cap 3 – resposta no tempo
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INTRODUÇÃO AO CONTROLO 1º semestre – 2011/2012. Cap 3 – Resposta no Tempo. Transparências de apoio às aulas teóricas. Maria Isabel Ribeiro António Pascoal. Todos os direitos reservados - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Cap 3 – Resposta no Tempo
Maria Isabel RibeiroAntónio Pascoal
Transparências de apoio às aulas teóricas
Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram
elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores
INTRODUÇÃO AO CONTROLO1º semestre – 2011/2012
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Objectivos
• Rever conceitos sobre a resposta no tempo de SLITs• Pólos, zeros, ganho estático e a resposta dinâmica
de SLITs• Caracterização da resposta de sistema de 1ª e 2ª
ordem e ordem superior• Sistemas de fase não mínima• Relação tempo-frequência
Referênciaso Cap.3 – do livro de Franklin, Powel, Naemi (referência principal)o Sinais e Sistemas, Isabel Lourtie, Escolar Editora (para revisão de
conceitos sobre TL)
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Função de Transferência: definição
SLITr(t) y(t)
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
0.i.c)s(R)s(Y)s(G
G(s)R(s) Y(s)
Para condições iniciais nulas )s(R).s(G)s(Y
• A função de transferência é um conceito potente para descrever o comportamento de sistemas do ponto de vista de entrada/saída
• Para SLITs, a função de transferência caracteriza completamente o sistema do ponto de vista de entrada-saída
Quociente da transformada de Laplace do sinal de saída pela transformada de Laplace do sinal de entrada considerando nulas as condições iniciais
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Resposta no Tempo
SLITr(t) y(t)
Uma maneira de resolver o problema
Resolver a equação diferencial que é a representação do comportamento de entrada-saída
Dados •a equação diferencial que representa um modelo do SLIT•a entrada r(t)•as condições iniciaisPretende-se:• Conhecer a evolução temporal da saída, y(t)
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Função de Transferência e a Resposta no Tempo
SLITr(t) y(t)
0.i.c)s(R)s(Y)s(G
G(s)R(s) Y(s)
r(t) y(t)
R(s) Y(s)
TLu TLu-1
)s(R).s(G)s(Y
Se as condições iniciais forem nulas
Resolução da eq.diferencial
Capítulo 3- Resposta no TempoResposta no tempo a partir da FT: exemplo de sistema de 1ª ordem
Sistemas mecânicos de translaçãoexemplo-1ªordem
msm1)s(G
b
m f(t) )s(VG(s)
)s(F
u(t) = escalão de Heaviside
1 sF))t(f(TL
s1))t(u(TL
ms1.
sF)s(V
ms1.
sFTL))s(V(TL)t(v 11
TL-1
f(t) = F u(t) = entrada do sistema
F
assume-se que o sistema está
inicialmente em repouso
Capítulo 3- Resposta no Tempo
F
F
saída
1
Ganho em regime estacionário
Resposta no tempo a partir da FT: exemplo de sistema de 1ª ordem
ms1.
sFTL))s(V(TL)t(v 11
)ms
1s
1.F)ms(s
m1Fms
1sFdecomposição em fracções parciais
0t para e1F1F)t(v
)t(ue1F)t(u1F)t(v
tm
tm
msm1)s(G
Capítulo 3- Resposta no Tempo
A FT e a obtenção da resposta de um SLIT com c.i. não nulas
Utilização da Função de Transferência na obtenção da resposta de um SLIT
r(t) y(t)
R(s) Y(s)
TL TL-1
)s(R).s(G)s(Y
Resolução da eq.diferencial
Se as condições iniciais forem nulas
E se as condições iniciais não forem nulas?
Não é possível continuar a usar (directamente) a Função de Transferência ?
G(S)
R(s)
c.i. 0
TLueq.diferencial Y(s) y(t)
TLu-1
Já tem em linha de conta as c.i.
Capítulo 3- Resposta no Tempo
A FT e a obtenção da resposta de um SLIT com c.i. não nulas
exemplo
Y(s)/R(s)as
KG(s)
1)0(y
Kr(t)ay(t)dt
dy(t)
KR(s)aY(s))y(0sY(s)
R(s)as
Kas)y(0Y(s)
0t ),e(1aK)ey(0y(t) atat-
TL-1
TLu considerando c.i. não
nulasu(t)r(t)
Sistema linearPrincípio da sobreposição
s1
asK
as)y(0Y(s)
Resposta devida à excitação pelas condições
iniciais
Resposta devida à excitação pela entrada r(t)
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Função de transferência: caso geral. Pólos e Zeros
G(s)R(s) Y(s)
n grau de polinómiom grau de polinómio
D(s)N(s)G(s)
001
1n1n
nn
011m
1mm
m Nnm, ,asasbsabsbsbsb
D(s)N(s)G(s)
Função de transferência• própria nm• estritamente própria n>m• não própria n<m
Só estudaremos este tipo de FT
Pólo do SLITC é um polo do sistema com FT própria G(s) sse |G()|=
Zero do SLITC é um zero do sistema com FT própria G(s) sse |G()|=0
Se N(s) e D(s) não tiverem factores comuns• Os pólos do sistema são os zeros de D(s)• Os zeros do sistema são as zeros de N(s)
cuidado ao cancelar factores comuns nos polinómios N(s) e D(s)
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Função de Transferência: outras representações
001
1n1n
nn
011m
1mm
m Nn,m ,asasbsabsbsbsb
)s(D)s(N)s(G
Representações alternativas (Se não houver pólos e/ou zeros na origem, nm )
0n21
m21 Nn,m ,)ps)....(ps)(ps()zs)....(zs)(zs(K
)s(D)s(N)s(G
ii p
1
ii z
1T
Pólos {-p1, -p2, ... , -pn} Zeros {-z1, -z2, ... , -zm}
Se -pi for um pólo real
constante de tempo
(em rad/seg)
(em seg)
ii p
1
0n21
m210 Nnm, ,
)s)....(1s)(1s(1)sT)....(1sT)(1sT(1K
D(s)N(s)G(s)
Forma das constantes de tempo
0K ganho estático Atenção ao valor do ganho estático quando houver pólos
e/ou zeros na origem
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Resposta no tempo a partir da FT: exemplo de sistema de 1ª ordem (cnt)
msm1)s(G
b
m f(t)
)s(VG(s)
)s(F
jw
m
pólo =m
não tem zerosconstante de tempo=
m
ms111)s(G
FT na forma das constantes de tempo
Ganho estático= = 1.331
(seg)
(rad/seg)
Quando aumenta, • a resposta do sistema torna-se mais rápida.• a constante de tempo diminui• o regime transitório atenua-se mais rapidamente
m
1m
375.0m
|pólo| a aumentar
75.0
O pólo determina a natureza da componente natural da resposta; pólo real exponencial amortecida
Como é a resposta em frequência para estas duas situações?
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Resposta no Tempo: caso geral de 1ª ordem
R(s) Y(s)as
aK)s(G 0
jw
a
Pólo = -a (rad/seg)Constante de tempo = 1/a (seg)Ganho estático = K0
r(t)=u(t)
s1)s(R
asK
sK
asa.
s1KY(s) 00
0
at00 eKKy(t) Para t0 K0
a1
a2
a3
a4
a5
a.Ktempo de tetancons
1.Kdeclive 00
63.2
%
86.5
%
95%
98%
Tempo de estabelecimento (a 2%)– tempo ao fim do qual a resposta se confina a uma faixa de 2% do valor final.
tempo de constante*4a4(2%)ts
ts a 5%
tempo de constante * 3a3(5%)ts
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Teoremas dos Valores Inicial e Final (para SLITs)
)]t(x[TL)s(X
De que modo estes teoremas podem ser usados na análise do comportamento (da saída) de SLITs ?
G(s)R(s) Y(s)
)s(R).s(G)s(Y
Sem o cálculo explícito da saída para uma dada entrada é possível avaliar valores particulares da saída:
),....0(),0(),(),0(
yytyyt
lim
Teorema do Valor Inicial
)s(sX lim)t(xlims0t
Teorema do Valor Final
)s(sX lim)t(xlim0st
Se todos os pólos de sX(s) estão no s.p.c.e
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Teoremas dos Valores Inicial e Final (para SLITs)
no cálculo de características da saída de um SLIT
Valor Inicial da Saída
)s(R)s(sG lim)s(sY lim)t(ylimss0t
Valor Final da saída)s(R)s(sG lim)s(sY lim)t(ylim
0s0st
G(s)R(s) Y(s)
Entrada escalão unitário
G(s) lims1sG(s) limy(t)lim
ss0t
s1R(s)
Entrada escalão unitário
)s(G lims1)s(sG lim)t(ylim
0s0st
s1)s(R
Valor do ganho em regime estacionário
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Ganho Estático: exemplo
bm f(t)
)s(X)s(F)s(G1
)s(V)s(Fms
m1
)s(X
s1
)ms(sm1)s(G1
(s)GlimK 10s
0
X
Entrada=f(t)
Saída = x(t)
este sistema tem um pólo na origem (a posição é o integral da velocidade)
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Resposta no Tempo: sistema de 2ª ordem
bm f(t)
X
Objectivo: controlar o sistema em posição
)s(V)s(Fms
m1
)s(X
s1K+
_)s(R
Qual é a função de transferência do sistema controlado?
)s(G1
)s(X)s(RK)s(G)s(F)s(G)s(X 11
)s(R)s(KG)s(X))s(KG1( 11
)s(KG1)s(KG
)s(R)s(X
1
1
m
Km
ss
mK
)s(R)s(X)s(G
2
• sistema de 2ª ordem, com 2 pólos, sem zeros• ganho estático = ?
exemplo
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Resposta no Tempo: sistema de 2ª ordem. Caso geral
2nn
2
2n
wsw2sw)s(G
G(s)
R(s) Y(s)
Qual é a resposta para uma entrada escalão de amplitude unitária ?• depende da localização dos pólos
0wsw2s 2nn
2
Pólos complexos conjugados
1ζwζws 2nn
10
1
1
Pólo real duplo
Pólos reais distintos
2nn 1jww
nn ww
1ww 2nn
Sistema subamortecido
Sistema criticamente amortecido
Sistema sobreamortecido
nw
nw
njw
njw
djw
djw
arcsin
0
0
1
nw
21 nd ww
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Resposta no Tempo: sistema de 2ª ordem (exemplos)
0 ,1wn 0.3 ,1wn
1 ,1wn 2 ,1wn
Sistema subamortecido
Sistema criticamente amortecido Sistema sobreamortecido
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Resposta no Tempo: sistema de 2ª ordem (exemplos)
0.3 ,1wn 2 ,1wn Sistema subamortecido Sistema sobreamortecido
zoom zoom
A derivada na origem é nula
Demonstre este resultado usando o teorema do valor inicial, mostrando que:
0wsw2s
swlim)t(ylim 2
nn2
2n
s0t
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Sistema de 2ª ordem Subamortecido 10
dw
2nn2,1 1wjws
pólos complexos Wn – freq. oscilações naturais NÃO amortecidas
-- coeficiente de amortecimentoWd – frequência das oscilações amortecidas
Resposta a uma entrada escalão unitária
)t1wsin(e1
11)t(y 2n
tw
2n
21
arctg
parte real dos pólos
parte imaginária dos pólos
Consequência de o ganho estático ser unitário
Nota: wn actua apenas como factor de escala de tempo
S
Td
tpts
%2
sobreelevação
Tempo de pico
Tempo de estabelecimento
Período das oscilações0t
tr
Tempo de subida
1
0.9
0.1
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Especificações no domínio do tempo
• As especificações para o desempenho de um sistema controlado são, por vezes, expressas em termos da sua resposta no tempo
• Especificações típicas em termos de:– Tempo de subida (tr) – tempo que o sistema demora a atingir a vizinhança de um
novo set-point• Vulgarmente o intervalo entre 0.1 e 0.9 do valor final
– Tempo de estabelecimento (ts) – tempo que o regime transitório demora a decair• Vulgarmente o tempo até a saída se confinar a uma faixa de 5% do valor final
– Sobreelevação - (S%) – valor máximo da saída menos o valor final divido pelo valor final
– Tempo de pico (tp) – é o tempo que o sistema demora a atingir o valor máximo da saída
• Para sistemas de 2ª ordem, sem zeros, subamortecidos, estas especificações podem expressar-se como função de e de n
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Sistema de 2ª ordem SubamortecidoCaracterísticas da resposta
• Pontos em que a derivada se anula
•Período das oscilações - Td
•Tempo de pico - tp
0dt
)t(dy ,...2,1,0n
1w
nwnt
2nd
dd w
2T
Para n=0 0)0(y A derivada na origem é nula
Tempo ao fim do qual ocorre o máximo absoluto de y(t)
2T
wπt d
dp n=1
p2
nd t pólos dos imaginária parte ζ1ww
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Sistema de 2ª ordem SubamortecidoCaracterísticas da resposta
• Sobreelevação – S%
final
finalmax
yyy100S%
2ζ1
ζπ
pmax e1)y(ty
21e.100%S
Só depende do coeficiente de amortecimento
S% ζ
Tempo requerido para a saída evoluir de 10% a 90% do valor final
tr
Não há uma expressão analítica simples que relacione tr com o coeficiente de amortecimento e a frequência wn.
Mas há expressões aproximadas
nr wt 8.1
• Tempo de subida - tr
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Sistema de 2ª ordem SubamortecidoCaracterísticas da resposta
• Tempo de estabelecimento a 2% (ts(2%))
ns w
4t
Valores aproximadosVerifique a analogia com os sistemas de 1ª ordem
ns w
3t
a 5%
• Instante de tempo em que a saída atinge e se mantém numa faixa de 2% do valor final• A mesma definição usada nos sistemas de 1ª ordem
)t1wsin(e1
11)t(y 2n
tw
2n
02.0e1
1 tw
2n
1)t1wsin( 2n
aproximação
ns ζw
4.6t a 1%
a 2% sn tw |pólos dos real parte|
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Sistema de 2ª ordem Subamortecido – Vários Exemplos
Figuras retiradas deAnálise de Sistemas Lineares, M. Isabel Ribeiro, IST Press, 2001
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Sistema de 2ª ordem Subamortecido – Vários Exemplos
Figuras retiradas deAnálise de Sistemas Lineares, M. Isabel Ribeiro, IST Press, 2001
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Sistema de 2ª ordem Subamortecido
Lugar geométrico dos pólos que correspondem a determinadas especificações
constante ωn
constanteξ
constante ξωn
constante ωd
Tempo de subida constante
Sobreelevação, constante
Tempo de estabelecimento constante
Tempo de pico constante
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Exercício
2s1 s
1K
+
_
• O ganho estático do sistema em cadeia fechada depende de K?• Determine o valor de K para que a resposta do sistema em cadeia fechada a uma
entrada escalão de amplitude unitária tenha sobreelevação de 20%.• Para esse valor de K qual é o tempo de estabelecimento a 5% da resposta?
Y(s)R(s)
K2ssK
2)s(sK1
2)s(sK
R(s)Y(s)
2
Ganho estático unitário, independente de K
O sistema em cadeia fechada tem uma f.t. da forma
2nn
2
2n
wsw2sw)s(G
Por comparação:
2
22
n
n
Kξω
1
nω
2.0ln2.0ln2.0%20% 22
21 2
eS
46.0
Das especificações pretendidas:
8.42.2 Kωnsegt
ns 33%)5(
Confirme resultados usando Matlab
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Sistema de 2ª ordem – Criticamente amortecido
nw
1
2nn
2
2n
wsw2sw)s(G
2n
2n
)ws(w)s(G
1
s1)s(R entrada escalão de amplitude unitária
n
32
n
212
n
2n
wsc
)ws(c
sc
)ws(sw)s(Y
twtwn
nn etew1)t(y
twn
nt)ew(11y(t)
0t
0t
ganho estático unitário
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Sistemas de ordem superior. Efeito de pólos adicionais
)as)(wsw2s(w.a)s(G 2
nn2
2n
s1)s(R as
Rw)ws(
wR)ws(Rs
R)s(Y 42d
2n
d3n21
at4d3d2
tw1 eR)twsinRtwcosR(eR)t(y n 0t
• De que modo um pólo influencia a resposta global?Através de:
– tipo de pólo (real, complexo, simples, duplo)– parte real - que determina o ritmo de
decaimento da componente transitória associada– resíduo associado – que depende da localização
dos outros pólos e zeros.
ateatat tee ,
)sin( bte at
Contribuição de pólos para a resposta transitória
pólo simples
pólo duplo
pólos complexos
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Sistema de 3ª ordem sem zeros
)25s4s)(as(a*25)s(G 2
-1-3-8
-2
Quando |a| aumenta• a influência do pólo real diminui• O pólo torna-se “menos dominante”• A resposta é “dominada” pelos pólos complexos
Em qualquer das situações o sistema torna-se mais lento• A largura de banda DECRESCE quando |a| diminui
a =1, 3, 8 rad/seg
a=1
a=3
a=8
sistema de 2ª ordem
sistema de 3ª ordem c/ 2 pólos complexos conjugados e um pólo real
Compare o diagrama de Bode para as quatro situações
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Sistemas de ordem superior: Pólos não dominantes
)25s4s)(as(a*25)s(G 2
Quando |a| aumenta• a influência do pólo diminui• O pólo torna-se “menos dominante”• Os pólos complexos são pólos dominantes
Em que condições é possível desprezar o pólo (real) não dominante ?
Quando o regime transitório associado é desprezável, no conjunto de todas as contribuições transitórias, ao fim de aproximadamente 5 constantes de tempo.
Quando o módulo do pólo real é pelo menos cinco vezes maior que o módulo da parte real dos pólos dominantes.
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Sistemas de ordem superior: Pólos não dominantes
)25s4s)(as(a*25)s(G 2
)25s4s)(10s(250)s(G 2
)25s4s)(1s101(
25)s(G2
)25s4s(25)s(G 2
O desprezo de pólos não dominantes tem que preservar o
ganho estático
3ªordem
2ªordem
Aproxima o sistema de 2ªordem, no que respeita à resposta no tempo
Que acontece no domínio da frequência?
Qual é o conceito de pólo não dominante no domínio da frequência?
10a
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Efeito de zeros adicionais
Qual a influência de zeros na resposta de SLITs?
c)b)(s(sa)(s
abcG(s)
ganho estático unitário
Entrada escalão de amplitude unitária
)cs
Rbs
Rs
R(a
bc)s(Y 321
-b
-c -a
Cálculo geométrico dos resíduos
)cb)(c(acR
)bc)(b(baR
bcaR
3
2
1
• Os resíduos R2 ou R3 serão pequenos se o zero estiver próximo de pólo em –b ou do pólo em –c, respectivamente.
)eReRR(a
bc)t(y ct3
bt21
32 RR )eRR(abc)t(y ct
31
aproximação
s1R(s)
Os zeros determinam o valor dos resíduos
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Pólos não dominantes: Redução de ordem
Em que condições Sistemas de ordem superior podem ser aproximados por sistemas de ordem mais baixa?
• Quando há PÓLOS NÃO DOMINANTES– o resíduo associado ao pólo é pequeno
• Proximidade com um zero– a parte real do pólo é elevada
• Regime transitório extingue-se muito rapidamente
Como se faz a aproximação ?– despreza-se o pólo e o zero– despreza-se o pólo
Cuidado a ter na aproximaçãoO sistema original e o aproximado devem ter o mesmo ganho estático
]3)2s)[(20s)(1s()1.1s(236)s(G 22
exemplo
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Sistemas com zeros. Efeitos de um zero adicional
2n
2n
)ws()bs(
bw)s(G
Para entrada escalão unitário
n2
n
nn2
n
2n
ws1
)ws(b/w)bw(
s1
)ws(s)bs(
bw)s(Y
0t ,e1tb
)bw(w1)t(y twnn n
1 pólo duplo e 1 zero
1)(yb
w)0(y
0)0(y2n
Características da respostaUse os teoremas dos valores inicial e final para chegar a
estas conclusões
Pode ser negativo se o zero estiver no spcd
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Sistemas com zeros. Efeitos de um zero adicional
2n
2n
)ws()bs(
bw)s(G
-wn-b
bw0 n nwb0
-wn-b
4b2wn
Existe sobreelevação
)s(bY)s(sY)ws(s
1b
w)bs(
)ws(s)bs(
bw)s(Y
11
)s(Y
2n
2n
2n
2n
1
Combinação linear de um sinal e da sua derivada
1b2wn
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Sistemas com zeros. Efeitos de um zero adicional
2n
2n
)ws()bs(
bw)s(G
-wn-b
nw0b
Derivada na origem é negativa
Sistema tem um zero no spcd
- sistema de FASE NÃO MÍNIMA
Pólo duplo e zero no spcd
• Sistema de fase não mínima é aquele que tem pelo menos um pólo e/ou um zero no semi-plano complexo direito– Pólo no spcd – instabilidade– Qual é o efeito de um zero no spcd ?
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Sistema de Fase não mínima: Exemplo. Barrilete
Exemplo – Barrilete– Centrais termoeléctricas– Produção de vapor
r(t) h(t)
Caudal de água fria à entrada
Altura da água no barrilete
• Relação entre a abertura da válvula da água fria e a altura da água no barrilete depende de:
• Efeito rápido de contracção da água devido à injecção de água fria
• Efeito de integração devido à adição de massa
barrilete
Lento
Rápido
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Sistema de Fase não mínima: Exemplo. Barrilete
• Para certa relação de K1 e o sistema tem um zero no semi-plano complexo direito ( <1/ K1 )• Nos sistemas reais <<1, K1<<1.
)s(R)s(H
)s(R)s(H
)s(R)s(H)s(G 21
)1s(ss)1K(K
1s1
sK)s(G 111
entrada escalão r(t) =u(t)
Exemplo – Barrilete
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Sistema de fase não mínima: Manipulador Flexível
Manipulador Rígido
T
T-binário motort0
T(t)
t0
(t)entrada
saída
t0
T(t)
t
(t)entrada
saída
T
T-binário motorEfeito de “chicote” (FASE NÃO MÍNIMA)
Manipulador Flexível