MatemticaFrente IICAPTULO 15 INEQUAES EXPONENCIAIS

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1- INTRODUO

At agora aprendemos a resolver inequaes de primeiro e segundo graus. Neste captulo, aprenderemos a resolver inequaes envolvendo potncias que estudamos no captulo 13. As inequaes que aprenderemos a resolver sero do tipo

Ou, analogamente:

Para entender como resolv-las, primeiro responda seguinte pergunta: Qual dos dois nmeros maior: ou ? Provavelmente voc deve ter respondido , pois sabemos que e .Mas se, ao invs disso, voc quisesse saber qual dos nmeros maior: ou ? Certamente daria bastante trabalho calcul-los manualmente, mas sabemos, intuitivamente, que deve ser o maior nmero, pois o expoente do 1 nmero (50) maior que o expoente do 2 nmero (40).

Consideremos, agora, a seguinte indagao: Qual dos dois nmeros maior: ou ? Calculando os dois nmeros, vemos que e . Assim, o maior dos dois. Da mesma forma, podemos questionar, por exemplo, entre e , qual o maior dos dois? Veja que neste caso, diferente do exemplo que vimos acima, o maior nmero , que possui o menor expoente. Isto acontece porque, neste caso, a base da potncia (0,5) menor do que 1, ao contrrio do primeiro exemplo que vimos, em que a base (2) maior do que 1. Assim, podemos concluir:

Se a base maior do que 1, quanto maior o expoente, MAIOR o valor da potncia

Se a base menor do que 1, quanto maior o expoente, MENOR o valor da potncia

Disso decorre a seguinte interpretao algbrica. Seja a inequao . Temos aqui duas opes para comparar os expoentes:

Vejamos alguns exerccios para fixar melhor esta idia:

Exerccio Resolvido 1

Resolva a inequao:

Resoluo:

Como a base do expoente 2, que maior que 1, temos:

Assim, o conjunto-soluo de nosso problema :

Exerccio Resolvido 2

Se um nmero menor que 1, resolva:

Resoluo:

Se um nmero menor que 1, ento temos que trocar o lado da desigualdade:

(perceba que aqui trocamos de menor que para maior que ao comparar os expoentes)

Continuando...

Assim, o conjunto-soluo de nosso problema :

2 REDUO MESMA BASE

Algumas vezes, nas questes que encontraremos, as inequaes no se encontram na mesma base dos dois lados da desigualdade. Para isso, precisamos fazer uma pequena manipulao algbrica para reduzi-las mesma base. Veja nos exerccios resolvidos abaixo como fazemos isso:

Exerccio Resolvido 3

Resolva a inequao:

Resoluo:

Veja que do lado esquerdo a base 2 e do lado direito a base 4.

Mas 4 = 22!!!

Ento no lugar de 4 escreveremos 22:

Como a base (2) maior que 1:

Assim, nosso conjunto-soluo :

Disso podemos abstrair questes que envolvem vrias dessas transformaes. Veja o exerccio resolvido abaixo:

Exerccio Resolvido 4

Resolva a inequao abaixo:

Resoluo:

O primeiro passo no se assustar com a inequao do jeito que est escrita!

Observemos os nmeros que esto escritos na inequao: 9 e 27, ambos podem ser escritos como potncias de 3:

Reescrevendo-os ento na inequao:

Do lado direito, podemos inverter a potncia trocando o sinal do expoente:

Como a base 3, que maior que 1, temos:

Assim:

E por fim nossa resposta :

3 RESUMO

Em sntese, ento, para resolver inequaes exponenciais, basta seguirmos alguns passos:

Reduzir todos os termos mesma base (pode ser qualquer base)

Se a base for maior que 1, resolver a inequao com os expoentes mantendo o lado da desigualdade

Se a base for menor que 1, resolver a inequao com os expoentes trocando o lado da desigualdade

EXERCCIOS PROPOSTOS

Nvel I

1. Resolva as inequaes abaixo. Se necessrio, consulte os exerccios resolvidos 1 a 4:

a) b) c) d)

2. Resolva as inequaes abaixo. Lembre-se que temos que reduzir todos os termos mesma base:

a) b) c)

3. (UFPB-2006) O total de indivduos, na n-sima gerao, de duas populaes P e Q, dado, respectivamente por e . Sabe-se que, quando , a populao Q estar ameaada de extino. Com base nessas informaes, essa ameaa de extino ocorrer a partir da:

a) dcima geraob) nona geraoc) oitava geraod) stima geraoe) sexta gerao

4. (PUC-RS 2006) O domnio da funo :

a) (-,0) U (0,+)b) [0,+)c) (-,0]d) (1,+)e) (-,-1)

5. (UFES-1999) O conjunto soluo, em , da inequao :

a) b) c) d) e)

6. (UFRS-1996) O conjunto soluo da inequao

: a) b) (-1,1) c) (0,+) d) (-,0) e)

7. No intervalo [-1,8], o nmero de solues inteiras da inequao : a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

8. (UNESP-1992) Seja um nmero real dado. Resolva a inequao exponencial:

Nvel II

9. (Udesc-2009) O conjunto soluo da inequao:

:a) b) c) d) e)

10. (ITA-2004) Seja um nmero real com assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os valores de x tais que:

a) ]-,0] U [2,+[b) ]-,0[ U ]2,+[c) ]0,2[d) ]-,0[e) ]2,+[

11. (UFV-2001) Se para todo CORRETO afirmar que:

a) b) c) d) e)

12. (UNIRIO-1999) Seja uma funo f definida por:

Determine os valores de x tais que f(x) seja menor que 8

13. O maior valor inteiro pertencente ao conjunto soluo da inequao:

:a) -3 b) -2 c) -1 d) 1 e) 2

GABARITO

1.a) b) c) d)

2. a)b) c)

3. a 4.b 5.e 6.a 7.d 8. 9.c 10.c 11.b 12. 13. b