, 0} Funo objetivo: z = 12

Essa soluo corresponde ao vrtice B da regio factvel ilustrada no Exemplo 3.8 da Seo 3.3 (Figura 3.10). Portanto, houve um movimento do ponto extremo A para o B (A o B).

Dessa forma, foi possvel obter uma SBF adjacente melhor, j que houve um incremento positivo em z comparado com a SBF atual. A SBF adjacente obtida nessa iterao passa a ser a SBF atual.

Passo 2: Teste de otimalidade.A SBF atual ainda no a tima, j que o coeciente da varivel no bsica x2 na equao 0 do sistema

de equaes (3.7) positivo. Se essa varivel passar a assumir qualquer valor positivo, haver um incremento positivo no valor da funo objetivo z. Dessa forma, possvel obter uma SBF adjacente melhor.

Iterao 2: Determinar uma SBF adjacente melhor.Os trs passos a serem implementados para determinar uma nova SBF adjacente esto detalhados a

seguir.1. Varivel no bsica que entrar na base.

De acordo com o novo sistema de equaes (3.7), pode-se vericar que a varivel x2 a nica com coeciente positivo na equao 0, de forma a gerar um incremento positivo na funo objetivo z para qualquer valor positivo que a varivel x2 possa assumir. Logo, a varivel escolhida a passar do conjunto de variveis no bsicas para o conjunto de variveis bsicas x2:

VNB = 2 4

,x x

87


2. Varivel bsica que sair da base.A varivel bsica que sair da base aquela que limita o crescimento da varivel no bsica escolhida

no passo anterior a entrar na base (x2). Atribuindo o valor zero varivel que permaneceu no bsica (x4 = 0), em cada uma das equaes 1 e 2 de (3.7), possvel obter as equaes de cada uma das variveis bsicas x1 e x3 da soluo bsica atual em funo da varivel no bsica escolhida a entrar na base (x2):

= 1 22

45

x x

= 3 23

25

x x

Como as variveis x1 e x3 devem assumir valores no negativos, logo:

= 1 2 22

4 0 105

x x x

= 3 2 23 10

2 05 3

x x x

Podemos concluir que a varivel que limita o crescimento de x2 a varivel x3, j que o valor mximo que x2 pode assumir a partir de x3 menor comparado varivel x1. Portanto, a varivel bsica escolhida para sair da base x3:

VB = 1 3

,x x

3. Transformar o sistema de equaes utilizando o mtodo de eliminao de Gauss-Jordan e recalcular a soluo bsica.

Conforme mostrado nos dois passos anteriores, a varivel x2 entra na base no lugar da varivel x3, de forma a gerar uma soluo bsica adjacente melhor. Portanto, o conjunto de variveis no bsicas e o conjunto de variveis bsicas passa a ser:

VNB = {x3, x4} e VB = {x1, x2}

Antes de calcular os valores da nova soluo bsica, o sistema de equaes deve ser convertido por meio do mtodo de eliminao de Gauss-Jordan.

Nesse caso, os coecientes da varivel x2 no sistema de equaes atual (3.7) devem ser transformados de 4/5, 3/5 e 2/5 (equaes 0, 1 e 2, respectivamente) para 0, 1 e 0 (coecientes da varivel x3 no sistema de equaes atual), por meio de operaes algbricas elementares.

Primeiramente, converteremos o coeciente da varivel x2 na equao 1 de (3.7) de 3/5 para 1. Para isso, basta multiplicar a equao 1 por 5/3, de forma que a nova equao (3.8) passa a ser escrita em funo de uma nica varivel bsica (x2) com coeciente 1:

+ =2 3 45 1 103 3 3

x x x (3.8)

88


Analogamente, deve-se converter o coeciente da varivel x2 na equao 2 de (3.7) de 2/5 para 0. Para isso, basta multiplicar a equao (3.8) por 2/5 e subtra-la da equao 2 de (3.7), de forma que a nova equao (3.9) passa a ser escrita em funo de uma nica varivel bsica (x1) com coeciente 1:

+ =1 3 42 1 83 3 3

x x x (3.9)

Finalmente, deve-se converter o coeciente da varivel x2 na funo objetivo (equao 0 do sistema de equaes (3.7)) de 4/5 para 0. Para isso, basta multiplicar a equao (3.8) por 4/5 e subtra-la da equao 0 de (3.7), de forma que a nova equao (3.10) passa a ser escrita em funo de x3 e x4:

= +3 44 1 443 3 3

z x x (3.10)

O sistema de equaes completo est representado em (3.11):

= +

+ =

+ =

3 4

2 3 4

1 3 4

4 1 44(0)

3 3 35 1 10

(1) 3 3 32 1 8

(2) 3 3 3

z x x

x x x

x x x

(3.11)

A partir do novo sistema de equaes (3.11), possvel obter imediatamente os novos valores de x1, x2 e z. O resultado completo da nova soluo :

VNB = {x3, x4} e VB = {x1, x2}

Soluo no bsica: x3 = 0 e x4 = 0 Soluo bsica factvel: x1 = 8/3 = 2,67 e x2 = 10/3 = 3,33 Soluo: {x1, x2, x3, x4} = {8/3, 10/3, 0, 0} Funo objetivo: z = 44/3 = 14,67

Essa soluo corresponde ao vrtice D da regio factvel ilustrada na Figura 3.10. A direo de incremento em z, a partir da soluo inicial, passa pelos vrtices A o B o D da soluo grca.

Assim, foi possvel obter uma SBF adjacente melhor, j que houve um incremento positivo em z comparada com a SBF atual. A SBF adjacente obtida nessa iterao passa a ser a SBF atual.

Passo 2: Teste de otimalidade.A SBF atual a tima, j que os coecientes das variveis no bsicas x3 e x4 na equao 0 do sistema

de equaes (3.11) so negativos. Portanto, no mais possvel nenhum incremento positivo no valor da funo objetivo z, nalizando aqui o algoritmo do Exemplo 3.9.

3.4.3 Forma Tabular do Mtodo Simplex para Problemas de Maximizao

A seo anterior apresentou o procedimento analtico do mtodo Simplex para resoluo de um problema de maximizao de programao linear. Esta seo apresenta o mtodo Simplex na forma tabular. Para a compreenso da lgica do algoritmo Simplex, importante utilizar o mtodo Simplex na forma analtica. Porm, quando o clculo for feito manualmente, mais conveniente utilizar a forma tabular. A forma tabular utiliza os mesmos conceitos apresentados na Seo 3.4.2, porm de maneira mais prtica.

89


Conforme apresentado na Seo 2.3.1, do captulo anterior, a forma padro de um modelo geral de maximizao de programao linear :

max z = c1 x1 + c2 x2 + ... + cn xn sujeito a:

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2 (3.12)

am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm xi t 0, i = 1, 2,..., m

Esse mesmo modelo pode ser representado na forma tabular:

Quadro 3.1 Modelo geral de programao linear na forma tabular

no da equao

CoecientesConstante

z x1 x2 xn0 1 c1 c2 cn 0

1 0 a11 a12 a1n b12 0 a21 a22 a2n b2

m 0 am1 am2 amn bm

De acordo com o Quadro 3.1, podemos vericar que a funo z de maximizao, na forma tabular, passa a ser reescrita como z c1x1 c2x2 ... cnxn = 0. As colunas intermedirias apresentam os coecientes das variveis do lado esquerdo de cada equao, alm do coeciente de z. As constantes do lado direito de cada equao esto representadas na ltima coluna.

Cada um dos passos do algoritmo geral descrito nas Figuras 3.11 e 3.12 est reescrito na Figura 3.14, de forma detalhada, para a soluo de problemas de maximizao de programao linear pela forma tabular do mtodo Simplex. A lgica apresentada nesta seo a mesma da soluo analtica do mtodo Simplex, porm, em vez de utilizar um sistema algbrico de equaes, a soluo calculada diretamente da forma tabular, utilizando os conceitos de coluna piv, linha piv e nmero piv, que sero denidos ao longo do algoritmo.

Figura 3.14 Passos detalhados do algoritmo geral das Figuras 3.11 e 3.12 para a soluo de problemas de maximizao de PL pela forma tabular do mtodo Simplex.

Incio: O problema deve estar na forma padro.Passo 1: Encontrar uma SBF inicial para o problema de PL.Analogamente forma analtica do mtodo Simplex apresentada na Seo 3.4.2, uma soluo bsica inicial pode ser obtida atribuindo valores iguais a zero s variveis de deciso. A SBF inicial corresponde SBF atual.Passo 2: Teste de otimalidade.A SBF atual tima se, e somente se, os coecientes de todas as variveis no bsicas da equao 0 da forma tabular so no negativos (t 0). Enquanto houver pelo menos uma das variveis no bsicas com coeciente negativo na equao 0, h uma SBF adjacente melhor.Iterao: Determinar uma SBF adjacente melhor.

90


A direo de maior incremento em z deve ser identicada, para que uma melhor soluo bsica factvel seja determinada. Para isso, trs passos devem ser tomados:1. Determinar a varivel no bsica que entrar na base.Ela deve ser aquela que tem maior incremento em z, isto , com maior coeciente negativo na equao 0. A coluna da varivel no bsica escolhida a entrar na base chamada coluna piv.2. Determinar a varivel bsica que sair da base.Analogamente forma analtica, a varivel escolhida deve ser aquela que limita o crescimento da varivel no bsica selecionada no passo anterior a entrar na base. Para que a varivel seja escolhida, trs etapas so necessrias, conforme apresentado em Hillier e Lieberman (2005):a) Selecionar os coecientes positivos da coluna piv que representam os coecientes da nova varivel bsica em

cada restrio do modelo atual.b) Para cada coeciente positivo selecionado no passo anterior, dividir a constante da mesma linha por ele.c) Identicar a linha com menor quociente. Essa linha contm a varivel que sair da base.A linha que contm a varivel bsica escolhida a sair da base chamada linha piv. O nmero piv o valor que corresponde interseo da linha piv com a coluna piv. 3. Transformar a forma tabular atual utilizando o mtodo de eliminao de Gauss-Jordan e recalcular a soluo

bsica.Analogamente soluo analtica, a forma tabular atual deve ser convertida para uma forma mais conveniente, por meio de operaes elementares, de forma que os valores das novas variveis bsicas e da funo objetivo z podem ser obtidos diretamente na nova forma tabular. A funo objetivo passa a ser reescrita em funo das novas variveis no bsicas da soluo adjacente, de forma a vericar facilmente o teste de otimalidade.A nova forma tabular, segundo Taha (2007), obtida aps as seguintes operaes elementares:a) Nova linha piv = linha piv atual y nmero piv b) Para as demais linhas, incluindo z: Nova linha = (linha atual) (coeciente da coluna piv da linha atual) u (nova linha piv)

O Exemplo 3.9 apresentou a resoluo de um problema de programao linear pela soluo analtica do mtodo Simplex. O mesmo exerccio ser resolvido no Exemplo 3.10 pela forma tabular do mtodo Simplex.

Exemplo 3.10

Resolver o problema a seguir pela forma tabular do mtodo Simplex.max z = 3x1 + 2x2 sujeito a:

x1 + x2 d 6 5x1 + 2x2 d 20 x1, x2 t 0

Soluo

O problema de maximizao tambm deve estar na forma padro:max z = 3 x1 + 2 x2 (0) sujeito a:

x1 + x2 + x3 = 6 (1) 5x1 + 2x2 + x4 = 20 (2) (3.13) x1, x2, x3, x4 t 0 (3)

91


Na forma tabular, a funo z de maximizao passa a ser escrita como:z = 3x1 + 2x2 z 3x1 2x2 = 0 A Tabela 3.1 apresenta a forma tabular do sistema de equaes (3.13):

Tabela 3.1 Forma tabular inicial do Exemplo 3.10

Varivel bsica no da

equaoCoecientes

Constantez x1 x2 x3 x4

z 0 1 3 2 0 0 0

x3 1 0 1 1 1 0 6

x4 2 0 5 2 0 1 20

A partir da Tabela 3.1, verica-se que uma nova coluna foi adicionada comparada ao Quadro 3.1. A primeira coluna apresenta as variveis bsicas consideradas em cada etapa (as variveis bsicas iniciais sero x3 e x4). Passo 1: Encontrar uma SBF inicial.

As variveis de deciso x1 e x2 foram selecionadas para o conjunto inicial de variveis no bsicas, representando assim a origem da regio factvel (x1, x2) = (0, 0). J o conjunto de variveis bsicas representado por x3 e x4:

VNB = {x1, x2} e VB = {x3, x4} A soluo bsica factvel pode ser obtida imediatamente a partir da Tabela 3.1.

Soluo bsica factvel: x3 = 6 e x4 = 20 com z = 0 Soluo: {x1, x2, x3, x4} = {0, 0, 6, 20}

Passo 2: Teste de otimalidadeComo os coecientes de x1 e x2 so negativos na linha 0, a SBF atual no tima, pois um incremento

positivo em x1 ou x2 resultar em SBF adjacente melhor do que a SBF atual.

Iterao 1: Determinar uma SBF adjacente melhor.Cada iterao composta por trs passos:

1. Determinar a varivel no bsica que entrar na base.Escolhe-se a varivel com maior coeciente negativo na equao 0 da Tabela 3.1. Para o problema

em questo, a varivel com maior contribuio unitria para a funo objetivo z x1 (3 > 2). Portanto, a varivel x1 selecionada para entrar na base, e a coluna dessa varivel a coluna piv.

2. Determinar a varivel bsica que sair da base.Busca-se aqui selecionar a varivel bsica que sair da base (e se tornar nula), que aquela que limita

o crescimento de x1. Os resultados das trs etapas necessrias para a escolha da varivel, a partir da Tabela 3.1, esto detalhados a seguir e tambm podem ser visualizados na Tabela 3.2:

a) Os coecientes positivos da coluna piv (coluna da varivel x1) selecionados so os coecientes 1 e 5 (equaes 1 e 2, respectivamente).

b) Para a equao 1, dividir a constante 6 pelo coeciente 1 da coluna piv. Para a equao 2, dividir a constante 20 pelo coeciente 5.

c) A linha com menor quociente equao 2 (4 < 6). Portanto, a varivel escolhida a sair da base x4.

92


O Passo 1 (determinao da varivel que entra na base) e as trs etapas do Passo 2 listadas para determinar a varivel que sai da base esto ilustrados na Tabela 3.2.

Tabela 3.2 Determinao da varivel que entra e sai da base na primeira iterao

Entra

Varivel bsica

no da equao

CoecientesConstante

z x1 x2 x3 x4z 0 1 3 2 0 0 0

x3 1 0 1

5

1 1 0 6 6/1 = 6

x4 2 0 2 0 1 2020/5 = 4

Saicolunapiv

O quociente 4 da equao 2 representa o valor mximo que a varivel x1 pode assumir nessa equao (5x1 + x4 = 20), caso a varivel x4 passe a assumir o valor zero (x4 = 0). J o quociente 6 representa o valor mximo que a varivel x1 pode assumir na equao 1 (x1 + x3 = 6), considerando x3 = 0. Como queremos maximizar o valor de x1, escolhemos, para sair da base e assumir o valor nulo, a varivel x4 que limita o seu crescimento.

A linha piv e a coluna piv esto destacadas na Tabela 3.2. O nmero piv (interseo da linha piv com a coluna piv) 5.

3. Transformar a forma tabular atual utilizando o mtodo de eliminao de Gauss-Jordan e recalcular a soluo bsica.

Da mesma forma que no procedimento analtico, os coecientes da varivel x1 na forma tabular atual (Tabela 3.2) devem ser transformados de 3, 1 e 5 (equaes 0, 1 e 2, respectivamente) para 0, 0 e 1 (coecientes da varivel x4 na forma tabular atual), por meio de operaes elementares (mtodo de eliminao de Gauss-Jordan), de forma que os valores das novas variveis bsicas e da funo objetivo z podem ser obtidos diretamente na nova forma tabular.

A nova forma tabular obtida aps as seguintes operaes elementares:a) Nova linha piv = linha piv atual y nmero pivb) Para as demais linhas, incluindo z:Nova linha = (linha atual) (coeciente da coluna piv da linha atual) u (nova linha piv)Aplicando a primeira operao na forma tabular atual (dividir a equao 2 por 5), obtm-se a nova

linha piv, conforme mostra a Tabela 3.3.

Tabela 3.3 Nova linha piv (Iterao 1)

Varivel bsica

no da equao

CoecientesConstante

z x1 x2 x3 x4z 0 1 3 2 0 0 0

x3 1 0 1 1 1 0 6x1 2 0 1 2/5 0 1/5 4

93


Como a varivel x1 entrou na base no lugar da varivel x4, a coluna da varivel bsica na nova linha piv deve ser alterada, conforme mostra a Tabela 3.3.

A etapa (b) ser aplicada para as demais linhas (equaes 0 e 1). Iniciaremos pela equao 1, que tem coeciente positivo na coluna piv (+1). Primeiramente,

multiplica-se esse coeciente (+1) pela nova linha piv (equao 2 da Tabela 3.3). Esse produto ento subtrado da equao 1 atual, resultando na nova equao 1:

x1 x2 x3 x4 constante

equao 1 1 1 1 0 6

equao 2 u (+1) 1 2/5 0 1/5 4

subtrao: 0 3/5 1 1/5 2

A nova equao 1 est reescrita na Tabela 3.4:

Tabela 3.4 Etapa (b) para obteno da nova equao 1 (Iterao 1)

Varivel bsica

no da equao

Coecientes Cons-tantez x1 x2 x3 x4

z 0 1 3 2 0 0 0

x3 1 0 0 3/5 1 1/5 2

x1 2 0 1 2/5 0 1/5 4

A etapa (b) tambm aplicada para a equao 0 que possui coeciente negativo na coluna piv (3). Primeiramente, multiplica-se o valor desse coeciente (3) pela nova linha piv (equao 2 da Tabela 3.3). Esse produto subtrado da equao 0 atual, resultando na nova equao 0:


equao 0 3 2 0 0 0

equao 2 u (3) 3 6/5 0 3/5 12

subtrao: 0 4/5 0 3/5 12

A nova forma tabular, aps a aplicao das operaes elementares descritas, apresentada na Tabela 3.5.

Tabela 3.5 Nova forma tabular aps o mtodo de eliminao de Gauss-Jordan (Iterao 1)

Varivel bsica

no da equao


z 0 1 0 4/5 0 3/5 12

x3 1 0 0 3/5 1 1/5 2

x1 2 0 1 2/5 0 1/5 4

94


A partir da nova forma tabular (Tabela 3.5), possvel obter imediatamente os novos valores de x1, x3 e z. A nova soluo bsica factvel x1 = 4 e x3 = 2 com z = 12.A nova soluo {x1, x2, x3, x4} = {4, 0, 2, 0}.

Passo 2: Teste de otimalidade.Conforme mostra a Tabela 3.5, a equao 0 passa a ser reescrita em funo das novas variveis no

bsicas (x2 e x4), de forma a vericar facilmente o teste de otimalidade.A SBF atual ainda no a tima, pois o coeciente de x2 na equao 0 da Tabela 3.5 negativo.

Qualquer incremento positivo em x2 resultar em incremento positivo no valor da funo objetivo z, de forma que uma SBF adjacente melhor pode ser obtida.

Iterao 2: Determinar uma SBF adjacente melhor.Os trs passos a serem implementados nessa iterao esto detalhados a seguir.

1. Determinar a varivel no bsica que entrar na base.De acordo com a nova forma tabular (Tabela 3.5), pode-se vericar que a varivel x2 a nica com

coeciente negativo na equao 0. Logo, a varivel escolhida a entrar na base x2. A coluna da varivel x2 passa a ser a coluna piv.

2. Determinar a varivel bsica que sair da base.A varivel bsica escolhida a sair da base (e se tornar nula) aquela que limita o crescimento de x2.

Os resultados das trs etapas necessrias para a escolha da varivel, a partir da Tabela 3.5, so detalhados a seguir e tambm podem ser visualizados na Tabela 3.6:

a) Os coecientes positivos da coluna piv (coluna da varivel x2) selecionados so os coecientes 3/5 e 2/5 (equaes 1 e 2, respectivamente).

b) Para a equao 1, dividir a constante 2 pelo coeciente 3/5. Para a equao 2, dividir a constante 4 pelo coeciente 2/5.

c) A linha com menor quociente a equao 1 (10/3 < 10). Portanto, a varivel escolhida a sair da base x3.

O Passo 1 (determinao da varivel que entra na base), alm das trs etapas do passo 2 para determinar a varivel que sai da base, est ilustrado na Tabela 3.6.

Tabela 3.6 Determinao da varivel que entra e sai da base na segunda iterao

Entra

Varivel bsica

no da equao

CoecientesConstante

z x1 x2 x3 x4z 0 1 0 4/5 0 3/5 12

x3 1 0 0 3/5

2/5

1 1/5 22/3/5 =10/3

Sai

x1 2 0 1 0 1/5 4 4/2/5 =10

colunapiv

A linha da varivel x3 (equao 1) passa a ser a linha piv. O nmero piv 3/5.

95


3. Transformar a forma tabular atual utilizando o mtodo de eliminao de Gauss-Jordan e recalcular a soluo bsica.

Os coecientes da varivel x2 na forma tabular atual (Tabela 3.6) devem ser transformados de 4/5, 3/5 e 2/5 (equaes 0, 1 e 2, respectivamente) para 0, 1 e 0 (coecientes da varivel x3 na forma tabular atual), de forma que os valores das novas variveis bsicas e da funo objetivo z podem ser obtidos diretamente na nova forma tabular.

Da mesma forma que na primeira iterao, a nova forma tabular obtida aps as seguintes operaes elementares:

a) Nova linha piv = linha piv atual y nmero pivb) Para as demais linhas, incluindo z: Nova linha = (linha atual) (coeciente da coluna piv da linha atual) u (nova linha piv)Aplicando a primeira operao na forma tabular atual (dividir a equao 1 por 3/5), obtm-se a nova

linha piv, conforme mostra a Tabela 3.7.

Tabela 3.7 Nova linha piv (Iterao 2)

Varivelbsica

no da equao


z 0 1 0 4/5 0 3/5 12

x2 1 0 0 1 5/3 1/3 10/3

x1 2 0 1 2/5 0 1/5 4

Como a varivel x2 entrou na base no lugar da varivel x3, a coluna da varivel bsica na nova linha piv deve ser alterada, conforme mostra a Tabela 3.7.

A etapa (b) ser aplicada para as demais linhas (equaes 0 e 2). Iniciaremos pela equao 2, que tem coeciente positivo na coluna piv (2/5). Primeiramente,

multiplica-se esse coeciente (2/5) pela nova linha piv (equao 1 da Tabela 3.7). Esse produto ento subtrado da equao 2 atual, resultando na nova equao 2:


equao 2 1 2/5 0 1/5 4

equao 1 u (2/5) 0 2/5 2/3 2/15 4/3

subtrao: 1 0 2/3 1/3 8/3

A nova equao 2 aparece na Tabela 3.8:

Tabela 3.8 Forma tabular com a nova equao 2 (Iterao 2)

Varivel bsica

no da equao


z 0 1 0 4/5 0 3/5 12

x2 1 0 0 1 5/3 1/3 10/3

x1 2 0 1 0 2/3 1/3 8/3

96


A etapa (b) tambm aplicada para a equao 0, que possui coeciente negativo na coluna piv (4/5). Primeiramente, multiplica-se o valor desse coeciente (4/5) pela nova linha piv (equao 1 da Tabela 3.7). Esse produto subtrado da equao 0 atual, resultando na nova equao 0:


equao 0 0 4/5 0 3/5 12

equao 1 u (4/5)

0 4/5 4/3 4/15 8/3

subtrao: 0 0 4/3 1/3 44/3

A nova forma tabular, aps a aplicao do mtodo de eliminao de Gauss-Jordan, apresentada na Tabela 3.9:

Tabela 3.9 Nova forma tabular aps o mtodo de eliminao de Gauss-Jordan (Iterao 2)

Varivel bsica

no da equao

CoecientesConstante

z x1 x2 x3 x4

z 0 1 0 0 4/3 1/3 44/3

x2 1 0 0 1 5/3 1/3 10/3

x1 2 0 1 0 2/3 1/3 8/3

A partir da Tabela 3.9, pode-se obter imediatamente os novos valores de x1, x2 e z.

A nova soluo bsica factvel x1 = 8/3 e x2 = 10/3, com z = 44/3.A nova soluo {x1, x2, x3, x4} = {8/3, 10/3, 0, 0}.

Passo 2: Teste de otimalidade.A SBF atual a tima, pois os coecientes das variveis no bsicas x3 e x4 na equao 0 da Tabela

3.9 so positivos.

3.4.4 O Mtodo Simplex para Problemas de Minimizao

O mtodo Simplex tambm pode ser utilizado para a soluo de problemas de minimizao de programao linear. Os problemas de minimizao discutidos nesta seo sero resolvidos pela forma tabular. H duas formas de resolver um problema de minimizao pelo mtodo Simplex:

Soluo 1Transformar um problema de minimizao em um problema de maximizao e utilizar o mesmo

procedimento descrito na Seo 3.4.3. Conforme apresentado na equao 6 da Seo 2.3.3, do Captulo 2, um problema de minimizao pode ser convertido em outro de maximizao utilizando-se a seguinte transformao:

min z = f(x1, x2,..., xn) max z = f(x1, x2,..., xn)

Soluo 2Adaptar o procedimento descrito na Seo 3.4.3 para problemas de minimizao de programao

linear.

97


A Figura 3.14 apresentou os passos detalhados do algoritmo geral descrito nas Figuras 3.11 e 3.12 para a soluo de problemas de maximizao de programao linear na forma tabular. Para a soluo de problemas de minimizao de PL pela forma tabular, o Passo 2 (teste de otimalidade) e o Passo 1 de cada Iterao (determinao da varivel no bsica que entrar na base) devem ser adaptados da Figura 3.14, j que suas decises so baseadas na equao 0 da funo objetivo. A Figura 3.15 apresenta as adaptaes do Passo 2 e do Passo 1 de cada iterao em relao Figura 3.14 para a soluo de problemas de minimizao de PL pela forma tabular. Essas adaptaes encontram-se destacadas na Figura 3.15.

Figura 3.15 Adaptao dos passos detalhados da Figura 3.14 para a soluo de problemas de minimizao de PL pela forma tabular do mtodo Simplex.

Incio: O problema deve estar na forma padro.Passo 1: Encontrar uma SBF inicial para o problema de PL.Utiliza-se o mesmo procedimento da Figura 3.14 para problemas de maximizao.Passo 2: Teste de otimalidade.A SBF atual tima se, e somente se, os coecientes de todas as variveis no bsicas da equao 0 da forma tabular so no positivos ( 0). Enquanto houver pelo menos uma das variveis no bsicas com coeciente positivo na equao 0, h uma SBF adjacente melhor.Iterao: Determinar uma SBF adjacente melhor.1. Determinar a varivel no bsica que entrar na base.Ela deve ser aquela que tem maior incremento negativo em z, isto , com maior coeciente positivo na equao 0. 2. Determinar a varivel bsica que sair da base.Utiliza-se o mesmo procedimento da Figura 3.14 para problemas de maximizao.3. Transformar a forma tabular atual utilizando o mtodo de eliminao de Gauss-Jordan e recalcular a soluo bsica.

Conforme mostra a Figura 3.15, com exceo do Passo 2 (teste de otimalidade) e do Passo 1 de cada Iterao (determinao da varivel no bsica que entrar na base), pode-se vericar que os demais passos so iguais aos apresentados na Figura 3.14 para problemas de maximizao.

Exemplo 3.11

Considere o seguinte problema de minimizao de programao linear:min z = 4x1 2x2 sujeito a:

2x1 + x2 d 10 x1 x2 d 8 (3.14) x1, x2 t 0

Determinar a soluo tima do problema.

Soluo 1

Primeiramente, para que o problema (3.14) esteja na forma padro, devem ser introduzidas variveis de folga em cada uma das restries do modelo. O problema tambm pode ser reescrito a partir de uma funo de maximizao:

98



2x1 + x2 + x3 = 10 x1 x2 + x4 = 8 (3.15) x1, x2, x3, x4 t 0

A forma tabular inicial que representa o sistema de equaes (3.15) est na Tabela 3.10:

Tabela 3.10 Forma tabular inicial do sistema de equaes (3.15)

Varivel bsica

no da equao

CoecientesConstante

z x1 x2 x3 x4

z 0 1 4 2 0 0 0

x3 1 0 2 1 1 0 10

x4 2 0 1 1 0 1 8

O conjunto inicial de variveis no bsicas representado por x1 e x2, enquanto o conjunto inicial de variveis bsicas representado por x3 e x4. A soluo inicial {x1, x2, x3, x4} = {0, 0, 10, 8} no tima, j que o coeciente da varivel no bsica x2 na equao 0 negativo.

Para determinao de uma SBF adjacente melhor, a varivel x2 entra na base (maior coeciente negativo) no lugar da varivel x4, que a nica que limita o crescimento de x2, conforme mostra a Tabela 3.11.

Tabela 3.11 Varivel que entra e sai da base na primeira iterao

Entra

Varivel bsica

no da equao

Coecientes Constan-tez x1 x2 x3 x4

z 0 1 4 2 0 0 0

x3 1 0 2 1 1 0 1010/1=10

Sai

x4 2 0 1 1 0 1 8

colunaPiv

A nova forma tabular, utilizando o mtodo de eliminao de Gauss-Jordan, :

Tabela 3.12 Nova forma tabular utilizando o mtodo de eliminao de Gauss-Jordan (Iterao 1)

Varivel bsica

no da equao

CoecientesConstante

z x1 x2 x3 x4z 0 1 8 0 2 0 20

x2 1 0 2 1 1 0 10

x4 2 0 3 0 1 1 18

99


A partir da Tabela 3.12, pode-se obter imediatamente os novos valores de x2, x4 e z. Os resultados da nova soluo bsica factvel so x2 = 10 e x4 = 18 com z = 20. A nova soluo pode ser representada por {x1, x2, x3, x4} = {0, 10, 0, 18}.

A nova soluo bsica obtida a tima, j que todos os coecientes das variveis no bsicas na equao 0 so no negativos.

Soluo 2

Para que o mtodo Simplex seja aplicado, o problema inicial de minimizao descrito em (3.14) deve estar na forma padro:

min z = 4x1 2x2 sujeito a:

2x1 + x2 + x3 = 10 x1 x2 + x4 = 8 (3.16) x1, x2, x3, x4 t 0

A forma tabular inicial do sistema de equaes (3.16) est representada na Tabela 3.13.


Varivel bsica

no da equao

CoecientesConstante

z x1 x2 x3 x4z 0 1 4 2 0 0 0

x3 1 0 2 1 1 0 10

x4 2 0 1 1 0 1 8

Analogamente soluo 1, o conjunto inicial de variveis no bsicas representado por x1 e x2, enquanto o conjunto inicial de variveis bsicas representado por x3 e x4. Para um problema de minimizao, a soluo tima se todos os coecientes das variveis no bsicas na equao 0 so no positivos (d 0). Portanto, a soluo inicial {x1, x2, x3, x4} = {0, 0, 10, 8} no tima, j que o coeciente da varivel no bsica x2 na equao 0 positivo.

Conforme mostra a Tabela 3.14, a varivel x2 entra na base (maior coeciente positivo) no lugar da varivel x4, que a nica com coeciente positivo na coluna piv.


Entra

Varivel bsica

no da equao

CoecientesConstante

z x1 x2 x3 x4z 0 1 4 2 0 0 0

x3 1 0 2 1 1 0 1010/1=10

Sai

x4 2 0 1 1 0 1 8

colunaPiv

100


A nova forma tabular, utilizando o mtodo de eliminao de Gauss-Jordan, est na Tabela 3.15.

Tabela 3.15 Nova forma tabular utilizando o mtodo de eliminao de Gauss-Jordan (Iterao 1)

Varivel bsica

no da equao

CoecientesConstante

z x1 x2 x3 x4z 0 1 8 0 2 0 20

x2 1 0 2 1 1 0 10

x4 2 0 3 0 1 1 18

De acordo com a Tabela 3.15, a nova soluo adjacente {x1, x2, x3, x4} = {0, 10, 0, 18} com z = 20. A soluo bsica obtida tima, pois os coecientes de todas as variveis no bsicas na equao 0 so no positivos.

3.4.5 Variveis Artificiais para Encontrar uma SBF Inicial em Problemas com Restries de Igualdade e Desigualdade do Tipo

Todos os problemas de maximizao e minimizao resolvidos at aqui pelo mtodo Simplex apresentavam apenas restries de desigualdade do tipo d com constantes no negativas do lado direito (tambm chamado RHS right hand side). Para que essas inequaes pudessem ser transformadas em equaes de igualdade (forma padro), era adicionada uma varivel de folga do lado esquerdo de cada restrio. Assim, uma SBF inicial poderia ser facilmente obtida atribuindo-se valores nulos s variveis de deciso (variveis no bsicas) do modelo e considerando as variveis de folga como variveis bsicas.

Porm, quando as restries do modelo so representadas por inequaes do tipo t ou equaes de igualdade, a SBF inicial no bvia, j que essas restries no apresentam variveis de folga que possam ser utilizadas como variveis bsicas iniciais. Como alternativa, deve ser adicionada uma nova varivel, do lado esquerdo de cada equao, chamada varivel articial, que ser utilizada como varivel bsica inicial, a m de proporcionar facilmente uma SBF inicial. A restrio de no negatividade das variveis articiais deve ser adicionada ao modelo, e a funo objetivo tambm modicada. O mtodo das penalidades (Big M) e o mtodo de duas fases so variantes do mtodo Simplex que utilizam o conceito de variveis articiais para que uma SBF inicial possa ser obtida facilmente. Como essas variveis articiais no fazem parte do modelo e tm como objetivo apenas proporcionar uma SBF inicial, elas tendem a desaparecer ao longo do algoritmo at que todas elas assumam valores nulos na ltima iterao.


min z = 10x1 + 6x2 sujeito a:

4x1 + 2x2 t 24 x1 d 8 (3.17) x1 + 2x2 = 12 x1, x2 t 0

101


Para que o problema (3.17) possa ser escrito na forma padro, subtrai-se uma varivel de excesso x3 do lado esquerdo da primeira equao e soma-se uma varivel de folga x4 do lado esquerdo da segunda equao:


4x1 + 2x2 x3 = 24 x1 + x4 = 8 (3.18) x1 + 2x2 = 12 x1, x2, x3, x4 t 0

Para a soluo de problemas de PL com restries do tipo d pelo mtodo Simplex, o conjunto inicial de variveis no bsicas representado pelas variveis de deciso, nesse caso x1 e x2, e o conjunto inicial de variveis bsicas pelas variveis de folga. Podemos vericar, a partir de (3.18), que apenas a segunda equao possui uma varivel de folga. A primeira equao possui apenas uma varivel de excesso, de forma que, se x1 e x2 assumissem valores nulos, a varivel x3 assumiria um valor negativo (soluo infactvel). Analogamente, no existe uma varivel de folga que possa ser utilizada como varivel bsica inicial na terceira equao.

Como alternativa, deve ser introduzida uma varivel articial do lado esquerdo da primeira equao e outra na ltima equao, para que uma SBF inicial possa ser obtida. Como essas variveis articiais no fazem parte do problema original, a funo objetivo tambm deve ser alterada, de forma que as mesmas assumam valores nulos no nal do algoritmo.

Esse mesmo exemplo ser resolvido nas Sees 3.4.5.1 e 3.4.5.2 pelo mtodo das penalidades (Big M) e pelo mtodo das duas fases, respectivamente.

3.4.5.1 Mtodo das Penalidades (Big M)

No mtodo das penalidades (Big M), dado um problema de programao linear na forma padro, para cada uma das equaes i que no tm varivel de folga, deve ser adicionada uma varivel articial ai do lado esquerdo da equao. Como essas variveis articiais no fazem parte do problema original de PL, o mtodo atribui uma penalizao M s variveis articiais (M o f), subtraindo o produto Mai da funo objetivo (problemas de maximizao) ou adicionando o produto Mai funo objetivo (problemas de minimizao), de forma a obrigar essas variveis a sair da base e assumir o valor nulo na soluo tima, desde que haja uma soluo factvel.

A descrio completa do mtodo das penalidades est na Figura 3.16. Para que o mtodo possa ser aplicado, o problema deve estar na forma padro.

Figura 3.16 Descrio detalhada do mtodo das penalidades (Big M).

Incio: Problema original na forma padro, adicionando variveis articiais para as equaes que no tm variveis de folga.Convertido o problema inicial para a forma padro, para as restries que eram do tipo t, alm da varivel de excesso subtrada do lado esquerdo da equao, adicionar uma varivel articial ai (ai t 0) do mesmo ladoAnalogamente, para as equaes de igualdade, adicionar uma varivel articial do lado esquerdo da equao. Passo 1: Considere M um valor positivo sucientemente grande (M o f). Para um problema de maximizao de PL, para cada varivel articial ai introduzida, i = 1,...,k, subtrair o produto Mai da funo objetivo (max z = c1 x1 + ... + cn xn M1a1 ... Mkak). Para um problema de minimizao, para cada varivel articial ai introduzida, adicionar o produto Mai funo objetivo (min z = c1 x1 + ... + cn xn + M1a1 + ... + Mkak).

102


Passo 2: Como as variveis articiais sero as variveis bsicas iniciais, elas devem ser eliminadas da linha 0 (funo objetivo) da forma tabular inicial. Para que os coecientes das variveis articiais sejam nulos na linha 0, para problemas de minimizao, deve-se multiplicar a constante M para cada equao i em que foi introduzida uma varivel articial ai e somar cada um desses produtos equao 0 atual. Para problemas de maximizao, o valor da constante M negativo:a) Nova linha 0 = linha 0 atual + equaco

i

i M (problemas de minimizao)

b) Nova linha 0 = linha 0 atual + equaco i

i M (problemas de maximizao)

Passo 3: Aplicar o mtodo Simplex para o problema original adaptado. A soluo tima obtida quando todas as variveis no bsicas da equao 0 tm coecientes no negativos (problemas de maximizao) ou coecientes no positivos (problemas de minimizao) e quando todas as articiais assumem valores nulos.

Se qualquer uma das variveis articiais assume valor positivo na ltima iterao, temos uma soluo infactvel (caso especial que detalhado na Seo 3.4.6.3).

Exemplo 3.13

Resolver o Exemplo 3.12 pelo mtodo das penalidades (Big M).

Soluo

Conforme apresentado em (3.18), a forma padro do Exemplo 3.12 :min z = 10x1 + 6x2 sujeito a:

4x1 + 2x2 x3 = 24 x1 + x4 = 8 (3.18) x1 + 2x2 = 12 x1, x2, x3, x4 t 0

A partir da, ser aplicado o mtodo das penalidades (Big M), conforme descrito na Figura 3.16.

Incio

A partir do sistema de equaes (3.18), para cada uma das equaes i que no tm varivel de folga (equaes 1 e 3), adicionar uma varivel articial ai do lado esquerdo da equao:


4x1 + 2x2 x3 + a1 = 24 x1 + x4 = 8 (3.19) x1 + 2x2 + a2 = 12 x1, x2, x3, x4, a1, a2 t 0

103


Passo 1

Como o problema de minimizao, para cada varivel articial ai introduzida (i = 1, 2), adicionar o produto Mai funo objetivo:

min z = 10x1 + 6x2 + Ma1 + Ma2 sujeito a:


Passo 2

Eliminar as variveis articiais da linha 0 (funo objetivo) de (3.20), j que as mesmas sero consideradas variveis bsicas iniciais:

equao 0 z 10x1 6x2 Ma1 Ma2 = 0 equao 1 M 4Mx1 + 2Mx2 Mx3 + Ma1 = 24Mequao 3 M Mx1 + 2Mx2 +Ma2 = 12M

soma (nova equao 0): z + (5M 10)x1 + (4M 6)x2 Mx3 = 36M

Passo 3: Aplicar o mtodo Simplex ao problema original adaptado.

A forma tabular inicial que combina a nova equao 0 com o sistema de equaes (3.20) est representada na Tabela 3.16.


Varivel bsica

no da equao

Coecientes Cons-tantez x1 x2 x3 x4 a1 a2

z 0 1 5M 10 4M 6 M 0 0 0 36M

a1 1 0 4 2 1 0 1 0 24

x4 2 0 1 0 0 1 0 0 8

a2 3 0 1 2 0 0 0 1 12

O conjunto inicial de variveis no bsicas representado por x1, x2 e x3, enquanto o conjunto inicial de variveis bsicas representado por a1, x4 e a2 (variveis de folga e articiais). Como o problema de minimizao, a soluo tima se todos os coecientes das variveis no bsicas na equao 0 so no positivos (d 0). Portanto, a soluo inicial {x1, x2, x3, x4, a1, a2} = {0, 0, 0, 8, 24, 12} no tima, j que os coecientes das variveis no bsicas x1 e x2 na equao 0 da Tabela 3.16 so positivos.Conforme mostra a Tabela 3.17, a varivel x1 com maior coeciente positivo (5M 10 > 4 M 6) entra na base no lugar da varivel a1 (linha com menor quociente positivo).

104



Entra

Varivel bsica

no da equao


z 0 1 5M 10 4M 6 M 0 0 0 36M

a1 1 0 4

1

1

2 1 0 1 0 24 6 Sai

x4 2 0 0 0 1 0 0 8 8

a2 3 0 2 0 0 0 1 12 12

colunapiv

A nova forma tabular obtida na primeira iterao, utilizando o mtodo de eliminao de Gauss-Jordan, est na Tabela 3.18.

Tabela 3.18 Nova forma tabular (Iterao 1)

Varivel bsica Eq.


z 0 1 0 3/2M 1 1/4M 5/2 05/4M +

5/2 0 6M + 60

x1 1 0 1 1/2 1/4 0 1/4 0 6

x4 2 0 0 1/2 1/4 1 1/4 0 2

a2 3 0 0 3/2 1/4 0 1/4 1 6

De acordo com a Tabela 3.18, a nova soluo adjacente {x1, x2, x3, x4, a1, a2} = {6, 0, 0, 2, 0, 6} com z = 6M + 60. A soluo bsica obtida no tima, pois os coecientes das variveis no bsicas x2 e x3 na equao 0 so positivos. Verica-se tambm que o coeciente da varivel articial a2 ainda positivo. Busca-se, portanto, determinar uma nova SBF adjacente.

Conforme mostra a Tabela 3.19, a varivel x2 entra na base (3/2M 1 > 1/4M 5/2) no lugar da varivel a2 (linha com menor quociente positivo).

Tabela 3.19 Varivel que entra e sai da base na segunda iterao

Entra

Varivel bsica Eq.


z 0 1 0 3/2M 11/4M

5/20 5/4M

+ 5/2 0 6M + 60

x1 1 0 1 1/2

1/2

3/2

1/4 0 1/4 0 6 12

x4 2 0 0 1/4 1 1/4 0 2

a2 3 0 01/4 0 1/4 1 6 4 Sai

A nova forma tabular (Iterao 2), utilizando o mtodo de eliminao de Gauss-Jordan, est na Tabela 3.20.

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Tabela 3.20 Nova forma tabular obtida na segunda iterao

Varivel bsica Eq.

Coecientes Constan-tez x1 x2 x3 x4 a1 a2

z 0 1 0 0 7/3 0 M + 7/3M + 2/3 64

x1 1 0 1 0 1/3 0 1/3 1/3 4

x4 2 0 0 0 1/3 1 1/3 1/3 4

x2 3 0 0 1 1/6 0 1/6 2/3 4

De acordo com a Tabela 3.20, podemos vericar que a nova soluo adjacente {x1, x2, x3, x4, a1, a2} = {4, 4, 0, 4, 0, 0} com z = 64. A soluo bsica obtida tima, pois os coecientes de todas as variveis no bsicas na equao 0 so no positivos. Verica-se tambm que todas as variveis articiais a1 e a2 assumem valor nulo na soluo tima.

3.4.5.2 Mtodo das Duas Fases

Da mesma forma que o mtodo das penalidades (Big M), o mtodo das duas fases tambm utiliza o conceito de variveis articiais para que uma soluo bsica factvel inicial possa ser encontrada em problemas de PL com restries de desigualdade do tipo t ou equaes de igualdade. O mtodo das penalidades, segundo Taha (2007), pode gerar erros de arredondamento que podem prejudicar a acurcia do mtodo Simplex. Como alternativa, pode-se utilizar o mtodo das duas fases.

Analogamente ao mtodo das penalidades, para um problema original escrito na forma padro, deve-se introduzir uma varivel articial em cada uma das restries que no possui varivel de folga.

A fase 1 tem como objetivo encontrar uma SBF inicial para o problema original. Para isso, cria-se uma funo objetivo de minimizao que representa a soma de todas as variveis articiais. A soluo tima obtida nessa fase, por meio da aplicao do mtodo Simplex para o problema original adaptado, utilizada como SBF inicial para a fase 2.

O objetivo da fase 2 encontrar uma soluo tima para o problema original, a partir da soluo tima obtida na fase 1. Como as variveis articiais no fazem parte do problema original e tinham como objetivo apenas gerar uma SBF inicial para essa fase, elas devem ser eliminadas da fase 2. A funo objetivo, nessa fase, equivalente funo objetivo original. Portanto, a fase 2 uma combinao da funo objetivo do problema original com as restries da soluo tima obtida na fase 1. A soluo tima obtida nessa fase corresponde soluo tima do problema original.

A descrio completa do mtodo das duas fases pode ser encontrada na Figura 3.17.

Figura 3.17 Mtodo das duas fases detalhado

Incio: Problema original na forma padro, adicionando variveis articiais para as equaes que no tm variveis de folga.Analogamente ao mtodo das penalidades (Big M), convertido o problema original para a forma padro, para as restries que eram do tipo t, alm da varivel de excesso subtrada do lado esquerdo da equao, adicionar uma varivel articial ai (ai t 0) do mesmo lado. Analogamente, para as equaes de igualdade, adicionar uma varivel articial do lado esquerdo da equao. Fase 1Cria-se uma nova funo objetivo articial w (sempre de minimizao) que corresponde soma de k variveis articiais ai, i = 1,...,k:

min w = a1 + a2 + ... + ak (3.21)

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sujeito s restries denidas em Incio.Da mesma forma que no mtodo das penalidades, como as variveis articiais sero as variveis bsicas iniciais, elas devem ser eliminadas da linha 0 (funo objetivo) na forma tabular inicial. Para que os coecientes das variveis articiais sejam nulos na linha 0, deve-se somar (problemas de minimizao) ou subtrair (problemas de maximizao) cada uma das equaes i em que foi introduzida uma varivel articial ai equao 0 atual:

a) Nova linha 0 = linha 0 atual + equaco 1i

i (problemas de minimizao).

b) Nova linha 0 = linha 0 atual + equaco 1i

i (problemas de maximizao).

A partir da, aplica-se o mtodo Simplex para o problema original adaptado. Como queremos minimizar a funo w, e as variveis articiais devem assumir valores no negativos, a soluo tima factvel dessa fase atingida quando todas as variveis articiais so no bsicas e assumem valores nulos (a1 = a2 = ... = ak = 0) e, consequentemente, a funo objetivo tambm nula (w = 0).Porm, dois casos especiais podem ocorrer:a) Nesse caso, todas as variveis articiais tambm assumem valores nulos (a1 = a2 = ... = ak = 0) e,

consequentemente, a funo objetivo tambm nula (w = 0), porm, pelo menos uma das variveis articiais ai bsica (soluo degenerada em relao a uma varivel articial). Dessa forma, uma varivel no bsica, que no seja a varivel articial, deve entrar na base no lugar de outra varivel bsica. O procedimento deve ser repetido at que todas as variveis articiais saiam da base, se no estivermos diante de um problema ilimitado. Quando todas as variveis articiais foram removidas da base, ir para a fase 2. Esse caso especial (soluo tima degenerada) est detalhado na Seo 3.4.6.4.

b) Se pelo menos uma das variveis articiais ai assume valor positivo (nesse caso w > 0) na ltima iterao dessa fase, temos uma soluo infactvel para o problema original (pelo menos uma das restries no respeitada). Quando isso ocorrer, o algoritmo naliza aqui. Esse caso especial (no existe soluo tima) est detalhado na Seo 3.4.6.3.

Fase 2Essa fase combina a funo objetivo do problema original com as restries da soluo tima obtida na fase 1. Porm, algumas alteraes so necessrias na nova forma tabular antes da aplicao do mtodo Simplex.Primeiramente, a partir da forma tabular tima obtida na fase 1, eliminam-se todas as colunas correspondentes s variveis articiais. Alm disso, a funo objetivo do problema original deve ser reescrita, por meio de operaes elementares, de forma que as variveis bsicas da soluo tima da fase 1 tenham coecientes nulos na funo objetivo do problema original.O mtodo Simplex ento aplicado para que a soluo tima seja obtida. A soluo tima da fase 2 corresponde soluo tima do problema original.

Exemplo 3.14

Resolver o Exemplo 3.12 pelo mtodo das duas fases. A formulao inicial do Exemplo 3.12 :min z = 10x1 + 6x2 sujeito a:

4x1 + 2x2 t 24 x1 d 8 x1 + 2x2 = 12 x1, x2 t 0

Soluo

O mtodo das duas fases detalhado na Figura 3.17 ser aplicado para o Exemplo 3.14.

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Incio

Conforme mostrado no mtodo das penalidades, primeiramente o problema deve ser convertido para a forma padro, introduzindo-se variveis de folga e excesso. A partir da, para cada uma das equaes i que no tm varivel de folga (equaes 1 e 3), adicionar uma varivel articial ai do lado esquerdo da equao:



Fase 1

Cria-se uma funo objetivo w, que a soma das variveis articiais a1 e a2, sujeita s restries do problema 3.22:

min w = a1 + a2 sujeito a:


Os coecientes das variveis articiais devem ser nulos na linha 0 de (3.23), j que as mesmas sero as variveis bsicas iniciais. Para isso, deve-se somar (problema de minimizao) as equaes 1 e 3 em que foram introduzidas as variveis articiais a1 e a2 equao 0 atual:

equao 0 w a1 a2 = 0 equao 1 4x1 + 2x2 x3 + a1 = 24 equao 2 x1 + 2x2 + a2 = 12

soma (nova equao 0): w + 5x1 + 4x2 x3 = 36

A forma tabular inicial que combina a nova equao 0 com o sistema de equaes (3.23) est representada na Tabela 3.21.

Tabela 3.21 Forma tabular inicial da fase 1

Varivel bsica Eq.

Coecientes Cons-tantew x1 x2 x3 x4 a1 a2

w 0 1 5 4 1 0 0 0 36

a1 1 0 4 2 1 0 1 0 24

x4 2 0 1 0 0 1 0 0 8

a2 3 0 1 2 0 0 0 1 12

Analogamente ao mtodo das penalidades (Big M), o conjunto inicial de variveis no bsicas representado por x1, x2 e x3, e o conjunto inicial de variveis bsicas representado por a1, x4 e a2 (variveis

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de folga e articiais). A soluo inicial {x1, x2, x3, x4, a1, a2} = {0, 0, 0, 8, 24, 12} no tima, j que os coecientes das variveis no bsicas x1 e x2 na equao 0 da Tabela 3.21 so positivos.

Conforme mostra a Tabela 3.22, a varivel x1 com maior coeciente positivo entra na base no lugar da varivel a1 (linha com menor quociente positivo).

Tabela 3.22 Varivel que entra e sai da base na primeira iterao da fase 1

Entra

Varivel bsica Eq.


w 0 1 5 4 1 0 0 0 36

a1 1 0 4

1

1

2 1 0 1 0 24 6 Sai

x4 2 0 0 0 1 0 0 8 8

a2 3 0 2 0 0 0 1 12 12

A nova forma tabular obtida na primeiraw iterao, utilizando o mtodo de eliminao de Gauss-Jordan, est na Tabela 3.23.

Tabela 3.23 Nova forma tabular (Iterao 1)

Varivel bsica Eq.

Coecientes Constan-tew x1 x2 x3 x4 a1 a2

w 0 1 0 3/2 1/4 0 5/4 0 6

x1 1 0 1 1/2 1/4 0 1/4 0 6

x4 2 0 0 1/2 1/4 1 1/4 0 2

a2 3 0 0 3/2 1/4 0 1/4 1 6

De acordo com a Tabela 3.23, a nova soluo adjacente {x1, x2, x3, x4, a1, a2} = {6, 0, 0, 2, 0, 6} com z = 6. A soluo bsica obtida no tima, pois os coecientes das variveis no bsicas x2 e x3 na equao 0 so positivos. Busca-se, portanto, determinar uma nova SBF adjacente.

Conforme mostra a Tabela 3.24, a varivel x2 com maior coeciente positivo na linha 0 entra na base no lugar da varivel a2 (linha com menor quociente positivo).

Tabela 3.24 Varivel que entra e sai da base na segunda iterao

Entra

Varivel bsica Eq.


w 0 1 0

cap tulo 3 solu o de problemas de programa o linear solu o gr fica anal tica pelo m todo simplex e...

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