MatemticaFrente IICAPTULO 12 FUNO INVERSA

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1- INTRODUOQuando iniciamos o estudo de funes no captulo 5, vimos as condies que uma relao entre dois conjuntos devem satisfazer para que seja chamada de funo. Por exemplo, seja a relao de A em B dada abaixo:

A relao dada uma funo, pois de todos os elementos de A, sai exatamente uma flecha. Nesse caso, dizemos que o conjunto A o domnio da funo, e o conjunto B o contradomnio.Estudaremos neste captulo a chamada funo inversa que, basicamente, consiste em trocarmos o sentido de todas as flechas. No exemplo acima, se invertermos as flechas de nossa funo, chegaremos ao seguinte diagrama:

Com esse novo diagrama, obtemos uma nova relao, cujo domnio B, e cujo contradomnio A. Observemos, porm, que esta relao no uma funo, pois aqui ocorrem dois problemas:

1 Os nmeros 2 e 3 do conjunto B no apontam para ningum

2 O nmero 5 do conjunto B aponta para dois elementos simultaneamente.

Disso, podemos concluir que, para que uma funo admita uma inversa, devem ser satisfeitas duas condies:

1 Todos os elementos do conjunto B devem receber flechas. Nesse caso, a funo deve ser sobrejetora

2 Todos os elementos de B devem receber apenas uma flecha. Nesse caso, a funo deve ser injetora

Com isso chegamos primeira concluso importante sobre funes inversas. Como uma funo que simultaneamente sobrejetora e injetora chamada bijetora, podemos dizer que:

Uma funo s admite inversa se for bijetora

EXEMPLO:Seja a funo f:AB descrita abaixo:

Observe que a funo f bijetora, pois em todos os elementos de B chega exatamente uma flecha. Assim, podemos dizer que a funo f admite inversa, que ser representada por f-1:BA(l-se f a menos um de B em A). Para esquematizar a funo f-1, basta trocarmos o sentido das flechas:

Veja que agora a relao inversa uma funo, pois de todos os elementos do conjunto B parte exatamente uma flecha. interessante notar a simetria que existe entre a relao domnio-imagem de uma funo e sua inversa:

Veja que na funo f (primeira figura):- O elemento 3 aponta para o 5 f(3) = 5- O elemento 5 aponta para o 3 f(5) = 3- O elemento 8 aponta para o 9 f(8) = 9- O elemento 9 aponta para o 7 f(9) = 7

J na funo f-1 (segunda figura):

- O elemento 5 aponta para o 3 f-1(5) = 3- O elemento 3 aponta para o 5 f-1(3) = 5- O elemento 9 aponta para o 8 f-1(9) = 8- O elemento 7 aponta para o 9 f-1(7) = 9

Assim, podemos enunciar a seguinte afirmao:

Se uma funo f admite inversa e f(a) = b, ento f-1(b) = a

que nada mais do que a interpretao matemtica do nosso ato de trocar o sentido da flecha. E isto uma expresso bastante til para resolver problemas.

Exerccio Resolvido 1:Seja f:, f(x) = 3x 2. Determine f-1(4).

Resoluo:

Faamos f-1(4) = x. Utilizando a propriedade que vimos acima, temos: f(x) = 4. Logo basta encontrar o valor de x tal que f(x) = 4:

f(x) = 4 3x 2 = 4 3x = 6 x = 2

Assim, como f(2) = 4, temos f-1(4) = 2, que a nossa resposta.

2 - EXPRESSES ALGBRICAS DE FUNES INVERSASEstudaremos aqui o problema mais comum de funes inversas: Dada a expresso algbrica de uma funo, qual a expresso de sua inversa? Veja o exemplo abaixo:

EXEMPLO:Seja f:, f(x) = 2x + 3. Para determinarmos f-1(x), seguimos os seguintes passos:

1 Chamamos f(x) de y:

y = 2x + 3

2 Trocamos y por x e x por y:

x = 2y + 3

3 Isolamos y:x = 2y + 3x 3 = 2yy = (x 3)/2

4 trocamos y por f-1(x), chegando resposta:

f-1(x) = (x - 3)/2

Normalmente, o que nos dar mais trabalho ser o passo (3).

Exerccio Resolvido 2:

Seja a funo f: dada pela expresso f(x) = , determine sua inversa.Resoluo:

1 Chamemos f(x) de y:

y = 2 troquemos y por x:

x = 3 Isolemos y, para isso, faamos a multiplicao em cruz na expresso acima:

x(5 3y) = 2y 35x 3xy = 2y 35x + 3 = 2y + 3xy

Colocando y em evidncia do lado direito:

5x + 3 = y(2+3x)

y =

4 trocamos y por f-1(x):

f-1(x) =

Eis algumas expresses algbricas de funes inversas importantes:

1 f(x) = x f-1(x) = x (a inversa da funo identidade a prpria funo identidade)

2 g(x) = g-1(x) =

3 h(x) = xn, h-1(x) = 4 p(x) = senx p-1(x) = arcsenx (funo arco-seno)5 q(x) = ax q-1(x) = (funo logaritmo)

3 - ANLISE GRFICA DA INVERSA

Vimos que, se em uma funo inversvel se tem f(a) = b, na sua inversa deve valer f-1(b) = a. Disso decorre a seguinte interpretao grfica: Se um ponto (a,b) pertence ao grfico de uma funo, ento o ponto (b,a) pertence ao grfico de sua inversa. Dessa forma, se conhecermos o grfico da funo original, podemos determinar o grfico da inversa. Veja o exemplo abaixo:

EXEMPLO:Seja uma funo com o grfico na pgina seguinte:

Para determinar o grfico da inversa, basta espelhar o grfico da funo em relao bissetriz dos quadrantes mpares:

Nos levando ao seguinte grfico para a inversa:

4 - PROPRIEDADES IMPORTANTES

Veremos aqui duas propriedades importantes da funo inversa. A primeira delas a composta: Dada uma funo f inversvel, e f-1 a sua inversa, a relao abaixo sempre vlida:

f-1(f(x)) = f(f-1(x)) = xOu seja, a composta entre a funo e sua inversa resultar sempre na funo identidade.

EXEMPLO:Seja a funo f(x) = 5x 2. Para mostrar a relao acima, vamos calcular sua inversa:

f(x) = 5x 2 y = 5x 2 x = 5y 2 x + 2 = 5y

y =

f-1(x) = Em seguida, vamos calcular f-1(f(x)):

f-1(f(x)) = f-1(5x 2)

f-1(f(x)) =

f-1(f(x)) = f-1(f(x)) = x

Para mostrar que f(f-1(x)) = x, o procedimento anlogo, fica ento como exerccio para o aluno.

A segunda propriedade importante a seguinte: Dada uma funo f(x) inversvel, sempre vlida a seguinte propriedade:

f-1(f-1(x)) = f(x)

Em outras palavras: A inversa da inversa a prpria funo.

EXEMPLO:

Seja a funo f(x) = 5x 2 vista acima. Vimos que sua inversa f-1(x) = Vamos ento calcular a inversa de f-1:

f-1(x) =

y =

x = 5x = y + 2 y = 5x 2 f-1(f-1(x)) = 5x 2

Observe que encontramos f-1(f-1(x)) = 5x 2, que a mesma expresso de f(x), assim: f-1(f-1(x)) = f(x), conforme propusemos inicialmente. Isto tambm bastante til em exerccios. Vejamos um exemplo:

Exerccio Resolvido 3:

Seja f(x) uma funo inversvel tal que f(2x+1) = x. Determine f-1(x)

Resoluo:

Basta aplicar f-1 dos dois lados da equao. Veja: f(2x+1) = xf-1(f(2x+1)) = f-1(x)Como f-1(f(x)) = x, ento certamente devemos ter f-1(f(2x + 1)) = 2x + 1

Assim: 2x + 1 = f-1(x) f-1(x) = 2x + 1

Concluso: A funo inversa a prpria expresso dentro da funo: E isto no coincidncia!

EXERCCIOS PROPOSTOSNvel I

1. Seja f: , f(x) = x2 + 1, f admite inversa? Justifique.

2. Sabendo que as funes nos itens abaixo so inversveis, calcule o valor de f-1(2) nos seguintes casos:

a) f(x) = 5x -3b) f(x) = 2x

c) f(x) = d) f(x) = 4x

3. (UFRJ) Seja f: uma funo definida por f(x) = ax + b. Se o grfico da funo f passa pelos pontos A(1,2) e B(2,3), a funo f-1 (inversa de f) :

a) f-1(x) = x + 1b) f-1(x) = -x + 1c) f-1(x) = x - 1d) f-1(x) = x + 2e) f-1(x) = -x + 1

4. (UNIRIO-1998) Consideremos a funo inversvel f cujo grfico visto a seguir:

A lei que define f-1 :a) y = 3x + 3/2b) y = 2x - 3/2c) y = (3/2)x - 3d) y = (2/3)x + 2e) y = -2x - 3/2

5. (UFPA-2008) O custo c de produo de uma pea em funo do nmero n de produtos dado pela frmula:

A funo inversa desta frmula :

a)

b)

c)

c)

c)

6. (CEFET-CE-2004) Considere a funo f(x) = (3x-1)/(1-2x), x 1/2. Calcule f(f-1(x)), onde f-1(x) a lei da funo inversa de f.

Nvel II

7. (UNIRIO-1998) Considerando-se a funo f:, xy = 2x + 1.a) Determine a lei que define a funo f-1b) Calcule a rea da regio compreendida entre os grficos de f e f-1, o eixo dos y e a reta de equao x=1.

8. (UNIRIO) Seja f:, onde b real.xy = -(x/2) + b. Sabendo-se que f o f (4) = 2, a lei que define f-1 :a) = y = -(x/2) + 2b) = y = -(x/2) + 3c) = y = -2x + 4d) = y = -2x + 6e) = y = -2x + 8

9. (CESGRANRIO) Com a funo f(x), representada no grfico abaixo, e com a funo g(x), obtm-se a composta g(f(x)) = x. A expresso algbrica que define g(x) :

a) x/4 1/4b) x/4 + 1/4c) x/4 + 1/4d) x/4 1/4e) x/4 + 1

10. (PUCMG-2007) A frmula C = (5/9)(F - 32), onde F -459,67 expressa a temperatura C , em graus Celsius, como uma funo da temperatura F, em Fahrenheit. Ento, correto afirmar que: a) F = (32 + 9C)/160b) F = (9C 160)/5c) F = (9C + 160)/5d) F = (160 9C)/5

11. (CEFETMG-2006) Seja a funo definida por f(x) = (x+1)/(4x+1), com x -1/4 e f-1 = (-x+1)/(ax+b). A soma a + b :

a) 0 b) 1 c) 3 d) 5

12. (UFPB-2006) Considere a funo f: [0, 2] [0, 3] definida por:

f(x) =

A funo inversa de f est melhor representada pelo grfico:

13. (UFRRJ-2005) Seja a funo f: definida por f(x) = 3x + 4a2, onde a real. Encontre os possveis valores de a de modo que seja satisfeita a desigualdade f-1(8) 0.

14. (Unifesp-2005) Considere as funes dadas por f(x) = sen() e g(x) = ax + b, sendo o grfico de g fornecido na figura:

O valor de f(g-1(2)) :

a) b) c) d) e)

15. (UFV-2004) Seja f a funo real tal que f(2x-9)=x para todo x real. A igualdade f(c) = f-1(c) se verifica para c igual a:

a) 9 b) 1 c) 5 d) 3 e) 7

16. (Puccamp-2001) Seja f a funo de em dada por f(x) = -2x. Um esboo grfico da funo f-1, inversa de f, :

17. (Ufrrj-2001) Determine o valor real de a para que f(x) = (x + 1)/(2x + a) possua como inversa a funo f-1(x) = (1 3x)/(2x 1).

18. (Ufsc-2000) Sejam as funes f(x) = (x+1)/(x1) definida para todo x real e x 1 e g(x) = 2x + 3, definida para todo x real. Determine a soma dos nmeros associados (s) proposio(es) VERDADEIRA(S)

01) f(1/x) = -f(x) para todo x .

02) o valor de g(f(2)) igual a 4/3

04) O domnio da funo fog(f composta com g) D(fog) =

08) A funo inversa de g definida por g-1(x) = (x-3)/2

16) A reta que representa a funo g intercepta o eixo das abscissas em (-3/2,0)

19. (Puccamp-1999) Estudando a viabilidade de uma campanha de vacinao, os tcnicos da Secretaria de Sade de um municpio verificaram que o custo da vacinao de x por cento da populao local era de, aproximadamente, y = 300x/(400-x) milhares de reais. Nessa expresso, escrevendo-se x em funo de y, obtm-se x igual a:

a) 4/3b) 300y / (400-y)c) 300y / (400+y)d) 400y / (300-y)e) 400y / (300+y)

20. (UFSM-1999) Com relao funo f: , xf(x) = x/(3x-1), afirma-se o seguinte:

I. A funo f injetoraII. A funo inversa de f f-1(x) = x/(3x 1)III. O elemento do domnio de f que tem 2 como imagem

Est(o) correta(s):

a) apenas I b) apenas II c) apenas I e IId) apenas II e III e) I, II e III

21. A funo cujo grfico est representado na figura 1 a seguir tem inversa. O grfico de sua inversa :

22. Sejam f e g funes bijetoras tais que f crescente e g decrescente. Nesse caso, as funes inversas f-1 e g-1 so, respectivamente:

a) crescente e crescenteb) crescente e decrescentec) decrescente e crescented) decrescente e decrescentee) no se pode afirmar que f e g admitem inversa

GABARITO

Nvel I

1. Veja que f(1) = 12 + 1 = 2 e f(-1) = (-1)2 + 1 = 2. Como f(1) = f(-1), f no injetora, logo no admite inversa.

2. Veja o Exerccio Resolvido 1: Basta encontrar o valor de x tal que f(x) = 2.

a) 1 b) 1 c) -2 d) 1/2

3. c 4. c 5. c

6. f(f-1(x)) = x (no precisa fazer conta nessa questo, isso sempre verdade!)

Nvel II

7. a) f-1(x) = (x 1)/2 b) 9/48. c 9. c 10. c 11. c 12. e13. 14. c 15. a 16.c 17. a = 318. 1 + 4 + 8 + 16 + 32 = 61.19. e 20. c 21. d22. b