MatemticaFrente IICAPTULO 9 FUNES DO SEGUNDO GRAU

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1- REVISANDO EQUAES DO SEGUNDO GRAUAprendemos anteriormente a resolver equaes do segundo grau, ou seja, equaes do tipo ax2 + bx + c = 0. Quando desejamos resolver equaes do tipo, seguimos dois passos:

1. Calcular o valor de , em que = b2 4ac2. O(s) valor(es) de x que resolvem a equao /so: EXEMPLO:1. Para achar as solues de x2 8x + 7 = 0, primeiro identificamos que a = 1, b = -8 e c = 7.- = b2 4ac = (-8)2 4.1.7 = 64 28 = 36- - x1 = = 7- x2 = = 1Concluso: 7 e 1 so os valores que resolvem a equao. Estes valores so chamados de razes da equao do segundo grau.

2-A FUNO DO SEGUNDO GRAUEstudaremos, a partir de agora, a funo do segundo grau e suas propriedades mais importantes.Uma funo f dita ser do segundo grau quando:

f(x) = ax2 + bx + c, com a 0para todo x pertencente ao domnio de f

a, b e c so chamados coeficientes da funo do segundo grau.

EXEMPLOS:1. f(x) = 2x2 + 8x + 32. g(x) = -x2 + 3x3. h(x) = 1 x2

A primeira coisa que podemos descobrir sobre a funo do segundo grau so suas razes, ou seja, os valores de f(x) tais que f(x) = 0, basta resolver a equao do segundo grau.

Exerccio Resolvido 1:

Determine para quais valores de x a funo f(x) = 2x2-5x+3 corta o eixo x

Resoluo:Dizer o valor de x em que uma funo corta o eixo x significa dizer o valor de x para que f(x) = 0.

Ento f(x) = 0 2x2-5x+3 = 0- = b2 4ac = (-5)2 4.2.3 = 25 24 = 1- - x1 = = 3/2- x2 = = 1Concluso: Para x = 1 e x = 3/2, a funo se anula e, por isso, corta o eixo x.

A segunda coisa que podemos descobrir sobre a funo do segundo grau a soma e o produto de suas razes. Se considerarmos uma equao do segundo grau qualquer ax2+bx+c = 0, Sabemos que:

e

Se somarmos x1 + x2, teremos:

Se fizermos processo anlogo e multiplicarmos x1 por x2, com um pouco mais de conta encontraremos:

Estas so chamadas as relaes de Girard, e so bastante exploradas em questes de vestibular.

Exerccio Resolvido 2:Determine a funo f, do segundo grau, com coeficiente de x2 igual a 1, cuja soma das razes -5 e o produto 6

Resoluo:1. Se nossa funo do segundo grau, ento temos:f(x) = ax2 + bx + c

2. Dizer o coeficiente de x2 se referir letra a de nossa equao, logo a = 1

3. se a soma das razes 5: -b/a = -5, -b/1 = -5,logo b = 5

4. Se o produto 6, c/a = 6, c/1 = 6, c = 6

5. Substituindo a, b e c em f(x) = ax2 + bx + c:

f(x) = ax2 + bx + c = 1x2 + 5x + 6f(x) = x2 + 5x + 6

3 FATORAO DA FUNO DO SEGUNDO GRAU

Iremos agora mostrar uma propriedade que ser bastante utilizada para resolver inequaes no prximo captulo: como fatorar uma funo do segundo grau. Seja f(x) = ax2 + bx + c. Vimos que:

Vamos isolar a varivel b:

Da mesma maneira

Isolando a varivel c:

Vamos agora substituir os valores na funo do segundo grau e desenvolver as contas:

f(x) = ax2 + bx + cf(x) = ax2 + (-a(x1 + x2))x + a.x1.x2f(x) = a.(x2 x1x x2x + x1x2)f(x) = a.(x(x-x1) x2 (x-x1))

f(x) = a.(x x1)(x x2)Esta a chamada forma fatorada de uma expresso do segundo grau. Dessa forma, para fatorar uma funo do segundo grau, basta encontrar suas razes.

Exerccio Resolvido 3:

Fatore a expresso 2x2 10x + 8

Resoluo:

1. Primeiramente, a = 2, b = -10 e c = 82. Encontramos as razes de 2x2 10x + 8

2x2 10x + 8 = 0 = b2 4ac = (-10)2 4.2.8 = 100 64 = 36- - x1 = = 4- x2 = = 1

3. As razes da equao so, ento, 4 e 1, e por isso sua forma fatorada :

a(x x1)(x x2)2(x 4)(x 1)OBS: Tente desenvolver a expresso encontrada acima, e voc encontrar novamente 2x2 10 + 8.

4 GRFICO DA FUNO DO SEGUNDO GRAU

Vimos, no captulo passado, que o grfico da funo do primeiro grau uma reta. Da mesma maneira, devemos estar bem familiarizados com o grfico da funo do segundo grau. Para funes de grau maior, precisamos apenas ter uma pequena noo, mas no conhec-los detalhadamente.O grfico da funo do segundo grau se chama parbola, e seu comportamento depender dos coeficientes a, b e c. Para os que ainda no conhecem, a parbola uma figura em forma de u, com concavidade para cima ou para baixo da seguinte maneira:

Sempre que virmos essa figura em exerccios, iremos associ-la a uma funo do segundo grau.

EXEMPLO:O grfico da funo f(x) = x2 -3x + 4 da seguinte forma:

Dada uma funo do segundo grau, h trs coisas que devemos saber determinar sobre uma parbola:

1 A sua concavidade (para cima ou para baixo)2 o(s) ponto(s), se existir(em), onde a parbola corta o eixo x(ou seja, as razes da funo). No exemplo acima, estes so os pontos (2,0) e (4,0).3 O vrtice da parbola, ou seja, o ponto em que ela atinge seu valor mnimo ou seu valor mximo. No exemplo anterior, o vrtice o ponto (3,-1). 1. Determinao da concavidade da parbola: bastante simples determinar a concavidade da parbola. Dado f(x) = ax2 + bx + c

- se a > 0, a parbola tem concavidade para cima - se a < 0, a parbola tem concavidade para baixo

EXEMPLOS:1. Seja f(x) = x2 4x + 4. Percebemos que a = 1 > 0, logo j sabemos que sua concavidade para cima. De fato, seu grfico consta abaixo:

Observe que sua concavidade para cima

2. Seja agora g(x) = 4 x2, para o qual a = -1 < 0. J sabemos ento que sua concavidade para baixo. De fato, seu grfico da seguinte forma:

2. Para determinar o(s) ponto(s), onde a parbola corta o eixo x:Vimos que cortar o eixo x significa fazer f(x)=0, o que nos levar a uma equao do segundo grau. Observe que, ao buscar as razes da equao, trs possibilidades podem ocorrer:

1. > 0, nesse caso, a equao possui duas razes reais e distintas (x1 e x2), sendo assim, a parbola cortar o eixo x em dois pontos: (x1,0) e (x2,0)

2. = 0, nesse caso, a equao possui apenas uma raiz real (que chamaremos de x0), sendo assim, a parbola s cortar o eixo x em um ponto: (x0,0)

3. < 0, nesse caso, a equao no possui razes reais, sendo assim, a parbola no cortar o eixo x.

EXEMPLOS: 1. J temos condies de determinar o formato do grfico da funo f(x) = 2x2 10x + 12.

1. Para comear, percebemos que a = 2, ou seja, a parbola tem concavidade para cima.

2. Agora tente encontrar as razes dessa equao, voc dever chegar em x1 = 2 e x2 = 3. Nesse caso, a parbola dever cortar o eixo x nos pontos (2,0) e (3,0)

Assim, o grfico da funo ser assim:

2. Fazendo a mesma coisa para a funog(x) = -x2 - 6x 9:

1. Temos a = -1, que negativo, logo a parbola dever ter concavidade para baixo

2. Se fizermos o , veremos que ele igual a zero, e por isso a nica raiz x0 = -b/2a. logo x0 = -3. Assim, a parbola dever cortar o eixo x no ponto (-3,0), e somente nele.

Assim, o grfico de g ser dessa forma:

3. J para a funo h(x) = x2 + 1:

1. Temos a = 1 > 0, assim a parbola tem concavidade para cima

2. Calculando o , acharemos = -4. Como ele negativo, a funo no admite razes e, por isso, no cortar o eixo x.

Dessa forma, este ser o grfico da funo h:

3. Para determinar as coordenadas do vrtice da parbola

Antes de tudo, precisamos deixar bem claro o que , na parbola, o seu vrtice. Observe na figura a seguir:

Se observarmos atentamente, perceberemos a seguinte propriedade:

- Se a parbola tiver concavidade para cima (parbola da esquerda), o vrtice corresponder ao ponto em que a funo possui valor mnimo

- Se a parbola tiver concavidade para baixo (parbola da direita), o vrtice corresponder ao ponto em que a funo possui valor mximo

Em todo caso, sempre calcularemos as coordenadas do vrtice da mesma forma: Dada uma funo do segundo grau f(x) = ax2 + bx + c.

A coordenada x do vrtice da parbola dada por:

H uma interpretao para o valor de xv: Este ser o valor de x para o qual f assume o maior/menor valor.

A coordenada y do vrtice da parbola dada por:

(OBS: Por envolver conceitos no abordados no ensino mdio, no iremos demonstrar como chegamos aos resultados acima)

Da mesma forma, h uma interpretao para o valor de yv: o menor/maior valor possvel assumido pela funo do segundo grau. Disso resulta uma propriedade curiosa das parbolas: Seja f:, f(x) = ax2 + bx + c e yv a coordenada y do seu vrtice:

- Se a > 0 (concavidade para cima), f assumir todos os valores maiores ou iguais a yv, e, portanto, seu conjunto imagem ser [yv, [

- Se a < 0 (concavidade para baixo), f assumir todos os valores menores ou iguais a yv, logo seu conjunto imagem ser ]-,yv]

Exerccio Resolvido 4:Determine as coordenadas do vrtice da funo do segundo grau f(x) = 3x2-5x+8

Resoluo:Temos a = 3, b = -5 e c = 8.1. O valor x do vrtice xv = -b/2a = -(-5)/2.3 = 5/62. Para achar yv, podemos ou substituir xv na funo ou utilizar a formular yv = /4a. Vamos primeiro utilizar a frmula: = b2 4ac = (-5)2 4.3.8 = 25 96 = -71

Ento yv = - /4a = -(-71)/4.3 = 71/12

Assim, as coordenadas do vrtice so: (5/6 ; 71/12)

OBS: Se tivssemos substitudo xv na funo, encontraramos:

f(5/6) = 3.(5/6)2 5.(5/6) + 8f(5/6) = 75/36 25/6 + 8f(5/6) = 75/36 150/36 + 288/36f(5/6) = 213/36 = 71/12

Dessa forma, de ambos os jeitos, encontraremos a mesma resposta.

Exerccio Resolvido 5:

Seja f(x) = -x2 + 3x + 4

a) f possui valor mximo ou valor mnimo?b) determine o valor mximo/mnimo da funo

Resoluo:

a) Observe que a = -1, que negativo, assim a concavidade da parbola ser para baixo e, por isso, f possui valor mximo

b) Achar o valor mximo da funo significa achar yv. Fazendo por partes:

1. temos a = -1, b = 3 e c = 41. = b2 4ac = 32 4.(-1).4 = 25

yv = -/4a = -25/4.(-1) = 25/4

Assim, o maior valor que f assume 25/4.

Exerccio Resolvido 6:

Seja h:, h(x) = 3x2 8x + 4. Determine o conjunto A para que a funo seja sobrejetora.

Resoluo:1. Primeiramente, a = 3, b = -8 e c = 42. Vimos que uma funo ser sobrejetora significa dizer que o contradomnio igual imagem

3.Para achar a imagem da funo, deveremos calcular yv:

yv = - /4a = (4ac b2)/4ayv = (4.3.4 (-8)2)/4.3yv = (48 64)/12 = -16/12 = -4/3

4. Como a parbola possui concavidade para cima (pois a>0), o conjunto imagem [yv,+[ = [-4/3,+[

5. Assim, para a funo ser sobrejetora, o contradomnio A dever ser:

A = [-4/3,+[

OBS: Podemos perceber que, no caso em que uma equao do segundo grau possui apenas uma raiz, o seu vrtice corresponder ao ponto em que ele toca o eixo x. Observe no grfico abaixo a funo f(x) = x2 4x + 4 j vista:

EXERCCIOS PROPOSTOS

Nvel I

1. Se f(x) = ax2 + bx + c, com f(2)=4, f(0)=2 e f(3)=14, ento a + b + c igual a:a) -5 b) -3 c) 0 d) 3 e) 5

2. Dada a funo f: definida por f(x) = x2-5x+6, determine o(s) valor(es) de x, de modo que:a) f(x) = 0b) f(x) = 6

3. O grfico de y = x2 8x corta o eixo 0x nos pontos de abscissa:

a) -2 e 6 b)-1 e -7 c) 0 e -8 d) 0 e 8 e) 1 e 7

4. O ponto de coordenadas (3, 4) pertence parbola de equao y = ax2 + bx + 4. A abscissa do vrtice dessa parbola :

a) 1/2 b) 1 c) 3/2 d) 2 e) 3

5. O grfico de f(x) = x2 + bx + c, onde b e c so constantes, passa pelos pontos (0, 0) e (1, 2). Ento f(-2/3) vale:a) -2/9 b) 2/9 c) -1/4 d) 1/4 e) 4

6. (Ufc-2010) Joo escreveu o nmero 10 como a soma de duas parecelas inteiras positivas, cujo produto o maior possvel. O valor desse produto :a) 9 b) 16 c) 21 d) 25 e) 27

7. Calcule t na equao x2 4x + t = 0 de modo que as razes

a) Sejam reais e distintasb) Sejam reais e iguaisc) No sejam reais

(OBS: MUITO importante entender essa questo!)

8. Se a equao x2 10x + k possui uma raiz de multiplicidade 2, ento o valor de k :a) 100 b) 25 c) 5 d) 1 e) 0

9. (CEFET-MG-2010) O conjunto imagem da funof(x) = -4 3x + x2, definida para todo x real, est contida em:a) A = {yb) B = {yc) C = {yd) D = {y

10. (FUVEST-2006) A soma e o produto das razes da equao de segundo grau

(4m+3n)x2 5nx + (m-2) = 0

valem, respectivamente, e . Ento m+n igual a:

a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5

Nvel II

11. A funo f(x) = x2 + bx + c, com b e c reais, tem duas razes distintas pertencentes ao intervalo [-2,3].Ento, sobre os valores de b e c, a nica afirmativa correta :

a) c < -6 b) c > 9 c) -6 < b < 4 d) b < -6 e) 4 < b < 6

12. O conjunto soluo da equao q4 13q2 + 36 = 0 :

a) V = {2,3}b) V = {0, 2, 3}c) V = {-3, -2}d) V = {-3,-2, 2, 3}e) V = {-3,3}

13. O nmero de pontos de interseco das parbolas y = x2 e y = 2x2 1 :a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

14. (Ufrgs-2010) Sabendo-se que uma funo f de grau 2 satisfaz f(1) = -1, f(2) = -2 e f(3) = -1, correto afirmar que a soma de suas razes :

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

15. (FGV-2011) O grfico da funo quadrtica f(x) tem as seguintes caractersticas: - O vrtice o ponto (4,-1) - Intercepta o eixo das abscissas no ponto (5,0)

O ponto de interseco de f com o eixo das ordenadas :

a) (0,14) b) (0,15) c) (0,16) d) (0,17) e) (0,18)

16. (UFBA-2011) Sabendo que os grficos das funes quadrticas f(x) = x2 - 4x + 3 e g(x) = -x2 bx c se interceptam em um ponto do eixo x e em um ponto do eixo y, respectivamente, determine o valor de b4c

17. (Fuvest-2010) A funo f: tem como grfico uma parbola e satisfaz f(x+1) f(x) = 6x 2 para todo nmero real x. Ento o menor valor de f(x) ocorre quando x igual a:a) 11/6 b)7/6 c) 5/6 d) 0 e) -5/6

18. (PUCRJ-2010) Sabendo que a curva a seguir a parbola de equao y = x2 x 6, a rea do tringulo ABC :

a) 4 b) 6 c) 9 d) 10 e) 12

19. (FGV-2010) A funo quadrtica f(x) = 16x x2 definida no domnio dado pelo intervalo [0,7] tem imagem mxima igual a:a) 64 b) 63,5 c) 63 d) 62,5 e) 62

(sugesto: Esboce o grfico de f(x) e veja o que acontece quando x varia de 0 a 7)

20. (Mackenzie-2010)

Na figura, esto representados os grficos das funes f(x) = x2 2x 3 e g(x) = 3x + 11. A soma da abscissa do ponto P com o valor mnimo de f(x) a) 1,5 b) -5 c) -2 d) -6 e) 0,5

21. (UFPR-2010) Uma calha ser construda a partir de folhas metlicas em formato retangular, cada uma medindo 1m por 40cm. Fazendo-se duas dobras de largura x, paralelas ao lado maior de uma dessas folhas, obtm-se trs faces de um bloco retangular, como mostra a figura a seguir:

a) Obtenha uma expresso para o volume desse bloco retangular em termos de xb) Para qual valor de x o volume desse bloco retangular mximo?

22. (UFF-2010) A figura a seguir representa um quadrado MNPQ inscrito no quadrado ABCD cuja rea mede 16cm2.

Determine:a) As medidas de AM e MB para que a rea do quadrado MNPQ seja igual a 9cm2b) As medidas de AM e MB para que a rea do quadrado MNPQ seja a menor possvel

Nvel III

23. (UFC-2010) Em um sistema cartesiano de origem O, seja P o ponto de coordenadas (1,2) e r uma reta que passa por P e intersecta os semi-eixos positivos das abscissas e ordenadas, respectivamente, nos pontos A e B. Calcule o menor valor possvel para a rea do tringulo AOB.

24. (Ufu-2010) Dada a funo de varivel real f(x) = ax2 + bx + c, em que a, b e c so nmeros reais, o grfico desta funo corresponde a uma parbola P

Sabendo que:a) Os pontos de coordenadas cartesianas (1,15) e (3,9) pertencem a Pb) os nmeros a, b e c, nesta ordem, formam uma progresso aritmtica

Determine todos os valores da varivel x que sejam nmeros inteiros e de forma que a imagem de cada um desses valores, f(x), seja um nmero positivo

25. (UFRJ-2010) Determine a equao da parbola que passa pelo ponto P1 = (0,a) e tangente ao eixo x no ponto P2 = (a,0), sabendo que a distncia de P1 a P2 igual a 4;

(sugesto: Desenhe a figura no plano cartesiano)

26. (ENEM-2009) Um posto de combustvel vende 10.000 litros de lcool por dia a R$1,50 cada litro. Seu proprietrio percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preo do lcool foi R$1,48, ele vendeu 10.200 litros.Considerando x o valor, em centavos, dado no preo de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do lcool, ento a expresso que relaciona V e x :

a) V = 10.000 + 50x x2b) V = 10.000 + 50x + x2c) V = 15.000 - 50x x2d) V = 15.000 + 50x x2e) V = 15.000 - 50x + x2

GABARITO

Nvel I1.C 2. a) x {-3, -2} b) x {-5, 0} 3.D 4.C 5.A 6.D

7.a) Razes reais e distintas significa > 0: t < 4b) Razes reais e iguais significa = 0: t = 4c) Razes no reais significa < 0: t > 4

8. B 9. D 10. A (m = 5 e n = 4)

Nvel II11. C 12. D 13. C 14. E 15. B 16. 48 17. C 18.C 19. C 20. D21. a) V = -200x2 + 4000x b) xv = 10cm22. a) AM = 2 - e MB = 2 + b) AM = MB = 2

Nvel III23. 4 24. x = -1, x = 0, x = 1, x = 2 e x = 325. ou

26. D